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Sur la décroissance non uniforme de l'énergie dans le système de la thermoélasticité linéaire
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, S6rie I, p. 409-415, 1997 [quations aux d6riv6es partielles/Partial Differential Equations (Probl~mes math6matiques de la m6canique/Mathematical Problems in Mechanics)
Sur la d6croissance non uniforme de l'6nergie dans le syst me de la thermo$lasticit6 linfiaire Gilles L E B E A U et Enrique ZUAZUA G. L. : D6partement de Math6matiques, Universit6 de Paris-Sud, 91405 Orsay CEDEX, France; E. Z. : Departamento de Matemfitica Aplicada, Universidad Complutense, 28040 Madrid, Espagne, E-maih [email protected]
R6sum6.
On 6tudie le taux de d6croissance de l'6nergie des solutions du syst~me lin6aire de la thermo61asticit6 dans un ouvert born6 avec des conditions aux limites de Dirichlet. I1 est bien connu que l'6nergie de toute solution tend vers z6ro lorsque t --+ ~ si et seulement si le syst~me de l'61asticit6 n'admet aucune fonction propre h divergence nuUe. On d6montre, en particulier, dans la classe de domaines v6rifiant cette propri6t6, que lorsque le domaine est convexe, le taux de d6croissance n'est pas uniforme.
On the non uniform decay of the energy of solutions of the linear 3-d system of thermoelasticity Abstract.
We consider the 3-d system of linear thermoelasticity in a bounded, smooth domain with homogeneous Dirichlet boundary conditions. It is well known that the energy of every solution tends" to zero if and only if the linear system of elasticity does not admit any divergence-free eigenfunction. In the class of domains satisfying this property we prove, in particular, that when the domain is convex, the rate of decay is not uniform.
Abridged English Version Let ~2 be a bounded smooth domain of R 3 such that Of~ has no contact of infinite order with its tangents. Let us consider the linear system of thermoelasticity utt - #Au
(1)
Ot -
-
(A + / z ) V d i v u + ctVO = 0
AO + fldivut
= 0
u=O,O=O
~(x, O) = ~o(z), ut(z, O) = u~(~), O(x, O) = O°(x)
in in on in
~2 x (0, e~), ~2 x (0, e~), Of~ × (0, c~), ~2.
Note pr~sent~e par Jacques-Louis LioNs. 0764-4442/97/03240409 © Acad~mie des Sciences/Elsevier,Paris
409
G. Lebeau et E. Zuazua
System (1) is well-posed in H = (H~(f~)) 3 E(t)=~
l ut(x,t)
x
(L2(~)) 3 × L2(ft) and the energy
+# l V u ( x , t )
+(A + #) l d i v u ( x , t )
+-~0 (x,t) dx
decreases along trajectories. On the other hand, from [2], it is well known that the energy of every solution converges to zero as t ~ oc if and only f~ satisfies the following condition :
There is no non-trivial eigenfunction ~v = ~(x) of the Lamd system (Ha)
- #A~p - (A + #)Vdivcp = 72~ in f~;
~o = 0 on Of~
such that div~ = 0 in f~. Condition (Hn) is known to be generically (with respect to f~) true but it does not hold when f~ is a ball. Let us consider the Lain6 system
(2)
{
~tt - # A ~ - (A + # ) V d i v ~ = 0 ~=0 ~(x, 0) = ~°(x), ~t(x, 0) = ~1(x)
in ~2 x (0, 0¢), on 0f~ x (0, co), in fL
Our first result can be stated as follows : THEOREM 1. -- In the class of domains f~ satisfying (H~), the energy of each solution o f ( l ) decays uniformly to zero if and only if there exists T > 0 and C > 0 such that (3)
2 II(~0,~I)I}(L~(~))~×(H_~(O))~ < C
jo t
Ildiv~(t)}}~_~(a)dt
holds for every solution of (2). The proof of this result is based on a decoupling technique introduced in [3]. To analyze (3), we introduce the longitudinal and transversal velocities of propagation : CL = V~ + 2# and CT = V/ft• We also set UL = 1/CL and UT = 1/CT. We introduce the transversal characteristic set C a r t = (CarT)~ U (CarT)of~, where (CarT)a = { ( x , t , { , r ) : x • £t, ~2 = T2@, T ¢ 0}; (CarT)o~ : { ( y , t , ~ , 7 ) : y • 0£t,~ 2 _< T2@,T # 0}. There is an unique transversal bicharacteristic ray s • R ~ p(s) passing through each point po • CarT. We introduce the set £ = {(y,t,~?,7): y • 0~, 0
T h e r e exists a ray s E [a, b] --~ p(s) E Car (T) such that t(p(a)) - t(p(b)) > T and p(s) ~ £. f o r all s C [a, b].
