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Sur certains tournois reconstructibles application a leurs groupes d'automorphismes
Discrete Mad~ema~ies 24 (!978) 225-229. ~ North-Holland ?ublis]ing Company
NOTE
APPLICATION
A
LEURS
GROUPES
D~AVTONONPI-I{,~gF~E~;
Maurice POUZET
Ddpartcmem de Ma;hh~.~.m:~cs~ Unicersitd ClaI~de-Be~:ard, 43, Bov.leva~z dr. i J ,'wvembre 19~.8~ 69d2. Vitleurbamw, D~a~,:e Ref.u le 4 jsnvier Nouse dmmons une preu,,e simplifi~e, et plus g~mSrale, d'un r~su!tat de M../can coaeernant los automoq~hismes de cer:ains tou~nois.
L ' o b j e ~ d e c c t t : n o t e e s t d e p r o u v e r !e r 6 s u l t a t s u i v a m : 'I~6or?~me I , goien~' T e t
T' deux tournois t a n ~Idments av'.c n.->5. Si route restriction de T a n - 2 didments est isomorphe ,~ ~ov.te restnc;ion 4e T' iz n - - 2 ildments alors ~u bie~ T e t T' sont deux ordres totaux stricts, or. bien ~f importe quel isomorphisme f d'une resu~ction de T g~ n - 2 didments st~r un,'. restriction de T' & ~ - 2 dIdmen~s ~e proIonge, d'u~e ma~,~idre uniq~w, e n t o ; isomorphisme de T sur T' ; en pardcuiier T e t T' sont isor, mrphes C e re;sultat c o n t i e n t ie fait s u i ' , a n t dfi ~ J e a n [5].
C o r o l l a i t e 2. S)it T u n tournoi d n dibnents avec n >t 5. Toutes les restrictions de T
~; r~- 2 ~lt~ments sont isomorphes entre ettes si et seuternent si: ou bien T e s t tu~ ordre total strict ou b:!en te groupe d'automorphismes de T est 2 - h o m o ~ n e . 2 A | o r s q u e la m 6 t h o d e d e J e a n est f o n d 6 e s u r d e s c o n s i d 6 r a t i o n : : c o m b i n a t o i r e s r~on triviales k~ n 6 t r e r e p o s e p o u r l ' e s s e n t M s u r u n e p r o p r i 6 t ~ d l 6 m e n t a i r e d e d d n o m b r e m e n t d d j h utilisde p a r Kelly [6] e t donn/~e c i - d e s s o u s ( p o u r mac v e r s i o n p l u s gt~ndrale voir [7]). ~"Couformement ~, ia ter~.~inotogie de Fralss6 [3] une relatio~*binaire de base E .*st une applieatiop R de l'ensemNe E x E dans l'ensemble ~l deux valeurs +. - ; le hombre d'~16ments de R e s t par convention le hombre d'C~ments de E; la restriction de R ~ up,e partie A c~e E est la restriction de R c~.n:dd6r~e eomme application ~ l'ensemble ,4 x A. Un tournoi est une relation binaire T qui est i r6{texive (i.e. T(.~, x) = - pour tout x), antisym6trique (i.e. T(x, y) = T(y, x) = + entrai'ne x = y) et Fou~: laque!le deu× ~I6mentg sc:-t toujonrs eomparabtes (i.e, T(x. y) ou T(y: x) = + pour tout couple C6!amen~s disdnc,~.L Ur, ordre total strict est un tour~oi ~ransitif (i.e. T(x. y)= T(y, z)= 4 :.",tratne 5"(x, z)= +). OWn g o u p e G de aermu~atioas ~r d'uu ¢~sembJ¢ }{ est p-homogb~e iorsque deux parties quek'vo~nques de E ayan: i± C&ncmb ~ont trans[orm~es l'aa,a en t'autre pa~ un dlement de G. 225
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M. Po:~,~i
L e m m e 3 ( L e m m e de d 6 n o m b r e m e n t ) . Soienr n e t p deux e ~_ti~,~s..~ec ~ ~ n - 1 ee P u n ensemble de parties P h p ~l~ments d'un cnsemHe E a ~; ~!i~:ments. Le hombre Card P d'dl~.ments de P v~rifie; Card P = ~
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formute dans taquelle Card t ~ . esr te hombre dd~dmei'Js ~qe P ne co~etmm~.
.
~'~a,. .v.
