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Phénomène d’explosion totale pour l’équation de la chaleur avec non-linéarité du type puissance
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 328, Serie I, p. 297-302, 1999 Equations aux derivees partielles/Partial Differential Equations
Phenomene d'explosion totale pour I'equation de la chaleur avec non-linear-ita du type puissance J wia l\1ATOS Laboratoire d'analyse numerique, tour 55-65,5' etage, Univ ersite Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France ( Re~ u
et accepte Ie 2 novemLre 1998)
Resume.
Dans cette Note, on s'interesse a la prolongation possible apres Ie temps d'explosion Tm des solutions c1assiques positives et a symetrie spherique u de l'equation de la chaleur avec non-linearite f (u) = uP, OU P > 1. On dit que u explose totalement apres Ts, si u ne peut pas etre continuee apres T... (rnerne dans Ie sens faible), On obtient un critere d'explosion totale qui porte sur Ie comportement asymptotique de u autour de la singularite d'explosion x = O. © Academic des Sciences/Elsev ier, Paris
Complete blow-up ph enonientni for the heat equation with power nonlinearity
Abstract.
In this Note, we are interested in the possible continuation after the blow-up time T ... of radially symmetric positive classical solutions u of the heat equation with nonlinearity feu) = uP, where p > 1. We say that u blows up completely after T m ifu can not be extended beyond T m (e ven in the weak sense). We obtain a complete blow up criterion O. which relies on the asymptotic behaviour of 1t around the blow-up singularity 1: © Acadernie des Sciences/Elsevier, Paris
=
Abridged English Version We consider the nonlinear heat equation: Ut - .6.u = uP in (0 , T) x
n,
u
=0
on (0 , T) x
an, u(O)
= Uo
in
n,
(0.1)
where n is a ball in R N or n = RN, UQ E L<"'(n) is nonnegative and radially symmetric, and p > 1. It is well known, by a local existence and uniqueness result, that there exists a unique classical solution u of (0.1) defined on a maximal time interval [O ,Tm ) (u E C 1 ,2«O,Tm ) x fi». We assume T m < +00, then u blows up in finite time Tm , that is Ilu(t)IILOO(fl) --+ +00 as t 1 Tm • In this case, we say that a E is a blow-up point (singularity) of u if there exist t n 1 Tm and (x n ) C n, X n --+ a such that U(tn ,xn) --+ +00 as n --+ +00.
n
Note presentee par Halrn BRUIS. 0764-4442199/03280347 © Academic des ScienceslEl sevier, Paris
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J. Matos The aim of this Note is to prove that under a suitable hypothesis relying on the asymptotic blow-up behaviour of U around the singularity x = 0, the solution U of (0.1) can not be extended beyond Tm (even in the weak sense). Next, we shall need the notion of complete blow-up after a certain time T ~ T m (see [1] and [9]). For this purpose, we consider a sequence (fn)n~O of locally Lipschitz functions [0, +00) - - [0, +00) such that:
o ~ in(s) s n for all n ~ 0, s ~ OJ { inCs) i sP as n ~ +00, for all s ~ 0. For each n ~ 0, there exists a unique global solution un(t, x) of the approximate problem:
D;tn -
AU n
= in(un)
in (0,+00) x n, Un
= ° on
(0,+00) x an, un(O)
°
= Uo
in n.
Recall that Un i U as n ~ +00 uniformly on [0, T] x n, for every < T < T m . For Tm ~ T and bounded, we say that the solution U blows up completely after T if
n
un(t,x) . $:() -- +00 umformly on [T + 'Y, +00) x o X
n-++oo
< +00
n,
for every 'Y > 0, where ~(x) = dist(x, DO) for x E O. This means in particular that no weak solution of (0.1) can be defined for t ~ T, where v is a weak solution of (0.1) in (0, T) x 0 if v E C([0,T),L 1 (O,8(x )dx )), v ~ 0, such that for every < S < T, one has
°
11
and
E L 1 ((0, S) x 0), 8(x)v P E L1«0, S) x 0),
l
S1
vP~ =
-l
S1
°
v(~t + A~)
°
-1 uo~(O),
for any ~ E C2([0, S] x 0) such that ~(S) == and ~ == on ao. For n = R , we say that u blows up completely after T if un(t,x) ~ +00 as n ~ +00, uniformly on compact subsets of (T, +00) x R N • Recall that the fact of u blowing up after some time T ~ T m does not depend on the choice of the sequence (fn)n>O. Our main result is a complete blow-up criterion which relies on the asymptotic blow-up behaviour of u around its centre of symmetry. N
N
THEOREM 0.1. - Let 0 = Bn(O) or n = "N. Let Uo E LOO(n) and Uo E Lq(R N ) if 0 = R , with q E [1, +(0), be nonnegative and radially symmetric such that the solution U of (0.1) blows up at t = Tm < +00 and x = O. Assume in addition that the following conditions hold: (a) lIu(t)IILOO(n) ~ M(Tm - t)- p':'. for all t E (0, Tm ) , with M > 0; (b) lim (Tm - t)~u(t, (Tm - t)1/2 y ) = k == (p -1)-~ uniformly on Iyl ~ K, K > 0. IfTm
Then, u blows up completely after TrnRecall that it was proved in [I] that any nonnegative solution u of (0.1) which blows up in finite time T m , blows up completely after T m , provided that Ut ~ a.e. in CO, T m ) X n or pis subcritical, that is 1 < P < and N ~ 3 or N = 1,2. Moreover, Giga and Kohn [4], [5], [6] showed that if p is subcritical and U is a nonnegative solution of (0.1) which blows up at t = Tm < +00 and x = 0, then the above conditions (a) and (b) are satisfied. The key idea to prove this theorem is to determine the possible final time blow-up profiles of the radially symmetric nonnegative solutions of (0.1) around the singularity x = 0, assuming that (a) and (b) hold.
