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Sur la thermodiffusion dans le système eau-alcool éthylique
Physica XV, no 5--6
J u l i 1949
L E T T R E A LA REDACTION Sur la t h e r m o d i f f u s i o n dans le systAme e a u - a l c o o l 6thylique L o r s d ' u n e d t u d e d e l a t h e r m o d i f f u s i o n d u s y s t ~ m e e a u ~ alcool 6t-hylique, G o r t e r e t ses c o l l a b o r a t e u r s 1) o n t a p p l i q u d mfime tL des s o l u t i o n s c o n c e n t r d e s e n alcool, la t h 6 o r i e p h 6 n o m 6 n o l o g i q u e de d e G r o o t 2), v a l a b l e s e u l e m e n t e n s o l u t i o n dilu6e. R a p p e l o n s q u e d a n s ce d e r n i e r cas, d e G r o o t a 6 t a b l i les r e l a t i o n s suivantes : Vi
---~ I -3t- ( I -- 8--Y cotgh a)
Vs
=
I --
(I -- e--Y cotgh a)
tgh a tgh a
(I)
a v e c v s = N s / N °, v i = N i / N °, N s, N i e t N O d t a n t r e s p e c t i v e m e n t la c o n c e n t r a t i o n e n t i t r e m a s s i q u e d a n s le r d s e r v o i r s u p 6 r i e u r , d a n s le r 6 s e r v o i r inf 6 r i e u r e t le t i t r e initial. Si n o u s d 6 s i g n o n s p a r a l ' 6 c a r t e m e n t des p l a q u e s , o n o b t i e n t p o u r a p e t i t : vi=
I + 7,
vs =
1--7
(2)
vs =
1 ~ a
(3)
pour a grand : v i -~ --
g (~0/~)
1 +
a,
252 ~/D'. T. h
(D'/D) ~.b.a3t
720. ~/. V
avec
~
g (ao/a~) a4
D a n s ces d e r n i ~ r e s r e l a t i o n s : = viscosit6, D ' = c o e f f i c i e n t d e t h e r m o d i f f u s i o n . coefficient de diffusion ordinaire. D d i f f 6 r e n c e d e t e m p d r a t u r e e n t r e les p l a q u e s . T h = h a u t e u r ; b = l a r g e u r des p l a q u e s . V = v o l u m e des r 6 s e r v o i r s ; t = t e m p s d ' e x p d r i e n c e . c o o r d o n n 6 e de l ' a x e p e r p e n d i c u l a i r e a u x p l a q u e s e n u n l t d s a. D a n s le cas des s o l u t i o n s c o n c e n t r 6 e s , o n p e u t a p p l i q u e r la m 6 t h o d e d'approximation lin~aire de Jones et FurryS) qui consiste r e m p l a c e r le p r o d u i t des t i t r e s N ( 1 - - N ) par (1--r--s)N + rs d a n s l ' i n t e r v a l l e r < N < s. C e t t e a p p r o x i m a t i o n e s t d ' a u t a n t m e i l l e u r e q u e r e t s s o n t p l u s voisins. D a n s le cas des m e s u r e s d e G o r t e r, c e t t e a p p r o x i m a t i o n e s t 16git i m e , p u i s q u e les v a r i a t i o n s des t i t r e s s o n t t o u j o u r s i n f 6 r i e u r e s k 0,2 p a r r a p p o r t a u x v a l e u r s initiales. Ainsi, r e t s s o n t s u f f i s a m m e n t r a p p r o c h 6 s pour justifier l'approximation. E n m e n a n t les calculs d ' u n e m a n i ~ r e a n a l o g u e ~ celle d e d e G r o o t, o n o b t i e n t les e x p r e s s i o n s s u i v a n t e s , c o r r e s p o n d a n t r e s p e c t i v e m e n t ~ (1), (2) e t (3): 465 -Physica XV
30
LETTRE A LA R~_DACTION
466
/ ---- 1 # t g h a ' [ 1
rs ) (1--r--s)N 0 ( 1 - - e - - r ' c o t g ha')
+ - -
(4) vs =
1 +
1--tghu'
a v e c a ' = u(1 - - r - - s )
(1--r--s)N
°
(1
--
e--7'
cotgh
a')
e t 7 ' = 7 (1 - - r - - s )
En particulier vi =
1 + NO7, v s = I - - N ° 2 7
v, = 1 + N ° a ,
v, = 1--N°2o~
pourapetit
(5)
pouragrand
(6)
off N o est le t i t r e i n i t i a l d u s e c o n d c o n s t i t u a n t ( = 1 - - N ° ) . Les r e l a t i o n s (5) e t (6) s o n t r e m a r q u a b l e m e n t s i m p l e s ; la seule d i f f 6 r e n c e q u i s u b s i s t e a v e c (2) e t (3) e s t la p r 6 s e n c e d u f a c t e u r c o r r e c t i f N °, q u i se r 6 d u i t A u n clans le cas d ' u n e s o l u t i o n tr&s dilu6e. P o u r t e n i r c o m p t e d e c e f a c t e u r , il s u f f i t de m u l t i p l i e r les v a l e u r s d e D ' / D et d e D ' o b t e n u e s ~ p a r t i r de (2) e t (3) p a r le f a c t e u r I / N 0.