Pteuve. Evident. U n tournoi T ~ :ro~; 4i~ments est soit ~ ~m~:c tota! strict'..,~c,i; ~a ;yele (c'est,-~-d]re que pour m~e numdro~ation conve~ab!e des 6!6merits on a: T(ao, az) = T(a~, ~ ) = T(a2, a0) = + ) Et un to ~r~oi, ]hi ou non, e~,t u n ord~e total strict si et seuiem~:~nt si aucune de s~2s restricti:)~s ~ :rois 616raent.,; n'e., t u n cycle. Lorsque Ia restfic'don d ' u n tounaoi a tree patti :~~ t r o s 6]4mer:ts est u n :ycle, nous disons que cette pattie est un Ma~gie.
Lemme 4, Soit T ;2n to,4rnoi de bm'e fi~de U 3 n ~idt,:erts, a;~ec n ~ 5. Si tou~es ies restrictions de T ii n - 2 d!dments son' iso,mo:vhes ,~ntre d~es al ,rs ?~ur chaque ~ldment x de U ge hombre de trian~:es conten:mt x ,,st i ~ d @ n d a ,~t & x, e~" pour chaq~e ~aire d'~I~ments distincts x:, )' de E ~e ,~tomb,, de ~qa~gIes :omenane x e~ y est ind@endem de x e~ y~ O's q~m~;itds son; i's m?~:ws p)ur n'im?orte quel auln' tournoi T' & ~ didments ayant ~es rm'mes ~vsmc~.io~;s ~'ue T a n - 7~ d~d;,wnts. Preave. Puisque routes !es restrictions de T ~ ~ - - 2 616ments s~nt isomorphes entre ei!¢'s, pour chaque paire d'6t6ments distincts le h o m b r e t-~_: de ;riangles ne e o n t e n a n t ~]~ x ni y est ind6pendanc du ehoix ,~e x, b. Soit t ee n o m b r e : d'aprbs le lemme ci-des~us le t~ombre t-~ de ~riangies n~ c o m e n a n t pas x ~s~ @ai "~
t
V,
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donc ~gal ~ ((~,- i ) ! ( n - 4))(. et te myrA~e , dc triangies inctus das~_~E est ~gai a 1
E t_,~,
~l-- 3xeF,
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done 6gal h ( n l ( n - 3 ) × ( : ~ - i ) / ( n - 4 ) t Le n o m b r e (, de triangles c<).,~iel,ant t-, dgal .:t ~ ' ~ t-~.,, doric 6gal g (3(n . - ! ) ! ( n - J)(n--4))t, est i n d 6 ~ t ~ d e m de ~. E t . ~ t donnds deux 616ments distincts x et y de E ?e ~ombrc ~-~y de triangles coatenal:t x et :'~? contenant p as y vaut t-~y- t..~:¢,,, doac le h o m b r e t~y de triangles come ~ant x e~ y qui vaut t - ~ , y - ¢~.-~- t-,~-~ vaut aussi ~ - - t ~ x -- Lay + r~x-ny, c'esi-~-dire ici 6 U ( n - 3 ) ( n - - 4 ) . I1 est donc i n d 6 p ? n d a n t de a et y.
L e m m e 5. Soient "F et T deux k~14rnois de bases cespectives E et E' a v a m n ~l~ments, avec i'. ~ 5, teis que toute z~striction d~ T fi ~ - 2 (q~ments ::oJt i., omor~he
Sv~rcermins to,*.rnois re:.o:~stri~c~ib.es
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tou~e restrictiou de T' ~" n - 2 dldmems, soie ~t a; y deux dl6men;'s distracts de E ~q x', y' deux ~Idments a'isti~cts de E'. Si f es~ ~a~ isoi,~o,phisme de T I~--{.~,~,',sur ~ t~%~'.:~'~ alo'.'s pour tou~ z dfs~iuct de ~:, y e~ po,o" sot~ .~ra~~s¢orm*.5z' = f ( z ) , t' e~:sembIe {x, ~,, z} est ~ triauglc si e~ se,.deme~,,t si l'ensembh" {~:'. y', z'} e~a .:'~'..t~m. Frem, e. K*.m~ donnas troi.