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Sur les solides hyperélastiques à compressibilité induite par l'endommagement
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 324, Skrie II b, p. 281-288, 1997 hkkanique des solides et des structures/Mechanics of solids and structures (Comportement des mat&iaux, rhbologie/Behaviour of materials, rheology)
Sur les solides hyperClastiques A compressibilit6 induite par I’endommagement Florence ANDRIEUX,
Khhais
SAANOUNI
et Fraqois
SIDOROFF
F. A. : UTC LG2mS, LRA 1505 du CNRS, BP 649, 60206 Compi$gne cedex ; K. S. : UTT GSM/LASMIS, BP 2060, 10010 Troyes cedex ; F. S. : ECL LTDS, LMR C5513 du CNRS, BP 163, 69131 lhlly cedex, France.
RhmC.
On prksente dans cette Note une modklisation du comportement d’un solide hyperklastique endommageable?I compressibilit6 induite dans le cadre de la thermodynamique des processus irr6versibles. Une condition de liaison non classique (modkle CL) qui permet de rendre compte de la compressibiliti induite par l’endommagement isotrope est proposke. On montre alors que le mod&le CL est compatible avec un autre modkle dit peu compressible (modble PC) quand le module de compressibilitk tend vers I’infini. Les deux mod&les sont illustrks dans le cas de la traction simple.
On hyperelastic solids with damage induced compressibility Abstract.
Abridged
Using the framework of thermodynamics of irreversible processes with state variables a formulation of the damage induced compressibility in hyperelastic solids is proposed. A non-classic compressibility constraint condition is introduced (model CL) to describe the compressibility induced by isotropic damage. This model is shown to be consistent with a ‘weakly compressible’ model (model PC) when the compressibility modulus is very high. The two models are applied to the uniaxial tensile test and compared.
English Version
Rubber-like materials (hyperelastic or viscohyperelastic solids) are characterized by large elastic deformations and are usually supposedto be incompressible (Rivlin, 1948; Treloar, 1975). However, it is observed that these materials when damaged become compressible (Farris, 1968; Heuillet, 1993). This leads to the so-called hyperelastic solid with compressibility induced by damage growth.
Note prhentke
par Pierre SUQUET.
1251-8069/97/03240281 0 Acadhnie des Sciences/Elsevier, Paris
281
F. Andrieux,
K. Saanouni et F. Sidoroff
Modelling this phenomena is very important for the numerical computation of rubber-like components which is usually performed using the hypothesis of total incompressibility or quasi incompressibility (Ogden, 1984; Jazzar, 1993). In this work a new non-classical constraint condition is proposed to describe the compressibility induced by the development of isotropic damage inside an isotropic isothermal hyperelastic medium. For validation purposes,the proposed model is compared with another one assuming weak compressibility. The framework of the thermodynamics of irreversible processes (Lemaitre and Chaboche, 1985) with state variables is used introducing the left Cauchy Green tensor B_ associated to the Cauchy stress tensor _T as external state variables (eulerian description). Isotropic damage is represented by the internal state variable D (D E [0 1] ) with Y as the dual variable (Chaboche, 1980). The Gibbs free energy p. v/( g, D) = W( B_,D) is used as thermodynamic potential; while a damage surface is introduced to describe the damage evolution law in the framework of the Generulised standard materials (GSM) (Nguyen and Halphen, 1975). Assuming uncoupled volumetric and deviatoric response for large deformations, i.e. F = Ju3 E, the state potential becomes an isotropic function of the variable J (J =det E = p. /p ) and E( dct (E) = 1 ) (Sidoroff, 1974). The first model (CL model) is based on the state potential given by equation (1) together with the constraint condition [eq. (3)]. This allows the Clausius-Duhem inequality to be written under the form given by equation (5) and provides the state laws given by equations (6). The dissipation analysis is made using one of the two following methods: - model CLI: the damage surface is given by equation (7) as a convex function of Y and where Q(D) is a positive increasing function of D describing the evolution of the radius of the damage surface. The damage evolution law is then given by equation (8) where the damage ‘multiplier’ 8 is an explicit function of the constraint ‘multiplier’ r introduced by the state laws [eq. (6)]. This can be solved for given loading conditions by explicit computation of the multiplier r using appropriate boundary conditions (Andrieux, 1996). Unfortunately this ‘natural’ way is not helpful for numerical finite element computations which require the material response on any general loading path; - model CL2: a simple but approximate way to obtain an uncoupled relation between the damage and the constraint multipliers is to take the damage surface as a function of the deviatoric part ? of the force Y, i.e. f(? ; D) = ?