Z!;
298
°
Phenomena d'explosion totale pour I'equation de la chaleur 0.2. - Let 0 = Bn(O) or 0 = RN . Let Uo E Loo(O) and Uo E Lq(R N ) if 0 = RN , with q E [1 , +00), be nonnegative and radially symmetric. Assume that the solution u of (0.1) blows T m < +00 and x 0, such that (a) and (b) hold. Then, the blow-up point x = 0 is up at t isolated and there exists THEOREM
=
=
lim u(t,x) = u(Tm ,x) for 0 < [z] < e.
ttT~
Moreover, one of the following possibilities occurs:
. (1)
. ( Ixl2 ) p':j
I~m I log Ixll
u(Tm , x)
=
8p
(
(p _ 1)2
(ii) there exist an integer m ~ 2 and C
) ;2:-r ;
> 0 such that lim Ixl~u(Tm,x) IxilO
= C.
This result was established under more general conditions for N = 1 (see [8] and [12]). It follows from Theorem 0.2 that for every /L > 0 there exists "/ = ,,/(/L) > 0 such that (0.2)
Finally, to conclude the proof of Theorem 0.1, we show that there exists /Lo = JLo(p , N) > 0 such that if Uo E U(O) is nonnegative and satisfies (0.2) with J.L > }lo, then there is no local weak solution of (0.1). This result is based on the arguments of Martel [10]. The proofs of the different results presented here appear in [11].
1. Introduction On considere l'equation de la chaleur non lineaire : Ut - Au
= uP
dans (0, T) x 0, u
=0
sur (0, T) x 80, u(O) = Uo dans 0 ,
(1.1)
ou 0 est une boule de R N ou bien 0 = RN, Uo E Loo(O) est positive et a symetrie spherique, et p > 1. Par un resultat bien connu d'existence locale et d'unicite, il existe une unique solution classique u de (1.1) definie sur un intervalle de temps maximal [0, T m ) (u E C 1,2((0, T m ) x 0». On suppose que Tm < +00, alors u expl~e en temps fini Tm , c'est-a-dire lIu(t)IILoo(o) --+ +00 lorsque t i Tm • Dans ce cas, on dit que a E 0 est un point (ou une singularite) d'explosion de u s'il existe t n T T m et (x n) C 0, X n -+ a tels que u(t n, x n ) -+ +00 lorsque n -+ +00. L'objet de cette Note est de montrer que sous une hypothese convenable portant sur Ie comportement asymptotique de u autour de Ia singularite d' explosion x = 0, la solution u de 0.1) ne peut pas etre continuee apres Tm (meme dans le sens faible). Pour ce qui suit, on a besoin de la notion d'explosion totale (voir [1] et [9]). Pour cela, on considere une suite (fn)n?O de fonctions localement lipschitziennes [0, +00) --+ [0, +00) teUe que:
o s fn(s) s n pour tout n ~ 0, s ~ 0; { fn(s) TsP lorsque n --+ +00, pour tout Quel que soit n 8u n -6un 8t
~
s
~
O.
