Sur le nombre des valeurs propres négatives dʼun opérateur elliptique

Bull. Sci. math. 137 (2013) 434–456 www.elsevier.com/locate/bulsci

Sur le nombre des valeurs propres négatives d’un opérateur elliptique On the number of negative eigenvalues of an elliptic operator Mohammed El Aïdi Departamento de Matemáticas, Universidad Nacional de Colombia, sede Bogotá, Avenida carrera 30, número 45-03, Edificio 404, Bogotá, D.C., Colombia Reçu le 19 septembre 2012 Disponible sur Internet le 23 octobre 2012

Résumé On donne une borne supérieur du nombre des valeurs propres négatives d’un opérateur elliptique perturbé par un potentiel réel positif, les conditions aux limites sont mêlées. © 2012 Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés. Abstract We give an upper bound of the number of negative eigenvalues corresponding to an elliptic operator perturbed by a potential, and where the boundary conditions are Robin. © 2012 Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés. MSC: primary 34B09, 34L15, 34L25, 34L05, 35J40, 35P15, 35R06, 35R15, 47A75; secondary 47A07, 47A40, 47A10, 57R40, 58D10 Keywords: Negative eigenvalues; Generalized Poincaré inequality; Elliptic operator; Embedded injection; Courant minimax principle

Adresse e-mail : [email protected]. 0007-4497/$ – see front matter © 2012 Elsevier Masson SAS. Tous droits réservés. http://dx.doi.org/10.1016/j.bulsci.2012.10.005

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1. Introduction L’importance de l’étude des valeurs propres. On considère l’opérateur différentiel L = L0 − V défini dans L2 (Ω) avec L0 est un opérateur symétrique définie positif elliptique d’ordre 2m, V est un potentiel réel défini dans Ω un ouvert de Rn . Étudier l’existence des valeurs propres négatives associées à L lorsque n < 2m est un peu délicat, car pour certaine classe de potentiel il se peut qu’il n’y ait pas de valeurs propres négatives, mais quand le potentiel est borné et tend vers zéro à l’infini alors le spectre contient au moins une valeur propre négative, en terme de physique quantique ceci se traduit par le fait qu’il y a une résonance autour de la valeur propre nulle, pour plus de détail voir [8, Example 33, Chapter 4]. Selon la nature du potentiel, l’étude du nombre des valeurs propres peut dépendre du nombre de résonances. On rappelle, que les résonances sont les pôles du prolongement méromorphe, dans une région du plan complexe, de la résolvante associée à L. L’étude des résonances associées à l’opérateur de Schrödinger a été étudiée par les auteurs suivants (la liste n’est pas exhaustive) [1,2,13,14,16,17,22,23,27– 30,32,26,36,41–43]. Une autre application liée au nombre de valeurs propres est la conjecture de Bethe–Sommerfeld qui date des années trente et qui stipule que le spectre d’un opérateur de Schrödinger à potentiel périodique est absolument continue et constitué d’une réunion fini d’intervalles fermés disjoints, c.-à-d. un nombre fini de zone instable. La longueur de chaque intervalle représente la différence de deux valeurs propres de natures instables, c.-à-d. la longueur de la zone instable, cette longueur porte le nom de trou (ou en anglais est appelé gap) spectral. La validité de cette conjecture dépend de la dimension de l’espace, du domaine d’étude et de la classe de potential, pour plus détails voir [5,18,31,40]. Pour le cas de l’opérateur de Schrödinger généralisé Hm,V := (−)m − V , l’auteur M. Skriganov [37,38] a montré, via la décomposition de Floquet–Bloch, que la validité de cette conjecture est liée au calcul du nombre de valeurs propres négatives associées à Hm,V lorsque n < 2m. Les auteurs A. Sobolev et L. Parnovski [34] ont trouvé un nouveau résultat correspondant à la validité de cette conjecture avec un potentiel périodique par rapport à un réseau. 2. Rappels des précédents travaux et énoncé du résultat principal du présent papier Les auteurs V. Kondratiev et Yu. Egorov ont étudié une borne supérieur du nombre N des valeurs propres négatives de L avec les conditions aux bords de Dirichlet pour les cas n  2m ceci selon la parité de n ou bien n > 2m, voir [7]. Ils ont fourni des théorèmes qui généralisent le résultat correspondant à la borne de Lieb–Cwiekel–Rosenblum—en abrégé notée LCR—pour plus de détail voir [21], [33, Theorem XIII.12] et [35]. Les auteurs Solomyak, M. Birman et A. Laptev ont aussi donné une borne supérieur associée à N ceci pour le cas n < 2m et lorsque L est défini dans un espace de Sobolev homogène [3] et [4]. Pour le cas n > 2m, les auteurs Yu. Egorov et M. El Aïdi ont étendu les travaux de [7], ceci en travaillant avec des conditions aux limites mêlées. Précisemment, pour n > 2m, ils ont étudié le spectre négatif de L défini dans l’espace de Sobolev H0m (Rn+ )—le complété de C0∞ (Rn ) restreint à Rn+ , par rapport à la norme  · H0m (Rn+ ) défini plus bas, pour plus de détails voir [10]. Ainsi le but de ce travail est de poursuivre le travail fait dans [10], c.-à-d. de déterminer une borne supérieur de N ceci pour le cas n < 2m avec n est un entier naturel impair ou pair. Avant d’énoncer nôtre principal théorème, on a besoin de définir quelques outils mathématiques nécessaires.

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Soit L0 un opérateur symétrique positif d’ordre 2m > n  3 tel que :    L0 (·) = D α aαβ (·)D β (·) , |α|m |β|m

où les aαβ sont des fonctions mesurables à valeurs réels (ou complèxes) définies dans Rn+ := |α|

∂ {x = (xl )1ln t.q. xn > 0}, α = (αl )1ln ∈ Nn et |α| = α1 + · · · + αn , et D α := ∂x α. m n Dans la suite, on travaille avec le sous espace vectoriel H0 (R+ ) de l’espace de Hilbert Hm (Rn+ ) := {u ∈ L2 (Rn+ ) t.q. D α u ∈ L2 (Rn+ )}. Les dérivées D α u sont comprises au sens faible. H0m (Rn+ ) est le complété de C0∞ (Rn )|Rn par rapport à la norme :



uH0m (Rn+ ) =

  u(x)2 dx +

Rn+



Rn+

+

1/2   D α u(x)2 dx ,

(2.1)

|α|=m

C0∞ (Rn ) := {u : Rn → C infiniment dérivable à support compact} et C0∞ (Rn )|Rn est C0∞ (Rn ) + restreint à Rn+ . Pour (u, v) ∈ H0m (Rn+ ) × H0m (Rn+ ), on définit L0 u, vL2 (Rn+ ) par :     L0 u, vL2 (Rn+ ) = D α aαβ (x)D β u(x) v(x) dx, Rn+ |α|m |β|m

avec · est la fonction conjuguée. En appliquant la formule de Green généralisée à l’opérateur L0 , on obtient :    m−1  ∂sv |α| β α (−1) aαβ (x)D u(x)D v(x) dx − Ls,m (u) dx , L0 u, vL2 (Rn+ ) = ∂xns Rn+ |α|m β|m

