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Structures de Finsler complexes sur des produits tensoriels
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 331, Série I, p. 549–551, 2000 Géométrie différentielle/Differential Geometry
Structures de Finsler complexes sur des produits tensoriels Adnène BEN ABDESSELEM, Pascal CHERRIER Institut de mathématiques de Jussieu, UFR 920, B.P. 172, Université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France Courriel : [email protected] (Reçu le 22 juin 2000, accepté le 3 juillet 2000)
Résumé.
On met en évidence une structure finslérienne complexe sur E1 ⊗ E2 , où E1 est un fibré vectoriel négatif et où E2∗ est engendré par des sections globales. Cette structure est obtenue à partir de celle de E1 , donnée par Kobayashi dans [2]. On montre qu’elle est pseudoconvexe et on détermine l’ensemble au-dessus duquel elle est à coubure négative. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Complex Finsler structures on tensorial products Abstract.
We give a complex Finsler structure on E1 ⊗ E2 , where E1 is a negative vector bundle, and where E2∗ is generated by global sections. It is obtained from the Finsler structure on E1 , given by Kobayashi in [2]. We prove that it is pseudoconvex and we determine the subset over which it has negative curvature. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
1. Introduction Dans [2], S. Kobayashi pose la question de l’existence de structures de Finsler complexes naturelles sur le produit tensoriel de deux fibrés vectoriels complexes E1 et E2 . Une réponse affirmative permettrait, entre autres, de donner une nouvelle démonstration de la négativité de E1 ⊗ E2 , lorsque E1 et E2 sont négatifs (résultat établi par Hartshorne [1]). Cette Note donne une réponse partielle à cette question puisque l’on supposera que E1 est négatif et que E2∗ , le dual de E2 , est engendré par ses sections globales. Rappelons quelques concepts utilisés par Kobayashi dans [2]. Soit (E, π, M ) un fibré vectoriel holomorphe de rang r au-dessus d’une variété complexe M de e, P(E)) dimension complexe n, et soit (P(E), p, M ) le fibré projectif correspondant. Le triplet (p−1 E, π désigne l’image réciproque de (E, π, M ) par p, et L(E) le fibré en droites tautologique de p−1 E. On a le
Note présentée par Thierry AUBIN. S0764-4442(00)01647-5/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
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A. Ben Abdesselem, P. Cherrier
diagramme suivant : L(E) ⊂ p−1 E
p˜
π
π ˜
P(E)
E
p
M.
L’application naturelle de L(E) sur E, biholomorphe entre L(E) et E privés de leurs sections nulles respectives, permet d’identifier L(E) à E éclaté au-dessus de sa section nulle. Une structure de Finsler complexe F sur E de classe Ck , est une fonction réelle F sur E telle que : 1) F est Ck en dehors de la section nulle ; 2) F (z, ζ) > 0 et F (z, ζ) = 0 si et seulement si ζ = 0 ; 3) F (z, λζ) = |λ|F (z, ζ) pour tout λ ∈ C. Soit (z α , ζ i ), où 1 6 α 6 n et 1 6 i 6 r, un système de coordonnées dans une trivialisation de E. F est dite fortement pseudo-convexe si la matrice 2 2 ∂ F ((Gi¯j ))i,j∈{1,...,r} = ∂ζ i ∂ ζ¯j i,j∈{1,...,r} est définie positive. ¯ Notons alors ((Gij ))i,j∈{1,...,r} la matrice inverse de ((Gi¯j ))i,j∈{1,...,r} . On dit que la structure de Finsler F est à courbure négative si −
2 2 ∂2F 2 ∂ 2F 2 ¯ ∂ F + Gij α ¯j α β ∂z ∂ z¯ ∂z ∂ ζ ∂ z¯β ∂ζ i
est définie négative. Associant une structure hermitienne sur L(E) à celle de Finsler sur E, S. Kobayashi prouve dans [2] (voir aussi [3] et [4]) le théorème suivant : T HÉORÈME. – Un fibré vectoriel holomorphe E est négatif si et seulement si il admet une structure finslérienne complexe fortement pseudo-convexe à courbure négative. Rappelons qu’un fibré en droites est négatif si et seulement si il admet une structure hermitienne h à courbure Ω = d0 d00 log h négative. On dit que E est négatif si et seulement si L(E) est négatif. 2. Structure finslérienne sur le produit tensoriel Soient E1 et E2 deux fibrés vectoriels holomorphes de rangs respectifs r et p au-dessus d’une variété complexe compacte M de dimension complexe n. Soit z = (z 1 , . . . , z n ) des coordonnées locales sur M . À tous repères de sections t = (t1 , . . . , tr ) et s = (s1 , . . . , sp ) de E1 et E2 , sont associées des coordonnées ζ = (ζ 1 , . . . , ζ r ) et η = (η 1 , . . . , η p ) sur les fibres. Les fibrés E1 et E2 sont alors paramétrés par (z, ζ) et (z, η) respectivement. On note enfin (s1 , . . . , sp ) le corepère de E2∗ dual de s. Tout élément b ∈ E1 ⊗ E2 peut être considéré comme une forme bilinéaire sur E1∗ × E2∗ . On suppose E2∗ globalement engendré par N sections holomorphes (ϕ1 , . . . , ϕN ). Cela permet d’associer à tout élément b ∈ E1 ⊗ E2 , N formes linéaires {b1 , . . . , bN } sur E1∗ considérées comme éléments de E1 et définies par : ∀ζ ∈ E1∗ ,
ba (ζ) = b(ζ, ϕa ).
