Simulation des transferts de masse et de chaleur par modélisation à bas nombres de Reynolds dans un écoulement avec effusion locale en canalisation

Rev Ctn Therm @ Elsevier. Paris

(1998)

37, 205-222

Simulation des transferts de masse et de chaleur par mod4lisation A bas nombres de Reynolds dans un kcoulement avec effusion locale en canalisation Gerald0 August0 CL Dpt. b Centre

de Engenharia

de Thermique

de Lyon,

Campolina

Mecanica,

&o/a

lnstitut

national

(Recu

Franca a, Philippe

Pagnier b, Andre Lallemand

de Engenharia, Universidade Federal de Minas 3 1720 Be/o-Horizonte (MC), Br&/ des sciences appliqutes, 20, av Albert-Einstein,

le 15 septembre

1997

Abridged

version

English

; accept6

le 2 decembre

at the end of the

Cerais,

Campus

69621

b* Pampulha,

Villeurbanne

cedex,

France

1997)

text

Abstract-Heat and mass transfer simulation by modelling at low Reynolds numbers in a flow with local blowing. The turbulence model developed by Lam and Bremhorst with low values of Reynolds numbers is used to simulate a flow between two impermeable plate walls. This model, corrected by Yap, is able to simulate flow inside the boundary layer on the part of porous walls submitted to the blowing. This model of flow inside a channel with local blowing is coupled with a model of transfers through the impermeable walls and the porous wall, and with the environment. The global model is validated by comparison between experimental results from the literature and those obtained by the authors from experiences carried out with the test facilities of a subsonic thermal wind tunnel. A simulation of non-isothermal flow inside a channel with local blowing shows the attractive way of wall cooling by blowing. The optimal injection ratio is found equal to 0.01. 0 Elsevier, Paris model at low Reynolds numbers / turbulence experimental / LDA / non-isothermal flow

/ blowing

/ heat

and

mass

transfer

/ wall

cooling

/ simulation

/ boundary

layer

/

Resume - Le modele de turbulence de Lam et Bremhorst a bas nombres de Reynolds est utilise pour modeliser I’ecoulement entre deux plans constitues de parois impermeables. Ce modele, corrige par Yap, permet de modeliser I’ecoulement en couche limite sur la portion de paroi poreuse soumise a de I’effusion. Cette modelisation de I’ecoulement en canalisation avec effusion locale est couplee avec une modelisation des transferts dans les parois impermeables et poreuses et avec I’environnement. Le modele global est valid6 par comparaison avec des resultats experimentaux de la litterature et des resultats obtenus par les auteurs a partir d’experiences menees dans la veine d’essais d’une soufflerie thermique subsonique. Une simulation de I’ecoulement non isotherme dans une canalisation avec effusion locale montre I’interCt du refroidissement des parois par effusion. Un taux d’effusion optimum de 0,Ol est mis en evidence. 0 Elsevier, Paris modelisation simulation

a bas nombre / couches limites

de Reynolds / turbulence / effusion / transferts de masse / experimentation / LDA / ecoulements non isothermes

D

Nomenclature

A, B, C c,,

CEll

variables constantes

auxiliaires du modele

/C--E

kfl>f2

CE2 Cf CP

GJ

coefficient de frottement capacite thermique massique pression con&ante . . capacite thermique massique volume constant . . . * Correspondance

et tires-a-part.

F B

G J.kg-l.K-l 9

& J.kg-l.K-'

H I z

I

et de chaleur

fonction du de Reynolds..

modkle .

/ refroidissement

a bas

nombre .

Bnergie interne massique . . a faible nomf one t’ ions des modeles bre de Reynolds taux d’injection fonction du modele /C---E acceleration de la pesanteur . . hauteur de la veine intensite de turbulence tenseur

de parois

/

kg.mPr.sP4 J.kg-’

m.s

-2

m

unite

205

C.A.

k & P P7& St 4 R = R Re T

knergie cinetique turbulente. ...... longueur caracteristique m : longueur de turbulence. ............. pression statique absolue ......... nombre de Prandtl terme source de la grandeur C$ nombre de Stanton flux de chaleur ......... ........ constante d’un gaz parfait ........ tenseur des contraintes de Reynolds nombre de Reynolds temperature absolue ............. vitesse parallele a la paroi ........ vitesse de frottement ............. vitesse orthogonale a la paroi ..... vecteur vitesse ................... vitesse transversale .............. coordonnee horizontale ou longitudinale .......................... raison de la progression du maillage selon y coordonnee verticale ............. coordonnee transversale ..........

Symboles

-2

m2.s

m N.m-2

w.m-’ J.kg-‘.K-’ kg.m-l

.s-2 K m.s -1 m.s -1 rn,s -1 m.s -1 m.s

-1

m m m

qrecs

coefficient convectif. difference entre deux valeurs taux de dissipation de l’energie cinetique turbulente. grandeur intensive generique rapport entre les capacites thermiques massiques isobarique et isochorique porosite conductivitk thermique viscosite moleculaire dynamique viscosite moleculaire cinematique . masse volumique constante de Stefan-Boltzmann constantes du modele Ic - E tension tangentiellr tenseur des contraintes vitesse de filtration coefficient de diffusivite de la grandeur............................ Indices inf&Leurs 1 fluide principal (ou parietal) 2 fluide inject6 (ou effuse) C relatif a la convection thermique seule cr relatif a la convection et au rayonnement thermique e &al& dans l’ecoulement, potentiel ou a la frontiere de la couche limite ou equivalent

206

Campolina

N.rne2 N.rn-’ m.s -1

Franca

i m ma5 N P r s t T .Z! Y 4 E Induces t

et al.

relatif a la borne inferieure de la paroi poreuse moyenne logarithmique maximale indice du nombre de Reynolds du modkle LB evalue a la paroi relatif au rayonnement solide turbulent (e) indice du nombre de Reynolds du modele LB selon la direction z ou y relatif a la grandeur intensive 4 relatif au taux de dissipation sup,e’ne,wrs

fluctuation de la vitesse transpose moyenne statistique : valeur moyenne

1, INTRODUCTION L’effusion est un phenomene qui survient dans un certain nombre de processus physiques et industriels. 11 s’agit dun flux de gaz ou de liquide sortant dun materiau poreux, normalement a sa surface, et qui gentkalement debouche dans un environnement Iluide, soit au repos, soit en ecoulement parietal. Dans le cas de l’effusion d’un liquide, il peut se produire un changement de phase liquide-vapeur dans le milieu poreux ou a sa surface. Le phenomene est alors celui de la transpiration. L’effusion peut etre utilisee comme moyen de protection thermique de parois soumises a des Bcoulements parietaux a haute temperature. C’est le cas, par exemple, de l’ejection des gaz de combustion dans la tuybre d’un moteur-fusee. La paroi poreuse est alors traversee par un gaz ou un liquide froid. Le phenomene d’effusion est egalement omnipresent dans les processus de sechage de produits aussi divers que le papier ou certains produits agro-alimentaires. On le rencontre egalement dans certains processus biologiques comme la regulation de la temperature par transpiration. Quel que soit le processus. la connaissance et la modelisation des transferts de masse et de chaleur qui se produisent dans le materiau poreux et surtout dans la couche limite parietale sont dune grande importance pour son interpretation scientifique, sa maitrise et la simulation du comportement des systemes dans lesquels ce phenombne a lieu. Au tours des trente dernieres annees, de nombreuses etudes experimentales et theoriques ont kte consacrees a l’analyse de l’influence de l’effusion sur les ecoulements parietaux et les Bchanges thermiques entre fluide et paroi. Cependant, ces etudes, dont les conclusions sont parfois divergentes, appellent a une poursuite des investigations. Elles n’ont, en particulier, pas debouche

