- Email: [email protected]
Sur le calcul du couple et de la resistance pour differents obstacles engendrant des ecoulements plans de stokes dans un canal rectiligne illimite
Mech~ics~ Pergamon
Commtmicatiom,Vol.25,No.5, pp.593-598, 1998 Copyaight© 199SEhevierSeimceLtd Prinu~din~e USA. Allfigh~re~c~ed 0093-6413/95 $19.00 + .00
PII S0093-6413(98)00076-7
SUR LE CALCUL DU COUPLE ET DE LA RESISTANCE POUR DI]FFERENTS OBSTACLES ENGENDRANT DES ECOULEMENTS PLANS DE STOKES DANS UN CANAL RECTILIGNE ILLIMITE Must~pha Hdlou et Fran~ise Moreau National des Sciences Laboratoire de ~omb:ar~que, Thermique et MaU~iaux, Appliqm~es, 20 avenue des Buttes de Coesmes, 35043 Rennes, France
(Received 18 July 1997; acceptedfor print 3 December 1997) Introduction Nous consid~rons des ~:oulements de Stokes plans et permanents ~¢mblis par l'action de cylindres circulaires, anim~ de mouvermmt de rotation ou de translation, dans un canal rectiligne illimit~. Nous ~,tudions pour ~ s rapports de confinement le couple et la r~sistance Iorsqu'un seul cylindre centr~ stir l'axe du canal est e~ mcmvement de rotation ou de translation Le cas du cylindre en translation est trait~ avec une grande precision, paniculi~tement pour les grands rapports de c o n f m ~ n t . Nous compl~tons ainsi les r~hmltats de Bouard et C o u ~ [I] et de Tacldbana et lemoto [2] qui c o n ~ les petits et moyens rapports de confinement. Par aiHeurs, nous pN~entons des valeurs pr6cises de la ~istance et du couple lorsque deux cylindres plac~ sym~riquemer~t par rapport/t l'axe du canal tournem dans ie m~:'me sens ou en sens inverses. Nous mnalysons l'influence de la position des cylindres star ees grandeurs. 1. Formulation math£nnafioue Soit • l'axe du canal rempfi d'un fluide tr~s visqueux de viscosit6 It. Nous choisissons y0, la demi-largeur du canal et V0, la vitesse de la source de mouvement, respectivement comme longueur et vitesse de r~f&ence. Ainsi, les dimensions du couple et de la r~istance subis par un cylindre sont respectivement : l~y0hV0et l~hV0 od h est la hauteur du cylindre. W(x,y) Is fonction de courant satisfait l'~luation biharmonique de Stokes : AA~F=0. Nous distinguons les 6coulements b champs de vitesses antisym~triques ou sym~Tiques par rapport/~ l'axe des x, v~ifiant respectivement : W(x,y) = V(x, .~/), W(x,y) = -W(x,-y). En tenant compte des conditions de s y m ~ i e et des conditions d'adl~ence du fluide aux parois du canal, la r~olufion de l'&luafion de Stokes, par la m~thode de s~aration des variables, conduit aux expressions adimensionnelles de ~F suivantes : pour les champs antisyrn~iques : oo
(C~ e"-~ + D. e-'~) (sin a~ cos a.y - y cos a. sin ~y),
(1)
(C. e"~ + D. e"'~) (y sin & cos a~y - cos a. sin s.y).
(2)
n--I
pour les champs ~jm~;,triques • •
= Re Y . nffi|
593
594
M. HELLOU and F. MOREAU
ofi Re designe la pattie reelle de chaque expression. Les an sont respectivement racines de : sin 2a~ = 2a, et sin 2a, = -2a, avec a, = ~ + i 13,. Un 6coulement quelconque est represent6 par une combinalson lin6aire des s~ies (1) et (2). Les coefficients complexes C, et D, sont 6valu6s par la m6thode des moindres carr6s en etablissant les conditions max limites li6es au choix de la source de mouvement (un cylindre en rotation, un cylindre en translation, deux cylindres en rotation de m~ne sens ou en sens inverses). Les articles [3] [4] et [5] qui traltent de la structure de ces 6coulements expliquent en detail le mode d'utilisation des s6ries (1) et (2) et la technique des moindres cartes employ6e pour la d6termination des coefficients des s6ries. 2. Calcui du couvle darts le cas de cvlindres toumants 2.1 Cvlindre centr6 Un cylindre toumant centr6, de hauteur h et de rayon R est plac~ ~ 6gale distance des parois du canal. II engendre un dcoulement antisym6trique. Nous determinons par int6gration sur la paroi du canal le couple oppos~ b eelui 6prouv~ par l'obstacle. Par sym~trie, il suffit de consid6rer les forces dam le premier quadrant du canal (Fig. 1) . . . . .
