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Un calcul symbolique pour des opérateurs pseudo-différentiels engendrant des semi-groupes de Feller
C. R. Acad. Sci. ProbabilitCs/Probability
Paris,
t. 325, Shie Theory
I, p. 1121-l
124,
1997
Un calcul symbolique pour des ophrateurs pseudo-diffhrentiels engendrant des semi-groupes de Feller Walter
HOH
Fakullt5t
fiir
R&urn&
Nlathrmatik,
Universitgt
Postfach
100131,
D-33501
Bielefeld,
Germany.
Nous introduisonsun calcul pseudo-diffkrentieladapt.6aux gCnCrateurs de processus de Markov. Employantce calcul, on trouve uneclassede g&nCrateurs de semi-groupes de Feller. A symbolic generating
Abstract.
Bielefeld,
culculus Feller
for
pseudo-differential
operators
semigroups
We introduce a pseudo-dlferential calculus which is convenient for generators of Markov processes. Using this calculus, we determine a class of generators of Feller semigroups.
1. Introduction
Un optrateur pseudo-diff&entiel sur W” est un opkrateur ayant la repr&entation p(x> D)u(z)
=
e+~~)p(z: <) . ii(<) lx<.
IL E C~(W),
oti ii est la transformee de Fourier de ‘Uet @ = (an)-“d<. La fonction p(z, [) determine 1’opCrateur de faGon unique. et s’appelle le symbole de l’ope’rateur p(s, D). La classela plus connue de symboles est ‘la classe S;ll? de HGrmander. Elle est composCedes fonctions C” p : IF!” x R” + 6 satisfaisant : (1)
oti m E R est l’ordre du symbole et 0 5 6, Q 5 1. Les opCrateurs pseudo-diffkrentiels sont un outi. connu en thCorie des equations aux d&i&es partielles. Ceci repose avant tout sur le fait que les opCrationsau niveau des opCrateurs,comme la composition, ont un tquivalent au niveau des symboles, sous forme d’opCrations algebriques. Ceci est rCalisCpar une somme asymptotique, c’est-g-dire par une approximation par une s&e de symboles d’ordres dCcroissants.Pour cela, il est en particulier Note
prksentke par Paul
0764-4442/97/0325
MALLIAVIN.
I 12 I 0 Acadbmie
des ScienceMElsevier.
Paris
1121
W. Hoh
indispensable que les symboles aient la propriCt6 suivante : lors de la dCrivation en <, la puissance dans (1) decroit, et par conskquent, l’ordre du symbole. D’autre part, il est connu depuis les travaux de Ph. Courrkge (voir [I]) que les opkrateurs pseudodiffkrentiels rendent possible une description des g&&ateurs de processus de Markov, parce que ceux-ci satisfont I& principe de maximum positif. Courr&ge a caract&isC les opCrateurs de ce type comme les opCrateurspseudo-differentiels -p(:r; D) ayant un symbole tel que XCpour toui :z: E R” fix& la fonction < ++ II(X> <) est continue et d&inie-dgative >>.Nous les appelonssymbolesd@nis-n&utifs. Pour un symbole indkpendant de .r. on obtient notamment une correspondance biunivoque entre les fonctions dkfinies-nkgatives continues et les g&&ateurs de processusde L&y. Or, les fonctions dCfinies-nkgatives en g&&al ne sont pas diffkrentiables, et m&me lorsqu’elles le sont, les symboles dkfinis-nkgatifs ne vCrifient pas (1) en g&&al. C’est pourquoi le calcul ordinaire d’operateurs pseudo-diffkrentiels n’est pas applicable dans cette situation. Le but de cette Note est de p&enter un calcul adapt6 SIce cas particulier. Tous les r&ultats sont dCmontrCs dans [3].