0, il existe une unique solution globale un(t,x) du probleme approche:
= fn(u n)
dans (0, +00) x 0, Un = 0 sur (0, +00) x DO, un(O) = Uo dans O. (1.2)
299
J. Matos Remarquons que Un 1 U lorsque n -+ +00 uniformement sur [0, T] x 0., pour tout 0< T :s; T < +00 et 0. borne, on dit que la solution U explose totalement apres T si
< Tm. Pour
Tm
Un(t, x)
"() X
o
(1.3)
-- +00 uniformement sur [T + I' +00) x fl,
n-++oo
an)
pour tout I > 0, OU 6(x) ::: dist(x, pour x E 0. (fonction distance au bord an). Ceci signifie en particulier qu'aucune solution faible de (1.1) ne peut etre definie apres T, au vest une solution faible de (1.1) dans (0, T) x 0. si v E C([O, T), U(n,6(x)dx», v 2:: 0, telle que pour tout < S < T, on ait
°
1
810
et
vP~::: -1 V(~t + Ll~) - 10 uo~(O), 810
an
pour tout ~ E C2 ([O, S] x 0) tel que ~(S) == 0 et ~ == 0 sur (par analogie a la notion de solution faible de problemes el1iptiques de Brezis et al. [2], voir [9]). Pour 0. ::: RN , on dit que u explose totalement apres T si Un (t, x) -+ +00 lorsque n --+ +00, uniformement sur les sous-ensembles compacts de (T, +00) x RN • Rappelons que la propriete d'explosion totale (1.3) ne depend pas du choix de la suite (fn)n>O.
2. Enonce des resultats Notre premier resultat est un critere d'explosion totale apres Tm portant sur Ie comportement asymptotique I' explosion de U autour de son centre de symetrie.
a
N
THI~ORI'::ME 2.1. - Soil 0.::: BR(O) ou bien 0. ::: RN. Soient Uo E LOO(n) et Uo E U(R N ) si n ::: R • avec q E [1, +00), positive et a symetrie spherique telle que la solution u de (1.1) explose pour t ::: T m < +00 en x ::: O. Supposons de plus que les conditions suivantes sont verifiees : (a) lIu(t)IILo<>(o):S; M(Tm - t)-"~1 pour tout t E (0, T m ) , avec M > 0; (b) lim (Tm - t)~u(t, (Tm - t)1/2y ) ::: k == (p -1)-~ uniformement sur Iyl :s; K, K > O. tTT~
Alors, u explose totalement apres T m' Rappelons qu'i1 a ete preuve dans [1] que toute solution positive u de (1.1) qui explose en temps fini a la condition que soit u; 2:: 0, soit pest sous-critique, c'est-a-dire 1 < p < Pc == Z!~ et N 2:: 3 ou N ::: 1,2. Giga et Kahn [4], [5], [6] ont montre que si pest sous-critique et u est une solution positive de (1.1) qui explose pour t ::: Tm < +00 en x = 0, aloes les conditions ci-dessus (a) et (b) sont satisfaites. De plus, i1s ont preuve que si p est critique, c'est-a-dire p ::: pc et N 2:: 3, alors (b) est encore satisfaite pourvu que (a) soit verifiee. Nous renvoyons Ie lecteur a Galaktionov et Vazquez [3] pour des resultats d'explosion totale dans Ie cas de n ::: R N • Cependant, pour p sur-critique, c'est-a-dire p > Pc et N 2:: 3, il y est toujours suppose que (a) et (b) sont verifiees (voir [11] pour plus de details). Le point de pour montrer ce theoreme est de determiner les profils finaux possibles a I' explosion des solutions radiales positives de (1.1) autour de la singularite x ::: 0, sous les conditions (a) et (b). Nous montrons Ie resultat suivant :
Tm , explose totalement apres T m ,
N
2.2. - Soit 0. ::: Bn(O) ou bien n ::: RN. Soient Uo E LOO(n) et Uo E Lq(R N ) si 0. ::: R • [1, +00), positive et symetrie spherique. Supposons que la solution u de (1.1) explose
THEoRtlME
avec q E
300
a
Phenomene d'exploslon totale pour I'equation de la chaleur
pour t = T m < +00 en x = 0, que (a) et (b) sont verifiees. Alars, le point d'explosion x = 0 est isole et it existe lim u(t,x)
tiT...
= u(Tm,x)
pour 0
De plus, on a l' alternative suivante : .
.' (1) soit
mro
(
2
Ixl ) p':l [log Ixll u(Tm,x)
(ii) soit it existe un entier m ~ 2 et C
=
(
8p
(p _ 1)2
> 0 tels
)
~
< Ixl < c.
' 2 ...
que lim Ixlp-1u(Tm,x) = C. I",ILO
Ce resultat a ete etabli sous des conditions plus generales pour N = 1 (voir [8] et [12]).
3. Elements de demonstration Les demonstrations des differents resultats presentes ici figurent dans [11], nous allons en donner les principaux arguments. La preuve du theoreme 2.1 est obtenue en deux etapes, D'abord, par Ie theoreme 2.2, on conclut que pour tout /L > 0 il existe 'Y = 'Y(/L) > 0 tel que
u(Tm,x) ~ /Llxl-~ pour tout 0
<
Ixl
< 'Y,
(3.1)
Enfin, on montre qu'il existe une classe de donnees initiales Uo E U(O) pour lesquelles il n'existe aucune solution locale faible de (1.1). Le lemme suivant repose sur les arguments de Martel [to]. LEMME. - Soit 0
avec /L
> /Lo
et e
= BR(O). Il existe /Lo = JLo(p, N) > 0 tel que si Uo E U(O) est positive et satisfait
> 0,
alors it n'existe aucune solution locale Jaible de (1.1).