410
Sur la dficroissance non uniforme de I'~nergie dans le syst~me de la thermo~lasticit~ linfiaire
Then there exists a sequence of solutions {~Pk} of (2) such that 1
(4)
= 1;
//
I[div~(t)l[2_,(a)dt ~ O.
When ft is convex, condition (HT) holds for any T. Therefore (3), or equivalently, the uniform decay of the energy of solutions of (1), never holds.
1. Introduction et formulation du probl~me Soit [2 un ouvert born6 de R 3 (de classe C ~ et tel que 0[2 n'a pas de contact d'ordre infini avec ses tangentes) et consid~rons le syst~me lin6aire de la thermo61asticit~ :
(1)
Utt - - ~ A U - - ( A -Jr- # ) V d i v u + a V 0 = 0 0t - A0 +/3divut = 0 u=0,0=0 u(x,O) = u°(x),ut(x,O) = ul(x),O(x,O) = 0°(x)
dans dans sur dans
[2 x (0, cxD), f~ x (0, oo), 0 f ~ x ( 0 , oo), ~.
Dans (1), u = (ul, u2,u3) d6signe le champ de d6formation et 0 la temp6rature. D'autre part, A, # > 0 sont les constantes de Lam6 et ~,/3 > 0 les param~tres de couplage. Le syst~me (1) est bien pos6 dans H = (Hi([2)) a x (L2([2)) 3 x L2(f~) et l'6nergie (2)
E(t) = ~
[ ut(x, t)
+# I Vu(x,t)
+(A + #) [ divu(x, t) 12
c~
2
(x,t) dx
d6croR le long des trajectoires car (3)
dE
c~ £
I VO(x,t)
[2
dz.
D'apr~s C. Dafermos (voir [2]), on sait que E(t) - . 0, lorsque t --+ ec, si et seulement si le domaine [2 est tel que la propri6t6 ( H a ) suivante est satisfaite :
ll n'existe aucune fonction propre non-triviale ~ = ~(x) du systbme de Lamd (Ha)
-/zAqo - (A + # ) V d i v ~ = 72~p dans [2;
~ = 0 sur Of~
telle que div~ = 0 dans [2. La condition ( H a ) est g6n6riquement vraie (par rapport h f~), mais elle n'est pas satisfaite lorsque [2 est une boule. En effet, ( H a ) est satisfaite d~s que toutes les valeurs propres du Laplacien clans f~, avec des conditions aux limites de Dirichlet, sont simples. Dans cette Note, on se place dans la classe de domaines v6rifiant l'hypoth~se ( H a ) et on 6tudie l'existence de constantes C > 0 et co > 0 telles que
E(t) <
Vt > 0
pour toute solution de (l). Tout d'abord, par un argument de d6couplage inspir6 par [3], on r6duit la question h u n probl~me d'observabilit6 pour le syst~me de Lam6, qui consiste ?~estimer l'6nergie totale du syst~me en fonction
411
G. Lebeau et E. Zuazua
de l'6nergie de la composante longitudinale. Ensuite, par une construction d'optique g6om6trique, on montre que (4) n'est jamais vraie lorsque ~2 est convexe.
2. R~duction du probl~me On consid6re le syst~me de Lam6
{ ~gtt -- ~tm~9 -- (,~ 71-#)Vdiv(p (5)
= 0
= 0 =
=
dans ft x (0, oc), sur 0f~ x (0, oc), dans f~.
