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Modélisation semi-empirique des écoulements et des transferts dans un milieu poreux en régime turbulent
International Journal of Refrigeration 26 (2003) 349–359 www.elsevier.com/locate/ijrefrig
Mode´lisation semi-empirique des e´coulements et des transferts dans un milieu poreux en re´gime turbulent D. Flicka, A. Leslousb, G. Alvareza,* a
UMR Ge´nie Industriel Alimentaire: Cemagref, ENSIA, INA-PG, INRA INAPG Rue Claude Bernard 75231 Paris Cedex 05, France b UMR Ge´nie Industriel Alimentaire: Cemagref, ENSIA, INA-PG, INRA Cemagref, BP 44, 92163 Antony Cedex, France Rec¸u le 25 mars 2001; rec¸u en forme re´vise´e le 22 janvier 2002; accepte´ le 9 septembre 2002
Re´sume´ Le mode`le propose´ permet de pre´dire les e´coulements turbulents et les transferts thermiques au sein d’un empilement d’objets conside´re´ comme un milieu poreux. Il relie l’intensite´ des transferts entre le fluide et les objets aux valeurs locales de la vitesse et du taux de turbulence. La variation de l’e´nergie cine´tique turbulente est pre´dite par une e´quation de transport inspire´e de la litte´rature et qui est ge´ne´ralisable en plusieurs dimensions. Les parame`tres du mode`le ont e´te´ identifie´s expe´rimentalement pour un empilement de sphe`res d’un taux de vide de 34%, notamment d’apre`s des mesures par ane´mome´trie laser effectue´es a` l’aval de l’empilement. L’e´cart moyen entre les coefficients de transfert pre´dits et mesure´s pour diffe´rentes vitesses de´bitantes et positions dans l’empilement est de 5%. # 2003 Elsevier Science Ltd and IIR. All rights reserved. Mots cle´s : Transfert de chaleur ; Transfert de masse ; Fluide ; E´coulement ; Milieu poreux ; Mode´lisation
Semi-empirical modeling of turbulent fluid flow and heat transfer in porus media Abstract The model allows the prediction of turbulent fluid flow and heating transfers inside a stack of obstacles, which is considered as a porous media. The heat transfer intensity between fluid and particles is related to the local values of velocity and turbulence intensity. The turbulent kinetic energy is predicted by a transport equation inspired from literature, which can also be used for two-dimensional flow patterns. Model parameters were experimentally identified for a stack of spheres with a void fraction of 34%. Laser anemometer measurements were performed upstream the from stack. Heat transfer coefficients were measured at different positions in the stack and for different flow rates. The standard error between measured and predicted coefficients is 5%. # 2003 Elsevier Science Ltd and IIR. All rights reserved. Keywords: Heat transfer; Mass transfer; Fluid; Flow; Porous medium; Modelling
* Corresponding author. Tel.: +33-140-966-017; fax: +33-140-966-075. E-mail address: [email protected] (G. Alvarez). 0140-7007/03/$30.00 # 2003 Elsevier Science Ltd and IIR. All rights reserved. PII: S0140-7007(02)00084-1
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Nomenclature
a,b,c A C" C Cd Cp D dm
d1,d2 k
k0
ko k1 K L n Nu Pr p p Pk q~ int q
Re
coefficients de la corre´lation pre´disant le nombre de Nusselt surface spe´cifique (m2/m3) coefficient de l’e´quation de transport de " coefficient de Forchheimer coefficient de traıˆne´e capacite´ thermique massique (J kg1 K1) diame`tre des particules (m) distance a` l’aval de l’empilement ou d’une grille ou` est effectue´e la mesure des vitesses moyennes et de leurs fluctuations (m) parame`tres (m) moyenne spatiale sur la phase fluide de l’e´nergie cine´tique turbulente correspondant aux fluctuations temporelles de la vitesse locale k0 ¼ 12 u~ 02 (m2 s2) e´nergie cine´tique turbulente correspondant aux fluctuations temporelles de la moyenne spatiale de la vitesse k0 ¼ 2 2 1 ~ 0 2 (m s ) 2 u valeur de k a` l’amont (m2 s2) valeur d’e´quilibre de k (m2 s2) perme´abilite´ (m2) profondeur du milieu poreux (m) nume´ro de la range´e nombre de Nusselt: h D / l nombre de Prandtl: Cp / l pression (Pa) perte de charge (Pa) production d’e´nergie cine´tique turbulente par unite´ de masse (m2 s3) vecteur densite´ de flux de chaleur (Wm2) densite´ de flux de chaleur moyenne sur l’interface d’une particule avec le fluide (Wm2) nombre de Reynolds: ðvD 1Þ faisant intervenir la vitesse interstitielle moyenne: v/f
1. Introduction Le chauffage ou le refroidissement, par convection force´e d’air, d’empilements de produits pose souvent des proble`mes d’he´te´roge´ne´ite´ de traitement. C’est le cas, par exemple, pour la re´frige´ration des fruits ou des le´gumes conditionne´s en cagettes. Certains produits, situe´s derrie`re des parois non ajoure´es des cagettes, sont insuffisamment refroidis, ce qui peut conduire a` des
T D Ef T Tp.int Tu Tux Tux mes
u~ u~ u~0 u~ 0 u~ v~
x t
" l
et le diame`tre hydraulique moyen des pores: (2/3) D / (1-) moyenne temporelle de la tempe´rature locale (K) moyenne temporelle et spatiale de la tempe´rature sur la phase fluide (K) tempe´rature des particules a` l’interface (K) taux de turbulence pffiffiffiffiffi au sein du milieu poreux Tu ¼ 2k=v~ taux de turbulence mesure´ sur la compoqffiffiffiffiffiffi sante selon x de la vitesse Tux ¼ ux0 2 =ux moyenne de me´lange du taux de turbulence selonsur la section de mesure situe´e a` 100 mm a` l’aval de l’empilement vitesse locale instantane´e (m s1) moyenne temporelle de la vitesse locale (m s1) fluctuation temporelle de la vitesse locale (m s1) moyenne spatiale de la vitesse instantane´e (m s1) fluctuation temporelle de la moyenne spatiale de la vitesse (m s1) moyenne spatiale de la E etD temporelle vitesse v~ ¼ u~ ¼ u~ encore appele´e vitesse de´bitante (m s1) direction de l’e´coulement (m) coefficient du terme line´aire de la loi de perte de charge (m2) diffusivite´ thermique turbulente (m2 s1) coefficient du terme quadratique de la loi de perte de charge (m2) coefficient du terme de production d’e´nergie cine´tique turbulente(m1) coefficient du terme de dissipation d’e´nergie cine´tique turbulente (m1) taux de dissipation d’e´nergie cine´tique turbulente par unite´ de masse (m2 s3) conductivite´ thermique (Wm1 K1) viscosite´ dynamique mole´culaire (Pa.s) taux de vide masse volumique (kg m3)
de´veloppements microbiens, alors que d’autres sont soumis a` des vitesses d’air importantes, ce qui peut entraıˆner des dessiccations et des pertes de qualite´ importantes [1]. Cette he´te´roge´ne´ite´ de traitement est due, d’une part, au re´chauffement progressif de l’air a` travers l’empilement de produits, d’autre part, a` des variations du coefficient de transfert entre l’air et la surface des produits. Dans le cas de re´seaux pe´riodiques d’objets sou-
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mis a` un e´coulement d’air unidirectionnel, des corre´lations existent pour relier le nombre de Nusselt a` un nombre de Reynolds, a` la ge´ome´trie (alignement en ligne ou quinconce´, rapports entre les espacements et le diame`tre), e´ventuellement a` la turbulence a` l’amont de l’empilement et a` la position de la range´e dans le sens de l’e´coulement [2,3]. De telles corre´lations ont notamment e´te´ de´veloppe´es pour le dimensionnement des e´changeurs multitubulaires [4]. Dans le cas d’un e´coulement bidimensionnel, pre´sence de chicanes dans un e´changeur par exemple, la direction de l’e´coulement est quelconque par rapport a` l’alignement des objets. La notion de range´e et la distinction entre espacements transversal et longitudinal perdent alors leur sens. Il en est de meˆme pour des empilements non pe´riodiques. C’est pour cela que nous avons cherche´ un indicateur de l’e´volution du coefficient de transfert local en fonction de la pe´ne´tration dans l’empilement. Nous nous inte´ressons au cas ou` la dimension des produits est relativement importante (diame`tre de plusieurs centime`tres). Les e´coulements sont alors en ge´ne´ral turbulents. En effet, d’apre`s Dybbs et Edwards [5], pour un nombre de Reynolds supe´rieur a` 300, on observe des fluctuations de vitesse au sein du milieu poreux. Il est bien connu que le taux de turbulence a une influence importante sur l’intensite´ des transferts; diffe´rents auteurs [6,7] ont propose´ des corre´lations pour tenir compte de cet effet au niveau d’objets isole´s. Re´cemment des corre´lations similaires applicables au sein d’un milieu poreux ont e´te´ propose´es [8]. Ge´ne´ralement, les taux de turbulence au sein des milieux poreux sont plus importants que dans l’e´coulement a` l’amont de l’empilement [9]. En effet, les phe´nome`nes de blocage et de sillage ge´ne`rent des fluctuations de vitesse qui peuvent eˆtre plus importantes que la vitesse de´bitante. Nous proposons d’interpre´ter la variation du coefficient de transfert avec la range´e, observe´e dans le cas d’un e´coulement unidirectionnel, par la variation progressive de la turbulence au sein de l’empilement par rapport a` la turbulence amont. L’objectif de l’e´tude est de proposer un mode`le base´ sur une e´quation de transport de l’e´nergie cine´tique turbulente (valable indiffe´remment pour un e´coulement uni-, bi- ou tridimensionnel) et une corre´lation tenant compte localement de l’effet de la turbulence sur l’intensite´ des transferts, puis, d’identifier les parame`tres du mode`le pour un empilement de sphe`res.
2. Approches des e´coulements turbulents en milieux poreux La premie`re phase de la mode´lisation consiste a` pre´dire le champ des vitesses et de l‘e´nergie cine´tique turbulente dans le milieu poreux. Un mode`le e´le´mentaire
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permettant de pre´dire les e´coulements dans un milieu poreux en re´gime laminaire et pour de tre`s faibles vitesses (Re< 10) est la loi de Darcy [10] qui postule que la perte de charge est proportionnelle a` la vitesse de´bitante. Cette approche a ensuite e´te´ ge´ne´ralise´e aux e´coulements a` plus grande vitesse, en introduisant un terme quadratique. Ainsi, Ergun [11] a propose´ une corre´lation pour la perte de charge a` travers un lit de sphe`res en fonction de sa porosite´: p 150 v ð1 Þ2 ¼ L D2 3 2 1:75 v ð1 Þ p 3 þ ( ) L ð1 Þ 3 D v2 D 150 þ 1:75 ¼ Re vD avec Re ¼ ð1 Þ
ð1Þ
Pour les e´coulements bi- ou tri-dimensionnels, cette approche empirique est applique´e dans la direction du gradient de la pression. On peut e´ventuellement tenir compte de l’anisotropie du milieu poreux en introduisant une perme´abilite´ tensorielle: C ~ p ¼ v~ þ p ffiffiffiffi v~ v~ r ð2Þ K K Pour un lit de sphe`res, d’apre`s Ergun, on a: K¼
3 D2 2 150 ð1 Þ
1:75 C ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffi 3=2 ¼ 0:1433=2 150
ð3Þ ð4Þ
Il est e´galement possible d’obtenir des e´quations similaires, incluant des termes d’inertie et de diffusion de la quantite´ de mouvement, en partant des e´quations de Navier-Stokes (valables sur l’espace offert a` l’air) en effectuant une moyenne spatiale sur la phase fluide. On aboutit ainsi aux e´quations de Darcy-Forchheimer :
@ v~= ~ v~= þ v~= r @t
~ r ~ v~= þ r ~ v~= t r C ~ p v~ p ffiffiffiffi v~ v~ ¼ r K K
ð5Þ
Pour un e´coulement turbulent, la vitesse locale instantane´e u~ est sujette a` des fluctuations temporelles u~0 . On de´finit une vitesse moyenne, spatiale et temporelle, encore note´e v~ et appele´e vitesse de´bitante:
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v~ x; y; z 1 ¼ DxDyDz
ð Dx=2 ð Dy=2 ð Dz=2 Dx=2 Dy=2 Dz=2
!