Concernant Ie theoreme 2.2, la demonstration utilise les methodes de Herrero et Velazquez [7], [8] et Velazquez [12], [13], [14]. D'abord, par rapport a (b) (theoreme 2.1), on obtient un terme supplementaire dans Ie comportement de Ia solution u pres du temps d'explosion. Pour cela, dans Ie cas 0 = RN , on applique la transformation de variables auto-similaires autour de (Tm,O) :
w(s, y) = (Tm - t) P':I u(t, x), La fonction west positive et
a symetrie
S
= -log(Tm - t), Y = x(Tm - t)1/2.
spherique, et satisfait
1 w ws - Li.w + -y. "Vw + - - - wP = 0 dans (-log(Tm), +(0) x RN 2
p-1
•
(3.2)
De plus, par Ies conditions (a) et (b), west uniformement borne et w(s, y) -+ k uniformement sur Iyl ~ K. avec K > 0, lorsque s -+ +00. En posant w(s, y) = k + 'l/J(s, y) dans (3.2), on obtient 1
'l/Js =Li.1/J-"2 y·"V'l/J+'l/J+f('l/J)
=
=
= A'l/J + f('l/J)
dans (-log(Tm),+oo)xR N ,
(3.3)
('l/J + k)P - kP - pkP - 11/J O('l/J2) lorsque e -+ O. En vue d'analyser Ie comportement ou f('l/J) etudier l'operateur lineaire A, defini dans (3.3). La de 'l/J(s, y) lorsque s -+ +00, on est arnene
a
301
,. Matos difference essentielle par rapport aux arguments utilises dans [13] et [14] (travaux concernant Ie cas N ~ 1) est le fait que A soit auto-adjoint dans l'espace des fonctions a symetrie spherique
et a un spectre discret de valeurs propres simples Am == 1 - m, m == 0,1,2, ..., Ies fonctions propres correspondantes Lm(y) etant definies a partir des polyn6mes de Laguerre standards d'ordre N:;2 et degre m. On peut ensuite developper t/J en serie de Fourier t/J(s,y) = ~m am (s)Lm(y). Sous les conditions du theorerne 2.2, on montre qu'une des proprietes suivantes est verifiee : (I) (II)
t/J(s,y) = -
~ Ll(Y) +
o(D
lorsque s
-+
+00.
i/ existe un entier m ~ 2 et C > 0 leis que 1/;(s, y)
OU
E~ = k(41r)N/4p-l(~)1/2 :
= _Ce(1-m)s Lm(y) + o(e(1-m)s) lorsque
8 -+ +00. Dans les deux cas, les convergences sont uniformes sur les compacts de R N • Enfin, on prouve que (1) (resp. (II)) implique (i) (resp. (iij), D'autre part, si BR(O), on considere d'abord une extension tout I' espace RN et ensuite on montre que les arguments utilises dans Ie cas appropriee de u n = RN sont encore valables pour Ie nouveau probleme dans RN • Notons que Ie cas n borne n 'a pas ere considere dans les travaux precedents ([13] et (14]).
a
n=
Remerclernents, L'auteur remercie Yvan Martel pour des discussions stirnulantes. Ce travail a ete subventionne par INler, bourse PRAXIS XXUBD/4016/94, et les projets PRAXIS/212.IIMAT/125/94 et FEDER.