On a le r6sultat suivant : THI~ORI~ME 1. -- Dans la classe de domaines vdrifiant (Hn), (4) a lieu pour le systkme (1) si et seulement s'il existe T > 0 et C > 0 tels que (6)
[1@o°, qol) 2
fo T IIdivT(t)II~-l(~)dt
pour route solution de (5). Remarques. - (a) La propri6t6 (6) 6quivaut h la contr61abilit6 exacte du syst6me de Lam6 avec des forces volumiques fi rotationnel nul. Plus pr~cis~ment, (6) a lieu si et seulement si pour tout (y0, yX) • (Hi(a))3 × (L2(~)) 3 il existe p C L2(0, T; Ho:(f~)) tel que la solution de f
(7)
Ytt - # A y - (A + #)Vdivy = Vp = o
( y(x, O) = yO(x),
yt(x, O) = yl(x)
dans ft x (0, oc), sur 0f~ x (0, oo), dans fL
v6rifie y(T) =_ yt(T) ~ 0 avec l'estimation _< e l l ( y ° ,
(b) Le th6or~me 1 a lieu d~s que f~ est un ouvert de classe C 2. Idde de la ddmonstration du thdorkme 1. - L'in6galit6 (4) 6quivaut h l'existence de T > 0 et e • (0,1) tels que
(s)
E(T) < E(0)
pour toute solution de (1). En s'inspirant de [3], on introduit l'op6rateur de projection P de (L2(f~))3sur le sous-espace ferm6 {V(p; :p • (HoX(f~))3} ainsi que le syst~me d6coupl6 :
(9)
{
utt - ttAu - (A + tt)Vdivu + a/3Put = 0 0t - A0 +/3divut = 0 u=0,0=0 u(x, O) = u°(x), ut(x, O) = uX(x), O(x, O) = O°(x)
dans f t x (0, c~), dans ~ x (0, oo), sur O~ x (0, ~ ) , dans Ft.
En proc6dant comme dans [3] et en tenant compte du fait que Ou/Ou E L2(Oft x (0, T)), pour toute solution de (1) et (9) d'6nergie finie, on d6duit que la diff6rence entre les semi-groupes engendr6s par (1) et (9) est compacte, de H dans C([0, T]; H ) (voir [6]). Donc, si (8) a lieu pour (1), pour (9) on a (10)
E ( T ) <_ eE(O) + K 2 ( u °, u 1,
off K : H --~ R e s t lin6aire continue et compacte. 412
00),
Sur la dkroissance
non uniforme de I’knergie dam le sy&me
de la thermoklasticit6 linbaire
En prenant 0O = 0 dans (9) on en deduit que
avec K : (H;(Q))3
(12)
x (~5”(s2))~ + R lineaire continue et compacte, pour toute solution de
utt - ~Au - (X + p)Vdivu + @Put u=o { zL(z, 0) = UO(Z), Ut(2,O) = u’(z)
= 0
darts 0 x (0, co), sur dR x (O,oo), dans Q.
D’autre part (11) est vCrifiCe pour le systeme (12) si et seulement s’il existe C > 0 telle que
(13) pour toute solution de (5). Grke aux proprietes de K et a l’hypothese (Ho), (13) Cquivaut a (6). On a ainsi montre que dans la classe de domaines verifiant (Ho), (4) implique (6). La reciproque peut se demontrer par des arguments analogues. 3. Non-d&roissanee
uniforme
On considere le systeme de Lame (5). On introduit les vitesses de propagation longitudinale et transversale : CL = &i?$ et CT = &. On pose v~ = ~/CL et vT = l/CT. On introduit La variete caracttristique transversale Car7 = (Carl)0 U (Carl)an, ou (Car7)o (Car%2
= {(z, t,J,7);
x E R, c2 = T~v$, 7 # 0},
= {(Y,~,v,T);
y E do, v2 I ~~4,7
# O}.
Par tout point pc E Car7 il passe une unique bicaracteristique gtntralisCe, ou rayon, s E W + p(s) E Carr, p(O) = pc. A l’interieur de R, s -+ x(p(s)) est un segment de droite et, lorsque s H x(p(s)) coupe dS2 transversalement, il est reflechi selon les lois de Descartes sur XI (on ne se servira pas des rayons coupant le bord de man&e tangente). On introduit l’ensemble L = {(y, t, 11,-r) : y E Xl, 0 <) 77151 7 I VL}, qui represente la region du bord qui couple fortement les ondes longitudinales et transversales. En effet, 77= 0 correspond a des rayons perpendiculaires a XI, et en ces points, une onde transversale genbre, par reflexion, une onde longitudinale plus reguliere. Lorsque I T I vL 0 tels que la condition (HT) suivante est satisfaite : il existe un rayon s E [a,!~] + p(s) E Car (7) tel que t(p(a)) - t(p(b)) > T (HT)
et p(s) $4L pour tout s E [a,b].
Alors il existe une suite {(pk} de solutions de (5) telle que T
(14)
IIb”k,d>II
(Lz(n))3X(H-i(n))3
=
J
1; o 11diwk
11$-l(,)dt + O,k +
00.
