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Sur la loi limite de l'espacement des valeurs propres d'une matrice ale´atoire
Nuclear Physics 25 (1961) 447---458; ( ~ North-Holland Publishing Co., Amsterdam Not to be
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S U R LA LOI L I M I T E DE L ' E S P A C E M E N T D E S V A L E U R S P R O P R E S D'UNE MATRICE AL~ATOIRE MICHEL GAUDIN Centre d'1~tudes Nucl~aires de Saclay, Gi/-sur-Yvette (S. et 0.), France Refu le 16 Janvier 1961 T h e distribution function of the level spacings for a random matrix in the limit of large dimensions is expressed by means of a rapidly converging infinite product which has been used for a numerical calculation. Comparison with Wigner's hypothesis gives a very good agreement.
Abstract:
1. Introduction Cet article fait suite A un travail de M. L. Mehta l), oh la fonction de distribution de l'espacement des valeurs propres d'une matrice symdtrique d'ordre n, coefficients al~atoires, est donn6e explicitement. Adoptant les hypoth&ses de Mehta, dont nous d6signerons l'article par (M), nous nous proposons ici de donner la forme limite de cette distribution lorsque n augmente ind6finiment. L'expression obtenue d6rive d'un produit infini rapidement convergent, ce qui nous a perrnis de pr6senter une table de valeurs num6riques dans tout l'intervalle utile. La comparaison avec la fonction de Wigner 2) Pw (S) pour la densit~ de probabilit6 d'un espacement S, montre que cclle-ci diff~re de moins de 5 % de la fonction exacte pour S/D < 2, et constitue donc une excellente approximation dans la r6gion oh cette fonction n'est pas tr~s petite.
2. F o r m u l e s de B a s e Nous reprenons les notations de (M). La fonction P(Ox, 02) (voir (M), § 5) est la densit6 de probabilit6 d'observer tel niveau en 01 et tel autre en 0~, sans aucun niveau dans l'intervalle 01, 02. Dans la r6gion oh la densit6 de niveaux est constante et ~gale A D -1 = 2X/~/n, il est plausible que P(01, 0,) ne d6pende que de l'espacement S = 02--01. I1 a donc suffi de consid6rer P(--O, 0), que la formule (M.48) donne sous la forme suivante: P ( - - 0 , 0) = (2m--2)! d
I~o
dO (e-2@Rx(O))'
(I)
avec Rx(O ) --
2.,_i (oo
(m-~-i_l)!j ° d y t . . ,
/o,~
dy.._,e-zlY?+'"~'--*)II(y,2--O~)2II(Y,~--y~)2., ,<,
447
(2)
448
MICHEL GAUDIN
et n = 2m. Si nous d6finissons ¢,~(0) par l'6galit6
¢.(0) = fo dyl.., f:"
II f
(3)
nous pourrons combiner (1) et (2) sous la forme
2m(2m-1) P ( - O ,
2m !2'n-1 d 2 dO~ ¢~(0). m !/~0
O) = - -
Par la suite nous ne nous soucierons pas de la normalisation de P(--O, qu'elle est donn6e par (3) et (4). La formule (M.47) s'6crit en effet
f : 2m(2m--1)DP(--O,
0)d(20) = 1.
(4)
O) telle
(s)
La densitd de probabilit~ p(S) de l'espacement S est donc dgale ~ 2m(2m--1) 0), et la normalisation est d~termin~e par les ~quations
DP(--O,
f°
0 p(S)d
= 1,
o Sp(S)d
= D.
(6)
Par commodit6, nous rapporterons ¢,~(0) ~ sa valeur ~ l'origine et poserons ~,,(0) = ff,~(0)/~bm(0). Notre b u t est m a i n t e n a n t de chercher la forme limite de la fonction ~,~(0) lorsque m a u g m e n t e ind6finiment et que la variable O reste de l'ordre de l'espacement m o y e n des niveaux, c'est-~-dire lorsque O/D -- 20~/2--m/n t e n d vers une limite finie. Nous poserons 20%/2-m ---- t, de sorte que l'on a S 20 2t D
D
Soit ~(t) la limite de hY.~(0) dans ces conditions; d'apr&5 (4) la fonction ib(S) est proportionneUe ~ d2~P/dt2 et les ~galit~s (6) s'~crivent °°d2W 2 dt oc 1, o
--T--~ dt
dt 2 ~ d t o c D ,
d ' o h l'on ddduit
(dZ~ \dr/
La fonction
p(S)
2
pui~qtm l'on a T(0) ---- ~
g-e
s'~crit donc
p(s) = ¼~' d '
dr* '
(7)
et la fonction de distribution F(S), probabilit~ d ' u n espacement inf~rieur ~ S est ~gale
F(S) =
ib(S')d
= 1-[-~.~--;T" .
(8)
VALEURS
PROPRES
D'UNE
MATRICE
AL~ATOIRE
449
~lYm(O)
3. La F o n c t i o n
Dans l'int6grale (3) qui nous d o n n e ~.,(0), effectuons le c h a n g e m e n t de variables %/2y~=z~, i: 1 , 2 . . . . . m,
Nous o b t e n o n s pour ~,~(0), ~ un f a c t e u r c o n s t a n t pros, =
oc
dzl. • •
dz=e-('"+'"+*")A*(zl, z2 . . . . . z,,), T
oh A (z1, z z . . . . . z,~) est le d 6 t e r m i n a n t . . . Zl 2m-$
I
Zl 2
ZI4
1
Z2 2
Z 2 4 . . . Z2 z m - 2
.........
I
. .........
Zm ~
..
Zm 4 . . . Zm 2m-2
Pax une m~thode d~j~ utilis6e dans un p r e c e d e n t t r a v a i l 8), nous exprimons A en fonction des polyn6mes d ' H e r m i t e ; c h a q u e m o n 6 m e z~2~ qui figure dans A est en effet une forme lin6aire de p o l y n 6 m e s pairs de degr~ inf6rieur ou ~gal 2p. Nous avons donc
H2(z,)
Ho(zx) go(z2) LI (zl, z2 . . . .
, z,,,) o c
.
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. . . H2,,,_,(z,)
H2(z,) .
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Ho(z,.)
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...