Simulation

des transferts

de masse et de chaleur

sur une modelisation globale satisfaisante, notamment lorsque l’ecoulement principal est confine dans une canalisation. Le but de ce travail est d’apporter, sur la base des travaux anterieurs, une contribution au developpement de ces modeles. Parmi les travaux anterieurs, ceux qui s’appuient sur des etudes experimentales ont conduit, pour I’essentiel, a developper des correlations empiriques ou semiempiriques permettant de donner le nombre de Stanton et le coefficient de frottement dans des kcoulements parietaux avec effusion, en fonction notamment du niveau de turbulence et du taux d’injection (rapport de la vitesse massique du fluide effuse a la vitesse massique de l’ecoulement principal). Parmi ces travaux, on peut titer ceux de Mickley et al. [l] et surtout ceux de Moffat et Kays [2, 31, lorsque la temperature et la vitesse du &ride effuse sont constantes sur toute la surface du materiau poreux, et ceux de Whitten et al. [4] pour les cas de non-uniformite de ces parambtres. Mironov et al. [5] et [6], Kutateladze et Leontiev [7], Lebedev et al. [8] ont v&i@, dans leurs travaux experimentaux, que le coefficient de frottement et le nombre de Stanton augmentent notablement avec l’augmentation de l’intensite de turbulence I, de l’ecoulement potentiel. Paradoxalement, cet effet est plus accent& dans les ecoulements avec injection que dans les Bcoulements saris injection. Selon Kutateladze et Leontiev [7], un taux de turbulence de 15 % augmente de 20 % le nombre de Stanton sur une plaque lisse impermeable par rapport au cas d’un Bcoulement avec un taux de turbulence de 0,2 %. Lebedev et al. [9] affirment que cette variation du taux de turbulence peut causer des reductions de l’ordre de 400 % sur l’efficacite du refroidissement pour des taux d’injection inferieurs a l,O. Cependant, selon Baryshev et al. [lo, 111 et Dymant et Spanovskii [12], l’effet du taux de turbulence est moins important dans les ecoulements a forts taux d’injection (F > l,O). Dans le but de faire progresser les modklisations des transferts en couche limite, certaines etudes experimentales ont et6 consacrees a l’analyse des profils de vitesse au voisinage immediat de la paroi et au phenomene de decollement. Ainsi, Stevenson en 1963 [13], puis Simpson [14] ont propose des lois de paroi applicables en ecoulement parietal avec effusion. Cependant, plus tard, Schetz et Nerney [15] ont montrit que les equations correspondantes ne sont pas g&r&ales, puisqu’elles ne prennent pas en compte les effets de la porosite du materiau et de sa rugosite. Le decollement de la couche limite par l’effusion a egalement fait l’objet de nombreuses etudes experimentales et theoriques contradictoires. Ainsi, le taux d’injection & partir duquel a lieu le decollement varie selon les auteurs de 0,Ol [7, 16, 17, 181 a 0,035 [19]. La majorite des travaux theoriques sur les Bcoulements turbulents parietaux avec effusion, developpes jusqu’en 1969, utilisent les modeles a equations algebriques de fermeture. Parmi ces modeles algebriques de turbulence, bases sur le duo longueur de melange-viscosite

par mod@lisation

turbulente, ceux qui utilisent la fonction d’amortissement de Van Driest [20] semblent 6tre les plus performants. Cette fonction est particulierement interessante, car elle permet de calculer les profils de vitesse jusqu’a la paroi et peut Btre modifiee pour tenir compte de parambtres tels que l’injection, le gradient de pression et la rugosite de la paroi. L’application des modkles algebriques semble, cependant, etre restreinte aux Bcoulements saris decollement ni recollement de la couche limite. D’ailleurs, ces modkles ne tiennent pas compte des variations de l’intensite de turbulence dans l’ecoulement exterieur. [3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 271. Les modbles de turbulence a une et a deux equations de fermeture du type k-l ou k-c, ou k est l’energie cinetique turbulente, e une longueur d’echelle de turbulence et E le taux de dissipation de l’energie cinetique turbulente, ont commence a etre de plus en plus utilises B partir des importants travaux developpds par Gosman et al. [28] Spalding et Launder [29] et Patankar [30]. Cependant, le modele k--E standard a haut nombre de Reynolds, dont l’efficacite a deja Btk demontree dans plusieurs etudes d’ecoulements turbulents, ne semble pas etre le plus adequat pour l’etude des kcoulements avec effusion, a cause de la nonuniversaliti! des lois de paroi sur lesquelles il s’appuie. Jones et Launder [31], en s’appuyant sur les travaux de Van Driest [20], ont modifie les equations du modele k--E standard, notamment celle de la dissipation de l’energie cinetique turbulente, dans le but d’analyser le phenomene de relaminarisation dans les kcoulements turbulents. Leur modele permet de calculer les profils de vitesse dans toute la region de la couche limite. Le succes du mod&e de Jones et Launder a declenche le developpement d’une serie d’autres modeles, dits a faibles nombres de Reynolds, tels que ceux de Lam et Bremhorst [32], Nagano et Hishida [33], Sabnis et al. [34], Rodi et Mansour [35], Cho et Goldstein [36], Abe et al. [37] et d’autres encore cites et analyses par Pate1 et al. [38]. Les modeles de fermeture bases sur les equations de transport des tensions de Reynolds (modeles du deuxieme ordre) ont gag& beaucoup d’importance a partir des etudes de Launder et al. [39,40]. Ces modeles, dans leurs versions a faible nombre de Reynolds, semblent etre encore plus performants que les modkles k--E, notamment pour l’analyse des kcoulements avec turbulence anisotropique, car ils ne font pas appel au concept de viscosite turbulente [41, 42, 431. Les difficult& majeures de leur application, l’exigence de plus de memoire et de temps de calculs sur ordinateur mise a part, resident dans l’interpretation correcte de tous les termes qui interviennent dans leurs equations et sur la definition precise des conditions aux limites, notamment celles a la paroi [13, 44, 451. Parmi les etudes recentes mettant en oeuvre ces divers modeles de turbulence et permettant leur comparaison, on peut titer celles que nous avons me&es dans notre laboratoire. Ainsi, F’ranca et al. [18] presentent une etude theorique de l’ecoulement turbulent d’air dans 207

LA.

Campolina

Franca

et al.