~ ~ il ,
-.> f
Y ' v0
dx
y0 ,--b r. . . . . . .
O
FIG. 1 Un 616ment de paroi, de normale .~, de tension ~y, subit la force par unit6 de hauteur df -- ~ydx, avec ~y -- y ~, od ~ est le tenseur des contraintes. On en d6duit le couple 616mentalre adimensionnel • dC = [ O M A d f [ = (p(x, y0)x + ~ u )dx 8y ' ~gu Sur la paroi du canal, on a ~gy (x, y0) = A~P(x,y0) et par cons&iuent le couple total e s t c =4
I2
(p(x, y0) x + A~'(x, y0))dx.
Dans le domaine d'~tude, les coefficients de la ~rie (1), correspondant ~ un ~odement ~tisym~trique, v6rifient • C~ = B~ - i ~ et D, -- 0. I1 vient • NP
A ~ = Re ~
-2a. (B, - i ~ ) e~× cos ~ cos ~y,
n=l NP
p = Re ~
2 ~ (B, - iA~) ea.x cos a~ sin a,y.
nffil NP
et par cons&luent " C = -4 ~
(A, sin 2 L sh 2 ~ + B~(1 - cos 2 L ch 21~)).
(3)
n=|
,Y ,C
2.2 Deux obstacles tournant/t m~me vitc~se. Deux cylindres identiques, anim6s de la m~me vitesse, sont plac6s sym~triquement par rapport A l'axe du canal (Fig. 2). S'ils tournent darts le m~me seas, les champs de vitess¢ sont antisym~iques, sym6triques sinon. L'article [4] concerne l'6tude des caract6ristiques cellulaires de ces ~,xmlements.
2y°
FIG. 2
ECOULEMENT DE STOKES DANS UN CANAL AVEC OBSTACLES
595
Dens ce cas, le couple doit Cttre calcul~ par int~,gration sur les patois des obstacles. Le couple el&nentaire s'dcrit en c o o r d o n n ~ polaires •
d C = R 2 t~Vo
VO)d0,
(4)
En introduisant la vorticitd dans l'expression (4), le couple subi par le cylindre supdrieur pat exemple est donnd p a r
f+.,2
(5)
C = 2 R 2 J-a-/2 (~ - 2-~-) dO
!y iv
2.3 Le ¢ylindre db:entr~
Pour dtudier le cas de l'obstacle de la Fig. 3, nous utilisons la V0 sdrie complete, combinaison lin~dre des s ~ e s (1) et (2). Nous C montrons que darts le calcul du couple, settle intervient la s~rie ......... 2y0 ..... ~.............. antisym~Tique (s~rie (1)) et pat cons~luent, le couple se r&tuit/l io l'expression ( 3 ) . . i , i
!A FIG. 3 3. Calcul de la rdsistance
!V
e
Ddterminons la force exerc~ par I'obstacle en translation le long du canal (Fig. 4) sur le fluide qui la u'ansn~/L son tour aux 2y° patois de ce canal. L'dtude ddtaillb~ de la structure ceUulaire de ........... oct dcoulement symdtrique fait l'objet de l'atticle [3], FIG. 4 Pour une hauteur unit6 : En raison des symdtries du probi&ne, la rdsulmnte des actions de contact est parall~le/~ l'axe des x. Tenant compte de l'adh~ence, la force sur un ddment de patoi du canal s'dcrit : dfx = - ~ dx. Dens le domaine d'dtude, les coefficients de la sc~rie (2) v&ifient : C, = B~ - iA. et D, = 0. La vorticitd s'dcrit : NP
~ = - A ~ F = R e ' ) ''. 2 a . ( B . - i A . ) ea.x sina~sina~y. n=l
L'intdgration conduit/~ l'expression : NP
f=-4 ~
(A. s i n 2 ~ s h 2 ~ + B ~ ( l
-cos2~ch2p~))
a=l
A cette force, due/L l'action de la viscosit6 mr les patois latdraies, s'ajoute la force que le fluide exercerait sur des patois lointaines qui fermeraieut le canal , en fair, il n'y a pas de patois, mais le calcul est identique, puisque, le fluide ~tant pratiquement immobile au loin,tout se passe comme s'ily avait de telles patois. Cette force vaut f~ = - 4po, o6 p0 reprdsente la pression sur la ligne x = 0. La minimisation quadratique nous fournit la valeur de p0. Ainsi la formule de la rdsistance s'&nit : NP