~ 'i IO¢
i!4
r~lfal~ctn-~# af~*tee
~~.
....... r ~ t a g ~e Cet,"
O
q~o
.........Ninllals
F i g . 1.
4,*
N
F i g . 2.
Cela a 6 v i d e m m e n t p o u r effet d ' a u g m e n t e r la v a l e u r a b s o l u e d e D ' / D et de D ' de m a n i ~ r e n o t a b l e : le f a c t e u r c o r r e c t i f v a u t 2 p o u r N o = 0,5. I1 est &aftleurs clair q u e plus u n e s o l u t i o n e s t c o n c e n t r 6 e a u p o i n t de d 6 p a r t , plus il e s t difficile d e p r o v o q u e r e n c o r e u n a c c r o i s s e m e n t d u t i t r e p a r t h e r m o d i f f u s i o n . Les r 4 s u l t a t s s o n t r 6 s u m 6 s s u r les g r a p h i q u e s 1 e t 2, off la c o u r b e e n t r a i t i n t e r r o m p u r e p r 6 s e n t e les r 4 s u l t a t s d e G o r t e r, t a n d i s q u e la c o u r b e e n t r a i t p l e i n figure les v a l e u r s corrig6es p a r l ' a p p r o x i m a t i o n l i n 6 a i r e d e Jones et Furry. I.
PRIGOGINE.
R. BUESS. Universit6 Libre de Bruxelles, Facult6 des Sciences. Re~u ]e 4 mars 1949.
REFERENCES 1) V a n V e l d e n , v a n d e r V o o r t et G o r t e r , P h y s i c a l °, 102, 1946. 2) S. R. d e G r o o t , Th~se (Amsterdam) 1945. 3) J o n e s et F u r r y , Rev. mod. Phys. 18, 151, 1946.
J u l i 1949
L E T T R E A LA REDACTION Sur la t h e r m o d i f f u s i o n dans le systAme e a u - a l c o o l 6thylique L o r s d ' u n e d t u d e d e l a t h e r m o d i f f u s i o n d u s y s t ~ m e e a u ~ alcool 6t-hylique, G o r t e r e t ses c o l l a b o r a t e u r s 1) o n t a p p l i q u d mfime tL des s o l u t i o n s c o n c e n t r d e s e n alcool, la t h 6 o r i e p h 6 n o m 6 n o l o g i q u e de d e G r o o t 2), v a l a b l e s e u l e m e n t e n s o l u t i o n dilu6e. R a p p e l o n s q u e d a n s ce d e r n i e r cas, d e G r o o t a 6 t a b l i les r e l a t i o n s suivantes : Vi
---~ I -3t- ( I -- 8--Y cotgh a)
Vs
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I --
(I -- e--Y cotgh a)
tgh a tgh a
(I)
a v e c v s = N s / N °, v i = N i / N °, N s, N i e t N O d t a n t r e s p e c t i v e m e n t la c o n c e n t r a t i o n e n t i t r e m a s s i q u e d a n s le r d s e r v o i r s u p 6 r i e u r , d a n s le r 6 s e r v o i r inf 6 r i e u r e t le t i t r e initial. Si n o u s d 6 s i g n o n s p a r a l ' 6 c a r t e m e n t des p l a q u e s , o n o b t i e n t p o u r a p e t i t : vi=
I + 7,
vs =
1--7
(2)
vs =
1 ~ a
(3)
pour a grand : v i -~ --
g (~0/~)
1 +
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252 ~/D'. T. h
(D'/D) ~.b.a3t
720. ~/. V
avec
~
g (ao/a~) a4
D a n s ces d e r n i ~ r e s r e l a t i o n s : = viscosit6, D ' = c o e f f i c i e n t d e t h e r m o d i f f u s i o n . coefficient de diffusion ordinaire. D d i f f 6 r e n c e d e t e m p d r a t u r e e n t r e les p l a q u e s . T h = h a u t e u r ; b = l a r g e u r des p l a q u e s . V = v o l u m e des r 6 s e r v o i r s ; t = t e m p s d ' e x p d r i e n c e . c o o r d o n n 6 e de l ' a x e p e r p e n d i c u l a i r e a u x p l a q u e s e n u n l t d s a. D a n s le cas des s o l u t i o n s c o n c e n t r 6 e s , o n p e u t a p p l i q u e r