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g,.,_2(,,,)
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H2(~,~) . . . H~,,,_~(~,,,)
Ceci nous p e r m e t d ' e x p r i m e r ~,~ (r/v/2) au m o y e n des fonctions normalis~es de l'oscillateur h a r m o n i q u e u2,(z )
ox:Y dz x . . . f- dz,,, ~r
%(z,)
,,(z,) . . . ~,m_2(z,) *
%(z,)
,~(z,)
...
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u~,_2(z,) .
•
. ,
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*
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7
%(z,,.)
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•
*
u 2 ( z = ) . . , u~,,_~(z,,)
Les u,= v6rifient donc les relations = 6~.
,
.
4~0
MICHEL GIUDI N"
Le th6or~me de G r a m appliqu6 A (10) nous conduit A l'expression suivante:
/\
fo~u,(Z)Uo(Z)dz
fTu:(z)dz
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. . . . . . . . f°~u~(z)u2.,_,(z)dz
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°
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(1
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. . . .
~b,~ est donc un d d t e r m i n a n t d'ordre m, d'6Mments S~u2~(z)ui~(z)dz = {(~,~-S+_~uz~uzjdz). Sa valeur A l'origine v = 0 se calcule simplement: les ~16ments non d i a g o n a u x sont nuls et les 616ments diagonaux 6gaux A {, d'oh la valeur de la fonction ~=(T/V'2) = ~.,(v]V'2)/~b,~(0): ~=
v
= d~t 0tt--
--T
u2~(z)u~(z)dz .
(12)
~ = prend la valeur 1 pour ~ = 0 par d6finition, et la valeur 0 pour ~ = oo, et reste toujours compris entre ces deux valeurs puisque, d'apr~s (9), elle est ddcroissante.
4. La F o n c t i o n ~'m C o m m e D~!terminant de F r e d h o l m L a fonction ~,~, d~finie par (12), est le d~terminant de Fredholm, pour la valeur ;t = 1, relatif au n o y a u syrn6trique, continu, born6 ra--1
K,~(x, y) = ~ u2~(x)u2~(y ), k--0
Ixl _~ ~,
lYl < ~.
(13)
L'~quation homog~ne de F r e d h o l m s'dcrit en effet
2](x) = £ ~ K,,,(x, y)/(y)dy,
(14)
o h / ( x ) est une fonction propre et 2 la valeur propre correspondante. A l'aide de la d6finition (13), l'6quation (14) s'6crit m--1
2/(x) = Z "v,(x) k--O
Posant c~ = S+~ u~(y)/(y)dy,
,tCq = ~, C~
f+Ir
uv,(y)/(y)dy.
--'1"
nous obtenons le syst~me lin~aire
uv,(x)u2,(x)dx,
q = O, 1. . . . . m - - I ,
k--O
qui poss~de une solution, si d~t I,~(5~--~_+~uz~uzqdx I ---- 0. Cette 6quation caract6ristique poss~de m racines rgelles 2~, 2z . . . . . 2,~. Nous avons donc d6t I~,,--
j_i""'u2' dzl =
(1--~x)(1--;tz) " " " (1--2,n),
VALEURS PROPRES D'UNE MATRICE ALI~ATOIRE
4~1
qui est bien le d6terminant de Fredholm de l'6quation inhomog~ne correspondant ~t (14) pour 2---- 1. La formule de Christoffel 4) donne une expression plus concise du noyau K,,,(x, y), m--1
g,,,(x, y) = ~ u2~,(x)u2,,(y) k,=O
,,,-x
1
1 e_t(~,+** ) ~, H2,(x)g2~(y ) "V/:~ ~ o 2 2~2k l
_
----partie paire en x de ---- partie paire en x de ~
1
z,,,-i
1
e-t(xl+,,*) ~. -y~,H~,(x)Hs,(y)
1 e_t(ffi,+,,)
(15)
1 Hz,n(x)H2,n_l(y)--H2,~(y)H2,n_l(x) 2z'~(2m--l) ! x--y
----partie paire en x de %/m u2'~(x)u2"~-'(y)-u2m(y)u*'~-'(x) x--y 5. F o r m e L i m i t e de l'l~quation (14) pour m Inflni
Nous effectuons d'abord le changement de variables qui fait passer de = OX/2 ~ t ---- 20x/2--m, en posant = 2xv'~ ,
rI ---- 2 y V ~ .
L'dquation homog~ne (14) s'~crit alors
Dans le domaine ]~] _~ t, [~7[ ~ t, le noyau devient donc
1
,) ",-
= Partie paire en ~ de ~/m
(17)
~--~
Notons que le d~terminant de Fredholm relatif ~ l'~quation (14) est identique ~ celui de l'~quation (16) ~crite sous la forme ,l/l (~:) = f : i Ore(e, ,/)/x 07)d~7 oh
(is)
452
MICHEL GAUDIN
I1 est maintenant facile d'obtenir la linfite de Q,,,(*, 7) lorsque m tend vers l'infini, ~, 7, t restant fixes. Uniformdment par rapport A ~ sur tout intervalle fini I~1 ~-- t, nous avons t. lira
2 z'~m !
lim (--)'~ Hs.,+z ( & ) ,,~oo 22"mi
1 ---- V---~sin ~'
c'est-A-dire lim mi(--)"m,,,
(2-~m)
lim mt(--)"u~,,,,_ x 2 - - ~
=
1
cos
= ~--~sin*.
fTt--t,OO
Par consdquent, uniformdment par rapport A ~, 7, Q(~, *7) = lim Q,~(~, 7) -- Paire en ~ de = Partie paire en ~ de
-- 1 cos ~ sin 7--cos 7 sin
1 sin (~--7)
Alors, on a
Off, 7)=
1 [sin (~--7)
t
+
sin (~+~)/
I l
Ce noyau est symdtrique, continu, bornd. La forme limite de rdquation homog~ne (14) ou plutbt (18) est done
2g(~) = f +'_to(~' 7)g(7)dT"
(19)
6. Les Fonctions Sphdroidales Solutions de l']~quation (19) Les solutions g(~) sont ndcessairement paires. L'dquation intdgrale (19) est alors dquivalente A la suivante 5) ~g(~) = I f+t sin (~q-7)g(7)dT, zc j-, ~-+-7
(20)
condition de se rcstreindre au sous-espace des fonctions paires, ce que nous ferons dans tout le paragraphe. t Voir r~f. 4), Vol. II, ch. X, §§ I0, 13, iormules (24), (25).