RES = - 4 ~ n=l
(A. sin 2 ~ sh 2 ~ + B. (l - cos 2k. ch 2 ~ ) ) - 4po
(6)
596
M. HELLOU and E MOREAU
Pour les deux oylindres tournant en sens inverse avec des vitesses identiques, la formule (6) perrnet de d6terminer la r,~istance subie par les deux cylindres. Enfin, pour le ¢ylindre tournant db>mtr6, cette formule reste valable puisque settle intervient la s~rie syng,tfique clans le calcul de la r~sistance. 4. Rdsultats Le tableau I donne les valeurs du couple pour diff6rents rapports de confinement RC = R/y0, d'un cylindre toumant. L'effet des parois est illustr6 par les valeurs du rapport Ca du couple avec patois et du couple sans parois C®; ce dernier valant 4xtthRV0. Pour le cylindre de rayon R =0.50 y0 et avec un hombre de parenth6ses NP = 30, l'erreur relative sur le couple est de l'ordre de 10~'. Avec NP = 60, cette erreur est rdduite/~ 10-". La pr&-ision des valeurs indiqu6es est 6videmment excessive pour toute application, mais elle permet de juger de l'eflicacit~ de la m6thode des moindres carr6s. Pour un m~me hombre NP, la pr6cision est excellente pour les moyens et les grands cylindres. Au contraire, le calcul est tr6s di~cile pour les petits rayons R < 0.10 yo. RC-
R
0.10
0.25
0.50
0.75
0.90
0.95
0.99
1.2666
3.30210
7.86032602
17.8219876 38.4046960 61.95819856 161.0260786
1.0079
1.05109
1.25100974
1.89097161 3.39572067 5.18997556 12.94348302
Yo
C
/ahyoVo Ca-
C
C~
TABLEAU I Valeurs du couple adimensiormel et du couple rapport6 au couple sans paroi pour diff6rents rapports de confinement clans le cas du cylindre tournam
Pour le cylindre ddcentr6, nous avons consid6r6 R = 0.25 y0, Yc~ = 0.50 yo et t r o u v e C /,ahy0V° - 2.7549, soit C,= 0.8769. Nous avons 6galement dvalu6 le coefficient Cx -
RES #h----~ood RES designe la r6sistance totale
qui s'exerce sur un hauteur h de fluide et le coefficient de pression motrice Cp = - -P0
stir
~Vo/Yo les segments ABet C D Cx = 1.992 , Cp = -1.1650. On peat comparer le couple .subi par le cylindre de rayon R = 0.25 y0, centr6 darts la demilargeur du canal, avec le couple appfiqu6 au cylindre de rayon R = 0.50 yo, centr6 clans toute la largeur du canal. On observe une valeur plus faible. La r6duction du couple est due au fait que l'axe du canal n'est pas une paroi. Darts le tableau II, nous donnons le couple subi par le cylindre C,~ de la fig. 2, grice/t la formule (5), pour un rayon R = 0.25 y0 et 3 positions des ¢ylindres, d~termim~es par la distance OOI.
Darts la m ~ e comparaison que pour le cylindre d6:entr~ on observe une valeur du couple tr~s 16g6rement plus faible. Par aill~as, le couple augmente lorsque le cylindre eat plus proche de la paroi du canal ou de la figne axiale. Cette croissance est 16g~z~nent plus importante lorsque le d~,placement a lieu vet's ia paroi.