une veine de section rectangulaire avec injection d’air, d’helium et de dioxyde de carbone, en presence d’un faible gradient de pression longitudinal. Les profils de vitesse, temperature et concentration obtenus avec les modeles de turbulence k-t, k--E standard et longueur de melange de Prandtl sont compares, pour des taux d’injection de 0,001 et 0,Ol. Les trois modeles fournissent des resultats semblables pour le taux d’injection de 0,001. Mais des &arts importants entre les resultats (plus de 20 %) ont eti: mis en evidence pour le taux d’injection de O,Ol, et le modele k--E avec loi de paroi standard a present& dans ce cas, plus d’instabilite que les deux autres. Tedeschi et al. [46] ont ittudie le refroidissement dune paroi poreuse en utilisant le modele k-E a faible nombre de Reynolds de Lam-Bremhorst [32] et le modele de Van Driest [20]. 11s ont compare les valeurs des nombres de Stanton et des coefficients de frottement calculees par ces deux modbles, pour plusieurs taux d’injection et avec gradient de pression longitudinal nul, avec trois autres rksultats disponibles dans la litterature : les resultats experimentaux de Kays 1471 (pris comme reference). les valeurs don&es par les expressions empiriques de Kutateladze et Leontiev [7] et les resultats obtenus avec le modele du film de Brouwers et Chesters [48]. 11s ont abouti aux conclusions suivantes : le modele de Lam et Bremhorst a tendance a surestimer les transferts thermiques et les coefficients de frottement a la paroi. tandis que le modele de Van Driest, le modele du film et les expressions empiriques de Kutateladze et Leontiev ont tendance a sous-estimer ces deux parametres ; les resultats du modele de Van Driest et du modele du film sont t&s proches et s’accordent mieux avec les resultats experimentaux que ceux obtenus a.vec les correlations empiriques de Kutateladze et Leontiev. FranGa et al. [49] ont repris l’etude de Tedeschi et al. [46] en ajoutant la correction proposee par Yap au modele de Lam et Bremhorst. 11s ont montre que les coefficients de frottement et les nombres de Stanton calcules par ce modele; pour plusieurs taux d’injection, s’accordent parfaitement avec les resultats cxperimentaux don&s par Moffat et Kays [a]. Cest, en definitive, ce modele de turbulence que nous avons retenu dans ce travail, pour constituer un modele global devant conduire a la simulation des transferts dans un ecoulement en canalisation avec effusion locale. Afin de fixer un cadre a cette etude dont l’objectif est la validation d’un modele generalisable a des configurations diverses! la geometric retenue pour les ecoulements correspond a celle dune veine d’etude disposee dans une soufflerie thermique subsonique, construite dans notre laboratoire [50]. 11 s’agit de l’ecoulement turbulent subsonique. en regime permanent. non isotherme, d’air dans une veine de section transversale rectangulaire, avec injection d’air a travers une region poreuse du plancher de celle-ci (figure 1). On considere: a priori, que l’ecoulement est bidimensionnel dans la section longitudinale mediane qui sera le domaine d’etude, et on y d&nit trois

208

p3 Y L

x

Figure 1. Schema de I’koulement d’air chaud dans une section longitudinale de la veine avec injection d’air frais. Figure 1. Representation of the hot flow with cold air blowing in a longitudinal section of the test channel.

regions qu’il convient de distinguer pour les besoius de la modelisation numerique envisagee : la region 1: constituee par l’&oulement principal, avec des profils de temperature TI et de vitesse massique piui moyenne constants a l’entree de la veine. A cet endroit, la pression statique est Pi et l’intensite de turbulence selon z dans l’ecoulement potentiel est 1,i : la region 2, constituee par la partie centrale permeable (plaque poreuse) du plancher de la veine ; l’air frais B l’entree de la plaque poreuse est a pression Pz et possede une intensite de turbulence selon y 12/2 et des profils constants de temperature TZ < Tl et de vitesse massique ~211~< plul ; la region 3 est constituee par les parois irnpermeables du plancher. en amont et en aval de la plaque poreuse, et du plafond de la veine.

2. MODkLISATION DE L’ECOULEMENT PRINCIPAL - REGION 1 2.1. Equations gCn&ales simplificatrices

et hypothbes

La decomposition entre mouvement rnoyen et mouvement fluctuant &ant operee au sens statistique, les equations g&kales des bilans de masse, de quantite de rnouvement et d’energie pour les Bcoulements turbulents permanents en moyenne s’kcrivent. respectivement [40. 45. 51. 521 :

v V(p7

(p 7) = 0

(1)

@?)=0.5+pTj+

(2)

V.(pEi$=V.(IT)+V..

(3)

Simulation

des

transferts

de masse

Dans ces kquations p est la masse volumique du fluide, 7 est le vecteur somme des chaleurs diffusQes par des processus mol&ulaires et turbulents dans l’&oulement.

? = u 7 + v 7 + w 7F’ est le vecteur

vitesse

moyenne du fluide ; u, v et w et -,a 7 et 2 sont les modules des moyennes des vitesses et les vecteurs unitaires associ& respectivement aux rep&es z (direction longitudinale ou horizontale), y (direction verticale) et z (direction

transversale)

; E = e + i I?l’

+ k est l’dner-

gie totale du fluide, e ktant l’knergie interne massique du flui&, k = i (7u u + 7212) + -w’w’) son knergie cin&ique turbulente et u’, v’, w’ les fluctuations temporelles des vitesses u, v et w, respectivement. La barre sur les produits des fluctuations de vitesse indique une moyenne statistique. 7 est l’acckl6ration de la pesanteur et ? est le tenseur des tensions moyennes dans l’&oulement. L’intensitk totale de turbulence ou taux de turbulence de 1’6coulement peut &tre dbfinie par [53] :

r;J

--u’u’ + v’u’ + w’w’ I?\

v5x =- In4

(4)

IdI ktant le module du vecteur vitesse. Le taux de turbulence ou l’intensitk de turbulence dans une direction quelconque de 1’6coulement est dCfini par :

oti ue est la vitesse moyenne dans l’&oulement potentiel amont Outre les simplifications inhkrentes aux ddveloppements des kquations (1) & (3) pour un Bcoulement bidimensionnel, les hypothkses simplificatrices suivantes sont consid&kes : les tensions de Reynolds sont relihes au champ des vitesses moyennes dans l’&oulement par le modkle de la viscositk dynamique homogbne et isotrope apparente pt: soit : E =// -p u’zu; l/=11 -;p

k &, 11+/~t (VT

+ Vgt)

(6)

oti S,, est le symbole de Kronecker et l’indice supkrieur t dknote un tenseur transpose! ; - le fluide suit les lois de comportement de NewtonStokes et de Fourier ; ainsi, le tenseur 7 et le flux de chaleur 7 sont don&, respectivement, par :

r=- (p++ +(p+pt)

>r

[(d+d)-

b=- ($$+z)Ve=-(A+&)VT

;(v.J)q

(7)

(8)

et de chaleur

par

modelisation

oti P est la pression, T la tempkrature, p la viscositG dynamique mol6culaire et y le coefficient isentropique du fluide, X la conductivitk thermique, Pr le nombre de Prandtl et 7 est le tenseur unit& Les indices t sont relatifs aux grandeurs dues B la turbulence. Dans 1’6quation (8), on considkre que, par analogie avec l’kquation de diffusion de la chaleur dans les &oulements laminaires, le flux de chaleur turbulent est l3T approche par u:T’ = -At-, T’ &ant la fluctuation ilXj

temporelle de la tempkrature du fluide et At une conductivitk thermique turbulente apparente. Dans notre &ude : - le nombre de Prandtl turbulent Prt est pris constant et egal & 0,9 ; - les forces volumiques externes et les effets des fluctuations temporelles des variables thermophysiques du fluide sur les transports turbulents dans l’&oulement sont nkgligkes ; - l’air se comporte comme un gaz parfait et on itcrit : e=c,T;?=z=1,4etP=(7-l)pe=pRT

(9)

- la viscositk cinkmatique et la conductivith thermique de l’air sont corrBlkes avec sa tempkrature absolue T par un polynBme du second degr6 : AT2 + BT + C. Les valeurs des constantes A, B et C utilis6es sont pr&entkes dans le tableau I. Ces corrklations, obtenues par des Agressions polynomiales de valeurs issues de tables thermodynamiques, sont suffisamment prkcises pour des tempkratures comprises entre 273 K et 573 K ; ~ la fermeture des kquations (1) & (3) est faite & l’aide du modble de turbulence k--E & bas nombre de Reynolds dCcrit ci-dessous.

