Sur la proximité des diviseurs des entiers

(2) &r. Cependant, on remarque que par une methode analogue a celle utilisee pour la demonstration du Theoreme 2, on peut montrer que l'on a pour =>0 et tout r-uplet (n 1 , n 2 , ..., n r ), E(n 1 , n 2 , ..., n r ; 0, 0, ..., 0; 0)=, sauf pour un ensemble de densite superieure f (=) avec f (=) Ä = Ä 0 0.

72

RAOUJ ET STEF

2. NOTATIONS ET CONVENTIONS POUR LA DEMONSTRATION DU THEOREME 1 Les lettres n, m, j, k, r, s, u, &, avec ou sans indice, designent des entiers positifs alors que les lettres x, y, z, w, T, #, , ' designent des nombres reels. Les lettres p, q, avec ou sans indice, designent exclusivement des nombres premiers. Les lettres n, u designent des triplets d'entiers et nous noterons (n 1 , n 2 , n 3 ) :=n, (u 1 , u 2 , u 3 ) :=u. La fonction d'Euler est notee .(n), celle de Mobius +(n). Nous designons, pour chaque entier n>1, par P +(n) (resp. P &(n)) le plus grand (resp. le plus petit) facteur premier de n, et nous convenons que P +(1)=1, P &(1)=. La partie entiere d'un nombre reel x est designee par [x]. Nous notons log k la k-ieme iteree de la fonction logarithme. La lettre c, avec ou sans indice, designe une constante strictement positive dependant au plus de *. Les constantes impliquees dans les majorations < < et O dependront au plus de *. Par convention tout produit portant sur l'ensemble vide vaut 1. Soient m, k des nombres entiers superieurs a 1, on pose p.

m k := ` p|m log pek

Pour n=(n 1 , n 2 , n 3 ), on pose n*k =(n 1, k , n 2, k , n 3, k ) ou n j, k :=

`

p

(1 j3).

p | nj , log pek p |% n1 } } } nj&1

Ainsi n* k est un triplet de nombres entiers sans facteur carre, premiers entre eux deux a deux, sans facteur premier superieur a exp e k. Nous definissons, pour k0, y>0, p k(n, y) :=min[ p: p | n, p>exp( y e k )], avec la convention min <=+. Nous pouvons supposer, sans perte de generalite, que *<10 &3 et l'on pose : :=1&*>0,

; :=: log 2.

(2.1)

On remarque que 2;&1>3;&2>1>;. Nous introduisons de plus les nombres entiers

73

PROXIMITE DES DIVISEURS DES ENTIERS

h :=[! 12(log 2 x 1 ) 14 ], } :=[log 2 x 1 &*! - log 2 x 1 ],

l :=

*2 h , 2

_ &

}* :=L+hl,

(2.2)

et l'ensemble K=K(x 1 ) :=[}+ jh : j=1, ..., l].

(2.3)

On verifie immediatement que max[|` 2 |, |` 3 |, log ]e }.

(2.4)

On pose '='(x 1 , !) :=(log x 1 ) 1&(32) log 2 e ! - log2 x1.

3. SCHEMA DE LA DEMONSTRATION DU THEOREME 1 L'argumentation, analogue a celle de [R95a], s'inspire de la technique de Maier et Tenenbaum [MT84], que nous avons cherche a affiner. Le principe de base consiste a mettre en place un procede iteratif pour majorer la probabilite conditionnelle que E(n 1, k+h , n 2, k+h , n 3, k+h ; ` 2 , ` 3 ; )>' sachant que E(n 1, k , n 2, k , n 3, k ; ` 2 , ` 3 ; )>', lorsque, d'une part, l'indice k est astreint a parcourir une suite convenable K*=K*(n)/[ 12 log 2 n 1 , log 2 n 1 ] verifiant min K*>log 2 , contenant autant d'elements que possible, et, d'autre part, le parametre entier h est convenablement choisi tel que k+h # K*(n). Une etape cruciale dans la realisation de ce programme consiste a estimer la mesure de Lebesgue *(u; ') de l'ensemble d'accroissement L(n; ') :=

.

(log(d 1 d 2 )+[&', '])_(log(d 1 d 3 )+[&', ']),

d1 | u1 , d2 | u2 , d3 | u3 +(d1 d2 d3 )2 =1

pour u 1 =n 1, k , u 2 =n 2, k , u 3 =n 3, k . En effet, une minoration adequate, pour presque tous les triplets d'entiers n, de la mesure *(n* k ; ') lorsque k # K*(n), permet d'exhiber, avec une probabilite assez grande, un triplet de nombres premiers (q 1 , q 2 , q 3 ) tel que q 1 | (n 1, k+h n 1, k ), q 2 | (n 2, k+h n 2, k ), q 3 | (n 2, k+h n 3, k ) et (log q 2 &log q 1 &` 2 , log q 3 &log q 1 &` 3 ) # L(n* k , '), ce qui implique E(n 1, k q 1 , n 2, k q 2 , n 3, k q 3 ; ` 2 , ` 3 ; )'.