~ dI&nents dis':in:ts :v, y. z soier~_t .~.,.: le h o m b r e de triangles c:~me~:ant .x, ,, z, ~'_.,~,._ le h o m b r e de tr!angles ne con~enam oas x et c o n t e n a n t y ,:~ z, et soien~ ~_~.~_~,.~. . . . . (~, ~=. . . . e~_c., !es q u a n f i t & d6fi~ies de ta t ~ x - a v a + t~_. ÷• -,, , r - t.. Puism~e :arts la cas qui nous occupe .]' e~:;t ~n isomorphisme de . . " - " ~E--~x.y, t ' ~ , . . . . . e~ puisque T et T' v6rifient ies iE~_{x,o,} o n 3 i-:.~wz . . hypoth}ses du L e m m e 4. t~: = g... = t,,:, = t,.,::, et *. = g:., doric Ixy: = ~:'y'zP r e u v e du T~,~or~me 1o Si T e s t un ordre totai strict alors il ne c o n d e n t pas d. cycle; d'apr~:s le L e m m e 4, T' i:,'en contient pas non plus et done c'est un ordr~:'. total strict q u ayant m ~ m e h o m b r e d'616ments que T lui est isc,morphe. D a n s le cas contrg.~re c o n s i d & e n s un isomorphisme f d ' u n e restriction de T ~ n - 2 ~t6ments sur une restrictT.on de T' ~ n - 2 ~ldments. Ces restrictk.ms sont obtenues en e n i e v a n t m~x bases rcspectives E et E ' de T et T' deux d:ldments x, y e t x', ?/ tels q~:e T(x, y) = T'(x'. y') = + . Voyons ~ue f prolong~e par ta transformation de x en x ' et de y e n y' est un isomorphisme de 7 sur T'; c'est-~.-dire ici qt~e pour tout z distinct de x, y e t pour son transform~ z' on a T(x, z ) = T'(x', z') et T(y, z) = T'(y', z'). I1 nous suffit d'6tablir ia premi6re 6galit6, la seconde en r6sulte en rempta~ant chaque tournoi par son oppose.. Obtenons-l~ par l'absurde en supposant T(:r, z) = + et T'(~', z') = - . Darts ce cas x, y et z ne forme;at pas un triangle, done d'apr~s le L e m m e 5, x', y', z' non glas et par cons.(;quent T'(z', y') = +. Soit u un 6le2ment de E tel que x, y, u forment up triangle (puisque F contient des triangles, d'apr~s le L e m m e 4 il existe au rnoins un teli u) aiors T(u, z ) = + . Sinon T(z, u ) = + et done T ' ( z ' , u ' ) = + (en d6signant F,ar u' te transform6 de u par f) mais alors aucun triangle de T' c o n t e n a n t u' et z' ne contiendrait ~i x' ni y' c e p e n d a n t qne x, u, z formeraient un triangle: le r~,.:ab;': de triangles c.'mtenant u' et z' serai~ different du hombre de wiangles contenant u et z. ceta contredi~ait ic L e m m e 4. Ainisi "F(u, z) := ÷ et done T'(u', z') = +. P o u r !a mr}me raison T(z, y ) = + (sinon ies triangles contenant u, z ne contienOraient ni x ni yo ators que u', ~ , . forment un triangle). Prenons maintenant ae, 61~.~ment t tel q u e x, z, ~ f o r m e m un triangle. Ce t e s t distinct de x, y, z, ,. Les triangles c o n t e n a n t t', z' (avec t ' = f ( t ) ) ne c o n t i e n n e n t n i x ' r i y ' c e p e n d a n t que x, z, t e n e~t un. Ceci contredit le L e m m e 4, done en d6finitive l'hypothbse de d60art.