2. Fonctions
dkfinies-nkgatives
avec mesures de L&y
Nous appelonsd&jinie-nkgative une fonction ,$I : R’” -
A supports
born&
C qui satisfait la condition C:l”,=,($(<‘)
+
+([J) - +(<’ - [j)) c;cj > 0, quels que soient les points cl. . , <“’ E R’” et les constantescomplexes cl.. . ~cI,,. Dans ce qui suit, nous ne consid&ons que des fonctions dCfinies-negatives SIvaleurs dans R. Dans ce cas, d’aprks la formule de L&y-Khinchin, toute fonction dCfinie-negative est de la forme (2)
,J;(<) = c + q(E) + s,,z,,,,il
- cos(9, E))4~~Y),
oti c > 0, y est une forme quadratique non-nigative et LLest la mesure de L&y, c’est-&dire une mesure de Bore1 sym&ique sur R” \ (0) satisfaisant B Ja,L,(oI &/~(dy) < ~8. On a le resultat important suivant, qui rappelle le comportement des symboles dans ( I). PROPOSITION 1 (voir [3]). - Soit 1/, : R” + R dkjinie-nkgative et continue uvec la reprksentation (2) telle que le support de la mesure de L&y p soit born&. Alors $ est une jhction C” et on a, pour (Y E N;t :
Un symbole difini-negatif continu p(z, <) a pour chaque :L’ une dCcomposition (2). Pour Ctablir un calcul symbolique pour cette sorte de symboles, en vertu de la proposition I, il est souhaitable de supposer que les mesures de LCvy respectives soient B supports born&. Cela correspond B l’hypothese usuelle qu’un processusde Markov engendr6 par -JI(:c, D) n’a que des saulsde grandeur born6e. L’idCe gCnCraleest la suivante : Comme fonction de rkf&ence, nous fixons une fonction definie-nigative continue IL’ : IF!” + R dont la mesure de LCvy est de support borne. Nous posons A(<) = (1+ u”(E))“2 et Q(k) = k A 2.
1122
Calcul
symbolique
pour
des ophrateurs
pseudo-diffhrentiels
Nous definirons des classes de symboles au moyen de cette fonction n2, ou, ce qui revient au m&me, au moyen de X. Pour cela nous considerons un symbole defini-negatif continu p(:c, [) dont les mesures de L&y ont leur support dans un certain voisinage borne de I’origine. Si ~~(z,<) est uniformement borne par u*(E), c’est-a-dire si
la proposition
1 implique la;p(xz,~)I
(4)
5 C,Xz--u(‘~r’)(~),
(Y E fw;,
avec une constante c,, independante de 2. Nous supposerons que les derivees C):!p(.r., <) satisfont les memes estimations. et nous definissons done, pour un ordre 711 E R quelconque, une classede symboles de la man&e suivante : ST,’ est I’ensemble de toutes les fonctions C” p : W” x R” - C telles que /pfp(:z:;
(5)
()I 5 c,,;,x”~-@(‘~~‘)(~)~
a, p E fw;.
Alors dans .Sz,’, se trouvent des symboles definis-negatifs typiques ~I(x, <) et le processusde Levy associe a a,‘(<) jouera, pour un processusde Markov engendre par -JJ(J:. D), un role analogue a celuj joue par le mouvement brownien pour les processusde diffusion. De plus, on note ,I;“” la classe de toutes fonctions C? satisfaisant
ldp$&L [)I < cru~,XrrL(<). a,[) E rq. Notons que la classe Srl’ contient la classe Sy,‘. Si on compare avec les symboles de classe de Hormander, la fonction poids (1 + 1<12)1/2dans (1) est rempla&e par la fonction plus g&i&ale X(c) dans (5). En outre, la puissance 77~ - ~(]cl]) depend de l’ordre /(?I d’une maniere plus g&&ale. De telle:s classesde symboles avec des fonctions poids g&n&ales ont et6 considereespar H. Kumano-go (voir [4]) et M. Nagase (voir [5]). Bien que X ne remplisse pas leurs conditions en general, les demonstrations dans [3] sont cependant baseessur les memes idees.