2.2. ModGle de turbulence Equations de fermeture Le mod&le de turbulence retenu pour la fermeture des kquations (1) & (3) est une modification du modele k--E standard. En effet, il a Btk rappel6 plus haut que le modble k--E & faible nombre de Reynolds de Lam et Bremhorst [32] (LB), dont l’efficacit6 a & prouvke dans plusieurs &udes d’Ccoulements turbulents, semble gtre adGquat pour calculer les distributions de l’knergie cinbtique turbulente (k) et du taux de dissipation de 1’6nergie turbulente (&) dans l’kcoulement principal de la veine sans injection. Cependant, ce modBle a tendance & surestimer 1’6chelle de la turbulence au voisinage de la paroi des &oulements avec injection pariktale ou avec d6collement puis recollement de la couche limite [40,45]. Les transferts d’t%ergie et de quantitk de mouvement & la surface de la paroi sont alors surestimb [46]. C’est pourquoi Yap [54] a ajoutk un terme source & 1’6quation de E, qui a pour effet de rkduire les transports turbulents dans cette rkgion par rapport & ceux du mod&le LB. On

209

G.A.

Constantes Constants

pour les correlations for the correlations

Campolina

Franca

et al.

TABLEAU I / TABLE I des propri&Cs thermodynamiques of the air thermodynamic properties

de l’air en fonction de la temperature. as a function of the temperature.

A ViscositB

-5,3143.

cinkmatique

C

B

lo-r1

1, 4420.10-7

-2, 2754.10-5

9,942o.

-3,1857.

v (rn’.s-r) Conductivitd

-3,6286.10-s

thermique

1o-5

10F4

X en (W.K-r.m-‘) a done decide de retenir le modele LB avec la correction de Yap comme modele de fermeture des equations (1) a (3) lorsqu’il y a de l’injection dans l’ecoulement. Dans notre cas d’ecoulement bidimensionnel, en coordonnees cartesiennes. ces equations de fermeture s’ecrivent [36] :

00)

(11)

(12) (13)

Valeurs des Coefficient

coefficients pour values for the

le modtile LB et LB + Y. LB and LB + Y model.

principal sont donnees dans le tableau III. Dans ce tableau, ! est une longueur caracteristique de l’ecoulement. donnee par C = 0,05 H,; H,, &ant la hauteur de la wine) ou par la valeur maximale de y dans le cas d’un ecoulement sur plaque plane [55]. On note que dans le modele original de Lam et Bremhorst les conditions pour k et E a la surface dcs parois (indice p) sont don&es par : k, = 0 et Ed = v

aLli ( a2y )I P

Les conditions retenues, present&es dans le tableau III: ont etd utilisees avec succes par So et Yoo [42] et par Cho et Goldstein [36] dans des simulations d’ecoulements avec ou sans effusion.

(14) (15) oil yrn est la distance verticale a la paroi la plus proche et v la viscosite cinematique. Dans le modele LB; le coefficient D est pris egal ii 0 ; la correction de Yap consiste alors a prendre : D=ma+;,,,,;

(k-1)

avec C = 2,44 et e = k1,5/~ Les autres coefficients du modele tableau II.

2.3. Conditions

(&)“.o]

sont definis

(16)

dans le

aux limites

Les conditions aux limites associees a l’ensemble des equabions du modele bidimensionnel de l’ecoulement 210

2.4. Mdthode de rksolution du systi?me des equations de transport Pour leur resolution differentielles de transport. suivante :

numerique, les equations mises sous la forme g&kale

(17) et leurs conditions aux limites sont transformees en un ensemble d’equations algebriques par la methode des volumes finis [30, 56, 571. Dans l’equation (17) 4 est une grandeur telle que e,u,u, k et E, r+ est le coefficient isotropique de diffusion et S+ le taux de source volumique de la grandeur $J consideree. Le logiciel Phoenics (version 1.4) a ete utilisk comme outil de discretisation des equations differentielles et pour la resolution de l’ensemble des equations discretisees en utilisant la mdthode Simplest [55], version amelioree de la methode Simpler [30].

Simulation

des

transferts

de masse

et de chaleur

TABLEAU III / TABLE Ill Conditions aux limites associkes aux equations Boundary conditions associated to the equations

6quation entree de la veine

2

u = ul = cte w=o

paroi impermkable

u=o u=o

paroi poreuse

u=o 21= w(z)

6quation

3

par

modklisation

du mod&le. of the model.

kquation

10

Bquation 11 E = @>75k1>5/[ h

T = TI = cte

k = (I&e)2

& dCfinir *

k=O

& ay P =O

& dkfinir *

k=O

a& Ji P =O

* Les conditions de temperature & la surface des parois sont dkfinies lors de la prksentation de chaque cas. * The temperature conditions at the wall surfaces are defined at the presentation of each case. Des tests preliminaires nous ont conduits a adopter la procedure suivante pour la definition du maillage dans la veine d’ecoulement principal. Un maillage non uniforme selon 2 et y est utilise. Les espacements entre mailles selon y (Ay) obeissent a la relation suivante : AYJ = X b-1 l’indice partir soit la plancher a avoir

j indiquant le numero de de la paroi la plus proche. distance du centre de la ou au plafond de la veine, y+ = y < 1. En utilisant

(18) la maille compte a La valeur de Ayr, premiere maille au est definie de facon l’equation de Moffat

VP

et Kays

[2] : cf0, 0295Re,0’2 2 -

(19)

qui fournit le coefficient de frottement Cj/2 sur une plaque plane en fonction du nombre de Reynolds ReZ, la valeur de la vitesse de frottement peut etre estimee par : UT

= fi

= /$(plu~) P

= /0,0295Rez”,2$$

(20) l&ant donnk que l’ecoulement en amont de la plaque poreuse est quasi isotherme, on considere pp 2 pl et up % vl. Des tests preliminaires ont montre qu’en choisissant le facteur X = 1, 1, on obtient quatre a cinq mailles pour y + < 11,5 dans toute la longueur de la veine. au voisinage de son plancher et de son plafond. Cette condition assure que les sous-couches laminaires superieure et inferieure sont bien saisies dans le domaine de calcul. Le maillage selon z sera defini lors de l’application du modele aux cas etudies. Pour la paroi poreuse (region 2), le plancher et le plafond (region 3), la grille utilisee comporte dix mailles

uniformes selon y. Le maillage celui de l’ecoulement principal.

3. VALIDATION

selon z est le meme que

DU MODiLE

La validation du modble a et6 faite selon deux approches differentes. Pour la premiere, il s’agit de comparer nos resultats a des rksultats classiques trouves dans la littdrature et qui concernent les ecoulement sur des plaques planes en milieu semi-infini, sans ou avec effusion. La validation suivante utilise les resultats d’etudes experimentales realisees dans la soufflerie thermique subsonique de notre laboratoire [50]. Elle concerne l’ecoulement dans une veine a section rectangulaire disposant localement d’une plaque poreuse permettant l’effusion d’un gaz froid (figure 1).

3.1. koulement plane

turbulent

sur une plaque

La simulation utilisant les modeles de Lam et Bremhorst (LB) d’une part, de Lam et Bremhorst corrige par Yap (LB + Y) d’autre part, a et6 appliquee a l’ecoulement semi-infini d’un fluide chaud sur une plaque froide et plane, disposant ou non d’un partie poreuse soumise a l’effusion d’un fluide de meme nature et a la temperature de la paroi. Les resultats obtenus sont compares aux resultats fournis par la correlation empirique de Moffat et Kays [a]. La premiere comparaison concerne un itcoulement turbulent d’air sur une plaque plane, lisse, sans injection, avec proprietes thermophysiques constantes. Pour cette simulation les valeurs suivantes sont retenues : T, = Tl = 32 “C ; Tp = 21 “C ; ue = ur = 13 rn.s-’ et IZ = 1,2 % dans l’ecoulement potentiel. L’ecoulement

211

G.A.