1 Dt
ð Dt=2
k¼
u~
1D 2
*
u 02
Ef
1 D* 02 E u ; ¼2
D E * * 02 notons que u 02 6¼ u
ð8Þ
Dt=2
x þ x0 ; y0 þ y0 ; z0 þ z0 ; t dt dx0 dy0 dz0
ð6Þ
D E * * ¼ u ¼ u x, y et z repre´sentent les dimensions d’un volume de controˆle, a priori petit devant l’e´chelle de l’empilement et grand devant celui des particules et t est une e´chelle de temps grande devant celle des fluctuations les plus lentes de la vitesse (par la suite, l’e´coulement est suppose´ permanent en moyenne). Les frottements turbulents e´tant en ge´ne´ral proportionnels a` l’e´nergie cine´tique du fluide, l’e´quation du mouvement portant sur la moyenne spatio-temporelle de la vitesse a la meˆme forme que l’e´quation de DarcyForchheimer, moyennant une e´ventuelle modification du parame`tre C. Pour la de´finition de l’e´nergie cine´tique turbulente et la formulation de l’e´quation de transport correspondante, deux approches sont possibles. La premie`re, de´veloppe´e par Antohe et Lage [12], consiste a` prendre une moyenne spatiale des e´quations de Navier-Stokes aboutissant ainsi a` des e´quations du type Darcy-Forchheimer re´ gime transitoire) portant sur (en 0 0 u~ ¼ u~ þ u~ ; ou` u~ repre´sente les fluctuations temporelles de la moyenne spatiale de la vitesse. Puis, on effectue une moyenne temporelle de ces e´quations et on obtient une e´quation de transport pour l’e´nergie cine´0 tique turbulente de´finie a` partir de u~ : 1 * 02 ð7Þ k0 ¼ u 2 Pour un e´coulement unidirectionnel, Antohe et Lage [12] montrent que ce type d’e´nergie cine´tique turbulente tend vers ze´ro lorsque l’e´coulement est e´tabli, c’est-a`dire apre`s un grand nombre de range´es, ce que l’on peut traduire par le fait que les fluctuations de vitesse a` une e´chelle plus grande que les particules sont entie`rement amorties dans le milieu poreux. Comme ce type de turbulence n’a pas d’influence directe sur les transferts mais joue un roˆle dans les diffusions a` grande e´chelle, cette approche n’est pas ade´quate. La deuxie`me approche, de´veloppe´e par Nakayama et Kuwahara [13], consiste a` prendre d’abord une moyenne temporelle des e´quations de Navier-Stokes en posant u~ ¼ u~ þ u~0 : On aboutit aux e´quations de Reynolds que les auteurs proposent de fermer avec le mode`le k-" standard de Launder et Spalding [14]. Ils effectuent ensuite une moyenne spatiale et obtiennent une e´quation de transport pour la moyenne spatiale de l’e´nergie cine´tique turbulente de´finie a` partir de u~0 :
Ces auteurs proposent finalement un mode`le du type k-" adapte´ a` un milieu poreux qui, pour un e´coulement unidimensionnel, s’e´crit: dk ¼ Pk " dx
2 P d" "2 ¼ c" k v dx k1 k
v
ð9Þ ð10Þ
ou`Pk et e repre´sentent respectivement la production et la dissipation d’e´nergie cine´tique turbulente par unite´ de volume du milieu poreux. Cette forme d’e´nergie cine´tique turbulente tend vers une constante k1 lorsque l’e´coulement est e´tabli, ce que l’on peut traduire par le fait qu’apre`s un certain nombre de range´es, les fluctuations de vitesse au sein des pores tendent vers une valeur d’e´quilibre entre production et dissipation. Or, le coefficient de transfert entre les objets et l’air tend, lui aussi, vers une constante en fonction de la range´e [15]; c’est pourquoi nous essayerons de le corre´ler a` la turbulence de´finie par cette deuxie`me approche. Nakayama et Kuwahara [13] ont par ailleurs re´alise´ des simulations nume´riques sur un milieu poreux bidimensionnel pe´riodique (carre´s positionne´s en quinconce) a` partir desquelles ils proposent des expressions de Pk et de k1 en fonction de la porosite´ et de la dimension caracte´ristique des objets: Pk ¼ 39ð1 Þ5=2 =Dv3 k1 ¼
3:7ð1 Þ 2 v 1=2
ð11Þ ð12Þ
Green [16], pour des e´coulements a` travers des couverts ve´ge´taux, a propose´ une approche plus pragmatique consistant a` ajouter des termes supple´mentaires aux e´quations de Reynolds et du mode`le k-", pour tenir compte de la pre´sence des obstacles par rapport a` un milieu libre. Les forces de traıˆne´e par unite´ de masse (terme source de quantite´ de mouvement) sont repre´sente´es par un terme quadratique similaire au terme de Forchheimer: C 1 pffiffiffiffi v~v~ ¼ Cd Av~v~ ð13Þ 2 K avec Cd: coefficient de traıˆne´e et A: surface spe´cifique. Le terme supple´mentaire de production d’e´nergie cine´tique turbulente est suppose´ e´gal a` la puissance de ces forces de traıˆne´e, c’est-a`-dire que l’e´nergie retire´e du mouvement moyen du fait des forces de traıˆne´e est transforme´e en e´nergie cine´tique turbulente (premie`re e´tape d’une cascade de Kolmogorov):
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3 1 C 3 Pk ¼ Cd :Av~ ¼ pffiffiffiffi v~ 2 K
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Enfin, un terme supple´mentaire de dissipation d’e´nergie cine´tique turbulente proportionnel a` k et a` v est propose´: C ð15Þ " ¼ 2Cd Av~k ¼ 4 pffiffiffiffi v~k K
mode`le a` une e´quation peut se justifier par le fait que l’e´chelle caracte´ristique de la turbulence ge´ne´re´e dans le milieu poreux est tre`s lie´e a` celle des particules. Les transferts thermiques au niveau de l’interface entre les particules et le fluide peuvent eˆtre caracte´rise´s par un coefficient de transfert, de´fini par [17]: int q h¼ ð19Þ Tf Tp:int
Notre objectif n’est pas de pre´dire pre´cise´ment l’e´nergie cine´tique turbulente au sein du milieu poreux mais de construire un mode`le simple, utilisable pour des e´coulements bi- ou tri-dimensionnels, capable de pre´dire l’e´volution du coefficient de transfert a` travers un empilement d’objets. Les parame`tres de ce mode`le doivent eˆtre peu nombreux et faciles a` estimer, c’est pourquoi nous avons choisi une approche semi-empirique.
D Ef ou` Tf ¼ T est la moyenne temporelle et spatiale de la tempe´rature sur la phase fluide et Tp.int la tempe´rature des particules a` l’interface, conside´re´e comme uniforme int sur une particule q est la densite´ de flux de chaleur moyenne sur l’interface particule/fluide. Pour un empilement de sphe`res, Wakao et Kaguei [18] proposent une relation inde´pendante de la turbulence:
ð14Þ
Nu ¼ 3. Mode`le propose´ Pour le mouvement moyen, nous ne´gligeons, dans l’e´quation de Darcy-Forchheimer, les termes d’inertie et de diffusion. Nous introduisons ainsi deux coefficients, l’introduction d’un terme de diffusion aurait ne´cessite´ au moins un parame`tre supple´mentaire pour de´finir une viscosite´ turbulente. Les e´quations de conservation de la masse et de la quantite´ de mouvement s’e´crivent: ~ v~ ¼ 0 r
ð16Þ
~ p ¼ v~ þ v~v~ -r
ð17Þ
Comme Nakayama et p Kuwahara [13], nous suppoffiffiffiffi sons que =1/K et =C/ K sont inde´pendants du taux de turbulence. Dans la relation (17), repre´sente la viscosite´ dynamique mole´culaire; le calcul du niveau de turbulence n’est utilise´ que pour l’aspect thermique. L’e´nergie D E cine´tique turbulente est de´finie par: * k ¼ 0:5 u 02 =; dans son e´quation de transport, on ne´glige les termes de diffusion. Le terme de production est suppose´ proportionnel au cube de la vitesse, comme celui propose´ par Nakayama et Kuwahara [13]. Par contre le taux de dissipation de l’e´nergie cine´tique turbulente n’est pas calcule´ par une e´quation de transport mais donne´ par une relation similaire a` celle propose´e par Green [16] pour son terme additionnel afin de re´duire le nombre de parame`tres a` identifier: 3 ~ k~ r v ¼ v~ kv~
ð18Þ
Dans des mode`les a` deux e´quations du type k-", la deuxie`me e´quation permet de traduire indirectement l’e´volution de la longueur caracte´ristique de la turbulence qui est alors de l’ordre de k3/2/". L’utilisation d’un
hD ¼ 2 þ 1:1½ð1 ÞRe0;6 Pr1=3 l
ð20Þ
Cette relation inclut la conduction, mais la constante additive correspondante, de valeur 2, est ne´gligeable pour de forts nombres de Reynolds comme c’est notre cas. Par ailleurs, il conviendrait d’introduire un facteur de forme pour des objets non sphe´riques. En pre´sence de turbulence, y compris pre`s de l’interface avec une particule, la densite´ de flux de chaleur s’e´crit [13]: ~ T q~ ¼ l þ Cp t r ð21Þ ou` t est la diffusivite´ thermique turbulente. Dans un mode`le k-", la diffusivite´ turbulente est suppose´e proportionnelle a` k2/". Si l’on admet que la longueur caracte´ristique de la turbulence est de l’ordre de grandeur de celles des particules, on peut conside pffiffiffi´ rer la diffusivite´ turbulente comme proportionnelle a` kD. Ceci met en e´vidence l’influence de la turbulence sur les transferts, mais ne permet pas de conclure sur une expression quantifiant explicitement cette influence. C’est pourquoi, nous faisons l’hypothe`se que l’influence de la turbulence peut s’exprimer au sein du milieu poreux par une expression empirique similaire a` celle utilise´e pour des objets isole´s [19]: avec Nu ¼ a Reb Pr1=3 ð1 þ c:TuÞ pffiffiffiffiffi Tu ¼ 2k=v~ ¼ Taux de turbulence
ð22Þ
La valeur de a, qui de´pend de la forme des objets, de leur arrangement et du taux de vide, tient compte des effets de blocage et de sillage modifiant l’e´coulement autour de l’objet du fait des obstacles voisins. Le terme 1+cTu tient compte de l’intensification des transferts due aux fluctuations temporelles de la vitesse au sein des
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pores. On fixe l’influence du nombre de Prandtl (puissance 1/3) par rapport aux corre´lations propose´es pour des objets isole´s, mais il faudrait en ve´rifier la validite´ pour d’autres fluides que l’air. Pour un e´coulement unidirectionnel, la vitesse e´tant constante, l’e´quation (18) s’e´crit: dk þ k ¼ v2 ¼ constante dx
ð23Þ
L’e´nergie cine´tique turbulente suit donc une loi exponentielle de´croissante, de la valeur initiale ko vers la valeur d’e´quilibre k1: kfx ¼ 0g ¼ k0 ) avec
k k1 ¼ e x ko k1
k1 ¼
v2
ð24Þ
Pour un e´coulement bidimensionnel, la re´solution des e´quations devrait se faire nume´riquement en utilisant une discre´tisation, par la me´thode des volumes finis par exemple.