4. Calcul
symbolique
11 est tout d’abord clair que (Sy,X)TrlEn et (S;l”2”),,LEn constituent des algebres de symboles au senshabituel. En particulier, le produit de deux symboles est un symbole dont l’ordre est la somme des ordres individuels. De plus, il est facile de voir que ?, E ,;I,” definit un operateur continu p(x,D) : S(FP) f S(W’“). Pour la suite, il est necessairede pouvoir etablir la propriete d’algebre Cgalement pour les operateurs comme dans le cas classique. rn~+rrrJ.X TH~ORBME2 (voir [3]). - Soient pl E S:‘,‘, p2 E Si”,’ et p E S,!,“,“. I1 exisfe alors p, E S, et p” E S;l”” tels que p,(:c, D) = $71(x,19) 0 ;02(:c,D) et p*(3., D) = (p(:I;: D))*. Utilisant la dualite de S(W) et S’(WTL), l’adjoint p*(.[;,D) permet d’etendre X)(X>D) en un operateur de 2T’(R”) dans S’(W), et il est maintenant possible d’obtenir une interpretation naturelle de I’ordre de l’operateur. Si nous introduisons l’echelle suivante d’espaces de Sobolev HS.X(R87L) = {U E ,‘(I?‘) theoreme suivant :
: ]\uII,,~ < cc}, s 6 R, oil IIu~~~,~= (JR,>X2,~(E)lil(E)12L1~)1’2.on a le
+ THEOREME 3 (voir [3]). - Soitp E ST;““. Alorspour tout s E IR, l’ope’ruteurp(z, D) : Hd+7n’X(R7’) HSxX(Rn) est continu. 1123
W. Hoh
Afin d’obtenir un developpement de symbole comme la somme asymptotique pour les symboles de Hijrmander, considkrons les classesST,‘, Nous ktudions le dkveloppement des symboles de la composition et de l’adjoint. TH~OR&ME 4 (v&r [3]). - Soient pl E Sy”“, p2 E ST2.’ et p E ST’“. Alnrs, pour tout N E N, le symbole p, de la composition p<.(x, D) = pl(z, D) 0 1)2(x, D) et le synbole p* de l’adjoint p*(x, D) = (p(z, D))* satisfont &
5. GCnCrateurs
de semi-groupes
de Feller
Soit p E Sf>” un symbole elliptique, c’est-h-dire un symbole pour lequel il existe 21’> 0 tel que P(:c?E) 2 w1)2? avec / 0 et c > 0 tels que
pour 111suffisamment grand, alors nous avons Hs,x(WT’) 4 Co(Rn) pour s > &, oti C,(W) dksigne I’espace des fonctions continues qui s’annulent g l’infini. Nous avons done trouvC des solutions ‘IL E Co(W) de (p(z, D) + 7)~ = f pour tout f appartenant 3 un espace dense dans C,J(W). En outre, pour les symboles definis-nkgatifs, -p(:c; D) satisfait le principe de maximum positif selon le rksultat de Courrkge. Ainsi, d’aprks le thkorkme de Hille-Yosida (voir [2]), nous en dkduisons le th&orkme suivant : TH~OR~ME 5 (voir [3]). - Soit X une,fonction poids qui satkfuit (6) et soit p un symbole dkjini-nkggatif elliptique duns S:‘“. Alors -p(xc, D) s’e’tenden un gknne’ruteurd’un semi-groupe de Feller, c ‘est-&-dire en un semi-groupefortement continu de contractions positives dans 1‘espuce C,( R” ).
Note remisele 15 aoGt 1997, acceptkele 24 septembre1997.
RCfikences bibliographiques au principe du [I] Courrkge Ph., 196366. Sur la forme intCgro-diff&entielle des opCrateurs de CT dans C satisfaisant maximum, S&L Thhorie du Potmfiel, 38 p. [Z] Ethier S. N. et Kurtz Th. G., 1986. Markov ~KKKS.XL% characreri,-utim and conver~~zce. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, John Wiley, New York. Chicester. Brisbane, Toronto. Singapore. [3] Hoh W. A symbolic calculus for pseudodifferential operators generating Feller semigroups. Soumis pour publication. [4] Kumano-go H., 1981. Psrudodiferentiul operarors. M.I.T., Press. [5] Nagase M., 1972. On the algebra of a class of pseudo-differential operators and the Cauchy problem for parabolic equations, Mark Jup.. 17. no 2, p. 147-172.