Campolina

est considere turbulent a partir de Re, M 2.105, z etant la coordonnee longitudinale comptee a partir du bord d’attaque de la plaque. Ces valeurs correspondent a celles qu’on trouve dans les etudes experimentales de Moffat et Kays [2]. Les proprietes de l’air sont celles a 21 “C. La figwe 2 permet de comparer, en fonction du nombre de Reynolds, les valeurs des coefficients de frottement Cf/2 calculees selon les modeles LB et LB + Y avec celles donnees par la correlation empirique de Moffat et Kays (equation (19)). La figure 3 est semblable a la figure 2, en remplacant le coefficient de frottement par le nombre de Stanton. Dans ce cas, la correlation de Moffat et Kays [2] est donnee par : St = 0,0295

Re$‘2Pr-o.”

(21)

On note sur les figures 2 et 3 que les resultats obtenus avec le moditle LB s’accordent bien avec les resultats experimentaux, mais qu’ils sont toujours legerement superieurs a ceux-ci a partir du point de transition consider& soit Re, = 2’ 105. On note aussi l’effet nefaste. dans ce ca.s: de la correction de Yap, qui kduit de beaucoup les valeurs du coefficient de frottement et du nombre de Stanton. Dans la deuxieme etude, la plaque impermeable est suivie d’une partie permeable dont l’origine est A une distance du bord d’attaque x telle que Re, x 2.105. Les conditions de temperature sont analogues au cas precedent, le fluide effuse (air) &ant a la temperature de la paroi. La figure 4 presente une comparaison entre les nombres de Stanton don&s par les modeles

Franca

et al.

LB et LB + Y et un echantillonnage des resultats expkrimentaux obtenus par Moffat et Kays, dans un ecoulement turbulent, & proprietes constantes, sur une plaque plane permeable. Les rbultats sont p&sent& pour deux taux d’injection F = E constants (ou pp et vp sont la masse volumique et” 1: vitesse du fluide effuse, pe et u, les grandeurs analogues du fluide dans l’ecoulement amont) : F = 0,001 et F = 0,0095. On observe que la correction de Yap apporte une nette amelioration au modkle LB. Pour ces deux cas d’ecoulement turbulent, sur plaque impermeable et sur plaque permeable, la longueur totale de la plaque etait de 0,6 metres divisks en 24 parties egales (24 mailles uniformes selon z). Le maillage selon y a &A defini en utilisant X = 1,1 dans l’equation (18) et Re, = 2’ lo5 dans l’equation (20). 250 iterations on ete executees pour obtenir la convergence a 0,l % pr&s sur tomes les variables calculees.

3.2. Transferts de masse et de chaleur dans un Ccoulement turbulent confine entre deux plaques avec ou sans effusion A la difference de l’ecoulement sur une plaque plane en milieu semi-infini, l’ecoulement dans une canalisation cylindrique & base rectangulaire induit une evolution du champ des pressions dans la direction de l’ecoulement. 0.004

1-m 1 - Mafia; e: hays 2

- La

0.0035 3 -LB+ ~6 c! j;

0.003

I ?

YAP

I

: --2

g 0.0025 : i! 2 0.0015

0.002

1

I

1 !

o,"o,,E;, I

-_~. 2Et05

~~~-

0.0015~

.~~~~

3Et05 4cto5 Nomore ae Revnolas

5tt05

6Et05

Figure 2. Coefficient de frottement Cf/2 en fonction du nombre de Reynolds : comparaison entre les resultats obtenus par le modele et par la correlation empirique de Moffat et Kays, pour un ecoulement turbulent sur une plaque plane impermeable. Figure 2. Friction factor Cf/2 as a function of the Reynolds number: comparison between results of the model and the correlation from Moffat and Kays, for a turbulent flow on an impermeable plane plate.

212

:1

0.001 tm lEt05

~~~

-.~~~ 2Et05

~~ I 3Et05 Nombre

4ito5 ae Remolds

5EtO5

6Et05

Figure 3. Nombre de Stanton St en fonction du nombre de Reynolds : comparaison entre les resultats obtenus par le modele et par la correlation de Moffat et Kays, pour un ecoulement turbulent sur une plaque plane impermeable. Figure 3. Stanton number as a function of the Reynolds number: comparison between results obtained with the model and the empirical correlation of Moffat and Kays, for a turbulent flow on an impermeable plane plate.

Simulation

des

transfer&

de masse

et de chaleur

par

modelisation

longitudinales calculees et le profil des vitesses mesurees par anemometrie laser Doppler [27] peut etre faite sur la figwe 5, pour II: = 0,865 m (abscisse a partir de laquelle la couche limite devient turbulente), et sur la figure 6 pour z = 1,17 m. On verifie l’existence d’un trbs bon accord entre les deux profils aux deux endroits ou les mesures ont ete realisees.

Figure 4. Comparaison entre les nombres de Stanton obtenus par les modeles LB et LB + Y et ceux extraits des resultats experimentaux de Moffat et Kays, pour un ecoulement turbulent sur une plaque plane permeable. Figure 4. Comparison between the Stanton numbers given by LB and LB + Y models and experimental results of Moffat and Kays, for a turbulent flow on an impermeable plane plate.

La geometric retenue est celle qui correspond a la veine d’essais de notre soufflerie thermique subsonique [50]. Elle est rappelee sur la figwe 1. La section a une hauteur de 200 mm et une largeur de 500 mm. Pour cette Etude, deux cas principaux ont 6th retenus : le premier, avec ou sans effusion, concerne des ecoulements isothermes, le second est relatif a deux ecoulements & temperatures differentes. Pour ce deuxieme cas, l’etude des transferts de masse et de chaleur necessite deux modelisations complementaires, celles des transferts dans les parois pleines et poreuses (regions 3 et 2) et leur couplage avec le modkle d’ecoulement de la region 1. 3.2.1. koulements

isothermes

Ce probleme ne fait intervenir que les equations de bilans de la masse et de la quantite de mouvement et les equations de fermeture bashes sur les modeles LB et LB + Y. 11 concerne simplement l’interieur de la veine d’ecoulement (region 1). Les deux cas, sans et avec effusion, sont simules et compares avec les resultats experimentaux: i5zoulement

VT

0

5

10

15

20

25

30

Figure 5. Comparaison entre le profil des vitesses longitudinales calculees et celui des vitesses mesurees a 2 = 0,865 m dans un ecoulement saris injection. Figure 5. Comparison tal longitudinal velocity without blowing.

between profiles

the calculated and experimenat x = 0.865 m for a flow

11. 10.

d 9. E 5

8.

= S 3

7.

.s b c

5. 4.

8$

3.

.z

2

8.

1. 0.

suns effusion

Le fluide s’ecoule a temperature ambiante avec une vitesse dans la section d’entree uniforme et egale a 9,7 m.s-I. L’intensite de turbulence selon la direction axiale est de 1,l %. En absence d’injection, le modele de fermeture LB sans la correction de Yap est utilise. La comparaison entre le profil des vitesses

Figure 6. Comparaison entre le profil des vitesses longitudinales calculees et celui des vitesses mesurees a x = 1 ,17 m (milieu de la plaque poreuse) dans un ecoulement sans injection. Figure 6. Comparison between the calculated and experimental longitudinal velocity profiles at z = 1 .17 m (middle of the porous plate) for a flow without blowing.

213

C.A.

Campolina

Franca

et al.

La figwe 7 permet de comparer la tension adimensionnelle experimentale de Reynolds don&e par -20 u’w’ 2 et celle calculke par le modele. Cette figure montre que les valeurs du modele sont legerement surestimees par rapport aux valeurs experimentales: mais le type d’evolution et les ordres de grandeur sont tout & fait corrects.

