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Modèle d'aide à la gestion des eaux souterraines (MAGES). 2. Validation numérique du modèle de transport
0 Academic
des
sciences
GCosciences de surface (Hydrologic-Hydrog6ologie
/ Elsevier,
Paris
/ Surface Geosciences / Hydrology-Hydrogeo/ogyl
Mod&le d’aide & la gestion des eaux souterraines (MACES). 2. Validation numkrique du mod&le de transport A model to advise on groundwater evaluation and survey (MAGES).
2. Numerical validation of the transport model Gilles Porela*, Fr6d&ick Delayb, Olivier a UMR ’ UMR
6532, 7619,
’ INRS-Eau,
Universiti, universite universitG
Banton”
de Poitiers, bit. Sciences naturelles, Paris-6, boite 123, T 26-5, 4, place du Quebec,
2800,
we
Einstein,
40, av. du Recteur-Pineau, Jussieu, 75252 Paris cedex
CP 7.500,
QuGbec,
Gl V 4C7,
86022 Poitiers 05, France
cedex,
France
Canada
Abstract-MRGES is a software developed at INRS-Eau (Canada) for forecasting pollution hazards in groundwater. The transport model uses stationary truncated temporal moment eqtlations instead of the classical time dependent advection-dispersion equation. The aim of this work is to propose a numerical validation of the method by comparison with both analytical solutions in homogeneous medium and a sophisticated lagrangian model of transport in heterogeneous medium. It is shown that the temporal moment equations perform well, while saving on computation. This gives MAGI3 some abilities in water management problems which compensate for the poor knowledge of the transport parameters through numerous stochastic simulations. (0 .&cad&lie des sciences / Elsevier, Paris.) stationary modeling
advection4ispersion / pollution forecasting
equation
/ truncated
temporal
moment
/ numerical
R&urn&-
MACES est un logiciel dkvelopp& P I’INRS-Eau (Canada) afin de prkvoir les risques de pollution des eaux souterraines. Le modPIe de transport utilise des equations stationnaires calculant des moments temporels tronqu& au lieu de I’equation classique d’advection-dispersion dependante du temps. Ce travail prksente la validation numkriquede la m&hode, en la comparant ZI une solution analytique en milieu homogkne et a un modele lagrangien en milieu h&&ogPne. II est di3montrG que les equations des moments temporels fonctionnent parfaitement avec un temps de cafcul restreint. Cela permet d’utiliser MACES dans les probkmes de gestion compensbe par la multiplication
oti la connaissance des simulations.
advection-dispersion stationnaire p&vision des pollutions
/ moment
limit&e des parametres Acadbmie des sciences
(0
temporel
tronqui!
/ modklisation
du transport est / Elsevier, Paris.)
numbrique
/
Abridged version Forecasting pollution hazards has become a key problem in water management. Unfortunately, classical models of transport in heterogeneous media often suffer from low speed Note Note
prbsentee par Ghislain remise le 10 aoOt 1998,
* E-mail
de Marsily. acceptke apres
r&vision
le 19 octobre
calculations that prohibit their intensive use in duplicating stochastic simulations to balance, for instance the poor knowledge of tmnsport parameters in real-life case stuclies. MAGES is
1998
: [email protected]
C. R. Acad.
Sci. Paris, Sciences 1998 327.661-667
de la terre
et des plan&es
/ L%J~VI & Planetary
Sciences
G. Pore1 et al.
essentially a transport model dealing with Temporal Moment Equations (TME) (Harvey and Gorelick, 1995; Delay et al., 199%) which are stationarv and therefore less computer-time consuming than a classical resolution of transport. MAGES calculates the temporal moments of a concentration versus the time curve, either between two finite times z1 and z2 or 0 and + m. The raw values of temporal moments themselves provide meaningful information on a transport problem. For instance, the spatial distribution of the zeroth moment gives the total spreading of a plume downstream of a contaminant spill and also, a measure of the total mass which can reach a poinr in space. IIowever, the calculation of the concentration curves at a point in space can be carried out with rhe local values of temporal moments. Thus, MAGES is a tool able to provide the same information as a classical model,while strongly reducing calculation efforts (jgure 2). It is verified that the TME are accurate both in homogeneous and heterogeneous media. The TME are first compared to an analytical solution for an ins~n~neous point injection in a 2-D homogeneous medium. Transport occurs over distances of more than 200 units in length IL1 with a mean pore velocfy of 1 unit in length per unit in time IL?“] and for Iongitu~~iIlal dispersivity values of 2 and 4 [L!. Along the main flow direction, the concentration curves calculated with TME are perfectly equivalent to that of the analytical solution ViguPes 2, IS and .$, R). By moving away from the flow direction, the results remain almost perfect when the ratio lnormal distance from flow direction / distanc~e along flow direction1 is less than l/5. With larger ratios. the solutions using TME show a slight increase in their modal concentration because TME are not completely dispersion free. However, the errors are very small and concern a tiny fraction of the total mass travelling through the domain. Note that these errors tend to decrease strongly with the increase of the dispersivity (comparison of jgures 2 and .i) which appears logical because numerical dispersion is of higher effect in advcction-dominated problems (Pinder and Shapiro, 1979). Note also that these errors would be greatel and partly amplified by the iterations with time when applying the same discrete scheme to a classical parabolic transport equation (Sun, 1996). The second series of numerical experiments deals with a 2-D heterogeneous medium where the hydraulic conduaivity is made to vary in the range of O&-3$ [L7“1 and obeys a well-organised spatial distrjbution (f@ure 4). With the hydraulic gradient used, the mean pore velocities range from 0.1to 2.4
[LT’I toward the ENE. Numerical tests have been carried out with a constant longitudinal dispersivity of between 2 and 6 IL1 (ten times lower for the transverse one>. They are compared to equivalent calculations with an eulerian-lagrangian transport model (Enhanced Particle Tracking EPT (Delay et al., 1996)) which proved its worth and stability even for highly heterogeneous media and tailing effects with small concentrat.ionvalues. Provided that EPT yields to the ‘reference’ solution, because the method is almost free of dispersion problems and nlanages at best the dispersion contrasts due to mean pore velocity fluctuations, it can be shown that the resulB from TME do not strongly differ from the reference solution. in terms of spatial spreading of the plume, the isolines of concentration are almost similar between EPT and TME yiguve 5, A). It can be pointed out on the lower left edge of the plume, that the TME show a higher transverse gradient of concentration. In this area, the velocities are small and the finite diRerence scheme of TME has some difficulties in correctly propagating a sign&cant value of ,%&by transverse dispersion,This leads to an absence of tracer which is not observed with EPT. It was verified that the solution with EPT was not modified by increasing the accuracy of resolution, i.e. reducing the space step (also used by EPT) down to 2 IL]. Therefore, the solution with EPT can be considered as a reference which argues the persistence of some local dispersion discrepancies with TME. The criticism must however be moderated because it only concerns the border of the plume and a very small part of the contaminant mass. This is confirmed by the observation of the concentrations that are almost equivalent between TMIi and EPT inside the plume and only differ for very small concentl-ations at the extreme borders of the plume ($gure 5, 1% C, 11). In conclusion, it can be asserted that even if the TME are not completely free of dispersion problems, the batter may be disregarded in the framework of real-life case studies where the assessment of uncertainty imposes numerous simulations of the same transport scenario. It must also he kept in mind that the calculation time needed with TME is approximately 50 times less than with a classical eulerian model, this advantage completely hiding the drawbacks of slight dispersion errors. The TME use a spatial discrete scheme equivalent to that of an eulerian transport model and whether an ‘ultimate’ precision is required or not, a much more efficient discrete resolution issued from a sophisticated eulerian model could he used while keeping the advantage of absence of time iterations,
1. ln~~odu~jon En raison du nombre accru de cas de pollution diffuse ou ponctuelle, la gestion de la ressource en eau doit maintenant s’accompagner de moditlisations num&iques de I’&ouiement et du transport d’effluents de I’aquiftre exptoitr?. La m&zonnaissance partielle de [‘ensemble des param&res qui r6gissent I’&zouiement et le transport (conductivit6 hydrauliqut?, porositi? cinCmatique, dispersi-