- Q(D) together with a damage potential G( Y ; D) = Y - Q(D) in the framework of a non-associated theory. The new damage evolution law is then given by the equation (9) where Q’(D) is the derivative of Q( D ) with respect to D. The second model (PC model) uses the compressibility modulus K and the effective volume variation variable j = J/g( D ) to define the state potential by equation (10) and the state laws by equations (12). The damage evolution law is given by equations (13) and (14) obtained from the damage surface defined by equation (7). The PC model is shown to reduce to the CL1 model when the compressibility modulus K tends to infinity and the constraint condition [eq. (3)] is then retrieved (seeAndrieux, 1996). With specialization of the constitutive functions to (15) the models PC, CL1 and CL2 are compared in the case of the uniaxial tension loading path. Figure 1 shows the variation of the Cauchy stress 0, the volume variation J and the damage D versus the elongation 1. The model PC tends to the mode] CL2 as K increases and gives the same curves as the model CL1 for K = 100.0 MPa. These very simple models only provide conceptual guidelines. They will have to be completed and refined for the actual description of real materials.
282
CompressibilitC
induite
par endommagement
Introduction
Les solides caoutchoutiques (hyperelastiques ou viscohyperelastiques) sont caracterises par de grandes deformations Blastiques (plusieurs centaines de pourcent) et sont souvent consider& comme incompressibles (Rivlin, 1948 ; Treloar, 1975). Cependant il a ete observe que, pour ces solides, l’endommagement volumique s’accompagne,pour autant que les conditions cinematiques de la sollicitation le permettent, d’une augmentation de volume (Farris, 1968; Heuillet, 1993). On parle ainsi de solides hyperelastiques h compressibilite induite par l’endommagement au sens oti le materiau, raisonnablement suppose incompressible dans son &at non endommage, peut subir en revanche une variation de volume resultant de l’apparition et de la croissance de l’endommagement. La modelisation de ce phenomene est d’une grande importance pour le calcul des structures caoutchoutiques endommageablesqui sont souvent traitkes comme &ant incompressibles, (Ogden, 1984), mais pour lesquelles les variations de volume, mCmefaibles, peuvent jouer un role essentiel, (Jazzar, 1993). Cette liaison entre endommagementet variation de volume pose cependant quelques problemes conceptuels difficiles qui font l’objet de cette Note : la description naturelle se fait par l’introduction d’une condition de liaison (mod&e CL) reliant la variation de volume a l’endommagement, mais qui conduit ZIune formulation non classique que nous validerons par passagea la limite, ZI partir d’un modele peu compressible (modele PC) plus lourd mais sans singular&. Par souci de simplicite on se limitera au cas hyperelastique isotherme, independant des vitesses, isotrope et avec endommagement isotrope. Dans le cadre general des mod&es standard generalis& (MSG ; Nguyen Halphen, 1975) et en formulation eulerienne, les variables d’etat seront done le tenseur de Cauchy-Green gauche e, seule variable contrblable, et une variable interne scalaire d’endommagement D (D E [0, 11 ), seule source de dissipation. Les forces thermodynamiques correspondantes seront le tenseur des contraintes de Kirchhoff L = JT et la force thermodynamique d’endommagement (Chaboche, 1980 ; Lemaitre et Chaboche, 1985) : z:d--
?i’= Yd
-
oti W = W( B, D ) represente l’energie par unite de volume dans la configuration de reference, et oti d est le tenseur des taux de deformation. Conformement au formalisme standard generalise, la loi d’evolution d’endommagement decoulera alors d’une fonction seuil d’endommagement, (Nguyen Halphen, 1975), f( Y) dans l’espace des forces thermodynamiques Y. Par ailleurs et pour expliciter plus commodement le role de la compressibilite, nous decomposerons la deformation en parties spherique et distorsionnelle. En notant E le tenseur gradient et J = det &‘= p. /p = VIV, le jacobien de la transformation (variation de volume), nous posons F = J’” c( det F = 1 ). Le potentiel d’etat dans l’espace des deformations peut alors &tre Ccrit sous la forme d’une fonction isotrope des variables J, g et D : W = WB( J, s, D), Sidoroff (1974).