∂Rn+ s=0

avec x = (x , xn ) ∈ Rn−1 × (R+ \ {0}) et    Ls,m := bsα D α , bsα ∈ C ∞ ∂Rn+ . |α|2m−1−s

On suppose que pour tout u ∈ H0m (Rn+ )    |α| β α (−1) aαβ (x)D u(x)D u(x) dx  a0 Rn+

|α|m |β|m

Rn+

  D α u(x)2 dx

(2.2)

|α|=m

où a0 est une constante numérique strictement positive. On remarque que l’espace H0m (Rn+ ) est plus large que H0m (Rn+ )—le complété de C0∞ (Rn+ ). Dans l’espace H0m (Rn+ ), on voit bien ce qui se passe avec les fonctions qui s’intersectent avec la frontière ∂Rn+ , c.-à-d. l’hyperplan {x = (xl )1ln ∈ Rn+ t.q. xn = 0}. Soit u ∈ H0m (Rn+ ) \ {0} une fonction propre de L associée à la valeur propre λ. Dans la suite on travaille avec le sytème suivant : ⎧ Lu(x) pour xn > 0, ⎪  = λu(x)    ⎪ ⎨ L0,m u(x) − W x u(x) = 0 pour xn = 0, (∗∗) ∂u ∂ 2u ∂ m−1 u ⎪ ⎪ ⎩ = 2 = · · · = m−1 = 0 pour xn = 0. ∂xn ∂xn ∂xn

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Ci-dessous le théorème principal du présent article. Théorème 2.1. Soit n < 2m, q > 1, q1 > 1, 0  W ∈ Lq (Rn−1 ), 0  V ∈ Lq1 (Rn+ ) avec V (x) = 0, W (x ) = 0 si |x | > R pour un R > 0. Alors le nombre N des valeurs propres négatives du système (∗∗) vérifie l’estimation suivante :  

q N  C1 (n, m) V (x) 1 |x|2mq1 −n dx + 1 Rn+



+ C2 (n, m)

 q (2m−1)q−n+1 W x |x| dx + cn kn,m .

∂Rn+

kn,m = #{α ∈ Nn tel que |α| < m − n/2}, cn est une constante positive qui dépend de n, C1 (n, m) et C2 (n, m) sont des constantes qui dépendent de n et de m. Par hypothèse, les potentiels V et W sont à support compact. Vu que q > 1 et q1 > 1, grâce à un argument de densité, on peut juste prendre les potentiels des fonctions régulières à support compact. La démonstration de ce théorème suit le plan suivant : dans la troisième section, on rappelle quelques lemmes cruciaux pour la démonstration du théorème 2.1, dans la quatrième section on démontre le lemme suivant : Lemme 2.2. Soit u ∈ H0m (Rn+ ) 

  u(x)2p |x|−n+1+p(n−2m) dx

1/p

  Cn,m,p Rn+

∂Rn+

  D α u(x)2 dx,

(2.3)

|α|=m

où p > 1, n < 2m et Cn,m,p est une constante qui dépend de n, m, p, en plus D ξ u(x0 ) = 0

quand |ξ | < m − n/2, x0 ∈ Rn+ .

(2.4)

Pour démontrer ce lemme on a besoin de la décomposition tensorielle, à un isomorphisme n−1 près, de l’espace d’Hilbert L2 (Rn+ ) ∼ = L2 (Rn+ , rdr) ⊗ L2 (Sn−1 + ) avec S+ := {ω = (ωl )1ln ∈ n−1 t.q. ωn > 0}, puis on utilise le théorème d’injection de Sobolev entre L2 (∂Sn−1 ) et l’esS pace de Sobolev H0m (Sn−1 + ). Ensuite, en tenant compte des hypothèses (2.4) on applique un autre théorème d’injection celui-ci entre le complété de C0∞ (Rn+ ) (par rapport à la seminorme  · Lm (Rn+ ) définie dans la démonstration) noté Lm (Rn+ ) et l’espace C0∞ (Rn )|Rn . Puis on mon+ trera, grâce à des conditions supplémentaires portées sur u, que l’inégalité (2.3) reste vraie pour u ∈ C ∞ (Q+ ) avec Q+ est un cube de Rn+ . La cinquième section est réservée à la démonstration du théorème 2.1, et pour ce faire, on utilise un recouvrement uniforme du support de W par des cubes et sur chaque cube on applique l’inégalité (2.3), enfin on applique le principe de minimaxcourant, aussi connu par le lemme de Glazman, ceci pour déterminer un sous espace vectoriel de H0m (Rn+ ), où l’opérateur L est de signe positif, de codimension supérieur à N . Enfin, la sixième et septième est destinée à l’étude d’une majoration du nombre N lorsque n est un entier naturel pair.

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3. Rappel des lemmes cruciaux pour la démonstration du théorème 2.1 Ci-dessous des résultats extraits du livre de Yu. Egorov et V. Kondratiev. Ainsi le lemme suivant est localisé dans la [8, p. 278] : Lemme 3.1. Soient u ∈ C0∞ (Rn ) ; (r, ω) ∈ R+ × Sn−1 = Rn ; et (φj )j ∈N un système complet de fonctions sphériques orthonormal dans L2 (Sn−1 ) et u(x) =

∞ 

Rj (r)φj (ω).

j =0

Alors on a :  ∞   m (−) u(x)u(x) dx = Lj (Dt )Tj (t)Tj (t) dt j =0 R

Rn

avec r = exp(t), Dt = d/dt, Tj (t) = Rj (r)r n−2m/2 . Lj est un opérateur différentiel positif d’ordre 2m à coefficients constants de polynôme caractéristique  2  m−1  n 2 λ + k − m + + 2l Lj (iλ) = 2 l=0

=

m−1 

(j )

cl λ2l .

(3.1)

l=0

La valeur de k = k(j ) dans la formule provient de la relation μj = −k(k + n − 2), où μj est la j -ième valeur propre de l’opérateur Laplace–Beltrami Lω restreint à la sphère unité, et de (j ) fonction propre associée −φj , cl sont les coefficients du polynôme, i est le nombre complèxe qui vérifie i 2 = −1. Idem, le lemme qui suit est démontré dans [8, p. 281]. Lemme 3.2. Soit p  1, Lj l’opérateur différentiel positif défini dans le lemme 3.1. Si k(j )  m + 1 − n/2 ou n est impair alors l’inégalité : 1/p     u(t)2p dt  bp k(j )1−1/p−2m Lj (Dt )u(t)u(t) dt (3.2) R

R

est vraie pour toute fonction

u ∈ C0∞ (R).

bp est une constante qui dépend de p.