VALEURS PROPRES D'UNE MATRICE AL~ATOIRE
~
Le n o y a u sin (~+~7)/zt(~+~?) est le carr6 du n o y a u exp(i~/t)/V~2ztt, 6quivalent lui-m~me A cos (D?/t)[v/-2-~nt, symdtrique, rdel, d o n t les valeurs propres sont done r6elles. Si nous obtenons un syst~me complet de fonetions L*(--t, +t), paires, solutions de l'~quation
1 f+,- e'C,/t g(~)d~,
I~g(~) -- ~ t n t
(21)
nous aurons par l~t m~me les solutions de (20) et (19) avec la correspondance 2 = #~. Par le changement d'4chelle ~ = xt, ~ = yt, qui ram6ne les limites d'int4gration a u x valeurs ± l , l'dquation (21) prend la formc (22) avec /@) = g(tx) et y = I,tV'2=/t, c'est-~-dire
t 2 = ~ 79..
(23)
Les solutions de l'dquation (22) sont les fonctions dites sphdroidales 6, e) dfipendant du param6tre t. Celles-ci sont d~finies comme les solutions r~guli6res a u x points + 1 de l'dquation diffdrentielle
(L--l)l(x) = 0,
(24)
avec L = ( x ~ - 1) d*/dx2 + 2xd/dx + t* x'. Cet opdrateur self-adjoint c o m m u t e avec le n o y a u e " ~ d~fini sur l'intervalle --1, -4-1. Supposons en effet que ~0(x) soit une solution particuli6re de (24) (L--l)~(x) = O. Posons X(x) = f+l e"=Vq~(y)dy. I1 est facile de vdrifier que (L--1)Z = O, sous les conditions suivantes
(*) (1-~*)~'(x) = Or les conditions (25) imposent la r~gularit6 de q @) en x = 4-1 et d4terminent les valeurs de l. La fonction Z ndcessairement rdguli6re en + 1, est donc proportionnelle ~t q(x), d'ofi x(~) = ~(~). Les fonetions sph~roidales /2,/4 . . . . / ~ . . . . forment un syst6me complet de fonetions paires L~(--1, -4-1). Elles constituent donc le syst~me des fonetions propres du n o y a u exp (itxy), de son earrd sin t ( x + y ) / ( x + y ) et du n o y a u original
454
MICHEL GAUDIN
Q, apr~s le ehangement d'~chelle ~ = t~. Les va|eurs propres 7 s'obtiennent par exemple en posant z = 0 dans l'~quation (22), c'est-~-dire
et t
2
7. La Fonctlon ~/'(t) Le noyau Q(~, 7) admet pour valeurs propres toutes positives les nombres ~q = (t/2~)7,* ,, off les 72q sont d6finis par (26). C'est donc un noyau positif ~). Cette propri6t6 nous permet d'6crire le d6terminant de Fredholm relatif l'~quation (19), sous la forme du produit infini suivant: D().)=fi(1
-
1 t
)
(27)
qui est une fonction enti~re de I/A. Consid6rons maintenant, pour t fix6, la suite des noyaux Q=(~. 7); nous avons montr6 (§§ 4 et 5) que ~,~(,/~/2) est le d6terminant de Fredholm relatif l'6quation second membre, or Q,~(~, 7) converge uniform~ment vers Q(~, '7) (§ 6) on en d~duit 7) que ~ = converge vers le d~terminant de Fredholm du noyau Q, avec ~ = 1, c'est-~-dire
~(t) = lim Tm (2-~2m)=
(28)
soit
'
)•
8. Propri~t~s de ~ ( t ) et Calcul Nun,erique La fonction ~(t), limite de quantitds positives, est positive. Elle d~croit de 1 ~ 0, lorsque t augmente de 0 ~ + o o . Pour les petites vaicurs de t, les fonctions sphdroidales sont voisines des fonctions de Legendre et l'on peut calculer les coefficients du d6veloppement des p r e n res foncfions sur les secondes par une m6thode de perturbation. Les tables des fonctions sph6roidales de Stratton e) donnent la valeur de ces coefficients jusqu'/~ t----- 10
VALEURS PROPRES D'UNE
MATRICE AL]~ATOIRE
4~
(page 203 et suivantes). Les fonctions/2~(x) sont alors d6finies par les s6ries [2, (x) = ]~ as, (tl2q)P2, (x).
(29)
Par exemple, ~t l'ordre O, nous obtenons d'apr~s (26) )~, =
P2,(x)cl~/P2,(O)
si
= O.
q ¢ 0.
7'0 = 2. c'est-~-dire
7~(t) = 1 - -
2t Y~
+...,
d'oh 9v
De cette fa~on, nous avons j u s q u ' a u 5~me ordre en t 2t 2t 3 ~(t) = 1 - - - - + 9~ ~
F(S)
ou encore pour la fonction a
2t s 75rt + t e r m e s en re+ . . .
d~V
F = 1+ ~ - ~ - = - f i t
a~
1
4
S
--ivt + ....
D-
2t
M. L. Mehta avait o b t e n u par un calcul direct (voir (M.63) et suivante) (¢s~2 { l _ F ( S ) } e X i ~ , = l _ ~ ( 2 m O 2) + ~ (~2 m 0
32 ) +...,
qui coincide bien avec le ddveloppement limit6 de { 1 - - F } e W = ( 1 - - { t 2 + l - ~ t a + . . .)(1 ±1 TI ' ~ L-r--~ 1-ia-1, , ± F . . . )
= 1 - ~ t1
1 2 + v a7( ~ t1 2 ) 2 +
....
¼t~
=
2~/,02.
P o u r les grandes valeurs de t, les fonctions sph~roidales tendent vers celles de l'oscillateur harmonique, t o u s l e s 2, tendent vers l'unit~ et lim~,oo ~(t) = 0. Cependant nous n'avons rien pu dire sur le c o m p o r t e m e n t a s y m p t o t i q u e de T(t). Nous avons effectu6 le calcul num~rique des premieres valeurs de 72, dan, l'intervalle 0 ~ t ~ 5, afin d'6prouver l'utilit6 du produit infini (28). I1 se trouve que le calcul est simple et la convergence rapide. GrAce aux tables 6) des coefficients d2,(tI2q), nous exprimons les ?~q sous la forme suivante: __ f+_la [~..(x)dx =
r,,
/2,(0)
2do(t[2q )
X (--)" 1,
L3.5 .... 2.4.6
(2p-I)
....