References bibliographlques II) Baras P.• Cohen L., Complete blow-up after Tm a x for the solution of a semilinear heat equation. J. Funct, Anal. 71 (1987) 142-174. (2) Brezis H.. Cazenave T.• Martel Y., Ramiandrisoa A.• Blow-up for lJl - ~u == g(u) revisited, Adv. Differ. Eq. 1 (1996) 73-91. (31 Galaktionov V.A., Vazquez J.L., Continuation of blow-up solutions of nonlinear heat equations in several space dimensions. Commun. Pure Appl. Math. L (I) (1997) 1-67. (4] Giga Y.• Kohn R.• Asymptotically self-similar blow-up of sernilinear heat equations, Commun. Pure Appl. Math. 38 (1985) 297-319. (5) Giga Y., Kohn R.. Characterizing blowup using similarity variables, Indiana Univ. Math. J. 36 (1987) 1-40. r6j Giga Y., Kohn R.. Nondegeneracy of blow-up for semilinear heat equations, Commun. Pure Appl. Math. 42 (6) (1989) 845-884. [7] Herrero M.A., Veldzquez J.J.L.• Blow up behaviour of one-dimensional semilinear parabolic equations, Ann. Inst. H. Poincare, Anal. non lin. 10 (2) (\992) 131-189. (8) Herrero M.A.• Velazquez J.J.L.• Blow up profiles in one-dimensional semilinear parabolic problems. Commun. Partial Differ. Eq. 17 (182) (1992) 205-219. [9] Martel Y.• Complete blow up and global behaviour of solutions of lJr - ~u == g(u) . Ann. Inst H. Poincare, Anal. non lin. 6 (1998) 687-723. llOI Martel Y.• Dynamicalinstability of weak extremal solutions of nonlinear elliptic problems Adv. Math. Sci. Appl. (II parattre). ( I I) Matos 1.. Self-similar blow-up patterns in supercritical semilinear heat equations. Publications LAN, R 98031. 1998; Commun Appl. Anal. (ll paraitre), (12) Veldzquez J.J.L.. Local behaviour near blow up points for semilinear parabolic equations. J. Differ. Eq, 106 (2) (1993) 384-415. [131 Veldzquez J.J.L.• Classification of singularities for blowing up solutions in higher dimensions, Trans. Amer. Math. Soc. 338 (I) (1993) 441-464. (141 Vel:izquez J.J.L.• Higher dimensional blow up for semilinear parabolic equations, Commun. Partial Differ. Eq. 17 (9-10) (1992) 1567-1696.
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Phenomene d'explosion totale pour I'equation de la chaleur avec non-linear-ita du type puissance J wia l\1ATOS Laboratoire d'analyse numerique, tour 55-65,5' etage, Univ ersite Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France ( Re~ u
et accepte Ie 2 novemLre 1998)
Resume.
Dans cette Note, on s'interesse a la prolongation possible apres Ie temps d'explosion Tm des solutions c1assiques positives et a symetrie spherique u de l'equation de la chaleur avec non-linearite f (u) = uP, OU P > 1. On dit que u explose totalement apres Ts, si u ne peut pas etre continuee apres T... (rnerne dans Ie sens faible), On obtient un critere d'explosion totale qui porte sur Ie comportement asymptotique de u autour de la singularite d'explosion x = O. © Academic des Sciences/Elsev ier, Paris
Complete blow-up ph enonientni for the heat equation with power nonlinearity
Abstract.
In this Note, we are interested in the possible continuation after the blow-up time T ... of radially symmetric positive classical solutions u of the heat equation with nonlinearity feu) = uP, where p > 1. We say that u blows up completely after T m ifu can not be extended beyond T m (e ven in the weak sense). We obtain a complete blow up criterion O. which relies on the asymptotic behaviour of 1t around the blow-up singularity 1: © Acadernie des Sciences/Elsevier, Paris
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Abridged English Version We consider the nonlinear heat equation: Ut - .6.u = uP in (0 , T) x
n,
u
=0
on (0 , T) x
an, u(O)
= Uo
in
n,
(0.1)
where n is a ball in R N or n = RN, UQ E L<"'(n) is nonnegative and radially symmetric, and p > 1. It is well known, by a local existence and uniqueness result, that there exists a unique classical solution u of (0.1) defined on a maximal time interval [O ,Tm ) (u E C 1 ,2«O,Tm ) x fi». We assume T m < +00, then u blows up in finite time Tm , that is Ilu(t)IILOO(fl) --+ +00 as t 1 Tm • In this case, we say that a E is a blow-up point (singularity) of u if there exist t n 1 Tm and (x n ) C n, X n --+ a such that U(tn ,xn) --+ +00 as n --+ +00.
n
Note presentee par Halrn BRUIS. 0764-4442199/03280347 © Academic des ScienceslEl sevier, Paris
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J. Matos The aim of this Note is to prove that under a suitable hypothesis relying on the asymptotic blow-up behaviour of U around the singularity x = 0, the solution U of (0.1) can not be extended beyond Tm (even in the weak sense). Next, we shall need the notion of complete blow-up after a certain time T ~ T m (see [1] and [9]). For this purpose, we consider a sequence (fn)n~O of locally Lipschitz functions [0, +00) - - [0, +00) such that:
o ~ in(s) s n for all n ~ 0, s ~ OJ { inCs) i sP as n ~ +00, for all s ~ 0. For each n ~ 0, there exists a unique global solution un(t, x) of the approximate problem:
D;tn -
AU n
= in(un)
in (0,+00) x n, Un
= ° on
(0,+00) x an, un(O)
°
= Uo
in n.
