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Sur l'équation de la chaleur pour les applications harmoniques avec potentiel
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, S&ie I, p. 569-574, 1998 iquations aux d&iv&es partielles/Parfial Differential Equations
Sur 1’6quation de la chaleur harmoniques avec potentiel Ali FARDOUN
a, Andrea
a Dkpartement Courriel
de mathkmatiques, : fardounauniv-brest.fr,
b Dipartimento Courriel
di Matematica, : [email protected]
(Requ
le 13 juillet
RbumC.
1998,
RATTO
b, Rachid
UniversitC de Brest, [email protected] Viale
accept6
Mere110
aprk
93,
r&vision
pour
les applications
REGBAOUI 6, avenue
Facolti
a Le Gorgeu,
d’ingegneria,
le 11 septembre
09123
29200 Cagliari,
Brest,
France
Italie
1998)
Soient (M, g) et (N, h) deux variCtCs riemanniennes saris bord (M compacte et N complkte). Soit G E C?(N) ; si u : M + N est C”, on d&kit IT&(U) = f s, [Id@ - 2G(,u)]d&. N ous obtenons des rCsultats d’existence globale et de convergence 2 l’infini pour l’kquation de la chaleur associke ?I la fonctionnelle EQ dans le cas oti RiemN 5 0. En revanche, si cette demibe condition sur la courbure de N n’est pas vCrifiCe, nous avons des cas d’explosion des solutions. 0 AcadCmie des SciencesMsevier, Paris
On the heat flow for harmonic
maps with potential
Abstract.
Let (M, g) and (N, h) be two Riemannian manifolds without boundary (M compact, N complete). Let G E C”(N); if ~1 : M --+ N is a smooth map, we define EG(~) = $ l, [(dul’ - 2G(u)]dV,11. We obtain some global existence and convergence results for solutions of the heat equation associated with the functional EG under the assumption Riem.v 5 0. If this curvature condition is violated, we find phenomena of blowing-up of solutions. 0 AcadCmie des SciencesMsevier, Paris
Abridged
English Version
We shall assume that (M, g), (N, h) are two connected Riemannian manifolds without boundary, M compact, N complete. If G : N --f R is a given smooth function, the energy with potential G on smooth maps u : M ---f N is the functional defined by EG(u)
= ;
s
nl [(dUj2 - 2G(u)]dVM.
Note prbentke par Haim BF&ZIS. 0764-4442/98/03270569
0 AcadCmie des SciencesElsevier, Paris
569
A. Fardoun
et al.
The smooth critical points of EG are called harmonic maps with potential G (see [3], [4], [6] for background and motivations, and [8], [9], [l l] for related questions). The heat equation associated with (1) is
(9
8% -at =
TG(Ut)r
(ii)
ug(x) = U(x) vx E M,
where U : M + N is the initial condition (which we suppose to be of class C2+a for simplicity) TG(u) = T(U) + VG(u)
(2)
and (3)
(r(u) = trace,(Vdu) is the tension field associated with harmonic maps; also note that TG(U) = 0 is the Euler-Lagrange equation for the functional EG). We have: THEOREM 1. - If N is compact and RiemN 5 0, then the heat equation (2) always admits a solution ut dejined on [0, +oo) x M. Moreover, there is a sequence i?i,-+ +cz such that ut, converges to u, in C2(M, N), where u, : M -+ N is a harmonic map with potential G which is homotopic to ii. Remark 1. - Unlike the classical case, in general, u, will not be an absolute minimum in its homotopy class. However, as a consequence of our analysis we can deduce that, under the hypotheses of Theorem 1, each map ti : M -+ N is homotopic to a harmonic map with potential G which is an absolute minimum in its homotopy class. Remark 2. - If the target manifold
N in Theorem 1 is supposed to be complete but not compact, then the choice of the potential G plays an important role. In particular, we have global existence and convergence for manifolds N which do not satisfy the Eells-Sampson growth condition, provided that the potential G verifies some suitable hypotheses: some details in this direction can be found in the french version below. THEOREM 2. - Supposethat dimA 2 3 and that N is compact, and set L = Vol(M) . max{ G(y) : y E N}. Let 3 be a non-trivial homotopy class of mappingsfrom M into N. There exists E > 0 such that, if ti E 3 verifies
EG(U) + L < E,
(4)
then the solution to the heat equation (2) blows up in finite time. Moreover, if [0, T(u)) denotes the maximal existence interval for the solution to (2), we have T(G) --+ 0 as EG(u) + -L .
