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Transport des particules en milieu poreux : détermination des paramètres hydrodispersifs et du coefficient de dépôt
C. R. Acad. Sci. Paris, Sciences de la Terre et des planètes / Earth and Planetary Sciences 331 (2000) 97–104 © 2000 Académie des sciences / Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés S1251805000013884/FLA
Géosciences de surface / Surface Geosciences (Hydrologie–Hydrogéologie / Hydrology–Hydrogeology)
Transport des particules en milieu poreux : détermination des paramètres hydrodispersifs et du coefficient de dépôt HuaQing Wang*, Michel Lacroix, Nicolas Masséi, Jean-Paul Dupont Laboratoire de géologie, Upresa CNRS 6143, université de Rouen, 76821 Mont-Saint-Aignan, France Reçu le 14 décembre 1999 ; accepté le 5 juin 2000 Présenté par Jean-Paul Poirier
Abstract – Particle transport in a porous medium: determination of hydrodispersive characteristics and deposition rates. We present a chromatographic short-pulse technique for studying suspended particle transport and deposition kinetics in a porous medium. A mathematical method is proposed to determine hydrodispersive characteristics and deposition rates from the breakthrough curves. The results of breakthrough data interpretation demonstrate that all the parameters obtained (fraction of particles recovered, deposition rate, effective porosity and dispersivity) vary with the flow rate. The relationships between these parameters and Darcy’s flow velocity can be given by power laws. © 2000 Académie des sciences / Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS porous medium / suspended matter / deposition kinetics / mathematical methods / tracer experiments
Résumé – Nous présentons une étude du transport de particules et de leur cinétique de dépôt dans un milieu poreux par des traçages en colonne. Une démarche mathématique est proposée, afin de déterminer des paramètres caractérisant la dispersion et la cinétique de dépôt. Les résultats montrent que le taux de restitution, le coefficient de dépôt, la porosité cinématique et la dispersivité varient en fonction de la vitesse d’écoulement. Les relations entre ces paramètres et la vitesse de Darcy peuvent être toutes représentées par des lois puissances. © 2000 Académie des sciences / Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS milieu poreux / matières en suspension / cinétique de dépôt / méthodes mathématiques / traçages
Abridged version Mobile suspended particles in groundwater can serve as carriers for strongly sorbing contaminants and thereby facilitate contaminant transport [1, 6]. The transport and deposition of colloidal particles (< 1 µm) during flow through porous media have been studied extensively. Recently, the focus of interest has shifted to the transport of mobile colloids in natural porous media [4, 8]. In most column studies, step-input experiments were conducted [7, 9, 12]. Step-input experiments have the disadvantage that often relatively large amounts of particles are introduced into the column. As a result,
blocking effects can occur and lead to severe changes in particle deposition rates with time [5, 11]. The shortpulse method on the other hand can be used very effectively for studying particle deposition rates in natural porous media and offers several practical advantages [4]. In this study, the short-pulse technique is used. The particles used range between 2 and 50 µm with a mode of 24 µm. The column is packed with gravel beads having a size between 1.5 and 3 mm. The total porosity of the medium is 0.43 and the hydraulic conductivity is 1.37 cm·s–1. Nine experiments with different flow rates were carried out to study the evolution of particle
* Correspondance et tirés à part : [email protected]
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transport characteristics and deposition rates against flow velocity. The column set-up used (figure 1) consisted of a water reservoir, a pump controlling the steady state flow rate, a numerical flowmeter, a pulse injection loop, a glass column and an on-line detection system connected to a PC. The column has a length of 125 cm and an inner diameter of 6.6 cm. The detection system consists of a turbidimeter and an acquisition terminal. The injected pulse is much smaller than one pore volume (< 3 %). Hence the injection type may be considered as a Dirac function. A mathematical method is proposed to determine the hydrodispersive characteristics and particle deposition rate from breakthrough data. Under steady state and saturated flow conditions, the transport of particles through porous media can be described by a convective-dispersive equation (equation (1)) with a particle deposition kinetic of first order [1, 4]. The analytical solution of equation (1) with a step-input condition is given by equation (2) [13]. Hence an analytical solution of equation (1) for a short-pulse condition can be obtained by differentiating equation (2). This analytical solution is finally written by equation (4). From breakthrough curves, certain useful parameters such as the fraction of particles recovered (R), the average travel time of the particles through the column (tm) and the time variance (σ) are defined by equations (5), (8) and (9). According to Wang [14, Annexe I], these parameters have been obtained theoretically from equation (4) and written by equations (7), (10) and (11). When no particle deposition takes place, that is to say, Kd = 0 or β = 0, we find the analytical solution (equation (12)) for dissolved tracers under the same conditions. In equation (4), three parameters (u, D and β) are unknown. To determine these three parameters, equation (4) is rewritten as equation (14), which has a form identical to the equation of dissolved tracers (equation (13)). Therefore the classical methods based on equation (13) for dissolved tracers, as the linear graphical method [15] and the type curve method [10], are also applied to particle injection experiments of equation (14). In this study, the linear graphical method is used to determine two parameters P' and t′c' . From the expression of the fraction of particles recovered (equation (7)), the three unknowns (tc, P and β) are determined by equations (17)–(19). These three parameters (tc, P and β) can also be estimated by the principle of moment methods [3, 14]. From the average travel time (equation (10)), the variance (equation (11)) and the fraction of particles recovered (equation (7)), we obtained equations (20)–(22) for estimating tc, P and β.