Possibb~ ~,~r~Ao~gements Manomorphic. ~i:-;~.~,.~ quXmc ;elation ou q u ' u n e stnmtu~e relationnel~e (suite de piusieurs relations de md,:ne base) est p-monomorphe !orsqtm dev~x restrictions
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M. Poazet
quelconques ~ p 616ments sont tou~ ours isom orphe~, Le r6sukat de ~ L Jean est d o n e qu'un toumoL non ordrc totai strict, n - 2 - m o ~ o m e r p h e ~ :': ~6:nents avec n~>5 donne un. gr,3upe 2-homog~ne non 2-trandtif. Puisqv;un groupe 2homogSne sur at: moins 3 ~l~ments est i-homog~ne, i.e. ~ '~'~ est done ( n - l ) - m o n o m o r p h e ~ Plus g&~dralemem ~oule strucm'e re?ationnetl< form~e de relathms au .plus binair,:s, qui a r~ dl&,lents avec n ~.,'~,; et q~d est ( n - 2 ) - m o n o m o r p h e est (n-1)-mo:,c,n~orFhe [5~. (Rer~arquer q~e use ~etle sLructu;e a horini l c c a s trivial les m~mes automorpMsme~ Iocaux qu'm,~ t ~ moi.) Problbme 1. Soi* R d'arit6 m ay~m.t n ~i~ments avec n ~ . ~ , n + i . Si R e~t ( n - m ) - m o n o m o r p h e est-ce que i;.' est (n -m+~",, . . . , ( n - t)--mm~omorphe? (M. Jean). Plus fortement si u s e telk: R n'est pas m~.q'a.Cnable (ceci sigr ifiant qu'ii n'exis~e pas d'ordre total de re&me base que R dora !~.~ automorphismes locau× sont d:;s automorphismes locaux de R) est-ce qu'alors son groupe d'automorphisme, est m-.homog6ne? Noter que une re!afion m-mo~_~omorphe d'au moins 2~,n--:. ~i~ments est ( m - i ) . . . . . t - m o n o m o r p h e [7] e{ que pour m iX existe un entiev sire) et un emier n tels qu'une relation m-am:: 1 , 2 , . . . , s ( m ) - m o n o m o r p h e d ' a : moins ~, 6Ements est enchalnaNe [4]. Par exempte po~r m =~"2 on a s(2):,: "3 et n = 4. Ieeconsmwfion des toun~ois. E~I ce ~ui concmne les o u m o i s noter q';e comme r4ciproque du r6sultat de Jean to,~t gro0_pe 2-homog6ne non 2.-transitif est sous-groupe du groupe d'automorp:fisme d'~n tou-moi, non ordre total strict, ( , ~ 2)m~om.~morph:x Avec des m6th,:~des de d6nombrement 616mentair-s, Fra]ss6 a mon~r- direetement q,,e sen s o m b r e d'416ments est co~gru ~ 3 rood 4. I~ es~ connu c&x c'est use p::iss~mce d'un s o m b r e pr,~mier congrue 5 3 rood a (voir [~.0. i';cus rden c o a n a i s s o ~ ~as de preuve', directe. F'~'obl~me 2. a Combien y.-a.qA! de tourn0is (non ordre totat stric:'! ( n - 2 ) monomorphes f i n ~'tdments? Est..ce que un ~ei t o u ~ o i T e s t isomor:q~e "a sor~ opgos6 T -~ (obten~ e~ 6~mnaeant + et .-~" Probl~me 3. Soient T e'. T: deux tournois de mi_',m ~ b~., finie E it n 6t4mer~ts avec n ~ 5 ~ si pour chaq;~ie paire x y d'616mcnts disfi.qcts de i!? ~c~ tournois 1" L> {~,y} et T' e-~,~ sonl isomorph<'s est-ce qu'alcrs 7" et T' sor~! {:'.omo.,-phes? Cet~:c conchtsion est fausse si on suppose seutement q m T i~---{.}e~: T' ;:>{.~; sont ismorphes pour tout x, m~me pour a arbRrairement grand [8]. Dans ce dernier cas, a-t.on l'isomorphie en supposant en outre que T, ou T', es/ ( n - t ) monomorpne? (Pour ce qui c0ncerne ies probl~Smes de leconstmet}oc ~<~ir [4] et [11). -*Note added in pro@ \¥. I7~antt~rnous siagMe quql n'y e.n ~ qu~'m et re~roie 2~. ~orl article "Automorphism groups of designs", Math. Z. 109 (1969) 2d6-252, mdiqv.ant ia Propc~;i~ion3.1 c' !e ParagraD.~ 5.
5;¢r cer;'ab,~s loum~is re'co*tsrr14c:ib[es
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Bibliographic
[1] .A. Bondy et i,LL. blemmil~gcr, Graph Reco~.st~<,,ior. A S~irvcv. Universit) of Waterloo, Research Repot. (7ORR 76-49 (7,976~ J. GrapL Theory L ~19T?) '~;7 ~"° "~.,~.~~>~. Dembov, ski, . Finite Geomc:~.:rices, . . E~.gebaisse . tier Math. .uizd Ib.rer Greazg~:bietc V.~ 44 (Springer Verlag. New Yczk, 1968"~. [3] R. Fra[ssd, Com:~ de togi~,,, math4matique. "f.1. Relatien e~ ~ormule ~o¢ique (Gat*ti~ier-\,'illar.% Paris.. ~a', 1) (Tr~d, angLr'se: Reid¢l, Dordrecht, t973) .... (,~] C. Frasaay, Ou::lques p::~bl~mes combir~atoires coneerv.ant les ordr,es :otaux et las reia~ions manomor°,he~ ~r'hb~e Par s Ann. lnst. Fourier t5 (2) (t965) 4i5-59¢ ~5i M Jean, Line.s',mme:ria oumaments, in: Rece:~t Progress in Combi~at)ries (Aca%n:k ;?'ess, New York, (lg6% 265-271, [6] P.J~ Kelly, A co:'tgmence ~heorem for trees, Pacific J. biath. (1957) 96!-968. [7] M, Pouzet, Appiieation d".me propri&~ comginateire des parties d"m ensemble aux groupes et aux ~e~laiions, Math. Z, 150 (t976) 1t7-134. [8] P. Smckmeyer, 'lYe falsity of the recoi~strucfien con ecture ~ar tournamen*.s, J. Graph Thev)ry 1 (19"77} i9~25, [9] S.M. Utam, A ( ?[!ectioa ~-f Matttemaficat Problems tWiley, New York, I960). •
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Ddpartcmem de Ma;hh~.~.m:~cs~ Unicersitd ClaI~de-Be~:ard, 43, Bov.leva~z dr. i J ,'wvembre 19~.8~ 69d2. Vitleurbamw, D~a~,:e Ref.u le 4 jsnvier Nouse dmmons une preu,,e simplifi~e, et plus g~mSrale, d'un r~su!tat de M../can coaeernant los automoq~hismes de cer:ains tou~nois.