662
C. R. Acad.
vitt?...) impose f’emploi de mod&les stochastiques qui permettent la &solution d’un scCnario d’&oulement ou de transport sur n C(images ~quiprobables >> du r&ervoir. Mais la r&olution du transport par des m&hodes classiques eulCriennes, lagrangiennes ou mixtes (Konikov et Bredehoeti, 1978 ; Bear et Verruitj, 1987 ; Uffink, 1988 ; Lenormand, 1995) traite d’une equation parabolique qui nkcessite, darts le cas de milieux h&&og&nes, une disc&
Sci. Poris, Sciences
de lo tefre
et des plon&tes
/ &r/h
& P/ane~u~sCisnces 1998.327. bbi-657
Transport des contaminants tisation spatiale et temporelle des plus fines, afin de s’affranchir des probkmes de stabilite et de dispersion numbrique. Le modele MAGES, en tours de dkveloppement ZI l’lnstitut national de recherche scientifique au Quebec (INRSEau) r&out les bquations des moments temporels (EMT). Elles sont elliptiques, indkpendantes du temps et fournissent en une seule operation les valeurs des moments temporels de la concentration en effluent. Elles renseignent directement le gestionnaire : le moment d’ordre z&o (M,,) indique la masse pass&e en un point, le rapport M,/M, donne le temps moyen de rksidence du polluant et la valeur M,/M, - (M1/M$ reprkente la variance. lndirectement, il est possible de reconstituer I’&olution de la concentration en fonction du temps sur I’ensemble du domaine modeli& (Delay et al., 1998a). Le principe des EMT est tout d’abord succinctement prksente, puis une skrie de tests de validation est proposee. La rkolution du transport de solutb en advection-dispersion avec les EMT est confrontee a la solution analytique classique en &oulement bidimensionnet pour un milieu homoghne. Ensuite, les EMT sont comparees B un mod&le eukrienlagrangien (Enhanced Partide Tracking, EPT ; Delay et al., 1996) en milieu h&?rogPne.
2. Principe temporels
des equations
des moments
Les d&ails thboriques permettant d’obtenir les EMT ne seront pas abordb ; ils sont developpes dans deux articles @cents (Delay et al., 1998 a, b), auxquels le lecteur intkessk pourra se reporter. Soit C(t) la concentration en un point Xde I’espace (refkence ZI la dimension d’espace, non rappel&e afin d’allbger I’kcriture) au temps t; son moment temporel d’ordre n, tronqui, entre deux temps finis 7, et TV s’krit :
Par extension, si les temps z, et 12 valent respectivement 0 et + m, on parle alors de moment complet note M,. La pseudo-transformee de Laplace de la concentration entre 7, et z2 s’kcrit : 1* (C(f)),=
TL exp( - st) C( t) dt
1* (s) =
(2)
s Tl
avec s, la variable de Laplace. Dkrivee ;1 I’ordre n par rapport & s, puis faisant tendre s vers z&o, I’expression (2) permet d’obtenir le moment d’ordre n :
a”L* (5) sr2 --..-..-=(-I)” t”
Supposons l’existence du transport advectif-dispersif d’une concentration mobile C(t) en presence d’une concentration immobile de la m$me espke I(t). Les Cquations de conservation de la masse du solute et d’khange entre les concentrations mobile et immobile, selon une cinktique d’ordre 1, s’krivent respectivement :
$=B(KC- I)
avec vi [L,T-‘I la vitesse moyennede poredans la direction xi, D, [L2~T~~‘] une composante du tenseur de dispersion, w, (sans dimension) la fraction volumique moblle du milieu poreux (porosit& cirkmatique), wi la fraction volumique immobile du milieu poreux, /I [T-‘I la vitesse d’khange, K (sans dimension) le rapport /(/CO 2 I’Cquilibre entre les phases et g IM.L-3,T-‘l un terme puits-source local, dont on suppose qu’il ne puisse tendre vers I’infini entre z, et r2. L’application des transformees de Laplace aux equations (4) et (5) et leur derivation pour un param&re s tendant vers z&o permettent d’obtenir les &quations des moments temporels tronqu& d’ordre n (n E 10. ..+m[). En posant YJ( 1 I’opkateur aux dkivkes partielles du membre de gauche de I’kquation (4) et IE le rapport wi/w,, on obtient des Gquations elliptiques, indtpendantes du temps :
WM;
Y(M)=-w,.n(l
*
lim
540
c
(s) 8s"
C. R. Acad. Sci. Paris. Sciences 1998.327.661-667
1
= (-
de la terre
l)“M; et des plan&es
(6b)
avec Q’, le moment d’ordre n du terme puits-source. Dans le cas particulier du calcul de moments complets ( z1 = 0, T2 = + -), en supposant toutes les concentrations nulles en 72, et en I’absence de cin&ique d’bchange se traduisant par un rapport i = oi/w, = 0, I’expression (6) se simplifie, donnant ainsi les EMT en advection-dispersion simple pour des moments complets : !P(M,) = - u, C(O) Y’(M,) = - w, /7 M,
(3)
@ia)
+;IKJM:,-,
+ w, (C(T,) T; -CC+:)+qQ:,
71
a”l* ~
)=w,(C(Z,)-C(T,))
+ w, Ml(z,) - k,l)) + 0,. 0;;
exp( - st) C( t) df
c?S"
(5)
(74 , + u, Q,,
En tant que tels, les moments temporels constituent information significative sur le transport. Cependant,
/ &Y~WI & Pkv-tetcxy
Sciences
(7b) une il est
663
G
Pore1
et al.