Si b = bij ti ⊗ sj et si ϕa = ϕaj sj , les composantes de ba dans le repère t sont données par bia = bij ϕaj . L EMME 1. – Soit F une structure finslérienne complexe sur E1 , alors il existe un entier p tel que F p soit C2 au-dessus de la section nulle.
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Structures de Finsler complexes sur des produits tensoriels
On choisira le plus petit entier p vérifiant la propriété du lemme 1. L EMME 2. – On suppose que E1 possède une structure finslérienne complexe F , et que E2∗ est globalement engendré par N sections holomorphes (ϕ1 , . . . , ϕN ). Alors l’application T : E1 ⊗ E2 −→ R, définie pour tout b ∈ E1 ⊗ E2 par : T (b) =
N X
!1/p F p (ba )
,
a=1
est une structure finslérienne complexe de classe C2 sur E1 ⊗ E2 . Les formes linéaires b1 , . . . , bN sont définies plus haut et p est l’entier donné par le lemme 1. Soit alors
A = b ∈ E1 ⊗ E2 tels que ba = b(·, ϕa ) 6= 0, pour tout a ∈ {1, . . . , N } .
Le lemme 2 permet d’établir les résultats suivants : T HÉORÈME 1. – Si F est fortement pseudo-convexe, la structure finslérienne T (définie au lemme 2) est pseudo-convexe et fortement pseudo-convexe au-dessus de l’ensemble A. Les vecteurs isotropes sont les éléments X de E1 ⊗ E2 vérifiant Xa = X(·, ϕa ) = 0 dès que ba = b(·, ϕa ) est non nul. T HÉORÈME 2. – Si F est à courbure négative, la structure T est à courbure négative au-dessus de A. La preuve de ces deux théorèmes repose sur un calcul permettant d’écrire en coordonnées locales les dérivées partielles de T 2 en fonction de celles de F 2 . Le théorème 1 se déduit de la formule ( N ) X ∂2F 2 ∂2T 2 k` ij 2−p p−2 a ij a k` (b) X X = T (b) F (ba ) i k (ba )ϕj X ϕ` X ∂v ∂¯ v ∂bij ∂¯bk` a=1 ba 6=0
N X p − 2 2−2p T (b) F p−4 (ba )F p−4 (bc ) 2 a,c=1 2 2 2 ∂F ∂F 2 c ij 2 a ij (bc )ϕj X − F (bc ) (ba )ϕj X . × F (ba ) i i ∂v ∂v
+
(1)
Pour le théorème 2, le calcul de ∂ 2 T 2 /∂z α ∂ z¯β fait, quant à lui, intervenir une combinaison linéaire à PN PN coefficients positifs de a=1 ∂ 2 F 2 /∂z α ∂ z¯β , a=1 ∂ 2 F 2 /∂ζ i ∂ ζ¯i et d’un module au carré. La matrice associée au terme ( N ) X ∂2F 2 2−p p−2 a ij a k` (b) = F (ba ) i k (ba )ϕj X ϕ` X T ∂v ∂¯ v a=1 ba 6=0
de l’égalité (1) admet un inverse que l’on peut calculer explicitement, ce qui nous permet d’établir la négativité de T au-dessus de A en tenant compte de celle de F . Références bibliographiques [1] [2] [3] [4]
Hartshorne R., Ample vector bundles, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 29 (1966) 63–94. Kobayashi S., Complex Finsler vector bundles, Contemp. Math. 196 (1996) 145–153. Kobayashi S., Negative vector bundles and complex Finsler structures, Nagoya Math. J. 57 (1975) 153–166. Kobayashi S., Differential Geometry of Complex Vector Bundles, Iwanami, Princeton Univ. Press, 1987.