Mod&le A condition
de liaison
(CL)
Toujours par souci de simplicite le potentiel d’etat est choisi sous la forme suivante : W(B,D)=(l-0)
W,(E) 283
F. Andrieux,
K. Saanouni et F. Sidoroff
ou W, est l’energie de deformation du solide non endommage suppose incompressible. Compte term de la forme de W on obtient en notant dev ( . ) le deviateur de ( . ) :
-r-2(1
-D)dev
(-aw;f’)] g
: g+W,@)daO
(2)
La variation de volume induite par l’endornmagement est d&rite par la relation : J=g(D)
ou J2- [g(D)12=0
(3)
oti g( D ) est une fonction positive et croissante de la variable D verifiant y( D = 0 ) = 1, de sorte qu’en l’absence d’endommagement, la condition (3) redonne la condition classique d’incompressibilite. Par derivation de (3) et apres de simples transformations, il vient, en suivant la demarche gCn&ale de Truesdell (1965) : J2trace(d)-g(D)g’(D)d=O
(4)
oti g’( D ) represente la derivee de g( D ) par rapport a la variable D. La combinaison de (2) et (4) conduit a &-ire l’inegalitk sous la forme suivante :
z--rJ21-2(1
-D)dev
(-dW;f’) g
j : d+ [rg(D)g’(D)
+ W,(@]
d 3 0
(5)
oti r est un multiplicateur de Lagrange. Un raisonnement classique permet d’obtenir les relations d’etat et d’ecrire (5) sous la forme suivante :
z=s+3
-
Y=y,+?
s=rJ2i
%=2(1--D)dev
Y,=rg(D)g’(D)
(6)
?=W,(@)
On verifie en particulier que les termes spheriques Y, et 3, proportionnels au multiplicateur r, represententla compensation au niveau des forces Yet 3 de la contrainte imposee conjointement a la deformation et au dommage par la condition de liaison (3). On verifie Cgalement qu’en absence d’endommagement (D = 0), les relations (6) redeviennent celles tout a fait classiques d’un milieu hyperelastique incompressible defini par le potentiel W,. La relation complCmentaired’evolution de I’endommagement est obtenue dans le cadre des MSG en choisissant l’une des deux voies suivantes : - modele CL1 : c’est la voie la plus <
284
(7)
CompressibilitC
induite
par endommagement
oti Q( D ) est une fonction positive et croissante de D qui gouverne la dimension de la surface de non-endommagementdans l’espace des deformations et doit traduire la non-lirkarite de l’evolution de l’endommagement. L’equation d’evolution du dommage s’ecrit alors :
d=S-j$
si f=o,
et d=O
si f
ou C$est le multiplicateur de l’endommagement qui peut Ctre calcule par la condition de consistance f = 0. Notons que ce calcul fait apparaitre un couplage avec la derivee du multiplicateur de liaison r qui intervient dans l’expression de Y (par-tie Y, de Y). La mar&-e naturelle de resoudre ce couplage consiste, si la cinknatique de deformation imposee le permet, a calculer explicitement l’expression de r par une condition aux limites. Cela impose de traiter les sollicitations au cas par cas pour obtenir une expression analytique du multiplicateur r. Une telle approche (Andrieux, 1996) pose des problbmes du point de we du calcul des structures par elements finis ; elle necessite des relations de comportement g&kales et valables pour toutes les sollicitations thermomkcaniquesque l’on pourra imposer a la structure ; - modele CL2 : une maniere simple, mais approchee, de contourner ce problbme consiste a Cviter le couplage entre les multiplicateurs d’endommagement 8 et de liaison r en negligeant le terme YS dans l’expression du convexe f qui ne depend plus que de r : f ( ? ; D ) = r - Q( D ). Cela revient a supposer, comme dans Simo (1987) que seule la par-tie distorsionnelle de Y gouveme l’evolution de l’endornmagement. On se met alors dans le cadre d’une theorie non associee en introduisant un potentiel d’endommagement G( Y; D) = Y - Q(D) dependant de Y tout entier de sorte que si f= 0, l’evolution du dommage est independante de r :