4. Dispositif expe´rimental On dispose, pour identifier les parame`tres du mode`le, d’une veine de soufflage au sein de laquelle est place´ l’empilement d’objets. L’ensemble du dispositif est situe´
dans une cellule a` tempe´rature controˆle´e. Le milieu poreux est constitue´ de sphe`res (creuses en matie`re plastique) de 75 mm de diame`tre dans un arrangement paralle´le´pipe´dique repre´sente´ sur la Fig. 1. Le dispositif comporte un plan de sphe`res sur 5 lignes (direction y) et sur n range´es (direction x de l’e´coulement), n pouvant varier de 1 a` 5. Ces sphe`res se touchent dans les directions x et y. Au-dessus et en dessous de ce plan de sphe`res entie`res (direction z) sont dispose´es des demisphe`res, de´cale´es d’un rayon dans les directions x et y. Des demi-sphe`res sont e´galement place´es au niveau des parois late´rales. Par ce biais, la surface de frottement entre l’air et les parois late´rales, qui ne serait pas pre´sente dans un milieu infini, est re´duite au minimum. Le taux de vide moyen volumique de l’empilement est =34%. La fraction de la section transversale offerte au passage de l’air varie de min=26% a` max=51%, ce qui traduit un re´tre´cissement suivi d’un e´largissement deux fois par range´e. Pour l’identification des parame`tres, on mesure la perte de charge, au moyen d’un manome`tre a` tube incline´, avec un nombre de range´es d’objets variable. Le de´bit est mesure´ a` l’aide d’une sonde Annubar sur le conduit d’aspiration. La vitesse instantane´e dans la direction x est mesure´e a` l’amont de l’empilement, a` deux distances (30 et 100 mm) a` l’aval de l’empilement a` l’aide d’un ane´mome`tre laser (Laservec TSI 50 mW). Cet ane´mome`tre fonctionne par re´trodiffusion a` l’aide d’une diode laser de 50 mW pour une longueur d’onde
Fig. 1. Sche´ma du dispositif expe´rimental. Fig. 1. Experimental device.
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de 683 nm, l’interfrange est de 6.2 mm. La distance focale est de 450 mm, le volume de mesure de 1 mm3. La vitesse d’acquisition est de 5 kHz, la dure´e d’acquisition de 100 s, au minimum 2000 particules sont prises en compte en chaque point. L’ensemencement est re´alise´ par un brumisateur qui produit des gouttelettes d’eau d’un diame`tre moyen de l’ordre du microme`tre. La grille de mesure (un quart de la section) comporte 413 points. Les coefficients de transferts thermiques entre l’air et les diffe´rents objets sont mesure´s par la me´thode stationnaire [8] a` l’aide de sphe`res en aluminium munies d’une re´sistance chauffante et d’un thermocouple. Comme leur nombre de Biot est toujours tre`s infe´rieur a` 0.1, leur tempe´rature est uniforme. Lors des mesures, seules deux sphe`res sont chauffe´es simultane´ment, elles sont se´pare´es par des sphe`res en matie`re plastique et sont situe´es sur des lignes de courants bien distinctes de telle sorte que la tempe´rature de l’air arrivant sur ces sphe`res, qui sert de re´fe´rence dans la de´termination du coefficient de transfert, soit e´gale a` la tempe´rature ambiante (l’e´chauffement duˆ a` la perte de charge dans l’empilement est ne´gligeable). Le coefficient de transfert est une valeur moyenne sur la surface de l’objet a` tempe´rature uniforme et sans interaction thermique avec les objets voisins. Compte tenu de l’incertitude de mesure des tempe´ratures, celle du coefficient de transfert est de 4%, la re´pe´tabilite´ est d’environ 2%. La non prise en compte du rayonnement peut induire un biais maximal de 6%.
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Fig. 2. Evolution de la perte de charge norme´e par v2 en fonction de la profondeur de l’empilement. Fig. 2. Pressure drop divided by v2 versus bed depth.
5. Re´sultats et discussion
a` la sortie d’un tube reliant deux plenums (e´quivalent d’un pore reliant l’amont et l’aval de l’empilement). A la sortie d’un tube, la perte de charge est e´gale a` l’e´nergie cine´tique volumique. Par analogie, nous interpre´tons e´galement la perte de charge singulie`re que nous observons comme la dissipation de l’e´nergie cine´tique des jets a` la sortie de l’empilement. En effet, la section de passage la plus faible offerte a` l’air correspond a` min=26% de la section totale, et l’on remarque que la perte de charge singulie`re est du meˆme ordre de grandeur que l’e´nergie cine´tique correspondant a` la vitesse interstitielle sur cette section.
1 v 2 ð25Þ Dpsingulie+re ¼ 11:3 v2 ¼ 1:53 2 min
Pour des vitesses de´bitantes de l’ordre de 1 m/s, nous avons trouve´ expe´rimentalement que la perte de charge est proportionnelle au carre´ de la vitesse. Nous avons donc ne´glige´ le terme line´aire de l’expression (17) devant le terme quadratique (=0). La Fig. 2 repre´sente p/(v2) en fonction de la profondeur du lit d’apre`s des mesures re´alise´es avec 1–5 range´es de sphe`res et une vitesse de´bitante de 2 m/s; on observe une e´volution affine. Une re´gression line´aire donne la pente de la droite =319 m1; cette valeur est infe´rieure a` celle pre´vue par la loi d’Ergun: 390 m1. Ceci peut eˆtre duˆ au fait que, dans notre empilement ordonne´, il existe des passages pre´fe´rentiels dans la direction de l’e´coulement, re´duisant la dissipation d’e´nergie cine´tique lie´e aux changements de direction. Une vue de face de l’empilement permet en effet de distinguer des zones de passage de part en part du lit de sphe`res ou` l’on pourrait introduire des tiges d’environ 8 mm de diame`tre (a et b sur la Fig. 1). L’extrapolation de la droite pour une profondeur du lit nulle donne une perte de charge non nulle. Cette perte de charge, que l’on pourrait qualifier de singulie`re, est similaire a` celle rencontre´e a` l’entre´e et
La Fig. 3 pre´sente une cartographie des vitesses (ux ) et qffiffiffiffiffiffiffi des taux de turbulence (Tux ¼ u02 x =ux ) mesure´s dans la direction de l’e´coulement a` 30 mm a` l’aval d’une et de trois range´es de sphe`res pour une vitesse de´bitante de 2 m/s. Derrie`re une range´e de sphe`res, l’e´coulement ne respecte pas la pe´riodicite´ de l’empilement alors que, derrie`re trois range´es, les vitesses maximales sont observe´es a` peu pre`s au droit des centres des sphe`res. Ces vitesses maximales semblent correspondre aux derniers jets forme´s qui sont issus des passages pre´fe´rentiels du type a (Fig. 1). Les jets ont tendance a` se coller entre eux et sur les parois par effet ‘‘Coanda’’. Ceci explique sans doute la non-pe´riodicite´ observe´e sur certains champs de vitesse. Ainsi a` l’aval d’une seule range´e, on pourrait interpre´ter le champ des vitesses par la coalescence de jets issus de passages pre´fe´rentiels (du type a) situe´s coˆte a` coˆte horizontalement. Le caracte`re ale´atoire des e´coulements transitoires lors de la mise en route du ventilateur peut aussi favoriser des coalescences de jets sur une meˆme verticale ou entre des jets de types a et b. D’une fac¸on ge´ne´rale le caracte`re non-line´aire des e´quations des mouvements turbulents peut expliquer qu’une petite
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culation et de zones de me´lange (limites des jets) propices a` la production de turbulence contrairement au cœur des jets ou` les gradients de vitesse sont faibles. Les fortes he´te´roge´ne´ite´s horizontales et verticales de la vitesse et de la turbulence juste a` l’aval (30 mm) de l’empilement et la non-re´pe´tabilite´ des expe´riences du fait de la coalescence ale´atoire des jets rendent difficiles l’inte´gration des re´sultats pour obtenir des valeurs moyennes. C’est pourquoi d’autres mesures ont e´te´ effectue´es plus loin en aval (100 mm) ou` les he´te´roge´ne´ite´s sont moindres. La Fig. 4 repre´sente l’e´volution du carre´ du taux de turbulence mesure´ dans la direction x, a` 100 mm en aval de l’empilement, en fonction de la profondeur du lit (nombre de range´es). Pour cela nous avons calcule´ la moyenne de me´lange de la variance des fluctuations de vitesse en x. ð Ð 02 u dS= u ux dS S x x 2 S Tux mes ¼ ð ð26Þ 2 ux dS=S S
Fig. 3. Cartographie de la vitesse et du taux de turbulence a` 30 mm a` l’aval d’une ou de trois range´es de sphe`res (v=2 m s1). Fig. 3. Air velocity and turbulence intensity 30 mm downstream 1 of one or three rows of spheres (v =2 m s ).
anomalie sur la pe´riodicite´ de l’empilement entraıˆne la rupture des diffe´rentes syme´tries. Les vitesses maximales sont environ 3 fois supe´rieures a` la vitesse de´bitante, c’est-a`-dire de l’ordre de la vitesse interstitielle moyenne: v/. Quelques vitesses ne´gatives du coˆte´ de la paroi supe´rieure pourraient s’expliquer par des recirculations a` l’aval de l’empilement. Les taux de turbulence dans la direction x sont e´leve´s; ils de´passent 100% de la vitesse de´bitante. Encore on ne tient compte que des fluctuations de vitesse dans la direction de l’e´coulement principal. Si la turbulence pouvait eˆtre con´ e ffifficomme side´rep isotrope, il faudrait multiplier ces chiffres ffi par 3 pour obtenir un taux de turbulence tridimensionnel. Dans ce sens, les fluctuations temporelles de vitesse (a` 30 mm a` l’aval de l’empilement) sont comparables aux fluctuations spatiales de vitesse, c’est-a`-dire aux vitesses interstitielles (v/ ou v/min). Les taux de turbulence les plus e´leve´s sont plutoˆt observe´s dans les zones de faible vitesse. Il peut s’agir de zones de recir-
Il est bien e´vident que la turbulence ainsi calcule´e diffe`re de la moyenne sur la phase fluide de la turbulence au sein du milieu poreux. L’e´nergie cine´tique turbulente de l’air est transporte´e par le mouvement moyen du milieu poreux vers l’aval (au meˆme titre que l’e´nergie interne), la turbulence juste en sortie de l’empilement serait donc repre´sentative de celle de l’inte´rieur. Par contre, de`s la sortie, il y a une dissipation rapide de l’e´nergie cine´tique turbulente. Dans un cas similaire, a` l’aval de grilles, la de´croissance de k peut eˆtre approche´e par une relation de la forme suivante [20]:
2k do d1 n Tu2 ¼ 2 ¼ Tu2o ð27Þ v dm d1
Fig. 4. Evolution du carre´ du taux de turbulence mesure´ a` 100 mm a` l’aval d’un empilement en fonction de sa profondeur. Fig. 4. Square of turbulence intensity 100 mm downstream of stack of spheres versus its depth.
