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Sur le caractère gaussien de la convergence presque partout
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Sikie I, p. 169-172, ProbabilitMProbability Theory
SW le caract&-e presque partout Michel
gaussien
1999
de la convergence
WEBER
MathCmatique (IRMA), Universit6 67084 Strasbourg cedex, France Courriel :
Louis-Pasteur
(ReCu
le 17
le le 11
R&sum&
mai
1999,
accept&
7, rue
Ren&Descartes,
1999)
montrons que les liaisons existant entre les propriCtCs de rkgularitk de suites d’operateurs S = (Sn) sur L2 et celles du processus gaussien canonique 2 sur L2 restreint aux sous-ensemblesde L’, C, := (S,(f)), f E L’, peuvent s’exprimer au moyen d’inkgalids simples quantifiant diverses fonctionnelles associCesB S et Z. Nous montrons que les fameux crittires d’entropie de J. Bourgain sont des corollaires naturels de ces inCgalitCs. Nous obtenons aussi un premier rtkultat inverse. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier.Paris
Nous
On Gaussian problems Abstract.
mai
et CNRS,
aspects
in the study
of almost
sure convergence
We establish functional type inequalities linking the regularity properties of sequences of operators S = (Sn) acting on LZ-spaces, with those of the canonical Gaussian process on the associated subsets of L2, C f := (S, (f)), f E L2. These inequalities allow to easily deduce as corollaries famous Bourgain’s entropy criterias in the theory of almost everywhere convergence. These also provide a better understanding of the role of the Gaussian processes in the study of phenomenon of almost everywhere convergence. A partial converse path to Bourgain’s entropy criterias is also purposed. 0 AcadCmie
des SciencesElsevier, Paris
1. Introduction
- RCsultats
Soit (X, ,A, ,u) un espace probabilid,
L’(p)
+ L’(p),
72 = 1, 2 ,.... VI c N
et considkrons une suite S d’opkateurs
continus S, :
Posons S&l) = “n”,‘: ISn(g)l,
s*(g) = “,“>‘:ISn(g)l.
D’aprks les principes gCnCraux de la thkorie ergodique que sont le principe de Banach et le principe de continuitk ([3], thCori?mes 7.2, p. 64 et 7.8, p. 68), 1’Ctude de la convergence presque partout de la suite S pour tout f E L2, se ram&e, modulo des hypothbses de commutation adkquates (voir (Hl) ci-dessous), ti Ctablir l’existence d’une inCgalitC maximale : ,u(S*~ > c~llflj2) 5 C. cym2, Note pr&enMe 0764~4442/99/03290169
par Jean-Pierre 0 Academic
KAHANE.
des SciencesIElsevier,
Paris
169
M. Weber
ainsi que celle d’une classe dense dans L2(p), pour laquelle il y a convergence presque pat-tout. Les fonctionnelles suivantes sont done des outils naturels pour l’etude de la convergence presque partout =
fl2(S,I)
,p&
llwmP-
(1)
Notons aussi R:(S) = Ri(S,N), i = 1, 2. Lorsque la suite S est une suite d’operateurs continus, nous considererons les fonctionnelles suivantes introduites par Bourgain L2(d - Loo(P) dans [2] et Bellow-Jones dans [l] :
Lorsque de plus les operateurs S, sont continus sur Lr(p), pour tout ensemble fini I d’entiers, et g E Lo
S(l>P)= 2’: IISnllp,
pour un reel p E [2, co], nous posons
IIS& = ,, ;“Psl llS&NP,~~ 9 P>P
Dans ce qui suit, on notera 2 = { Zh, h E H} le processus gaussien canon&e sur H = L2(~), c’est-a-dire, le processus gaussien 2 = { Zh, h E H} defini par E ZhZh, = (h, h’), E Zh = 0, h, h’ E H. L’objet de cette Note conceme l’etude du lien mis en evidence par Bourgain [2] entre les proprietes de regularitt de la suite S et celles de 2 restreint aux ensembles Cf, f E L2(,u). Posons aussi :
Nous ttablissons des inegalites de liaison directe entre les fonctionnelles R,,a(S, et 9,(S, I). Dans le theoreme qui suit, nous supposons que c = inf,zr ]]Sn]] > 0, et (Hl)
I, E), Ra(S, I)
il existe une suite {T’, j 2 l} d’isometries positives de L2(p), preservant 1, commutant avec la suite {S,, n 2 l} et verifiant sur L” (II) le theoreme ergodique dans L1 (II) :
Supposons aussi que S verifie une inegalite maximale sur L’(p) 0-W TH~ORBME
v’f E L2(PL 1. - Pour toute partie I de N, Cl @a(S,I)
5
Ils*m2,,
fl2(S,4
5
:
I afll2,P.