74

RAOUJ ET STEF

4. LEMMES GENERAUX CONCERNANT LA REPARTITION DES FONCTIONS ARITHMETIQUES, DES FACTEURS PREMIERS ET DES DIVISEURS Nous commencons par enoncer un lemme, version affaiblie d'un resultat de Halberstam et Richert [HRi79], relatif aux moyennes de fonctions multiplicatives. Lemme 4.1 ([T95]) 1 . Soient * 1 >0, * 2 # [0, 2[, et f une fonction multiplicative positive ou nulle telle que, pour tout nombre premier p et tout entier j>0, on ait f ( p j )* 1 * 2j&1 . Alors, pour tout reel x2, on a

\

: f (n)4 1+9*+ nx

*1 *2 1 x ` 1& 2 (2&* 2 ) p px

+

\ +

f ( p j) . pj j0 :

Nous designons par 8(x, z) le nombre des entiers nx verifiant P &(n)>z. Lemme 4.2 ([HT88]) 2 .

On a pour x2z4, 8(x, z)  Ä

Lemme 4.3 ([T95]) 3 .

x . log z

On a pour n3, n.(n)<
Les deux enonces qui suivent concernent la repartition des facteurs premiers et des diviseurs. Nous omettons les demonstrations, que le lecteur pourra trouver dans [R95a]. 4 Lemme 4.4.

Soient k et x tels que 1klog 2 x. On a |(m k )<2k

pour tous les entiers mx sauf au plus O(x e &Q(2) k ). 1

Voir Voir 3 Voir 4 Voir 2

chapitre III.5. p. 4 de ce travail. le Theoreme I.5.4. aussi les Lemmes 51.1 et 51.2 de [HT88].

75

PROXIMITE DES DIVISEURS DES ENTIERS

Lemme 4.5.

Soient 1h: hsk s min

est satisfaite pour tous les entiers mx sauf au plus O(xu k .(u k ) &1 Q(:) &1 e &hQ(:) ). Lemme 4.6. Soit [1, - log 2 x]. On a

x3. Soit u

min

|(m k(u))&k -k

k#K

3ux 2. Soit ! #

un entier,

! & , 3 2

pour tous les entiers mx sauf au plus o(x e &! 33 ). Demonstration. On rappelle que }=min K=[log 2 x 1 &*! - log 2 x 1 ]. On montre d'abord que pour presque tout entier m, on a 1 |(m }(u))}& ! - }. 4

(4.1)

Soit y # ]0, 1]. D'apres le Lemme 4.1, le nombre des entiers inferieurs a x ne satisfaisant pas (4.1) est majore par : y |(m}(u))&}+ (14) ! - } mx

<
pexp(e} ) p |% u

\

<
1& y p

+

y

1

`

\1&p+\1+p&1+

&1

e &} log y+(14) - } log y+( y&1) }.

Pour le choix optimal y } =1&(!4 - }), on a }(u))&}+(14) ! - } < : y |(m
mx

u .(u)

\ +

!- log2 x

e &}Q( y) 2

2

<
76

RAOUJ ET STEF

ou nous avons utilise le Lemme 4.3. Pour tout m verifiant (4.1) et tout k # K, on a alors |(m k(u))&k+ 13 ! - k|(m }(u))&k+ 13 ! - k }&k+( 13 & 14 ) ! - }0, ce qui fournit bien l'estimation annoncee. Le prochain lemme fournit une minoration du nombre de facteurs premiers d'un entier dans un petit intervalle, mais etablit une propriete statistique de cette quantite. Il eut e^tre etabli de la me^me maniere que le Lemme 5.3 de [R95a]. On rappelle que }*=max K. Lemme 4.7.

Il existe une constante c 0 tel que pour Tc 0 , on a

999 999 |[k # K: min |(m k(u)m k&s(u))s>:]|  1000 |K| = 1000 l Tsh

pour tous les entiers mx sauf au plus O(x(log 2 u }* ) e &|K| ). Les deux resultats suivants peuvent e^tre etablis de la me^me maniere que les Lemmes 5.4 et 5.5 de [R95a]. Nous omettons les details. Lemme 4.8.

Il existe une constante c 1 telle qu'on a 999 999 |[k # K: log m k c 1 e k ]|  1000 |K| = 1000 l

pour tous les entiers mx sauf au plus O(x e &|K| ). Lemme 4.9. qu'on a

Soit y un reel positif. Il existe une constante c 2 :=c 2( y) telle

999 999 |K| = 1000 l |[k # K: p k(n, y)exp(c 2 e k )]|  1000

pour tous les entiers nx sauf au plus O y(x e &|K| ).