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Finally, we determine the dispersivity α, the effective porosity x and the particle deposition rate Kd according to equations (23)–(25). The nine particle experiments achieved have been interpreted by the theories described above. The results obtained are summarized in the table. The adjustments of breakthrough curves using the linear graphical method are illustrated in figure 2. Figure 3 demonstrates the variation of different parameters obtained as a function of flow velocity. The particle concentrations and the fractions of particles recovered generally decreased with decreasing flow rate. The particle deposition rates are also presented as a function of Darcy’s velocity, which increased with increasing Darcy’s velocity. This increasing of the particle deposition rate with flow velocity has been confirmed by colloid experimental data [4] and by theoretical analysis [11]. The slopes of the log-log relationships obtained by Kretzschmar et al. [4] were 0.31 for carboxyl latex colloids and 0.18 for humic-coated hematite colloids. In this study, the flow rates were very strong and the particles used in transport were coarser. The slope of the log-log relationship between particle deposition rate and flow velocity is more important (0.49). Figure 4 illustrates a comparison of particle deposition rates obtained by Kretzschmar et al. [4] and those in this paper. Two other obtained parameters (kinematic porosity and dispersivity) vary also with flow velocity. An increase of fifteen percent for the kinematic porosity was observed for the variation of flow velocities from 0.024 to 0.424 cm·s–1. However, the dispersivity decreased with increasing flow velocity. Figure 5 demonstrates the variation of particle deposition rates on the one hand and fractions of particles recovered on the other hand with kinematic porosity. Both increased with increasing kinematic porosity. The two lines intersect on the abscissa at x = 0.227. This value corresponds to the minimum kinematic porosity that can hopefully be obtained with a low flow velocity. In fact, this is the critical flow velocity under which the fraction of particles recovered will be equal to zero. In other words, all the particles injected in the column will be captured. This critical flow velocity can be determined from the relationship between the kinematic porosity and Darcy’s velocity (figure 3), that is Uc = 0.0063 cm·s–1, corresponding to a flow rate of 0.013 L·min–1. In conclusion, all the parameters (kinematic porosity, dispersivity, fraction of particles recovered and particle deposition rate) depend on flow velocity. The relationships between these parameters and the flow velocity can be represented by a power law.
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1. Introduction Les particules en suspension présentes dans les aquifères se comportent souvent comme des vecteurs de transport de polluants adsorbants, même si leur dépôt partiel implique une diminution de la charge polluante aux exutoires. La part des particules non déposées accélère la propagation des polluants [1, 6]. Le transport et le dépôt des particules colloïdales ont été largement étudiés. Les études récentes sont concentrées sur le transport de colloïdes dans des milieux poreux naturels [4, 8]. Nous proposons une étude du comportement en transport et de la cinétique de dépôt de particules limoneuses dans un milieu poreux par des traçages en colonne. Ces expériences nous mènent à la détermination des paramètres hydrodispersifs (porosité cinématique et dispersivité) et du coefficient de dépôt par modèle mathématique. À partir de cette étude en laboratoire, les développements envisagés sont la caractérisation sur site de l’interface (échange de matières) entre l’aquifère alluvial et le système karstique crayeux en Haute-Normandie.
2. Matériel et méthodologie Le mode d’injection d’un traceur dans la colonne est souvent continu ou en créneau [7, 9, 12]. Kretzschmar et al. [4] notent que les traçages par injection continue ou en créneau présentent des inconvénients dus à la quantité importante des particules introduites dans la colonne. En conséquence, le colmatage du milieu poreux pourrait avoir lieu ; il en résulterait une variation de la cinétique de dépôt dans le temps [5, 11]. En revanche, les traçages en particules par injection brève présentent de nombreux avantages. Nous avons donc choisi cette dernière technique d’injection. Les particules injectées sont des limons éoliens récoltés dans les formations superficielles holocènes recouvrant les plateaux crayeux haut-normands. Selon les spectres microgranulométriques réalisés à partir d’un compteur de particules de Coulter, les tailles des limons utilisés comme des particules en suspension sont comprises entre 2 et 50 µm, avec un mode de 24 µm. La colonne est remplie de graviers de silex concassés, dont 80 % sont compris entre 1,5 et 3 mm. La porosité totale du milieu est de 0,43 et la perméabilité de 1,37 cm·s–1. Le dispositif expérimental (figure 1) se compose d’un réservoir d’eau, d’une pompe permettant d’avoir un débit constant, d’un débitmètre numérique, d’une seringue de 60 mL, d’une colonne en verre et d’un système de détection connecté à un PC. La colonne est de 6,6 cm de diamètre intérieur et de 125 cm de long. Quatre piézomètres équipent la colonne pour contrôler la variation de charge hydraulique dans le milieu. Le système de détection est composé d’un turbidimètre aménagé, qui permet de mesurer en continu la turbidité, et d’une centrale d’acquisition. Les injections se réali-
sent rapidement à l’aide de la seringue contenant 60 mL d’eau, dont la turbidité est de 86 NTU. La quantité de la solution injectée est faible par rapport au volume total des pores (< 3 %). La réalisation d’un étalonnage du turbidimètre permet de convertir la turbidité en concentration en matières en suspension, afin d’estimer le taux de restitution des particules en sortie de la colonne par intégration de la chronique. Neuf traçages à des débits différents ont été réalisés.
3. Méthodes de détermination des paramètres 3.1. Modèle mathématique et solution analytique
Dans un milieu poreux homogène et saturé avec un écoulement uniforme, le transport des particules en suspension est décrit par l’équation de convection– dispersion avec une cinétique de dépôt du premier ordre [1, 4] : 2
⭸C = D ⭸ C − u ⭸C − K C (1) d 2 ⭸t ⭸x ⭸x où C est la concentration des particules dans la phase liquide mobile (g·L–1), D est le coefficient de dispersion (cm2·s–1), u la vitesse moyenne des particules (cm·s–1), Kd le coefficient cinétique de dépôt (L·h–1), x la variable d’espace (cm) et t la variable du temps (s). Dans l’équation (1), le relargage des particules déposées est négligé. Ceci peut être justifié si le relargage des particules est dû essentiellement à un changement d’écoulement. Dans notre cas, le débit est maintenu constant et la variation de la perméabilité le long de la colonne n’est pas observée durant la manipulation. Il existe une solution analytique à l’équation (1) pour une injection en continu (C(x = 0) = C0), qui s’écrit [13] : C共 t 兲 =