L ' o b j e ~ d e c c t t : n o t e e s t d e p r o u v e r !e r 6 s u l t a t s u i v a m : 'I~6or?~me I , goien~' T e t
T' deux tournois t a n ~Idments av'.c n.->5. Si route restriction de T a n - 2 didments est isomorphe ,~ ~ov.te restnc;ion 4e T' iz n - - 2 ildments alors ~u bie~ T e t T' sont deux ordres totaux stricts, or. bien ~f importe quel isomorphisme f d'une resu~ction de T g~ n - 2 didments st~r un,'. restriction de T' & ~ - 2 dIdmen~s ~e proIonge, d'u~e ma~,~idre uniq~w, e n t o ; isomorphisme de T sur T' ; en pardcuiier T e t T' sont isor, mrphes C e re;sultat c o n t i e n t ie fait s u i ' , a n t dfi ~ J e a n [5].
C o r o l l a i t e 2. S)it T u n tournoi d n dibnents avec n >t 5. Toutes les restrictions de T
~; r~- 2 ~lt~ments sont isomorphes entre ettes si et seuternent si: ou bien T e s t tu~ ordre total strict ou b:!en te groupe d'automorphismes de T est 2 - h o m o ~ n e . 2 A | o r s q u e la m 6 t h o d e d e J e a n est f o n d 6 e s u r d e s c o n s i d 6 r a t i o n : : c o m b i n a t o i r e s r~on triviales k~ n 6 t r e r e p o s e p o u r l ' e s s e n t M s u r u n e p r o p r i 6 t ~ d l 6 m e n t a i r e d e d d n o m b r e m e n t d d j h utilisde p a r Kelly [6] e t donn/~e c i - d e s s o u s ( p o u r mac v e r s i o n p l u s gt~ndrale voir [7]). ~"Couformement ~, ia ter~.~inotogie de Fralss6 [3] une relatio~*binaire de base E .*st une applieatiop R de l'ensemNe E x E dans l'ensemble ~l deux valeurs +. - ; le hombre d'~16ments de R e s t par convention le hombre d'C~ments de E; la restriction de R ~ up,e partie A c~e E est la restriction de R c~.n:dd6r~e eomme application ~ l'ensemble ,4 x A. Un tournoi est une relation binaire T qui est i r6{texive (i.e. T(.~, x) = - pour tout x), antisym6trique (i.e. T(x, y) = T(y, x) = + entrai'ne x = y) et Fou~: laque!le deu× ~I6mentg sc:-t toujonrs eomparabtes (i.e, T(x. y) ou T(y: x) = + pour tout couple C6!amen~s disdnc,~.L Ur, ordre total strict est un tour~oi ~ransitif (i.e. T(x. y)= T(y, z)= 4 :.",tratne 5"(x, z)= +). OWn g o u p e G de aermu~atioas ~r d'uu ¢~sembJ¢ }{ est p-homogb~e iorsque deux parties quek'vo~nques de E ayan: i± C&ncmb ~ont trans[orm~es l'aa,a en t'autre pa~ un dlement de G. 225
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M. Po:~,~i
L e m m e 3 ( L e m m e de d 6 n o m b r e m e n t ) . Soienr n e t p deux e ~_ti~,~s..~ec ~ ~ n - 1 ee P u n ensemble de parties P h p ~l~ments d'un cnsemHe E a ~; ~!i~:ments. Le hombre Card P d'dl~.ments de P v~rifie; Card P = ~
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formute dans taquelle Card t ~ . esr te hombre dd~dmei'Js ~qe P ne co~etmm~.