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G. Lebeau et E. Zuazua
Comme une cons6quence imm6diate des th6orhmes 1 et 2 on a : THI~ORI~ME 3. -- Soit f~ un ouvert rdgulier tel que (HT ) est vdrifide pour tout T > O. Alors, la ddcroissance uniforme (4) des solutions du systkme (1) n'a lieu pour aucun choix de w, C > O. Remarques. - (a) Lorsque f~ est tel qu'il existe un rayon qui reste dans cgV/pour tout temps avec 1,11 = les conditions du th6orhme 1 sont satisfaites. C'est le cas d'un domaine convexe, ~ cause des rayons qui vivent sur le bord (voir figure 1). Cependant il y a une deuxihme raison pour que le taux de d6croissance ne soit pas uniforme dans un convexe et celle-ci a lieu dans une classe de domaines bien plus large, que l'on d6crit ci-dessous. (b) Lorsqu'il existe un rayon qui reste captif sur un segment de droite dans f~, en se r6flechisant perpendiculairement sur cgf~, la condition (HT) est aussi satisfaite pour tout T > 0. C'est le cas d'un domaine convexe, mais il existe des domaines non convexes oCa ceci a lieu (voir figure 2). (c) Lorsque la condition (b) ci-dessus est satisfaite, on peut garantir que le taux de d6croissance pour (1) n'est pas uniforme. Mais il y a alors deux situations possibles. Si f / e s t un domaine exceptionnel oh ( H ~ ) n'est pas satisfaite, il existe des solutions non-triviales qui ne tendent pas vers z6ro lorsque t ~ cx~ (c'est le cas quand f~ est une boule). Lorsque ( H n ) est satisfaite (ce qui est g6n6riquement le cas dans la classe de domaines convexes ou du type exhib6 dans la figure 2) toute solution tend vers z6ro, mais il existe des solutions qui tendent vers z6ro arbitrairement lentement.
Fig. 2.
Fig. 1.
Fig. 3.
(d) I1 existe des domaines oCa (HT) n'est satisfaite pour aucun T. L'exemple (en dimension deux) montr6 dans la figure 3 est dfi ~ D. Hulin [H]. Cet exemple s'obtient h partir de la demi-boule centr6e en (0, 0) et de rayon 1 en retirant les boules de centre ( - 2 / 3 , 0) et (1/3, 0) et des rayons 1/3 et 2/3 respectivement et ensuite en regularisant les angles. Idle de la preuve du thgor~me 2. - Comme tout rayon est limite uniforme de rayons n'ayant que des points d'intersection transversaux avec le bord, on peut supposer que le rayon fourni par (HT) n'a que des points d'intersection transversaux avec le bord et est constitu6 par un nombre fini de segments. Par une construction d'optique g6om6trique dans l'esprit de [5], en superposant des ondes localis6es pros de chaque segment, on construit une suite de fonctions ~k telles que l i m i n f II Ck k---+oo
lira II(a
k---+oo
(15)
lira II
k--+oo
lira
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IT
- .A
Co > 0; - (A + #)Vdiv)~b~IIL,~(O,T;(H_I(~))3 ) = 0
O;
Sur la d~croissance non uniforme de I'~nergie dans le syst~me de la thermo~lasticit~ lin~aire A partir des ~bk de (14), on construit facilement les ~k de (14), en corrigeant les erreurs de (02 - / ~ A - (A - # ) V d i v ) ¢ k et C k l o n avec une suite de limite forte nulle dans (LZ(f~ x (0, T ) ) ) a. Dans la construction de la suite v6rifiant (15) on distingue deux cas : (a) Le rayon est en r6flexion perpendiculaire. Dans ce cas, une onde localis6e purement transversale engendre par reflexion une onde dont la composante longitudinale est plus r6guli~re (a au moins une d6riv6e de plus dans L2). (b) On est dans la r6gion ]r/I > TUL et alors la composante longitudinale est exponentiellement concentr6e pros du bord. Les d6monstrations d6taill6es des r6sultats de cette Note seront donn6es dans un article en pr6paration. Remerciements. Les auteurs remercient D. Hulin pour une fructueuse discussion sur l'existence de domaines ne v6rifiant pas la condition g6om6trique (HT). Le travail du deuxi~me auteur a 6t6 financ6 par le projet PB93-1203 de la DGICYT (Espagne) et CHRX-CT94-0471 de l'Union Europ6enne. Note remise le 25 octobre 1996, accept6e le 28 octobre 1996.