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ou` dm est la distance a` l’aval de la grille, do et d1 des parame`tresde´pendant de la ge´ome´trie de la grille et n est proche de 1. En fait, juste a` l’aval de l’empilement existent des zones de me´lange et de recirculation, ou` une partie de l’e´nergie cine´tique des jets sert a` la production d’e´nergie cine´tique turbulente. Enfin, en l’absence de gradient du champ moyen de vitesse, la turbulence tend a` devenir isotrope. Nous supposons ne´anmoins que la turbulence mesure´e a` une distance dm=100 mm a` l’aval de l’empilement est proportionnelle a` celle pre´sente a` la sortie du milieu poreux (x=L). Nous conside´rons que la production et la dissipation d’e´nergie cine´tique turbulente due a` la pre´sence des obstacles, re´gies par l’e´quation (18), de´butent a` l’entre´e du milieu poreux (origine de l’abscisse x, Fig. 1): 2 2 Tux mes Tux mes Tu2Tu21 kk1 1 ¼ ¼ ¼ e L 2 Tu2oTu21 kok1 mes 2 Tux mes Tu x 1 0
ð28Þ
Par un ajustement au sens des moindres carre´s, on obtient e´gal a` 21 m1. Ceci signifie que l’e´nergie cine´tique turbulente atteint environ 80% de son niveau d’e´quilibre apre`s une range´e (L=D=0.075 m) et 96% apre`s deux range´es. Par contre, nous ne pouvons pas identifier k1 mais seulement en donner une limite infe´r-
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ieure. Le Table 1 permet de comparer les re´sultats obtenus expe´rimentalement a` ceux propose´s par Nakayama et Kuwahara [13] avec des simulations nume´riques et les hypothe`ses ve´rifie´es indirectement par Green [16]. Le coefficient relatif a` la production d’e´nergie cine´tique turbulente pre´dit par Nakayama et Kuwahara (184 m1) est du meˆme ordre de grandeur que le coefficient relatif a` la perte de charge que nous avons de´termine´ expe´rimentalement (319 m1). L’hypothe`se de Green: = pourrait donc eˆtre retenue en premie`re approche. Par contre, son hypothe`se concernant la distance caracte´ristique pour atteindre l’e´quilibre de la turbulence
=4 n’est pas ve´rifie´e dans notre cas. Ceci est peut eˆtre lie´ au domaine d’application de cette relation (le milieu poreux est une foreˆt) ou` les taux de vide sont beaucoup plus grands. Ces hypothe`ses conduisent d’ailleurs a` un taux de turbulence d’e´quilibre inde´pendant de la porosite´. Enfin le taux de turbulence (suppose´e isotrope) a` 100 mm a` l’aval de l’empilement est deux fois plus faible que celui pre´dit par Nakayama et Kuwahara au sein du milieu poreux. Ceci peut eˆtre duˆ a` la dissipation entre la sortie du milieu poreux et la position de la mesure. Le Table 2 pre´sente les coefficients de transfert mesure´s pour des vitesses allant de 0.65–2 m/s au niveau d’un empilement de 5 range´es. On observe une progression du coefficient de transfert entre la premie`re et la deuxie`me range´e, puis une valeur sensiblement constante, enfin une valeur le´ge`rement plus faible pour la
Table 1 Comparaison des re´sultats de la pre´sente e´tude avec les re´sultats de la litte´rature. Tableau 1 Comparison between present study and results of literature Nakayama et Kuwahara
Green
Pk ¼ ¼ 39ð1 Þ5=2 =D ¼ 184 m1 pour ¼ 0:34 et D ¼ 0:075 m v3 rffiffiffiffiffiffiffiffiffi k1 3; 7ð1 Þ 2k1 ¼ 289% ¼ ¼ 4:19 ! Tu ¼ 1 1=2 v2 v2 Pk Dp=L ¼ ¼ 2 ¼ v v3 "k ¼ ¼ 4 k v k1 ¼ 4 ! Tu1 ¼ 283% ðquel que soit Þ v2
Pre´sente e´tude Dp=L ¼ ¼ 319 m1 v2 " ¼ ¼ 21 m1 k v Tu1 5 Tumes 1
pffiffiffi 3Tumes x1 ¼ 150%
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dernie`re range´e. Cette diminution pourrait eˆtre explique´e par le fait que le de´collement de la couche limite des objets de la dernie`re range´e est diffe´rent de celui caracte´risant les objets au sein du milieu poreux et le fait qu’a` la sortie du milieu poreux la vitesse diminue fortement. L’ajustement de la corre´lation (22) du nombre de Nusselt se fait en deux temps. On estime le coefficient b, en reliant le coefficient de transfert moyen sur les 5 range´es a` la vitesse: Nurg ¼ aReb Pr1=3 1 þ c Turg () hrg / vb
ð29Þ
Nurg ; Turg et hrg sont les moyennes sur les 5 range´es. Ensuite on tient compte de l’influence de la turbulence pre´dite par le mode`le pre´ce´dent et l’on en de´duit les valeurs de c Tu1: Nu ¼ að1 þ c TuÞ avec Reb Pr1=3 ffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Tu ¼ Tu21 þ Tu2o Tu21 e x
ð30Þ
Nu Tu2o << Tu21 et x ¼ ðn-1ÞD ) Reb Pr1=3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ a 1 þ c Tu1 1 eðn1Þ: D
Un mode`le semi-empirique a e´te´ mis au point pour pre´dire l’intensite´ des transferts thermiques entre un empilement d’objets et un e´coulement d’air en re´gime turbulent. Ce mode`le tient compte de la variation du coefficient de transfert avec la position en profondeur dans l’empilement en l’attribuant a` la variation du taux de turbulence. Une corre´lation a e´te´ e´tablie entre les valeurs locales des nombres de Nusselt, de Reynolds, de Prandtl et du taux de turbulence. Ce dernier est pre´dit par une e´quation de transport qui re´sulte d’une synthe`se et de certaines simplifications de mode`les de turbulence dans les milieux poreux auxquels on assimile l’empilement. Ces simplifications permettent de limiter le nombre de parame`tres a` identifier expe´rimentalement et de´pendant de la nature de l’empilement. L’inte´reˆt du mode`le est qu’il s’applique indiffe´remment a` des empilements pe´riodiques ou quelconques et a` des e´coulements uni-, bi- ou tri-dimensionnels contrairement aux corre´lations qui font intervenir directement un nume´ro de range´e.
Re´fe´rences ð31Þ
La turbulence est calcule´e a` l’amont de la range´e n c’est-a`-dire a` la position x=(n1)D. On voit ainsi comment, dans le cas d’un e´coulement unidirectionnel, le nume´ro de range´e est pris en compte dans la corre´lation via l’indice de turbulence. Finalement nous avons obtenu: a=0.42; b=0.67; c Tu1=0.33. Le coefficient c Tu1 est l’augmentation relative de l’intensite´ des transferts entre la premie`re range´e (turbulence faible) et le cœur de l’empilement (turbulence d’e´quilibre). L’e´cart relatif moyen entre les coefficients de transfert mesure´s et pre´dits par cette corre´lation est infe´rieur a` 5%. Table 2 Valeurs expe´rimentales des coefficients de transfert (Wm2 K1) mesure´s pour des vitesses allant de 0.65–2 m/s en fonction de la range´e (nombre total de range´es : 5). Tableau 2 2 1 Heat transfer coefficients (Wm K ) for different velocities (0.65–2 m/s) versus row number(total number of rows: 5) n de range´e
v=0.65 m/s v=0.87 m/s v=1.23 m/s v=2.00 m/s
6. Conclusion
1
2
3
4
5
43.4 51.0 64.3 88.4
59.2 69.2 88.7 125.9
56.0 69.5 86.2 121.2
55.0 69.0 86.5 121.0
51.9 65.7 82.9 112.9
[1] Alvarez G, Trystram G. Design of a new strategy for the control of the refrigeration process: fruit and vegetables conditioned in a pallet. Food Control 1995;6:345–7. [2] Kondjoyan A, Alvarez G. Etude bibliographique sur les coefficients de transfert de chaleur et de matie`re entre l’air et un ensemble de produits: 1. Du cylindre ou de la sphe`re isole´s a` un ensemble de deux a` quatre objets. Entropie 1995;19:1–11. [3] Carniol N, Kondjoyan A, Alvarez G. Coefficients de transfert convectifs entre l’air et un ensemble de cylindres de hauteur finie. 6e`me Congre`s de Ge´nie des Proce´de´s, Paris:53–4. [4] Stephan K, Traub D. Einflub von Rohrreihenzahl und Anstro¨mturbulenz auf die Wa¨rmeleistung von quer angestro¨mten Rohrbu¨ndeln. Wa¨rme und Stoffu¨bertragung 1987;21:103–13. [5] Dybbs A, Edwards RV. A new look at porous media fluid mechanism—Darcy to turbulent. In: Bear J, Corapcioglu V, editors. Fundamentals of transport phenomena in porous media. NL: Martinus Nijhoff; 1984. p. 199–254. [6] Comings EW, Clapp JT, Taylor JF. Air turbulence and transfer processes. Industrial and Engineering Chemistry 1948;40(6):1076–82. [7] Diban EP, Epick EY, Kozlava LG. Combined influence of turbulence intensity and longitudinal scale and air flow acceleration on heat transfer of circular cylinders. Proceedings of the Fifth Conference of Japanese Society of Mechanics Engineering 1974:310–4. [8] Alvarez G, Flick D. Analysis of heterogeneous cooling of agricultural products inside bins. Part I: Thermal study. Journal of Food Engineering 1999;39:239–45. [9] Alvarez G, Flick D. Analysis of heterogeneous cooling of agricultural products inside bins. Part I: Aerodynamic study. Journal of Food Engineering 1999;39:227–37.
D. Flick et al. / International Journal of Refrigeration 26 (2003) 349–359 [10] Nield DA, Bejan A. Convection in porous media. USA: Springer-Verlag; 1992. [11] Ergun S. Fluid flow through packed columns. Chemical Engineering Progress 1952;48:89–94. [12] Antohe BV, Lage JL. A general two equation macroscopic turbulence model for incompressible flow in porous media. Int J Heat and Mass Transfer 1997;40(13):3013–24. [13] Nakayama A, Kuwahara F. A macroscopic turbulence model for flow in a porous medium. Journal of Fluid Engineering 1999;121:427–43. [14] Launder BE, Spalding DB. The numerical computation of turbulent flow. Computer methods in Appied Mechanics and Engineering 1974;3:269–89.
359
[15] Alvarez G. Etude des transferts de chaleur et de matie`re au sein d’un e´changeur complexe de type palette. The`se de doctorat de l’ENGREF, Paris, 1992. [16] Green SR. Modelling turbulent air flow in a stand of widely-spaced trees. Phoenics Journal 1992;5(3):294–312. [17] Kaviany M. Principles of heat transfer in porous media. Springer-VerlagUSA; 1995. [18] Wakao N, Kaguei S. Heat and mass transfer in packed beds. Gordon and Breach Sc, UK, 1982. [19] Morgan V. The overall convection heat transfer from smooth circular cylinders. Advances in heat transfer 1975; 11:199–225. [20] Hinze JO. Turbulence. Mc Graw-Hill USA, 1975.