c2
f@a(S,I)t
avec Cl = $, C2 = fi$. Remarque 1. - L’inCgalitC de gauche est vraie saris l’hypothese (HM). Les constantes c, C sont calculables dans de nombreux exemples classiques : moyennes ergodiques associees aux rotations du tore, sommes de Riemann, sommes partielles trigonometriques... etc. - Pour Rr(S, I), on dispose d’un encadrement semblable :
Cl @($I) avec Cr = +, C, = A$.
170
F Rl(S,I)
5
c2
*a(s,I),
(4)
Sur
le caractke
gaussien
de
la convergence
presque
partout
THBOF&ME2. - Supposons que pour tout 71 1 1, S, est L2(p) - L”(p) continu, et qu’en outre l’hypothkse (Hl) est satisfaite. Alors, pour toute partie$nie I de N, tout A > 0 et tout R > 0, *(s,I)
2 4s(I, 2) exp
m+
3AS(I,
w) exp ( - g4 ) + AR
Ce thkorkme a pour conskquence PROPOSITION 3. - Soit {S,, n 2 l} une suite de L2(p) - L”(p) (Hl). Posons pour tout entier K > 0,
**(s,
K) =
contractions ve’rijant 1‘hypothkse
SUP E =pvxf)). Ilfllz.,~~
Alors, pour tout rkel p > 0, il existe rkel 0 < C,, < m tel que pour tout entier K 2 3 et tout R > 0,
**(s, K) 63
< C,, (K-”
+ e-R”/4) + QL,, (S, R/d-).
(7)
En particulier,
lim sup w < 4 L$O flk,2(~). K-m \/logK Les thCor&me 1 et proposition 3 permettent de retrouver aiskment les cridres d’entropie de Bourgain ([2], propositions 1 et 2). 11est nature1 de chercher B savoir si inversement, les propriCtCs de rCgularitC (bornitude, continuitk) de 2 relativement aux ensembles Cf entrainent des propriCk% du m&me ordre pour la suite S. Dans cette direction, nous Ctablissons le rksultat partiel suivant : THI?OF&ME
(H2)
4. - Soit S une suite d’ope’rateurs continus S, : L2(~) -+ L2&),
n = 1, 2,. . ., ve’ri$ant
il existe une famille & = {Tj, j 2 l} de transformations ponctuelles de X, p&servant commutant avec les S,, S,Tj ( f) = Tj S, ( f) et faiblement mklangeante :
Soit f E L’(p).
Soit A une partiejnie
de N. Notons <(A, f) = E sup IZ(Snf)l. TIEA constante absolue K, et un nombre fini t(A, f) tel que, KC(A> vtk
On vkifie
t(4.0,
fi(sAf
t)
5
fj2 t2
Alors il existe une
.
facilement B l’aide de 1’inCgalitC de Jensen que
<(A>f) I &%%z Ceci montre la finesse de la majoration prkddente
2. IbCments
>
p,
llSON~,,~ pour t grand.
de dkmonstration
Associons ti tout f E L’(p),
la suite gaussienne suivante :
est une suite isonormale dkfinie sur un espace d’kpreuves diffkrent, que nous noterons par la suite (0, ,13,P). Les dkmonstrations des thkorbmes 1 et 2 dkpendent du lemme ci-dessous.
0ag1,92,...
171
M.
Weber
LEMME
5. - Soient S, : L2(p) -+ L2@), n = 1, 2,. . ., des ope’ruteurs continus ve’rijht
f E L”(p).
(HI). Soit
Soit I une partie jinie de N telle que : vn,
m
E 1,
m
#
n
*
IISn(f)
-
S~(.f)l12,h
#
0.
Alors, pour tout 0 < E < 1 et de tout index partiel 30, on peut extraire un index partiel J tel que si : A(I)= alors p{A(I)}
VJEE,
2 t/i?