Soient (M, g) et (N, h) d eux varietes riemanniennes connexes sans bord (M compacte et N complete). Nous definissons la fonctionnelle de l’energie avec potentiel G (G E C”(N) est une fonction donnte) : EG(u) = ;
s
M [ldu12 - 2G(u)]dVM,
u E C”(M,N).
Les applications harmoniques par rapport au potentiel G (voir [3], [4], [6] pour une introduction au sujet, et [8], [9], [l l] pour des questions likes) sont par definition les points critiques de la fonctionnelle EG de classe C”, c’est-a-dire, les solutions de l’equation TV oii r(u) = trace,(Vdu) 570
gf~(u) + VG(u)
= 0,
est le champ de tension associe aux applications harmoniques.
(2)
Sur
L’Cquation
I’kquation
de la chaleur
pour
les applications
harmoniques
avec
potentiel
de la chaleur associke 2 (1) et (2) est la suivante : (i)
oti U. : A4 -+ N repkente En coordonnkes locales (xi)
2
= ~G(u~),
(ii)
ug(x)
= G(x) vx E Ad,
la donnCe initiale (qu’on supposera de classe C2+e pour la simplicitk). sur M, (y”) sur N, 1’Cquation (3)-(i) prend la forme suivante :
(4) PROPOSITION 1. - Le probEme (3) admet toujours une solution locale unique ut d&inie sur un domaine d’existence maximal de la forme [0, T) x M, oli T E (0: +oc].
Le rksultat suivant gCnCralisedans ce contexte le thkoritme d’existence de Eells-Sampson (v&r [5]) : THGORBME 1. - Supposonsque N est compacte et RiemN < 0. Alors le problbme (3) admet toujours une unique solution globale ut. De plus, il existe une suite tk + +w telle que uti t u, dans C2(M, N), ok urn : ~$1+ N est une application harmonique par rapport ci G homotope h ti .
Remarques 1. - (i) Contrairement au cas classique, l’application U, du thkorkme 1 n’est pas nkcessairement un minimum absolu dans sa classe d’homotopie (u, peut mCme &tre instable). Cependant, on peut dkduire du thkorkme 1 (par un argument similaire i [5], page 158) que toute application 21 : M -+ N est homotope g une application harmonique avec potentiel qui est un minimum absolu de EG dans sa classe d’homotopie . (ii) La restriction RiemN < 0 dans le thCor&me 1 (et dans le thkorkme 2 ci-dessous) n’est pas nkessaire si dimA = 1. Dans le cas oti N est complkte mais non compacte, le choix du potentiel G joue un r6le important : pour la partie (iii) ci-dessous, nous supposeronsque N est plongke isomktriquement dansun espaceeuclidien, IF+’ convenable. On note i : N -+ Wn+k le plongement de N dans !RBn+k et A(y) : T,N x T,N --+ (T,N)l la seconde forme fondamentale associke B ce plongement. De plus, pour simplifier les notations on Ccrira y B la place de i(y) pour tout y E N. THBORI~ME 2. - Soit N camp&e avec RiemN 5 0.
(i) Si il existe C > 0 telle que HessG 2 C dans N (au sensdesformes quadratiques), alors la solution ut de (3) est toujours d&jinie sur [0, +oo) x 111. (ii) Si il existe E > 0, C > 0 tels que, pour tout y E N, HessG(y) < -C(l + ~(yy>)-~+” (p est la distance riemannienne de y & un point J;ce po E N), alors la solution ut de (3) est globale et converge uniformPment (lorsque t tend vers +oo) vers une constante qui est un point critique de G. (iii) Si pour tout y E N, pour tout Y E T,N, MY)(K
YL
Y) pz+”
+
VI2
-
(VG(y),
Y)~“+”
L 0,
(5)
alors la solution ut de (3) est globale et il existe une suite tk telle que ut,, converge (lorsque k -+ +oo) dans C2(M, N) vers une application u o. qui est harmonique par rapport au potentiel G. Remarque 2. - 11est utile de faire quelques commentaires sur les hypothbses de ce thCor&me: (i) Si N = R, on peut construire des exemples oti la solution de (3) explose en temps fini pour G(z) vkrifiant G”(z) 5 CIzI’, (E > 0 arbitrairement petit).