ECOULEMENT DE STOKES DANS UN CANAL AVEC OBSTACLES
597
y~/y,
0.30
0.50
0.65
C C.-C®
1.408009
1.213725
1.460400
TABLEAU H valeurs du couple adimensiormel pour deux cylindres toumant clans le m~ne sens
Lorsque les 2 cylindres toument eta sens oppo~, le tableau HI pr~'nte pour les 5 cas ~Rudi~s : - la valour du coefficient de pression motrice Cp mr les segments OA et BC (Fig. 2) ; - le couple subi par le cylindre ~ ; - le coefficient de r6sistance, force exerc~e par l'ensemble des deux cylindres sur le fluide. Le calcul du couple s'effectue de la m&ne mani~re que dam le probl~me des deux cylindres qui toument clans le m~,me sens, c'est-b-dire par int~gration sur la paroi de l'obstacle. De cette m~thode de calcul du couple pmviennent nos diffieult~s pour obtenir une valeur stable du couple darts le cas limite Y~/y0 =0.25 y,, o6 les deux cylindres se touchent. En effet, d'une part la section circulaire de l'obstacle n'est pas surface de coordonn~es et d'autre part, la precision du calcul, tout/t fait convenable pour tracer les lignes de courant, est tout de m~,meinsuffisante pour obtenir une valeur stable du couple. Nous observons un changement de signe de la r~sistance, lorsque les deux cylindres se rapprochent l'un de 1'autre. YoJy0 Cp -
Po
0.25
0.30
0.35
0.50
0.65
8.775
7.01565
4.34502
- 3.82251
- 4.60280
1.41554
1.19562
1.192365
1.564743
-23.0271
-15.7825
9.6944
13.4281
l,Vo/ Yo CsCx-
C C® RES
- 27.2
hvo
TABLEAU lIl Valeurs du coefficient de pression mortice, du couple et de la r6sistance pour 2 cylindres tournant en sens oppos~
Dans le tableau IV, nous avons rassembl~ les valeurs du coefficient Cx pour 7 rapports de confinement RC d'un cylindre en translation le long du canal (Fig. 4). Nous avons ~nflu6 ces coefficients avec une grande:pN~ision en utilisant la formule (6) : dam tousles ca& sauf RC = 0.10, l'erreur relative commise sur Cx est meilleure clue 10~, eta conservant 30 p ~ de la s~,rie sym~rique (2). Pour RC = 0.10, le calcul plus ddicat, nbz~-ssite 60 p a r ~ pour une pr~'ision de l'ordre de 10"4. En raison de la st~a'et6 de nos r~sultats dans le domaine 0.10 y0 < R < y0 - ~, ils peuvent servir de rff~rence. Nous avons ~lbli une formule permettant de tracer, avec tree erreur relative inf~rienre b 10~, la courbe de variation du coefficient de r~istance, en fonction de H = 1- RC, pour RC >0.50 ; cette formule est compl6mentaire de celle de Tachibana & Iemoto [2], dormant des r~altats precis pour RC < 0.50. Notre formule s'~crit : Cx = (0.025009029 I-F-s + 0.038728699 tP 5 + 0.033716230 H ~5 + 0.019008730 H 5.5 + 0.02800052 H'-r)-'. (7) A partir de cette formule et de la formule compl~umtaire de Tachibana et Iemoto, nous avons trac~ la courbe de variation de Cx eta fonction de H (Fig. 5).Sur cette courbe, sont ~-galement
598
M. HELLOU and E MOREAU
reprc~mtOs les rSsuitats precis obtenus par d'autres chercheurs, c'est/L dire par Bouard et Coutanceau pour s < RC < 0.90 et par B~zine et Bonneau [6] pour RC = 0.50
i
Rc o.lo I 21.9636 JI 99.367607 Cx I 8.951
i o.,,
i
860.10391 10814.582 66174.689 3937053.5 22444803 TABLEAU IV )our un cylindre en translation le long du canal R~sistance po
10a
AC C~F
Notre ~ u a t ion Equation do Tl~ibana & 14mot0
10 7
10 6
O
No= calculs
O
E~=tion de T a c h i b l m a & klmo¢o O~m,'d & Coutlmceau
* ~: O
los ' ~ .
t
, o
86zJm)& 8ocmeau
104 103 10a 10 t:
0,25
I
0.50
i
0,75 H
Variation du coefficient de rdsistanc¢ d'un cylindre en translation dam un canal en fonction de H (H = 1-RC) Conclusion Nous avons d~termin~ le couple d'un cylindre toumant et la r~sistance d'un cylindre en translation clans un canal ~t patois rectilignes illimit~es, obtenant des r ~ l t a t s tr~s prb~is, en particulier lorsque le diam~'e du cylindre se rapproche de la largeur du canal. Pour le cylindre en translation le long du canal, nous tracons une courbe de variation de la r6sistance en fonction du rapport de confinement. Nous proposons ~-galement une formule qui permet de calculer cette r6sistance. Cette formule a pour int~-t de donner des valeurs prb~ises de la r~sistance pour toute la gamme des rapports de confinement. R~rences 1. R. Bouard et M. Coutanceau, Z.A.MP., 37, 673 (1986) 2. M. Tachibana et Y. Iemoto, Fluid Dynamics Research, 2, 185 (1987) 3. J. M. Bourot et F. Moreau, Mech. Res. Comm.,14(3), 187 (1987) 4 F. Moreau et J.M. Bourot, Z.A.M.P., 44, 777 (1993) 5. M. Hellou et M. Coutanceau, J. Fluid Mech., 236, 557 (1992) 6. G. Benzineet D. Bonneau, Acta Mechanica, 41, 197 0981)