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Structures de Finsler complexes sur des produits tensoriels Adnène BEN ABDESSELEM, Pascal CHERRIER Institut de mathématiques de Jussieu, UFR 920, B.P. 172, Université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75252 Paris cedex 05, France Courriel : [email protected] (Reçu le 22 juin 2000, accepté le 3 juillet 2000)
Résumé.
On met en évidence une structure finslérienne complexe sur E1 ⊗ E2 , où E1 est un fibré vectoriel négatif et où E2∗ est engendré par des sections globales. Cette structure est obtenue à partir de celle de E1 , donnée par Kobayashi dans [2]. On montre qu’elle est pseudoconvexe et on détermine l’ensemble au-dessus duquel elle est à coubure négative. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Complex Finsler structures on tensorial products Abstract.
We give a complex Finsler structure on E1 ⊗ E2 , where E1 is a negative vector bundle, and where E2∗ is generated by global sections. It is obtained from the Finsler structure on E1 , given by Kobayashi in [2]. We prove that it is pseudoconvex and we determine the subset over which it has negative curvature. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
1. Introduction Dans [2], S. Kobayashi pose la question de l’existence de structures de Finsler complexes naturelles sur le produit tensoriel de deux fibrés vectoriels complexes E1 et E2 . Une réponse affirmative permettrait, entre autres, de donner une nouvelle démonstration de la négativité de E1 ⊗ E2 , lorsque E1 et E2 sont négatifs (résultat établi par Hartshorne [1]). Cette Note donne une réponse partielle à cette question puisque l’on supposera que E1 est négatif et que E2∗ , le dual de E2 , est engendré par ses sections globales. Rappelons quelques concepts utilisés par Kobayashi dans [2]. Soit (E, π, M ) un fibré vectoriel holomorphe de rang r au-dessus d’une variété complexe M de e, P(E)) dimension complexe n, et soit (P(E), p, M ) le fibré projectif correspondant. Le triplet (p−1 E, π désigne l’image réciproque de (E, π, M ) par p, et L(E) le fibré en droites tautologique de p−1 E. On a le
Note présentée par Thierry AUBIN. S0764-4442(00)01647-5/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
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diagramme suivant : L(E) ⊂ p−1 E
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P(E)
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M.
L’application naturelle de L(E) sur E, biholomorphe entre L(E) et E privés de leurs sections nulles respectives, permet d’identifier L(E) à E éclaté au-dessus de sa section nulle. Une structure de Finsler complexe F sur E de classe Ck , est une fonction réelle F sur E telle que : 1) F est Ck en dehors de la section nulle ; 2) F (z, ζ) > 0 et F (z, ζ) = 0 si et seulement si ζ = 0 ; 3) F (z, λζ) = |λ|F (z, ζ) pour tout λ ∈ C. Soit (z α , ζ i ), où 1 6 α 6 n et 1 6 i 6 r, un système de coordonnées dans une trivialisation de E. F est dite fortement pseudo-convexe si la matrice 2 2 ∂ F ((Gi¯j ))i,j∈{1,...,r} = ∂ζ i ∂ ζ¯j i,j∈{1,...,r} est définie positive. ¯ Notons alors ((Gij ))i,j∈{1,...,r} la matrice inverse de ((Gi¯j ))i,j∈{1,...,r} . On dit que la structure de Finsler F est à courbure négative si −
2 2 ∂2F 2 ∂ 2F 2 ¯ ∂ F + Gij α ¯j α β ∂z ∂ z¯ ∂z ∂ ζ ∂ z¯β ∂ζ i
est définie négative. Associant une structure hermitienne sur L(E) à celle de Finsler sur E, S. Kobayashi prouve dans [2] (voir aussi [3] et [4]) le théorème suivant : T HÉORÈME. – Un fibré vectoriel holomorphe E est négatif si et seulement si il admet une structure finslérienne complexe fortement pseudo-convexe à courbure négative. Rappelons qu’un fibré en droites est négatif si et seulement si il admet une structure hermitienne h à courbure Ω = d0 d00 log h négative. On dit que E est négatif si et seulement si L(E) est négatif. 2. Structure finslérienne sur le produit tensoriel Soient E1 et E2 deux fibrés vectoriels holomorphes de rangs respectifs r et p au-dessus d’une variété complexe compacte M de dimension complexe n. Soit z = (z 1 , . . . , z n ) des coordonnées locales sur M . À tous repères de sections t = (t1 , . . . , tr ) et s = (s1 , . . . , sp ) de E1 et E2 , sont associées des coordonnées ζ = (ζ 1 , . . . , ζ r ) et η = (η 1 , . . . , η p ) sur les fibres. Les fibrés E1 et E2 sont alors paramétrés par (z, ζ) et (z, η) respectivement. On note enfin (s1 , . . . , sp ) le corepère de E2∗ dual de s. Tout élément b ∈ E1 ⊗ E2 peut être considéré comme une forme bilinéaire sur E1∗ × E2∗ . On suppose E2∗ globalement engendré par N sections holomorphes (ϕ1 , . . . , ϕN ). Cela permet d’associer à tout élément b ∈ E1 ⊗ E2 , N formes linéaires {b1 , . . . , bN } sur E1∗ considérées comme éléments de E1 et définies par : ∀ζ ∈ E1∗ ,
ba (ζ) = b(ζ, ϕa ).