Mode´lisation semi-empirique des e´coulements et des transferts dans un milieu poreux en re´gime turbulent D. Flicka, A. Leslousb, G. Alvareza,* a
UMR Ge´nie Industriel Alimentaire: Cemagref, ENSIA, INA-PG, INRA INAPG Rue Claude Bernard 75231 Paris Cedex 05, France b UMR Ge´nie Industriel Alimentaire: Cemagref, ENSIA, INA-PG, INRA Cemagref, BP 44, 92163 Antony Cedex, France Rec¸u le 25 mars 2001; rec¸u en forme re´vise´e le 22 janvier 2002; accepte´ le 9 septembre 2002
Re´sume´ Le mode`le propose´ permet de pre´dire les e´coulements turbulents et les transferts thermiques au sein d’un empilement d’objets conside´re´ comme un milieu poreux. Il relie l’intensite´ des transferts entre le fluide et les objets aux valeurs locales de la vitesse et du taux de turbulence. La variation de l’e´nergie cine´tique turbulente est pre´dite par une e´quation de transport inspire´e de la litte´rature et qui est ge´ne´ralisable en plusieurs dimensions. Les parame`tres du mode`le ont e´te´ identifie´s expe´rimentalement pour un empilement de sphe`res d’un taux de vide de 34%, notamment d’apre`s des mesures par ane´mome´trie laser effectue´es a` l’aval de l’empilement. L’e´cart moyen entre les coefficients de transfert pre´dits et mesure´s pour diffe´rentes vitesses de´bitantes et positions dans l’empilement est de 5%. # 2003 Elsevier Science Ltd and IIR. All rights reserved. Mots cle´s : Transfert de chaleur ; Transfert de masse ; Fluide ; E´coulement ; Milieu poreux ; Mode´lisation
Semi-empirical modeling of turbulent fluid flow and heat transfer in porus media Abstract The model allows the prediction of turbulent fluid flow and heating transfers inside a stack of obstacles, which is considered as a porous media. The heat transfer intensity between fluid and particles is related to the local values of velocity and turbulence intensity. The turbulent kinetic energy is predicted by a transport equation inspired from literature, which can also be used for two-dimensional flow patterns. Model parameters were experimentally identified for a stack of spheres with a void fraction of 34%. Laser anemometer measurements were performed upstream the from stack. Heat transfer coefficients were measured at different positions in the stack and for different flow rates. The standard error between measured and predicted coefficients is 5%. # 2003 Elsevier Science Ltd and IIR. All rights reserved. Keywords: Heat transfer; Mass transfer; Fluid; Flow; Porous medium; Modelling
* Corresponding author. Tel.: +33-140-966-017; fax: +33-140-966-075. E-mail address: [email protected] (G. Alvarez). 0140-7007/03/$30.00 # 2003 Elsevier Science Ltd and IIR. All rights reserved. PII: S0140-7007(02)00084-1
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Nomenclature
a,b,c A C" C Cd Cp D dm
d1,d2 k
k0
ko k1 K L n Nu Pr p p Pk q~ int q
Re
coefficients de la corre´lation pre´disant le nombre de Nusselt surface spe´cifique (m2/m3) coefficient de l’e´quation de transport de " coefficient de Forchheimer coefficient de traıˆne´e capacite´ thermique massique (J kg1 K1) diame`tre des particules (m) distance a` l’aval de l’empilement ou d’une grille ou` est effectue´e la mesure des vitesses moyennes et de leurs fluctuations (m) parame`tres (m) moyenne spatiale sur la phase fluide de l’e´nergie cine´tique turbulente correspondant aux fluctuations temporelles de la vitesse locale k0 ¼ 12 u~ 02 (m2 s2) e´nergie cine´tique turbulente correspondant aux fluctuations temporelles de la moyenne spatiale de la vitesse k0 ¼ 2 2 1 ~ 0 2 (m s ) 2 u valeur de k a` l’amont (m2 s2) valeur d’e´quilibre de k (m2 s2) perme´abilite´ (m2) profondeur du milieu poreux (m) nume´ro de la range´e nombre de Nusselt: h D / l nombre de Prandtl: Cp / l pression (Pa) perte de charge (Pa) production d’e´nergie cine´tique turbulente par unite´ de masse (m2 s3) vecteur densite´ de flux de chaleur (Wm2) densite´ de flux de chaleur moyenne sur l’interface d’une particule avec le fluide (Wm2) nombre de Reynolds: ðvD 1Þ faisant intervenir la vitesse interstitielle moyenne: v/f
1. Introduction Le chauffage ou le refroidissement, par convection force´e d’air, d’empilements de produits pose souvent des proble`mes d’he´te´roge´ne´ite´ de traitement. C’est le cas, par exemple, pour la re´frige´ration des fruits ou des le´gumes conditionne´s en cagettes. Certains produits, situe´s derrie`re des parois non ajoure´es des cagettes, sont insuffisamment refroidis, ce qui peut conduire a` des
T D Ef T Tp.int Tu Tux Tux mes
u~ u~ u~0 u~ 0 u~ v~
x t
" l
et le diame`tre hydraulique moyen des pores: (2/3) D / (1-) moyenne temporelle de la tempe´rature locale (K) moyenne temporelle et spatiale de la tempe´rature sur la phase fluide (K) tempe´rature des particules a` l’interface (K) taux de turbulence pffiffiffiffiffi au sein du milieu poreux Tu ¼ 2k=v~ taux de turbulence mesure´ sur la compoqffiffiffiffiffiffi sante selon x de la vitesse Tux ¼ ux0 2 =ux moyenne de me´lange du taux de turbulence selonsur la section de mesure situe´e a` 100 mm a` l’aval de l’empilement vitesse locale instantane´e (m s1) moyenne temporelle de la vitesse locale (m s1) fluctuation temporelle de la vitesse locale (m s1) moyenne spatiale de la vitesse instantane´e (m s1) fluctuation temporelle de la moyenne spatiale de la vitesse (m s1) moyenne spatiale de la E etD temporelle vitesse v~ ¼ u~ ¼ u~ encore appele´e vitesse de´bitante (m s1) direction de l’e´coulement (m) coefficient du terme line´aire de la loi de perte de charge (m2) diffusivite´ thermique turbulente (m2 s1) coefficient du terme quadratique de la loi de perte de charge (m2) coefficient du terme de production d’e´nergie cine´tique turbulente(m1) coefficient du terme de dissipation d’e´nergie cine´tique turbulente (m1) taux de dissipation d’e´nergie cine´tique turbulente par unite´ de masse (m2 s3) conductivite´ thermique (Wm1 K1) viscosite´ dynamique mole´culaire (Pa.s) taux de vide masse volumique (kg m3)
de´veloppements microbiens, alors que d’autres sont soumis a` des vitesses d’air importantes, ce qui peut entraıˆner des dessiccations et des pertes de qualite´ importantes [1]. Cette he´te´roge´ne´ite´ de traitement est due, d’une part, au re´chauffement progressif de l’air a` travers l’empilement de produits, d’autre part, a` des variations du coefficient de transfert entre l’air et la surface des produits. Dans le cas de re´seaux pe´riodiques d’objets sou-
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mis a` un e´coulement d’air unidirectionnel, des corre´lations existent pour relier le nombre de Nusselt a` un nombre de Reynolds, a` la ge´ome´trie (alignement en ligne ou quinconce´, rapports entre les espacements et le diame`tre), e´ventuellement a` la turbulence a` l’amont de l’empilement et a` la position de la range´e dans le sens de l’e´coulement [2,3]. De telles corre´lations ont notamment e´te´ de´veloppe´es pour le dimensionnement des e´changeurs multitubulaires [4]. Dans le cas d’un e´coulement bidimensionnel, pre´sence de chicanes dans un e´changeur par exemple, la direction de l’e´coulement est quelconque par rapport a` l’alignement des objets. La notion de range´e et la distinction entre espacements transversal et longitudinal perdent alors leur sens. Il en est de meˆme pour des empilements non pe´riodiques. C’est pour cela que nous avons cherche´ un indicateur de l’e´volution du coefficient de transfert local en fonction de la pe´ne´tration dans l’empilement. Nous nous inte´ressons au cas ou` la dimension des produits est relativement importante (diame`tre de plusieurs centime`tres). Les e´coulements sont alors en ge´ne´ral turbulents. En effet, d’apre`s Dybbs et Edwards [5], pour un nombre de Reynolds supe´rieur a` 300, on observe des fluctuations de vitesse au sein du milieu poreux. Il est bien connu que le taux de turbulence a une influence importante sur l’intensite´ des transferts; diffe´rents auteurs [6,7] ont propose´ des corre´lations pour tenir compte de cet effet au niveau d’objets isole´s. Re´cemment des corre´lations similaires applicables au sein d’un milieu poreux ont e´te´ propose´es [8]. Ge´ne´ralement, les taux de turbulence au sein des milieux poreux sont plus importants que dans l’e´coulement a` l’amont de l’empilement [9]. En effet, les phe´nome`nes de blocage et de sillage ge´ne`rent des fluctuations de vitesse qui peuvent eˆtre plus importantes que la vitesse de´bitante. Nous proposons d’interpre´ter la variation du coefficient de transfert avec la range´e, observe´e dans le cas d’un e´coulement unidirectionnel, par la variation progressive de la turbulence au sein de l’empilement par rapport a` la turbulence amont. L’objectif de l’e´tude est de proposer un mode`le base´ sur une e´quation de transport de l’e´nergie cine´tique turbulente (valable indiffe´remment pour un e´coulement uni-, bi- ou tridimensionnel) et une corre´lation tenant compte localement de l’effet de la turbulence sur l’intensite´ des transferts, puis, d’identifier les parame`tres du mode`le pour un empilement de sphe`res.
2. Approches des e´coulements turbulents en milieux poreux La premie`re phase de la mode´lisation consiste a` pre´dire le champ des vitesses et de l‘e´nergie cine´tique turbulente dans le milieu poreux. Un mode`le e´le´mentaire
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permettant de pre´dire les e´coulements dans un milieu poreux en re´gime laminaire et pour de tre`s faibles vitesses (Re< 10) est la loi de Darcy [10] qui postule que la perte de charge est proportionnelle a` la vitesse de´bitante. Cette approche a ensuite e´te´ ge´ne´ralise´e aux e´coulements a` plus grande vitesse, en introduisant un terme quadratique. Ainsi, Ergun [11] a propose´ une corre´lation pour la perte de charge a` travers un lit de sphe`res en fonction de sa porosite´: p 150 v ð1 Þ2 ¼ L D2 3 2 1:75 v ð1 Þ p 3 þ ( ) L ð1 Þ 3 D v2 D 150 þ 1:75 ¼ Re vD avec Re ¼ ð1 Þ
ð1Þ
Pour les e´coulements bi- ou tri-dimensionnels, cette approche empirique est applique´e dans la direction du gradient de la pression. On peut e´ventuellement tenir compte de l’anisotropie du milieu poreux en introduisant une perme´abilite´ tensorielle: C ~ p ¼ v~ þ p ffiffiffiffi v~ v~ r ð2Þ K K Pour un lit de sphe`res, d’apre`s Ergun, on a: K¼
3 D2 2 150 ð1 Þ
1:75 C ¼ pffiffiffiffiffiffiffiffi 3=2 ¼ 0:1433=2 150
ð3Þ ð4Þ
Il est e´galement possible d’obtenir des e´quations similaires, incluant des termes d’inertie et de diffusion de la quantite´ de mouvement, en partant des e´quations de Navier-Stokes (valables sur l’espace offert a` l’air) en effectuant une moyenne spatiale sur la phase fluide. On aboutit ainsi aux e´quations de Darcy-Forchheimer :
@ v~= ~ v~= þ v~= r @t
~ r ~ v~= þ r ~ v~= t r C ~ p v~ p ffiffiffiffi v~ v~ ¼ r K K
ð5Þ
Pour un e´coulement turbulent, la vitesse locale instantane´e u~ est sujette a` des fluctuations temporelles u~0 . On de´finit une vitesse moyenne, spatiale et temporelle, encore note´e v~ et appele´e vitesse de´bitante:
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v~ x; y; z 1 ¼ DxDyDz
ð Dx=2 ð Dy=2 ð Dz=2 Dx=2 Dy=2 Dz=2
!