I
Commtmicatiom,Vol.25,No.5, pp.593-598, 1998 Copyaight© 199SEhevierSeimceLtd Prinu~din~e USA. Allfigh~re~c~ed 0093-6413/95 $19.00 + .00
PII S0093-6413(98)00076-7
SUR LE CALCUL DU COUPLE ET DE LA RESISTANCE POUR DI]FFERENTS OBSTACLES ENGENDRANT DES ECOULEMENTS PLANS DE STOKES DANS UN CANAL RECTILIGNE ILLIMITE Must~pha Hdlou et Fran~ise Moreau National des Sciences Laboratoire de ~omb:ar~que, Thermique et MaU~iaux, Appliqm~es, 20 avenue des Buttes de Coesmes, 35043 Rennes, France
(Received 18 July 1997; acceptedfor print 3 December 1997) Introduction Nous consid~rons des ~:oulements de Stokes plans et permanents ~¢mblis par l'action de cylindres circulaires, anim~ de mouvermmt de rotation ou de translation, dans un canal rectiligne illimit~. Nous ~,tudions pour ~ s rapports de confinement le couple et la r~sistance Iorsqu'un seul cylindre centr~ stir l'axe du canal est e~ mcmvement de rotation ou de translation Le cas du cylindre en translation est trait~ avec une grande precision, paniculi~tement pour les grands rapports de c o n f m ~ n t . Nous compl~tons ainsi les r~hmltats de Bouard et C o u ~ [I] et de Tacldbana et lemoto [2] qui c o n ~ les petits et moyens rapports de confinement. Par aiHeurs, nous pN~entons des valeurs pr6cises de la ~istance et du couple lorsque deux cylindres plac~ sym~riquemer~t par rapport/t l'axe du canal tournem dans ie m~:'me sens ou en sens inverses. Nous mnalysons l'influence de la position des cylindres star ees grandeurs. 1. Formulation math£nnafioue Soit • l'axe du canal rempfi d'un fluide tr~s visqueux de viscosit6 It. Nous choisissons y0, la demi-largeur du canal et V0, la vitesse de la source de mouvement, respectivement comme longueur et vitesse de r~f&ence. Ainsi, les dimensions du couple et de la r~istance subis par un cylindre sont respectivement : l~y0hV0et l~hV0 od h est la hauteur du cylindre. W(x,y) Is fonction de courant satisfait l'~luation biharmonique de Stokes : AA~F=0. Nous distinguons les 6coulements b champs de vitesses antisym~triques ou sym~Tiques par rapport/~ l'axe des x, v~ifiant respectivement : W(x,y) = V(x, .~/), W(x,y) = -W(x,-y). En tenant compte des conditions de s y m ~ i e et des conditions d'adl~ence du fluide aux parois du canal, la r~olufion de l'&luafion de Stokes, par la m~thode de s~aration des variables, conduit aux expressions adimensionnelles de ~F suivantes : pour les champs antisyrn~iques : oo
(C~ e"-~ + D. e-'~) (sin a~ cos a.y - y cos a. sin ~y),
(1)
(C. e"~ + D. e"'~) (y sin & cos a~y - cos a. sin s.y).
(2)
n--I
pour les champs ~jm~;,triques • •
= Re Y . nffi|
593
594
M. HELLOU and F. MOREAU
ofi Re designe la pattie reelle de chaque expression. Les an sont respectivement racines de : sin 2a~ = 2a, et sin 2a, = -2a, avec a, = ~ + i 13,. Un 6coulement quelconque est represent6 par une combinalson lin6aire des s~ies (1) et (2). Les coefficients complexes C, et D, sont 6valu6s par la m6thode des moindres carr6s en etablissant les conditions max limites li6es au choix de la source de mouvement (un cylindre en rotation, un cylindre en translation, deux cylindres en rotation de m~ne sens ou en sens inverses). Les articles [3] [4] et [5] qui traltent de la structure de ces 6coulements expliquent en detail le mode d'utilisation des s6ries (1) et (2) et la technique des moindres cartes employ6e pour la d6termination des coefficients des s6ries. 2. Calcui du couvle darts le cas de cvlindres toumants 2.1 Cvlindre centr6 Un cylindre toumant centr6, de hauteur h et de rayon R est plac~ ~ 6gale distance des parois du canal. II engendre un dcoulement antisym6trique. Nous determinons par int6gration sur la paroi du canal le couple oppos~ b eelui 6prouv~ par l'obstacle. Par sym~trie, il suffit de consid6rer les forces dam le premier quadrant du canal (Fig. 1) . . . . .