R~f~rences bibliographiques [1] Bardos C., Lebeau G. et Rauch J., 1992. Sharp sufficient conditions for the observation, control and stabilization of waves from the boundary, SlAM J. Control Optim., 30, pp. 1024-105. [2] Dafermos C., 1968. On the existence and the asymptotic stability of solutions to the equations of linear thermoelasticity, Arch. Rational Mech. Anal,, 29, pp. 241-271. [3] Henry D., Lopes O. et Perissinotto A., 1993. On the essential spectrum of a semigroup of thermoelasticity, Nonlinear Anal., 21, pp. 65-75. [4] Hulin D. Communication personnelle. [5] Ralston J., 1969. Solution of the wave equation with localized energy, Comm. Pure Appl. Math., 22, pp. 807-823. [6] Zuazua E., 1995. Controllability of the linear system of thermoelasticity, J. Math. pures appl., 74, pp. 291-315.
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Sur la d6croissance non uniforme de l'6nergie dans le syst me de la thermo$lasticit6 linfiaire Gilles L E B E A U et Enrique ZUAZUA G. L. : D6partement de Math6matiques, Universit6 de Paris-Sud, 91405 Orsay CEDEX, France; E. Z. : Departamento de Matemfitica Aplicada, Universidad Complutense, 28040 Madrid, Espagne, E-maih [email protected]
R6sum6.
On 6tudie le taux de d6croissance de l'6nergie des solutions du syst~me lin6aire de la thermo61asticit6 dans un ouvert born6 avec des conditions aux limites de Dirichlet. I1 est bien connu que l'6nergie de toute solution tend vers z6ro lorsque t --+ ~ si et seulement si le syst~me de l'61asticit6 n'admet aucune fonction propre h divergence nuUe. On d6montre, en particulier, dans la classe de domaines v6rifiant cette propri6t6, que lorsque le domaine est convexe, le taux de d6croissance n'est pas uniforme.
On the non uniform decay of the energy of solutions of the linear 3-d system of thermoelasticity Abstract.
We consider the 3-d system of linear thermoelasticity in a bounded, smooth domain with homogeneous Dirichlet boundary conditions. It is well known that the energy of every solution tends" to zero if and only if the linear system of elasticity does not admit any divergence-free eigenfunction. In the class of domains satisfying this property we prove, in particular, that when the domain is convex, the rate of decay is not uniform.
Abridged English Version Let ~2 be a bounded smooth domain of R 3 such that Of~ has no contact of infinite order with its tangents. Let us consider the linear system of thermoelasticity utt - #Au
(1)
Ot -
-
(A + / z ) V d i v u + ctVO = 0
AO + fldivut
= 0
u=O,O=O
~(x, O) = ~o(z), ut(z, O) = u~(~), O(x, O) = O°(x)
in in on in
~2 x (0, e~), ~2 x (0, e~), Of~ × (0, c~), ~2.
Note pr~sent~e par Jacques-Louis LioNs. 0764-4442/97/03240409 © Acad~mie des Sciences/Elsevier,Paris
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G. Lebeau et E. Zuazua
System (1) is well-posed in H = (H~(f~)) 3 E(t)=~
l ut(x,t)
x
(L2(~)) 3 × L2(ft) and the energy
+# l V u ( x , t )
+(A + #) l d i v u ( x , t )
+-~0 (x,t) dx
decreases along trajectories. On the other hand, from [2], it is well known that the energy of every solution converges to zero as t ~ oc if and only f~ satisfies the following condition :
There is no non-trivial eigenfunction ~v = ~(x) of the Lamd system (Ha)
- #A~p - (A + #)Vdivcp = 72~ in f~;
~o = 0 on Of~
such that div~ = 0 in f~. Condition (Hn) is known to be generically (with respect to f~) true but it does not hold when f~ is a ball. Let us consider the Lain6 system
(2)
{
~tt - # A ~ - (A + # ) V d i v ~ = 0 ~=0 ~(x, 0) = ~°(x), ~t(x, 0) = ~1(x)
in ~2 x (0, 0¢), on 0f~ x (0, co), in fL
Our first result can be stated as follows : THEOREM 1. -- In the class of domains f~ satisfying (H~), the energy of each solution o f ( l ) decays uniformly to zero if and only if there exists T > 0 and C > 0 such that (3)
2 II(~0,~I)I}(L~(~))~×(H_~(O))~ < C
jo t
Ildiv~(t)}}~_~(a)dt
holds for every solution of (2). The proof of this result is based on a decoupling technique introduced in [3]. To analyze (3), we introduce the longitudinal and transversal velocities of propagation : CL = V~ + 2# and CT = V/ft• We also set UL = 1/CL and UT = 1/CT. We introduce the transversal characteristic set C a r t = (CarT)~ U (CarT)of~, where (CarT)a = { ( x , t , { , r ) : x • £t, ~2 = T2@, T ¢ 0}; (CarT)o~ : { ( y , t , ~ , 7 ) : y • 0£t,~ 2 _< T2@,T # 0}. There is an unique transversal bicharacteristic ray s • R ~ p(s) passing through each point po • CarT. We introduce the set £ = {(y,t,~?,7): y • 0~, 0
T h e r e exists a ray s E [a, b] --~ p(s) E Car (T) such that t(p(a)) - t(p(b)) > T and p(s) ~ £. f o r all s C [a, b].
