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Sur les fonctions d'ondes a energie determinee relatives aux particules abregees de masse nulle
Beckers, J. 1965
Physica 31 1320-1324
SUR LES FONCTIONS D’ONDES A ENERGIE DETERMINEE RELATIVES AUX PARTICULES ABREGEES DE MASSE NULLE J.
par Diipartement
de Physique
BECKERS
MathCmatique
de l’Universitti*),
Likge, Belgique
synopsis It is shown that the wavefunctions corresponding to a fixed value of the energy may be written in a very similar manner in the case of abbreviated particles with zero mass and spins + and 1. The spin zero case cannot be treated in the same way.
1. Introduction. 11 est bien connu que les fonctions determinee E de la theorie de l’electron sont du type**) #(I, t) = epiEt u(r).
d’ondes
a energie
(1)
En ce qui concerne le neutrino, consider-6 dans la variante de la theorie a deux composantes connue sous le nom de theorie abregee de Ma j or an al), la forme (1) ne peut naturellement plus $tre conservee: en effet, pour un choix adequat des matrices a, p de Dirac (ccl, ccs, a3 reelles, fi purement imaginaire), on sait que la theorie de Majorana est caracterisee par des fonctions d’ondes re’elles. Dans la presente note, nous indiquerons d’abord (9 2) une facon-t&s analogue a (1) - d’ecrire les fonctions d’ondes a energie determinee de la theorie de Majorana pour une valeur nulle de la masse. Nous obtiendrons ensuite (5 3) un resultat tres semblable pour les particules neutres, de masse nulle et de spin 1. Par contre, dans le cas du spin 0, de telles considerations ne pourront &tre reprises. 2. Cas des particules a deux composantess),
neutres de spin z1 et de masse nulle. Dans le formalisme les fonctions d’ondes a energie determinee s’ecrivent ~(r, t) = ewiEt v(r)
*) 15, avenue des Tilleuls. **) Nous choisirons 6 = c = 1. -
1320
-
(4
LES
FONCTIONS
oh VU(I)satisfait
D’ONDES
DES
PARTICULES
DE MASSE
1321
NULLE
a l’equation: (0 ‘P) u(r) = Ev(r),
(3)
~1, 02 et 03 &ant les matrices (2 x 2) habituelles de Pauli. L’expression correspondant a (2) dans une formulation reelle de Majorana, caracterisee par une fonction d’ondes @ a quatre composantes, s’obtient facilement
a l’aide de la correspondances)
1I
@= Oh
@ etant la fonction d’ondes complexe On obtient ainsi @(r, t) =
(cos
(4)
;
conjuguee
de v.
Et + y sin Et)
e(r)
Oil
et . . Y=
-_1 .
. .
1 .
.
. .
-1
Or, dans une representation des matrices pondance [(4), (5)] est valable, a savoir
* 1 . .
de Dirac pour laquelle
on voit que la matrice y E (8) est lice a la matrice y5 =
(8) la corres-
familiere
(104
iccla2cr3
(10.b)
=
par y =
Ainsi, les solutions
4795.
a energie determinee @(r,
(11) peuvent
t) = (cos Et - iy5 sin Et)
s’ecrire B(r)
sous la forme
1322
J. BECKERS ___~.__
-
ou encore, puisque y; =
1:
@(r, t) = e--iysJi:ta(r). On notera l’analogie
des formules
(12)
(1) et (12). On observera
d’ailleurs
que
la formule ( 12)) ktablie ici pour la reprksentation particulikre (9) des matrices de Dirac, est valable, en fait, dans toute reprksentation de ces matrices, di n’ktant plus alors nkessairement une fonction d’ondes reelle, mais y5 continuant B &tre donnke par (10.~). On remarquera enfin que les solutions (12) peuvent encore &tre &rites sous la forme: @‘(r, t) = 3( 1 -
115)@it + $(I +
75)
@-,
(13)
Oh
3. Cas des particules neutres de sy5in 1 et de masse nulle. A partir des equations d’ondes dkrivant le photon, le point de vue adopt6 ci-dessus dans le cas du spin l/2, peut &tre dkveloppe de faTon parallkle. En effet, en utilisant la formulation complexe de G ooda), les fonctions d’ondes & hergie determinee peuvent encore s’krire sous une forme semblable B (2), c’est-B-dire : x(r, t) = eCiJ’:tw(r)
(14)
oh ~(r, t) et w(r) sont des grandeurs complexes B trois composantes. solutions conduisent A l’equation independante du temps (Sop) w(r) = Ew(r) oh les matrices
SJ, SB, SB sont des matrices (S&l
= &Xl
Ces
(15)
(3 x 3) definies par
(j, k, 1 = 1, 2, 3),
(16)
egkl ktant le symbole de Uvi-Civita & trois indices (~123 = 1). Ces matrices vkrifient les relations caracthistiques de Kemmer et constituent une representation irreductible des ophateurs de spin 1 : ;~.sj,Sk] = i&j,&-& Pour &re compkte, cette propre E = 0 de l’hergie*). En definissant XR et XI par
formulation
XI =
doit
(17) encore
-&(x -
X)
exclure
la valeur
(‘8)
LES FONCTIONS
D’ONDES
DES
PARTICULES
et en posant
x= on obtient
une formulation
[
.
ax
NULLE
1
;,
reelle, equivalente z-=
DE MASSE
(19) a celle de Gooda),
(B*p)X,
at
1323
(20)
oh les matrices reelles (6 x 6) B sont donnees par:
B=ozcx~S
(21)
et vhifient encore les relations de Kemmer. Dans cette formulation, on peut voir que les solutions determinee s’ecrivent
(14) a energie
X(r, t) = (cos Et - iFg sin Et) W(r)
(22)
Oh
,
r5=
. . .