C0 2
再
冉
exp
冉
冊 冉公 冊 冊 共 兲冎
u x 共1 − β兲 2D
+ exp −
erfc x − u β t 4Dt
u x 共1 + β兲 2D
d’où β=
冑
1+
erfc x + u β t 4Dt
4 Kd D u
(2)
(3)
2
La solution analytique pour une injection brève (C0 dt = m/Q ) peut être obtenue par la différentiation de l’équation (2) par rapport au temps. Cette différentielle s’écrit : C共 t 兲 =
mx
Q 公4 π D t
3
冉
exp
冊
x u 共1 − β兲 2D
冉
共x − u β t兲 exp − 4Dt
冊
2
(4)
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Figure 1. Schéma du dispositif expérimental de traçage. Figure 1. Schematic drawing of the tracer experimental set-up
où m est la masse des particules injectées et Q le débit d’écoulement. L’équation (4) est la solution analytique pour un transport de particules par injection brève avec une cinétique de dépôt du premier ordre. Par définition, le taux de restitution de la masse injectée R s’écrit :
兰 冉
R= =
兰公 ∞
0
4πDt
exp
3
Q C共 t 兲 dt /m
冊
u x 共1 − β兲 2D
冊
2
冉
冊
冉
冊
x u 共1 − β兲 (6) 2D En introduisant le nombre de Péclet (P = u x/D) et le temps de transfert par convection pure (tc = x/u), on a : R = exp
P 共1 − β兲 (7) 2 La valeur de R est toujours inférieure à 1 si le phénomène de dépôt a lieu (β > 1). Le temps de transit moyen tm des particules qui ont traversé la colonne et la variance de temps (σ) sont définis par :
σ=
兰
∞
0
100
(10)
∞
C共 t 兲 t dt /
0
兰
∞
C共 t 兲 dt
(8)
兰
(9)
0
2
共 t − tm 兲 C共 t 兲 dt /
2 tc Pβ
(11)
3
Quand le phénomène de dépôt est absent, soit Kd = 0 et β = 1, l’équation (4) devient :
共x − u β t兲 dt 4Dt D’après Wang [14, Annexe I, Eq. I6], l’intégrale de l’équation précédente est donnée par :
R = exp
σ=
(5)
冉
兰
tc β 2
⋅ exp −
tm =
tm =
∞
0
x
En appliquant les intégrales sur l’équation (4), on obtient finalement :
∞
0
C共 t 兲 dt
C共 t 兲 =
xm
Q 公4 π D t
3
冉
共x − u t兲 exp − 4Dt
冊
2
(12)
On retrouve la solution analytique pour un transport de matières dissoutes. Le taux de restitution de l’équation (12) est R = 1, et le temps de transit moyen tm = tc [14]. Comme β > 1 pour un transport des particules, on a donc un temps de transit plus court pour les particules (tm = tc/β) que pour les traceurs dissous (tm = tc), sachant que seulement une partie de la masse injectée est sortie de la colonne pour les particules (R < 1). 3.2. Détermination des paramètres
Dans l’équation (4), trois paramètres u, D (ou α en admettant D = u α, où α est la dispersivité) et β (ou Kd) sont inconnus. Ces paramètres sont habituellement déterminés de la manière suivante : a) estimer d’abord u et D à partir d’une courbe de restitution d’un traceur dissous ; b) calculer ensuite Kd par une courbe de restitution des particules, tout en admettant que les particules sont transportées avec une même vitesse et un
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même coefficient de dispersion qu’un traceur dissous. Or, de nombreux travaux ont montré que les particules sont en fait transportées plus vite que les traceurs dissous [4, 7]. L’analyse théorique utilisant la solution analytique présentée ci-dessus a confirmé que le temps de transit moyen pour les particules est plus court que pour les traceurs dissous. En définitive, ces trois paramètres (u, D, β) doivent être déterminés à partir d’une même courbe de restitution des particules. En utilisant P et tc, les équations (12) et (4) peuvent se réécrire : • pour les traceurs dissous : C共 t 兲 =
W1
公t3
冉
共 tc − t 兲 exp − P 4 tc t
2
冊
(13)
• pour les particules : C共 t 兲 =
W2
公t3
冉
P′ 共 t′c − t 兲 exp − t 4 t′ c
2
冊
(15)
P′ = βP
(16)
avec W1 = m/Q 公P tc /4 π et
En comparant les équations (13) et (14), les solutions pour les particules et pour les traceurs dissous ont une forme identique. Toutes les méthodes d’interprétation de traçages basées sur l’équation (13) pour les traceurs dissous sont également applicables pour les particules (équation (14)). Plusieurs méthodes d’interprétation sont disponibles. On cite ici, par exemple, la méthode graphique linéaire [15] et celle des abaques [10]. Ces méthodes permettent de déterminer facilement les deux paramètres hydrodispersifs P et tc. Quand ces méthodes sont appliquées sur une courbe de restitution des particules (équation (14)), les deux paramètres déterminés sont P' et t′cau lieu de P et tc, respectivement. P' et t′cétant connus, on peut combiner les équations (15) et (16) à l’équation (7) du taux de restitution pour déterminer les trois inconnues tc, P et β : (17)
P′ β
(18)
tc = t′c β
(19)
P=
Ces trois paramètres peuvent être également déterminés par le principe de la méthode des moments [3, 14]. Selon le temps de transit moyen (équation (10)), la
(20) (21)
tc = tm β
(22)
2
où, la variance réduite σr = σ/tm. En connaissant β, P et tc, le coefficient cinétique de dépôt Kd, la porosité cinématique ω et la dispersivité α sont estimés selon les formules suivantes : α=x P Q tc ω= Vt
(23) (24)
2
P 共β − 1兲 4 tc
= − ln R tc
(25)
共 1 − lnPR 兲
où Vt est le volume total de la colonne. Si la dispersion cinématique est faible et négligeable (P est assez grand), le coefficient cinétique de dépôt Kd peut être estimé au moyen d’une formule approchée : Kd = − ln R tc
W2 = m/Q 公P tc /4 π exp共 P共 1 − β 兲/2 兲
P′ + 2 ln R
1 1 + σr ln R
P= 2 β σr
Kd =
t′c = tc /β
P′
β=
(14)
où
β=
variance (équation (11)) et le taux de restitution (équation (7)), on obtient :
(26)
On retrouve la formule (équation (6)) utilisée par Kretzschmar et al. [4].
4. Interprétation des traçages et discussion Les neuf traçages réalisés ont été interprétés selon les méthodes exposées ci-dessus. La détermination de t′c et de P' à partir des courbes de restitution est réalisée par la méthode graphique linéaire [15]. Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau ; les calages des courbes de restitution sont illustrés sur la figure 2. Les courbes expérimentales sont parfaitement représentées par les solutions analytiques. 4.1. Influence de la vitesse d’écoulement
D’après la figure 2, les concentrations maximales des particules en suspension récupérées augmentent avec le débit, ce qui implique que la dilution varie inversement à l’augmentation de la vitesse d’écoulement. La figure 3 montre les variations des différents paramètres obtenus (tableau) en fonction de la vitesse d’écoulement. Les lignes représentent une régression linéaire entre ces paramètres et la vitesse de Darcy. Le taux de restitution des particules augmente avec la vitesse d’écoulement. Quand le débit est faible, la force hydrodynamique
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Tableau. Traçages des particules en colonne et résultats d’interprétation. Table. Particle tracer experiments in columns and results of interpretation.