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Sur la dficroissance non uniforme de I'~nergie dans le syst~me de la thermo~lasticit~ linfiaire
Then there exists a sequence of solutions {~Pk} of (2) such that 1
(4)
= 1;
//
I[div~(t)l[2_,(a)dt ~ O.
When ft is convex, condition (HT) holds for any T. Therefore (3), or equivalently, the uniform decay of the energy of solutions of (1), never holds.
1. Introduction et formulation du probl~me Soit [2 un ouvert born6 de R 3 (de classe C ~ et tel que 0[2 n'a pas de contact d'ordre infini avec ses tangentes) et consid~rons le syst~me lin6aire de la thermo61asticit~ :
(1)
Utt - - ~ A U - - ( A -Jr- # ) V d i v u + a V 0 = 0 0t - A0 +/3divut = 0 u=0,0=0 u(x,O) = u°(x),ut(x,O) = ul(x),O(x,O) = 0°(x)
dans dans sur dans
[2 x (0, cxD), f~ x (0, oo), 0 f ~ x ( 0 , oo), ~.
Dans (1), u = (ul, u2,u3) d6signe le champ de d6formation et 0 la temp6rature. D'autre part, A, # > 0 sont les constantes de Lam6 et ~,/3 > 0 les param~tres de couplage. Le syst~me (1) est bien pos6 dans H = (Hi([2)) a x (L2([2)) 3 x L2(f~) et l'6nergie (2)
E(t) = ~
[ ut(x, t)
+# I Vu(x,t)
+(A + #) [ divu(x, t) 12
c~
2
(x,t) dx
d6croR le long des trajectoires car (3)
dE
c~ £
I VO(x,t)
[2
dz.
D'apr~s C. Dafermos (voir [2]), on sait que E(t) - . 0, lorsque t --+ ec, si et seulement si le domaine [2 est tel que la propri6t6 ( H a ) suivante est satisfaite :
ll n'existe aucune fonction propre non-triviale ~ = ~(x) du systbme de Lamd (Ha)
-/zAqo - (A + # ) V d i v ~ = 72~p dans [2;
~ = 0 sur Of~
telle que div~ = 0 dans [2. La condition ( H a ) est g6n6riquement vraie (par rapport h f~), mais elle n'est pas satisfaite lorsque [2 est une boule. En effet, ( H a ) est satisfaite d~s que toutes les valeurs propres du Laplacien clans f~, avec des conditions aux limites de Dirichlet, sont simples. Dans cette Note, on se place dans la classe de domaines v6rifiant l'hypoth~se ( H a ) et on 6tudie l'existence de constantes C > 0 et co > 0 telles que
E(t) <
Vt > 0
pour toute solution de (l). Tout d'abord, par un argument de d6couplage inspir6 par [3], on r6duit la question h u n probl~me d'observabilit6 pour le syst~me de Lam6, qui consiste ?~estimer l'6nergie totale du syst~me en fonction
411
G. Lebeau et E. Zuazua
de l'6nergie de la composante longitudinale. Ensuite, par une construction d'optique g6om6trique, on montre que (4) n'est jamais vraie lorsque ~2 est convexe.
2. R~duction du probl~me On consid6re le syst~me de Lam6
{ ~gtt -- ~tm~9 -- (,~ 71-#)Vdiv(p (5)
= 0
= 0 =
=
dans ft x (0, oc), sur 0f~ x (0, oc), dans f~.