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Pteuve. Evident. U n tournoi T ~ :ro~; 4i~ments est soit ~ ~m~:c tota! strict'..,~c,i; ~a ;yele (c'est,-~-d]re que pour m~e numdro~ation conve~ab!e des 6!6merits on a: T(ao, az) = T(a~, ~ ) = T(a2, a0) = + ) Et un to ~r~oi, ]hi ou non, e~,t u n ord~e total strict si et seuiem~:~nt si aucune de s~2s restricti:)~s ~ :rois 616raent.,; n'e., t u n cycle. Lorsque Ia restfic'don d ' u n tounaoi a tree patti :~~ t r o s 6]4mer:ts est u n :ycle, nous disons que cette pattie est un Ma~gie.
Lemme 4, Soit T ;2n to,4rnoi de bm'e fi~de U 3 n ~idt,:erts, a;~ec n ~ 5. Si tou~es ies restrictions de T ii n - 2 d!dments son' iso,mo:vhes ,~ntre d~es al ,rs ?~ur chaque ~ldment x de U ge hombre de trian~:es conten:mt x ,,st i ~ d @ n d a ,~t & x, e~" pour chaq~e ~aire d'~I~ments distincts x:, )' de E ~e ,~tomb,, de ~qa~gIes :omenane x e~ y est ind@endem de x e~ y~ O's q~m~;itds son; i's m?~:ws p)ur n'im?orte quel auln' tournoi T' & ~ didments ayant ~es rm'mes ~vsmc~.io~;s ~'ue T a n - 7~ d~d;,wnts. Preave. Puisque routes !es restrictions de T ~ ~ - - 2 616ments s~nt isomorphes entre ei!¢'s, pour chaque paire d'6t6ments distincts le h o m b r e t-~_: de ;riangles ne e o n t e n a n t ~]~ x ni y est ind6pendanc du ehoix ,~e x, b. Soit t ee n o m b r e : d'aprbs le lemme ci-des~us le t~ombre t-~ de ~riangies n~ c o m e n a n t pas x ~s~ @ai "~
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L e m m e 5. Soient "F et T deux k~14rnois de bases cespectives E et E' a v a m n ~l~ments, avec i'. ~ 5, teis que toute z~striction d~ T fi ~ - 2 (q~ments ::oJt i., omor~he
Sv~rcermins to,*.rnois re:.o:~stri~c~ib.es
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tou~e restrictiou de T' ~" n - 2 dldmems, soie ~t a; y deux dl6men;'s distracts de E ~q x', y' deux ~Idments a'isti~cts de E'. Si f es~ ~a~ isoi,~o,phisme de T I~--{.~,~,',sur ~ t~%~'.:~'~ alo'.'s pour tou~ z dfs~iuct de ~:, y e~ po,o" sot~ .~ra~~s¢orm*.5z' = f ( z ) , t' e~:sembIe {x, ~,, z} est ~ triauglc si e~ se,.deme~,,t si l'ensembh" {~:'. y', z'} e~a .:'~'..t~m. Frem, e. K*.m~ donnas troi.~ dI&nents dis':in:ts :v, y. z soier~_t .~.,.: le h o m b r e de triangles c:~me~:ant .x, ,, z, ~'_.,~,._ le h o m b r e de tr!angles ne con~enam oas x et c o n t e n a n t y ,:~ z, et soien~ ~_~.~_~,.~. . . . . (~, ~=. . . . e~_c., !es q u a n f i t & d6fi~ies de ta t ~ x - a v a + t~_. ÷• -,, , r - t.. Puism~e :arts la cas qui nous occupe .]' e~:;t ~n isomorphisme de . . " - " ~E--~x.y, t ' ~ , . . . . . e~ puisque T et T' v6rifient ies iE~_{x,o,} o n 3 i-:.~wz . . hypoth}ses du L e m m e 4. t~: = g... = t,,:, = t,.,::, et *. = g:., doric Ixy: = ~:'y'zP r e u v e du T~,~or~me 1o Si T e s t un ordre totai strict alors il ne c o n d e n t pas d. cycle; d'apr~:s le L e m m e 4, T' i:,'en contient pas non plus et done c'est un ordr~:'. total strict q u ayant m ~ m e h o m b r e d'616ments que T lui est isc,morphe. D a n s le cas contrg.~re c o n s i d & e n s un isomorphisme f d ' u n e restriction de T ~ n - 2 ~t6ments sur une restrictT.on de T' ~ n - 2 ~ldments. Ces restrictk.ms sont obtenues en e n i e v a n t m~x bases rcspectives E et E ' de T et T' deux d:ldments x, y e t x', ?