Figure 8. Comparaison entre le profil des vitesses longitudinales calculees et celui des vitesses mesurees a z = 0,865 m dans un Pcoulement avec 1 % d’injection. Figure 8. Comparison between tal lonaitudinal velocitv orofiles

the calculated and experimenat z = 0.865 m for a flow

+ 0 0

0.5

1.5

1

2

15

Y/h

Figure

7. Comparaison-

de Reynolds

-20 u’w’

~

entre

les

experimentales

tensions

adimensionnelles

et celles

calculees

par

uz

le modele a z = 1,17 m (milieu de la plaque poreuse) dans un ecoulement sans injection. Figure 7. Comparison between the experimental and numerical dimensionless Reynolds stresses calculated using the model at z = 1 .17 m for a flow without blowing.

~coulement.

avec effusion

Dans ce cas. la simulation est faite en utilisant le modele LB + Y. Le debut de l’effusion d’air a travers la plaque poreuse, a un taux F = 0,Ol et a la meme temperature que l’air de l’ecoulement principal, a lieu a une distance 2 de l’entree de la canalisation Bgale & 0,892 m. Les profils des vitesses horizontales a 5 = 0,865 m. soit juste a l’amont de la zone d’injection, present& sur )a figwe 8: sont semblables & ceux de la figure 5. A cet endroit, pour lequel on trouve encore une bonne correlation entre la simulation et les resultats experimentaux. la vitesse et l’intensite de turbulence longitudinale dans l’ecoulement potentiel etaient, respectivement: 9,85 rnK1 et 1,2 %. La figwe 9. qui rend compte du profil des vitesses a z = 1,17 m, soit 278 mm apres l’abscisse correspondant au debut de l’effusion, met en evidence la deformation de la couche limite par le flux secondaire. Elie fait apparaitre quelques divergences entre simulation et experience. Cependant. ces divergences sont suffisamment faibles pour pouvoir affirmer que la simulation proposee, utilisant le modele LB + Y, est valide.

214

Figure 9. Comparaison entre le profil des vitesses longitudinales calculees et celui des vitesses mesurees a z = I ,l 7 m dans un ecoulement avec 1 % d’injection. Figure 9. Comparison between the calculated and experimental longitudinal velocity profiles at z = 1.17 m for a flow submitted to an injection rate of 1 %.

Les evolutions des tensions Reynolds calculees et mesurees presentees sur la figure 10.

adirnensionrrelles de a .r = 1,17 m sent

Pour toutes ces simulations numeriques des ecoulements avec et saris injection, le domaine de calcul a ete divise en 104 mailles non uniformes selon y et 48 mailles non uniformes selon x. 350 iterations ont Bte realisees pour atteindre une convergence a 0,l % pres sur t,outes les variables calculees.

Simulation

des

transferts

de masse

et de chaleur

par

modelisation

tcxulement principal

:‘[V

-

Y

L x

Figure de

10. Comparaison -

les tensions

adimensionnelles

experimentales et celles calculees a u2 du modele a z = 1,17 m (milieu de la plaque poreuse) un ecoulement avec taux d’injection de 1 %. 10. Comparison between the experimental and numedimensionless Reynolds stresses calculated using the at x = 1 .17 m for a flow submitted to an injection rate %.

Reynolds

I’aide dans Figure rical model of 1

entre

-20 u’2)’

___

3.2.2. koulements non isothermes ModGle global Pour les besoins de la simulation numerique du probleme en ecoulements non isothermes avec effusion, il faut non seulement prendre en compte l’equation (3) du bilan de l’energie dans le systeme d’equations de l’ecoulement a l’interieur de la canalisation, mais egalement les equations des transferts de masse et de chaleur & travers et dans la plaque poreuse, ainsi que les equations de transfert de chaleur & travers les parois impermeables. Pour ces modelisations des transferts dans les parois impermeables et dans la paroi poreuse, la nomenclature utilisee est presentee sur la figwe 11. 11 faut, de plus: etablir des conditions thermiques aux limites du domaine de calcul. Le modele global, appele aussi modele couple, est done complete comme suit.

Compkments

Figure 11. Schema d’une section transversale de la paroi poreuse avec les principaux parametres qui interviennent dans les calculs des transferts de masse et de chaleur. Figure 11. Representation of a transversal section of the porous plate with the main parameters involved in the calculations of the heat and mass transfers.

de mode’lisation

Par-oh imperme’ables

~ Rigion

3

En considerant que l’epaisseur des plaques impermeables qui constituent le plafond et le plancher de la veine est tres petite par rapport & ses autres dimensions (conduction negligeable dans le sens de la longueur malgre les variations de la temperature selon cette direction), l’equation de l’energie s’ecrit :

En negligeant les transferts par rayonnement thermique, la condition & la surface du cot6 de l’environnement est une condition d’egalitk entre le flux de chaleur par conduction et le flux de chaleur convectif, soit :

oti (Y%est le coefficient de transfert convectif. La condition a la surface des parois impermeables, cot6 ecoulement principal, est une condition de continuite du flux de chaleur. Elle se traduit par l’egalite entre la diffusion de chaleur dans la paroi solide et la diffusion de chaleur dans l’ecoulement principal, soit : AaT, =$?x s aY I P dy I P oh X et T sont, respectivement, la conductivite thermique et la temperature du fluide dans l’ecoulement principal. Plaque poreuse

- Rigion

2

On considere que l’ecoulement a travers le milieu poreux est laminaire et monodimensionnel (U = 0) et que la condition d’equilibre thermique airsolide est localement valable, soit T = T,. Dans ce cas, l’equation de l’energie pour le fluide traversant le milieu poreux s’ecrit : (25)

oti A, est equivalent

un coefficient defini par :

de conductivite

thermique

xe = (1 - cppes + cpx A,, etant la conductivite cp sa porosite.

thermique

du milieu

(26) poreux

215

et

C.A.

Campolina

Franca

Validation du modtile couple’ par son application h des e’coulements non isothermes avec et sans injection dans la veine.

La condition a la surface inferieure de la plaque (cot6 caisson d’alimentation, figure 1) est une condition de transfert thermique nul. du fait de l’hypothese de l’equilibre thermique entre le fluide qui traverse la paroi et le materiau solide, soit : xar cay

La condition a la est celle issue d’un fluide compris entre de la plaque poreuse

-0 ?-

Les figures 12, 13 et 14 permettent de comparer les profils experimentaux des temperatures de l’air dans la veine avec les profils des tempkratures calculees a .I = 0,865 m (amont de la plaque poreuse), z = I,17 m

(27)

surface, c&d ecoulement principal, bilan d’energie sur un element de les surfaces inferieure et supdrieure :

PUC~(T,-T~)=~ s

if? =A!!? e ay I P ay 1P

et al.

220

I

I

(28)

Les champs de pression et de vitesse dans la paroi poreuse sont relies par l’equation suivante [58. 591 :

ap -= K1 p2 v2 a1cp2 u2)2 ay 6)PV P

(29)

ou K1 et CE~sont des constantes empiriques determinees a partir dune etude experimentale de l’ecoulement a travers la plaque poreuse utilisee et dont les valeurs sont respectivement k-gales a 2, 12,10r1 et ~ 0,909. Dans l’equation (29): et uniquement pour cette equation, la masse volumique p et la viscosite cinematique v du fluide & l’intkrieur du milieu poreux sont evaluees & la temperature logarithmique moyenne donnee par :

0

Figure calculees dans un Figure mental isothermal

10

xl

30

40

12. Comparaison entre le profil des temperatures et celui des temperatures mesurees a x = 0,865 m ecoulement non isotherme sans injection. 12. Comparison between the calculated and experitemperature profiles at x = 0.865 m for a nonflow without blowing.