1 Dt
ð Dt=2
k¼
u~
1D 2
*
u 02
Ef
1 D* 02 E u ; ¼2
D E * * 02 notons que u 02 6¼ u
ð8Þ
Dt=2
x þ x0 ; y0 þ y0 ; z0 þ z0 ; t dt dx0 dy0 dz0
ð6Þ
D E * * ¼ u ¼ u x, y et z repre´sentent les dimensions d’un volume de controˆle, a priori petit devant l’e´chelle de l’empilement et grand devant celui des particules et t est une e´chelle de temps grande devant celle des fluctuations les plus lentes de la vitesse (par la suite, l’e´coulement est suppose´ permanent en moyenne). Les frottements turbulents e´tant en ge´ne´ral proportionnels a` l’e´nergie cine´tique du fluide, l’e´quation du mouvement portant sur la moyenne spatio-temporelle de la vitesse a la meˆme forme que l’e´quation de DarcyForchheimer, moyennant une e´ventuelle modification du parame`tre C. Pour la de´finition de l’e´nergie cine´tique turbulente et la formulation de l’e´quation de transport correspondante, deux approches sont possibles. La premie`re, de´veloppe´e par Antohe et Lage [12], consiste a` prendre une moyenne spatiale des e´quations de Navier-Stokes aboutissant ainsi a` des e´quations du type Darcy-Forchheimer re´ gime transitoire) portant sur (en 0 0 u~ ¼ u~ þ u~ ; ou` u~ repre´sente les fluctuations temporelles de la moyenne spatiale de la vitesse. Puis, on effectue une moyenne temporelle de ces e´quations et on obtient une e´quation de transport pour l’e´nergie cine´0 tique turbulente de´finie a` partir de u~ : 1 * 02 ð7Þ k0 ¼ u 2 Pour un e´coulement unidirectionnel, Antohe et Lage [12] montrent que ce type d’e´nergie cine´tique turbulente tend vers ze´ro lorsque l’e´coulement est e´tabli, c’est-a`dire apre`s un grand nombre de range´es, ce que l’on peut traduire par le fait que les fluctuations de vitesse a` une e´chelle plus grande que les particules sont entie`rement amorties dans le milieu poreux. Comme ce type de turbulence n’a pas d’influence directe sur les transferts mais joue un roˆle dans les diffusions a` grande e´chelle, cette approche n’est pas ade´quate. La deuxie`me approche, de´veloppe´e par Nakayama et Kuwahara [13], consiste a` prendre d’abord une moyenne temporelle des e´quations de Navier-Stokes en posant u~ ¼ u~ þ u~0 : On aboutit aux e´quations de Reynolds que les auteurs proposent de fermer avec le mode`le k-" standard de Launder et Spalding [14]. Ils effectuent ensuite une moyenne spatiale et obtiennent une e´quation de transport pour la moyenne spatiale de l’e´nergie cine´tique turbulente de´finie a` partir de u~0 :
Ces auteurs proposent finalement un mode`le du type k-" adapte´ a` un milieu poreux qui, pour un e´coulement unidimensionnel, s’e´crit: dk ¼ Pk " dx
2 P d" "2 ¼ c" k v dx k1 k
v
ð9Þ ð10Þ
ou`Pk et e repre´sentent respectivement la production et la dissipation d’e´nergie cine´tique turbulente par unite´ de volume du milieu poreux. Cette forme d’e´nergie cine´tique turbulente tend vers une constante k1 lorsque l’e´coulement est e´tabli, ce que l’on peut traduire par le fait qu’apre`s un certain nombre de range´es, les fluctuations de vitesse au sein des pores tendent vers une valeur d’e´quilibre entre production et dissipation. Or, le coefficient de transfert entre les objets et l’air tend, lui aussi, vers une constante en fonction de la range´e [15]; c’est pourquoi nous essayerons de le corre´ler a` la turbulence de´finie par cette deuxie`me approche. Nakayama et Kuwahara [13] ont par ailleurs re´alise´ des simulations nume´riques sur un milieu poreux bidimensionnel pe´riodique (carre´s positionne´s en quinconce) a` partir desquelles ils proposent des expressions de Pk et de k1 en fonction de la porosite´ et de la dimension caracte´ristique des objets: Pk ¼ 39ð1 Þ5=2 =Dv3 k1 ¼
3:7ð1 Þ 2 v 1=2
ð11Þ ð12Þ
Green [16], pour des e´coulements a` travers des couverts ve´ge´taux, a propose´ une approche plus pragmatique consistant a` ajouter des termes supple´mentaires aux e´quations de Reynolds et du mode`le k-", pour tenir compte de la pre´sence des obstacles par rapport a` un milieu libre. Les forces de traıˆne´e par unite´ de masse (terme source de quantite´ de mouvement) sont repre´sente´es par un terme quadratique similaire au terme de Forchheimer: C 1 pffiffiffiffi v~v~ ¼ Cd Av~v~ ð13Þ 2 K avec Cd: coefficient de traıˆne´e et A: surface spe´cifique. Le terme supple´mentaire de production d’e´nergie cine´tique turbulente est suppose´ e´gal a` la puissance de ces forces de traıˆne´e, c’est-a`-dire que l’e´nergie retire´e du mouvement moyen du fait des forces de traıˆne´e est transforme´e en e´nergie cine´tique turbulente (premie`re e´tape d’une cascade de Kolmogorov):
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3 1 C 3 Pk ¼ Cd :Av~ ¼ pffiffiffiffi v~ 2 K
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Enfin, un terme supple´mentaire de dissipation d’e´nergie cine´tique turbulente proportionnel a` k et a` v est propose´: C ð15Þ " ¼ 2Cd Av~k ¼ 4 pffiffiffiffi v~k K
mode`le a` une e´quation peut se justifier par le fait que l’e´chelle caracte´ristique de la turbulence ge´ne´re´e dans le milieu poreux est tre`s lie´e a` celle des particules. Les transferts thermiques au niveau de l’interface entre les particules et le fluide peuvent eˆtre caracte´rise´s par un coefficient de transfert, de´fini par [17]: int q h¼ ð19Þ Tf Tp:int
Notre objectif n’est pas de pre´dire pre´cise´ment l’e´nergie cine´tique turbulente au sein du milieu poreux mais de construire un mode`le simple, utilisable pour des e´coulements bi- ou tri-dimensionnels, capable de pre´dire l’e´volution du coefficient de transfert a` travers un empilement d’objets. Les parame`tres de ce mode`le doivent eˆtre peu nombreux et faciles a` estimer, c’est pourquoi nous avons choisi une approche semi-empirique.
D Ef ou` Tf ¼ T est la moyenne temporelle et spatiale de la tempe´rature sur la phase fluide et Tp.int la tempe´rature des particules a` l’interface, conside´re´e comme uniforme int sur une particule q est la densite´ de flux de chaleur moyenne sur l’interface particule/fluide. Pour un empilement de sphe`res, Wakao et Kaguei [18] proposent une relation inde´pendante de la turbulence:
ð14Þ
Nu ¼ 3. Mode`le propose´ Pour le mouvement moyen, nous ne´gligeons, dans l’e´quation de Darcy-Forchheimer, les termes d’inertie et de diffusion. Nous introduisons ainsi deux coefficients, l’introduction d’un terme de diffusion aurait ne´cessite´ au moins un parame`tre supple´mentaire pour de´finir une viscosite´ turbulente. Les e´quations de conservation de la masse et de la quantite´ de mouvement s’e´crivent: ~ v~ ¼ 0 r
ð16Þ
~ p ¼ v~ þ v~v~ -r
ð17Þ
Comme Nakayama et p Kuwahara [13], nous suppoffiffiffiffi sons que =1/K et =C/ K sont inde´pendants du taux de turbulence. Dans la relation (17), repre´sente la viscosite´ dynamique mole´culaire; le calcul du niveau de turbulence n’est utilise´ que pour l’aspect thermique. L’e´nergie D E cine´tique turbulente est de´finie par: * k ¼ 0:5 u 02 =; dans son e´quation de transport, on ne´glige les termes de diffusion. Le terme de production est suppose´ proportionnel au cube de la vitesse, comme celui propose´ par Nakayama et Kuwahara [13]. Par contre le taux de dissipation de l’e´nergie cine´tique turbulente n’est pas calcule´ par une e´quation de transport mais donne´ par une relation similaire a` celle propose´e par Green [16] pour son terme additionnel afin de re´duire le nombre de parame`tres a` identifier: 3 ~ k~ r v ¼ v~ kv~
ð18Þ
Dans des mode`les a` deux e´quations du type k-", la deuxie`me e´quation permet de traduire indirectement l’e´volution de la longueur caracte´ristique de la turbulence qui est alors de l’ordre de k3/2/". L’utilisation d’un
hD ¼ 2 þ 1:1½ð1 ÞRe0;6 Pr1=3 l
ð20Þ
Cette relation inclut la conduction, mais la constante additive correspondante, de valeur 2, est ne´gligeable pour de forts nombres de Reynolds comme c’est notre cas. Par ailleurs, il conviendrait d’introduire un facteur de forme pour des objets non sphe´riques. En pre´sence de turbulence, y compris pre`s de l’interface avec une particule, la densite´ de flux de chaleur s’e´crit [13]: ~ T q~ ¼ l þ Cp t r ð21Þ ou` t est la diffusivite´ thermique turbulente. Dans un mode`le k-", la diffusivite´ turbulente est suppose´e proportionnelle a` k2/". Si l’on admet que la longueur caracte´ristique de la turbulence est de l’ordre de grandeur de celles des particules, on peut conside pffiffiffi´ rer la diffusivite´ turbulente comme proportionnelle a` kD. Ceci met en e´vidence l’influence de la turbulence sur les transferts, mais ne permet pas de conclure sur une expression quantifiant explicitement cette influence. C’est pourquoi, nous faisons l’hypothe`se que l’influence de la turbulence peut s’exprimer au sein du milieu poreux par une expression empirique similaire a` celle utilise´e pour des objets isole´s [19]: avec Nu ¼ a Reb Pr1=3 ð1 þ c:TuÞ pffiffiffiffiffi Tu ¼ 2k=v~ ¼ Taux de turbulence
ð22Þ
La valeur de a, qui de´pend de la forme des objets, de leur arrangement et du taux de vide, tient compte des effets de blocage et de sillage modifiant l’e´coulement autour de l’objet du fait des obstacles voisins. Le terme 1+cTu tient compte de l’intensification des transferts due aux fluctuations temporelles de la vitesse au sein des
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pores. On fixe l’influence du nombre de Prandtl (puissance 1/3) par rapport aux corre´lations propose´es pour des objets isole´s, mais il faudrait en ve´rifier la validite´ pour d’autres fluides que l’air. Pour un e´coulement unidirectionnel, la vitesse e´tant constante, l’e´quation (18) s’e´crit: dk þ k ¼ v2 ¼ constante dx
ð23Þ
L’e´nergie cine´tique turbulente suit donc une loi exponentielle de´croissante, de la valeur initiale ko vers la valeur d’e´quilibre k1: kfx ¼ 0g ¼ k0 ) avec
k k1 ¼ e x ko k1
k1 ¼
v2
ð24Þ
Pour un e´coulement bidimensionnel, la re´solution des e´quations devrait se faire nume´riquement en utilisant une discre´tisation, par la me´thode des volumes finis par exemple.