Recall that Un i U as n ~ +00 uniformly on [0, T] x n, for every < T < T m . For Tm ~ T and bounded, we say that the solution U blows up completely after T if
n
un(t,x) . $:() -- +00 umformly on [T + 'Y, +00) x o X
n-++oo
< +00
n,
for every 'Y > 0, where ~(x) = dist(x, DO) for x E O. This means in particular that no weak solution of (0.1) can be defined for t ~ T, where v is a weak solution of (0.1) in (0, T) x 0 if v E C([0,T),L 1 (O,8(x )dx )), v ~ 0, such that for every < S < T, one has
°
11
and
E L 1 ((0, S) x 0), 8(x)v P E L1«0, S) x 0),
l
S1
vP~ =
-l
S1
°
v(~t + A~)
°
-1 uo~(O),
for any ~ E C2([0, S] x 0) such that ~(S) == and ~ == on ao. For n = R , we say that u blows up completely after T if un(t,x) ~ +00 as n ~ +00, uniformly on compact subsets of (T, +00) x R N • Recall that the fact of u blowing up after some time T ~ T m does not depend on the choice of the sequence (fn)n>O. Our main result is a complete blow-up criterion which relies on the asymptotic blow-up behaviour of u around its centre of symmetry. N
N
THEOREM 0.1. - Let 0 = Bn(O) or n = "N. Let Uo E LOO(n) and Uo E Lq(R N ) if 0 = R , with q E [1, +(0), be nonnegative and radially symmetric such that the solution U of (0.1) blows up at t = Tm < +00 and x = O. Assume in addition that the following conditions hold: (a) lIu(t)IILOO(n) ~ M(Tm - t)- p':'. for all t E (0, Tm ) , with M > 0; (b) lim (Tm - t)~u(t, (Tm - t)1/2 y ) = k == (p -1)-~ uniformly on Iyl ~ K, K > 0. IfTm
Then, u blows up completely after TrnRecall that it was proved in [I] that any nonnegative solution u of (0.1) which blows up in finite time T m , blows up completely after T m , provided that Ut ~ a.e. in CO, T m ) X n or pis subcritical, that is 1 < P < and N ~ 3 or N = 1,2. Moreover, Giga and Kohn [4], [5], [6] showed that if p is subcritical and U is a nonnegative solution of (0.1) which blows up at t = Tm < +00 and x = 0, then the above conditions (a) and (b) are satisfied. The key idea to prove this theorem is to determine the possible final time blow-up profiles of the radially symmetric nonnegative solutions of (0.1) around the singularity x = 0, assuming that (a) and (b) hold.
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298
°
Phenomena d'explosion totale pour I'equation de la chaleur 0.2. - Let 0 = Bn(O) or 0 = RN . Let Uo E Loo(O) and Uo E Lq(R N ) if 0 = RN , with q E [1 , +00), be nonnegative and radially symmetric. Assume that the solution u of (0.1) blows T m < +00 and x 0, such that (a) and (b) hold. Then, the blow-up point x = 0 is up at t isolated and there exists THEOREM
=
=
lim u(t,x) = u(Tm ,x) for 0 < [z] < e.
ttT~
Moreover, one of the following possibilities occurs:
. (1)
. ( Ixl2 ) p':j
I~m I log Ixll
u(Tm , x)
=
8p
(
(p _ 1)2
(ii) there exist an integer m ~ 2 and C
) ;2:-r ;
> 0 such that lim Ixl~u(Tm,x) IxilO
= C.
This result was established under more general conditions for N = 1 (see [8] and [12]). It follows from Theorem 0.2 that for every /L > 0 there exists "/ = ,,/(/L) > 0 such that (0.2)
Finally, to conclude the proof of Theorem 0.1, we show that there exists /Lo = JLo(p , N) > 0 such that if Uo E U(O) is nonnegative and satisfies (0.2) with J.L > }lo, then there is no local weak solution of (0.1). This result is based on the arguments of Martel [10]. The proofs of the different results presented here appear in [11].
1. Introduction On considere l'equation de la chaleur non lineaire : Ut - Au
= uP
dans (0, T) x 0, u
=0
sur (0, T) x 80, u(O) = Uo dans 0 ,
(1.1)
ou 0 est une boule de R N ou bien 0 = RN, Uo E Loo(O) est positive et a symetrie spherique, et p > 1. Par un resultat bien connu d'existence locale et d'unicite, il existe une unique solution classique u de (1.1) definie sur un intervalle de temps maximal [0, T m ) (u E C 1,2((0, T m ) x 0». On suppose que Tm < +00, alors u expl~e en temps fini Tm , c'est-a-dire lIu(t)IILoo(o) --+ +00 lorsque t i Tm • Dans ce cas, on dit que a E 0 est un point (ou une singularite) d'explosion de u s'il existe t n T T m et (x n) C 0, X n -+ a tels que u(t n, x n ) -+ +00 lorsque n -+ +00. L'objet de cette Note est de montrer que sous une hypothese convenable portant sur Ie comportement asymptotique de u autour de Ia singularite d' explosion x = 0, la solution u de 0.1) ne peut pas etre continuee apres Tm (meme dans le sens faible). Pour ce qui suit, on a besoin de la notion d'explosion totale (voir [1] et [9]). Pour cela, on considere une suite (fn)n?O de fonctions localement lipschitziennes [0, +00) --+ [0, +00) teUe que:
o s fn(s) s n pour tout n ~ 0, s ~ 0; { fn(s) TsP lorsque n --+ +00, pour tout Quel que soit n 8u n -6un 8t
~
s
~
O.