On a le r6sultat suivant : THI~ORI~ME 1. -- Dans la classe de domaines vdrifiant (Hn), (4) a lieu pour le systkme (1) si et seulement s'il existe T > 0 et C > 0 tels que (6)
[1@o°, qol) 2
fo T IIdivT(t)II~-l(~)dt
pour route solution de (5). Remarques. - (a) La propri6t6 (6) 6quivaut h la contr61abilit6 exacte du syst6me de Lam6 avec des forces volumiques fi rotationnel nul. Plus pr~cis~ment, (6) a lieu si et seulement si pour tout (y0, yX) • (Hi(a))3 × (L2(~)) 3 il existe p C L2(0, T; Ho:(f~)) tel que la solution de f
(7)
Ytt - # A y - (A + #)Vdivy = Vp = o
( y(x, O) = yO(x),
yt(x, O) = yl(x)
dans ft x (0, oc), sur 0f~ x (0, oo), dans fL
v6rifie y(T) =_ yt(T) ~ 0 avec l'estimation _< e l l ( y ° ,
(b) Le th6or~me 1 a lieu d~s que f~ est un ouvert de classe C 2. Idde de la ddmonstration du thdorkme 1. - L'in6galit6 (4) 6quivaut h l'existence de T > 0 et e • (0,1) tels que
(s)
E(T) < E(0)
pour toute solution de (1). En s'inspirant de [3], on introduit l'op6rateur de projection P de (L2(f~))3sur le sous-espace ferm6 {V(p; :p • (HoX(f~))3} ainsi que le syst~me d6coupl6 :
(9)
{
utt - ttAu - (A + tt)Vdivu + a/3Put = 0 0t - A0 +/3divut = 0 u=0,0=0 u(x, O) = u°(x), ut(x, O) = uX(x), O(x, O) = O°(x)
dans f t x (0, c~), dans ~ x (0, oo), sur O~ x (0, ~ ) , dans Ft.
En proc6dant comme dans [3] et en tenant compte du fait que Ou/Ou E L2(Oft x (0, T)), pour toute solution de (1) et (9) d'6nergie finie, on d6duit que la diff6rence entre les semi-groupes engendr6s par (1) et (9) est compacte, de H dans C([0, T]; H ) (voir [6]). Donc, si (8) a lieu pour (1), pour (9) on a (10)
E ( T ) <_ eE(O) + K 2 ( u °, u 1,
off K : H --~ R e s t lin6aire continue et compacte. 412
00),
Sur la dkroissance
non uniforme de I’knergie dam le sy&me
de la thermoklasticit6 linbaire
En prenant 0O = 0 dans (9) on en deduit que
avec K : (H;(Q))3
(12)
x (~5”(s2))~ + R lineaire continue et compacte, pour toute solution de
utt - ~Au - (X + p)Vdivu + @Put u=o { zL(z, 0) = UO(Z), Ut(2,O) = u’(z)
= 0
darts 0 x (0, co), sur dR x (O,oo), dans Q.
D’autre part (11) est vCrifiCe pour le systeme (12) si et seulement s’il existe C > 0 telle que
(13) pour toute solution de (5). Grke aux proprietes de K et a l’hypothese (Ho), (13) Cquivaut a (6). On a ainsi montre que dans la classe de domaines verifiant (Ho), (4) implique (6). La reciproque peut se demontrer par des arguments analogues. 3. Non-d&roissanee
uniforme
On considere le systeme de Lame (5). On introduit les vitesses de propagation longitudinale et transversale : CL = &i?$ et CT = &. On pose v~ = ~/CL et vT = l/CT. On introduit La variete caracttristique transversale Car7 = (Carl)0 U (Carl)an, ou (Car7)o (Car%2
= {(z, t,J,7);
x E R, c2 = T~v$, 7 # 0},
= {(Y,~,v,T);
y E do, v2 I ~~4,7
# O}.
Par tout point pc E Car7 il passe une unique bicaracteristique gtntralisCe, ou rayon, s E W + p(s) E Carr, p(O) = pc. A l’interieur de R, s -+ x(p(s)) est un segment de droite et, lorsque s H x(p(s)) coupe dS2 transversalement, il est reflechi selon les lois de Descartes sur XI (on ne se servira pas des rayons coupant le bord de man&e tangente). On introduit l’ensemble L = {(y, t, 11,-r) : y E Xl, 0 <) 77151 7 I VL}, qui represente la region du bord qui couple fortement les ondes longitudinales et transversales. En effet, 77= 0 correspond a des rayons perpendiculaires a XI, et en ces points, une onde transversale genbre, par reflexion, une onde longitudinale plus reguliere. Lorsque I T I vL 0 tels que la condition (HT) suivante est satisfaite : il existe un rayon s E [a,!~] + p(s) E Car (7) tel que t(p(a)) - t(p(b)) > T (HT)
et p(s) $4L pour tout s E [a,b].
Alors il existe une suite {(pk} de solutions de (5) telle que T
(14)
IIb”k,d>II
(Lz(n))3X(H-i(n))3
=
J
1; o 11diwk
11$-l(,)dt + O,k +
00.