571
A. Fardoun
et al.
(ii)
Si N = R, on peut construire des exemples ou G”(z) 5 -C(l + IX/)-” (C > 0) et ou la solution globale de (3) diverge. (iii) Soit N = {z” + y2 - e2’ = 0) dans R3. Alors N est une surface de revolution a courbure negative. 11est bien connu (voir [5]) que N n’admet pas de geodesiques fermtes. En revanche, on peut definir explicitement des fonctions G : N + W qui assurent (grace a (5)) que si u : s1 -+ N est une donnee initiale rotationnellement symetrique qui represente une classe d’homotopie non triviale, alors la solution u t de (3) est globale et converge a l’infini vers une application u, harmonique par rapport au potentiel G est homotope a ti. On remarque aussi que certaines varietes N a courbure negative, qui verifient les conditions de croissance a l’infini de Eells-Sampson (voir [3]) (comme par exemple N = {z” + y2 - z2 = l}), admettent des potentiels G qui entrainent des phenomenes d’explosion en temps fini. THI?O&ME 3. - Supposonsque dim M 2 3 et que N soit compacte. Posons L = Vol(M).max{ G(y) : y E N}. Soit 3 une classe d’homotopie d’applications non triviale de M tel que, si ii E 3 ve’rije
duns N. I1 existe E > 0
J%(u) + L < E, alors la solution de (3) explose en temps jini (c’est-a-dire proposition 1). De plus, T -+ 0 quand EG(u) -+ -L.
(6) T < +m duns la notation de la
Remarque 3. - Une classe d’homotopie non triviale u : M -+ N contient des donntes initiales ii vCrifiant (6) pour tout E > 0 si et seulement si u est [2]-homotope a une constante (voir [13]). En particulier, cela se produit toujours si au moins une des conditions suivantes est verifiee : (a) xl(M)
Principe
= ~z(lM) = 0;
(b) TV
= KS(N) = 0;
(c) rl(M)
= nz(N)
= 0.
(7)
de dkmonstration
ut la solution de (3) dont l’existence est assuree par la proposition 1. Posons e(ut) = ~ld~~/~, e(t) = max{e(ut(z)) : IC E M}. Pour montrer que T = +oc, il nous faut les trois estimations suivantes : Demonstration du theoreme 2. - (i) On designe par
(9
Il~(~)ll~-(p,~))
(ii)
II~Il~-(p,~j~.tfj
(iii)
u,(M)
c
I
C, I
K pour tout
C,
t E [0, T),
(8)
oti ici et dans la suite C designe une constante positive et K un sous-ensemble compact de N. Si on utilise les estimations (8) (i)-(ii)-(iii) dans (4), on deduit d’abord par ellipticite que : t E [0, T)} < C. Ensuite, grace a la theorie des equations paraboliques, on s~P{ll~tllc’+qM,i) obtient : a& : t E [0, T) 5 C. (9) SUP II~tllC~+“(Ivl,N) + -g I/ II C” (Mm I t 11 ressort de (9) que T = +oc. Done pour demontrer le theoreme 2 (i), il reste a Ctablir les estimations (8). On utilise le lemme suivant dont la preuve est omise. LEMME
1. - Suit f : [0, T) x M -
[0, +w)
g-Af
572
telle que
(10)
Sur I’kquation
de la chaleur
pour les applications
harmoniques
avec potentiel
Alors Ml
(11)
L-([o,T)~M) I eCTllf(O, .)I~L-(M).
