Réarrangements convexes de processus stochastiques

C. R. Acad. Sci. StatistiquelSfatistics (ProbabihWfrobabilify

Paris,

t. 329,

SCrie

DAVYDOV,

convexes Emmanuel

le 3 mai

R&urn&

1999,

accept6

rCvision

UFR

le 1”‘

de

matbhmatiques,

octobre

M2,

UniversitC

de

Lille

I,

1999)

{X(t), t E [0, l]} un processus 2 trajectoires presquestirementnon diffkrentiables et soit X,, (t) le processus obtenupar approximationpolygonalepour les subdivisions uniformes de I’intervalle [0, I]. Nous Ctudionsle comportementasymptotiquedes suitesde rkarrangements convexesT/X,, convenablementnormaliskes.Nous traitons ici les casdesprocessusgaussiens et desprocessusde IV-Wiener. Danschacun des cas, pour presquechaquetrajectoire, nousobtenonsla convergencevers une courbe limite convexeet nousdonnonsquelquesexemplespour illustrer lesthCor&mes Ctablis. 0 1999Acadkmie dessciences/Editions scientifiqueset mCdicales Elsevier SAS

Soit

Convex

Abstract.

apr&s

de processus

THILLY

Laboratoire de statistiyue et probabilitks, 59655 Villeneuve d’ilscq cedex, France Courriel : (davydov, tbilly}@jacta.univ-lillel.fr (ReCu

1999

Theory)

R&arrangements stochastiques Youri

I, p. 1087-1090,

rearrangements

of stochastic

processes

Let {X(t), t E [0, 11) be a process with a.s. non-differentiable sample paths. Let X,,(t) be the process obtained by polygonal approximation for uniform grids of [0, l]. We study the asymptotic behavior of the sequence of convex rearrangements VX,, with a suitable normalization. Here we consider the case of Gaussian processes and the case of It& Wiener processes. In each case we obtain for almost every sample path the convergence to a convex limit function and we give some examples to illustrate the previously theorems.

0 1999AcadCmiedessciences&ditions scientifiqueset medicalesElsevierSAS

1. Introduction Soit X = {X(t), t E [0, l]} un processusstochastique dCfini sur un espace probabilisC (a, 3, P) et soit X, = {X,(t), t E [O,l]} 1a suite des approximations polygonales de X dCterminCepar les subdivisions uniformes ;, k = O,l,...:n1 de l’intervalle [0, l] d&inies par >

x,(t) =x (“);

- (nt-k)

[ x (y-x(;)],

tE [yy.

Afin de formuler le problkme, Cnongonsles dtfinitions de l’opkrateur de rtkrangement monotone T (voir [4]) puis de 1’opCrateur de &arrangement convexe V (voir [3] ou [5]). DEFINITION

monotone

f : Xf-’

1. - Soit f une fonction mesurablesur [0, 11.Une fonction Tf est appelCle r&zrrungement de f si elle est non dkcroissante, continue B droite et qu’elle a la m&me distribution que = X(Tf)-I, oti X est la mesure de Lebesgue.

Note pr6sentCe par Paul 0764.4442/99/03291087 Tous droits rkservts.

DEHEUVELS.

0 1999 AcadCmie

des scienceshditions

scientifiques

et mkdicales

Elsevier

SAS.

1087

Y. Davydov,

E. Thilly

DEFINITION

tel que : Vf(t)

2. - L’operateur V defini sur I’espace des fonctions absolument continues sur [0, l] et = f(0) + J,“T(f’)(s)d s est appele ope’rateur de rearrangement convexe.

Notre but est d’etudier le comportement asymptotique du processus I/X,, quand 71 tend vers l’infini. Si les trajectoires de X sont presque surement absolument continues, alors p.s., VX, + VX (voir [5]). Le probleme d’etudier le cas de processus dont les trajectoires sont non differentiables se pose alors. Des travaux sur ce theme ont et6 realids concernant les marches aleatoires [3] et les processus stables [2]. Dans cette Note, nous considerons le cas des processus gaussiens et celui des semi-martingales locales de It8 (ou processus de It&Wiener). Nous montrons que pour les processus gaussiens dont les accroissements sont stationnaires et verifient une condition de dependance faible, le processus n-la;’ VX, converge presqu e surement vers la fonction convexe deterministe L(t) Sf Jb’ W’(s) d s, oti Q est la fonction de repartition d’une variable aleatoire gaussienne centree reduite et CT: = IE IX(i) - X(O)/*. Dans le cas oti X est un processus de It&Wiener, nous obtenons presque surement la convergence de n-+VX, vers la fonction convexe aleatoire M(t) ‘sf s,” &-l(s) ds, oti Fb(‘c) = Jo1CQ,(~)(:C) dt et @b(t)(z) est la fonction de repartition d’une variable aleatoire gaussienne centree de variance r)“(t).