5. LEMMES CONCERNANT LES TRANSFORMEES DE FOURIER DE FONCTIONS DE REPARTITION LIEES AUX DIVISEURS Posons d'abord {*(n, ) := : +(d) 2 d i,

{~(n, ) :=

d|n

| (n) :=

: p|n pexp(1)

1,

R(n, ) :=

{*(n, ) 1+ p i =` , |(n) 2 2 p|n

\

|{*(n, )| 2 . 2 |(n)+|(n)

+

77

PROXIMITE DES DIVISEURS DES ENTIERS

On remarque immediatement que |{~(n, )| 2 =

R(n, ) . 2 |(n)&|(n)

(5.1)

Les deux lemmes qui suivent sont etablis dans [R95a]. La seconde majoration dans chaque lemme provient de l'application du Lemme 4.3. On rappelle que m(u) :=> p | m, p |% u p. Soit x3. On a pour u1, k0 et  # R +,

Lemme 5.1.

: R(m k(u), )<
uk [log(2+)] 2 <
Lemme 5.2. Il existe c 4 >0 tel que, pour x3, u1, s1, 0=k 0 si=1 ]e &ki, e &ki&1 ], on a u ks

s

:

` R(m ki (u),  i )<
mx i=1

.(u ks )

c s4 <
6. LEMMES SUR LES MESURES D'ENSEMBLES D'ACCROISSEMENT Nous utilisons une technique d'analyse de Fourier pour minorer dans un premier temps la mesure de Lebesgue *(u; ') de L(u; ') par des quantites faisant intervenir des fonctions multiplicatives. A cet effet, nous introduisons I(u; ') := Lemme 6.1.

||

[&2', 2']2

|{~(u 1 ,  1 ) {~(u 2 ,  2 ) {~(u 3 ,  1 + 2 )| 2 d 2 d 1 .

Soit u=(u 1 , u 2 , u 3 ) # N 3 verifiant +(u 1 u 2 u 3 ) 2 =1. On a *(u; ') 14 I(u; ') &1.

Demonstration. Pour y # R, posons W( y) :=(sin( y2)( y2)) 2 =

|

+1

(1& |#| ) e i# y d#

&1

et introduisons pour z, w reels, la fonction V(u; z, w; ') :=

: d1 | u1 , d2 | u2 , d3 | u3 |z&log(d1 d2 )| ' |w&log(d1 d3 )| '

+(d 1 d 2 d 3 ) 2.

78

RAOUJ ET STEF

On a V(u; z, w; ')

10 2 92

W

: dr | ur 1r3

_W

\

\

z+log(d 2 d 1 ) '

+

w+log(d 3 d 1 ) +(d 1 ) 2 +(d 2 ) 2 +(d 3 ) 2 '

+

2



10 2 ' 92

\

||

[&1', 1']2

3

(1& |# 2 | ')(1& |# 3 | ')

+

_ ` {*(u r , # r ) e i(#2 z+#3 w) d# 3 d# 2 , r=1

ou l'on a pose # 1 =&(# 2 +# 3 ). En utilisant la formule de Parseval, il suit

||

R2

V(u; z, w, ') 2 dz dw 3 4 2 4? 2( 10 9) '

||

` |{*(u r , # r )| 2 d# 3 d# 2 .

[&1', 1'] 2 r=1

Il en resulte alors, gra^ce a l'inegalite de CauchySchwarz, la majoration ' 44 2+|(u1 )+|(u2 )+|(u3 ) =

\||

V(u; z, w; ') dz dw

R2

4 4 4? 2 ( 10 9 ) ' *(u; ')

||

+

2

[&1', 1']2

}

3

}

2

` {*(u r , # r ) d# 3 d# 2 . r=1

Le changement de variable  1 =&# 2 &# 3 ,  2 =# 2 , fournit l'inegalite requise, gra^ce a la parite de |{*| 2 en la deuxieme variable. On rappelle la notation '=(log x 1 ) 1&(32) log 2 exp(! - log 2 x 1 ). Lemme 6.2. Soit x 1 x 2 x 3 . Soit n=(n 1 , n 2 , n 3 ) # N 3. Il existe c 1 , c 2 , c 3 tel que, pour Tc 3 et notant K*(n)/K l 'ensemble des k de K verifiant (i) (ii)

2k&3T *(n* , k ; ')e

min s &1|(n r, k n r, k&s )>:

(r=1, 2, 3),

Tsk

(iii)

k& 13 ! - k|(n r, k )2k

(r=1, 2, 3),

79

PROXIMITE DES DIVISEURS DES ENTIERS

(iv)

log n r, k c 1 e k

(v)

p k(n 1 , c 1 +1)exp(c 2 e k ),

(r=1, 2, 3),

on a alors |K*(n)| (34) l pour tous les triplets d'entiers (n 1 , n 2 , n 3 ), 2 n r x r , 1r3 sauf au plus O(x 1 x 2 x 3[(log 2 x 1 ) e &l +e &! 33 ]). Demonstration. Soient c 0 , c 1 , c 2 les constantes definies aux Lemmes 4.7, 4.8, et 4.9. Soit Tc 0 . On note K1(n), l'ensemble des entiers k # K verifiant min s &1|(n r, k n r, k&s )>:

r # [1, 2, 3],

(6.1)

k& 13 ! - k|(n r, k )2k

r # [1, 2, 3],

(6.2)

log n r, k c 1 e k

r # [1, 2, 3],

(6.3)

Tsk

p k(n 1 , c 1 +1)exp(c 2 e k ).