Ensuite, un calcul donne !!.%!d at
- Ae(ut) = (du,(R’ IcciMei),
dut(ei))
+ Hess G(dut(ei),
- I Vdut I2 +(Riem,v(dut(ei),
$(z,%)
- A(%;
s)
= -2/V%[2
dut(ei))
dut(q))dut(ei),
+ 2HrjsG($$
+ 2(RiemN(dut(e;),
b(q))
(12)
2
(13)
g)
%)du,(ei),
Comme Hess G 5 C et RiemRt 5 0, en posant successivement f = e(ut) et f = (%, %$-) il suit de (12) et (13) que (10) est verifiee. Alors la conclusion du lemme 1 permet d’etablir (8) (i) et (ii). Pour montrer (8) (iii), on pourra remarquer (en utilisant (8) (ii)) que
Dkmonstration du thkorkme 1. - L’existence globale est un cas particulier du theoreme 2 (i). Pour la convergence, nous commenGons par montrer que (8) (i)-(ii) sont globales en temps. Pour cela, on a besoin du lemme suivant : LEMME 2. - Si f : [0, +cc) x M [0, +CQ) vkrije (lo), aZors IlfIlL”([O,m)xM)
i c
(
Il.m
4ILwf)
+ sup
U M
f(t, z)Wit
: tE[O,oo)
. >)
(14)
La preuve de ce lemme utilise une approximation de la solution fondamentale de l’operateur de la chaleur sur une variete compacte. (A ce propos, on peut remarquer que les arguments de [lo] ne s’appliquent pas directement a cause du fait que, dans ce contexte, l’energie saris potentiel n’est pas dkroissante en t car G n’est pas concave.) Maintenant, soit f(t,x) = e(ut(z)). Un calcul simple donne (15) ce qui implique, JM
comme M et N sont compactes, que f(t,z)dV,
5 EG@) +
.I M
IG(ut)ldVM
5 C pour tout t E [0, +cc).
11 suit du lemme 2 que 1’inCgalitC (8) (i) est globale. De meme, on montre que l’inkgalitk globale. On en dCduit qu’il existe C > 0 tel que Ilutll~2+-(M,N)
5 c
(8) (ii) est
pour tout t E [o, +m).
De (15) et (16), il ressort qu’il existe une suite tl, -+ m telle que utk converge uniformkment une application u,. De plus, U, est homotope a U et TG(U~L,) = 0.
(16) vers 0 573
A. Fardoun
et al.
Dkmonstrution du thkurt?me 2 (ii). - On utilise le lemme 2 et le principe du maximum pour les EDP paraboliques pour montrer que (8) (i)-(ii)- m sont globales. Dans ce cas, on pourra aussi remarquer que la concavite du potentiel permet d’utiliser une version du lemme de Hartman [7] (voir lemme 2.1, p. 677), ce qui entraine l’uniformite de la convergence. Dkmonstration
du thPorSme 2 (iii). - 11 suit de (5) que
[ 1
7i)i - A (u~(~)~zL~(z))~,,+~ < 0 pour tout t E [O,T).
Par le principe du maximum Dkmonstration
pour les EDP paraboliques, la solution reste dans un compact. du thkorgme 3. - D’abord, on montre la propriete suivante :
0
PROPOSITION 2. - I1 existe E > 0 tel que, si u est une application harmonique par rapport h G qui ve’ri$e (6), alors ‘~1= cste et G(cste) = max{G(y) : y E N}.