Un extrait de la preuve. Le coefficient principal de Lj est égale à (−1)m . Par conséquent on a la minoration suivante :     (−1)m Dt2m + aj0 u(t)u(t) dt, Lj (Dt )u(t)u(t) dt  (3.3) R

m−1

R

avec = l=0 (k(j ) − m + n/2 + 2l)2 . Si j est très grand alors aj0 ≈ [k(j )]2m , le symbole ≈ signifie équivalence entre deux nombres. aj0

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Précisemment, si n est impair alors on a aj0  d0 [k(j )]2m et d0 > 1. Maintenant si n est pair et k(j )  m + 1 − n/2 alors, aussi, on a aj0  d0 [k(j )]2m . D’après [6] on a l’inégalité suivante :  1/p      (m) 2   u(t)2p dt u (t) + d0 u(t)2 dt ,  bp (3.4) R

R

vraie pour tout u ∈ C0∞ (R), p

 1 et bp est une constante qui dépend de p. Par conséquent, à partir de cette dernière inégalité, on effectue le changement de variable t1 = k(j )t, avec k(j ) = 0, pour tout j ∈ N, on a :  1/p        (m) 2 −2m−1/p+1 u (t) + a 0 u1 (t)2 dt u1 (t)2p dt  bp k(j ) j 1 R



 d’aprés (3.3)

R −2m−1/p+1



 bp k(j )

Lj (Dt )u1 (t)u1 (t) dt,

(3.5)

R

d’où le lemme 3.2.

2

Le lemme suivant connu par le lemme de Rozenblyum nous permet d’obtenir un recouvrement uniforme, la démonstration de ce lemme figure dans [8, p. 294]. n Lemme  3.3. Soient Q un cube de R et f une fonction positive mesurable définie dans Q telle que Q f (x) dx = 1. Alors pour tout ε > 0, le cube Q peut-être recouvert par une réunion finie  de cubes (Qj )1j M et chacun de ces cubes vérifie Qj f (x) dx  2n ε, avec M  4n ε −1 .

Il existe aussi un autre type de recouvrement uniforme, ceci lorsque le cube Q est dyadique d’ordre l ∈ Z, c.-à-d. que l’arête et la distance entre deux sommets valent 2l , avec l ∈ Z, ce type de recouvrement est dû à C. Fefferman [12] et utilisé par les auteurs R. Kerman et T. Sawyer [20], ceci pour montrer que le nombre des valeurs propres négatives de l’opérateur de Schrödinger, avec condition au bord de Dirichlet, est majoré à une constante multiplicative près, par le nombre de cubes dyadiques minimaux, ce résultat a été étendu à l’opérateur de Schrödinger généralisé par M. El Aïdi [11]. 4. Lemme permettant la démonstration du théorème 2.1 Lemme 4.1. Soit u ∈ H0m (Rn+ )      2p  −n+1+p(n−2m) 1/p u x , 0  x  dx  Cn,m,p ∂Rn+

  D α u(x)2 dx,

Rn+ |α|=m

où p > 1, n < 2m et D ξ u(x0 ) = 0 quand |ξ | < m − n/2, x0 ∈ Rn+ et Cn,m,p est une constante qui dépend de n, m, et de p. Démonstration. Premièrement, on utilise une fonction auxiliaire f définie via u comme suit u(x) = f (x)|x|m−n/2 ainsi l’inégalité du lemme 4.1 :

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  2p  −n+1+p(n−2m) u x , 0  x  dx

1/p

  Cn,m,p

Rn+ |α|=m

∂Rn+

devient 

  D α u(x)2 dx,

  2p  −n+1 f x , 0  x  dx

1/p

  Cn,m,p

   D α f (x)|x|m−n/2 2 dx.

Rn+ |α|=m

∂Rn+

n−1 := {ω = Deuxièment, on passe en coordonnées sphériques (r, ω) ∈ R+ × Sn−1 + , avec S+ n−1 n−1 n−1 t.q. ωn > 0}, et ∂S+ sa frontière, on note ω = (ω , ωn ) ∈ S+ . Puis, on (ωl )1ln ∈ S utilise le fait que l’espace de Hilbert L2 (Rn+ , dx) est isomorphe au produit tensoriel d’es2 n−1 dr). Par conséquent, on a la décomposition paces de Hilbert L2 (Sn−1 + , dω) ⊗ L (R+ , r f (x) = f1 (r)f2 (ω) avec f1 ∈ L2 (R+ , r n−1 dr) et f2 ∈ L2 (Sn−1 + , dω). Vu que le spectre du Laplacien restreint à la sphère unité est discrèt ainsi la famille des fonctions propres (φj )j ∈N , associées aux valeurs propres du spectre, constitue une base orthonormal de L2 (Sn−1 + ), c.-à d. φj , φl L2 (Sn−1 ) = Sn−1 φj (ω)φl (ω) dω = δj l (la fonction de Kronecker) avec (j, l) ∈ N2 + +  ainsi f2 (ω) = ∞ .φj (ω), cette série est bien définie, ceci est dû grâce à l’inj =0 f2 , φj L2 (Sn−1 + ) égalité de Bessel. D’où, pour t ∈ R on pose r = exp(t) et la fonction ∞v(t, ω) = f (exp(t), ω) s’écrit comme une série de fonctions en t et en ω, c.-à-d. v(t, ω) = j =0 Tj (t)φj (ω), le terme Tj (t)φj (ω) représente la projection orthogonal de la fonction v sur le sous espace propre Pj correspondant à j (j + n − 2), valeur propre associée à l’opérateur −Lω = −| n−1 et de fonction S+

propre unitaire φj . L’auteur S.G. Mikhlin a montré dans son livre [25], voir aussi [9, §9, Chap+n−3)! . Par ter 2], que la dimension la multiplicité de −μj = j (j + n − 2) est égal à (2j +n−2)(j j !(n−2)! +n−3)! conséquent lorsque j  1 on a : dim Pj  (2j +n−2)(j  jn−2 . Soit (φl )1ldim Pj une j !(n−2)! base orthonormal du sous espace vectoriel Pj , ainsi on exprime φj ∈ Pj dans cette base orthodim P dim P (j ) normal et on obtient |φj (ω)|2 = l=1 j |φj , φl L2 (Sn−1 ) |2  l=1 j 1. Ainsi, on a |φj (ω)|  n−2

j√n/2−1 . n−2

(j )

+

Pour j = 0, on a dim P0 

(n−2)(n−3)! (n−2)!

= 1. Par conséquent, on a |φ0 (ω)|  dim P0 = 1.

Maintenant, on utilise le théorème d’injection entre l’espace de Sobolev H02 (Sn−1 + ) et l’espace n−1 2 de Lebesgue L (∂S+ ), c.-à-d. uL2 (∂Sn−1 )  C1n uH2 (Sn−1 ) , +

0

+

∞ n−1 ) avec C1n est une constante qui dépend de n et H02 (Sn−1 | + ) est le complété de C0 (S

Sn−1 +

rapport à la norme :   φH2 (Sn−1 ) = 0

+

  ∇ω φ(ω)2 dω +

Sn−1 +



  φ(ω)2 dω

1/2 .