Figure 1. Exemples de rcisultats fournis par MACES. A. Distribution du moment temporel d’ordre z&o (approximation de la masse pas&e en un point). 6. Rapport Al, /MO (temps moyen de s&jour du traceur). C. Temps de premiPre- arriv6e. D. Nuage du traceur ?I un temps fix& ‘$1 1,‘ Examples of results provided by MACES. A. Spatial distribution of zeroth moment, i.e. approximation of the mass
:-
L-
possible de calculer I’6volution des concentrations en fonction du temps a partir des moments temporels. Deux techniques sont d&rites par Delay et al. (1998a, 1998b3, une troisitime par Harvey et Gorelick (1995). A titre d’il-
figure I (B),
en
reportant
le
rapport
3.1. Milieu analytique
spatiale des vaA) donne le front une appr&ciation du domaine. La
M, /MO, donne
1, C), ou encore 2 un temps
l’&at tdonn6
avec
la solution
Y, t> =
des concentra(figure 7, D).
(8)
numbrique
Cla
concentration
u la porosit6
de stabilitk et de de tests de validation
Sci
cinematique
[-I,
e I’6paisseur
injectbe
[MI
;
de I’aquif&e ;i de
Le domaine mod6lis6 a et6 disc&i& en mailles car&es de quatre unit& de longueur 111 (figure 2, A), et I’Gcoulement s’effectue vers I’est a une vitesse moyenne de 1 [L.T-‘I. La dispersivite tante, 4 [Ll pour la dispersivitk transversale
dispersion ont 6tP
C. R. Acad.
M la masse
[M-L--“I,
IL], D,, D, les dispersions longitudinale et transversale [L2.T-‘] x, y les distances dans I’axe et perpendiculaires I’ecoulement [Ll, t le temps [T] et v la vitesse moyenne pore [L+T-‘I.
outil de gestion. Malgre la simplicit6 du code, le calcul reste tres performant et n’engendre pas d’instabilitb numerique, ce qui n’est pas le cas des 6quations paraboliques A des probl&mes Deux series
Comparaison
bidimensionnel uniforme, la reponse en ti une injection brPve ponctuelle un milieu infini, s’&rit (Bear et Verruijt,
C(x
La resolution discrete cles EMT utilise un schema de diffkrences finies centrees, dont la motivation essentielle est la facilite de mise en owvre, de maintenance et d’&olution du code informatique, elements indispensables a un
assujetties numerique.
point.
1987) :
le
avec
3. Validation
homogi?ne.
En 6coulement advection-dispersion d’un solute dans
temps moyen de sbjour du polluant. Les autres exemples utilisent un calcul des concentrations pour obtenir les isochrones du temps de premi&e arriv6e du contaminant en tout point (figure tions dans le domaine
a
me&es et, pour plus de contraintes, les comparaisons entre les diffkrentes m&hodes (EPT, EMT et solution analytique) s’effectuent directement avec les courbes d’&olution de la concentration avec le temps.
lustration, la figure 1 montre quelques exemples de r&ultats possibles sur un sc6nario correspondant 3 un transport advectif-dispersif qui sera d&ail16 plus loin au chapitre 3 (Validation num&;que). La distribution leurs de moments d’ordre z&o (figure 7, d’emprunt du nuage de contaminant et de la masse totale pas&e en tout point
reaching
B. Ratio M, /MO, i.e. mean travel time of the tracer. C. First arrival time. D. Tracer plume for a given time.
Paris.
Sciences
de
la terre
longitudinale
du
figure 2 et 2 [Ll pour
et des
&ant plan&es
dix
fois
/ ECIWJ
milieu est consla figure 3, la plus faible. Les
& PlanetarySciences 1998.327.661-667
Transport
Figure 2. Comparaison EMT-solution analytique en milieu homog$ne. L%coulement principal se fait d’ouest en est, les dispersivit& longitudinale et transversale sont respectivement de 4 [LI et 0,4 111. A. Position de I’injedion b&eve ponctuelle (Croix) et des points d’observation (rends). 6. Courbes concentration-temps dans f’axe principal d’koulement. C, D. Courbes concentration-temps en des points &art& de I’axe principal. Pour I’ensemble des courbes, les lignes continues rep&sentent la solution analytique et les points, la solution des EMT. Comparison between TME and an analytical solution in a homogeneous medium. The main flow direction is eastward, the longitudinal and transverse dispersivity values are of 4 [L] and 0.4 [Ll. A. Location of the brief point injection (cross) and of the observation points (dots). B. Curves of concentration versus time along the main flow direction. C, D. Concentration curves for observation points away from the main flow direction. For all the curves, solid lines correspond to the analytical solution and dots to the solution bv TME.