2. RCarrangements

convexes des processus gaussiens

Soit X = {X(t), t E X(0) = 0 et soit X,,, la uniformes de l’intervalle et A(t) = lEX*(t). Enfin, pour tout (i, j)

[0, l]}, un processus gaussien centre a accroissements stationnaires tel que suite des approximations polygonales de X determinCe par les subdivisons [0, 11. Pour simplifier les notations, on pose &i(X) = X (%) - X(i) tels que j > 1: on pose

yrL,j--i = Cov (A,,i,A,n,.) On obtient alors le resultat

suivant

= A(*) :

; A(-)

_ A

.i (

7% 1

THEOR~ME 1. - Soit X = {X(t), t E [0, l]} un processus gaussien cent& a accroissements stutionnaires, soit X,, = {X,(t), t E [0, l]} 1a suite des approximations polygonales de X. Supposons que X(t) ve’ri$e l’une des hypothdse Hi et H2 ci-dessous :

H1 :

3C>O,S>Otelsque~kE{l,...,n,-1},

?L!2 0 et 6’ > 0 tels que Y k > ho, on ait 1 Alors presque surement pour chaque t duns [0, 11, 2 VX,, (t) Jqt), avec a, = 71 A i . 0) ?L’oO Soulignons que pour prouver ce resultat, nous avons Ctabli la convergence presque sure des moments des accroissements normalises du processus X consideres comme des variables aleatoire sur ([0, 11, B1O,l~,A) vers les moments d’une variable altatoire gaussienne centree reduite sur (n, F, P). On discute a present des conditions suffisantes portant sur la fonction A(t) pour que l’une ou l’autre des hypotheses du theoreme soit verifiee. R=C~P~~ITI~N 1. - Soit X = {X(t); t E [O,l]} un processus gaussien centre’ a accroissements stationnaires dejini comme precedemment, soit X, la suite des approximations polygonales de X. 1) Supposons que A soit derivable et qu’il existe u ~10, l] tel que w~q~(h) = O(h”) quand h 0, alors : (a) si A’(0) # 0, la condition Hz est ve’rije’e ; (b) si A’(0) = 0 et s “1z existe une constante Cl > 0 et /3 E [O: Q[ tels que A’(h) > Cl ho, la condition Ha est ve’rifie’e.

1088

Rkarrangements

convexes de processus

stochastiques

2) Supposonsque pour un 6 > 0, A” existe sur IO, 6[ et qu’il existe Cz > 0 et y ~10, l[ tels que A”(h) - Cz h-7-l au voisinage de 0, alors la condition Hr est ve’rijee. Exemple 1 (Mouvement brownien fractionnaire). - On considere le processus du mouvement brownien fractionnaire We(t), oti 0 < o < 2 c’est-a-dire un processus gaussien centre de fonction de covariance K(t,s) = i [P + sa - It - s]“]. On verifie que we(t) est un processus gaussien a accroissements stationnaires et que A(t) = t”. Alors d’aprbs la proposition 1, si 0 < CI:< 1, alors We(t) verifie l’hypothbe Hr et si 1 5 cx < 2, alors IP(t) verifie l’hypothese Ha. Done, p.s., pour tout t E [0, 11, -& W;(t) L(t). n-03 Exemple 2. - On considbre le processus gaussien V”(t) = ePtcu I+‘$, , oti W”, 0 < (Y < 2 est le mouvement brownien fractionnaire (V’(t) n’est autre que le processus de Ornstein-Uhlenbeck). On verifie que P(t) est un processus stationnaire, de fonction de covariance R(t) = cash to - 2a-1 ] sinh tl”. 11est clair que A(t) = 2( 1 - R(t)). D’apres la proposition 1, si 0 < c1 < 1, V”(t) vtrifie l’hypothbse Hr et si 1 5 o < 2, alors P(t) verifie l’hypothbse Ha. Done p.s., pour tout t E [0, I], L(t). 0: (t) n-+03

gi+

3. RCarrangements

convexe des processus de It&Wiener

Soit Yt = s,” u(s) ds+Ji b(s) dW,, t E [0, l] un processus de It&Wiener. On Ctudie le comportement asymptotique de la suite de rearrangements convexes normalises -& VU,. THBORBME 2. - Soit Yt = J,” u(s) ds + s,” b(s) dW,, t E [0, 11, un processus de It&Wiener (0,3, P), ou b est unprocessus adapt& a 1aJiltration Ft = o(Ws, s 5 t) tel que b( .) E L’([O, l] et p.s., a E L1[O, 11. 0 n a alors presque surement, pour tout t E [0, 11,

sur x

0)

t

$

vyn(t)

s

Ad(t)

ds

s0

F;‘(s)

ds

od Fb(x) = J;’ @qt)(x) dt et @bct)(x ) est 1a f onet’ton de repartition d’une variable aleatoire gaussienne centree de variance b2(t).