220

La condition a la surface, coti! caisson, condition de vitesse massique ou de densite massique constante pour l’equation (29) :

50

1

est une de flux

-4

p2 v2 = constante La condition a la surface, ccite ecoulement principal, est une condition d’equilibre de pression statique entre celle de l’air qui sort de la plaque poreuse et celle de l’air dans l’kcoulement potentiel dans la veine, soit : P,

= P,

Cette derniere condition est plus severe que la precedente, car les bilans de masse et de quantite de mouvement doivent etre verifies simultankment, compte term du gradient, de pression selon 2 dans la veine. Du fait de la faible valeur de l’intensite de turbulence selon y (4 % environ), le gradient de pression transversal, dti aux fluctuations de la vitesse normale a la paroi [13], est tout a fait negligeable.

216

._ *k160

; -thbrique

E 3

! . thhique(avecsource)

;

.

140

120 0

IO

20

30

40

50

distance au plancber en mm Figure 13. Comparaison entre le profil des temperatures calculees et celui des temperatures mesurees a x = 1 ,l 7 m dans un ecoulement non isotherme saris injection. Figure 13. Comparison between the calculated and experimental temperature profiles at 5 = 1 .17 m for a nonisothermal flow without blowing.

Simulation

des

transferts

de masse

et de chaleur

par

modelisation

convection naturelle turbulente en dessous du plancher, le coefficient global de transfert cycr est estimi: par l’equation suivante [60] : cicr = 0,61

0

10

20

30

40

50

distamau@ndherenmn Figure 14. Comparaison entre le profil des temperatures calculees et celui des temperatures mesurees a z = 1,475 dans un ecoulement non isotherme saris injection. Figure 14. Comparison between mental temperature profiles at isothermal flow without blowing.

the calculated and 2 = 1.475 m for

m

experia non-

(milieu de la plaque poreuse) et z = 1,475 m (aval de la plaque poreuse). La temperature et la vitesse dans l’ecoulement potentiel etaient dans ce test 203 “C et 13 rn.s-‘. Les temperatures de l’air dans la veine ont Bte mesurees avec un thermocouple de type K. Deux simulations numeriques, avec des conditions aux limites thermiques differentes, ont ete faites dans le but de valider le modele. Dans la premiere simulation, dont les resultats sont present& par une ligne continue sur les figures 12, 13 et 14, le rayonnement thermique n’a pas 6te consider-e et les don&es suivantes, issues des mesures experimentales, ont etk retenues comme des conditions aux limites du modele : ~~ temperature moyenne de la surface du plancher (cbte environnement) : en amont de la plaque poreuse : 148 “C en aval de la plaque poreuse : 140 “C temperature moyenne de l’air dans le caisson juste en dessous de la plaque poreuse : 160 “C ; ~ temperature moyenne de la surface du plafond (tote environnement) : en amont de la plaque poreuse : 178 “C! au droit et en aval de la plaque poreuse : 167 “C! Dans la deuxieme simulation, dont les resultats sont represent& par des points noirs sur les figures 12, 13 et 14, les conditions de temperature constante sur les surfaces du plancher (tote environnement) ont ete changees par une condition de transfert thermique (convection plus rayonnement). En considerant une

(9)’

+a $3 (TpSTa)

(Tp+T,)

(30)

oti Tp est la temperature de la surface du plancher (cot6 environnement), T, la temperature ambiante, L, une dimension caracteristique, 0 = 5, 669.10p8 W.m-2.K-4 la constante de Stefan-Boltzmann et Q, l’emissivite de la surface du plancher. A titre d’exemple, avec Tp = 433 K, T, = 290 K, L = 0,5 m (largeur du plancher) et sp = 0,5, le coefficient (ycr est de l’ordre de 10 W.K-r.rn-‘. A ce transfert thermique convectif et par rayonnement du plancher vers le milieu ambiant, il faut ajouter un transfert par rayonnement avec les autres parois de la veine et avec l’environnement (a travers les parois laterales transparentes de celle-ci). Une condition de source thermique (ou puits) constante a done 6tB imposee sur la surface du plancher impermeable du tote de l’ecoulement principal. Cette source a ete trouvee egale a -40 W.rn-’ par des calages avec les resultats experimentaux. Par ailleurs, dans les deux simulations, les valeurs suivantes ont ete retenues : - intensite de turbulence dans l’ecoulement potentiel amont I, : 1 % ; - conductivite thermique du materiau (duralumin) du plancher et du plafond : 160 W.rn-‘.K-l ; - conductivite thermique du milieu poreux : 5 W.mpl.KA1 ; - dix mailles uniformes selon y pour les parois de la veine L’examen des trois profils de temperature present&s sur les figures 12, 13 et 14 met en evidence un accord raisonnable entre les rbultats experimentaux et ceux des simulations. De plus, en comparant ces figures: on note que le profil des temperatures de l’air au dessus de la plaque poreuse (figure 13) est nettement different de ceux que l’on observe au dessus des plaques impermeables (figures 12 et 14). Le niveau de temperature plus eleve au voisinage de la plaque poreuse, non soumise a une effusion, est dh a la plus faible conductivite du milieu poreux par rapport a celle des plaques impermeables. &.mlements

auec injection

Les figures 15 et 16 permettent de comparer les profils experimentaux des temperatures de l’air dans la veine avec ceux don&s par le modele a z = 0,865 m (amont de la plaque poreuse) et a z = 1,17 m (milieu de la region d’injection). Dans ces deux cas, de l’air frais 6tait inject6 & travers la plaque poreuse avec un taux d’injection de 1 % par rapport & l’ecoulement principal. Les temperatures de l’air dans l’kcoulement potentiel et de l’air inject6 etaient, respectivement,

217

C.A.

Campolina

202 “C et 18 “C. Cependant, la temperature de l’air juste en dessous de la plaque poreuse a ete prise &gale a 36 “C (moyenne des temperatures mesurees par les trois thermocouples install& a ces endroits). Par ailleurs, dans cette modelisation de l’ecoulement avec injection! les memes conditions aux limites des parois impermeables que celles de la deuxieme modelisation de l’ecoulement saris injection presentee ci-dessus ont ete utilisees. En analysant les figures 15 et 16! on constate a nouveau un bon accord entre le profil des temperatures mesurees et celui des temperatures calculees par le modele a z = 0,865 m et z = 1, 17 m. On note. par ailleurs. un net abaissement de temperature. dd a l’effusion.

210

Franca

et al.

200

170 !J 5

140

f 5 110 ‘B 1

Eso 50 20

Figure 16. Comparaison entre le profil des temperatures calculees et celui des temperatures mesurees a ~7: = 1 ,17 m dans un ecoulement non isotherme avec injection (F = 1 X). Figure 16. Comparison between the calculated and experimental temperature profiles at z = 1 .17 m for a nonisothermal flow with blowing (F = 1 %).

4. SIMULATION PAR LE MODkLE COUPLC D’uN ECOULEMENT QuELC~NQUE DANS UNE CANALISATION AVEC EFFUSION LOCALE

Figure 15. Comparaison entre le profil des temperatures calculees et celui des temperatures mesurees a 5 = 0,865 m dans un ecoulement non isotherme avec injection (F = 1 %). Figure 15. Comparison between the calculated and mental temperature profiles at z = 0.865 m for isothermal flow with blowing (I? = 1 %).

experia non-

La figure 17 permet de comparer les temperatures calculees et les temperatures mesurees le long de la ligne mediane longitudinale de la plaque poreuse a une distance verticale d’environ 0,5 mm au dessus de celle-ci. Pour cette etude, le taux d’injection etait de 2 % et les conditions de vitesse et de temperature de l’air dans l’ecoulement potentiel etaient les mGmes que pour les essais precedents. La temperature de l’air juste en dessous de la plaque poreuse etait de 23 “C. La figwe 17 confirme la potentialite du modele global propose dont les resultats s’accordent raisonnablement avec l’experience (&art maximum de l’ordre de 20 K dans les zones de forte evolution) en amont, en aval et tout au long de la region d’injection.