10 14 12 I
Figure 3. MCme comparaison que pour la figure 2. Seules les dispersivites sent modifit5es et valent respectivement 2 [L] et 0,2 [L] pour les composantes longitudinale et transversale. :sasam Same comparison as in figure2. Only the dispersivity is modified with 2 LL1 and 0.2 [LI for longitudinal and transverse values, respectively. C. R, Acad. Sci. Paris, Sciences 15’98.327,661-667
de la terre
et des plan&es
/ Earth & P/anefcvy
Sciences
des contaminants
G. Pore1
et al.
observations se font dans I’axe principal d’ecoulement a une distance de 48, 88, 128 et 168 [L], puis pour x = 168 [LI, a une distance y de 8, 16, 24, 32, 40 et 48 [Ll (figures 2, A et 3, A). Dans I’axe, les solutions calculees par les EMT sont identiques a la solution analytique (figures 2, B et 3, B). Perpendiculairement a I’axe d’ecoulement, les solutions EMT s’ecartent de la solution analytique lorsque le rapport y/x est superieur a l/5. Les differences sont faibles pour le milieu s fortement dispersif )) (figure 2, D, courbes T5 et T6) ; elles deviennent plus importantes pour le milieu (( faiblement dispersif )) (figure 3, D, courbes T.5 et T6). Les concentrations deduites des EMT &ant toujours legerement plus elevees que celles de la solution analytique, la methode numerique proposee n’est done pas tout a fait exempte de dispersion numerique, phenomene d’autant plus sensible que le milieu est convectif. Cependant, les concentrations calculees loin de I’axe d’ecoule-, ment sont tres faibles et la masse transitant ne represente des lors qu’une partie infirne de la masse totale transitant dans le milieu. 3.2. EPT
Milieu
h&&og+ne
- Comparaison
avec
la mkthode
La comparaison en milieu heterogene est plus delicate. Elle necessite le choix d’une methode fiable, exempte (ou presque) de dispersion numerique. Le choix s’est Porte sur I’EPT, methode numerique hybride entre la marche au hasard et les differences finies (Delay et al., 1996). Les resultats obtenus par I’EPT sont pris comme solution de reference, en raison de la precision reconnue de la methode. Le domaine modelise a ete discretise en 3 348 mailles de calcul (62 x 54 mailles de 4 [LJ). Le champ de conductivite hydraulique (KJ, dont les valeurs, de bonne organisation spatiale, sont comprises entre 0,8 et 35 L.T-‘, est
obtenu par simulation sequentielle gaussienne, puis recuit simule (figure 4). Un gradient hydraulique imposede 5% pour un ecoulement vers I’ENE et une porosite cinematique constante de 0,05 donnent des vitesses moyennes de pore comprises entre 0,l et 2,4 [L.T-‘I. Les dispersivites longitudinale et transversale sont constantes dans chacurie des mailles et valent respectivement 4 et 0,4 [Ll. Une injection breve ponctuelle de solute est realisee sur la maille d’injection (x = 38, y = 30). L’etat du nuage au temps 100 [T] est represent& sur la figure 5 (A). Les courbes d’isoconcentration calculees par les EMT ou I’EPT sont similaires, except6 dans la zone sud-ouest, oti les EMT montrent un plus fort gradient transversal de concentration. Dans cette zone, les vitesses moyennes de pore sont relativement faibles et le schema de resolution en differences finies des EMT a quelques difficult& a propager par dispersion transversale une valeur significative du moment d’ordre zero (M,,). Rappelons qu’au plan theorique, dans un modele eulerien en differences finies, il faudrait que le rapport dispersivite transversale /pas de maille soit superieur a l/2. La contrainte est nettement moins severe sur les equations stationnaires des moments. L’erreur de dispersion des EMT entraine une absence de traceur, qui est pourtant detecte par I’EPT. Avec I’EPT et en utilisant une discretisation spatiale deux fois plus fine (13 392 mailles), les resultats sont strictement identiques a ceux obtenus avec des mailles de 4 [Ll, confirmant ainsi la validite de la solution de reference. Au demeurant, la difference entre I’EPT et les EMT ne concerne qu’une partie reduite du nuage de traceur et, si l’on compare maintenant les courbes de restitution calculees en differents points du domaine (figure 5, B, C et D), on remarque que les deux methodes donnent des resultats tres comparables en termes de distribution des temps de sejour et de concentrations.
Figure 4. Champ de condudivit6 g&ne 2-D de 3 348 blocs car& Wchelle de gris sont exprimees .i ‘,v:w0 Hydraulic of 3 348 expressed C. R. Acad.
Sci. Paris,
Sciences
conductivity square blocks in IL.T-‘I. de
IQ terre
hydraulique d’un milieu h&&ode 4 [LI de cot& Les valeurs de en [L-T-‘I.
field of a 2-D heterogeneous of 4 IL] length. The gray
et des
plan&es
/ Earth
medium made scale values are
& Planetary
Sciences
1998.327,661-667
Transport des contaminants Figure 5. Comparaison des EMT et d’un mo&ie eulbrien-lagrangien (Enhanced Particle Tracking, EPT) pour un transport en milieu hMrog&ne (description sur la figure 4). A. hat du nuage de traceur au temps 100 [T] apres une injection b&e ponctuelle au point indiquC par une Croix. Lignes continues pour I’EPT et Iignes discontinues pour les EMT. B, C, D. Courbes concentration-temps aux points d’observation (points sur le schCma A, les temps modaux les plus courts correspondent aux points les plus proches de I’injection). Traits pleins pour I’EPT et points pour les EMT. :j;q4?“$& Comparison eulerian-lagrangian
between
TME and an model (Enhanced Particle Tracking, EPT) for a transport in heterogeneous medium (depicted in figure 4). A. Tracer plume spreading at time 100 [T] in response to a brief point injection at the location pinpointed by a cross. Solid lines for EPT and dashed lines for the TME. 6, C, D. Curves of the concentration versus time at observation points (dots in 5A, the shorter the modal time, the closer to the injection point). Solid lines for EPT and dots for TME.
4. Conclusion Bien que MAGES ne soit pas patfaitement exempt de de dispersion numerique, le sch6ma de diffkrences finies appliquk aux equations stationnaires des moments est nettement plus (( stable Nque son homologue appliqu& a I’bquation classique du transport. De fait, tout en fournissant un resultat equivalent 5 celui d’un modPIe classique de transport, MACES est surtout beaucoup plus rapide, puisqu’il ne nkcessite pas d’itkations sur le temps. La duplication d’un m@me sc&nario de pollution, en vue
tout probkme
d’une evaluation des incertitudes, devient realisable pour le gestionnaire. Cet avantage occufte en grande partie les ICg&es imprkisions numeriques dues au schema discret utilis6 pour ce travail. Bien qu’une telle dkmarche s’karterait partiellement de la philosophie de MACES, les EMT peuvent, en cas de besoin, s’accommoder d’un schema numCrique plus performant, comparable aux mod&les sophistiques de transport. Bien entendu, elles conservent I’avantage d’une absence de toute contrainte sur le temps, facteur amkliorant la stabilitk numkique et la vitesse de calcul.
