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Sur la cohomologie LP des variétés
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Cbomktrie diff&entielle/Differentia/
SCrie
SW la cohomologie
RCsumC.
Dans cette annulation dimension
I, p. 211-213, Geometry
1997
LP des vari&s
Note on se propose de cohomologie L” la moitiC d’un espace
d’indiquer des pour les varittCs symCtrique.
thkorkmes d’annulation et de riemanniennes, en particulier
non en
Abstract.
On
aura
Dkfinitions
besoin
des
dkfinitions
et notations
suivantes
et notations
On note Al une variCtC riemannienne. non compacte, complkte, de dimension 71.: th I’tICment de volume riemannien. Pour tout 0 5 I’ < 11, on note ibex l’espace des formes diffhenticlles C’“. 2 support compact, de degrk I; si LJ est un &hent ghhiyue de AL (AT). on note llwI/,,. la normc usuelle induite par la structure riemannienne et l’on pose (i) si 1 < 1) < CC, L:‘(M) est le cornpEt de Ak, (M) pour la norme
(ii) si p = ocj, LT( hl) es1 I’espace des formes difftkentielles de degrC !, essentiellement bornkes, avec la norme usuelle. Soit d l’opkateur de diffkrentiation exth-ieure sur les sections du fibr6 A(M) des formes differentielles de classe Cl. Note
p&et&e
0764.444?/97/03240211
par
PatIt
M.~LI,IAVIN.
0 AcallCnGe
des Sciences/Elsevier.
Paris
211
M.
Chayet
et N. Lohoue
telles que On note W’,,, ,,(A{). pour 1 5 ~1. (1 2 DC, l’espace des formes diffkrentielles w de Lo dw wit dans L)I+, (Af) pour la norme IJwJJ~~+ 11&~11~,. cy:. q ’ (i) est un complexe de Banach; par la suite on suppose p = (I et l’on note H;(A4) = Kcrtlr/Irr~ c&Ml, B;(M) = Kcrd~/Irn &_I ( voir [5]). Si p = 2 la dkomposition de de Rham simplitie la situation. En gCnkra1. si p # 2, une telle dkomposition n’existe pas nkessairement, comme on s’en convainc sur l’espace hyperbolique Hc4), et si p est asset grand. Dans plusieurs circonstances, on prouve I’annulation de la cohomologie L’ en montrant une inCgalit6 du type : il existe I: >
0 tel que (&w,
w)
2
c[/wllz.
OCI A, est le laplacien sur les formes diff&entielles de de@ B. Nous montrons ici que ce type d’inCgalitC peut etre utilist pour Ctudier la cohomologie ;o proche de 2.
L”, avec
THI?OR&ME I. - Soit M une varie’t& riemannienne compl&e, ci courbure born&e, minsi que ses deux premikres de’riv6e.s covariantes, ic rayon d’injectivite’ minor&. On suppose qu ‘il existe une constante (‘1 > 0 telle que pour toute @rme w E iI&(
Alors, il existe ~(1 > 2 tel que si k + & = 1, pour tout $ < 11 < ~J~),Iu cohomologie et nulle en degr6 Y : elle e,st r6duite en degre’ I’ $ 1. On en dCduit le corollaire suivant.
LJ’ est rt?duite
- On suppose qu ‘OII est dans I’une des situations suivuntes 1. n,l e.st une \suric;tl kiihlerienne tl born&e (.su @me de Kiihler a un potentiel Dot&), de dimension 211, dont le trnseur de wurbure est ho&, ainsi que les deux premiPres dkrivPe.s covuriantes, d rayon d’injectil~itl minor& 2. 011 suppose encore que M rst kcihlerienne cwnme ci-dessus aver une @wtion C?, F : 114 -+ iw telle que tls2 = ,iil?jF aIw lli3F((, < X. 3. M = G/K : est un espace s!xmr’trique de type non compact COROLLAIRE.
Alors, il existe une constante pcj > 2 telle yue, ullec & + $ = 1, pour pb < 11 < p() - la cohomologie Ll’ est rPduite et nulle en degre’ B, et rt!duite en de@ B + 1. Le r&&at
de non annulation
est le suivant.
THEORPME II. - Soit M une rwi6tP riemunnienne, cornpEte, ri courbure borne’e, ci rayon d ‘injectilitc; minor& On suppose qu’il existe une forme harmonique w duns LpO uvec 1 < p. < 2 de degr& !. On pose i f 2 = 1 ; alors la cohomologie LI’ est non nulle en degrP P pour ;oo < p < ;t’l,. - On suppose yue I. M est c’omme en 1 et 2 du corollaire prtct?dent. 2. M est un espace .syme’trique M = G/K, avec RyG = RyK. Dans 1r.s deux cas, on pose I’ = dim M/2. Alors il existe 11~ > 2 tel que pour tout & < p < y. la cohomologie I?’ e,st non nulle (on indiquem une borne pour po). COROLLAIRE.