Sn−1 +

Par conséquent pour chaque j  1 on obtient :          2   φj ω , 0  dω  C1n ∇ω φj (ω)2 dω + φj (ω)2 dω ∂Sn−1 +

Sn−1 +

Sn−1 +

par

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   = C1n − Lω φj (ω)φj (ω) dω + 1 Sn−1 +





  φj (ω)2 dω + 1

= C1n j (j + n − 2)  2C1n



 j2 + 1 .



Sn−1 +

En utilisant les bornes supérieurs, établies précédemment, correspondantes aux fonctions (φj )j 1 , et le fait que 1/p + 1/q = 1, on obtient :         2p 1/p     2 1/p 2p−2 φj ω , 0  dω φj ω , 0  dω  max φj ω , 0  · ω ∈∂Sn−1 +

∂Sn−1 +

∂Sn−1 +

n−2  1/p 1 (2C1n )1/p j q j 2 + 1 1/q (n − 2) 21/p 1/p  C (j + 1)(n−2)/q+2/p . (n − 2)1/q 1n  Lorsque j = 0, on a μ0 = 0, ainsi on a ∂Sn−1 |φ0 (ω , 0)|2p dω  C1n . + Dans la démonstration du lemme 3.2, les auteurs ont utilisés le changement de variable k(j )t, ainsi pour nôtre cas le lemme reste vrai lorsqu’on applique le changement de variable (k(j ) + 1)t à la fonction Tj ceci pour chaque j ∈ N, c.-à-d.  1/p     1−1/p−2m Tj (t)2p dt  bp k(j ) + 1 Lj (Dt )Tj (t)Tj (t) dt.



R

R

D’après la relation j (j + n − 2) = k(j )(k(j ) + n − 2) on a bien k(j )  j ceci pour tout j ∈ N. Par conséquent, en utilisant les résultats précédents et l’inégalité de Minkowski, on a pour u ∈ C0∞ (Rn )|Rn :  ∂Rn+

+

  2p  −n+1 f x , 0  x  dx 



1/p

   f1 (r)f2 ω , 0 2p r −1 dr dω

= R+ ∂Sn−1 +





   v t, ω , 0 2p dt dω

=  

1/p

1/p

R ∂Sn−1 + ∞   j =0

  K2n



   Tj (t)φj ω , 0 2p dt dω

R ∂Sn−1 +

1/2p 2

1/2p  ∞    Tj (t) dt 2p dt (j + 1)(n−2)/2q+1/p j =0

R

2

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  K2n bp

1/2  ∞  (j + 1)(n−1)/2q+1/p−m Lj Tj (t)Tj (t) dt j =0

 K3n bp 

R

∞ 

(j + 1)

(n−1)/q+2/p−2m

j =0

 Kn,p

2

∞ 

 Lj Tj (t)Tj (t) dt

j =0 R

  D γ f (x)2 dx

Rn+ |γ |=m



= Kn,p

   D γ u(x)|x|n/2−m 2 dx

Rn+ |γ |=m



= Kn,p Rn+

  cn,p

 αγ |γ |=m

   α   γ! D u(x)2 D γ −α |x|n/2−m 2 dx α!(γ − α)!

  D α u(x)2 dx.

Rn+ |α|m

Avec K2n et K3n sont des constantes qui dépendent de n. Kn,p et cn,p sont des constantes qui dépendent de n et de p. Le passage à la cinquième inégalité est dû fait que la série géométrique  n−3 (j + 1)(n−1)/q+2/p−2m est convergente, car la relation q > 1 > 2m−3 est équivalente à j 0 (n − 1)/q + 2/p − 2m < −1, après on a appliqué le lemme 3.1 et la formule de Green généralisée à la fonction f ∈ C0∞ (Rn )|Rn . Précisemment, on a +

∞  

 Lj (Dt )Tj (t)Tj (t) dt =

j =0 R

(−)m f (x)f (x) dx

Rn+



c Rn+

  D γ f (x)2 dx.

(4.1)

|γ |=m

c est une constante positive qui dépend de n et de m. Il reste à montrer l’inégalité suivante :  Rn+

    D α u(x)2 dx  K(n, m) 0|α|m

Rn+

  D α u(x)2 dx,

(4.2)

|α|=m

avec K(n, m) est une constante qui dépend de n et de m. Pour cela, on utilise une condition suffisante pour la réalisation du théorème d’injection entre Lm (Rn+ ) et C0∞ (Rn )|Rn , où Lm (Rn+ ) est le complété de C0∞ (Rn )|Rn par rapport à la seminorme : +

 uLm (Rn+ ) = Rn+

+

  ∇m u(x)2 dx

1/2

    α  1/2 D u(x)2 = . Rn+ |α|=m

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443

Soit x0 ∈ Rn+ , nous considérons la distribution d’ordre au plus égal à m, T ∈ H0−m (Rn+ )—le dual de l’espace de Sobolev H0m (Rn+ )—ainsi T est une forme linéaire continue dans H0m (Rn+ ), et on définit T comme une combinaison linéaire de distributions de Dirac par  T := Cξ D ξ δx0 , pour ξ ∈ Nn , |ξ |E(m−n/2)

avec D ξ δx0 est la distribution de Dirac d’ordre ξ chargée en x0 , les Cξ sont des constantes qui dépendent de ξ , et E(m − n/2) est la partie entière de m − n/2, on rappelle que n est un entier naturel impair. D’après la définition de T et grâce aux hypothèses (2.4), on a bien D ξ δx0 , uL2 (Rn+ ) = D ξ u(x0 ) = 0 pour |ξ | < m − n/2, c.-à-d. que le support de u est dans Rn+ \{x0 }. Par conséquent, on a T , uL2 (Rn+ ) = 0 et donc le support de T est égal au compact {x0 }. En plus, par définition de T , et par un choix adéquat de Cξ , on a (x − x0 )ζ , ψ − T L2 (Rn+ ) = 0 lorsque |ζ | < m − n/2, avec ζ ∈ Nn et ψ ∈ C0∞ (Rn ). D’où, Lm (Rn+ ) est bien injecté dans C0∞ (Rn )|Rn , avec K(n, m) comme constante de cette injection, ceci est dû le fait que les hy+ pothèses du [24, §15.2.1, Lemma 3], appliquées à T , sont bien vérifiées. Précisemment, et pour nôtre situation, on utilise le [24, Theorem 15.2.4]. D’où pour chaque D α u ∈ C0∞ (Rn )|Rn avec + |α|  m − 1 vérifiant D ξ u(x0 ) = 0 pour |ξ | < m − n/2, on a : 

  2p  −n+1+p(n−2m) u x , 0  x  dx

1/p



   D α u(x)2 dx

 cn,p

Rn+ 0|α|m

∂Rn+



 Cn,m,p Rn+

  D α u(x)2 dx.