Remerciemenh. Les auteurs souhaitent remercier le Programme national de recherche en hydrologie, le ministke de I’Environnement et de la Faune du Qu&bec, le National Sciences and Engineering Research Council of Canada pour leur contribution financibre 6 ce travail.
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de
la terre
moment-generating in heterogeneous
et des
planetes
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& Planetmy
Sciences
modeling
I. 18,
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86022 Poitiers 05, France
cedex,
France
Canada
Abstract-MRGES is a software developed at INRS-Eau (Canada) for forecasting pollution hazards in groundwater. The transport model uses stationary truncated temporal moment eqtlations instead of the classical time dependent advection-dispersion equation. The aim of this work is to propose a numerical validation of the method by comparison with both analytical solutions in homogeneous medium and a sophisticated lagrangian model of transport in heterogeneous medium. It is shown that the temporal moment equations perform well, while saving on computation. This gives MAGI3 some abilities in water management problems which compensate for the poor knowledge of the transport parameters through numerous stochastic simulations. (0 .&cad&lie des sciences / Elsevier, Paris.) stationary modeling
advection4ispersion / pollution forecasting
equation
/ truncated
temporal
moment
/ numerical
R&urn&-
MACES est un logiciel dkvelopp& P I’INRS-Eau (Canada) afin de prkvoir les risques de pollution des eaux souterraines. Le modPIe de transport utilise des equations stationnaires calculant des moments temporels tronqu& au lieu de I’equation classique d’advection-dispersion dependante du temps. Ce travail prksente la validation numkriquede la m&hode, en la comparant ZI une solution analytique en milieu homogkne et a un modele lagrangien en milieu h&&ogPne. II est di3montrG que les equations des moments temporels fonctionnent parfaitement avec un temps de cafcul restreint. Cela permet d’utiliser MACES dans les probkmes de gestion compensbe par la multiplication
oti la connaissance des simulations.
advection-dispersion stationnaire p&vision des pollutions
/ moment
limit&e des parametres Acadbmie des sciences
(0
temporel
tronqui!
/ modklisation
du transport est / Elsevier, Paris.)
numbrique
/
Abridged version Forecasting pollution hazards has become a key problem in water management. Unfortunately, classical models of transport in heterogeneous media often suffer from low speed Note Note
prbsentee par Ghislain remise le 10 aoOt 1998,
de Marsily. acceptke apres
r&vision
le 19 octobre
calculations that prohibit their intensive use in duplicating stochastic simulations to balance, for instance the poor knowledge of tmnsport parameters in real-life case stuclies. MAGES is
1998
: [email protected]
C. R. Acad.
Sci. Paris, Sciences 1998 327.661-667
de la terre
et des plan&es
/ L%J~VI & Planetary
Sciences
G. Pore1 et al.
essentially a transport model dealing with Temporal Moment Equations (TME) (Harvey and Gorelick, 1995; Delay et al., 199%) which are stationarv and therefore less computer-time consuming than a classical resolution of transport. MAGES calculates the temporal moments of a concentration versus the time curve, either between two finite times z1 and z2 or 0 and + m. The raw values of temporal moments themselves provide meaningful information on a transport problem. For instance, the spatial distribution of the zeroth moment gives the total spreading of a plume downstream of a contaminant spill and also, a measure of the total mass which can reach a poinr in space. IIowever, the calculation of the concentration curves at a point in space can be carried out with rhe local values of temporal moments. Thus, MAGES is a tool able to provide the same information as a classical model,while strongly reducing calculation efforts (jgure 2). It is verified that the TME are accurate both in homogeneous and heterogeneous media. The TME are first compared to an analytical solution for an ins~n~neous point injection in a 2-D homogeneous medium. Transport occurs over distances of more than 200 units in length IL1 with a mean pore velocfy of 1 unit in length per unit in time IL?“] and for Iongitu~~iIlal dispersivity values of 2 and 4 [L!. Along the main flow direction, the concentration curves calculated with TME are perfectly equivalent to that of the analytical solution ViguPes 2, IS and .$, R). By moving away from the flow direction, the results remain almost perfect when the ratio lnormal distance from flow direction / distanc~e along flow direction1 is less than l/5. With larger ratios. the solutions using TME show a slight increase in their modal concentration because TME are not completely dispersion free. However, the errors are very small and concern a tiny fraction of the total mass travelling through the domain. Note that these errors tend to decrease strongly with the increase of the dispersivity (comparison of jgures 2 and .i) which appears logical because numerical dispersion is of higher effect in advcction-dominated problems (Pinder and Shapiro, 1979). Note also that these errors would be greatel and partly amplified by the iterations with time when applying the same discrete scheme to a classical parabolic transport equation (Sun, 1996). The second series of numerical experiments deals with a 2-D heterogeneous medium where the hydraulic conduaivity is made to vary in the range of O&-3$ [L7“1 and obeys a well-organised spatial distrjbution (f@ure 4). With the hydraulic gradient used, the mean pore velocities range from 0.1to 2.4
[LT’I toward the ENE. Numerical tests have been carried out with a constant longitudinal dispersivity of between 2 and 6 IL1 (ten times lower for the transverse one>. They are compared to equivalent calculations with an eulerian-lagrangian transport model (Enhanced Particle Tracking EPT (Delay et al., 1996)) which proved its worth and stability even for highly heterogeneous media and tailing effects with small concentrat.ionvalues. Provided that EPT yields to the ‘reference’ solution, because the method is almost free of dispersion problems and nlanages at best the dispersion contrasts due to mean pore velocity fluctuations, it can be shown that the resulB from TME do not strongly differ from the reference solution. in terms of spatial spreading of the plume, the isolines of concentration are almost similar between EPT and TME yiguve 5, A). It can be pointed out on the lower left edge of the plume, that the TME show a higher transverse gradient of concentration. In this area, the velocities are small and the finite diRerence scheme of TME has some difficulties in correctly propagating a sign&cant value of ,%&by transverse dispersion,This leads to an absence of tracer which is not observed with EPT. It was verified that the solution with EPT was not modified by increasing the accuracy of resolution, i.e. reducing the space step (also used by EPT) down to 2 IL]. Therefore, the solution with EPT can be considered as a reference which argues the persistence of some local dispersion discrepancies with TME. The criticism must however be moderated because it only concerns the border of the plume and a very small part of the contaminant mass. This is confirmed by the observation of the concentrations that are almost equivalent between TMIi and EPT inside the plume and only differ for very small concentl-ations at the extreme borders of the plume ($gure 5, 1% C, 11). In conclusion, it can be asserted that even if the TME are not completely free of dispersion problems, the batter may be disregarded in the framework of real-life case studies where the assessment of uncertainty imposes numerous simulations of the same transport scenario. It must also he kept in mind that the calculation time needed with TME is approximately 50 times less than with a classical eulerian model, this advantage completely hiding the drawbacks of slight dispersion errors. The TME use a spatial discrete scheme equivalent to that of an eulerian transport model and whether an ‘ultimate’ precision is required or not, a much more efficient discrete resolution issued from a sophisticated eulerian model could he used while keeping the advantage of absence of time iterations,
1. ln~~odu~jon En raison du nombre accru de cas de pollution diffuse ou ponctuelle, la gestion de la ressource en eau doit maintenant s’accompagner de moditlisations num&iques de I’&ouiement et du transport d’effluents de I’aquiftre exptoitr?. La m&zonnaissance partielle de [‘ensemble des param&res qui r6gissent I’&zouiement et le transport (conductivit6 hydrauliqut?, porositi? cinCmatique, dispersi-