\dn,mEI,
IISn(FJ,f)- fwkf>ll2,a > &q b%(f) - sn(fh~ -
m#n,
>’
el
V J E 2,
(I-
E)E ~~.Wn(f))
I E
SUP Sn(Qf)
J nEI
(8)
dp.
Ce lemme se demontre a l’aide de l’hypothbse de commutation (Hl). Montrons comment en deduire le theoreme 1. Soit I une pat-tie finie de N. Observons tout d’abord que (HM) * Ri(S, 1) 5 R,(S, 1) 5 C. Con-me par ailleurs E supnEr IG%m 2 fisuP,Er II~n(fN2,P7 on a done &(S,I) I fi: cP,(S,I). Soit a present f E L”(p) telle que Ilfll-~,~ = 1. En vertu du lemme 5, pour tout 0 < E < 1, il existe un index partiel ,7 tel que (8) ait lieu. Soit ua = 0, u 11 = 2+l, n = 1, 2,. . . . Alors
5
n,(s,r)(l
+
2E
jIFJ,fllZ,p)
5
3R1(S,1),
car IE IIFJ,f l12,p 5 1. D’oti, en recollant ces deux estimations, puis en faisant tendre E vers 0, on obtient E sup,eI 2(5’,(f)) 5 3Rr(S, 1). 11 est alors facile de conclure en procedant par approximation et en 0 utilisant les proprietes de lois gaussiennes. La demonstration du thCoreme.2 resulte d’evaluation fines des moments exponentiels des variables aleatoires tronquees FJ,~~I~F~,~J~A). La demonstration du theoreme 4 depend, quant a elle, de faGon cruciale du lemme suivant : LEMME
6. - Pour toute partie jinie A de N, tout J 2 1 et tout M > 0,
(9) od w est une constante absolue.
RCfkrences bibliographiques [l] [2] [3] [4]
Bellow A., Jones R., A Banach principle for L-, Adv. Math. 120 (1) (1996) 155-172. Bourgain J., Almost sure convergence and bounded entropy, Israel J. Math. 63 (1988) 79-95. Krengel U., Ergodic Theorems, Walter de Gruyter Ed., 1989. Weber M., Entropie mttrique et convergence presque partout, Coll. Travaux en Cours 58, Hermann,
172
Paris,
1998.
SW le caract&-e presque partout Michel
gaussien
1999
de la convergence
WEBER
MathCmatique (IRMA), Universit6 67084 Strasbourg cedex, France Courriel :
Louis-Pasteur
(ReCu
le 17
le le 11
R&sum&
mai
1999,
accept&
7, rue
Ren&Descartes,
1999)
montrons que les liaisons existant entre les propriCtCs de rkgularitk de suites d’operateurs S = (Sn) sur L2 et celles du processus gaussien canonique 2 sur L2 restreint aux sous-ensemblesde L’, C, := (S,(f)), f E L’, peuvent s’exprimer au moyen d’inkgalids simples quantifiant diverses fonctionnelles associCesB S et Z. Nous montrons que les fameux crittires d’entropie de J. Bourgain sont des corollaires naturels de ces inCgalitCs. Nous obtenons aussi un premier rtkultat inverse. 0 AcadCmie des Sciences/Elsevier.Paris
Nous
On Gaussian problems Abstract.
mai
et CNRS,
aspects
in the study
of almost
sure convergence
We establish functional type inequalities linking the regularity properties of sequences of operators S = (Sn) acting on LZ-spaces, with those of the canonical Gaussian process on the associated subsets of L2, C f := (S, (f)), f E L2. These inequalities allow to easily deduce as corollaries famous Bourgain’s entropy criterias in the theory of almost everywhere convergence. These also provide a better understanding of the role of the Gaussian processes in the study of phenomenon of almost everywhere convergence. A partial converse path to Bourgain’s entropy criterias is also purposed. 0 AcadCmie
des SciencesElsevier, Paris
1. Introduction
- RCsultats
Soit (X, ,A, ,u) un espace probabilid,
L’(p)
+ L’(p),
72 = 1, 2 ,.... VI c N
et considkrons une suite S d’opkateurs
continus S, :
Posons S&l) = “n”,‘: ISn(g)l,
s*(g) = “,“>‘:ISn(g)l.