. . .
-_i . .
.
. . . . . ___i
--i .
i . . . . .
.
.
i . . . .
* i . . .
(23)
et
(24) Comme (T5)2
=
1,
on peut Ccrire (22) sous la forme X(r, t) = e-ir-%V(r)
(25)
completement analogue a (12) 11 est peut &tre interessant de noter que la matrice F5 = (23) est reliee aux matrices Br, Bs, B3, intervenant dans les equations hamiltoniennes (20), d’une faGon t&s analogue a (lO.a), qui lie ys aux matrices crd.On a, en effet, r5
=
i(BlB2B3
=
k.(~1~2~3
+
&$3Bl+ +
s2s3sl
B3BlB2) +
s3sls2).
(26)
11 est Cgalement facile de voir que pour yj?-(,.) = eQWW, (25) est une habituellement
forme compacte des solutions monochromatiques considQees5) en theorie classique de Maxwell.
(27) planes
1324
LES
FONCTIONS
D’ONDES
DES
PARTICULES
DE
MASSE
NULLE
Observons enfin que Ie cas des particules abr+$es de masse nulle et de spin nul se prkente diffhemment de celui des particules de spin 3 ou 1 et ne permet pas le dkveloppement de considhations analogues.
Le fait de developper les idles contenues dans cette note est issu d’une conversation avec M. le Professeur J. Serpe. Nous tenons A le remercier
vivement .
Repu le 27-3-65
RI?Fl?RENCES 1) Majorana, 2)
Weyl,
3)
Serpe,
4) Good 5)
E., Nuovo
14 (1937)
J., Physica
171.
18 (1952) 295.
Jr., R. II., Phys. Rev. 105 (1957)
Voir par exemple, 1955).
Cimento
1-I., Z. Phys. 36 (1929) 330.
\V. Weizel,
Lehrbuch
1914. der Theoretischen
Physik,
(Springer
Verlag
Berlin,
Physica 31 1320-1324
SUR LES FONCTIONS D’ONDES A ENERGIE DETERMINEE RELATIVES AUX PARTICULES ABREGEES DE MASSE NULLE J.
par Diipartement
de Physique
BECKERS
MathCmatique
de l’Universitti*),
Likge, Belgique
synopsis It is shown that the wavefunctions corresponding to a fixed value of the energy may be written in a very similar manner in the case of abbreviated particles with zero mass and spins + and 1. The spin zero case cannot be treated in the same way.
1. Introduction. 11 est bien connu que les fonctions determinee E de la theorie de l’electron sont du type**) #(I, t) = epiEt u(r).
d’ondes
a energie
(1)
En ce qui concerne le neutrino, consider-6 dans la variante de la theorie a deux composantes connue sous le nom de theorie abregee de Ma j or an al), la forme (1) ne peut naturellement plus $tre conservee: en effet, pour un choix adequat des matrices a, p de Dirac (ccl, ccs, a3 reelles, fi purement imaginaire), on sait que la theorie de Majorana est caracterisee par des fonctions d’ondes re’elles. Dans la presente note, nous indiquerons d’abord (9 2) une facon-t&s analogue a (1) - d’ecrire les fonctions d’ondes a energie determinee de la theorie de Majorana pour une valeur nulle de la masse. Nous obtiendrons ensuite (5 3) un resultat tres semblable pour les particules neutres, de masse nulle et de spin 1. Par contre, dans le cas du spin 0, de telles considerations ne pourront &tre reprises. 2. Cas des particules a deux composantess),
neutres de spin z1 et de masse nulle. Dans le formalisme les fonctions d’ondes a energie determinee s’ecrivent ~(r, t) = ewiEt v(r)
*) 15, avenue des Tilleuls. **) Nous choisirons 6 = c = 1. -
1320
-
(4
LES
FONCTIONS
oh VU(I)satisfait
D’ONDES
DES
PARTICULES
DE MASSE
1321
NULLE
a l’equation: (0 ‘P) u(r) = Ev(r),
(3)
~1, 02 et 03 &ant les matrices (2 x 2) habituelles de Pauli. L’expression correspondant a (2) dans une formulation reelle de Majorana, caracterisee par une fonction d’ondes @ a quatre composantes, s’obtient facilement
a l’aide de la correspondances)
1I
@= Oh
@ etant la fonction d’ondes complexe On obtient ainsi @(r, t) =
(cos
(4)
;
conjuguee
de v.