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Paris,
t. 325, Shie Theory
I, p. 1121-l
124,
1997
Un calcul symbolique pour des ophrateurs pseudo-diffhrentiels engendrant des semi-groupes de Feller Walter
HOH
Fakullt5t
fiir
R&urn&
Nlathrmatik,
Universitgt
Postfach
100131,
D-33501
Bielefeld,
Germany.
Nous introduisonsun calcul pseudo-diffkrentieladapt.6aux gCnCrateurs de processus de Markov. Employantce calcul, on trouve uneclassede g&nCrateurs de semi-groupes de Feller. A symbolic generating
Abstract.
Bielefeld,
culculus Feller
for
pseudo-differential
operators
semigroups
We introduce a pseudo-dlferential calculus which is convenient for generators of Markov processes. Using this calculus, we determine a class of generators of Feller semigroups.
1. Introduction
Un optrateur pseudo-diff&entiel sur W” est un opkrateur ayant la repr&entation p(x> D)u(z)
=
e+~~)p(z: <) . ii(<) lx<.
IL E C~(W),
oti ii est la transformee de Fourier de ‘Uet @ = (an)-“d<. La fonction p(z, [) determine 1’opCrateur de faGon unique. et s’appelle le symbole de l’ope’rateur p(s, D). La classela plus connue de symboles est ‘la classe S;ll? de HGrmander. Elle est composCedes fonctions C” p : IF!” x R” + 6 satisfaisant : (1)
oti m E R est l’ordre du symbole et 0 5 6, Q 5 1. Les opCrateurs pseudo-diffkrentiels sont un outi. connu en thCorie des equations aux d&i&es partielles. Ceci repose avant tout sur le fait que les opCrationsau niveau des opCrateurs,comme la composition, ont un tquivalent au niveau des symboles, sous forme d’opCrations algebriques. Ceci est rCalisCpar une somme asymptotique, c’est-g-dire par une approximation par une s&e de symboles d’ordres dCcroissants.Pour cela, il est en particulier Note
prksentke par Paul
0764-4442/97/0325
MALLIAVIN.
I 12 I 0 Acadbmie
des ScienceMElsevier.
Paris
1121
W. Hoh
indispensable que les symboles aient la propriCt6 suivante : lors de la dCrivation en <, la puissance dans (1) decroit, et par conskquent, l’ordre du symbole. D’autre part, il est connu depuis les travaux de Ph. Courrkge (voir [I]) que les opkrateurs pseudodiffkrentiels rendent possible une description des g&&ateurs de processus de Markov, parce que ceux-ci satisfont I& principe de maximum positif. Courr&ge a caract&isC les opCrateurs de ce type comme les opCrateurspseudo-differentiels -p(:r; D) ayant un symbole tel que XCpour toui :z: E R” fix& la fonction < ++ II(X> <) est continue et d&inie-dgative >>.Nous les appelonssymbolesd@nis-n&utifs. Pour un symbole indkpendant de .r. on obtient notamment une correspondance biunivoque entre les fonctions dkfinies-nkgatives continues et les g&&ateurs de processusde L&y. Or, les fonctions dCfinies-nkgatives en g&&al ne sont pas diffkrentiables, et m&me lorsqu’elles le sont, les symboles dkfinis-nkgatifs ne vCrifient pas (1) en g&&al. C’est pourquoi le calcul ordinaire d’operateurs pseudo-diffkrentiels n’est pas applicable dans cette situation. Le but de cette Note est de p&enter un calcul adapt6 SIce cas particulier. Tous les r&ultats sont dCmontrCs dans [3].