~ ~ il ,
-.> f
Y ' v0
dx
y0 ,--b r. . . . . . .
O
FIG. 1 Un 616ment de paroi, de normale .~, de tension ~y, subit la force par unit6 de hauteur df -- ~ydx, avec ~y -- y ~, od ~ est le tenseur des contraintes. On en d6duit le couple 616mentalre adimensionnel • dC = [ O M A d f [ = (p(x, y0)x + ~ u )dx 8y ' ~gu Sur la paroi du canal, on a ~gy (x, y0) = A~P(x,y0) et par cons&iuent le couple total e s t c =4
I2
(p(x, y0) x + A~'(x, y0))dx.
Dans le domaine d'~tude, les coefficients de la ~rie (1), correspondant ~ un ~odement ~tisym~trique, v6rifient • C~ = B~ - i ~ et D, -- 0. I1 vient • NP
A ~ = Re ~
-2a. (B, - i ~ ) e~× cos ~ cos ~y,
n=l NP
p = Re ~
2 ~ (B, - iA~) ea.x cos a~ sin a,y.
nffil NP
et par cons&luent " C = -4 ~
(A, sin 2 L sh 2 ~ + B~(1 - cos 2 L ch 21~)).
(3)
n=|
,Y ,C
2.2 Deux obstacles tournant/t m~me vitc~se. Deux cylindres identiques, anim6s de la m~me vitesse, sont plac6s sym~triquement par rapport A l'axe du canal (Fig. 2). S'ils tournent darts le m~me seas, les champs de vitess¢ sont antisym~iques, sym6triques sinon. L'article [4] concerne l'6tude des caract6ristiques cellulaires de ces ~,xmlements.
2y°
FIG. 2
ECOULEMENT DE STOKES DANS UN CANAL AVEC OBSTACLES
595
Dens ce cas, le couple doit Cttre calcul~ par int~,gration sur les patois des obstacles. Le couple el&nentaire s'dcrit en c o o r d o n n ~ polaires •
d C = R 2 t~Vo
VO)d0,
(4)
En introduisant la vorticitd dans l'expression (4), le couple subi par le cylindre supdrieur pat exemple est donnd p a r
f+.,2
(5)
C = 2 R 2 J-a-/2 (~ - 2-~-) dO
!y iv
2.3 Le ¢ylindre db:entr~
Pour dtudier le cas de l'obstacle de la Fig. 3, nous utilisons la V0 sdrie complete, combinaison lin~dre des s ~ e s (1) et (2). Nous C montrons que darts le calcul du couple, settle intervient la s~rie ......... 2y0 ..... ~.............. antisym~Tique (s~rie (1)) et pat cons~luent, le couple se r&tuit/l io l'expression ( 3 ) . . i , i
!A FIG. 3 3. Calcul de la rdsistance
!V
e
Ddterminons la force exerc~ par I'obstacle en translation le long du canal (Fig. 4) sur le fluide qui la u'ansn~/L son tour aux 2y° patois de ce canal. L'dtude ddtaillb~ de la structure ceUulaire de ........... oct dcoulement symdtrique fait l'objet de l'atticle [3], FIG. 4 Pour une hauteur unit6 : En raison des symdtries du probi&ne, la rdsulmnte des actions de contact est parall~le/~ l'axe des x. Tenant compte de l'adh~ence, la force sur un ddment de patoi du canal s'dcrit : dfx = - ~ dx. Dens le domaine d'dtude, les coefficients de la sc~rie (2) v&ifient : C, = B~ - iA. et D, = 0. La vorticitd s'dcrit : NP
~ = - A ~ F = R e ' ) ''. 2 a . ( B . - i A . ) ea.x sina~sina~y. n=l
L'intdgration conduit/~ l'expression : NP
f=-4 ~
(A. s i n 2 ~ s h 2 ~ + B ~ ( l
-cos2~ch2p~))
a=l
A cette force, due/L l'action de la viscosit6 mr les patois latdraies, s'ajoute la force que le fluide exercerait sur des patois lointaines qui fermeraieut le canal , en fair, il n'y a pas de patois, mais le calcul est identique, puisque, le fluide ~tant pratiquement immobile au loin,tout se passe comme s'ily avait de telles patois. Cette force vaut f~ = - 4po, o6 p0 reprdsente la pression sur la ligne x = 0. La minimisation quadratique nous fournit la valeur de p0. Ainsi la formule de la rdsistance s'&nit : NP