2

|α|=m

Le corollaire ci-dessous nous donne la version du lemme 4.1 appliqué à des fonctions infiniment dérivables dans un cube de Rn+ . Corollaire 4.2. Soit Q(ρ) un cube dans Rn , d’arête ρ, tel que ses arêtes soient parallèles aux axes de coordonnées de Rn et Q0 (ρ) = Q(ρ) ∩ ∂Rn+ cube défini dans Rn−1 et d’arête ρ > 0, on note Q+ (ρ) := Q(ρ) ∩ Rn+ . Alors il existe une constante C dépendant de p, n, telle que pour toute fonction u ∈ C ∞ (Q+ (ρ)) satisfaisant :  D α u(x) dx = 0 pour |α|  m − 1, (4.3) Q+ (ρ)

on ait   Q0 (ρ)

  2p  −n+1+p(n−2m) u x , 0  x  dx

1/p

 C

  D α u(x)2 dx,

Q+ (ρ) |α|=m

avec n < 2m, p > 1, et D ξ u(x0 ) = 0 lorsque |ξ | < m − n/2, et ceci quand x0 ∈ Q+ (2ρ), avec ξ ∈ Nn , avec Q(ρ) := {x = (xl )1ln ∈ Rn t.q. |xl | < ρ/2}, ici | · | est la métrique euclidienne définie dans R.

444

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Démonstration. La démonstration découle du lemme 4.1 et de l’inégalité de Poincaré généralisée [8, Chapter 2, Theorem 63]. Les constantes qui figureront dans la démonstration c0n , c1n et c2n dépendent de n et les constantes (cj n )3j 5 dépendent de n et de p. Nous posons      2p  −n+1+p(n−2m) 1/p   u x , 0  x  J u, Q0 (ρ) := dx , Q0 (ρ)

nous prolongeons u comme fonction continue dans Q+ (2ρ) cube d’arête 2ρ, ceci en définissant u1 comme u1 (x) = u(x/2) pour x ∈ Q+ (2ρ), par conséquent on a   2  ρ 2m−2|α| D α u1 (x) dx Q+ (2ρ) |α|m





= 2n

2  ρ 2m−2|α| 2−2|α| D α u(x) dx

Q+ (ρ) |α|m





 c0n

 2 ρ 2m−2|α| D α u(x) dx.

(4.4)

Q+ (ρ) |α|m

Pour appliquer le lemme 4.1, on a besoin d’une fonction régulière à support compact, pour cela on considère la fonction h ∈ C0∞ (Q+ (2ρ)) définie par : ⎧ = 1, pour x ∈ Q+ (ρ), ⎪ ⎨ h(x)  α  −|α| D h(x)  Cα ρ , pour |α|  m, pour x ∈ Q+ (2ρ) \ Q+ (ρ), ⎪ ⎩ h(x) = 0, pour x ∈ Rn+ \ Q+ (2ρ), Cα est une constante supérieur à un et qui dépend de α. Par exemple on peut prendre h(x) = 2 − ρ −1 |x| pour tout x ∈ Q+ (2ρ)\Q+ (ρ) et |x| est la norme euclidienne de x vérifiant ρ  |x|  2ρ. On utilise l’inégalité (4.4), la formule de Leibniz et la définition de h, ceci pour obtenir     2 ρ 2m−2|α| D α h(x)u1 (x)  dx Q+ (2ρ) |α|m





= Q+ (2ρ)



ρ

2    α! β α−β u1 (x) dx D h(x).D  β!(α − β)!

2m−2|α| 

|α|m

βα



 c1n

 2 ρ 2m−2|α| D α u1 (x) dx

Q+ (2ρ) |α|m



 c1n c0n



 2 ρ 2m−2|α| D α u(x) dx.

Q+ (ρ) |α|m

L’inégalité de Poincaré généralisée nous donne :     2 2m−2|α|  α  D u(x) dx  c2n ρ Q+ (ρ) |α|m

  D α u(x)2 dx,

Q+ (ρ) |α|=m

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qui est vraie si  D α u(x) dx = 0,

445

|α|  m − 1.

Q+ (ρ)

Vu que hu1 ∈ C0∞ (Q+ (2ρ)), et vu que D ξ (hu1 )(x0 ) = 0 pour |ξ | < m − n/2, alors par application du lemme 4.1 on a       D α h(x)u1 (x) 2 dx. J hu1 , Q0 (2ρ)  c3n Q+ (2ρ) |α|=m

Ainsi la synthèse des inégalités précédentes nous donne     J u, Q0 (ρ)  J hu1 , Q0 (2ρ)     D α h(x)u1 (x) 2 dx  c3n Q+ (2ρ) |α|=m





 c3n

  2 ρ 2m−2|α| D α h(x)u1 (x)  dx

Q+ (2ρ) |α|m





 c4n

  2 ρ 2m−2|α| D α u1 (x)  dx

Q+ (2ρ) |α|m





 c5n

  2 ρ 2m−2|α| D α u(x)  dx

Q+ (ρ) |α|m



  D α u(x)2 dx.

C

2

Q+ (ρ) |α|=m

5. Démonstration du théorème 2.1 On applique la formule de Green généralisée au système (∗∗) pour u ∈ H0m (Rn+ ) \ {0} fonction propre associé à la valeur propre λ de l’opérateur L : L0 u, uL2 (Rn+ )   = (−1)|α| aαβ (x)D β u(x)D α u(x) dx Rn+ |α|m |β|m



     u x , 0 L0,m u x , 0 dx −

− 



Rn+ |α|m |β|m



=λ Rn+

m−1 

∂Rn+ s=1

∂Rn+

=



   ∂ s u(x , 0) Ls,m u x , 0 dx s ∂xn

(−1)|α| aαβ (x)D β u(x)D α u(x) dx −

  u(x)2 dx +



Rn+



∂Rn+

 2 V (x)u(x) dx.

   2 W x u x , 0  dx

446

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Par conséquent la dernière égalité nous donne : λ=  avec

S , |u(x)|2 dx

Rn+





S=

(−1)|α| aαβ (x)D β u(x)D α u(x) dx

Rn+ |α|m |β|m



 2 V (x)u(x) dx −

− Rn+



   2 W x u x , 0  dx .

∂Rn+

Par application du lemme de Glazman, énoncé dans [15, Chapter 1, Theorems 12, 12 bis], voir aussi [39, §28, Lemma 28.1], qui dit que le nombre des valeurs propres négatives N de l’opérateur L vérifie N = minLL ⊂H0m (Rn+ ) codim LL = minLL ⊂H0m (Rn+ ) dim LL⊥ , le minimum est pris sur tout les sous-espaces vectoriels du domaine de définition de la forme quadratique associée à l’unique opérateur auto-adjoint à savoir L. Par définition on a     LL := u ∈ H0m Rn+ \ {0} t.q. Lu, uL2 (Rn+ )  0 , ici on travaille dans un sous-espace admissible, et grâce à l’hypothèse (2.2) on a      α   D u(x)2 dx LL ⊂ L := u ∈ H0m Rn+ \ {0} t.q. a0  

 2 V (x)u(x) dx +

Rn+



Rn+ |α|=m

    2   W x u x , 0 dx .

∂Rn+

D’où L ⊥ ⊂ LL⊥ , par conséquent on a : N=

min

LL ⊂H0m (Rn+ )

dim LL⊥ 

min

L ⊂H0m (Rn+ )

dim L ⊥ .