No
Q (L·min–1)
U (cm·s–1)
R (%)
P
tc (s)
α (cm)
ω (%)
Kd (h–1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,05 0,08 0,15 0,20 0,30 0,46 0,62 0,75 0,87
0,024 0,039 0,073 0,097 0,146 0,224 0,303 0,365 0,424
13,1 13,5 22,9 32,6 26,7 41,7 40,8 37,2 52,7
167 156 177 188 246 242 272 292 299
1 480 878 556 417 297 206 160 136 124
0,75 0,79 0,71 0,67 0,51 0,52 0,46 0,43 0,42
28,9 27,4 32,5 32,5 34,8 37,0 38,7 39,7 42,0
5,00 8,36 9,63 9,72 16,10 15,34 20,25 26,26 19,12
exercée par l’écoulement sur les particules est insuffisante pour entraîner les particules les plus grosses, qui restent ainsi piégées. On a donc un taux de restitution faible. Le coefficient cinétique de dépôt augmente également avec la vitesse d’écoulement, quasiment dans les mêmes proportions que le taux de restitution. Cette augmentation du coefficient de dépôt avec la vitesse d’écoulement par une relation de puissance a été confirmée par les résultats expérimentaux [4] et par l’analyse théorique pour un transport de colloïdes [11]. Pour des écoulements lents, ces derniers auteurs ont aussi montré que la valeur de cette puissance varie entre 0 et 1/3. Kretzschmar et al. [4] ont trouvé expérimentalement une puissance de 0,31 pour les colloïdes carbonyle latex et 0,18 pour les colloïdes hématites (figure 4). Dans notre étude, les écoulements sont assez forts et les particules mises en transport sont plus grossières. Avec l’effet possible de la sédimentation et de la polydispersité des particules, cette valeur de puissance est plus élevée (0,49). La figure 4 illustre une comparaison des coefficients de dépôt obtenus par Kretzschmar et al. [4] et dans le cadre du présent travail. On observe une discontinuité entre les résultats obtenus avec des particules grossières et ceux obtenus avec des particules colloïdales. Soulignons que le paramètre pertinent dont dépendent les propriétés de transport est le nombre de Péclet de grain, qui augmente linéairement avec la taille des grains et celle des particules. Deux autres paramètres obtenus (la porosité cinématique et la dispersivité) varient également avec la vitesse d’écoulement. Une augmentation de 15 % de la porosité cinématique est observée (tableau) pour une variation de vitesses de Darcy de 0,024 à 0,424 cm·s–1. Quant à la dispersivité, elle augmente quand la vitesse de Darcy diminue. Pour un écoulement de faible débit, le temps de transit moyen augmente. La dispersivité s’accroît donc avec le temps de transport. Cette dépendance de la dispersivité au temps de transfert, ce que Dieulin [2] appelle « effet de parcours », a été beaucoup étudiée au cours de cette décennie. Figure 2. Calage des courbes de restitution de traçages des particules limoneuses.
4.2. Rôle de la porosité cinématique
Figure 2. Adjustment of the breakthrough curves of silt particle tracer experiments.
La figure 5 illustre les variations du coefficient de dépôt et du taux de restitution en fonction de la porosité
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Figure 3. Influence de la vitesse de Darcy sur les paramètres de transport et le coefficient de dépôt des particules limoneuses.
Figure 5. Évolution du coefficient de dépôt et du taux de restitution en fonction de la porosité cinématique.
Figure 3. Influence of Darcy’s flow velocity on silt particle transport and silt particle deposition rate.
Figure 5. Evolution of the particle deposition rate and of the fraction of particles recovered as a function of the kinematic porosity.
cinématique. Tous les deux augmentent avec la porosité cinématique, mais à deux allures différentes. La pente de la droite R–ω est deux fois plus forte que celle de la droite Kd–ω. La porosité cinématique atteint 42 %, avec un débit de 0,87 L·min–1, proche de la porosité totale (43 %). Les deux droites de régression linéaires se croisent sur l’axe à l’abscisse 0,227. Cette valeur correspond à la porosité cinématique minimale qu’on peut espérer obtenir avec un débit ou une vitesse d’écoulement très faible. En effet, c’est une vitesse critique
au-dessous de laquelle toutes les particules injectées seront piégées dans la colonne. Autrement dit, le taux de restitution sera nul. Cette vitesse critique (Uc) peut être déterminée selon la relation obtenue entre la porosité cinématique et la vitesse de Darcy (figure 3), soit Uc = 0,0063 cm·s–1, ce qui correspond à un débit de 0,013 L·min–1.
Figure 4. Comparaison entre les coefficients de dépôt des colloïdes hématites et latex obtenus par Kretzschmar et al. [4] et ceux des particules limoneuses obtenues dans cette étude. Figure 4. Comparison between the deposition rates of latex and hematite colloids obtained by Kretzschmar et al. [4] and those of silt particles determined in this study.
5. Conclusion Une méthode mathématique rapide est proposée pour estimer à la fois la porosité cinématique, la dispersivité et le coefficient de dépôt lors d’interprétation des traçages réalisés avec les particules en suspension par une injection brève. Cette méthode a montré son efficacité après que l’on eut interprété les neuf traçages réalisés dans une colonne. Les résultats d’interprétation permettent de conclure que tous les paramètres (taux de restitution, coefficient de dépôt, porosité cinématique et dispersivité) pour un transport de particules en suspension varient en fonction du débit ou de la vitesse d’écoulement. Les trois premiers augmentent avec le débit et le dernier diminue. Les relations entre ces paramètres et la vitesse de Darcy peuvent être toutes représentées par des lois puissances. Il y a également des corrélations entre le taux de restitution, le coefficient de dépôt et la porosité cinématique. Ces relations sont linéaires positives. À partir de ces relations, il est possible de déterminer la vitesse d’écoulement critique au-dessous de laquelle les particules injectées sont toutes piégées à l’intérieur d’un milieu poreux.
Remerciements. Les auteurs ont bénéficié du soutien financier de l’Insu, au travers de la contribution n° 209 du PNRH, ainsi que de l’Agence de l’eau Seine-Normandie et du Fonds européen de développement de l’espace rural, objectif 2, mesure 9, action 3.