2p
d,, (t[2q)
456
MICHEL GAUDIN
I1 est facile de voir que les ~'2~ sont de l'ordre de grandeur des do(2q) et d~croissent vite avec q. Dans l'intervalle explor6 0 < t _<_ 5, il a suffi des 4 premiers facteurs de kv pour obtenir cinq chiffres exacts. Les valeurs num6riques de k~(t), de F ( S ) -= 1 +{~zdkV/dt et de ib (S) = ~-~*d2 go/dr ~ sont prdsent6es dans la table 1, ainsi que les valeurs des fonctions Fw(S ) et pw(S), ddfinies par les dgalit6s Fw(S)-----l--exp E - - ¼ x ( S ) ~ - - - - , _ e - , ' / . ,
P w ( S ) = ~TtSexp E--¼z~(S)~ •
Les d6rivations successives de ~(t) laissent respectivement 4 chiffres et 3 chiffres exacts aux fonctions F et p. TABLE
I
Les fonctions ~ , F et p
S/D
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 , 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 ,
0 0.064 0.127 0.191 0.255 0.318 0.382 0.446 0.509 0.573 0.637 0.764 0.891 1.018 1.146 1.273 1.400 1.528 1.655 1.782 1.910 2.037 2.164 2.292 2.41~ 2.546 2.674 2.801 2.928 3.055 3.183
1 0.936408 0.873239 0.810904 0.749796 0.690283 0.632698 0.577337 0.524450 0.474248 0.426889 0.341117 0.267527 0.205888 0.155459 0.115153 O.O83669 0.059626 0.041674 0.028563 0.019199 r 0.012654 0.008177 0.005182 0.003219 [ 0.001961 i 0.001171 0.0006858 0.0003937 0.0002216 0.0001222
f
F
Fw
0 0.00330 0.01321 0.02947 0.05168 0.07947 0.11219 0.14920 0.18982 0.23338 0.27908 0.37410 0.46962 0.56114 O.64529 0.71986 0.78378 0.83681 0.87956 0.91307 0.93863 0.95760 0.97133 0.98104 U.9~772 0.99223 0.99518 0.99708 0.9983 0.9990 0.9994
0 0.00317 0.01265 0.02824 0.04965 0.07649 0.10827 0.14441 0.18430 0.22727 0.27262 0.36768 0.46414 0.55730 0.64346 0.72007 0.78575 0.84014 0.88372 0.91749 0.94300 0.96159 0.97476 0.98384
:
0.9899|
0.99386 0.99635 0.99789 0.99881 0.99934 0.99965
Pw 0 0 0.104 0.0996 0.1974 0.207 0.2915 0.303 0.395 0.3801 0.477 0.4617 0.5350 0.549 0.6117 0.5989 0.6630 0.6525 0.7032 0.6954 0.7273 0.7308 0.7547 0.7587 0.7502 0.7396 0.6933 0.7083 0.6417 0.6255 0.5445 0.5598 0.4587 0.4713 0.3750 0.3836 0.2978 0.3023 0.2301 0.2308 0.1730 0.1709 0.1267 0.1229 0.0906 0.0857 0.0831 I o o5~! U.04z~ u,u~3 0.0286 0,0245 0.0185 0.0153 0.0117 ! 0,0092 0.0062 0.0054 0.0031 0.0030 0.002 0.0017
Sur la fig. 1, on a repr~sent~ F et F w, peu distinguables ~ l'~chelle adopt6e, encadr6es par les bornes inf~rieure F 0, et sup~rieure Fx, donn~es par Mehta
457
VALEURS PROPRES D'UNE MATRICE AL~ATOIRE
(M.60),
~0 = 1 - e x p ( - ¼ t ~ ) ,
~, = 1-(1--~2)exP(--¼:).
F et F w different de moins de 1 % pour S < 1.4D et la difference absolue est inf~rieure ~ 0.0066 dans la rdgion S < 3D. La fig. 2 reprdsente les fonctions p e t Pw dont la difference relative est infSrieure ~ 5 % pour S < 2D, et l'$cart moindre que 0.0162.
Fig. 1. I_~ d i s t r i b u t i o n de W i g n e r F w ( S ) et la f o n c t i o n e x a c t e
F(S)
c o m p r i s e e n t r e F o et F L.
f
p:l/ p.:~
........
0.50
/
h i
J Fig. 2. L e s d e n s i t d s de probabilitd
p(S)
et pw(S).
458
MICHEL G A U D I N
M. L. Mehta a mis au point une m6thode de calcul de la fonction I,,(0), donn6e sous forme de d6terminant (M.54) tL l'aide de laquelle s'exprime F. La convergence est rapide et pour m : 8, la courbe de F se superpose tt ceUe qui est donn6e fig. 1. I1 propose de repr6senter la fonction F dans la r~gion S < 2D par la forme (1-bat2) - ` ~ exp(--¼t2), qui r~alise une meilleure approximation que Fw, si l'on prend ~ : 1.003 e t a ~ 0.078. Je remercie le Professeur C. Bloch et Monsieur M. L. Mehta de l'int6r~t qu'ils ont pris ~ ce travail, ainsi que Mademoiselle N. Castille du Bureau de Calcul de Saclay pour les r6sultats num~riques.
Bibliographie I) M. L. Mehta, Nuclear Physics 18 (1960) 420 2) Wigner et Gatlinberg, Conf. on Neutron Physics by time of flight, Oak-Ridge, National Laboratory Report ORNL 2309 (1957) p. 59 3) M. L. Mehta et M. Gaudin, Nuclear Physics 18 (1960) 420 4) Bateman, dans Manuscript Project, 6dit6 par A. Erd61yi (New-York, Toronto, London) Vol. II, ch. X, §§ 10, 13, formule (ll) 5) L. Robin, Fonctions sph6riques de Legendre et fonctions sph6roidales (Gauthiers-Villars, 1959) Tome III, p. 250, iormule (255) 6) J. A. Stratton, P. M. Morse, L. J. Chu, J. D. C. Little and F. J. Corbato, Spheroidal wave functions (The Technology Press of M.I.T.-Wiley) 7) E. Goursat, Cours d'Analyse Math6matique (Gauthiers-Villars, Paris, 1956) Tome III, p. 454 § 592, p. 389 § 572
reproduced by photoprint or microfilm without written permission from the publisher
S U R LA LOI L I M I T E DE L ' E S P A C E M E N T D E S V A L E U R S P R O P R E S D'UNE MATRICE AL~ATOIRE MICHEL GAUDIN Centre d'1~tudes Nucl~aires de Saclay, Gi/-sur-Yvette (S. et 0.), France Refu le 16 Janvier 1961 T h e distribution function of the level spacings for a random matrix in the limit of large dimensions is expressed by means of a rapidly converging infinite product which has been used for a numerical calculation. Comparison with Wigner's hypothesis gives a very good agreement.