Ainsi pour déterminer L on utilise la décomposition : L = L1 ∩ L2 , avec       α 2  2  n m     L1 := u ∈ H0 R+ \ {0} t.q. a0 /2 D u(x) dx  V (x) u(x) dx Rn+ |α|=m

et

 L2 :=

u ∈ H0m



Rn+



 \ {0} t.q. a0 /2

Rn+

       2   D α u(x)2 dx  W x u x , 0 dx .

Rn+ |α|=m

∂Rn+

Donc L ⊥ = L1⊥ + L2⊥ d’où N  N1 + N2 avec N1 = codim L1 et N2 = codim L2 . Ici, évidemment on a utilisé implicitement et grâce aux hypothèses faites sur les potentiels V et W , que 1 définie dans C ∞ (Rn )| n par la forme quadratique Q 0 R+     α      D u(x)2 dx − V (x)u(x)2 dx 1 u(x) := a0 /2 Q Rn+ |α|=m

Rn+

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447

est associée a un unique opérateur auto-adjoint A1 , idem la forme quadratique     α 2      2    Q2 u(x) := a0 /2 D u(x) dx − W x u x , 0  dx Rn+ |α|=m

∂Rn+

1 + Q 2 , définie est a associée à un unique opérateur auto-adjoint A2 , alors on peut associé à Q ∞ n n dans C0 (R )|R+ , un opérateur auto-adjoint à savoir A1 + A2 . En ce qui concerne ces résultats on peut consulter, par exemple, les ouvrages de T. Kato [19] ou de M. Reed and B. Simon [33]. Grâce à l’hypothèse de l’ellipticité (2.2), on voit que N1 coïncide avec le nombre des valeurs propres de l’opérateur L = L0 − V défini dans H0m (Rn+ ) ceci lorsque les conditions au bord sont de Dirichlet. Ainsi Yu. Egorov et V. Kondratiev ont démontré dans [7] que N1 admet la majoration suivante (ici l’ouvert Ω = Rn+ ) :  

q1 2mq −n 1 N1  C1 (n, m) V (x) |x| dx + 1 , q1 > 1, Rn+

avec cnm est une constante qui dépend de n et de m. Pour déterminer N2 on considère Q un cube dans Rn−1 contenant le support de W . On recouvre le cube Q par une réunion finie de cubes Qj de Rn−1 (définis au corollaire 4.2, d’arêtes ρj ) : M 

Q=

Qj .

j =1

Par conséquent on a : 

M     2 W x u x , 0  dx 



j =1 Q

Q

   2 W x u x , 0  dx .

j

En appliquant l’inégalité de Hölder avec des exposants conjugués p > 1, q > 1 on obtient :     2 W x u x , 0  dx Qj



    2 W x |x|s/p u x , 0  |x|−s/p dx

= Qj





 q  s(q−1) x  W x dx

Qj

1/q  

  2p  −s u x , 0  x  dx

1/p ,

(5.1)

Qj

où s = n − 1 − p(n − 2m). Pour chaque cube Qj , on applique l’inégalité du corollaire 4.2 :        2p  (n−2m)p+1−n 1/p  α u x , 0  x  D u(x)2 dx, dx  C0 (n) (5.2) Qj

tel que pour j ∈ N ∩ [1, M] on a :

Q+ j

|α|=m

448

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 D α u(x) dx = 0;

0  |α|  m − 1,

(5.3)

Q+ j

et pour x0j ∈ Q+ j , et pour |ξ | < m − n/2.

D ξ u(x0j ) = 0;

(5.4)

On remarquera que la constante C0 (n) de l’inégalité (5.2) ne dépend pas de ρj . Maintenant on applique le lemme de Rozenblyum, énoncé dans la deuxième section du présent article, ceci en prenant 

 q

 q  s(q−1) x  W x I= dx , f(x) = I −1 W x |x|s(q−1) , Q

I est finie à cause de l’hypothèse faite sur le potentiel W . Ainsi donc en utilisant successivement les inégalités (5.3) et (5.4), puis le lemme de Rozenblyum, avec M  4n ε −1 et bien sûr tout en tenant des hypothèses faites sur les cubes Q+ j pour j ∈ N ∩ [1, M], on a : 

M     2  1/q W x u x , 0  dx  2n I ε C0 (n) j =1

Q

 1/q  2n I ε C1 (n)





 α  D u(x)2 dx

Q+ j

 α  D u(x)2 dx.

Q+

On choisit ε de telle façon qu’on a :  n 1/q C1 (n) = a0 /2. 2 Iε Soit ε −1 = C2 (n)I, avec C1 (n), C2 (n) sont des constantes qui dépendent de n. Déterminons explicitement ceux que signifie la relation (5.3), c.-à-d. pour u ∈ C ∞ (Q+ j (ρj )) on a  D α u(x) dx = 0, 0  |α|  m − 1, pour j ∈ [1, M] ∩ N, Q+ j (ρ) ∞ + vu que hu1 ∈ C0∞ (Q+ j (2ρj )), pour h ∈ C0 (Q (2ρj )) définie dans la preuve du corollaire 4.2,

par exemple de nouveau on prend h(x) = 2 − ρj−1 |x|, et lorsqu’on fait des calculs sur ses dérivées et en utilisant un argument de récurrence sur γ = (γl )1ln ∈ Nn , ces dernières prennent la  (1) (2) forme suivante D γ h(x) = η(2) −η(1) γ c(η(1) ,η(2) ) x η |x|−|η | avec c(η(1) ,η(2) ) est une constante (1)

(2)

qui dépend de η(1) , η(2) , et bien sûr de ρj (η(1) = (ηl ), η(2) = (ηl ))1ln ∈ N2n , la variable (1)

η

(1)

η

(1)

η

(1)

x = (xl )1ln tel que x η := x1 1 x2 2 · · · xn n et u1 (x) = u(x/2), alors pour tout α ∈ Nn tel que |α|  m − 1, on a Q+ (2ρj ) D α (hu1 )(x) dx = 0, car grâce à la formule de Leibniz et le fait −|γ |

que |D γ h(x)|  Cγ ρj

j

on a

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  D (hu1 )(x) dx   cnα



Q+ j (2ρj )

 



α

|α|m−1

449

  D u(x) dx  = 0,

|α|−m  ρj 

α

Q+ j (ρj )

cnα est une constante non nulle et qui dépend de α et de n. On applique la formule de Green successivement à tout les α = (αl )1ln ∈ Nn avec |α|  m − 1 et pour chaque j ∈ [0, M] ∩ N :  D α (h.u1 )(x) dx 0= Q+ j (2ρj )





=

βα

Q+ j (2ρj )

= (−1)



|α|

(−1)−|β|

βα



=

  β(α−β) α! h(x) .u1 (x) dx D β!(α − β)!

d(ι(1) ,ι(2) ) x ι |x|−|ι

(2) |

(1)

.u1 (x) dx

ι(2) −ι(1) β βα

Q+ j (2ρj )





= 2n =



Q+ j (2ρj )



Q+ j (ρj )



α! D β h(x).D α−β u1 (x) dx β!(α − β)!