/ tels q~:e T(x, y) = T'(x'. y') = + . Voyons ~ue f prolong~e par ta transformation de x en x ' et de y e n y' est un isomorphisme de 7 sur T'; c'est-~.-dire ici qt~e pour tout z distinct de x, y e t pour son transform~ z' on a T(x, z ) = T'(x', z') et T(y, z) = T'(y', z'). I1 nous suffit d'6tablir ia premi6re 6galit6, la seconde en r6sulte en rempta~ant chaque tournoi par son oppose.. Obtenons-l~ par l'absurde en supposant T(:r, z) = + et T'(~', z') = - . Darts ce cas x, y et z ne forme;at pas un triangle, done d'apr~s le L e m m e 5, x', y', z' non glas et par cons.(;quent T'(z', y') = +. Soit u un 6le2ment de E tel que x, y, u forment up triangle (puisque F contient des triangles, d'apr~s le L e m m e 4 il existe au rnoins un teli u) aiors T(u, z ) = + . Sinon T(z, u ) = + et done T ' ( z ' , u ' ) = + (en d6signant F,ar u' te transform6 de u par f) mais alors aucun triangle de T' c o n t e n a n t u' et z' ne contiendrait ~i x' ni y' c e p e n d a n t qne x, u, z formeraient un triangle: le r~,.:ab;': de triangles c.'mtenant u' et z' serai~ different du hombre de wiangles contenant u et z. ceta contredi~ait ic L e m m e 4. Ainisi "F(u, z) := ÷ et done T'(u', z') = +. P o u r !a mr}me raison T(z, y ) = + (sinon ies triangles contenant u, z ne contienOraient ni x ni yo ators que u', ~ , . forment un triangle). Prenons maintenant ae, 61~.~ment t tel q u e x, z, ~ f o r m e m un triangle. Ce t e s t distinct de x, y, z, ,. Les triangles c o n t e n a n t t', z' (avec t ' = f ( t ) ) ne c o n t i e n n e n t n i x ' r i y ' c e p e n d a n t que x, z, t e n e~t un. Ceci contredit le L e m m e 4, done en d6finitive l'hypothbse de d60art.
Possibb~ ~,~r~Ao~gements Manomorphic. ~i:-;~.~,.~ quXmc ;elation ou q u ' u n e stnmtu~e relationnel~e (suite de piusieurs relations de md,:ne base) est p-monomorphe !orsqtm dev~x restrictions
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M. Poazet
quelconques ~ p 616ments sont tou~ ours isom orphe~, Le r6sukat de ~ L Jean est d o n e qu'un toumoL non ordrc totai strict, n - 2 - m o ~ o m e r p h e ~ :': ~6:nents avec n~>5 donne un. gr,3upe 2-homog~ne non 2-trandtif. Puisqv;un groupe 2homogSne sur at: moins 3 ~l~ments est i-homog~ne, i.e. ~ '~'~ est done ( n - l ) - m o n o m o r p h e ~ Plus g&~dralemem ~oule strucm'e re?ationnetl< form~e de relathms au .plus binair,:s, qui a r~ dl&,lents avec n ~.,'~,; et q~d est ( n - 2 ) - m o n o m o r p h e est (n-1)-mo:,c,n~orFhe [5~. (Rer~arquer q~e use ~etle sLructu;e a horini l c c a s trivial les m~mes automorpMsme~ Iocaux qu'm,~ t ~ moi.) Problbme 1. Soi* R d'arit6 m ay~m.t n ~i~ments avec n ~ . ~ , n + i . Si R e~t ( n - m ) - m o n o m o r p h e est-ce que i;.' est (n -m+~",, . . . , ( n - t)--mm~omorphe? (M. Jean). Plus fortement si u s e telk: R n'est pas m~.q'a.Cnable (ceci sigr ifiant qu'ii n'exis~e pas d'ordre total de re&me base que R dora !~.