662
C. R. Acad.
vitt?...) impose f’emploi de mod&les stochastiques qui permettent la &solution d’un scCnario d’&oulement ou de transport sur n C(images ~quiprobables >> du r&ervoir. Mais la r&olution du transport par des m&hodes classiques eulCriennes, lagrangiennes ou mixtes (Konikov et Bredehoeti, 1978 ; Bear et Verruitj, 1987 ; Uffink, 1988 ; Lenormand, 1995) traite d’une equation parabolique qui nkcessite, darts le cas de milieux h&&og&nes, une disc&
Sci. Poris, Sciences
de lo tefre
et des plon&tes
/ &r/h
& P/ane~u~sCisnces 1998.327. bbi-657
Transport des contaminants tisation spatiale et temporelle des plus fines, afin de s’affranchir des probkmes de stabilite et de dispersion numbrique. Le modele MAGES, en tours de dkveloppement ZI l’lnstitut national de recherche scientifique au Quebec (INRSEau) r&out les bquations des moments temporels (EMT). Elles sont elliptiques, indkpendantes du temps et fournissent en une seule operation les valeurs des moments temporels de la concentration en effluent. Elles renseignent directement le gestionnaire : le moment d’ordre z&o (M,,) indique la masse pass&e en un point, le rapport M,/M, donne le temps moyen de rksidence du polluant et la valeur M,/M, - (M1/M$ reprkente la variance. lndirectement, il est possible de reconstituer I’&olution de la concentration en fonction du temps sur I’ensemble du domaine modeli& (Delay et al., 1998a). Le principe des EMT est tout d’abord succinctement prksente, puis une skrie de tests de validation est proposee. La rkolution du transport de solutb en advection-dispersion avec les EMT est confrontee a la solution analytique classique en &oulement bidimensionnet pour un milieu homoghne. Ensuite, les EMT sont comparees B un mod&le eukrienlagrangien (Enhanced Partide Tracking, EPT ; Delay et al., 1996) en milieu h&?rogPne.
2. Principe temporels
des equations
des moments
Les d&ails thboriques permettant d’obtenir les EMT ne seront pas abordb ; ils sont developpes dans deux articles @cents (Delay et al., 1998 a, b), auxquels le lecteur intkessk pourra se reporter. Soit C(t) la concentration en un point Xde I’espace (refkence ZI la dimension d’espace, non rappel&e afin d’allbger I’kcriture) au temps t; son moment temporel d’ordre n, tronqui, entre deux temps finis 7, et TV s’krit :
Par extension, si les temps z, et 12 valent respectivement 0 et + m, on parle alors de moment complet note M,. La pseudo-transformee de Laplace de la concentration entre 7, et z2 s’kcrit : 1* (C(f)),=
TL exp( - st) C( t) dt
1* (s) =
(2)
s Tl
avec s, la variable de Laplace. Dkrivee ;1 I’ordre n par rapport & s, puis faisant tendre s vers z&o, I’expression (2) permet d’obtenir le moment d’ordre n :
a”L* (5) sr2 --..-..-=(-I)” t”
Supposons l’existence du transport advectif-dispersif d’une concentration mobile C(t) en presence d’une concentration immobile de la m$me espke I(t). Les Cquations de conservation de la masse du solute et d’khange entre les concentrations mobile et immobile, selon une cinktique d’ordre 1, s’krivent respectivement :
$=B(KC- I)
avec vi [L,T-‘I la vitesse moyennede poredans la direction xi, D, [L2~T~~‘] une composante du tenseur de dispersion, w, (sans dimension) la fraction volumique moblle du milieu poreux (porosit& cirkmatique), wi la fraction volumique immobile du milieu poreux, /I [T-‘I la vitesse d’khange, K (sans dimension) le rapport /(/CO 2 I’Cquilibre entre les phases et g IM.L-3,T-‘l un terme puits-source local, dont on suppose qu’il ne puisse tendre vers I’infini entre z, et r2. L’application des transformees de Laplace aux equations (4) et (5) et leur derivation pour un param&re s tendant vers z&o permettent d’obtenir les &quations des moments temporels tronqu& d’ordre n (n E 10. ..+m[). En posant YJ( 1 I’opkateur aux dkivkes partielles du membre de gauche de I’kquation (4) et IE le rapport wi/w,, on obtient des Gquations elliptiques, indtpendantes du temps :
WM;
Y(M)=-w,.n(l
*
lim
540
c
(s) 8s"
C. R. Acad. Sci. Paris. Sciences 1998.327.661-667
1
= (-
de la terre
l)“M; et des plan&es
(6b)
avec Q’, le moment d’ordre n du terme puits-source. Dans le cas particulier du calcul de moments complets ( z1 = 0, T2 = + -), en supposant toutes les concentrations nulles en 72, et en I’absence de cin&ique d’bchange se traduisant par un rapport i = oi/w, = 0, I’expression (6) se simplifie, donnant ainsi les EMT en advection-dispersion simple pour des moments complets : !P(M,) = - u, C(O) Y’(M,) = - w, /7 M,
(3)
@ia)
+;IKJM:,-,
+ w, (C(T,) T; -CC+:)+qQ:,
71
a”l* ~
)=w,(C(Z,)-C(T,))
+ w, Ml(z,) - k,l)) + 0,. 0;;
exp( - st) C( t) df
c?S"
(5)
(74 , + u, Q,,
En tant que tels, les moments temporels constituent information significative sur le transport. Cependant,
/ &Y~WI & Pkv-tetcxy
Sciences
(7b) une il est
663
G
Pore1
et al.