Abstract:
1. Introduction Cet article fait suite A un travail de M. L. Mehta l), oh la fonction de distribution de l'espacement des valeurs propres d'une matrice symdtrique d'ordre n, coefficients al~atoires, est donn6e explicitement. Adoptant les hypoth&ses de Mehta, dont nous d6signerons l'article par (M), nous nous proposons ici de donner la forme limite de cette distribution lorsque n augmente ind6finiment. L'expression obtenue d6rive d'un produit infini rapidement convergent, ce qui nous a perrnis de pr6senter une table de valeurs num6riques dans tout l'intervalle utile. La comparaison avec la fonction de Wigner 2) Pw (S) pour la densit~ de probabilit6 d'un espacement S, montre que cclle-ci diff~re de moins de 5 % de la fonction exacte pour S/D < 2, et constitue donc une excellente approximation dans la r6gion oh cette fonction n'est pas tr~s petite.
2. F o r m u l e s de B a s e Nous reprenons les notations de (M). La fonction P(Ox, 02) (voir (M), § 5) est la densit6 de probabilit6 d'observer tel niveau en 01 et tel autre en 0~, sans aucun niveau dans l'intervalle 01, 02. Dans la r6gion oh la densit6 de niveaux est constante et ~gale A D -1 = 2X/~/n, il est plausible que P(01, 0,) ne d6pende que de l'espacement S = 02--01. I1 a donc suffi de consid6rer P(--O, 0), que la formule (M.48) donne sous la forme suivante: P ( - - 0 , 0) = (2m--2)! d
I~o
dO (e-2@Rx(O))'
(I)
avec Rx(O ) --
2.,_i (oo
(m-~-i_l)!j ° d y t . . ,
/o,~
dy.._,e-zlY?+'"~'--*)II(y,2--O~)2II(Y,~--y~)2., ,<,
447
(2)
448
MICHEL GAUDIN
et n = 2m. Si nous d6finissons ¢,~(0) par l'6galit6
¢.(0) = fo dyl.., f:"
II f
(3)
nous pourrons combiner (1) et (2) sous la forme
2m(2m-1) P ( - O ,
2m !2'n-1 d 2 dO~ ¢~(0). m !/~0
O) = - -
Par la suite nous ne nous soucierons pas de la normalisation de P(--O, qu'elle est donn6e par (3) et (4). La formule (M.47) s'6crit en effet
f : 2m(2m--1)DP(--O,
0)d(20) = 1.
(4)
O) telle
(s)
La densitd de probabilit~ p(S) de l'espacement S est donc dgale ~ 2m(2m--1) 0), et la normalisation est d~termin~e par les ~quations
DP(--O,
f°
0 p(S)d
= 1,
o Sp(S)d
= D.
(6)
Par commodit6, nous rapporterons ¢,~(0) ~ sa valeur ~ l'origine et poserons ~,,(0) = ff,~(0)/~bm(0). Notre b u t est m a i n t e n a n t de chercher la forme limite de la fonction ~,~(0) lorsque m a u g m e n t e ind6finiment et que la variable O reste de l'ordre de l'espacement m o y e n des niveaux, c'est-~-dire lorsque O/D -- 20~/2--m/n t e n d vers une limite finie. Nous poserons 20%/2-m ---- t, de sorte que l'on a S 20 2t D
D
Soit ~(t) la limite de hY.~(0) dans ces conditions; d'apr&5 (4) la fonction ib(S) est proportionneUe ~ d2~P/dt2 et les ~galit~s (6) s'~crivent °°d2W 2 dt oc 1, o
--T--~ dt
dt 2 ~ d t o c D ,
d ' o h l'on ddduit
(dZ~ \dr/
La fonction
p(S)
2
pui~qtm l'on a T(0) ---- ~
g-e
s'~crit donc
p(s) = ¼~' d '
dr* '
(7)
et la fonction de distribution F(S), probabilit~ d ' u n espacement inf~rieur ~ S est ~gale
F(S) =
ib(S')d
= 1-[-~.~--;T" .
(8)
VALEURS
PROPRES
D'UNE
MATRICE
AL~ATOIRE
449
~lYm(O)
3. La F o n c t i o n
Dans l'int6grale (3) qui nous d o n n e ~.,(0), effectuons le c h a n g e m e n t de variables %/2y~=z~, i: 1 , 2 . . . . . m,
Nous o b t e n o n s pour ~,~(0), ~ un f a c t e u r c o n s t a n t pros, =
oc
dzl. • •
dz=e-('"+'"+*")A*(zl, z2 . . . . . z,,), T
oh A (z1, z z . . . . . z,~) est le d 6 t e r m i n a n t . . . Zl 2m-$
I
Zl 2
ZI4
1
Z2 2
Z 2 4 . . . Z2 z m - 2
.........
I
. .........
Zm ~
..
Zm 4 . . . Zm 2m-2
Pax une m~thode d~j~ utilis6e dans un p r e c e d e n t t r a v a i l 8), nous exprimons A en fonction des polyn6mes d ' H e r m i t e ; c h a q u e m o n 6 m e z~2~ qui figure dans A est en effet une forme lin6aire de p o l y n 6 m e s pairs de degr~ inf6rieur ou ~gal 2p. Nous avons donc
H2(z,)
Ho(zx) go(z2) LI (zl, z2 . . . .
, z,,,) o c
.
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. . . H2,,,_,(z,)
H2(z,) .
.
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Ho(z,.)
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...
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g,.,_2(,,,)
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H2(~,~) . . . H~,,,_~(~,,,)
Ceci nous p e r m e t d ' e x p r i m e r ~,~ (r/v/2) au m o y e n des fonctions normalis~es de l'oscillateur h a r m o n i q u e u2,(z )
ox:Y dz x . . . f- dz,,, ~r
%(z,)
,,(z,) . . . ~,m_2(z,) *
%(z,)
,~(z,)
...