(6.4)

Par les Lemmes 4.4, 4.5, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, et la remarque n 1 n 2 x 23 , on a 99 l |K1(n)|  100

(6.5)

pour tous les triplets d'entiers (n 1 , n 2 , n 3 ), n r x r , 1r3 sauf au plus 2 O(x 1 x 2 x 3[(log 2 x 1 ) e &l +e &! 33 ]). D'apres le Lemme 6.1, montrer (i) revient a montrer que 1 3T&2k , I(n* k ; ') 4 e

(6.6)

avec un nombre acceptable d'exceptions. On pose I*(u; ') :=

||

|{~(u 1 ,  1 ) {~(u 2 ,  2 ) {~(u 3 ,  1 + 2 )| 2 d 2 d 1 .

01 2 4'

Soit S 3 , l'ensemble des permutations de [1, 2, 3]. On note pour la suite de la demonstration  3 = 1 + 2 . On definit pour _ # S 3 , 0 _ :=[( 1 ,  2 ): 0< | _(1) |  | _(2) |  | _(3) | 4']. On remarque que [&2', 2'] 2 / _ # S3 0 _ . Pour _ # S 3 , par le changement de variables $1 = | _(1) |, $2 = | _(2) | et la parite de |{~ | 2 en la deuxieme variable, on obtient, en integrant sur chaque composante connexe de 0 _ ,

80

RAOUJ ET STEF 3

I(u; ') : _ # S3

||

` |{~(u r ,  r )| 2 d 2 d 1

0_ r=1

4 : I*(u _(1) , u _(2) , u _(3) ; ').

(6.7)

_ # S3

Soit k # K. On definit D1 =D1(k) :=[( 1 ,  2 ): 0 1  2
||

`

|{~(n _(r), k ,  r )| 2 d 2 d 1 .

Dj 1r3

On a alors, d'apres (6.7), I(n* k ; ')4 :

:

I j, k, _(n).

(6.8)

_ # S3 1 j5

v j=1. On majore trivialement > 1r3 |{~(n _(r), k ,  r )| 2 par 1. On obtient I 1, k, _(n)e 2T&2k. On remarquera, d'apres (6.1) et (6.2), que pour k # K1(n), on a |(n r, k )&| (n r, k ):(k&Wlog(1)X) : k &1+: log ,

(e T&k <2)

|(n r, k )&| (n r, k )=|(n r, k )K& 13 ! - k, (>2).

(6.9) (6.10)

On definit alors une fonction g k , minorant  [ 2 |(nr, k )&|(nr, k ), par g k() :=

{

2 :k&1+: log  2 k&(13) ! - k

si e T&k <2, si >2.

(6.11)

PROXIMITE DES DIVISEURS DES ENTIERS

81

v j=2. Toutes les sommes suivantes  n porteront sur les triplets d'entiers n=(n 1 , n 2 , n 3 ) verifiant n r x r , 1r3. On a, d'apres (5.1) et (6.11) : n k # K1(n)

I 2, k, _(n) e &2k 3

< <

: n k # K1(n)

||

R(n _(r), k ,  r ) d 2 d 1 g k( r ) r=1

e 2k `

D2(k)

<
4'

| | eT&k

3

[log(2+ r )] 2 d 2 d 1 , g k( r ) max[1, eh&k ] r=1 4'

`

d'apres le Lemme 5.1, sommant sur n 3 , n 2 puis n 1 , et (6.3). On majore l'integrale double, utilisant (6.11), et l'on obtient que le terme de gauche de l'inegalite precedente est <
+(log 2 x 1 ) 6 e (3 log 2&2)[(log2 x1 )&k]+(log 2) ! - k&2! - log2 x1 ) <
pour tous les triplets d'entiers (n 1 , n 2 , n 3 ), n r x r , 1r3, sauf au plus O(x 1 x 2 x 3 e &l ). v j=3. On majore trivialement |{~(n _(1), k ,  1 )| par 1. La methode est alors analogue a celle employee pour traiter le cas j=2. On a, d'apres (5.1) et (6.11), : n k # K1(n)

I 3, k, _(n) e T&2k 3

< <

: n k # K1(n)

||

D3(k)

R(n _(r), k ,  r ) d 2 d 1 g k( r ) r=2

e 2k&T `

<
|

eT&k 0

|

[log(2+ 2 )] 4 d 2 d 1 , g k( 2 ) 2 eh&k 4'