la m 6 t h o d e d'approximation lin~aire de Jones et FurryS) qui consiste r e m p l a c e r le p r o d u i t des t i t r e s N ( 1 - - N ) par (1--r--s)N + rs d a n s l ' i n t e r v a l l e r < N < s. C e t t e a p p r o x i m a t i o n e s t d ' a u t a n t m e i l l e u r e q u e r e t s s o n t p l u s voisins. D a n s le cas des m e s u r e s d e G o r t e r, c e t t e a p p r o x i m a t i o n e s t 16git i m e , p u i s q u e les v a r i a t i o n s des t i t r e s s o n t t o u j o u r s i n f 6 r i e u r e s k 0,2 p a r r a p p o r t a u x v a l e u r s initiales. Ainsi, r e t s s o n t s u f f i s a m m e n t r a p p r o c h 6 s pour justifier l'approximation. E n m e n a n t les calculs d ' u n e m a n i ~ r e a n a l o g u e ~ celle d e d e G r o o t, o n o b t i e n t les e x p r e s s i o n s s u i v a n t e s , c o r r e s p o n d a n t r e s p e c t i v e m e n t ~ (1), (2) e t (3): 465 -Physica XV
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LETTRE A LA R~_DACTION
466
/ ---- 1 # t g h a ' [ 1
rs ) (1--r--s)N 0 ( 1 - - e - - r ' c o t g ha')
+ - -
(4) vs =
1 +
1--tghu'
a v e c a ' = u(1 - - r - - s )
(1--r--s)N
°
(1
--
e--7'
cotgh
a')
e t 7 ' = 7 (1 - - r - - s )
En particulier vi =
1 + NO7, v s = I - - N ° 2 7
v, = 1 + N ° a ,
v, = 1--N°2o~
pourapetit
(5)
pouragrand
(6)
off N o est le t i t r e i n i t i a l d u s e c o n d c o n s t i t u a n t ( = 1 - - N ° ) . Les r e l a t i o n s (5) e t (6) s o n t r e m a r q u a b l e m e n t s i m p l e s ; la seule d i f f 6 r e n c e q u i s u b s i s t e a v e c (2) e t (3) e s t la p r 6 s e n c e d u f a c t e u r c o r r e c t i f N °, q u i se r 6 d u i t A u n clans le cas d ' u n e s o l u t i o n tr&s dilu6e. P o u r t e n i r c o m p t e d e c e f a c t e u r , il s u f f i t de m u l t i p l i e r les v a l e u r s d e D ' / D et d e D ' o b t e n u e s ~ p a r t i r de (2) e t (3) p a r le f a c t e u r I / N 0.
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~~.
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Cela a 6 v i d e m m e n t p o u r effet d ' a u g m e n t e r la v a l e u r a b s o l u e d e D ' / D et de D ' de m a n i ~ r e n o t a b l e : le f a c t e u r c o r r e c t i f v a u t 2 p o u r N o = 0,5. I1 est &aftleurs clair q u e plus u n e s o l u t i o n e s t c o n c e n t r 6 e a u p o i n t de d 6 p a r t , plus il e s t difficile d e p r o v o q u e r e n c o r e u n a c c r o i s s e m e n t d u t i t r e p a r t h e r m o d i f f u s i o n . Les r 4 s u l t a t s s o n t r 6 s u m 6 s s u r les g r a p h i q u e s 1 e t 2, off la c o u r b e e n t r a i t i n t e r r o m p u r e p r 6 s e n t e les r 4 s u l t a t s d e G o r t e r, t a n d i s q u e la c o u r b e e n t r a i t p l e i n figure les v a l e u r s corrig6es p a r l ' a p p r o x i m a t i o n l i n 6 a i r e d e Jones et Furry. I.
PRIGOGINE.
R. BUESS. Universit6 Libre de Bruxelles, Facult6 des Sciences. Re~u ]e 4 mars 1949.
REFERENCES 1) V a n V e l d e n , v a n d e r V o o r t et G o r t e r , P h y s i c a l °, 102, 1946. 2) S. R. d e G r o o t , Th~se (Amsterdam) 1945. 3) J o n e s et F u r r y , Rev. mod. Phys. 18, 151, 1946.