Si b = bij ti ⊗ sj et si ϕa = ϕaj sj , les composantes de ba dans le repère t sont données par bia = bij ϕaj . L EMME 1. – Soit F une structure finslérienne complexe sur E1 , alors il existe un entier p tel que F p soit C2 au-dessus de la section nulle.
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On choisira le plus petit entier p vérifiant la propriété du lemme 1. L EMME 2. – On suppose que E1 possède une structure finslérienne complexe F , et que E2∗ est globalement engendré par N sections holomorphes (ϕ1 , . . . , ϕN ). Alors l’application T : E1 ⊗ E2 −→ R, définie pour tout b ∈ E1 ⊗ E2 par : T (b) =
N X
!1/p F p (ba )
,
a=1
est une structure finslérienne complexe de classe C2 sur E1 ⊗ E2 . Les formes linéaires b1 , . . . , bN sont définies plus haut et p est l’entier donné par le lemme 1. Soit alors
A = b ∈ E1 ⊗ E2 tels que ba = b(·, ϕa ) 6= 0, pour tout a ∈ {1, . . . , N } .
Le lemme 2 permet d’établir les résultats suivants : T HÉORÈME 1. – Si F est fortement pseudo-convexe, la structure finslérienne T (définie au lemme 2) est pseudo-convexe et fortement pseudo-convexe au-dessus de l’ensemble A. Les vecteurs isotropes sont les éléments X de E1 ⊗ E2 vérifiant Xa = X(·, ϕa ) = 0 dès que ba = b(·, ϕa ) est non nul. T HÉORÈME 2. – Si F est à courbure négative, la structure T est à courbure négative au-dessus de A. La preuve de ces deux théorèmes repose sur un calcul permettant d’écrire en coordonnées locales les dérivées partielles de T 2 en fonction de celles de F 2 . Le théorème 1 se déduit de la formule ( N ) X ∂2F 2 ∂2T 2 k` ij 2−p p−2 a ij a k` (b) X X = T (b) F (ba ) i k (ba )ϕj X ϕ` X ∂v ∂¯ v ∂bij ∂¯bk` a=1 ba 6=0
N X p − 2 2−2p T (b) F p−4 (ba )F p−4 (bc ) 2 a,c=1 2 2 2 ∂F ∂F 2 c ij 2 a ij (bc )ϕj X − F (bc ) (ba )ϕj X . × F (ba ) i i ∂v ∂v
+
(1)
Pour le théorème 2, le calcul de ∂ 2 T 2 /∂z α ∂ z¯β fait, quant à lui, intervenir une combinaison linéaire à PN PN coefficients positifs de a=1 ∂ 2 F 2 /∂z α ∂ z¯β , a=1 ∂ 2 F 2 /∂ζ i ∂ ζ¯i et d’un module au carré. La matrice associée au terme ( N ) X ∂2F 2 2−p p−2 a ij a k` (b) = F (ba ) i k (ba )ϕj X ϕ` X T ∂v ∂¯ v a=1 ba 6=0
de l’égalité (1) admet un inverse que l’on peut calculer explicitement, ce qui nous permet d’établir la négativité de T au-dessus de A en tenant compte de celle de F . Références bibliographiques [1] [2] [3] [4]
Hartshorne R., Ample vector bundles, Publ. Math. Inst. Hautes Études Sci. 29 (1966) 63–94. Kobayashi S., Complex Finsler vector bundles, Contemp. Math. 196 (1996) 145–153. Kobayashi S., Negative vector bundles and complex Finsler structures, Nagoya Math. J. 57 (1975) 153–166. Kobayashi S., Differential Geometry of Complex Vector Bundles, Iwanami, Princeton Univ. Press, 1987.
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