82

RAOUJ ET STEF

d'apres le Lemme 5.1, sommant sur n 3 , n 2 puis n 1 , et (6.3). On majore l'integrale en  2 , utilisant (6.11), et l'on obtient que le terme de gauche de l'inegalite precedente est <
+(log 2 x 1 ) 4 e (1&2 log 2) k+((2 log 2)3) !- k+((32) log 2&1) log2 x1 &! - log2 x1 ) <
pour tous les triplets d'entiers (n 1 , n 2 , n 3 ), n r x r , 1r3, sauf au plus O(x 1 x 2 x 3 e &l ). v j=4. Soit E4, _ =E4, _(n) :=[k # K1(n): I 4, k, _(n)>e &2k ]. On pose l 1 =[(1100) l]. On note, pour tout entier k,  3, k = 1, k + 2, k . Nous convenons qu'une sommation indexee par n et accentuee par une asterisque porte sur tous les entiers n 1 , n 2 , n 3 verifiant n r x r , 1r3, |K1(n)| (99100) l. On a, d'apres (5.1) et (6.9), :* n E/K |E| =2l1

I 4, k, _(n) e &2k k # E & K1 `

3

< < :*

`

n k # E & K1 E/K |E| =2l1

||

R(n _(r), k ,  r ) d 2 d 1 2 &1 e ;k ;r r=1

e 2k `

D4(k)

3

:*

< <

n E/K l1  |E| 2l1

|

R(n _(r), k ,  r, k ) d 2, k d 1, k 2 &1 e ;k ;r, k r=1

` e 2k `

>k # E D4(k) k # E

<
:

` e (2&3;) k

E/K k#E l1  |E| 2l1

|

eh&k

_

eT&k

|

eh&k 1

d 2 d 1 ,  ;1  2; 2

PROXIMITE DES DIVISEURS DES ENTIERS

83

d'apres le Lemme 5.2 et (6.3) et ou l'on a pose c 5 =(2c 4 ) 6. Integrant, on a alors I 4, k, _(n) e &2k k#E

:* ` n E/K |E| =2l1

<
` e (2&3;) k e (T&k)(2&3;)

:

E/K k#E l1  |E| 2l1

< e T&2k ]. On majore trivialement |{~(n 1, k ,  1 )| par 1. La methode est alors analogue a celle employee pour traiter le cas j=4. On pose l 1 = [(1100) l]. On a, d'apres (5.1) et (6.9), :*

`

n k # E & K1 E/K |E| =2l1

I 5, k, _(n) e T&2k

3

< < :*

`

n k # E & K1 E/K |E| =2l1

:*

< <

n E/K l1  |E| 2l1

||

R(n _(r), k ,  r ) d 2 d 1 2 &1 e ;k ;r r=2

e 2k&T `

D5(k)

R(n _(2), k ,  2, k ) R(n _(3), k ,  3, k ) d 2, k d 1, k 2 &2 e (2;&2) k+T 2; >k # E D5(k) k # E 2, k

|

`

<
:

` e (2&2;) k&T

E/K k#E l1  |E| 2l1

_

|

eT&k

0

|

eh&k eT&k

d 2 d 1 ,  2; 2

d'apres le Lemme 5.2 et (6.3) et ou l'on a pose c 6 =(2c 4 ) 4. Integrant, on a alors

84

RAOUJ ET STEF

I 5, k, _(n) e T&2k k#E

* `

: n E/K |E| =2l1

<
:

` e (2&2;) k&T e (T&k)(2&2;)

E/K k#E l1  |E| 2l1

<
7. DEMONSTRATION DU THEOREME 1 La demonstration du Theoreme 1 s'obtient en affinant la technique de Maier et Tenenbaum [MT84]. 5 Dans ce but, nous pouvons suivre indifferemment la demonstration de la Proposition 1 de [R95a] ou bien celle du Theoreme 1 de [St92]. On pose L=[l2]. Soit x 1 x 2 x 3 . Soit c 3 Th. Soit S=S(n 1 ; x 2 , x 3 ) :=[(n 2 , n 3 ): n 2x 2 , n 3x 3 , |K*(n 1 , n 2 , n 3 )| L]. 2 Soit A=A(x 1 ) :=[n 1 x 1 : |S(n 1 )| x 2 x 3(1&e &L &e &! 66 ]. D'apres le Lemme 6.2, on a 2

|A(x 1 )| =x 1 +O(x 1[(log 2 x 1 ) e &L +e &! 66 ]). On rappelle que pour tout n 1 # A(x 1 ), (n 2 , n 3 ) # S(n 1 , x 2 , x 3 ), k # K*(n 1 , n 2 , n 3 ), on a 2k&3T *(n* , k , ')e

(7.1)

|(n r, k )2k

(r=1, 2, 3),

(7.2)

log n r, k c 1 e k

(r=1, 2, 3),

(7.3)

p k(n 1 , c 1 +1)exp(c 2 e k ). 5

Voir aussi la demonstration du Theorem 51 de [HT88].

(7.4)

PROXIMITE DES DIVISEURS DES ENTIERS

85

Nous fixons jusqu'a la fin de ce paragraphe, l'entier n 1 dans l'ensemble A(x 1 ). On pose B =B(n 1 ; x 2 , x 3 ) := |[(n 2 , n 3 ) # [1, x 2 ]_[1, x 3 ]: E(n 1 , n 2 , n 3 ; ` 2 , ` 3 ; )>']|. Notons par ailleurs pour chaque (n 2 , n 3 ) # S, k 1(n 2 , n 3 )']. On a alors 2

B |ML | + |S |  |ML | +x 2 x 3[e &L +e &! 66 ].