2|ι

(1) |−|ι(2) |

d(ι(1) ,ι(2) ) y ι |y|−|ι

(2) |

(1)

.u(y) dy

ι(2) −ι(1) β



βα

fα(j ) , u L2 (Q+ (ρ )) . j j

Avec d(ι(1) ,ι(2) ) est une constante qui dépend de (ι(1) , ι(2) ) ∈ N2n , et par définition α! := α1 α2 · · · αn , ainsi dire que u vérifie les conditions (5.3) revient à dire que      (j ) ⊥  (j )  ⊥ u∈ fα fα = , α∈Nn , |α|m−1 1j M

α∈Nn , |α|m−1 1j M

(j )

les (fα )1j M sont des fonctions définies ci-dessus, c.-à-d. elles sont de la forme suivante  + (1) (2) ι(1) −|ι(2) | , avec y = (y ) (1) (2) l 1ln ∈ Qj (ρj ), et p(ι , ι ) ι(2) −ι(1) β, |β||α|m−1 p(ι , ι )y |y| (1) (2) sont des fonctions en ι , ι . Les relations (5.4), signifient que u ∈ ξ ∈Nn , |ξ |




fα(j )

  ⊥

α∈Nn , |α|m−1 1j M

où

 u∈

 α∈Nn , |α|m−1 1j M





∩



ξ ∈Nn |ξ |


fα(j )



+

 ξ ∈Nn |ξ |


ξ

D ξ δx0j

D δx0j





⊥ .

⊥

450

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Par application du lemme de Zorn, que chaque espace vectoriel admet une base, le nombre des conditions portées sur les u ∈ H0m (Rn+ ) qui vérifient Lu, uL2 (Rn+ )  0, est majoré par :   # α ∈ Nn , |α|  m − 1 4n ε −1 + cn knm  C2 (n, m)I + cn knm ,

avec knm = #{ξ ∈ Nn , tel que |ξ | < m − n/2}, et cn est une constante qui dépend de n. Soit λl (L) la l-ième valeur propre négative de L, nous avons       N2 = # l ∈ N, t.q.: λl (L) < 0  codim u ∈ H0m Rn+ , t.q.: Lu, uL2 (Rn+ )  0 c.-à-d.



 q  s(q−1) x  W x dx + cn knm .

N2  C2 (n, m) ∂Rn+

Finalement, pour q > 1 et q1 > 1, 3  n < 2m, et n est un entier naturel impair, le nombre N de valeurs propres négatives du système (∗∗) est majoré par :  

q1 2mq −n 1 V (x) |x| dx + 1 N  C1 (n, m) Rn+



+ C2 (n, m)

 q  (2m−1)q−n+1 x  W x dx + cn knm .

∂Rn+

On observe que le théorème 2.1 s’applique bien pour les sous espaces de Rn de la forme := {x = (xl )1ln ∈ Rn t.q. xk > 0} où k ∈ {1, 2, . . . , n}.

(k) Π+

6. Le cas où n est un entier pair En ce qui concerne la borne supérieur de N correspondant au système (∗∗) pour n  2m avec n un entier naturel pair, on a le théorème suivant Théorème 6.1. Soit n  2m, q > 1, q1 > 1, 0  W ∈ Lq (Rn−1 ), 0  V ∈ Lq1 (Rn+ ) avec V (x) = 0, W (x ) = 0 si |x | > R pour un R > 0. Alors le nombre de valeurs propres négatives du système (∗∗) vérifie l’estimation suivante :    2mq1 −1

q1 2mq −n  1   V (x) |x| 1 + ln |x| dx + 1 N  A1 (n, m) Rn+



+ A2 (n, m)

  2mq−1

 q  (2m−1)q−n+1  x  W x 1 + lnx  dx + cn kn,m ,

∂Rn+

A1 (n, m) et A2 (n, m) sont des constantes qui dépendent de n, m, knm = #{ξ ∈ Nn , tel que |ξ |  m − n/2}, et cn est une constante qui dépend de n. La démonstration de ce théorème est basée sur le lemme suivant

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451

Lemme 6.2. Soit u ∈ H0m (Rn+ ) (ou simplement C0∞ (Rn )|Rn ) telle que +

D u(x0 ) = 0 ξ

quand |ξ |  m − n/2,

x0 ∈ Rn+ ,

ξ = (ξl )1ξl n ∈ Nn ,

(6.1)

et pour x = (r, ω) ∈ Rn+ :  ∂ l u(r, ω)   φj (ω) dω = 0, r=1 ∂r l Sn−1 +

avec (l, j ) ∈ {0, 1, . . . , m − 1} × {0, 1, . . . , m − n/2}, où chaque φj est une fonction propre associée à l’opérateur −|

Sn−1 +

qui correspondant à la

valeur propre −μj vérifiant |μj |  (m − n/2)(m + n/2 − 2). Alors      p−1−2mp 1/p   2p  −n+1+p(n−2m)  u x  x  1 + lnx  dx ∂Rn+



 Cn,m,p

  D α u(x)2 dx,

Rn+ |α|=m

où p > 1, n  2m, n est un entier naturel pair, et Cn,m,p est une constante qui dépend de n, m, p. La démonstration de ce lemme est basée de nouveau sur lemme 3.2 et sur le lemme suivant [7]. Lemme 6.3. Soient p > 1 et y ∈ C0∞ (R) avec y (l) (0) = 0 ceci pour l ∈ N ∩ [0, m − 1]. Alors 1/p       y(t)2p |t|p−1−2mp dt  bp y (2m) (t) dt, R

R

la constante bp est la même que celle du lemme 3.2. Démonstration du lemme 6.2. On suit les téchniques utilisées pour la démonstration du lemme 4.1. Par conséquent de nouveau, en utilisant successivement la fonction auxiliaire f définie par u(x) = f (x)|x|m−n/2 , le changement de variable x = (r = exp(t), ω) ∈ R+ × Sn−1 + , et v(t, ω) = f (exp(t), ω) le membre de gauche de l’inégalité du lemme 6.2 :     2p  −n+1+p(n−2m)    p−1−2mp 1/p u x , 0  x      1 + ln x dx , ∂Rn+

devient  ∂Rn+

     v t, ω , 0 2p 1 + |t| p−1−2mp dt dω

1/p .

 On considère la fonction v(t, ω) = ∞ j =0 Tj (t)φj (ω) et on rappelle les majorations de φj , établies dans la section précédente, c.-à-d. pour j  1, et pour 1/p + 1/q = 1 on a :

452

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  2p φj ω , 0  dω

1/p 

∂Sn−1 +

21/p 1/p C j (n−2)/q+2/p . (n − 2)1/q 1n

(6.2)

Et pour j = 0 on a    2p φ0 ω , 0  dω  C1n .