413
G. Lebeau et E. Zuazua
Comme une cons6quence imm6diate des th6orhmes 1 et 2 on a : THI~ORI~ME 3. -- Soit f~ un ouvert rdgulier tel que (HT ) est vdrifide pour tout T > O. Alors, la ddcroissance uniforme (4) des solutions du systkme (1) n'a lieu pour aucun choix de w, C > O. Remarques. - (a) Lorsque f~ est tel qu'il existe un rayon qui reste dans cgV/pour tout temps avec 1,11 = les conditions du th6orhme 1 sont satisfaites. C'est le cas d'un domaine convexe, ~ cause des rayons qui vivent sur le bord (voir figure 1). Cependant il y a une deuxihme raison pour que le taux de d6croissance ne soit pas uniforme dans un convexe et celle-ci a lieu dans une classe de domaines bien plus large, que l'on d6crit ci-dessous. (b) Lorsqu'il existe un rayon qui reste captif sur un segment de droite dans f~, en se r6flechisant perpendiculairement sur cgf~, la condition (HT) est aussi satisfaite pour tout T > 0. C'est le cas d'un domaine convexe, mais il existe des domaines non convexes oCa ceci a lieu (voir figure 2). (c) Lorsque la condition (b) ci-dessus est satisfaite, on peut garantir que le taux de d6croissance pour (1) n'est pas uniforme. Mais il y a alors deux situations possibles. Si f / e s t un domaine exceptionnel oh ( H ~ ) n'est pas satisfaite, il existe des solutions non-triviales qui ne tendent pas vers z6ro lorsque t ~ cx~ (c'est le cas quand f~ est une boule). Lorsque ( H n ) est satisfaite (ce qui est g6n6riquement le cas dans la classe de domaines convexes ou du type exhib6 dans la figure 2) toute solution tend vers z6ro, mais il existe des solutions qui tendent vers z6ro arbitrairement lentement.
Fig. 2.
Fig. 1.
Fig. 3.
(d) I1 existe des domaines oCa (HT) n'est satisfaite pour aucun T. L'exemple (en dimension deux) montr6 dans la figure 3 est dfi ~ D. Hulin [H]. Cet exemple s'obtient h partir de la demi-boule centr6e en (0, 0) et de rayon 1 en retirant les boules de centre ( - 2 / 3 , 0) et (1/3, 0) et des rayons 1/3 et 2/3 respectivement et ensuite en regularisant les angles. Idle de la preuve du thgor~me 2. - Comme tout rayon est limite uniforme de rayons n'ayant que des points d'intersection transversaux avec le bord, on peut supposer que le rayon fourni par (HT) n'a que des points d'intersection transversaux avec le bord et est constitu6 par un nombre fini de segments. Par une construction d'optique g6om6trique dans l'esprit de [5], en superposant des ondes localis6es pros de chaque segment, on construit une suite de fonctions ~k telles que l i m i n f II Ck k---+oo
lira II(a
k---+oo
(15)
lira II
k--+oo
lira
414
IT
- .A
Co > 0; - (A + #)Vdiv)~b~IIL,~(O,T;(H_I(~))3 ) = 0
O;
Sur la d~croissance non uniforme de I'~nergie dans le syst~me de la thermo~lasticit~ lin~aire A partir des ~bk de (14), on construit facilement les ~k de (14), en corrigeant les erreurs de (02 - / ~ A - (A - # ) V d i v ) ¢ k et C k l o n avec une suite de limite forte nulle dans (LZ(f~ x (0, T ) ) ) a. Dans la construction de la suite v6rifiant (15) on distingue deux cas : (a) Le rayon est en r6flexion perpendiculaire. Dans ce cas, une onde localis6e purement transversale engendre par reflexion une onde dont la composante longitudinale est plus r6guli~re (a au moins une d6riv6e de plus dans L2). (b) On est dans la r6gion ]r/I > TUL et alors la composante longitudinale est exponentiellement concentr6e pros du bord. Les d6monstrations d6taill6es des r6sultats de cette Note seront donn6es dans un article en pr6paration. Remerciements. Les auteurs remercient D. Hulin pour une fructueuse discussion sur l'existence de domaines ne v6rifiant pas la condition g6om6trique (HT). Le travail du deuxi~me auteur a 6t6 financ6 par le projet PB93-1203 de la DGICYT (Espagne) et CHRX-CT94-0471 de l'Union Europ6enne. Note remise le 25 octobre 1996, accept6e le 28 octobre 1996.
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