2. Fonctions
dkfinies-nkgatives
avec mesures de L&y
Nous appelonsd&jinie-nkgative une fonction ,$I : R’” -
A supports
born&
C qui satisfait la condition C:l”,=,($(<‘)
+
+([J) - +(<’ - [j)) c;cj > 0, quels que soient les points cl. . , <“’ E R’” et les constantescomplexes cl.. . ~cI,,. Dans ce qui suit, nous ne consid&ons que des fonctions dCfinies-negatives SIvaleurs dans R. Dans ce cas, d’aprks la formule de L&y-Khinchin, toute fonction dCfinie-negative est de la forme (2)
,J;(<) = c + q(E) + s,,z,,,,il
- cos(9, E))4~~Y),
oti c > 0, y est une forme quadratique non-nigative et LLest la mesure de L&y, c’est-&dire une mesure de Bore1 sym&ique sur R” \ (0) satisfaisant B Ja,L,(oI &/~(dy) < ~8. On a le resultat important suivant, qui rappelle le comportement des symboles dans ( I). PROPOSITION 1 (voir [3]). - Soit 1/, : R” + R dkjinie-nkgative et continue uvec la reprksentation (2) telle que le support de la mesure de L&y p soit born&. Alors $ est une jhction C” et on a, pour (Y E N;t :
Un symbole difini-negatif continu p(z, <) a pour chaque :L’ une dCcomposition (2). Pour Ctablir un calcul symbolique pour cette sorte de symboles, en vertu de la proposition I, il est souhaitable de supposer que les mesures de LCvy respectives soient B supports born&. Cela correspond B l’hypothese usuelle qu’un processusde Markov engendr6 par -JI(:c, D) n’a que des saulsde grandeur born6e. L’idCe gCnCraleest la suivante : Comme fonction de rkf&ence, nous fixons une fonction definie-nigative continue IL’ : IF!” + R dont la mesure de LCvy est de support borne. Nous posons A(<) = (1+ u”(E))“2 et Q(k) = k A 2.
1122
Calcul
symbolique
pour
des ophrateurs
pseudo-diffhrentiels
Nous definirons des classes de symboles au moyen de cette fonction n2, ou, ce qui revient au m&me, au moyen de X. Pour cela nous considerons un symbole defini-negatif continu p(:c, [) dont les mesures de L&y ont leur support dans un certain voisinage borne de I’origine. Si ~~(z,<) est uniformement borne par u*(E), c’est-a-dire si
la proposition
1 implique la;p(xz,~)I
(4)
5 C,Xz--u(‘~r’)(~),
(Y E fw;,
avec une constante c,, independante de 2. Nous supposerons que les derivees C):!p(.r., <) satisfont les memes estimations. et nous definissons done, pour un ordre 711 E R quelconque, une classede symboles de la man&e suivante : ST,’ est I’ensemble de toutes les fonctions C” p : W” x R” - C telles que /pfp(:z:;
(5)
()I 5 c,,;,x”~-@(‘~~‘)(~)~
a, p E fw;.
Alors dans .Sz,’, se trouvent des symboles definis-negatifs typiques ~I(x, <) et le processusde Levy associe a a,‘(<) jouera, pour un processusde Markov engendre par -JJ(J:. D), un role analogue a celuj joue par le mouvement brownien pour les processusde diffusion. De plus, on note ,I;“” la classe de toutes fonctions C? satisfaisant
ldp$&L [)I < cru~,XrrL(<). a,[) E rq. Notons que la classe Srl’ contient la classe Sy,‘. Si on compare avec les symboles de classe de Hormander, la fonction poids (1 + 1<12)1/2dans (1) est rempla&e par la fonction plus g&i&ale X(c) dans (5). En outre, la puissance 77~ - ~(]cl]) depend de l’ordre /(?I d’une maniere plus g&&ale. De telle:s classesde symboles avec des fonctions poids g&n&ales ont et6 considereespar H. Kumano-go (voir [4]) et M. Nagase (voir [5]). Bien que X ne remplisse pas leurs conditions en general, les demonstrations dans [3] sont cependant baseessur les memes idees.