(7.5)

Le principe de base de la demonstration du Theoreme 1 consiste a etablir une relation de recurrence pour |Ms |, 1sL, dont on tire une majoration de |ML |. Dans cette perspective, nous introduisons, pour chaque couple (s, k) # [1, ..., L]_K, l'ensemble Ms, k :=[(n 2 , n 3 ) # Ms : k s(n 2 , n 3 )=k]. On a alors, puisque Ms, k & Ms, k$ =< pour k{k$, Ms = . Ms, k ,

|Ms | = : |Ms, k |.

k#K

k#K

(7.6)

Soit (n 2 , n 3 ) # S, k # K*(n 1 , n 2 , n 3 ). On pose p k :=p k(n, c 1 +1). On rappelle que p k | n 1 et, d'apres (7.4), (c 1 +1) e k
(7.7)

On introduit l'ensemble Ds, k des couples (n 2 , n 3 ) # Ms, k tels qu'il existe un couple (q 2 , q 3 ) de nombres premiers verifiant +( p k q 2 q 3 ) 2 =1 et q r | n r , e k
r # [2, 3],

(log q 2 &log p k &` 2 , log q 3 &log p k &` 3 ) # L(n* k ; ').

(7.8)

86

RAOUJ ET STEF

On a, d'apres (2.4), . Ds, k /(Ms "Ms+1 ) _ S .

(7.9)

k#K

Comme Ds, k & Ds, k$ =< pour k{k$ et Ms+1 /Ms alors l'inclusion precedente entra@^ ne |Ms+1 |  |Ms | + |S | & : |Ds, k |.

(7.10)

k#K

On remarque que Ds, k contient tous les couples d'entiers (n 2 , n 3 ) s'ecrivant sous la forme (n~ 2 t 2 q 2 b 2 , n~ 3 t 3 q 3 b 3 ) avec (n~ 2 , n~ 3 ) # M s, k :=[(n 2, k , n 3, k ): (n 2 , n 3 ) # Ms, k ], t 2 |n~ 2 , t 3 | n~ 3 ,

b 2 x 2 (n~ 2 t 2 q 2 ),

b 3 x 3 (n~ 3 t 3 q 3 ),

P (b 2 b 3 )>exp([c 1 +c 2 +1] e k ), &

et ou le couple (q 2 , q 3 ) decrit l'ensemble des valeurs verifiant (7.8). Par definition de K(x 1 ), et d'apres (7.3), on a exp([c 1 +c 2 +1] e k )n~ 2 n~ 3 t 2 t 3 q 2 q 3 =o(x 1 ). Par le Lemme 4.2 on obtient 1 1 : . .(n~ 2 ) .(n~ 3 ) (q2 , q3 ) q 2 q 3 (n~2 , n~3 )

|Ds, k | > >x 2 x 3 e &2k :

(7.11)

|(n1 , k )+|(n~2 )+|(n~3 ) D'apres (7.2), l'ensemble L(n* 2 6k k ; ') contient au plus 2 paves disjoints. Gra^ce a (7.1) et (7.7), le theoreme des nombres premiers permet de donner une minoration de la derniere somme en (q 2 , q 3 ). On obtient alors

1 log q 2 log q 3 > >e &2k : q q q2 q3 ,q ) 2 3 (q , q )

: (q2

3

2

3

6k > >e &2k[*(n* exp( &c 7 e k2 )+e k )]> >e &3T. (7.12) k ; ')+O(2

Ainsi 1 . .(n ~ ) 2 .(n~ 3 ) , n~ )

|Ds, k | > >x 2 x 3 e &2k&3T : (n~2

(7.13)

3

Afin de minorer la somme precedente, on decompose les elements (n 2 , n 3 ) de Ms, k sous la forme (n 2 , n 3 )=(n~ 2 d 2 b 2 , n~ 3 d 3 b 3 ) avec (n~ 2 , n~ 3 ) # M s, k ,

p | d 2 O p | n~ 2 ,

b 2 x 2 (n~ 2 d 2 ),

b 3 x 3 (n~ 3 d 3 ),

p | d 3 O p | n~ 3 , P &(b 2 b 3 )>exp([c 1 +c 2 +1] e k ).

87

PROXIMITE DES DIVISEURS DES ENTIERS

Par le Lemme 4.2, la somme en (n~ 2 , n~ 3 ) de (7.13) est donc > >e 2k |Ms, k | (x 2 x 3 ). Il suit |Ds, k | > >e &3T |Ms, k |.

(7.14)

En reportant cette derniere minoration de |Ds, k | dans (7.10), on a donc, supposant T fixe suffisamment grand, pour 1s
|Ms+1 | (1&e &4T ) |Ms | +x 2 x 3(e &L +e &! 66 ).