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u~,_2(z,) .
•
. ,
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*
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7
%(z,,.)
.
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.
.
•
*
u 2 ( z = ) . . , u~,,_~(z,,)
Les u,= v6rifient donc les relations = 6~.
,
.
4~0
MICHEL GIUDI N"
Le th6or~me de G r a m appliqu6 A (10) nous conduit A l'expression suivante:
/\
fo~u,(Z)Uo(Z)dz
fTu:(z)dz
.
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. . . . . . . . f°~u~(z)u2.,_,(z)dz
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°
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(1
.
. . . .
~b,~ est donc un d d t e r m i n a n t d'ordre m, d'6Mments S~u2~(z)ui~(z)dz = {(~,~-S+_~uz~uzjdz). Sa valeur A l'origine v = 0 se calcule simplement: les ~16ments non d i a g o n a u x sont nuls et les 616ments diagonaux 6gaux A {, d'oh la valeur de la fonction ~=(T/V'2) = ~.,(v]V'2)/~b,~(0): ~=
v
= d~t 0tt--
--T
u2~(z)u~(z)dz .
(12)
~ = prend la valeur 1 pour ~ = 0 par d6finition, et la valeur 0 pour ~ = oo, et reste toujours compris entre ces deux valeurs puisque, d'apr~s (9), elle est ddcroissante.
4. La F o n c t i o n ~'m C o m m e D~!terminant de F r e d h o l m L a fonction ~,~, d~finie par (12), est le d~terminant de Fredholm, pour la valeur ;t = 1, relatif au n o y a u syrn6trique, continu, born6 ra--1
K,~(x, y) = ~ u2~(x)u2~(y ), k--0
Ixl _~ ~,
lYl < ~.
(13)
L'~quation homog~ne de F r e d h o l m s'dcrit en effet
2](x) = £ ~ K,,,(x, y)/(y)dy,
(14)
o h / ( x ) est une fonction propre et 2 la valeur propre correspondante. A l'aide de la d6finition (13), l'6quation (14) s'6crit m--1
2/(x) = Z "v,(x) k--O
Posant c~ = S+~ u~(y)/(y)dy,
,tCq = ~, C~
f+Ir
uv,(y)/(y)dy.
--'1"
nous obtenons le syst~me lin~aire
uv,(x)u2,(x)dx,
q = O, 1. . . . . m - - I ,
k--O
qui poss~de une solution, si d~t I,~(5~--~_+~uz~uzqdx I ---- 0. Cette 6quation caract6ristique poss~de m racines rgelles 2~, 2z . . . . . 2,~. Nous avons donc d6t I~,,--
j_i""'u2' dzl =
(1--~x)(1--;tz) " " " (1--2,n),
VALEURS PROPRES D'UNE MATRICE ALI~ATOIRE
4~1
qui est bien le d6terminant de Fredholm de l'6quation inhomog~ne correspondant ~t (14) pour 2---- 1. La formule de Christoffel 4) donne une expression plus concise du noyau K,,,(x, y), m--1
g,,,(x, y) = ~ u2~,(x)u2,,(y) k,=O
,,,-x
1
1 e_t(~,+** ) ~, H2,(x)g2~(y ) "V/:~ ~ o 2 2~2k l
_
----partie paire en x de ---- partie paire en x de ~
1
z,,,-i
1
e-t(xl+,,*) ~. -y~,H~,(x)Hs,(y)
1 e_t(ffi,+,,)
(15)
1 Hz,n(x)H2,n_l(y)--H2,~(y)H2,n_l(x) 2z'~(2m--l) ! x--y
----partie paire en x de %/m u2'~(x)u2"~-'(y)-u2m(y)u*'~-'(x) x--y 5. F o r m e L i m i t e de l'l~quation (14) pour m Inflni
Nous effectuons d'abord le changement de variables qui fait passer de = OX/2 ~ t ---- 20x/2--m, en posant = 2xv'~ ,
rI ---- 2 y V ~ .
L'dquation homog~ne (14) s'~crit alors
Dans le domaine ]~] _~ t, [~7[ ~ t, le noyau devient donc
1
,) ",-
= Partie paire en ~ de ~/m
(17)
~--~
Notons que le d~terminant de Fredholm relatif ~ l'~quation (14) est identique ~ celui de l'~quation (16) ~crite sous la forme ,l/l (~:) = f : i Ore(e, ,/)/x 07)d~7 oh
(is)
452
MICHEL GAUDIN
I1 est maintenant facile d'obtenir la linfite de Q,,,(*, 7) lorsque m tend vers l'infini, ~, 7, t restant fixes. Uniformdment par rapport A ~ sur tout intervalle fini I~1 ~-- t, nous avons t. lira
2 z'~m !
lim (--)'~ Hs.,+z ( & ) ,,~oo 22"mi
1 ---- V---~sin ~'
c'est-A-dire lim mi(--)"m,,,
(2-~m)
lim mt(--)"u~,,,,_ x 2 - - ~
=
1
cos
= ~--~sin*.
fTt--t,OO
Par consdquent, uniformdment par rapport A ~, 7, Q(~, *7) = lim Q,~(~, 7) -- Paire en ~ de = Partie paire en ~ de
-- 1 cos ~ sin 7--cos 7 sin
1 sin (~--7)
Alors, on a
Off, 7)=
1 [sin (~--7)
t
+
sin (~+~)/
I l
Ce noyau est symdtrique, continu, bornd. La forme limite de rdquation homog~ne (14) ou plutbt (18) est done
2g(~) = f +'_to(~' 7)g(7)dT"
(19)
6. Les Fonctions Sphdroidales Solutions de l']~quation (19) Les solutions g(~) sont ndcessairement paires. L'dquation intdgrale (19) est alors dquivalente A la suivante 5) ~g(~) = I f+t sin (~q-7)g(7)dT, zc j-, ~-+-7
(20)
condition de se rcstreindre au sous-espace des fonctions paires, ce que nous ferons dans tout le paragraphe. t Voir r~f. 4), Vol. II, ch. X, §§ I0, 13, iormules (24), (25).