D’aprks les principes gCnCraux de la thkorie ergodique que sont le principe de Banach et le principe de continuitk ([3], thCori?mes 7.2, p. 64 et 7.8, p. 68), 1’Ctude de la convergence presque partout de la suite S pour tout f E L2, se ram&e, modulo des hypothbses de commutation adkquates (voir (Hl) ci-dessous), ti Ctablir l’existence d’une inCgalitC maximale : ,u(S*~ > c~llflj2) 5 C. cym2, Note pr&enMe 0764~4442/99/03290169
par Jean-Pierre 0 Academic
KAHANE.
des SciencesIElsevier,
Paris
169
M. Weber
ainsi que celle d’une classe dense dans L2(p), pour laquelle il y a convergence presque pat-tout. Les fonctionnelles suivantes sont done des outils naturels pour l’etude de la convergence presque partout =
fl2(S,I)
,p&
llwmP-
(1)
Notons aussi R:(S) = Ri(S,N), i = 1, 2. Lorsque la suite S est une suite d’operateurs continus, nous considererons les fonctionnelles suivantes introduites par Bourgain L2(d - Loo(P) dans [2] et Bellow-Jones dans [l] :
Lorsque de plus les operateurs S, sont continus sur Lr(p), pour tout ensemble fini I d’entiers, et g E Lo
S(l>P)= 2’: IISnllp,
pour un reel p E [2, co], nous posons
IIS& = ,, ;“Psl llS&NP,~~ 9 P>P
Dans ce qui suit, on notera 2 = { Zh, h E H} le processus gaussien canon&e sur H = L2(~), c’est-a-dire, le processus gaussien 2 = { Zh, h E H} defini par E ZhZh, = (h, h’), E Zh = 0, h, h’ E H. L’objet de cette Note conceme l’etude du lien mis en evidence par Bourgain [2] entre les proprietes de regularitt de la suite S et celles de 2 restreint aux ensembles Cf, f E L2(,u). Posons aussi :
Nous ttablissons des inegalites de liaison directe entre les fonctionnelles R,,a(S, et 9,(S, I). Dans le theoreme qui suit, nous supposons que c = inf,zr ]]Sn]] > 0, et (Hl)
I, E), Ra(S, I)
il existe une suite {T’, j 2 l} d’isometries positives de L2(p), preservant 1, commutant avec la suite {S,, n 2 l} et verifiant sur L” (II) le theoreme ergodique dans L1 (II) :
Supposons aussi que S verifie une inegalite maximale sur L’(p) 0-W TH~ORBME
v’f E L2(PL 1. - Pour toute partie I de N, Cl @a(S,I)
5
Ils*m2,,
fl2(S,4
5
:
I afll2,P.
c2
f@a(S,I)t
avec Cl = $, C2 = fi$. Remarque 1. - L’inCgalitC de gauche est vraie saris l’hypothese (HM). Les constantes c, C sont calculables dans de nombreux exemples classiques : moyennes ergodiques associees aux rotations du tore, sommes de Riemann, sommes partielles trigonometriques... etc. - Pour Rr(S, I), on dispose d’un encadrement semblable :
Cl @($I) avec Cr = +, C, = A$.
170
F Rl(S,I)
5
c2
*a(s,I),
(4)
Sur
le caractke
gaussien
de
la convergence
presque
partout
THBOF&ME2. - Supposons que pour tout 71 1 1, S, est L2(p) - L”(p) continu, et qu’en outre l’hypothkse (Hl) est satisfaite. Alors, pour toute partie$nie I de N, tout A > 0 et tout R > 0, *(s,I)
2 4s(I, 2) exp
m+
3AS(I,
w) exp ( - g4 ) + AR
Ce thkorkme a pour conskquence PROPOSITION 3. - Soit {S,, n 2 l} une suite de L2(p) - L”(p) (Hl). Posons pour tout entier K > 0,
**(s,
K) =
contractions ve’rijant 1‘hypothkse
SUP E =pvxf)). Ilfllz.,~~
Alors, pour tout rkel p > 0, il existe rkel 0 < C,, < m tel que pour tout entier K 2 3 et tout R > 0,
**(s, K) 63
< C,, (K-”
+ e-R”/4) + QL,, (S, R/d-).