Figure 1. Exemples de rcisultats fournis par MACES. A. Distribution du moment temporel d’ordre z&o (approximation de la masse pas&e en un point). 6. Rapport Al, /MO (temps moyen de s&jour du traceur). C. Temps de premiPre- arriv6e. D. Nuage du traceur ?I un temps fix& ‘$1 1,‘ Examples of results provided by MACES. A. Spatial distribution of zeroth moment, i.e. approximation of the mass
:-
L-
possible de calculer I’6volution des concentrations en fonction du temps a partir des moments temporels. Deux techniques sont d&rites par Delay et al. (1998a, 1998b3, une troisitime par Harvey et Gorelick (1995). A titre d’il-
figure I (B),
en
reportant
le
rapport
3.1. Milieu analytique
spatiale des vaA) donne le front une appr&ciation du domaine. La
M, /MO, donne
1, C), ou encore 2 un temps
l’&at tdonn6
avec
la solution
Y, t> =
des concentra(figure 7, D).
(8)
numbrique
Cla
concentration
u la porosit6
de stabilitk et de de tests de validation
Sci
cinematique
[-I,
e I’6paisseur
injectbe
[MI
;
de I’aquif&e ;i de
Le domaine mod6lis6 a et6 disc&i& en mailles car&es de quatre unit& de longueur 111 (figure 2, A), et I’Gcoulement s’effectue vers I’est a une vitesse moyenne de 1 [L.T-‘I. La dispersivite tante, 4 [Ll pour la dispersivitk transversale
dispersion ont 6tP
C. R. Acad.
M la masse
[M-L--“I,
IL], D,, D, les dispersions longitudinale et transversale [L2.T-‘] x, y les distances dans I’axe et perpendiculaires I’ecoulement [Ll, t le temps [T] et v la vitesse moyenne pore [L+T-‘I.
outil de gestion. Malgre la simplicit6 du code, le calcul reste tres performant et n’engendre pas d’instabilitb numerique, ce qui n’est pas le cas des 6quations paraboliques A des probl&mes Deux series
Comparaison
bidimensionnel uniforme, la reponse en ti une injection brPve ponctuelle un milieu infini, s’&rit (Bear et Verruijt,
C(x
La resolution discrete cles EMT utilise un schema de diffkrences finies centrees, dont la motivation essentielle est la facilite de mise en owvre, de maintenance et d’&olution du code informatique, elements indispensables a un
assujetties numerique.
point.
1987) :
le
avec
3. Validation
homogi?ne.
En 6coulement advection-dispersion d’un solute dans
temps moyen de sbjour du polluant. Les autres exemples utilisent un calcul des concentrations pour obtenir les isochrones du temps de premi&e arriv6e du contaminant en tout point (figure tions dans le domaine
a
me&es et, pour plus de contraintes, les comparaisons entre les diffkrentes m&hodes (EPT, EMT et solution analytique) s’effectuent directement avec les courbes d’&olution de la concentration avec le temps.
lustration, la figure 1 montre quelques exemples de r&ultats possibles sur un sc6nario correspondant 3 un transport advectif-dispersif qui sera d&ail16 plus loin au chapitre 3 (Validation num&;que). La distribution leurs de moments d’ordre z&o (figure 7, d’emprunt du nuage de contaminant et de la masse totale pas&e en tout point
reaching
B. Ratio M, /MO, i.e. mean travel time of the tracer. C. First arrival time. D. Tracer plume for a given time.
Paris.
Sciences
de
la terre
longitudinale
du
figure 2 et 2 [Ll pour
et des
&ant plan&es
dix
fois
/ ECIWJ
milieu est consla figure 3, la plus faible. Les
& PlanetarySciences 1998.327.661-667
Transport
Figure 2. Comparaison EMT-solution analytique en milieu homog$ne. L%coulement principal se fait d’ouest en est, les dispersivit& longitudinale et transversale sont respectivement de 4 [LI et 0,4 111. A. Position de I’injedion b&eve ponctuelle (Croix) et des points d’observation (rends). 6. Courbes concentration-temps dans f’axe principal d’koulement. C, D. Courbes concentration-temps en des points &art& de I’axe principal. Pour I’ensemble des courbes, les lignes continues rep&sentent la solution analytique et les points, la solution des EMT. Comparison between TME and an analytical solution in a homogeneous medium. The main flow direction is eastward, the longitudinal and transverse dispersivity values are of 4 [L] and 0.4 [Ll. A. Location of the brief point injection (cross) and of the observation points (dots). B. Curves of concentration versus time along the main flow direction. C, D. Concentration curves for observation points away from the main flow direction. For all the curves, solid lines correspond to the analytical solution and dots to the solution bv TME.
10 14 12 I
Figure 3. MCme comparaison que pour la figure 2. Seules les dispersivites sent modifit5es et valent respectivement 2 [L] et 0,2 [L] pour les composantes longitudinale et transversale. :sasam Same comparison as in figure2. Only the dispersivity is modified with 2 LL1 and 0.2 [LI for longitudinal and transverse values, respectively. C. R, Acad. Sci. Paris, Sciences 15’98.327,661-667
de la terre
et des plan&es
/ Earth & P/anefcvy
Sciences
des contaminants
G. Pore1
et al.