(7.15)

On suppose maintenant que pour un certain couple (x 2 , x 3 ), on a 2

B(n 1 ; x 2 , x 3 )x 2 x 3(1+2e 4T )[e &L +e &! 66 ].

(7.16)

Alors, pour tout s, 1sL, on a d'apres (7.5) et la decroissance de la suite (|Ms | ), 2

2

|Ms | B&x 2 x 3[e &L +e &! 66 ]2e 4Tx 2 x 3[e &L +e &! 66 ]. En reportant cette inegalite dans (7.15), on obtient card |Ms+1 | (1& 12 e &4T ) card |Ms |

(1sL).

Iterant cette derniere majoration, on obtient donc, sous l'hypothese (7.16), que card |ML | x 2 x 3(1& 12 e &4T ) L&1 <
B(n 1 ; x 2 , x 3 )<
1<
B(n 1 ; x 2 , x 3 )

: n1 # A(x1 )

nr xr , 1r3 E(n1 , n2 , n3 ; `2 , `3 ; )>' 12(log x )12 2 1

<
2

+e &! 66 ].

8. DEMONSTRATION DU THEOREME 2 Lemme 8.1 (Shiu [Sh80]). Soit f une fonction multiplicative, positive telle qu'il existe deux reels strictement positifs A 1 et A 2 tels que pour tout =>0, on a f ( p & )A &1 A 2

( p premier, &1),

f (n)< < = n =.

88

RAOUJ ET STEF

On a alors pour tout : # ]0, 12 ], x :  yx, y exp log x

f (n)< < f, :

: x& y
\:

+

f ( p)p .

px

Demonstration du Theoreme 2. Notons ' 1 :=(log x1 ) 1&(32) log 2 e &! - log2 x1. On pose F(x 1 , x 2 , x 3 ) := |[(n 1 , n 2 , n 3 ): n j x j , 1 j3, E(n 1 , n 2 , n 3 ; 0, 0; 0)' 1 ]|. Soit y # ] 12 , 1[. On definit / y(n; z) :=

1

{0

si max ztn 0(n, t)log 2 t>2 y, . sinon,

(8.1)

ou 0(n, t) est le nombre de facteurs premiers de n aux plus egaux a t, comptes avec leur ordre de multiplicite. On pose 0(n) :=0(n, n)= p& & n &. On definit alors F 1(x 1 , x 2 , x 3 ) :=

max [/ y(n i ; e 1'1 )],

: ni xi , 1i3

F 2(x 1 , x 2 , x 3 ) := : n1 x1

1i3

:

:

d 1 | n1 ni xi , i=2, 3 e1'1
y 0(ni , 2d1 )&2 y log2(2d1 ),

_ ` 1i3

F 3(x 1 , x 2 , x 3 ) := : n1 x1

:

:

m1d1 =n1

ni xi , i=2, 3 e1'1
y 0(ni , m1 )&2 y log2(m1 ),

_ ` 1i3

F 4(x 1 , x 2 , x 3 ) := : n1 x1

F 5(x 1 , x 2 , x 3 ) := : nx1

:

:

1,

d1 | n1 ni xi , i=2, 3 d1
:

:

d1 | n 1 ni xi , i=2, 3 xe &1'1
1.

PROXIMITE DES DIVISEURS DES ENTIERS

89

On a d'abord 5

F(x 1 , x 2 , x 3 ) : F j (x 1 , x 2 , x 3 ).

(8.2)

j=1

v j=1. En suivant la me^me technique que celle employee dans le Lemma 50.1 de [HT88] on peut montrer que y)
(8.3)

v j=2. On remarque que pour d 1 >e 1'1, on a ' 1 d 1 >d 12 1 . En appliquant le Lemme 4.1 puis le Lemme 8.1 pour majorer la somme en n i , i2, dans F 2 , on a y 0(ni , 2d1 )

: ni xi _di | ni , |log(di d1 )| '1



y 0(di )

: di |log(di d1 )| '1

< <

:

y 0(mi , 2d1 )

mi xdi

xi (log d 1 ) y&1 d1

y 0(di )

: di |log(di d1 )| '1

<
(8.4)

Ainsi
:

:

y 0(d1m1 , 2d1 )

d1 m1 x1d1 e1'1
_(log d 1 ) &4Q( y)&2 y log y <
: 1
y 0(d1 ) (log d 1 ) &5Q( y)& y log y d1

<
(8.5)

par sommation par parties, en remarquant que 6Q( y)<6Q(12)<1 pour tout y # ] 12 , 1[. v j=3. Par la me^me methode que celle employee pour (8.4), on obtient que, pour n 1 =d 1 m 1 , e 1'
90

RAOUJ ET STEF

y 0(ni , m1 )

: ni xi _di | ni , |log(di d1 )| '1



y 0(di , m1 )

: di |log(di d1 )| '1

< <

:

y 0(mi , m1 )

mi xi di

xi (log m 1 ) y&1 d1

y 0(di , m1 )

: di |log(di d1 )| '1

<
:

:

y 0(d1m1, m1 )

m1 d1 x1 m1 e1'1
_(log m 1 ) &4Q( y)&2 y log y <
y 0(m1 ) (log m 1 ) &5Q( y)& y log y 1
<
(8.6)

par sommation par parties, en remarquant que 6Q( y)<6Q(12)<1 pour tout y # ] 12 , 1[. v j=4. On a, par des majorations elementaires, F 4(x 1 , x 2 , x 3 )  x 1 x 2 x 3

1 3 d e1'1 1 :

d1

<
: d1 e1'1

:

1

di xi , i=2, 3 |log(di d1 )| '1

1 <
(8.7)

v j=5. On obtient, de la me^me maniere que pour j=4, que F 5(x 1 , x 2 , x 3 )<
Pour le choix 1 ! 1 , y= + 2 3 log 2 - log 2 x 1

(8.8)

PROXIMITE DES DIVISEURS DES ENTIERS

91

on obtient que 2


9. DEMONSTRATION DU THEOREME 3 Notons, pour x 1 x 2 x 3  } } } x r , G r(x 1 , ..., x r ) := |[(n 1 , ..., n r ): n j x j , 1 jr, E(n 1 , ..., n r ; 0, 0, ..., 0; )1]|. Soit y # ] 12 , 1[. On pose /* y (n; z) :=

1

{0

si 0(n, z)>2 y log 2 z, sinon,

ou 0(n, z) est le nombre de facteurs premiers de n aux plus egaux a z, comptes avec leur ordre de multiplicite. On definit G 1, r(x 1 , x 2 , ..., x r ) :=

max [/*y (n i ; )],

: ni xi , 1ir

G 2, r(x 1 , x 2 , ..., x r ) := :

:

1ir

:

n1 x1 d1 | n1 ni xi , 2ir 
_ `

y 0(ni , )&2 y log2().

1ir

On a d'abord G r(x 1 , x 2 , ..., x r )G 1, r(x 1 , x 2 , ..., x r )+G 2, r(x 1 , x 2 , ..., x r ).

(9.1)

Soit 1ir. Par le Lemme 4.1, on a : / y*(n i , ) : (2 y) 0(ni , )&2 y log2  <
ni xi

On en deduit que G 1, r(x 1 , x 2 , ..., x r )<
(9.2)

En appliquant le Lemme 4.1, pour majorer la somme en n i , i2, dans G 2, r , on a

92

RAOUJ ET STEF

y 0(ni , ) 

: ni xi _di | ni , |log(di d1 )| 1

y 0(di , )

:

< <

y 0(mi , )

: mi xi di

di |log(di d1 )| 1

xi (log ) y&1 d1

y 0(di , )

: di |log(di d1 )| 1

<
:

:

y 0(d1m1, )

d1 m1 x1 d1 
_(log ) &2(r&1) Q( y)&2 y log y <
x1 x2 } } } xr y 0(d1, ) : (log ) 2(r&1) Q( y)+2 y log y 
2x 1 _ log min , d1

\

<
{

r&1 10

=+

1

y&1

x 1 x 2 } } } x r(log ) 1&2rQ( y),

(9.3)

par sommation par parties. Pour chaque entier r4, nous designons maintenant par h r la fonction definie sur [ 12 , 1] par h r( y) :=2rQ( y)&1&Q(2y)=2(r&1) Q( y)&2 y log 2. Il est facile de verifier que h r est continue, strictement decroissante sur [ 12 , 1] et verifie h r( 12 )=r(1&log 2)&1>0 et h r(1)<0. L'equation h r( y)=0 admet donc une seule racine y r , dans ] 12 , 1[. On remarque que y r Ä r Ä + 1. Les relations (9.1), (9.2), et (9.3) impliquent alors la validite de la majoration
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PROXIMITE DES DIVISEURS DES ENTIERS

93

[HT88] R. R. Hall et G. Tenenbaum, ``Divisors,'' Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 1988. [MT84] H. Maier et G. Tenenbaum, On the set of divisors of an integer, Invent. Math. 76 (1984), 121128. [R95a] A. Raouj, Sur la densite de certains ensembles de multiples, 1, Acta Arith. 69 (1995), 121152. [R95a] A. Raouj, Sur la densite de certains ensembles de multiples, 2, Acta Arith. 69 (1995), 171188. [Sh80] P. Shiu, A BrunTitchmarsch theorem for multiplicative functions, J. Reine Angew. Math. 313 (1980), 161170. [St92] A. Stef, ``L'ensemble exceptionnel dans la conjecture d'Erdo s concernant la proximite des diviseurs,'' These de l'Universite de Nancy I, Vandoeuvre, France, 1992. [T95] G. Tenenbaum, ``Introduction a la theorie analytique et probabiliste des nombres,'' Cours specialises, No. 1, Societe Mathematique de France, Paris, 1995. [TW96] G. Tenenbaum, en collaboration de J. Wu ``Exercises corriges de theorie analytique et probabiliste des nombres,'' Cours specialises, No. 2, Societe Mathematique de France, Paris, 1996.