Ensuite, une generalisation du lemme de monotonie parabolique de [12], combinee avec des methodes introduites dans [l] et [2], nous permet de montrer que T 5 C[&(G) + L] &, ofi m= dim&f. 0 R6f&ences [l] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [IO] [l I] 1121 [13]
574
bibliographiques
Chen Y., Ding W.Y., Blow-up analysis for heat flow of harmonic maps, Invent. Math. 99 (1990) 567-578. Chen Y., Struwe M., Existence and partial regularity for heat flow for harmonic maps, Math. Z. 201 (1989) 83-103. Eells J., Lemaire L., A report on harmonic maps, Bull. L. Math. Sot. 16 (1978) 1-68. Eells J., Lemaire L., Another report on harmonic maps, Bull. L. Math. Sot. 20 (1988) 385-524. Eells J., Sampson J.H., Harmonic mappings of Riemannian manifolds, Amer. J. Math. 20 (1964) 109-160. Fardoun A., Ratto A., Harmonic maps with potential, Calc. Var. Partial Differ. Eq. 5 (1997) 183-197. Hartman P., On homotopic harmonic maps, Can. J. Math. 19 (1967) 673-687. Hong M.C., Lemaire L., Multiple solutions of static Landau-Lifshitz equation from B’ into S”, Math. Z. 220 (1995) 295-306. Lemaire L., On the existence of harmonic maps, These, Universite de Warwick, 1977. Jost J., Nonlinear methods in Riemannian and Kalrlerian geometry, Birkhluser Verlag, 1991. Schoen R., Uhlenbeck K., A regularity theory for harmonic maps, J. Differ. Geom. 17 (1982) 307-335. Struwe M., On the evolution of harmonic maps in higher dimensions, J. Differ. Geom. 28 (1988) 485-502. White B., Infima of energy functionals in homotopy classes of mappings, J. Differ. Geom. 23 (1986) 127-142.
Sur 1’6quation de la chaleur harmoniques avec potentiel Ali FARDOUN
a, Andrea
a Dkpartement Courriel
de mathkmatiques, : fardounauniv-brest.fr,
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r&vision
pour
les applications
REGBAOUI 6, avenue
Facolti
a Le Gorgeu,
d’ingegneria,
le 11 septembre
09123
29200 Cagliari,
Brest,
France
Italie
1998)
Soient (M, g) et (N, h) deux variCtCs riemanniennes saris bord (M compacte et N complkte). Soit G E C?(N) ; si u : M + N est C”, on d&kit IT&(U) = f s, [Id@ - 2G(,u)]d&. N ous obtenons des rCsultats d’existence globale et de convergence 2 l’infini pour l’kquation de la chaleur associke ?I la fonctionnelle EQ dans le cas oti RiemN 5 0. En revanche, si cette demibe condition sur la courbure de N n’est pas vCrifiCe, nous avons des cas d’explosion des solutions. 0 AcadCmie des SciencesMsevier, Paris
On the heat flow for harmonic
maps with potential
Abstract.
Let (M, g) and (N, h) be two Riemannian manifolds without boundary (M compact, N complete). Let G E C”(N); if ~1 : M --+ N is a smooth map, we define EG(~) = $ l, [(dul’ - 2G(u)]dV,11. We obtain some global existence and convergence results for solutions of the heat equation associated with the functional EG under the assumption Riem.v 5 0. If this curvature condition is violated, we find phenomena of blowing-up of solutions. 0 AcadCmie des SciencesMsevier, Paris
Abridged
English Version
We shall assume that (M, g), (N, h) are two connected Riemannian manifolds without boundary, M compact, N complete. If G : N --f R is a given smooth function, the energy with potential G on smooth maps u : M ---f N is the functional defined by EG(u)
= ;
s
nl [(dUj2 - 2G(u)]dVM.
Note prbentke par Haim BF&ZIS. 0764-4442/98/03270569
0 AcadCmie des SciencesElsevier, Paris
569
A. Fardoun
et al.
The smooth critical points of EG are called harmonic maps with potential G (see [3], [4], [6] for background and motivations, and [8], [9], [l l] for related questions). The heat equation associated with (1) is
(9
8% -at =
TG(Ut)r
(ii)
ug(x) = U(x) vx E M,
where U : M + N is the initial condition (which we suppose to be of class C2+a for simplicity) TG(u) = T(U) + VG(u)
(2)
and (3)
(r(u) = trace,(Vdu) is the tension field associated with harmonic maps; also note that TG(U) = 0 is the Euler-Lagrange equation for the functional EG). We have: THEOREM 1. - If N is compact and RiemN 5 0, then the heat equation (2) always admits a solution ut dejined on [0, +oo) x M. Moreover, there is a sequence i?i,-+ +cz such that ut, converges to u, in C2(M, N), where u, : M -+ N is a harmonic map with potential G which is homotopic to ii. Remark 1. - Unlike the classical case, in general, u, will not be an absolute minimum in its homotopy class. However, as a consequence of our analysis we can deduce that, under the hypotheses of Theorem 1, each map ti : M -+ N is homotopic to a harmonic map with potential G which is an absolute minimum in its homotopy class. Remark 2. - If the target manifold
N in Theorem 1 is supposed to be complete but not compact, then the choice of the potential G plays an important role. In particular, we have global existence and convergence for manifolds N which do not satisfy the Eells-Sampson growth condition, provided that the potential G verifies some suitable hypotheses: some details in this direction can be found in the french version below. THEOREM 2. - Supposethat dimA 2 3 and that N is compact, and set L = Vol(M) . max{ G(y) : y E N}. Let 3 be a non-trivial homotopy class of mappingsfrom M into N. There exists E > 0 such that, if ti E 3 verifies
EG(U) + L < E,
(4)
then the solution to the heat equation (2) blows up in finite time. Moreover, if [0, T(u)) denotes the maximal existence interval for the solution to (2), we have T(G) --+ 0 as EG(u) + -L .