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Références
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[11] Song L., Elimelech M., Dynamics of colloid deposition in porous media: modeling the role of retained particles, Colloids Surf. A 73 (1993) 49–63. [12] Toran L., Palumbo A.V., Colloid transport through fractured and unfractured laboratory sand columns, J. Contam. Hydrol. 9 (1992) 289– 303. [13] Van Genuchten M.T., Analytical solutions for chemical transport with simultaneous adsorption, zero-order production and firstorder decay, J. Hydrol. 49 (1981) 213–233. [14] Wang H.Q., Modélisation des transferts de masse en milieu saturé à double porosité : application aux écoulements convergents en craie fissurée semi-confinée et multicouche, thèse, université Paris-11, 1987, 273 p. [15] Wang H.Q., Crampon N., Garnier J.M., Huberson S., A linear graphical method for determining hydrodispersive characteristics in tracer experiments with instantaneous injection, J. Hydrol. 95 (1987) 143– 154.
Géosciences de surface / Surface Geosciences (Hydrologie–Hydrogéologie / Hydrology–Hydrogeology)
Transport des particules en milieu poreux : détermination des paramètres hydrodispersifs et du coefficient de dépôt HuaQing Wang*, Michel Lacroix, Nicolas Masséi, Jean-Paul Dupont Laboratoire de géologie, Upresa CNRS 6143, université de Rouen, 76821 Mont-Saint-Aignan, France Reçu le 14 décembre 1999 ; accepté le 5 juin 2000 Présenté par Jean-Paul Poirier
Abstract – Particle transport in a porous medium: determination of hydrodispersive characteristics and deposition rates. We present a chromatographic short-pulse technique for studying suspended particle transport and deposition kinetics in a porous medium. A mathematical method is proposed to determine hydrodispersive characteristics and deposition rates from the breakthrough curves. The results of breakthrough data interpretation demonstrate that all the parameters obtained (fraction of particles recovered, deposition rate, effective porosity and dispersivity) vary with the flow rate. The relationships between these parameters and Darcy’s flow velocity can be given by power laws. © 2000 Académie des sciences / Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS porous medium / suspended matter / deposition kinetics / mathematical methods / tracer experiments
Résumé – Nous présentons une étude du transport de particules et de leur cinétique de dépôt dans un milieu poreux par des traçages en colonne. Une démarche mathématique est proposée, afin de déterminer des paramètres caractérisant la dispersion et la cinétique de dépôt. Les résultats montrent que le taux de restitution, le coefficient de dépôt, la porosité cinématique et la dispersivité varient en fonction de la vitesse d’écoulement. Les relations entre ces paramètres et la vitesse de Darcy peuvent être toutes représentées par des lois puissances. © 2000 Académie des sciences / Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS milieu poreux / matières en suspension / cinétique de dépôt / méthodes mathématiques / traçages
Abridged version Mobile suspended particles in groundwater can serve as carriers for strongly sorbing contaminants and thereby facilitate contaminant transport [1, 6]. The transport and deposition of colloidal particles (< 1 µm) during flow through porous media have been studied extensively. Recently, the focus of interest has shifted to the transport of mobile colloids in natural porous media [4, 8]. In most column studies, step-input experiments were conducted [7, 9, 12]. Step-input experiments have the disadvantage that often relatively large amounts of particles are introduced into the column. As a result,
blocking effects can occur and lead to severe changes in particle deposition rates with time [5, 11]. The shortpulse method on the other hand can be used very effectively for studying particle deposition rates in natural porous media and offers several practical advantages [4]. In this study, the short-pulse technique is used. The particles used range between 2 and 50 µm with a mode of 24 µm. The column is packed with gravel beads having a size between 1.5 and 3 mm. The total porosity of the medium is 0.43 and the hydraulic conductivity is 1.37 cm·s–1. Nine experiments with different flow rates were carried out to study the evolution of particle
* Correspondance et tirés à part : [email protected]
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transport characteristics and deposition rates against flow velocity. The column set-up used (figure 1) consisted of a water reservoir, a pump controlling the steady state flow rate, a numerical flowmeter, a pulse injection loop, a glass column and an on-line detection system connected to a PC. The column has a length of 125 cm and an inner diameter of 6.6 cm. The detection system consists of a turbidimeter and an acquisition terminal. The injected pulse is much smaller than one pore volume (< 3 %). Hence the injection type may be considered as a Dirac function. A mathematical method is proposed to determine the hydrodispersive characteristics and particle deposition rate from breakthrough data. Under steady state and saturated flow conditions, the transport of particles through porous media can be described by a convective-dispersive equation (equation (1)) with a particle deposition kinetic of first order [1, 4]. The analytical solution of equation (1) with a step-input condition is given by equation (2) [13]. Hence an analytical solution of equation (1) for a short-pulse condition can be obtained by differentiating equation (2). This analytical solution is finally written by equation (4). From breakthrough curves, certain useful parameters such as the fraction of particles recovered (R), the average travel time of the particles through the column (tm) and the time variance (σ) are defined by equations (5), (8) and (9). According to Wang [14, Annexe I], these parameters have been obtained theoretically from equation (4) and written by equations (7), (10) and (11). When no particle deposition takes place, that is to say, Kd = 0 or β = 0, we find the analytical solution (equation (12)) for dissolved tracers under the same conditions. In equation (4), three parameters (u, D and β) are unknown. To determine these three parameters, equation (4) is rewritten as equation (14), which has a form identical to the equation of dissolved tracers (equation (13)). Therefore the classical methods based on equation (13) for dissolved tracers, as the linear graphical method [15] and the type curve method [10], are also applied to particle injection experiments of equation (14). In this study, the linear graphical method is used to determine two parameters P' and t′c' . From the expression of the fraction of particles recovered (equation (7)), the three unknowns (tc, P and β) are determined by equations (17)–(19). These three parameters (tc, P and β) can also be estimated by the principle of moment methods [3, 14]. From the average travel time (equation (10)), the variance (equation (11)) and the fraction of particles recovered (equation (7)), we obtained equations (20)–(22) for estimating tc, P and β.