0, il existe une unique solution globale un(t,x) du probleme approche:
= fn(u n)
dans (0, +00) x 0, Un = 0 sur (0, +00) x DO, un(O) = Uo dans O. (1.2)
299
J. Matos Remarquons que Un 1 U lorsque n -+ +00 uniformement sur [0, T] x 0., pour tout 0< T :s; T < +00 et 0. borne, on dit que la solution U explose totalement apres T si
< Tm. Pour
Tm
Un(t, x)
"() X
o
(1.3)
-- +00 uniformement sur [T + I' +00) x fl,
n-++oo
an)
pour tout I > 0, OU 6(x) ::: dist(x, pour x E 0. (fonction distance au bord an). Ceci signifie en particulier qu'aucune solution faible de (1.1) ne peut etre definie apres T, au vest une solution faible de (1.1) dans (0, T) x 0. si v E C([O, T), U(n,6(x)dx», v 2:: 0, telle que pour tout < S < T, on ait
°
1
810
et
vP~::: -1 V(~t + Ll~) - 10 uo~(O), 810
an
pour tout ~ E C2 ([O, S] x 0) tel que ~(S) == 0 et ~ == 0 sur (par analogie a la notion de solution faible de problemes el1iptiques de Brezis et al. [2], voir [9]). Pour 0. ::: RN , on dit que u explose totalement apres T si Un (t, x) -+ +00 lorsque n --+ +00, uniformement sur les sous-ensembles compacts de (T, +00) x RN • Rappelons que la propriete d'explosion totale (1.3) ne depend pas du choix de la suite (fn)n>O.
2. Enonce des resultats Notre premier resultat est un critere d'explosion totale apres Tm portant sur Ie comportement asymptotique I' explosion de U autour de son centre de symetrie.
a
N
THI~ORI'::ME 2.1. - Soil 0.::: BR(O) ou bien 0. ::: RN. Soient Uo E LOO(n) et Uo E U(R N ) si n ::: R • avec q E [1, +00), positive et a symetrie spherique telle que la solution u de (1.1) explose pour t ::: T m < +00 en x ::: O. Supposons de plus que les conditions suivantes sont verifiees : (a) lIu(t)IILo<>(o):S; M(Tm - t)-"~1 pour tout t E (0, T m ) , avec M > 0; (b) lim (Tm - t)~u(t, (Tm - t)1/2y ) ::: k == (p -1)-~ uniformement sur Iyl :s; K, K > O. tTT~
Alors, u explose totalement apres T m' Rappelons qu'i1 a ete preuve dans [1] que toute solution positive u de (1.1) qui explose en temps fini a la condition que soit u; 2:: 0, soit pest sous-critique, c'est-a-dire 1 < p < Pc == Z!~ et N 2:: 3 ou N ::: 1,2. Giga et Kahn [4], [5], [6] ont montre que si pest sous-critique et u est une solution positive de (1.1) qui explose pour t ::: Tm < +00 en x = 0, aloes les conditions ci-dessus (a) et (b) sont satisfaites. De plus, i1s ont preuve que si p est critique, c'est-a-dire p ::: pc et N 2:: 3, alors (b) est encore satisfaite pourvu que (a) soit verifiee. Nous renvoyons Ie lecteur a Galaktionov et Vazquez [3] pour des resultats d'explosion totale dans Ie cas de n ::: R N • Cependant, pour p sur-critique, c'est-a-dire p > Pc et N 2:: 3, il y est toujours suppose que (a) et (b) sont verifiees (voir [11] pour plus de details). Le point de pour montrer ce theoreme est de determiner les profils finaux possibles a I' explosion des solutions radiales positives de (1.1) autour de la singularite x ::: 0, sous les conditions (a) et (b). Nous montrons Ie resultat suivant :
Tm , explose totalement apres T m ,
N
2.2. - Soit 0. ::: Bn(O) ou bien n ::: RN. Soient Uo E LOO(n) et Uo E Lq(R N ) si 0. ::: R • [1, +00), positive et symetrie spherique. Supposons que la solution u de (1.1) explose
THEoRtlME
avec q E
300
a
Phenomene d'exploslon totale pour I'equation de la chaleur
pour t = T m < +00 en x = 0, que (a) et (b) sont verifiees. Alars, le point d'explosion x = 0 est isole et it existe lim u(t,x)
tiT...