Soient (M, g) et (N, h) d eux varietes riemanniennes connexes sans bord (M compacte et N complete). Nous definissons la fonctionnelle de l’energie avec potentiel G (G E C”(N) est une fonction donnte) : EG(u) = ;
s
M [ldu12 - 2G(u)]dVM,
u E C”(M,N).
Les applications harmoniques par rapport au potentiel G (voir [3], [4], [6] pour une introduction au sujet, et [8], [9], [l l] pour des questions likes) sont par definition les points critiques de la fonctionnelle EG de classe C”, c’est-a-dire, les solutions de l’equation TV oii r(u) = trace,(Vdu) 570
gf~(u) + VG(u)
= 0,
est le champ de tension associe aux applications harmoniques.
(2)
Sur
L’Cquation
I’kquation
de la chaleur
pour
les applications
harmoniques
avec
potentiel
de la chaleur associke 2 (1) et (2) est la suivante : (i)
oti U. : A4 -+ N repkente En coordonnkes locales (xi)
2
= ~G(u~),
(ii)
ug(x)
= G(x) vx E Ad,
la donnCe initiale (qu’on supposera de classe C2+e pour la simplicitk). sur M, (y”) sur N, 1’Cquation (3)-(i) prend la forme suivante :
(4) PROPOSITION 1. - Le probEme (3) admet toujours une solution locale unique ut d&inie sur un domaine d’existence maximal de la forme [0, T) x M, oli T E (0: +oc].
Le rksultat suivant gCnCralisedans ce contexte le thkoritme d’existence de Eells-Sampson (v&r [5]) : THGORBME 1. - Supposonsque N est compacte et RiemN < 0. Alors le problbme (3) admet toujours une unique solution globale ut. De plus, il existe une suite tk + +w telle que uti t u, dans C2(M, N), ok urn : ~$1+ N est une application harmonique par rapport ci G homotope h ti .
Remarques 1. - (i) Contrairement au cas classique, l’application U, du thkorkme 1 n’est pas nkcessairement un minimum absolu dans sa classe d’homotopie (u, peut mCme &tre instable). Cependant, on peut dkduire du thkorkme 1 (par un argument similaire i [5], page 158) que toute application 21 : M -+ N est homotope g une application harmonique avec potentiel qui est un minimum absolu de EG dans sa classe d’homotopie . (ii) La restriction RiemN < 0 dans le thCor&me 1 (et dans le thkorkme 2 ci-dessous) n’est pas nkessaire si dimA = 1. Dans le cas oti N est complkte mais non compacte, le choix du potentiel G joue un r6le important : pour la partie (iii) ci-dessous, nous supposeronsque N est plongke isomktriquement dansun espaceeuclidien, IF+’ convenable. On note i : N -+ Wn+k le plongement de N dans !RBn+k et A(y) : T,N x T,N --+ (T,N)l la seconde forme fondamentale associke B ce plongement. De plus, pour simplifier les notations on Ccrira y B la place de i(y) pour tout y E N. THBORI~ME 2. - Soit N camp&e avec RiemN 5 0.