218

Les potentialites du modele bidimensionnel couple ont ete exploitees en l’utilisant pour la simulation d’un ecoulement dans la veine avec T1 = 300 “C. T2 = 27 “C, ~1 = 10 rn.s-’ et II, = 2 %, pour trois taux d’injection : 0,002, 0,Ol et 0,012. Le plafond est consider6 thermiquement is016 et l’equation (30) a ete retenue pour calculer les transfert thermique par convection et rayonnement thermique & la surface inferieure du plancher impermeable. Le rayonnement thermique n’a pas ett! considere a I’interieur de la veine. Des echantillonnages des resultats de la simulation sont present& sur les figures 18, 19 et 20. Les deux premieres figures presentent les resultats des evolutions des temperatures et du flux de chaleur surfacique le long du plancher de la veine, et la derniere montre les profils des temperatures a l’interieur de la paroi poreuse et dans l’ecoulement principal a z = I,17 m (milieu de la region d’injection) pour les trois taux d’injection consider&. Ces figures montrent que la protection thermique (diminution de la temperature surfacique ou du flux de chaleur recu) augmente avec le taux d’injection F. Cependant, la valeur F = 0,Ol apparait &tre une valeur limite raisonnable pour le taux d’injection, car une augmentation de cette valeur n’amkliore que faiblement la protection thermique de

Simulation

des

transferts

de masse

et de chaleur

0.6

par

modelisation

0.6

1

1.2

1.4

1.6

qrn

Figure 17. Comparaison entre le profil experimental des temperatures et celui des temperatures calculees le long de la ligne mediane longitudinale de la plaque poreuse a une distance verticale de 0,5 mm au dessus de celle-ci.

Figure 19. Evolution du flux de chaleur surfacique le long de la ligne mediane longitudinale du plancher de la veine. Region d’injection (plaque poreuse) : 0,892 < z < 1,45 m.

Figure 17. Comparison between lated temperature profiles along of the porous plate at a vertical

Figure median plate):

450

the experimental the longitudinal distance of 0.5

and calcumedian line mm

19. Evolution of the heat flux along line of the channel bottom. Blowing 0.892 < z < 1.45 m.

the longitudinal region (porous

\ --

\ 4w

F = 0,002

s-----_

_j

/

TenK

F = 0,Ol s: ,‘/’ I/ ‘I

I

i/ !

350

( !

F = 0,Ol: i

xenm

Figure 18. superieure tion (plaque Figure 18. the channel 0.892 < z

kolutions des temperatures a la surface du plancher de la veine dans la region d’injecporeuse) : 0,892 < z < 1,45 m. Temperature evolutions at the above surface of bottom in the blowing region (porous plate): < 1.45 m.

-A..;.,..,,.+I

0

Y enm

Figure 20. Profils des temperatures dans une section transversale la veine a z = 1 ,17 m (milieu de la region d’injection) pour trois taux d’injection. Figure 20. Temperature profiles in a transversal section of the channel at z = 1 .17 m (middle of the blowing region) for three injection rates.

5. CONCLUSION la paroi. Cette conclusion est confirmee par l’examen de la figure 20, qui montre que la temperature dans la paroi poreuse n’est plus affectee par l’ecoulement parietal chaud dbs que F atteint la valeur de 0,Ol.

A la suite d’une analyse bibliographique et d’ktudes preliminaires, il a et6 etabli que le modele de turbulence & has nombre de Reynolds Blabore par Lam et Bremhorst donne de bons resultats pour les etudes des couches

219

G.A.

Campolina

Franca

et al.

limites s’etablissant sur des parois impermeables. La correction apportee par Yap est necessaire lorsque la paroi est poreuse et soumise B de l’effusion.

[31

Moffat R.J., Kays W.M., dary layer heat transfer 1983, Adv. Heat Transfer

Le but de ce travail etait de generaliser ces resultats dans le cas d’un ecoulement en canalisation cornportant une portion de paroi poreuse soumise a l’effusion d’un fluide secondaire. dans une situation totalernent anisotherme, le fluide principal etant a haute temperature alors que le fluide secondaire est froid. Un mod& d’ecoulernent bidimensiormel entre deux plans base sur les modeles de turbulence de Lam et Bremhorst et de Lam et Bremhorst corrige par Yap. selon la zone consideree (impermeable ou permeable avec effusion), a et6 Blabore puis valid4 dans le cas de l’ecoulement sur un plan semi-infini par comparaison avec des resultats issus de la litterature. Ce modele a ensuite etk couple a deux modeles complementaires permettant de simuler un ecoulement reel en canalisation avec transferts de chaleur et de rnassc avec lc milieu environnant : tm modele de transferts thermiques entre l’ecoulement principal et le milieu exterieur au travers des parois impermeables et un modele. utilisant le principe de l’equilibre thermique local, de transferts de masse et de chaleur dans la paroi poreuse et entre celle-ci et son environnement. Le modele globa,l a et6 valid@, tarn du point de vue des profils de temperature que de celui des vitesses, par comparaison avec des resultats expirrimentaux obtenus dans la veine d’essais d’urle soufflerie thermique subsonique. Les deux types de resultats sont correles correcternent tarn dans les zones de parois impermeables que dans celle qui est soumise k de l’effusion.

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Version

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From a bibliographical analysis and preliminary studies [18, 46, 491, it appears that the model of turbulence with low Reynolds numbers, developed by Lam and Bremhorst [32], gives good results for studies of boundary layers on impermeable walls. The correction of Yap [54] is necessary when the wall is porous and submitted to effusion. The aim of this work is to generalize these results to the case of a flow inside a channel whose bottom wall region is porous and is submitted to blowing by a cross fluid. The temperature of the main flow is very high while the cross flow is cold. A model of a two-dimensional flow between two planes, based on the turbulence model of Lam and Bremhorst [1981] and on the one of Lam and Bremhorst corrected by Yap [54], for the considered region (impermeable and permeable with blowing), has been developed and validated for the first time by comparison with results from the literature in the case of a flow on a semi-infinite plane (figures .2> 4 4). The model is, then, applied to an isothermal flow in the channel with or without blowing. The velocity profiles and the injection rates. obtained for the boundary layers at different sections of the channel, are compared (figures 5-10) with experimental profiles coming from studies of ADL in a subsonic thermal wind tunnel [50]. We can observe a very good agreement for all positions and injection rates. This model has been then coupled with two complementary models for the simulation of heat and mass transfers between the fluid and the environment. One is a model of heat transfer between the main flow and the

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ambient medium through the impermeable walls and the second, a model of heat and mass transfer through the porous wall and between this wall and its environment. Inside the porous medium, the principle of local thermal equilibrium is used in this last model. This global model has been validated for the temperature profiles in the boundary layer of various sections by comparison with the experimental results obtained with test facilities of the subsonic thermal wind tunnel. These results agree very well both in the regions of impermeable and permeable walls without effusion (figures 12-14) or with effusion (figures 15--l@. The comparison between theoretical and experimental results shows a very good agreement for the temperature profiles near the wall. The measurements have been done in a plan, located at the middle of the channel, which is perpendicular to the wall and along the direction of the flow (figure 17). Finally, this model has been applied to simulate a particular flow with different injection rates. We obtained the evolution of the temperature on the top face of the wall in the direction of the main flow (figure 18) and the evolution of the temperature in the crossing intersection to the flow, including the porous wall (figure 20); although we determined the heat flux through the wall along the flow direction (figure 19). We pointed out the efficiency of the cooling walls using blowing. Furthermore, we could evaluate the optimal value of the injection rate permitting the desirable cooling with a minimal consumption of the coolant fluid. The effusion ratio threshold is equal to 0.01.