~ automorphismes locau× sont d:;s automorphismes locaux de R) est-ce qu'alors son groupe d'automorphisme, est m-.homog6ne? Noter que une re!afion m-mo~_~omorphe d'au moins 2~,n--:. ~i~ments est ( m - i ) . . . . . t - m o n o m o r p h e [7] e{ que pour m iX existe un entiev sire) et un emier n tels qu'une relation m-am:: 1 , 2 , . . . , s ( m ) - m o n o m o r p h e d ' a : moins ~, 6Ements est enchalnaNe [4]. Par exempte po~r m =~"2 on a s(2):,: "3 et n = 4. Ieeconsmwfion des toun~ois. E~I ce ~ui concmne les o u m o i s noter q';e comme r4ciproque du r6sultat de Jean to,~t gro0_pe 2-homog6ne non 2.-transitif est sous-groupe du groupe d'automorp:fisme d'~n tou-moi, non ordre total strict, ( , ~ 2)m~om.~morph:x Avec des m6th,:~des de d6nombrement 616mentair-s, Fra]ss6 a mon~r- direetement q,,e sen s o m b r e d'416ments est co~gru ~ 3 rood 4. I~ es~ connu c&x c'est use p::iss~mce d'un s o m b r e pr,~mier congrue 5 3 rood a (voir [~.0. i';cus rden c o a n a i s s o ~ ~as de preuve', directe. F'~'obl~me 2. a Combien y.-a.qA! de tourn0is (non ordre totat stric:'! ( n - 2 ) monomorphes f i n ~'tdments? Est..ce que un ~ei t o u ~ o i T e s t isomor:q~e "a sor~ opgos6 T -~ (obten~ e~ 6~mnaeant + et .-~" Probl~me 3. Soient T e'. T: deux tournois de mi_',m ~ b~., finie E it n 6t4mer~ts avec n ~ 5 ~ si pour chaq;~ie paire x y d'616mcnts disfi.qcts de i!? ~c~ tournois 1" L> {~,y} et T' e-~,~ sonl isomorph<'s est-ce qu'alcrs 7" et T' sor~! {:'.omo.,-phes? Cet~:c conchtsion est fausse si on suppose seutement q m T i~---{.}e~: T' ;:>{.~; sont ismorphes pour tout x, m~me pour a arbRrairement grand [8]. Dans ce dernier cas, a-t.on l'isomorphie en supposant en outre que T, ou T', es/ ( n - t ) monomorpne? (Pour ce qui c0ncerne ies probl~Smes de leconstmet}oc ~<~ir [4] et [11). -*Note added in pro@ \¥. I7~antt~rnous siagMe quql n'y e.n ~ qu~'m et re~roie 2~. ~orl article "Automorphism groups of designs", Math. Z. 109 (1969) 2d6-252, mdiqv.ant ia Propc~;i~ion3.1 c' !e ParagraD.~ 5.
5;¢r cer;'ab,~s loum~is re'co*tsrr14c:ib[es
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Bibliographic
[1] .A. Bondy et i,LL. blemmil~gcr, Graph Reco~.st~<,,ior. A S~irvcv. Universit) of Waterloo, Research Repot. (7ORR 76-49 (7,976~ J. GrapL Theory L ~19T?) '~;7 ~"° "~.,~.~~>~. Dembov, ski, . Finite Geomc:~.:rices, . . E~.gebaisse . tier Math. .uizd Ib.rer Greazg~:bietc V.~ 44 (Springer Verlag. New Yczk, 1968"~. [3] R. Fra[ssd, Com:~ de togi~,,, math4matique. "f.1. Relatien e~ ~ormule ~o¢ique (Gat*ti~ier-\,'illar.% Paris.. ~a', 1) (Tr~d, angLr'se: Reid¢l, Dordrecht, t973) .... (,~] C. Frasaay, Ou::lques p::~bl~mes combir~atoires coneerv.ant les ordr,es :otaux et las reia~ions manomor°,he~ ~r'hb~e Par s Ann. lnst. Fourier t5 (2) (t965) 4i5-59¢ ~5i M Jean, Line.s',mme:ria oumaments, in: Rece:~t Progress in Combi~at)ries (Aca%n:k ;?'ess, New York, (lg6% 265-271, [6] P.J~ Kelly, A co:'tgmence ~heorem for trees, Pacific J. biath. (1957) 96!-968. [7] M, Pouzet, Appiieation d".me propri&~ comginateire des parties d"m ensemble aux groupes et aux ~e~laiions, Math. Z, 150 (t976) 1t7-134. [8] P. Smckmeyer, 'lYe falsity of the recoi~strucfien con ecture ~ar tournamen*.s, J. Graph Thev)ry 1 (19"77} i9~25, [9] S.M. Utam, A ( ?[!ectioa ~-f Matttemaficat Problems tWiley, New York, I960). •
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