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Finally, we determine the dispersivity α, the effective porosity x and the particle deposition rate Kd according to equations (23)–(25). The nine particle experiments achieved have been interpreted by the theories described above. The results obtained are summarized in the table. The adjustments of breakthrough curves using the linear graphical method are illustrated in figure 2. Figure 3 demonstrates the variation of different parameters obtained as a function of flow velocity. The particle concentrations and the fractions of particles recovered generally decreased with decreasing flow rate. The particle deposition rates are also presented as a function of Darcy’s velocity, which increased with increasing Darcy’s velocity. This increasing of the particle deposition rate with flow velocity has been confirmed by colloid experimental data [4] and by theoretical analysis [11]. The slopes of the log-log relationships obtained by Kretzschmar et al. [4] were 0.31 for carboxyl latex colloids and 0.18 for humic-coated hematite colloids. In this study, the flow rates were very strong and the particles used in transport were coarser. The slope of the log-log relationship between particle deposition rate and flow velocity is more important (0.49). Figure 4 illustrates a comparison of particle deposition rates obtained by Kretzschmar et al. [4] and those in this paper. Two other obtained parameters (kinematic porosity and dispersivity) vary also with flow velocity. An increase of fifteen percent for the kinematic porosity was observed for the variation of flow velocities from 0.024 to 0.424 cm·s–1. However, the dispersivity decreased with increasing flow velocity. Figure 5 demonstrates the variation of particle deposition rates on the one hand and fractions of particles recovered on the other hand with kinematic porosity. Both increased with increasing kinematic porosity. The two lines intersect on the abscissa at x = 0.227. This value corresponds to the minimum kinematic porosity that can hopefully be obtained with a low flow velocity. In fact, this is the critical flow velocity under which the fraction of particles recovered will be equal to zero. In other words, all the particles injected in the column will be captured. This critical flow velocity can be determined from the relationship between the kinematic porosity and Darcy’s velocity (figure 3), that is Uc = 0.0063 cm·s–1, corresponding to a flow rate of 0.013 L·min–1. In conclusion, all the parameters (kinematic porosity, dispersivity, fraction of particles recovered and particle deposition rate) depend on flow velocity. The relationships between these parameters and the flow velocity can be represented by a power law.
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1. Introduction Les particules en suspension présentes dans les aquifères se comportent souvent comme des vecteurs de transport de polluants adsorbants, même si leur dépôt partiel implique une diminution de la charge polluante aux exutoires. La part des particules non déposées accélère la propagation des polluants [1, 6]. Le transport et le dépôt des particules colloïdales ont été largement étudiés. Les études récentes sont concentrées sur le transport de colloïdes dans des milieux poreux naturels [4, 8]. Nous proposons une étude du comportement en transport et de la cinétique de dépôt de particules limoneuses dans un milieu poreux par des traçages en colonne. Ces expériences nous mènent à la détermination des paramètres hydrodispersifs (porosité cinématique et dispersivité) et du coefficient de dépôt par modèle mathématique. À partir de cette étude en laboratoire, les développements envisagés sont la caractérisation sur site de l’interface (échange de matières) entre l’aquifère alluvial et le système karstique crayeux en Haute-Normandie.
2. Matériel et méthodologie Le mode d’injection d’un traceur dans la colonne est souvent continu ou en créneau [7, 9, 12]. Kretzschmar et al. [4] notent que les traçages par injection continue ou en créneau présentent des inconvénients dus à la quantité importante des particules introduites dans la colonne. En conséquence, le colmatage du milieu poreux pourrait avoir lieu ; il en résulterait une variation de la cinétique de dépôt dans le temps [5, 11]. En revanche, les traçages en particules par injection brève présentent de nombreux avantages. Nous avons donc choisi cette dernière technique d’injection. Les particules injectées sont des limons éoliens récoltés dans les formations superficielles holocènes recouvrant les plateaux crayeux haut-normands. Selon les spectres microgranulométriques réalisés à partir d’un compteur de particules de Coulter, les tailles des limons utilisés comme des particules en suspension sont comprises entre 2 et 50 µm, avec un mode de 24 µm. La colonne est remplie de graviers de silex concassés, dont 80 % sont compris entre 1,5 et 3 mm. La porosité totale du milieu est de 0,43 et la perméabilité de 1,37 cm·s–1. Le dispositif expérimental (figure 1) se compose d’un réservoir d’eau, d’une pompe permettant d’avoir un débit constant, d’un débitmètre numérique, d’une seringue de 60 mL, d’une colonne en verre et d’un système de détection connecté à un PC. La colonne est de 6,6 cm de diamètre intérieur et de 125 cm de long. Quatre piézomètres équipent la colonne pour contrôler la variation de charge hydraulique dans le milieu. Le système de détection est composé d’un turbidimètre aménagé, qui permet de mesurer en continu la turbidité, et d’une centrale d’acquisition. Les injections se réali-
sent rapidement à l’aide de la seringue contenant 60 mL d’eau, dont la turbidité est de 86 NTU. La quantité de la solution injectée est faible par rapport au volume total des pores (< 3 %). La réalisation d’un étalonnage du turbidimètre permet de convertir la turbidité en concentration en matières en suspension, afin d’estimer le taux de restitution des particules en sortie de la colonne par intégration de la chronique. Neuf traçages à des débits différents ont été réalisés.