4. Calcul
symbolique
11 est tout d’abord clair que (Sy,X)TrlEn et (S;l”2”),,LEn constituent des algebres de symboles au senshabituel. En particulier, le produit de deux symboles est un symbole dont l’ordre est la somme des ordres individuels. De plus, il est facile de voir que ?, E ,;I,” definit un operateur continu p(x,D) : S(FP) f S(W’“). Pour la suite, il est necessairede pouvoir etablir la propriete d’algebre Cgalement pour les operateurs comme dans le cas classique. rn~+rrrJ.X TH~ORBME2 (voir [3]). - Soient pl E S:‘,‘, p2 E Si”,’ et p E S,!,“,“. I1 exisfe alors p, E S, et p” E S;l”” tels que p,(:c, D) = $71(x,19) 0 ;02(:c,D) et p*(3., D) = (p(:I;: D))*. Utilisant la dualite de S(W) et S’(WTL), l’adjoint p*(.[;,D) permet d’etendre X)(X>D) en un operateur de 2T’(R”) dans S’(W), et il est maintenant possible d’obtenir une interpretation naturelle de I’ordre de l’operateur. Si nous introduisons l’echelle suivante d’espaces de Sobolev HS.X(R87L) = {U E ,‘(I?‘) theoreme suivant :
: ]\uII,,~ < cc}, s 6 R, oil IIu~~~,~= (JR,>X2,~(E)lil(E)12L1~)1’2.on a le
+ THEOREME 3 (voir [3]). - Soitp E ST;““. Alorspour tout s E IR, l’ope’ruteurp(z, D) : Hd+7n’X(R7’) HSxX(Rn) est continu. 1123
W. Hoh
Afin d’obtenir un developpement de symbole comme la somme asymptotique pour les symboles de Hijrmander, considkrons les classesST,‘, Nous ktudions le dkveloppement des symboles de la composition et de l’adjoint. TH~OR&ME 4 (v&r [3]). - Soient pl E Sy”“, p2 E ST2.’ et p E ST’“. Alnrs, pour tout N E N, le symbole p, de la composition p<.(x, D) = pl(z, D) 0 1)2(x, D) et le synbole p* de l’adjoint p*(x, D) = (p(z, D))* satisfont &
5. GCnCrateurs
de semi-groupes
de Feller
Soit p E Sf>” un symbole elliptique, c’est-h-dire un symbole pour lequel il existe 21’> 0 tel que P(:c?E) 2 w1)2? avec / 0 et c > 0 tels que
pour 111suffisamment grand, alors nous avons Hs,x(WT’) 4 Co(Rn) pour s > &, oti C,(W) dksigne I’espace des fonctions continues qui s’annulent g l’infini. Nous avons done trouvC des solutions ‘IL E Co(W) de (p(z, D) + 7)~ = f pour tout f appartenant 3 un espace dense dans C,J(W). En outre, pour les symboles definis-nkgatifs, -p(:c; D) satisfait le principe de maximum positif selon le rksultat de Courrkge. Ainsi, d’aprks le thkorkme de Hille-Yosida (voir [2]), nous en dkduisons le th&orkme suivant : TH~OR~ME 5 (voir [3]). - Soit X une,fonction poids qui satkfuit (6) et soit p un symbole dkjini-nkggatif elliptique duns S:‘“. Alors -p(xc, D) s’e’tenden un gknne’ruteurd’un semi-groupe de Feller, c ‘est-&-dire en un semi-groupefortement continu de contractions positives dans 1‘espuce C,( R” ).
Note remisele 15 aoGt 1997, acceptkele 24 septembre1997.
RCfikences bibliographiques au principe du [I] Courrkge Ph., 196366. Sur la forme intCgro-diff&entielle des opCrateurs de CT dans C satisfaisant maximum, S&L Thhorie du Potmfiel, 38 p. [Z] Ethier S. N. et Kurtz Th. G., 1986. Markov ~KKKS.XL% characreri,-utim and conver~~zce. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics, John Wiley, New York. Chicester. Brisbane, Toronto. Singapore. [3] Hoh W. A symbolic calculus for pseudodifferential operators generating Feller semigroups. Soumis pour publication. [4] Kumano-go H., 1981. Psrudodiferentiul operarors. M.I.T., Press. [5] Nagase M., 1972. On the algebra of a class of pseudo-differential operators and the Cauchy problem for parabolic equations, Mark Jup.. 17. no 2, p. 147-172.
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