Remarque. - Le no 2 est dCmontr6 dans 171 pour les espaces hyperboliques
r&els et complexes.
Id&es de la d&nonstration. - L’un des ingrkdients de la dimonstration du thkorkme 1 est l’inigaliti suivante : sous les hypothkses du thkorkme 1. il existe I < ;oo < 2 telle que, pour tout p. < p < I&,
212
Sur la cohomologie
il existe
L” des variktbs
I’) satisfaisant
c(p.
(*I
c(p.
I)-111(At)1’2wllp
5
Ildwllr,
+
llbwllp
I
&J,
~)ll(&)“2~llp
pour toute forme w E IZL(M), oh 0 dksigne l’adjoint de d dans L;(M). La dkmonstration de (*) est longue : on en trouve les tlCments dans [3]. Si wg est une forme fermte dans L:(M), alors en notant (At)-’ = Gt, la forme ~j = SGlwo r&out l’kquation dw = wg. On montre que w = !J(A#/~(A$~/’ wg est dans L:-,(M) car wg = dGGowo+ SdGpwo et dGlw0 = 0 (v&r [3]). Les parties 1 et 2 du premier corollaire ksultent de [2], 143et du thkokme; la partie 3 rksulte de [ 11 et du theorkme. Pour prouver le thiorkme II, on remarque qu’une forme harmonique ~5” est L” pour (I > ~1;de plus elle est fermte et sa classe de cohomologie Lp pour p() < p < p() est non nulle. L’intCr&t du thCori?meII est qu’il s’applique aux espacessymitriques de type non compact quand Rg G = R.~JK avec G/K = M. On peut voir que le thtorkme II s’applique si p est voisin 2. Ce sera la dkmonstration du second corollaire. On pose dim M = 2 et l’on s’inttkesse B Hi(M) pour 1~ proche de 2. On identifie l’espace des formes diffkrentielles de degrk B de puissance @me intkgrable B l’espace des fonctions sur G B k: est celle valeurs dans ,‘!‘pc, Oil 1,;~ = p* @ C, et l’algkbre de Lie de G s’kcrit G = k @p, et OLYI de K, equivariantes sous l’action de K sur h’&. En particulier l’espace 7-1des formes harmoniques de degrCt?sur M de car& intkgrables s’identifie 2 un sous-espacede 1,‘( hF&) sur lequel G agit par translation & gauche. Soit p la demi-somme des racines positives de Gc. Cette action se d&composeen une sommefinie de reprtsentations ikductibles de paramktresd’Harish Chandra w/j, oti ti est dans W~:yl(G~)/Wc;yl(K,.) de la s&e discrete (voir [l]). Soit II, l’une de ces reprksentations et soit 7, son K-type minimal; on note ‘& l’espace des fonctions K finies de II, de type 7, ; pour chaque rl E R,, on considkre la fonction F(g) = P,H,(!/-l),// oh P&,est la projection sur 31,. On peut voir, puisque ?; est de multiplicitk 1, que F(g) s’identifie & une forme harmonique et comme ‘Ft, est de dimension finie que
llJ%~Hl” = 2 l(U.d~~ <,)I’, j=l
& Ctant une base de liU ; d’aprks [4], F(g) X:(tr) = $ Ci,t3 Note remise le
2
((cY. @)I, cp Ctant le systkme juillet
est dans Lp(G) de racines
si I(w: (I()/ > (g - 1)/c(a), OLYI
de G,..
1996, acceptke aprks rCvision le 30 septembre
1996.
RCf&ences bibliographiques [ I ] Bore1 A. et Watlach N. Univ.
Continuous
cohomolog~,
discrrrp
subgroups
und
representations
of reductive
groups,
Princeton
Presk
121 Gromov M., 1991. KBhler hyperbolicity and Lz Hodge theory. J. Differentiul Gram., 33, p. 253.320. [3] Lohoue N., 1984. Estimation des projecteurs de de Rahm Hodge sur certaines vari&&s riemanniennes, Prep&., &say. 141 Milicev, 1997. Asymptotic behaviour of matrix coefficients of the discrete series, Dukr Math. J.. 44, p, 59.88. 151 Osawa T., 1987. Ho&e spectral of sequence on compact Klhler spaces, Puhl. Rex Inst. Murh. Sci., 23, p, 265.274. 161 Pansu P.. 1989. Cohomologie LA’ dea writ%% A courbure nkgative, Ann. Arad. Sci. Fmnicar, 14, p. 177.212. 171 Drago R., 1994. ThPsr. Orsay.