Et + y sin Et)
e(r)
Oil
et . . Y=
-_1 .
. .
1 .
.
. .
-1
Or, dans une representation des matrices pondance [(4), (5)] est valable, a savoir
* 1 . .
de Dirac pour laquelle
on voit que la matrice y E (8) est lice a la matrice y5 =
(8) la corres-
familiere
(104
iccla2cr3
(10.b)
=
par y =
Ainsi, les solutions
4795.
a energie determinee @(r,
(11) peuvent
t) = (cos Et - iy5 sin Et)
s’ecrire B(r)
sous la forme
1322
J. BECKERS ___~.__
-
ou encore, puisque y; =
1:
@(r, t) = e--iysJi:ta(r). On notera l’analogie
des formules
(12)
(1) et (12). On observera
d’ailleurs
que
la formule ( 12)) ktablie ici pour la reprksentation particulikre (9) des matrices de Dirac, est valable, en fait, dans toute reprksentation de ces matrices, di n’ktant plus alors nkessairement une fonction d’ondes reelle, mais y5 continuant B &tre donnke par (10.~). On remarquera enfin que les solutions (12) peuvent encore &tre &rites sous la forme: @‘(r, t) = 3( 1 -
115)@it + $(I +
75)
@-,
(13)
Oh
3. Cas des particules neutres de sy5in 1 et de masse nulle. A partir des equations d’ondes dkrivant le photon, le point de vue adopt6 ci-dessus dans le cas du spin l/2, peut &tre dkveloppe de faTon parallkle. En effet, en utilisant la formulation complexe de G ooda), les fonctions d’ondes & hergie determinee peuvent encore s’krire sous une forme semblable B (2), c’est-B-dire : x(r, t) = eCiJ’:tw(r)
(14)
oh ~(r, t) et w(r) sont des grandeurs complexes B trois composantes. solutions conduisent A l’equation independante du temps (Sop) w(r) = Ew(r) oh les matrices
SJ, SB, SB sont des matrices (S&l
= &Xl
Ces
(15)
(3 x 3) definies par
(j, k, 1 = 1, 2, 3),
(16)
egkl ktant le symbole de Uvi-Civita & trois indices (~123 = 1). Ces matrices vkrifient les relations caracthistiques de Kemmer et constituent une representation irreductible des ophateurs de spin 1 : ;~.sj,Sk] = i&j,&-& Pour &re compkte, cette propre E = 0 de l’hergie*). En definissant XR et XI par
formulation
XI =
doit
(17) encore
-&(x -
X)
exclure
la valeur
(‘8)
LES FONCTIONS
D’ONDES
DES
PARTICULES
et en posant
x= on obtient
une formulation
[
.
ax
NULLE
1
;,
reelle, equivalente z-=
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(19) a celle de Gooda),
(B*p)X,
at
1323
(20)
oh les matrices reelles (6 x 6) B sont donnees par:
B=ozcx~S
(21)
et vhifient encore les relations de Kemmer. Dans cette formulation, on peut voir que les solutions determinee s’ecrivent
(14) a energie
X(r, t) = (cos Et - iFg sin Et) W(r)
(22)
Oh
,
r5=
. . .
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-_i . .
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i . . . . .
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.
i . . . .
* i . . .
(23)
et
(24) Comme (T5)2
=
1,
on peut Ccrire (22) sous la forme X(r, t) = e-ir-%V(r)
(25)
completement analogue a (12) 11 est peut &tre interessant de noter que la matrice F5 = (23) est reliee aux matrices Br, Bs, B3, intervenant dans les equations hamiltoniennes (20), d’une faGon t&s analogue a (lO.a), qui lie ys aux matrices crd.On a, en effet, r5
=
i(BlB2B3
=
k.(~1~2~3
+
&$3Bl+ +
s2s3sl
B3BlB2) +
s3sls2).
(26)
11 est Cgalement facile de voir que pour yj?-(,.) = eQWW, (25) est une habituellement
forme compacte des solutions monochromatiques considQees5) en theorie classique de Maxwell.
(27) planes
1324
LES
FONCTIONS
D’ONDES
DES
PARTICULES
DE
MASSE
NULLE
Observons enfin que Ie cas des particules abr+$es de masse nulle et de spin nul se prkente diffhemment de celui des particules de spin 3 ou 1 et ne permet pas le dkveloppement de considhations analogues.
Le fait de developper les idles contenues dans cette note est issu d’une conversation avec M. le Professeur J. Serpe. Nous tenons A le remercier
vivement .
Repu le 27-3-65
RI?Fl?RENCES 1) Majorana, 2)
Weyl,
3)
Serpe,
4) Good 5)
E., Nuovo
14 (1937)
J., Physica
171.
18 (1952) 295.
Jr., R. II., Phys. Rev. 105 (1957)
Voir par exemple, 1955).
Cimento
1-I., Z. Phys. 36 (1929) 330.
\V. Weizel,
Lehrbuch
1914. der Theoretischen
Physik,
(Springer
Verlag
Berlin,