VALEURS PROPRES D'UNE MATRICE AL~ATOIRE
~
Le n o y a u sin (~+~7)/zt(~+~?) est le carr6 du n o y a u exp(i~/t)/V~2ztt, 6quivalent lui-m~me A cos (D?/t)[v/-2-~nt, symdtrique, rdel, d o n t les valeurs propres sont done r6elles. Si nous obtenons un syst~me complet de fonetions L*(--t, +t), paires, solutions de l'~quation
1 f+,- e'C,/t g(~)d~,
I~g(~) -- ~ t n t
(21)
nous aurons par l~t m~me les solutions de (20) et (19) avec la correspondance 2 = #~. Par le changement d'4chelle ~ = xt, ~ = yt, qui ram6ne les limites d'int4gration a u x valeurs ± l , l'dquation (21) prend la formc (22) avec /@) = g(tx) et y = I,tV'2=/t, c'est-~-dire
t 2 = ~ 79..
(23)
Les solutions de l'dquation (22) sont les fonctions dites sphdroidales 6, e) dfipendant du param6tre t. Celles-ci sont d~finies comme les solutions r~guli6res a u x points + 1 de l'dquation diffdrentielle
(L--l)l(x) = 0,
(24)
avec L = ( x ~ - 1) d*/dx2 + 2xd/dx + t* x'. Cet opdrateur self-adjoint c o m m u t e avec le n o y a u e " ~ d~fini sur l'intervalle --1, -4-1. Supposons en effet que ~0(x) soit une solution particuli6re de (24) (L--l)~(x) = O. Posons X(x) = f+l e"=Vq~(y)dy. I1 est facile de vdrifier que (L--1)Z = O, sous les conditions suivantes
(*) (1-~*)~'(x) = Or les conditions (25) imposent la r~gularit6 de q @) en x = 4-1 et d4terminent les valeurs de l. La fonction Z ndcessairement rdguli6re en + 1, est donc proportionnelle ~t q(x), d'ofi x(~) = ~(~). Les fonetions sph~roidales /2,/4 . . . . / ~ . . . . forment un syst6me complet de fonetions paires L~(--1, -4-1). Elles constituent donc le syst~me des fonetions propres du n o y a u exp (itxy), de son earrd sin t ( x + y ) / ( x + y ) et du n o y a u original
454
MICHEL GAUDIN
Q, apr~s le ehangement d'~chelle ~ = t~. Les va|eurs propres 7 s'obtiennent par exemple en posant z = 0 dans l'~quation (22), c'est-~-dire
et t
2
7. La Fonctlon ~/'(t) Le noyau Q(~, 7) admet pour valeurs propres toutes positives les nombres ~q = (t/2~)7,* ,, off les 72q sont d6finis par (26). C'est donc un noyau positif ~). Cette propri6t6 nous permet d'6crire le d6terminant de Fredholm relatif l'~quation (19), sous la forme du produit infini suivant: D().)=fi(1
-
1 t
)
(27)
qui est une fonction enti~re de I/A. Consid6rons maintenant, pour t fix6, la suite des noyaux Q=(~. 7); nous avons montr6 (§§ 4 et 5) que ~,~(,/~/2) est le d6terminant de Fredholm relatif l'6quation second membre, or Q,~(~, 7) converge uniform~ment vers Q(~, '7) (§ 6) on en d~duit 7) que ~ = converge vers le d~terminant de Fredholm du noyau Q, avec ~ = 1, c'est-~-dire
~(t) = lim Tm (2-~2m)=
(28)
soit
'
)•
8. Propri~t~s de ~ ( t ) et Calcul Nun,erique La fonction ~(t), limite de quantitds positives, est positive. Elle d~croit de 1 ~ 0, lorsque t augmente de 0 ~ + o o . Pour les petites vaicurs de t, les fonctions sphdroidales sont voisines des fonctions de Legendre et l'on peut calculer les coefficients du d6veloppement des p r e n res foncfions sur les secondes par une m6thode de perturbation. Les tables des fonctions sph6roidales de Stratton e) donnent la valeur de ces coefficients jusqu'/~ t----- 10
VALEURS PROPRES D'UNE
MATRICE AL]~ATOIRE
4~
(page 203 et suivantes). Les fonctions/2~(x) sont alors d6finies par les s6ries [2, (x) = ]~ as, (tl2q)P2, (x).
(29)
Par exemple, ~t l'ordre O, nous obtenons d'apr~s (26) )~, =
P2,(x)cl~/P2,(O)
si
= O.
q ¢ 0.
7'0 = 2. c'est-~-dire
7~(t) = 1 - -
2t Y~
+...,
d'oh 9v
De cette fa~on, nous avons j u s q u ' a u 5~me ordre en t 2t 2t 3 ~(t) = 1 - - - - + 9~ ~
F(S)
ou encore pour la fonction a
2t s 75rt + t e r m e s en re+ . . .
d~V
F = 1+ ~ - ~ - = - f i t
a~
1
4
S
--ivt + ....
D-
2t
M. L. Mehta avait o b t e n u par un calcul direct (voir (M.63) et suivante) (¢s~2 { l _ F ( S ) } e X i ~ , = l _ ~ ( 2 m O 2) + ~ (~2 m 0
32 ) +...,
qui coincide bien avec le ddveloppement limit6 de { 1 - - F } e W = ( 1 - - { t 2 + l - ~ t a + . . .)(1 ±1 TI ' ~ L-r--~ 1-ia-1, , ± F . . . )
= 1 - ~ t1
1 2 + v a7( ~ t1 2 ) 2 +
....
¼t~
=
2~/,02.
P o u r les grandes valeurs de t, les fonctions sph~roidales tendent vers celles de l'oscillateur harmonique, t o u s l e s 2, tendent vers l'unit~ et lim~,oo ~(t) = 0. Cependant nous n'avons rien pu dire sur le c o m p o r t e m e n t a s y m p t o t i q u e de T(t). Nous avons effectu6 le calcul num~rique des premieres valeurs de 72, dan, l'intervalle 0 ~ t ~ 5, afin d'6prouver l'utilit6 du produit infini (28). I1 se trouve que le calcul est simple et la convergence rapide. GrAce aux tables 6) des coefficients d2,(tI2q), nous exprimons les ?~q sous la forme suivante: __ f+_la [~..(x)dx =
r,,
/2,(0)
2do(t[2q )
X (--)" 1,
L3.5 .... 2.4.6
(2p-I)
....