213
SCrie
SW la cohomologie
RCsumC.
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1997
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(ii) si p = ocj, LT( hl) es1 I’espace des formes difftkentielles de degrC !, essentiellement bornkes, avec la norme usuelle. Soit d l’opkateur de diffkrentiation exth-ieure sur les sections du fibr6 A(M) des formes differentielles de classe Cl. Note
p&et&e
0764.444?/97/03240211
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M.~LI,IAVIN.
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des Sciences/Elsevier.
Paris
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telles que On note W’,,, ,,(A{). pour 1 5 ~1. (1 2 DC, l’espace des formes diffkrentielles w de Lo dw wit dans L)I+, (Af) pour la norme IJwJJ~~+ 11&~11~,. cy:. q ’ (i) est un complexe de Banach; par la suite on suppose p = (I et l’on note H;(A4) = Kcrtlr/Irr~ c&Ml, B;(M) = Kcrd~/Irn &_I ( voir [5]). Si p = 2 la dkomposition de de Rham simplitie la situation. En gCnkra1. si p # 2, une telle dkomposition n’existe pas nkessairement, comme on s’en convainc sur l’espace hyperbolique Hc4), et si p est asset grand. Dans plusieurs circonstances, on prouve I’annulation de la cohomologie L’ en montrant une inCgalit6 du type : il existe I: >
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Alors, il existe ~(1 > 2 tel que si k + & = 1, pour tout $ < 11 < ~J~),Iu cohomologie et nulle en degr6 Y : elle e,st r6duite en degre’ I’ $ 1. On en dCduit le corollaire suivant.
LJ’ est rt?duite
- On suppose qu ‘OII est dans I’une des situations suivuntes 1. n,l e.st une \suric;tl kiihlerienne tl born&e (.su @me de Kiihler a un potentiel Dot&), de dimension 211, dont le trnseur de wurbure est ho&, ainsi que les deux premiPres dkrivPe.s covuriantes, d rayon d’injectil~itl minor& 2. 011 suppose encore que M rst kcihlerienne cwnme ci-dessus aver une @wtion C?, F : 114 -+ iw telle que tls2 = ,iil?jF aIw lli3F((, < X. 3. M = G/K : est un espace s!xmr’trique de type non compact COROLLAIRE.
Alors, il existe une constante pcj > 2 telle yue, ullec & + $ = 1, pour pb < 11 < p() - la cohomologie Ll’ est rPduite et nulle en degre’ B, et rt!duite en de@ B + 1. Le r&&at
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est le suivant.
THEORPME II. - Soit M une rwi6tP riemunnienne, cornpEte, ri courbure borne’e, ci rayon d ‘injectilitc; minor& On suppose qu’il existe une forme harmonique w duns LpO uvec 1 < p. < 2 de degr& !. On pose i f 2 = 1 ; alors la cohomologie LI’ est non nulle en degrP P pour ;oo < p < ;t’l,. - On suppose yue I. M est c’omme en 1 et 2 du corollaire prtct?dent. 2. M est un espace .syme’trique M = G/K, avec RyG = RyK. Dans 1r.s deux cas, on pose I’ = dim M/2. Alors il existe 11~ > 2 tel que pour tout & < p < y. la cohomologie I?’ e,st non nulle (on indiquem une borne pour po). COROLLAIRE.
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llJ%~Hl” = 2 l(U.d~~ <,)I’, j=l
& Ctant une base de liU ; d’aprks [4], F(g) X:(tr) = $ Ci,t3 Note remise le
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((cY. @)I, cp Ctant le systkme juillet
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cohomolog~,
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121 Gromov M., 1991. KBhler hyperbolicity and Lz Hodge theory. J. Differentiul Gram., 33, p. 253.320. [3] Lohoue N., 1984. Estimation des projecteurs de de Rahm Hodge sur certaines vari&&s riemanniennes, Prep&., &say. 141 Milicev, 1997. Asymptotic behaviour of matrix coefficients of the discrete series, Dukr Math. J.. 44, p, 59.88. 151 Osawa T., 1987. Ho&e spectral of sequence on compact Klhler spaces, Puhl. Rex Inst. Murh. Sci., 23, p, 265.274. 161 Pansu P.. 1989. Cohomologie LA’ dea writ%% A courbure nkgative, Ann. Arad. Sci. Fmnicar, 14, p. 177.212. 171 Drago R., 1994. ThPsr. Orsay.
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