RES = - 4 ~ n=l
(A. sin 2 ~ sh 2 ~ + B. (l - cos 2k. ch 2 ~ ) ) - 4po
(6)
596
M. HELLOU and E MOREAU
Pour les deux oylindres tournant en sens inverse avec des vitesses identiques, la formule (6) perrnet de d6terminer la r,~istance subie par les deux cylindres. Enfin, pour le ¢ylindre tournant db>mtr6, cette formule reste valable puisque settle intervient la s~rie syng,tfique clans le calcul de la r~sistance. 4. Rdsultats Le tableau I donne les valeurs du couple pour diff6rents rapports de confinement RC = R/y0, d'un cylindre toumant. L'effet des parois est illustr6 par les valeurs du rapport Ca du couple avec patois et du couple sans parois C®; ce dernier valant 4xtthRV0. Pour le cylindre de rayon R =0.50 y0 et avec un hombre de parenth6ses NP = 30, l'erreur relative sur le couple est de l'ordre de 10~'. Avec NP = 60, cette erreur est rdduite/~ 10-". La pr&-ision des valeurs indiqu6es est 6videmment excessive pour toute application, mais elle permet de juger de l'eflicacit~ de la m6thode des moindres carr6s. Pour un m~me hombre NP, la pr6cision est excellente pour les moyens et les grands cylindres. Au contraire, le calcul est tr6s di~cile pour les petits rayons R < 0.10 yo. RC-
R
0.10
0.25
0.50
0.75
0.90
0.95
0.99
1.2666
3.30210
7.86032602
17.8219876 38.4046960 61.95819856 161.0260786
1.0079
1.05109
1.25100974
1.89097161 3.39572067 5.18997556 12.94348302
Yo
C
/ahyoVo Ca-
C
C~
TABLEAU I Valeurs du couple adimensiormel et du couple rapport6 au couple sans paroi pour diff6rents rapports de confinement clans le cas du cylindre tournam
Pour le cylindre ddcentr6, nous avons consid6r6 R = 0.25 y0, Yc~ = 0.50 yo et t r o u v e C /,ahy0V° - 2.7549, soit C,= 0.8769. Nous avons 6galement dvalu6 le coefficient Cx -
RES #h----~ood RES designe la r6sistance totale
qui s'exerce sur un hauteur h de fluide et le coefficient de pression motrice Cp = - -P0
stir
~Vo/Yo les segments ABet C D Cx = 1.992 , Cp = -1.1650. On peat comparer le couple .subi par le cylindre de rayon R = 0.25 y0, centr6 darts la demilargeur du canal, avec le couple appfiqu6 au cylindre de rayon R = 0.50 yo, centr6 clans toute la largeur du canal. On observe une valeur plus faible. La r6duction du couple est due au fait que l'axe du canal n'est pas une paroi. Darts le tableau II, nous donnons le couple subi par le cylindre C,~ de la fig. 2, grice/t la formule (5), pour un rayon R = 0.25 y0 et 3 positions des ¢ylindres, d~termim~es par la distance OOI.
Darts la m ~ e comparaison que pour le cylindre d6:entr~ on observe une valeur du couple tr~s 16g6rement plus faible. Par aill~as, le couple augmente lorsque le cylindre eat plus proche de la paroi du canal ou de la figne axiale. Cette croissance est 16g~z~nent plus importante lorsque le d~,placement a lieu vet's ia paroi.