3. Méthodes de détermination des paramètres 3.1. Modèle mathématique et solution analytique
Dans un milieu poreux homogène et saturé avec un écoulement uniforme, le transport des particules en suspension est décrit par l’équation de convection– dispersion avec une cinétique de dépôt du premier ordre [1, 4] : 2
⭸C = D ⭸ C − u ⭸C − K C (1) d 2 ⭸t ⭸x ⭸x où C est la concentration des particules dans la phase liquide mobile (g·L–1), D est le coefficient de dispersion (cm2·s–1), u la vitesse moyenne des particules (cm·s–1), Kd le coefficient cinétique de dépôt (L·h–1), x la variable d’espace (cm) et t la variable du temps (s). Dans l’équation (1), le relargage des particules déposées est négligé. Ceci peut être justifié si le relargage des particules est dû essentiellement à un changement d’écoulement. Dans notre cas, le débit est maintenu constant et la variation de la perméabilité le long de la colonne n’est pas observée durant la manipulation. Il existe une solution analytique à l’équation (1) pour une injection en continu (C(x = 0) = C0), qui s’écrit [13] : C共 t 兲 =
C0 2
再
冉
exp
冉
冊 冉公 冊 冊 共 兲冎
u x 共1 − β兲 2D
+ exp −
erfc x − u β t 4Dt
u x 共1 + β兲 2D
d’où β=
冑
1+
erfc x + u β t 4Dt
4 Kd D u
(2)
(3)
2
La solution analytique pour une injection brève (C0 dt = m/Q ) peut être obtenue par la différentiation de l’équation (2) par rapport au temps. Cette différentielle s’écrit : C共 t 兲 =
mx
Q 公4 π D t
3
冉
exp
冊
x u 共1 − β兲 2D
冉
共x − u β t兲 exp − 4Dt
冊
2
(4)
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Figure 1. Schéma du dispositif expérimental de traçage. Figure 1. Schematic drawing of the tracer experimental set-up
où m est la masse des particules injectées et Q le débit d’écoulement. L’équation (4) est la solution analytique pour un transport de particules par injection brève avec une cinétique de dépôt du premier ordre. Par définition, le taux de restitution de la masse injectée R s’écrit :
兰 冉
R= =
兰公 ∞
0
4πDt
exp
3
Q C共 t 兲 dt /m
冊
u x 共1 − β兲 2D
冊
2
冉
冊
冉
冊
x u 共1 − β兲 (6) 2D En introduisant le nombre de Péclet (P = u x/D) et le temps de transfert par convection pure (tc = x/u), on a : R = exp
P 共1 − β兲 (7) 2 La valeur de R est toujours inférieure à 1 si le phénomène de dépôt a lieu (β > 1). Le temps de transit moyen tm des particules qui ont traversé la colonne et la variance de temps (σ) sont définis par :
σ=
兰
∞
0
100
(10)
∞
C共 t 兲 t dt /
0
兰
∞
C共 t 兲 dt
(8)
兰
(9)
0
2
共 t − tm 兲 C共 t 兲 dt /
2 tc Pβ
(11)
3
Quand le phénomène de dépôt est absent, soit Kd = 0 et β = 1, l’équation (4) devient :
共x − u β t兲 dt 4Dt D’après Wang [14, Annexe I, Eq. I6], l’intégrale de l’équation précédente est donnée par :
R = exp
σ=
(5)
冉
兰
tc β 2
⋅ exp −
tm =
tm =
∞
0
x
En appliquant les intégrales sur l’équation (4), on obtient finalement :
∞
0
C共 t 兲 dt
C共 t 兲 =
xm
Q 公4 π D t
3
冉
共x − u t兲 exp − 4Dt
冊
2
(12)
On retrouve la solution analytique pour un transport de matières dissoutes. Le taux de restitution de l’équation (12) est R = 1, et le temps de transit moyen tm = tc [14]. Comme β > 1 pour un transport des particules, on a donc un temps de transit plus court pour les particules (tm = tc/β) que pour les traceurs dissous (tm = tc), sachant que seulement une partie de la masse injectée est sortie de la colonne pour les particules (R < 1). 3.2. Détermination des paramètres
Dans l’équation (4), trois paramètres u, D (ou α en admettant D = u α, où α est la dispersivité) et β (ou Kd) sont inconnus. Ces paramètres sont habituellement déterminés de la manière suivante : a) estimer d’abord u et D à partir d’une courbe de restitution d’un traceur dissous ; b) calculer ensuite Kd par une courbe de restitution des particules, tout en admettant que les particules sont transportées avec une même vitesse et un
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même coefficient de dispersion qu’un traceur dissous. Or, de nombreux travaux ont montré que les particules sont en fait transportées plus vite que les traceurs dissous [4, 7]. L’analyse théorique utilisant la solution analytique présentée ci-dessus a confirmé que le temps de transit moyen pour les particules est plus court que pour les traceurs dissous. En définitive, ces trois paramètres (u, D, β) doivent être déterminés à partir d’une même courbe de restitution des particules. En utilisant P et tc, les équations (12) et (4) peuvent se réécrire : • pour les traceurs dissous : C共 t 兲 =
W1
公t3
冉
共 tc − t 兲 exp − P 4 tc t
2
冊
(13)
• pour les particules : C共 t 兲 =
W2
公t3
冉
P′ 共 t′c − t 兲 exp − t 4 t′ c
2
冊
(15)
P′ = βP
(16)
avec W1 = m/Q 公P tc /4 π et
En comparant les équations (13) et (14), les solutions pour les particules et pour les traceurs dissous ont une forme identique. Toutes les méthodes d’interprétation de traçages basées sur l’équation (13) pour les traceurs dissous sont également applicables pour les particules (équation (14)). Plusieurs méthodes d’interprétation sont disponibles. On cite ici, par exemple, la méthode graphique linéaire [15] et celle des abaques [10]. Ces méthodes permettent de déterminer facilement les deux paramètres hydrodispersifs P et tc. Quand ces méthodes sont appliquées sur une courbe de restitution des particules (équation (14)), les deux paramètres déterminés sont P' et t′cau lieu de P et tc, respectivement. P' et t′cétant connus, on peut combiner les équations (15) et (16) à l’équation (7) du taux de restitution pour déterminer les trois inconnues tc, P et β : (17)
P′ β
(18)
tc = t′c β
(19)
P=
Ces trois paramètres peuvent être également déterminés par le principe de la méthode des moments [3, 14]. Selon le temps de transit moyen (équation (10)), la
(20) (21)
tc = tm β
(22)
2
où, la variance réduite σr = σ/tm. En connaissant β, P et tc, le coefficient cinétique de dépôt Kd, la porosité cinématique ω et la dispersivité α sont estimés selon les formules suivantes : α=x P Q tc ω= Vt
(23) (24)
2
P 共β − 1兲 4 tc
= − ln R tc
(25)
共 1 − lnPR 兲
où Vt est le volume total de la colonne. Si la dispersion cinématique est faible et négligeable (P est assez grand), le coefficient cinétique de dépôt Kd peut être estimé au moyen d’une formule approchée : Kd = − ln R tc
W2 = m/Q 公P tc /4 π exp共 P共 1 − β 兲/2 兲
P′ + 2 ln R
1 1 + σr ln R
P= 2 β σr
Kd =
t′c = tc /β
P′
β=
(14)
où
β=
variance (équation (11)) et le taux de restitution (équation (7)), on obtient :
(26)
On retrouve la formule (équation (6)) utilisée par Kretzschmar et al. [4].
4. Interprétation des traçages et discussion Les neuf traçages réalisés ont été interprétés selon les méthodes exposées ci-dessus. La détermination de t′c et de P' à partir des courbes de restitution est réalisée par la méthode graphique linéaire [15]. Les résultats obtenus sont résumés dans le tableau ; les calages des courbes de restitution sont illustrés sur la figure 2. Les courbes expérimentales sont parfaitement représentées par les solutions analytiques. 4.1. Influence de la vitesse d’écoulement
D’après la figure 2, les concentrations maximales des particules en suspension récupérées augmentent avec le débit, ce qui implique que la dilution varie inversement à l’augmentation de la vitesse d’écoulement. La figure 3 montre les variations des différents paramètres obtenus (tableau) en fonction de la vitesse d’écoulement. Les lignes représentent une régression linéaire entre ces paramètres et la vitesse de Darcy. Le taux de restitution des particules augmente avec la vitesse d’écoulement. Quand le débit est faible, la force hydrodynamique
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Tableau. Traçages des particules en colonne et résultats d’interprétation. Table. Particle tracer experiments in columns and results of interpretation.