4. Dispositif expe´rimental On dispose, pour identifier les parame`tres du mode`le, d’une veine de soufflage au sein de laquelle est place´ l’empilement d’objets. L’ensemble du dispositif est situe´
dans une cellule a` tempe´rature controˆle´e. Le milieu poreux est constitue´ de sphe`res (creuses en matie`re plastique) de 75 mm de diame`tre dans un arrangement paralle´le´pipe´dique repre´sente´ sur la Fig. 1. Le dispositif comporte un plan de sphe`res sur 5 lignes (direction y) et sur n range´es (direction x de l’e´coulement), n pouvant varier de 1 a` 5. Ces sphe`res se touchent dans les directions x et y. Au-dessus et en dessous de ce plan de sphe`res entie`res (direction z) sont dispose´es des demisphe`res, de´cale´es d’un rayon dans les directions x et y. Des demi-sphe`res sont e´galement place´es au niveau des parois late´rales. Par ce biais, la surface de frottement entre l’air et les parois late´rales, qui ne serait pas pre´sente dans un milieu infini, est re´duite au minimum. Le taux de vide moyen volumique de l’empilement est =34%. La fraction de la section transversale offerte au passage de l’air varie de min=26% a` max=51%, ce qui traduit un re´tre´cissement suivi d’un e´largissement deux fois par range´e. Pour l’identification des parame`tres, on mesure la perte de charge, au moyen d’un manome`tre a` tube incline´, avec un nombre de range´es d’objets variable. Le de´bit est mesure´ a` l’aide d’une sonde Annubar sur le conduit d’aspiration. La vitesse instantane´e dans la direction x est mesure´e a` l’amont de l’empilement, a` deux distances (30 et 100 mm) a` l’aval de l’empilement a` l’aide d’un ane´mome`tre laser (Laservec TSI 50 mW). Cet ane´mome`tre fonctionne par re´trodiffusion a` l’aide d’une diode laser de 50 mW pour une longueur d’onde
Fig. 1. Sche´ma du dispositif expe´rimental. Fig. 1. Experimental device.
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de 683 nm, l’interfrange est de 6.2 mm. La distance focale est de 450 mm, le volume de mesure de 1 mm3. La vitesse d’acquisition est de 5 kHz, la dure´e d’acquisition de 100 s, au minimum 2000 particules sont prises en compte en chaque point. L’ensemencement est re´alise´ par un brumisateur qui produit des gouttelettes d’eau d’un diame`tre moyen de l’ordre du microme`tre. La grille de mesure (un quart de la section) comporte 413 points. Les coefficients de transferts thermiques entre l’air et les diffe´rents objets sont mesure´s par la me´thode stationnaire [8] a` l’aide de sphe`res en aluminium munies d’une re´sistance chauffante et d’un thermocouple. Comme leur nombre de Biot est toujours tre`s infe´rieur a` 0.1, leur tempe´rature est uniforme. Lors des mesures, seules deux sphe`res sont chauffe´es simultane´ment, elles sont se´pare´es par des sphe`res en matie`re plastique et sont situe´es sur des lignes de courants bien distinctes de telle sorte que la tempe´rature de l’air arrivant sur ces sphe`res, qui sert de re´fe´rence dans la de´termination du coefficient de transfert, soit e´gale a` la tempe´rature ambiante (l’e´chauffement duˆ a` la perte de charge dans l’empilement est ne´gligeable). Le coefficient de transfert est une valeur moyenne sur la surface de l’objet a` tempe´rature uniforme et sans interaction thermique avec les objets voisins. Compte tenu de l’incertitude de mesure des tempe´ratures, celle du coefficient de transfert est de 4%, la re´pe´tabilite´ est d’environ 2%. La non prise en compte du rayonnement peut induire un biais maximal de 6%.
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Fig. 2. Evolution de la perte de charge norme´e par v2 en fonction de la profondeur de l’empilement. Fig. 2. Pressure drop divided by v2 versus bed depth.
5. Re´sultats et discussion
a` la sortie d’un tube reliant deux plenums (e´quivalent d’un pore reliant l’amont et l’aval de l’empilement). A la sortie d’un tube, la perte de charge est e´gale a` l’e´nergie cine´tique volumique. Par analogie, nous interpre´tons e´galement la perte de charge singulie`re que nous observons comme la dissipation de l’e´nergie cine´tique des jets a` la sortie de l’empilement. En effet, la section de passage la plus faible offerte a` l’air correspond a` min=26% de la section totale, et l’on remarque que la perte de charge singulie`re est du meˆme ordre de grandeur que l’e´nergie cine´tique correspondant a` la vitesse interstitielle sur cette section.
1 v 2 ð25Þ Dpsingulie+re ¼ 11:3 v2 ¼ 1:53 2 min
Pour des vitesses de´bitantes de l’ordre de 1 m/s, nous avons trouve´ expe´rimentalement que la perte de charge est proportionnelle au carre´ de la vitesse. Nous avons donc ne´glige´ le terme line´aire de l’expression (17) devant le terme quadratique (=0). La Fig. 2 repre´sente p/(v2) en fonction de la profondeur du lit d’apre`s des mesures re´alise´es avec 1–5 range´es de sphe`res et une vitesse de´bitante de 2 m/s; on observe une e´volution affine. Une re´gression line´aire donne la pente de la droite =319 m1; cette valeur est infe´rieure a` celle pre´vue par la loi d’Ergun: 390 m1. Ceci peut eˆtre duˆ au fait que, dans notre empilement ordonne´, il existe des passages pre´fe´rentiels dans la direction de l’e´coulement, re´duisant la dissipation d’e´nergie cine´tique lie´e aux changements de direction. Une vue de face de l’empilement permet en effet de distinguer des zones de passage de part en part du lit de sphe`res ou` l’on pourrait introduire des tiges d’environ 8 mm de diame`tre (a et b sur la Fig. 1). L’extrapolation de la droite pour une profondeur du lit nulle donne une perte de charge non nulle. Cette perte de charge, que l’on pourrait qualifier de singulie`re, est similaire a` celle rencontre´e a` l’entre´e et
La Fig. 3 pre´sente une cartographie des vitesses (ux ) et qffiffiffiffiffiffiffi des taux de turbulence (Tux ¼ u02 x =ux ) mesure´s dans la direction de l’e´coulement a` 30 mm a` l’aval d’une et de trois range´es de sphe`res pour une vitesse de´bitante de 2 m/s. Derrie`re une range´e de sphe`res, l’e´coulement ne respecte pas la pe´riodicite´ de l’empilement alors que, derrie`re trois range´es, les vitesses maximales sont observe´es a` peu pre`s au droit des centres des sphe`res. Ces vitesses maximales semblent correspondre aux derniers jets forme´s qui sont issus des passages pre´fe´rentiels du type a (Fig. 1). Les jets ont tendance a` se coller entre eux et sur les parois par effet ‘‘Coanda’’. Ceci explique sans doute la non-pe´riodicite´ observe´e sur certains champs de vitesse. Ainsi a` l’aval d’une seule range´e, on pourrait interpre´ter le champ des vitesses par la coalescence de jets issus de passages pre´fe´rentiels (du type a) situe´s coˆte a` coˆte horizontalement. Le caracte`re ale´atoire des e´coulements transitoires lors de la mise en route du ventilateur peut aussi favoriser des coalescences de jets sur une meˆme verticale ou entre des jets de types a et b. D’une fac¸on ge´ne´rale le caracte`re non-line´aire des e´quations des mouvements turbulents peut expliquer qu’une petite
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culation et de zones de me´lange (limites des jets) propices a` la production de turbulence contrairement au cœur des jets ou` les gradients de vitesse sont faibles. Les fortes he´te´roge´ne´ite´s horizontales et verticales de la vitesse et de la turbulence juste a` l’aval (30 mm) de l’empilement et la non-re´pe´tabilite´ des expe´riences du fait de la coalescence ale´atoire des jets rendent difficiles l’inte´gration des re´sultats pour obtenir des valeurs moyennes. C’est pourquoi d’autres mesures ont e´te´ effectue´es plus loin en aval (100 mm) ou` les he´te´roge´ne´ite´s sont moindres. La Fig. 4 repre´sente l’e´volution du carre´ du taux de turbulence mesure´ dans la direction x, a` 100 mm en aval de l’empilement, en fonction de la profondeur du lit (nombre de range´es). Pour cela nous avons calcule´ la moyenne de me´lange de la variance des fluctuations de vitesse en x. ð Ð 02 u dS= u ux dS S x x 2 S Tux mes ¼ ð ð26Þ 2 ux dS=S S
Fig. 3. Cartographie de la vitesse et du taux de turbulence a` 30 mm a` l’aval d’une ou de trois range´es de sphe`res (v=2 m s1). Fig. 3. Air velocity and turbulence intensity 30 mm downstream 1 of one or three rows of spheres (v =2 m s ).
anomalie sur la pe´riodicite´ de l’empilement entraıˆne la rupture des diffe´rentes syme´tries. Les vitesses maximales sont environ 3 fois supe´rieures a` la vitesse de´bitante, c’est-a`-dire de l’ordre de la vitesse interstitielle moyenne: v/. Quelques vitesses ne´gatives du coˆte´ de la paroi supe´rieure pourraient s’expliquer par des recirculations a` l’aval de l’empilement. Les taux de turbulence dans la direction x sont e´leve´s; ils de´passent 100% de la vitesse de´bitante. Encore on ne tient compte que des fluctuations de vitesse dans la direction de l’e´coulement principal. Si la turbulence pouvait eˆtre con´ e ffifficomme side´rep isotrope, il faudrait multiplier ces chiffres ffi par 3 pour obtenir un taux de turbulence tridimensionnel. Dans ce sens, les fluctuations temporelles de vitesse (a` 30 mm a` l’aval de l’empilement) sont comparables aux fluctuations spatiales de vitesse, c’est-a`-dire aux vitesses interstitielles (v/ ou v/min). Les taux de turbulence les plus e´leve´s sont plutoˆt observe´s dans les zones de faible vitesse. Il peut s’agir de zones de recir-
Il est bien e´vident que la turbulence ainsi calcule´e diffe`re de la moyenne sur la phase fluide de la turbulence au sein du milieu poreux. L’e´nergie cine´tique turbulente de l’air est transporte´e par le mouvement moyen du milieu poreux vers l’aval (au meˆme titre que l’e´nergie interne), la turbulence juste en sortie de l’empilement serait donc repre´sentative de celle de l’inte´rieur. Par contre, de`s la sortie, il y a une dissipation rapide de l’e´nergie cine´tique turbulente. Dans un cas similaire, a` l’aval de grilles, la de´croissance de k peut eˆtre approche´e par une relation de la forme suivante [20]:
2k do d1 n Tu2 ¼ 2 ¼ Tu2o ð27Þ v dm d1
Fig. 4. Evolution du carre´ du taux de turbulence mesure´ a` 100 mm a` l’aval d’un empilement en fonction de sa profondeur. Fig. 4. Square of turbulence intensity 100 mm downstream of stack of spheres versus its depth.