2p
d,, (t[2q)
456
MICHEL GAUDIN
I1 est facile de voir que les ~'2~ sont de l'ordre de grandeur des do(2q) et d~croissent vite avec q. Dans l'intervalle explor6 0 < t _<_ 5, il a suffi des 4 premiers facteurs de kv pour obtenir cinq chiffres exacts. Les valeurs num6riques de k~(t), de F ( S ) -= 1 +{~zdkV/dt et de ib (S) = ~-~*d2 go/dr ~ sont prdsent6es dans la table 1, ainsi que les valeurs des fonctions Fw(S ) et pw(S), ddfinies par les dgalit6s Fw(S)-----l--exp E - - ¼ x ( S ) ~ - - - - , _ e - , ' / . ,
P w ( S ) = ~TtSexp E--¼z~(S)~ •
Les d6rivations successives de ~(t) laissent respectivement 4 chiffres et 3 chiffres exacts aux fonctions F et p. TABLE
I
Les fonctions ~ , F et p
S/D
1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 , 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 ,
0 0.064 0.127 0.191 0.255 0.318 0.382 0.446 0.509 0.573 0.637 0.764 0.891 1.018 1.146 1.273 1.400 1.528 1.655 1.782 1.910 2.037 2.164 2.292 2.41~ 2.546 2.674 2.801 2.928 3.055 3.183
1 0.936408 0.873239 0.810904 0.749796 0.690283 0.632698 0.577337 0.524450 0.474248 0.426889 0.341117 0.267527 0.205888 0.155459 0.115153 O.O83669 0.059626 0.041674 0.028563 0.019199 r 0.012654 0.008177 0.005182 0.003219 [ 0.001961 i 0.001171 0.0006858 0.0003937 0.0002216 0.0001222
f
F
Fw
0 0.00330 0.01321 0.02947 0.05168 0.07947 0.11219 0.14920 0.18982 0.23338 0.27908 0.37410 0.46962 0.56114 O.64529 0.71986 0.78378 0.83681 0.87956 0.91307 0.93863 0.95760 0.97133 0.98104 U.9~772 0.99223 0.99518 0.99708 0.9983 0.9990 0.9994
0 0.00317 0.01265 0.02824 0.04965 0.07649 0.10827 0.14441 0.18430 0.22727 0.27262 0.36768 0.46414 0.55730 0.64346 0.72007 0.78575 0.84014 0.88372 0.91749 0.94300 0.96159 0.97476 0.98384
:
0.9899|
0.99386 0.99635 0.99789 0.99881 0.99934 0.99965
Pw 0 0 0.104 0.0996 0.1974 0.207 0.2915 0.303 0.395 0.3801 0.477 0.4617 0.5350 0.549 0.6117 0.5989 0.6630 0.6525 0.7032 0.6954 0.7273 0.7308 0.7547 0.7587 0.7502 0.7396 0.6933 0.7083 0.6417 0.6255 0.5445 0.5598 0.4587 0.4713 0.3750 0.3836 0.2978 0.3023 0.2301 0.2308 0.1730 0.1709 0.1267 0.1229 0.0906 0.0857 0.0831 I o o5~! U.04z~ u,u~3 0.0286 0,0245 0.0185 0.0153 0.0117 ! 0,0092 0.0062 0.0054 0.0031 0.0030 0.002 0.0017
Sur la fig. 1, on a repr~sent~ F et F w, peu distinguables ~ l'~chelle adopt6e, encadr6es par les bornes inf~rieure F 0, et sup~rieure Fx, donn~es par Mehta
457
VALEURS PROPRES D'UNE MATRICE AL~ATOIRE
(M.60),
~0 = 1 - e x p ( - ¼ t ~ ) ,
~, = 1-(1--~2)exP(--¼:).
F et F w different de moins de 1 % pour S < 1.4D et la difference absolue est inf~rieure ~ 0.0066 dans la rdgion S < 3D. La fig. 2 reprdsente les fonctions p e t Pw dont la difference relative est infSrieure ~ 5 % pour S < 2D, et l'$cart moindre que 0.0162.
Fig. 1. I_~ d i s t r i b u t i o n de W i g n e r F w ( S ) et la f o n c t i o n e x a c t e
F(S)
c o m p r i s e e n t r e F o et F L.
f
p:l/ p.:~
........
0.50
/
h i
J Fig. 2. L e s d e n s i t d s de probabilitd
p(S)
et pw(S).
458
MICHEL G A U D I N
M. L. Mehta a mis au point une m6thode de calcul de la fonction I,,(0), donn6e sous forme de d6terminant (M.54) tL l'aide de laquelle s'exprime F. La convergence est rapide et pour m : 8, la courbe de F se superpose tt ceUe qui est donn6e fig. 1. I1 propose de repr6senter la fonction F dans la r~gion S < 2D par la forme (1-bat2) - ` ~ exp(--¼t2), qui r~alise une meilleure approximation que Fw, si l'on prend ~ : 1.003 e t a ~ 0.078. Je remercie le Professeur C. Bloch et Monsieur M. L. Mehta de l'int6r~t qu'ils ont pris ~ ce travail, ainsi que Mademoiselle N. Castille du Bureau de Calcul de Saclay pour les r6sultats num~riques.
Bibliographie I) M. L. Mehta, Nuclear Physics 18 (1960) 420 2) Wigner et Gatlinberg, Conf. on Neutron Physics by time of flight, Oak-Ridge, National Laboratory Report ORNL 2309 (1957) p. 59 3) M. L. Mehta et M. Gaudin, Nuclear Physics 18 (1960) 420 4) Bateman, dans Manuscript Project, 6dit6 par A. Erd61yi (New-York, Toronto, London) Vol. II, ch. X, §§ 10, 13, formule (ll) 5) L. Robin, Fonctions sph6riques de Legendre et fonctions sph6roidales (Gauthiers-Villars, 1959) Tome III, p. 250, iormule (255) 6) J. A. Stratton, P. M. Morse, L. J. Chu, J. D. C. Little and F. J. Corbato, Spheroidal wave functions (The Technology Press of M.I.T.-Wiley) 7) E. Goursat, Cours d'Analyse Math6matique (Gauthiers-Villars, Paris, 1956) Tome III, p. 454 § 592, p. 389 § 572