(7)
En particulier,
lim sup w < 4 L$O flk,2(~). K-m \/logK Les thCor&me 1 et proposition 3 permettent de retrouver aiskment les cridres d’entropie de Bourgain ([2], propositions 1 et 2). 11est nature1 de chercher B savoir si inversement, les propriCtCs de rCgularitC (bornitude, continuitk) de 2 relativement aux ensembles Cf entrainent des propriCk% du m&me ordre pour la suite S. Dans cette direction, nous Ctablissons le rksultat partiel suivant : THI?OF&ME
(H2)
4. - Soit S une suite d’ope’rateurs continus S, : L2(~) -+ L2&),
n = 1, 2,. . ., ve’ri$ant
il existe une famille & = {Tj, j 2 l} de transformations ponctuelles de X, p&servant commutant avec les S,, S,Tj ( f) = Tj S, ( f) et faiblement mklangeante :
Soit f E L’(p).
Soit A une partiejnie
de N. Notons <(A, f) = E sup IZ(Snf)l. TIEA constante absolue K, et un nombre fini t(A, f) tel que, KC(A> vtk
On vkifie
t(4.0,
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5
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Alors il existe une
.
facilement B l’aide de 1’inCgalitC de Jensen que
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2. IbCments
>
p,
llSON~,,~ pour t grand.
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la suite gaussienne suivante :
est une suite isonormale dkfinie sur un espace d’kpreuves diffkrent, que nous noterons par la suite (0, ,13,P). Les dkmonstrations des thkorbmes 1 et 2 dkpendent du lemme ci-dessous.
0ag1,92,...
171
M.
Weber
LEMME
5. - Soient S, : L2(p) -+ L2@), n = 1, 2,. . ., des ope’ruteurs continus ve’rijht
f E L”(p).
(HI). Soit
Soit I une partie jinie de N telle que : vn,
m
E 1,
m
#
n
*
IISn(f)
-
S~(.f)l12,h
#
0.
Alors, pour tout 0 < E < 1 et de tout index partiel 30, on peut extraire un index partiel J tel que si : A(I)= alors p{A(I)}
VJEE,
2 t/i?
\dn,mEI,
IISn(FJ,f)- fwkf>ll2,a > &q b%(f) - sn(fh~ -
m#n,
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V J E 2,
(I-
E)E ~~.Wn(f))
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J nEI
(8)
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Ce lemme se demontre a l’aide de l’hypothbse de commutation (Hl). Montrons comment en deduire le theoreme 1. Soit I une pat-tie finie de N. Observons tout d’abord que (HM) * Ri(S, 1) 5 R,(S, 1) 5 C. Con-me par ailleurs E supnEr IG%m 2 fisuP,Er II~n(fN2,P7 on a done &(S,I) I fi: cP,(S,I). Soit a present f E L”(p) telle que Ilfll-~,~ = 1. En vertu du lemme 5, pour tout 0 < E < 1, il existe un index partiel ,7 tel que (8) ait lieu. Soit ua = 0, u 11 = 2+l, n = 1, 2,. . . . Alors
5
n,(s,r)(l
+
2E
jIFJ,fllZ,p)
5
3R1(S,1),
car IE IIFJ,f l12,p 5 1. D’oti, en recollant ces deux estimations, puis en faisant tendre E vers 0, on obtient E sup,eI 2(5’,(f)) 5 3Rr(S, 1). 11 est alors facile de conclure en procedant par approximation et en 0 utilisant les proprietes de lois gaussiennes. La demonstration du thCoreme.2 resulte d’evaluation fines des moments exponentiels des variables aleatoires tronquees FJ,~~I~F~,~J~A). La demonstration du theoreme 4 depend, quant a elle, de faGon cruciale du lemme suivant : LEMME
6. - Pour toute partie jinie A de N, tout J 2 1 et tout M > 0,
(9) od w est une constante absolue.
RCfkrences bibliographiques [l] [2] [3] [4]
Bellow A., Jones R., A Banach principle for L-, Adv. Math. 120 (1) (1996) 155-172. Bourgain J., Almost sure convergence and bounded entropy, Israel J. Math. 63 (1988) 79-95. Krengel U., Ergodic Theorems, Walter de Gruyter Ed., 1989. Weber M., Entropie mttrique et convergence presque partout, Coll. Travaux en Cours 58, Hermann,
172
Paris,
1998.