ECOULEMENT DE STOKES DANS UN CANAL AVEC OBSTACLES
597
y~/y,
0.30
0.50
0.65
C C.-C®
1.408009
1.213725
1.460400
TABLEAU H valeurs du couple adimensiormel pour deux cylindres toumant clans le m~ne sens
Lorsque les 2 cylindres toument eta sens oppo~, le tableau HI pr~'nte pour les 5 cas ~Rudi~s : - la valour du coefficient de pression motrice Cp mr les segments OA et BC (Fig. 2) ; - le couple subi par le cylindre ~ ; - le coefficient de r6sistance, force exerc~e par l'ensemble des deux cylindres sur le fluide. Le calcul du couple s'effectue de la m&ne mani~re que dam le probl~me des deux cylindres qui toument clans le m~,me sens, c'est-b-dire par int~gration sur la paroi de l'obstacle. De cette m~thode de calcul du couple pmviennent nos diffieult~s pour obtenir une valeur stable du couple darts le cas limite Y~/y0 =0.25 y,, o6 les deux cylindres se touchent. En effet, d'une part la section circulaire de l'obstacle n'est pas surface de coordonn~es et d'autre part, la precision du calcul, tout/t fait convenable pour tracer les lignes de courant, est tout de m~,meinsuffisante pour obtenir une valeur stable du couple. Nous observons un changement de signe de la r~sistance, lorsque les deux cylindres se rapprochent l'un de 1'autre. YoJy0 Cp -
Po
0.25
0.30
0.35
0.50
0.65
8.775
7.01565
4.34502
- 3.82251
- 4.60280
1.41554
1.19562
1.192365
1.564743
-23.0271
-15.7825
9.6944
13.4281
l,Vo/ Yo CsCx-
C C® RES
- 27.2
hvo
TABLEAU lIl Valeurs du coefficient de pression mortice, du couple et de la r6sistance pour 2 cylindres tournant en sens oppos~
Dans le tableau IV, nous avons rassembl~ les valeurs du coefficient Cx pour 7 rapports de confinement RC d'un cylindre en translation le long du canal (Fig. 4). Nous avons ~nflu6 ces coefficients avec une grande:pN~ision en utilisant la formule (6) : dam tousles ca& sauf RC = 0.10, l'erreur relative commise sur Cx est meilleure clue 10~, eta conservant 30 p ~ de la s~,rie sym~rique (2). Pour RC = 0.10, le calcul plus ddicat, nbz~-ssite 60 p a r ~ pour une pr~'ision de l'ordre de 10"4. En raison de la st~a'et6 de nos r~sultats dans le domaine 0.10 y0 < R < y0 - ~, ils peuvent servir de rff~rence. Nous avons ~lbli une formule permettant de tracer, avec tree erreur relative inf~rienre b 10~, la courbe de variation du coefficient de r~istance, en fonction de H = 1- RC, pour RC >0.50 ; cette formule est compl6mentaire de celle de Tachibana & Iemoto [2], dormant des r~altats precis pour RC < 0.50. Notre formule s'~crit : Cx = (0.025009029 I-F-s + 0.038728699 tP 5 + 0.033716230 H ~5 + 0.019008730 H 5.5 + 0.02800052 H'-r)-'. (7) A partir de cette formule et de la formule compl~umtaire de Tachibana et Iemoto, nous avons trac~ la courbe de variation de Cx eta fonction de H (Fig. 5).Sur cette courbe, sont ~-galement
598
M. HELLOU and E MOREAU
reprc~mtOs les rSsuitats precis obtenus par d'autres chercheurs, c'est/L dire par Bouard et Coutanceau pour s < RC < 0.90 et par B~zine et Bonneau [6] pour RC = 0.50
i
Rc o.lo I 21.9636 JI 99.367607 Cx I 8.951
i o.,,
i
860.10391 10814.582 66174.689 3937053.5 22444803 TABLEAU IV )our un cylindre en translation le long du canal R~sistance po
10a
AC C~F
Notre ~ u a t ion Equation do Tl~ibana & 14mot0
10 7
10 6
O
No= calculs
O
E~=tion de T a c h i b l m a & klmo¢o O~m,'d & Coutlmceau
* ~: O
los ' ~ .
t
, o
86zJm)& 8ocmeau
104 103 10a 10 t:
0,25
I
0.50
i
0,75 H
Variation du coefficient de rdsistanc¢ d'un cylindre en translation dam un canal en fonction de H (H = 1-RC) Conclusion Nous avons d~termin~ le couple d'un cylindre toumant et la r~sistance d'un cylindre en translation clans un canal ~t patois rectilignes illimit~es, obtenant des r ~ l t a t s tr~s prb~is, en particulier lorsque le diam~'e du cylindre se rapproche de la largeur du canal. Pour le cylindre en translation le long du canal, nous tracons une courbe de variation de la r6sistance en fonction du rapport de confinement. Nous proposons ~-galement une formule qui permet de calculer cette r6sistance. Cette formule a pour int~-t de donner des valeurs prb~ises de la r~sistance pour toute la gamme des rapports de confinement. R~rences 1. R. Bouard et M. Coutanceau, Z.A.MP., 37, 673 (1986) 2. M. Tachibana et Y. Iemoto, Fluid Dynamics Research, 2, 185 (1987) 3. J. M. Bourot et F. Moreau, Mech. Res. Comm.,14(3), 187 (1987) 4 F. Moreau et J.M. Bourot, Z.A.M.P., 44, 777 (1993) 5. M. Hellou et M. Coutanceau, J. Fluid Mech., 236, 557 (1992) 6. G. Benzineet D. Bonneau, Acta Mechanica, 41, 197 0981)
I