(i) Si il existe C > 0 telle que HessG 2 C dans N (au sensdesformes quadratiques), alors la solution ut de (3) est toujours d&jinie sur [0, +oo) x 111. (ii) Si il existe E > 0, C > 0 tels que, pour tout y E N, HessG(y) < -C(l + ~(yy>)-~+” (p est la distance riemannienne de y & un point J;ce po E N), alors la solution ut de (3) est globale et converge uniformPment (lorsque t tend vers +oo) vers une constante qui est un point critique de G. (iii) Si pour tout y E N, pour tout Y E T,N, MY)(K
YL
Y) pz+”
+
VI2
-
(VG(y),
Y)~“+”
L 0,
(5)
alors la solution ut de (3) est globale et il existe une suite tk telle que ut,, converge (lorsque k -+ +oo) dans C2(M, N) vers une application u o. qui est harmonique par rapport au potentiel G. Remarque 2. - 11est utile de faire quelques commentaires sur les hypothbses de ce thCor&me: (i) Si N = R, on peut construire des exemples oti la solution de (3) explose en temps fini pour G(z) vkrifiant G”(z) 5 CIzI’, (E > 0 arbitrairement petit).
571
A. Fardoun
et al.
(ii)
Si N = R, on peut construire des exemples ou G”(z) 5 -C(l + IX/)-” (C > 0) et ou la solution globale de (3) diverge. (iii) Soit N = {z” + y2 - e2’ = 0) dans R3. Alors N est une surface de revolution a courbure negative. 11est bien connu (voir [5]) que N n’admet pas de geodesiques fermtes. En revanche, on peut definir explicitement des fonctions G : N + W qui assurent (grace a (5)) que si u : s1 -+ N est une donnee initiale rotationnellement symetrique qui represente une classe d’homotopie non triviale, alors la solution u t de (3) est globale et converge a l’infini vers une application u, harmonique par rapport au potentiel G est homotope a ti. On remarque aussi que certaines varietes N a courbure negative, qui verifient les conditions de croissance a l’infini de Eells-Sampson (voir [3]) (comme par exemple N = {z” + y2 - z2 = l}), admettent des potentiels G qui entrainent des phenomenes d’explosion en temps fini. THI?O&ME 3. - Supposonsque dim M 2 3 et que N soit compacte. Posons L = Vol(M).max{ G(y) : y E N}. Soit 3 une classe d’homotopie d’applications non triviale de M tel que, si ii E 3 ve’rije
duns N. I1 existe E > 0
J%(u) + L < E, alors la solution de (3) explose en temps jini (c’est-a-dire proposition 1). De plus, T -+ 0 quand EG(u) -+ -L.
(6) T < +m duns la notation de la
Remarque 3. - Une classe d’homotopie non triviale u : M -+ N contient des donntes initiales ii vCrifiant (6) pour tout E > 0 si et seulement si u est [2]-homotope a une constante (voir [13]). En particulier, cela se produit toujours si au moins une des conditions suivantes est verifiee : (a) xl(M)
Principe
= ~z(lM) = 0;
(b) TV
= KS(N) = 0;
(c) rl(M)
= nz(N)
= 0.
(7)
de dkmonstration
ut la solution de (3) dont l’existence est assuree par la proposition 1. Posons e(ut) = ~ld~~/~, e(t) = max{e(ut(z)) : IC E M}. Pour montrer que T = +oc, il nous faut les trois estimations suivantes : Demonstration du theoreme 2. - (i) On designe par
(9
Il~(~)ll~-(p,~))
(ii)
II~Il~-(p,~j~.tfj
(iii)
u,(M)
c
I
C, I
K pour tout
C,
t E [0, T),
(8)
oti ici et dans la suite C designe une constante positive et K un sous-ensemble compact de N. Si on utilise les estimations (8) (i)-(ii)-(iii) dans (4), on deduit d’abord par ellipticite que : t E [0, T)} < C. Ensuite, grace a la theorie des equations paraboliques, on s~P{ll~tllc’+qM,i) obtient : a& : t E [0, T) 5 C. (9) SUP II~tllC~+“(Ivl,N) + -g I/ II C” (Mm I t 11 ressort de (9) que T = +oc. Done pour demontrer le theoreme 2 (i), il reste a Ctablir les estimations (8). On utilise le lemme suivant dont la preuve est omise. LEMME
1. - Suit f : [0, T) x M -
[0, +w)
g-Af
572
telle que
(10)
Sur I’kquation
de la chaleur
pour les applications
harmoniques
avec potentiel
Alors Ml
(11)
L-([o,T)~M) I eCTllf(O, .)I~L-(M).