= u(Tm,x)
pour 0
De plus, on a l' alternative suivante : .
.' (1) soit
mro
(
2
Ixl ) p':l [log Ixll u(Tm,x)
(ii) soit it existe un entier m ~ 2 et C
=
(
8p
(p _ 1)2
> 0 tels
)
~
< Ixl < c.
' 2 ...
que lim Ixlp-1u(Tm,x) = C. I",ILO
Ce resultat a ete etabli sous des conditions plus generales pour N = 1 (voir [8] et [12]).
3. Elements de demonstration Les demonstrations des differents resultats presentes ici figurent dans [11], nous allons en donner les principaux arguments. La preuve du theoreme 2.1 est obtenue en deux etapes, D'abord, par Ie theoreme 2.2, on conclut que pour tout /L > 0 il existe 'Y = 'Y(/L) > 0 tel que
u(Tm,x) ~ /Llxl-~ pour tout 0
<
Ixl
< 'Y,
(3.1)
Enfin, on montre qu'il existe une classe de donnees initiales Uo E U(O) pour lesquelles il n'existe aucune solution locale faible de (1.1). Le lemme suivant repose sur les arguments de Martel [to]. LEMME. - Soit 0
avec /L
> /Lo
et e
= BR(O). Il existe /Lo = JLo(p, N) > 0 tel que si Uo E U(O) est positive et satisfait
> 0,
alors it n'existe aucune solution locale Jaible de (1.1).
Concernant Ie theoreme 2.2, la demonstration utilise les methodes de Herrero et Velazquez [7], [8] et Velazquez [12], [13], [14]. D'abord, par rapport a (b) (theoreme 2.1), on obtient un terme supplementaire dans Ie comportement de Ia solution u pres du temps d'explosion. Pour cela, dans Ie cas 0 = RN , on applique la transformation de variables auto-similaires autour de (Tm,O) :
w(s, y) = (Tm - t) P':I u(t, x), La fonction west positive et
a symetrie
S
= -log(Tm - t), Y = x(Tm - t)1/2.
spherique, et satisfait
1 w ws - Li.w + -y. "Vw + - - - wP = 0 dans (-log(Tm), +(0) x RN 2
p-1
•
(3.2)
De plus, par Ies conditions (a) et (b), west uniformement borne et w(s, y) -+ k uniformement sur Iyl ~ K. avec K > 0, lorsque s -+ +00. En posant w(s, y) = k + 'l/J(s, y) dans (3.2), on obtient 1
'l/Js =Li.1/J-"2 y·"V'l/J+'l/J+f('l/J)
=
=
= A'l/J + f('l/J)
dans (-log(Tm),+oo)xR N ,
(3.3)
('l/J + k)P - kP - pkP - 11/J O('l/J2) lorsque e -+ O. En vue d'analyser Ie comportement ou f('l/J) etudier l'operateur lineaire A, defini dans (3.3). La de 'l/J(s, y) lorsque s -+ +00, on est arnene
a
301
,. Matos difference essentielle par rapport aux arguments utilises dans [13] et [14] (travaux concernant Ie cas N ~ 1) est le fait que A soit auto-adjoint dans l'espace des fonctions a symetrie spherique
et a un spectre discret de valeurs propres simples Am == 1 - m, m == 0,1,2, ..., Ies fonctions propres correspondantes Lm(y) etant definies a partir des polyn6mes de Laguerre standards d'ordre N:;2 et degre m. On peut ensuite developper t/J en serie de Fourier t/J(s,y) = ~m am (s)Lm(y). Sous les conditions du theorerne 2.2, on montre qu'une des proprietes suivantes est verifiee : (I) (II)
t/J(s,y) = -
~ Ll(Y) +
o(D
lorsque s
-+
+00.
i/ existe un entier m ~ 2 et C > 0 leis que 1/;(s, y)
OU
E~ = k(41r)N/4p-l(~)1/2 :
= _Ce(1-m)s Lm(y) + o(e(1-m)s) lorsque
8 -+ +00. Dans les deux cas, les convergences sont uniformes sur les compacts de R N • Enfin, on prouve que (1) (resp. (II)) implique (i) (resp. (iij), D'autre part, si BR(O), on considere d'abord une extension tout I' espace RN et ensuite on montre que les arguments utilises dans Ie cas appropriee de u n = RN sont encore valables pour Ie nouveau probleme dans RN • Notons que Ie cas n borne n 'a pas ere considere dans les travaux precedents ([13] et (14]).
a
n=
Remerclernents, L'auteur remercie Yvan Martel pour des discussions stirnulantes. Ce travail a ete subventionne par INler, bourse PRAXIS XXUBD/4016/94, et les projets PRAXIS/212.IIMAT/125/94 et FEDER.
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302