observations se font dans I’axe principal d’ecoulement a une distance de 48, 88, 128 et 168 [L], puis pour x = 168 [LI, a une distance y de 8, 16, 24, 32, 40 et 48 [Ll (figures 2, A et 3, A). Dans I’axe, les solutions calculees par les EMT sont identiques a la solution analytique (figures 2, B et 3, B). Perpendiculairement a I’axe d’ecoulement, les solutions EMT s’ecartent de la solution analytique lorsque le rapport y/x est superieur a l/5. Les differences sont faibles pour le milieu s fortement dispersif )) (figure 2, D, courbes T5 et T6) ; elles deviennent plus importantes pour le milieu (( faiblement dispersif )) (figure 3, D, courbes T.5 et T6). Les concentrations deduites des EMT &ant toujours legerement plus elevees que celles de la solution analytique, la methode numerique proposee n’est done pas tout a fait exempte de dispersion numerique, phenomene d’autant plus sensible que le milieu est convectif. Cependant, les concentrations calculees loin de I’axe d’ecoule-, ment sont tres faibles et la masse transitant ne represente des lors qu’une partie infirne de la masse totale transitant dans le milieu. 3.2. EPT
Milieu
h&&og+ne
- Comparaison
avec
la mkthode
La comparaison en milieu heterogene est plus delicate. Elle necessite le choix d’une methode fiable, exempte (ou presque) de dispersion numerique. Le choix s’est Porte sur I’EPT, methode numerique hybride entre la marche au hasard et les differences finies (Delay et al., 1996). Les resultats obtenus par I’EPT sont pris comme solution de reference, en raison de la precision reconnue de la methode. Le domaine modelise a ete discretise en 3 348 mailles de calcul (62 x 54 mailles de 4 [LJ). Le champ de conductivite hydraulique (KJ, dont les valeurs, de bonne organisation spatiale, sont comprises entre 0,8 et 35 L.T-‘, est
obtenu par simulation sequentielle gaussienne, puis recuit simule (figure 4). Un gradient hydraulique imposede 5% pour un ecoulement vers I’ENE et une porosite cinematique constante de 0,05 donnent des vitesses moyennes de pore comprises entre 0,l et 2,4 [L.T-‘I. Les dispersivites longitudinale et transversale sont constantes dans chacurie des mailles et valent respectivement 4 et 0,4 [Ll. Une injection breve ponctuelle de solute est realisee sur la maille d’injection (x = 38, y = 30). L’etat du nuage au temps 100 [T] est represent& sur la figure 5 (A). Les courbes d’isoconcentration calculees par les EMT ou I’EPT sont similaires, except6 dans la zone sud-ouest, oti les EMT montrent un plus fort gradient transversal de concentration. Dans cette zone, les vitesses moyennes de pore sont relativement faibles et le schema de resolution en differences finies des EMT a quelques difficult& a propager par dispersion transversale une valeur significative du moment d’ordre zero (M,,). Rappelons qu’au plan theorique, dans un modele eulerien en differences finies, il faudrait que le rapport dispersivite transversale /pas de maille soit superieur a l/2. La contrainte est nettement moins severe sur les equations stationnaires des moments. L’erreur de dispersion des EMT entraine une absence de traceur, qui est pourtant detecte par I’EPT. Avec I’EPT et en utilisant une discretisation spatiale deux fois plus fine (13 392 mailles), les resultats sont strictement identiques a ceux obtenus avec des mailles de 4 [Ll, confirmant ainsi la validite de la solution de reference. Au demeurant, la difference entre I’EPT et les EMT ne concerne qu’une partie reduite du nuage de traceur et, si l’on compare maintenant les courbes de restitution calculees en differents points du domaine (figure 5, B, C et D), on remarque que les deux methodes donnent des resultats tres comparables en termes de distribution des temps de sejour et de concentrations.
Figure 4. Champ de condudivit6 g&ne 2-D de 3 348 blocs car& Wchelle de gris sont exprimees .i ‘,v:w0 Hydraulic of 3 348 expressed C. R. Acad.
Sci. Paris,
Sciences
conductivity square blocks in IL.T-‘I. de
IQ terre
hydraulique d’un milieu h&&ode 4 [LI de cot& Les valeurs de en [L-T-‘I.
field of a 2-D heterogeneous of 4 IL] length. The gray
et des
plan&es
/ Earth
medium made scale values are
& Planetary
Sciences
1998.327,661-667
Transport des contaminants Figure 5. Comparaison des EMT et d’un mo&ie eulbrien-lagrangien (Enhanced Particle Tracking, EPT) pour un transport en milieu hMrog&ne (description sur la figure 4). A. hat du nuage de traceur au temps 100 [T] apres une injection b&e ponctuelle au point indiquC par une Croix. Lignes continues pour I’EPT et Iignes discontinues pour les EMT. B, C, D. Courbes concentration-temps aux points d’observation (points sur le schCma A, les temps modaux les plus courts correspondent aux points les plus proches de I’injection). Traits pleins pour I’EPT et points pour les EMT. :j;q4?“$& Comparison eulerian-lagrangian
between
TME and an model (Enhanced Particle Tracking, EPT) for a transport in heterogeneous medium (depicted in figure 4). A. Tracer plume spreading at time 100 [T] in response to a brief point injection at the location pinpointed by a cross. Solid lines for EPT and dashed lines for the TME. 6, C, D. Curves of the concentration versus time at observation points (dots in 5A, the shorter the modal time, the closer to the injection point). Solid lines for EPT and dots for TME.
4. Conclusion Bien que MAGES ne soit pas patfaitement exempt de de dispersion numerique, le sch6ma de diffkrences finies appliquk aux equations stationnaires des moments est nettement plus (( stable Nque son homologue appliqu& a I’bquation classique du transport. De fait, tout en fournissant un resultat equivalent 5 celui d’un modPIe classique de transport, MACES est surtout beaucoup plus rapide, puisqu’il ne nkcessite pas d’itkations sur le temps. La duplication d’un m@me sc&nario de pollution, en vue
tout probkme
d’une evaluation des incertitudes, devient realisable pour le gestionnaire. Cet avantage occufte en grande partie les ICg&es imprkisions numeriques dues au schema discret utilis6 pour ce travail. Bien qu’une telle dkmarche s’karterait partiellement de la philosophie de MACES, les EMT peuvent, en cas de besoin, s’accommoder d’un schema numCrique plus performant, comparable aux mod&les sophistiques de transport. Bien entendu, elles conservent I’avantage d’une absence de toute contrainte sur le temps, facteur amkliorant la stabilitk numkique et la vitesse de calcul.
Remerciemenh. Les auteurs souhaitent remercier le Programme national de recherche en hydrologie, le ministke de I’Environnement et de la Faune du Qu&bec, le National Sciences and Engineering Research Council of Canada pour leur contribution financibre 6 ce travail.
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planetes
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