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ou` dm est la distance a` l’aval de la grille, do et d1 des parame`tresde´pendant de la ge´ome´trie de la grille et n est proche de 1. En fait, juste a` l’aval de l’empilement existent des zones de me´lange et de recirculation, ou` une partie de l’e´nergie cine´tique des jets sert a` la production d’e´nergie cine´tique turbulente. Enfin, en l’absence de gradient du champ moyen de vitesse, la turbulence tend a` devenir isotrope. Nous supposons ne´anmoins que la turbulence mesure´e a` une distance dm=100 mm a` l’aval de l’empilement est proportionnelle a` celle pre´sente a` la sortie du milieu poreux (x=L). Nous conside´rons que la production et la dissipation d’e´nergie cine´tique turbulente due a` la pre´sence des obstacles, re´gies par l’e´quation (18), de´butent a` l’entre´e du milieu poreux (origine de l’abscisse x, Fig. 1): 2 2 Tux mes Tux mes Tu2Tu21 kk1 1 ¼ ¼ ¼ e L 2 Tu2oTu21 kok1 mes 2 Tux mes Tu x 1 0
ð28Þ
Par un ajustement au sens des moindres carre´s, on obtient e´gal a` 21 m1. Ceci signifie que l’e´nergie cine´tique turbulente atteint environ 80% de son niveau d’e´quilibre apre`s une range´e (L=D=0.075 m) et 96% apre`s deux range´es. Par contre, nous ne pouvons pas identifier k1 mais seulement en donner une limite infe´r-
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ieure. Le Table 1 permet de comparer les re´sultats obtenus expe´rimentalement a` ceux propose´s par Nakayama et Kuwahara [13] avec des simulations nume´riques et les hypothe`ses ve´rifie´es indirectement par Green [16]. Le coefficient relatif a` la production d’e´nergie cine´tique turbulente pre´dit par Nakayama et Kuwahara (184 m1) est du meˆme ordre de grandeur que le coefficient relatif a` la perte de charge que nous avons de´termine´ expe´rimentalement (319 m1). L’hypothe`se de Green: = pourrait donc eˆtre retenue en premie`re approche. Par contre, son hypothe`se concernant la distance caracte´ristique pour atteindre l’e´quilibre de la turbulence
=4 n’est pas ve´rifie´e dans notre cas. Ceci est peut eˆtre lie´ au domaine d’application de cette relation (le milieu poreux est une foreˆt) ou` les taux de vide sont beaucoup plus grands. Ces hypothe`ses conduisent d’ailleurs a` un taux de turbulence d’e´quilibre inde´pendant de la porosite´. Enfin le taux de turbulence (suppose´e isotrope) a` 100 mm a` l’aval de l’empilement est deux fois plus faible que celui pre´dit par Nakayama et Kuwahara au sein du milieu poreux. Ceci peut eˆtre duˆ a` la dissipation entre la sortie du milieu poreux et la position de la mesure. Le Table 2 pre´sente les coefficients de transfert mesure´s pour des vitesses allant de 0.65–2 m/s au niveau d’un empilement de 5 range´es. On observe une progression du coefficient de transfert entre la premie`re et la deuxie`me range´e, puis une valeur sensiblement constante, enfin une valeur le´ge`rement plus faible pour la
Table 1 Comparaison des re´sultats de la pre´sente e´tude avec les re´sultats de la litte´rature. Tableau 1 Comparison between present study and results of literature Nakayama et Kuwahara
Green
Pk ¼ ¼ 39ð1 Þ5=2 =D ¼ 184 m1 pour ¼ 0:34 et D ¼ 0:075 m v3 rffiffiffiffiffiffiffiffiffi k1 3; 7ð1 Þ 2k1 ¼ 289% ¼ ¼ 4:19 ! Tu ¼ 1 1=2 v2 v2 Pk Dp=L ¼ ¼ 2 ¼ v v3 "k ¼ ¼ 4 k v k1 ¼ 4 ! Tu1 ¼ 283% ðquel que soit Þ v2
Pre´sente e´tude Dp=L ¼ ¼ 319 m1 v2 " ¼ ¼ 21 m1 k v Tu1 5 Tumes 1
pffiffiffi 3Tumes x1 ¼ 150%
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dernie`re range´e. Cette diminution pourrait eˆtre explique´e par le fait que le de´collement de la couche limite des objets de la dernie`re range´e est diffe´rent de celui caracte´risant les objets au sein du milieu poreux et le fait qu’a` la sortie du milieu poreux la vitesse diminue fortement. L’ajustement de la corre´lation (22) du nombre de Nusselt se fait en deux temps. On estime le coefficient b, en reliant le coefficient de transfert moyen sur les 5 range´es a` la vitesse: Nurg ¼ aReb Pr1=3 1 þ c Turg () hrg / vb
ð29Þ
Nurg ; Turg et hrg sont les moyennes sur les 5 range´es. Ensuite on tient compte de l’influence de la turbulence pre´dite par le mode`le pre´ce´dent et l’on en de´duit les valeurs de c Tu1: Nu ¼ að1 þ c TuÞ avec Reb Pr1=3 ffi qffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi Tu ¼ Tu21 þ Tu2o Tu21 e x
ð30Þ
Nu Tu2o << Tu21 et x ¼ ðn-1ÞD ) Reb Pr1=3 pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi ¼ a 1 þ c Tu1 1 eðn1Þ: D
Un mode`le semi-empirique a e´te´ mis au point pour pre´dire l’intensite´ des transferts thermiques entre un empilement d’objets et un e´coulement d’air en re´gime turbulent. Ce mode`le tient compte de la variation du coefficient de transfert avec la position en profondeur dans l’empilement en l’attribuant a` la variation du taux de turbulence. Une corre´lation a e´te´ e´tablie entre les valeurs locales des nombres de Nusselt, de Reynolds, de Prandtl et du taux de turbulence. Ce dernier est pre´dit par une e´quation de transport qui re´sulte d’une synthe`se et de certaines simplifications de mode`les de turbulence dans les milieux poreux auxquels on assimile l’empilement. Ces simplifications permettent de limiter le nombre de parame`tres a` identifier expe´rimentalement et de´pendant de la nature de l’empilement. L’inte´reˆt du mode`le est qu’il s’applique indiffe´remment a` des empilements pe´riodiques ou quelconques et a` des e´coulements uni-, bi- ou tri-dimensionnels contrairement aux corre´lations qui font intervenir directement un nume´ro de range´e.
Re´fe´rences ð31Þ
La turbulence est calcule´e a` l’amont de la range´e n c’est-a`-dire a` la position x=(n1)D. On voit ainsi comment, dans le cas d’un e´coulement unidirectionnel, le nume´ro de range´e est pris en compte dans la corre´lation via l’indice de turbulence. Finalement nous avons obtenu: a=0.42; b=0.67; c Tu1=0.33. Le coefficient c Tu1 est l’augmentation relative de l’intensite´ des transferts entre la premie`re range´e (turbulence faible) et le cœur de l’empilement (turbulence d’e´quilibre). L’e´cart relatif moyen entre les coefficients de transfert mesure´s et pre´dits par cette corre´lation est infe´rieur a` 5%. Table 2 Valeurs expe´rimentales des coefficients de transfert (Wm2 K1) mesure´s pour des vitesses allant de 0.65–2 m/s en fonction de la range´e (nombre total de range´es : 5). Tableau 2 2 1 Heat transfer coefficients (Wm K ) for different velocities (0.65–2 m/s) versus row number(total number of rows: 5) n de range´e
v=0.65 m/s v=0.87 m/s v=1.23 m/s v=2.00 m/s
6. Conclusion
1
2
3
4
5
43.4 51.0 64.3 88.4
59.2 69.2 88.7 125.9
56.0 69.5 86.2 121.2
55.0 69.0 86.5 121.0
51.9 65.7 82.9 112.9
[1] Alvarez G, Trystram G. Design of a new strategy for the control of the refrigeration process: fruit and vegetables conditioned in a pallet. Food Control 1995;6:345–7. [2] Kondjoyan A, Alvarez G. Etude bibliographique sur les coefficients de transfert de chaleur et de matie`re entre l’air et un ensemble de produits: 1. Du cylindre ou de la sphe`re isole´s a` un ensemble de deux a` quatre objets. Entropie 1995;19:1–11. [3] Carniol N, Kondjoyan A, Alvarez G. Coefficients de transfert convectifs entre l’air et un ensemble de cylindres de hauteur finie. 6e`me Congre`s de Ge´nie des Proce´de´s, Paris:53–4. [4] Stephan K, Traub D. Einflub von Rohrreihenzahl und Anstro¨mturbulenz auf die Wa¨rmeleistung von quer angestro¨mten Rohrbu¨ndeln. Wa¨rme und Stoffu¨bertragung 1987;21:103–13. [5] Dybbs A, Edwards RV. A new look at porous media fluid mechanism—Darcy to turbulent. In: Bear J, Corapcioglu V, editors. Fundamentals of transport phenomena in porous media. NL: Martinus Nijhoff; 1984. p. 199–254. [6] Comings EW, Clapp JT, Taylor JF. Air turbulence and transfer processes. Industrial and Engineering Chemistry 1948;40(6):1076–82. [7] Diban EP, Epick EY, Kozlava LG. Combined influence of turbulence intensity and longitudinal scale and air flow acceleration on heat transfer of circular cylinders. Proceedings of the Fifth Conference of Japanese Society of Mechanics Engineering 1974:310–4. [8] Alvarez G, Flick D. Analysis of heterogeneous cooling of agricultural products inside bins. Part I: Thermal study. Journal of Food Engineering 1999;39:239–45. [9] Alvarez G, Flick D. Analysis of heterogeneous cooling of agricultural products inside bins. Part I: Aerodynamic study. Journal of Food Engineering 1999;39:227–37.
D. Flick et al. / International Journal of Refrigeration 26 (2003) 349–359 [10] Nield DA, Bejan A. Convection in porous media. USA: Springer-Verlag; 1992. [11] Ergun S. Fluid flow through packed columns. Chemical Engineering Progress 1952;48:89–94. [12] Antohe BV, Lage JL. A general two equation macroscopic turbulence model for incompressible flow in porous media. Int J Heat and Mass Transfer 1997;40(13):3013–24. [13] Nakayama A, Kuwahara F. A macroscopic turbulence model for flow in a porous medium. Journal of Fluid Engineering 1999;121:427–43. [14] Launder BE, Spalding DB. The numerical computation of turbulent flow. Computer methods in Appied Mechanics and Engineering 1974;3:269–89.
359
[15] Alvarez G. Etude des transferts de chaleur et de matie`re au sein d’un e´changeur complexe de type palette. The`se de doctorat de l’ENGREF, Paris, 1992. [16] Green SR. Modelling turbulent air flow in a stand of widely-spaced trees. Phoenics Journal 1992;5(3):294–312. [17] Kaviany M. Principles of heat transfer in porous media. Springer-VerlagUSA; 1995. [18] Wakao N, Kaguei S. Heat and mass transfer in packed beds. Gordon and Breach Sc, UK, 1982. [19] Morgan V. The overall convection heat transfer from smooth circular cylinders. Advances in heat transfer 1975; 11:199–225. [20] Hinze JO. Turbulence. Mc Graw-Hill USA, 1975.