(6.3)

∂Sn−1 +

Maintenant, vu qu’on travaille avec n pair, alors on a applique le lemme 3.2 à la fonction Tj pour chaque j  m − n/2 + 1 : 1/p    

1−1/p−2m Tj (t)2p dt  bp k(j ) Lj (Dt )Tj (t)Tj (t) dt. R

R

Ceci bien sûr lorsque k(j )  m − n/2 + 1, voir l’énoncé du lemme 3.2. Par conséquent, pour u ∈ C0∞ (Rn )|Rn et grâce à l’inégalité de Minkowski on a : 

+



     v t, ω , 0 2p 1 + |t| p−1−2mp dt dω

1/p

R ∂Sn−1 +





∞   j =0



     Tj (t)φj ω , 0 2p 1 + |t| p−1−2mp dt dω

R ∂Sn−1 +

 m−n/2  



2

j =0

 +2

1/2p 2

     Tj (t)φj ω , 0 2p 1 + |t| p−1−2mp dt dω

1/2p 2

R ∂Sn−1 + +∞ 



j =m−n/2+1

R



     Tj (t)φj ω , 0 2p 1 + |t| p−1−2mp dt dω

∂Sn−1 +

1/2p 2 .

  On montre que chacune des deux sommes précédentes est majorée par Rn |α|=m |D α u(x)|2 dx. + En ce qui concerne la première somme ∞on utilise le lemme 6.3 avec la fonction Tj ceci pour chaque j , car pour u(exp(t), ω) = k=0 Tk (t) exp(t (m − n/2)).φk (ω), et vu que la famille (φl )l∈N est orthonormal dans L2 (Sn−1 + ) alors l’hypothèse du lemme 6.2 devient    ∞ ∂ l u(r, ω)  (l) φ (ω) dω = Tk (0)φk (ω)φj (ω) dω  j r=1 ∂r l Sn−1 +

Sn−1 +

=

∞ 

k=0

(l) Tk (0)

k=0

 φk (ω)φj (ω) dω

Sn−1 +

(l)

= Tj (0) = 0, avec (l, j ) ∈ {0, 1, . . . , m − 1} × {0, 1, . . . , m − n/2}.

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Pour j ∈ {1, . . . , m − n/2} on a      2p 1/p φj ω , 0  dω  ∂Sn−1 +

453

21/p 1/p C2n j (n−2)/q+2/p  Kn,m,p , 1/q (n − 2)

Kn,m,p est une constante qui dépend de n et de p. Et pour j = 0, on a    2p φ0 ω , 0  dω  C1n . ∂Sn−1 +

Par conséquent, on applique le lemme 6.3 aux fonctions Tj ceci lorsque j ∈ N ∩ [0, m − n/2] et on obtient  m−n/2   1/2p 2    2p  p−1−2mp Tj (t)φj ω , 0  1 + |t| dt dω j =0

R ∂Sn−1 +

1/p  m−n/2   2p p−1−2mp  Tj (t) |t|  2Kn,m,p dt j =0 R

 An,m,p  An,m,p

m−n/2 



 (2m)  T (t) dt j

j =0 R ∞ 

Lj (Dt )Tj (t)Tj (t) dt

j =0 R



 An,m,p

  D α u(x)2 dx,

Rn+ |α|=m

An,m,p est une constante qui dépend de n, m, p. En ce qui concerne le passage à la dernière inégalité, comme dans le cas où n < 2m avec n un entier impair, on a utilisé les hypothèses (6.1) et l’inégalité (4.2). Pour l’autre somme, on utilise de nouveau le lemme 3.2, les inégalités (6.2)–(6.3), et les hypothèses (6.1). Ainsi, comme dans le cas où n est un entier naturel impair, on a    1/2p 2 ∞    2p  p−1−2mp Tj (t)φj ω , 0  1 + |t| dt dω j =m+1−n/2

 

R ∂Sn−1 +

∞  j =m+1−n/2

 





   Tj (t)φj ω , 0 2p dt dω

1/2p 2

R ∂Sn−1 +

  D α u(x)2 dx.

Rn+ |α|=m

Il reste à rassembler les bornes supérieurs des deux sommes et on a démontré le lemme 6.2.

2

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Ci-dessous, la version du lemme 6.2 pour les fonctions infiniment dérivables dans un cube de Rn+ . Corollaire 6.4. Soient Q(ρ) un cube dans Rn d’arête ρ et Q0 (ρ) = Q(ρ) ∩ ∂Rn+ . On note Q+ (ρ) := Q(ρ) ∩ Rn+ . Si u ∈ C ∞ (Q+ (ρ)) satisfait  ∂ l (h.u)(r, ω)  (6.4)  φj (ω) dω = 0, r=1 ∂r l Sn−1 +

avec (l, j ) ∈ {0, 1, . . . , m − 1} × {0, 1, . . . , m − n2 } et h ∈ C0∞ (Q+ (2ρ)) (définie dans la démonstration) et si u vérifie  D α u(x) dx = 0 pour |α|  m − 1, (6.5) Q+ (ρ)

D ξ u(x0 ) = 0

lorsque |ξ |  m − n/2, pour x0 ∈ Q+ (2ρ).

(6.6)

Alors il existe une constante C qui dépend de p, n, tel que      p−1−2mp 1/p   2p  −n+1+p(n−2m)    u x , 0  x    1 + ln x dx Q0 (ρ)



C

  D α u(x)2 dx,

Q+ (ρ) |α|=m

avec n  2m, p > 1, n est un entier pair. Démonstration. La démonstration est la même que celle du corollaire 4.2.

2

7. Démonstration du théorème 6.1 Ici, on suit les mêmes techniques utilisées pour la démonstration du théorème 2.1, et pour appliquer le lemme de Glazman on considère le sous espace vectoriel M := {u ∈ H0m (Rn+ ) qui vérifie (6.4)}. Donc le nombre des valeurs propres négatives associées au système (∗∗) est au plus égal à la codimension de N = {u ∈ M t.q. Lu, uL2 (Rn+ )  0}. Puis on obtient nôtre théorème 6.1. Références [1] A.A. Arsen’ev, Singular Potentials and Resonances, Moscow University Press, 1974 (in Russian). [2] J. Avron, Bender–Wu formulas for the Zeeman effect in hydrogen, Ann. Phys. 131 (1981) 73–94. [3] M.Sh. Birman, M.Z. Solomyak, Estimates for the number of negative eigenvalues of the Schrödinger operator and its generalisations, in: Adv. Sov. Math., vol. 7, Amer. Math. Soc., 1991, pp. 1–55. [4] M.Sh. Birman, A. Laptev, M.Z. Solomyak, The negative discrete spectrum of the operator (−)m − αV in L2 (Rd ) for d even and 2m  d, Ark. Mat. 35 (1997) 87–126. [5] B.E.J. Dahlberg, E. Trubowitz, A remark on two dimensional periodic potentials, Comment. Math. Helv. 57 (1982) 130–134. [6] Yu.V. Egorov, V.A. Kondratiev, On an estimate of the number of points in the negative spectrum of a Schrödinger operator, Mat. Sb. 134 (176) (1987) 556–570; English translation: Math. USSR Sb. 62 (1989).

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