No
Q (L·min–1)
U (cm·s–1)
R (%)
P
tc (s)
α (cm)
ω (%)
Kd (h–1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,05 0,08 0,15 0,20 0,30 0,46 0,62 0,75 0,87
0,024 0,039 0,073 0,097 0,146 0,224 0,303 0,365 0,424
13,1 13,5 22,9 32,6 26,7 41,7 40,8 37,2 52,7
167 156 177 188 246 242 272 292 299
1 480 878 556 417 297 206 160 136 124
0,75 0,79 0,71 0,67 0,51 0,52 0,46 0,43 0,42
28,9 27,4 32,5 32,5 34,8 37,0 38,7 39,7 42,0
5,00 8,36 9,63 9,72 16,10 15,34 20,25 26,26 19,12
exercée par l’écoulement sur les particules est insuffisante pour entraîner les particules les plus grosses, qui restent ainsi piégées. On a donc un taux de restitution faible. Le coefficient cinétique de dépôt augmente également avec la vitesse d’écoulement, quasiment dans les mêmes proportions que le taux de restitution. Cette augmentation du coefficient de dépôt avec la vitesse d’écoulement par une relation de puissance a été confirmée par les résultats expérimentaux [4] et par l’analyse théorique pour un transport de colloïdes [11]. Pour des écoulements lents, ces derniers auteurs ont aussi montré que la valeur de cette puissance varie entre 0 et 1/3. Kretzschmar et al. [4] ont trouvé expérimentalement une puissance de 0,31 pour les colloïdes carbonyle latex et 0,18 pour les colloïdes hématites (figure 4). Dans notre étude, les écoulements sont assez forts et les particules mises en transport sont plus grossières. Avec l’effet possible de la sédimentation et de la polydispersité des particules, cette valeur de puissance est plus élevée (0,49). La figure 4 illustre une comparaison des coefficients de dépôt obtenus par Kretzschmar et al. [4] et dans le cadre du présent travail. On observe une discontinuité entre les résultats obtenus avec des particules grossières et ceux obtenus avec des particules colloïdales. Soulignons que le paramètre pertinent dont dépendent les propriétés de transport est le nombre de Péclet de grain, qui augmente linéairement avec la taille des grains et celle des particules. Deux autres paramètres obtenus (la porosité cinématique et la dispersivité) varient également avec la vitesse d’écoulement. Une augmentation de 15 % de la porosité cinématique est observée (tableau) pour une variation de vitesses de Darcy de 0,024 à 0,424 cm·s–1. Quant à la dispersivité, elle augmente quand la vitesse de Darcy diminue. Pour un écoulement de faible débit, le temps de transit moyen augmente. La dispersivité s’accroît donc avec le temps de transport. Cette dépendance de la dispersivité au temps de transfert, ce que Dieulin [2] appelle « effet de parcours », a été beaucoup étudiée au cours de cette décennie. Figure 2. Calage des courbes de restitution de traçages des particules limoneuses.
4.2. Rôle de la porosité cinématique
Figure 2. Adjustment of the breakthrough curves of silt particle tracer experiments.
La figure 5 illustre les variations du coefficient de dépôt et du taux de restitution en fonction de la porosité
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Figure 3. Influence de la vitesse de Darcy sur les paramètres de transport et le coefficient de dépôt des particules limoneuses.
Figure 5. Évolution du coefficient de dépôt et du taux de restitution en fonction de la porosité cinématique.
Figure 3. Influence of Darcy’s flow velocity on silt particle transport and silt particle deposition rate.
Figure 5. Evolution of the particle deposition rate and of the fraction of particles recovered as a function of the kinematic porosity.
cinématique. Tous les deux augmentent avec la porosité cinématique, mais à deux allures différentes. La pente de la droite R–ω est deux fois plus forte que celle de la droite Kd–ω. La porosité cinématique atteint 42 %, avec un débit de 0,87 L·min–1, proche de la porosité totale (43 %). Les deux droites de régression linéaires se croisent sur l’axe à l’abscisse 0,227. Cette valeur correspond à la porosité cinématique minimale qu’on peut espérer obtenir avec un débit ou une vitesse d’écoulement très faible. En effet, c’est une vitesse critique
au-dessous de laquelle toutes les particules injectées seront piégées dans la colonne. Autrement dit, le taux de restitution sera nul. Cette vitesse critique (Uc) peut être déterminée selon la relation obtenue entre la porosité cinématique et la vitesse de Darcy (figure 3), soit Uc = 0,0063 cm·s–1, ce qui correspond à un débit de 0,013 L·min–1.
Figure 4. Comparaison entre les coefficients de dépôt des colloïdes hématites et latex obtenus par Kretzschmar et al. [4] et ceux des particules limoneuses obtenues dans cette étude. Figure 4. Comparison between the deposition rates of latex and hematite colloids obtained by Kretzschmar et al. [4] and those of silt particles determined in this study.
5. Conclusion Une méthode mathématique rapide est proposée pour estimer à la fois la porosité cinématique, la dispersivité et le coefficient de dépôt lors d’interprétation des traçages réalisés avec les particules en suspension par une injection brève. Cette méthode a montré son efficacité après que l’on eut interprété les neuf traçages réalisés dans une colonne. Les résultats d’interprétation permettent de conclure que tous les paramètres (taux de restitution, coefficient de dépôt, porosité cinématique et dispersivité) pour un transport de particules en suspension varient en fonction du débit ou de la vitesse d’écoulement. Les trois premiers augmentent avec le débit et le dernier diminue. Les relations entre ces paramètres et la vitesse de Darcy peuvent être toutes représentées par des lois puissances. Il y a également des corrélations entre le taux de restitution, le coefficient de dépôt et la porosité cinématique. Ces relations sont linéaires positives. À partir de ces relations, il est possible de déterminer la vitesse d’écoulement critique au-dessous de laquelle les particules injectées sont toutes piégées à l’intérieur d’un milieu poreux.
Remerciements. Les auteurs ont bénéficié du soutien financier de l’Insu, au travers de la contribution n° 209 du PNRH, ainsi que de l’Agence de l’eau Seine-Normandie et du Fonds européen de développement de l’espace rural, objectif 2, mesure 9, action 3.
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