11 est a noter que la courbe limite est aleatoire ou pas suivant que b l’est ou non. Remarque 1 (Mouvement brownien). - Le mouvement brownien est un exemple simple de processus de It&Wiener. Le resultat concernant la presque sure convergence de ses convexifications vers L(t) = s,” Q-‘(s) ds Ctabli par Davydov dans [2] est tout a fait compatible avec le resultat ci-dessus. 11 est clair que c’est un cas particulier du theoreme 2 avec b = 1. Remarque 2. - Les demonstrations des theoremes 1 et 2 s’appuient sur le theoreme 1 de [2] concernant la convergence des suites de rearrangements convexes, qui ram&e en partie l’etude de ces dernieres a une etude fine des oscillations du processus initial. 4. RCarrangements

convexes d’une

somme de deux fonctions

Nous commenGons par donner le resultat preliminaire

suivant :

TH~OF&ME 3. - Soient f et g deux fonctions mesurablessur [0, l] et soit fn, gn respectivement les suites d’approximation polygonales correspondantes. Supposonsqu’il existe une suite B, et une fonction e(t) tels que :

1089

Y. Davydov,

E. Thilly

t(t). Alors, pour tout t E [0, I], nous alions & V(fn + gn)(t) 11;‘CC Remarque 3. - La preuve de ce rksultat est une conskquence de 1’inCgalitCsuivante [5] : pour toutesfonctions f et g mesurublessur [O;l] on a IIT(f + g) - Z’~IILI[O,JI 5 /lgllLl[o,ll. COROLLAIRE 1. - Soit X est un processus gaussien vkri$ant l’une ou l’autre des hypothkses du the’orkme 1 avec la normalisation a,, et soit f une.fonction absolument continue, alors

2 V(X + f)n -L(t). 11-C% Remarque4. - Le thCor?me3 justifie le r61einactif du drift dans le comportement des r&arrangements convexes dans le thCorkme 2 puisque celui-ci vCrifie toujours la condition 2 ci-dessus.

5. Application

aux processus dits <
On donnera ce nom aux processusd&finis de la man&e suivante : DEFINITION3. - Soit X(t)

un processussur [0, 11,on appelle passerelle de X(t),

le processusdtfini

par 2 (t) = [X(t) - X(O)] - t[X(l) - X(O)]. Remarque 5. - Dans le cas oti X est le mouvement brownien, il est clair que la passerellecoincide avec le pont brownien. Des thCor?mes 1, 2 et 3 on dCduit directement les corollaires suivants : COROLLAIRE

2. - Soit X(t),

t E [0, I] un p rocessusgaussienqui ve’rijie HI ou Hz, soit X,(t)

la suite

de ses approximations polygonales et soit 2 (t), la passerelle engendre’epar X, (t), alors on a p.s., pour tout t E [0, 11, & V 2 (t) L(t), 02 a, = no,. n-03 COROLLAIRE 3. - Soit Y un processus de It&Wiener sur [0, l] dkjini comme duns le thkor;me 2 et soit ? (t), la passerelle engendrke par le processus Y,, alors on a presque st?rement,pour tout t E [O, 11, *

v k,

Ad(t). (t) n-+00

6. Cas des approximations

par convolution

On considkre B p&sent XE(t), les approximations par convolution des trajectoires du processusX dCfinies par T,!I~* X, E > 0, oti T,!J~ est telle que djE(t) = i li/( :), Qt E R avec T,I~fonction fix&e B variations bornkes et 2 support compact telle que JR G(t) dt = 1. Dans [l], Azai’s et Wschebor ont Ctudi& les oscillations des lkocessus gaussienset des martingales browniennes dans le cas de telles approximations. Leurs rksultats et le thCor&me 1 de [2] nous permettent d’ktablir des rksultats similaires 5 ceux obtenus pour les approximations polygonales pour les processusCvoquCsdans cette Note ainsi que pour les passerellescorrespondantes. Remerciements. Les auteursremercientles rapporteursanonymesqui par leurs remarquesont contribuCa I’amCliorationde la rkdaction de cette Note.

RCfkences [ 11 [2] [31 I41 [5]

bibliograpbiques

Azai’s J.-M., Wschebor M., Almost sure oscillation of certain random processes, Bernoulli 2 (3) (1996) 257-270. Davydov Yu., Convex rearrangements of stable processes, J. Math. Sci. 92 (1998) 1040-1046. Davydov Yu., Vershik A.M., Rtarrangements convexes des marches alkatoires, Ann. Inst. H.-PoincarC 34 (1998) 73-95. Egorov V.A., Functional law of the iterated logarithm for reaarranged sums, Theor. Probab. Appl. 35 (1990) 342-347. Zhukova E.E., Monotone and convex rearrangements of functions and stochastic processes, PhD, Saint-Petersburg University, Russia, 1995.

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