Ensuite, un calcul donne !!.%!d at
- Ae(ut) = (du,(R’ IcciMei),
dut(ei))
+ Hess G(dut(ei),
- I Vdut I2 +(Riem,v(dut(ei),
$(z,%)
- A(%;
s)
= -2/V%[2
dut(ei))
dut(q))dut(ei),
+ 2HrjsG($$
+ 2(RiemN(dut(e;),
b(q))
(12)
2
(13)
g)
%)du,(ei),
Comme Hess G 5 C et RiemRt 5 0, en posant successivement f = e(ut) et f = (%, %$-) il suit de (12) et (13) que (10) est verifiee. Alors la conclusion du lemme 1 permet d’etablir (8) (i) et (ii). Pour montrer (8) (iii), on pourra remarquer (en utilisant (8) (ii)) que
Dkmonstration du thkorkme 1. - L’existence globale est un cas particulier du theoreme 2 (i). Pour la convergence, nous commenGons par montrer que (8) (i)-(ii) sont globales en temps. Pour cela, on a besoin du lemme suivant : LEMME 2. - Si f : [0, +cc) x M [0, +CQ) vkrije (lo), aZors IlfIlL”([O,m)xM)
i c
(
Il.m
4ILwf)
+ sup
U M
f(t, z)Wit
: tE[O,oo)
. >)
(14)
La preuve de ce lemme utilise une approximation de la solution fondamentale de l’operateur de la chaleur sur une variete compacte. (A ce propos, on peut remarquer que les arguments de [lo] ne s’appliquent pas directement a cause du fait que, dans ce contexte, l’energie saris potentiel n’est pas dkroissante en t car G n’est pas concave.) Maintenant, soit f(t,x) = e(ut(z)). Un calcul simple donne (15) ce qui implique, JM
comme M et N sont compactes, que f(t,z)dV,
5 EG@) +
.I M
IG(ut)ldVM
5 C pour tout t E [0, +cc).
11 suit du lemme 2 que 1’inCgalitC (8) (i) est globale. De meme, on montre que l’inkgalitk globale. On en dCduit qu’il existe C > 0 tel que Ilutll~2+-(M,N)
5 c
(8) (ii) est
pour tout t E [o, +m).
De (15) et (16), il ressort qu’il existe une suite tl, -+ m telle que utk converge uniformkment une application u,. De plus, U, est homotope a U et TG(U~L,) = 0.
(16) vers 0 573
A. Fardoun
et al.
Dkmonstrution du thkurt?me 2 (ii). - On utilise le lemme 2 et le principe du maximum pour les EDP paraboliques pour montrer que (8) (i)-(ii)- m sont globales. Dans ce cas, on pourra aussi remarquer que la concavite du potentiel permet d’utiliser une version du lemme de Hartman [7] (voir lemme 2.1, p. 677), ce qui entraine l’uniformite de la convergence. Dkmonstration
du thPorSme 2 (iii). - 11 suit de (5) que
[ 1
7i)i - A (u~(~)~zL~(z))~,,+~ < 0 pour tout t E [O,T).
Par le principe du maximum Dkmonstration
pour les EDP paraboliques, la solution reste dans un compact. du thkorgme 3. - D’abord, on montre la propriete suivante :
0
PROPOSITION 2. - I1 existe E > 0 tel que, si u est une application harmonique par rapport h G qui ve’ri$e (6), alors ‘~1= cste et G(cste) = max{G(y) : y E N}.
Ensuite, une generalisation du lemme de monotonie parabolique de [12], combinee avec des methodes introduites dans [l] et [2], nous permet de montrer que T 5 C[&(G) + L] &, ofi m= dim&f. 0 R6f&ences [l] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [IO] [l I] 1121 [13]
574
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