&pQ=
63Y
&(Zdev(Eg):d)>O
(9)
oti Q’(D) est la derivee de Q(D) par rapport a D et la notation (@) signifie la partie positive de @ Modi3e peu compressible (PC) Dans ce modele, le potentiel d’etat est maintenant fonction de J, @ et D. On le choisit sous la forme additive suivante : W(J,@, D) = KW,(.i) + (1 - 0.) W&j)
(10)
oti W, est la par-tie spherique du potentiel, K est le module de compressibilite du mat&au et la variable effective j = J/g( D ) oii g( D ) est la m&me fonction que dans le modele CL. L’inCgalitC fondamentale s’6crit alors :
- aw&f>
-z -KJ ------l-2(1 dJ
-D)dev
KJ--g’(D)aw,(h s2(D)
aJ
285
F. Andrieux,
K. Saanouni et F. Sidoroff
Les equations d’etat sont alors donnees par :
Par comparaison avec les equations d’etat (6) du modele CL, on remarque que la difference entre ces deux modeles se limite aux composantesspheriques Y, de Y et 2 de 5. Pour l’analyse de la dissipation, on retient le convexe f don& par (7) qui conduit, dans le cadre des h4SG et apres utilisation de la condition f = 0, a l’expression suivante de la vitesse d’endommage-
ou le scalaire H > 0 est don& par : 2aQW)
+
ajz
aw,U)
+2(#)2-s)]
(14)
aJ
oti g”( D ) est la derivee seconde de g( D ) par rapport a D. On peut montrer (Andrieux, 1996) que ce modele PC tend vers le modele CL1 lorsque K tend vers l’infini. Application
h la traction
simple
Pour illustrer le comportement de ces trois modbles, nous choisissons une forme explicite des differentes fonctions du modble :
wo g(D)
= :[(;+@(7,-3)+(;-/?)(1,-3)] =
l+yD
et Q(D)=Qo
V’m
(15) I
oti G, /?, y, Q,, n et Do sont les constantes mattkielles des modeles. Considerons maintenant une sollicitation en traction simple definie par un gradient de deformation de composantes non nulles F,, = 3, et F22= F33= (J/A)‘.‘, et un tenseur de contrainte de Kirchhoff d’unique composante non nulle zI1. Darts ce cas, les equations uniaxiales des deux modeles sont :
~,l=~(x)=G[(f+P)(‘:2-j)+(~-~)(1-~)],~=(1-~~r(l) (16)
avec h=$(D+D,)t-’
286
I
Compressibilitk
induite
par endommagement
avec, comme seule difference, l’expression de J : - pour le modele PC J=g(D)
[l+&(l-D)*(;i)]
- pour le modele CL2 J= Cl(D) L’illustration des trois modeles (PC, CL1 et CL2), dans ce cas particulier de traction, est donnee sur la figure 1 avec G = 1,OMPa, /? = O,O, Q,, = 2,5, n = 2,0, D, = 10 - 4, y = I,0 et deux valeurs de K, I’une faible K = 1,OMPa et l’autre Clevke K = 100,OMPa. Cette figure rassemble les courbes reprksentant la variation de la contra&e de Cauchy o, de l’endommagement D et de la variation de volume J en fonction de l’elongation 1 variant de 1,0 a 2,0 Les courbes relatives aux modtiles CL1 et PC avec K = 100 MPa sont indiscemables. Ces r&hats conduisent clairement aux conclusions suivantes : - le modble avec condition de liaison CL1 coincide avec le modele PC pour K grand. II en differe, en revanche, significativement lorsque K est du m&me ordre de grandeur que G ; - le modele avec condition de liaison CL2, moins nature1 mais plus simple, donne des resultats voisins du modele CLl, ce qui justifie son utilisation en calcul de structure. De nombreuses autres applications de ce modble a des sollicitations variees sont donnees dans Andrieux (1996).
--m-m
PC (K=1OOMPa) = CL1
-
- -
Fig. 1. - Variation de u, D et J en fonction de 1 Fig. I. - Variation
- PC (K=lMPa)
pourles
mod&les ; PC (K = l,O, lOO,O), CL1 et CL2.
of CT,D and J versus 1 for the models; PC (K = 1.0, 100.0) and CL2.
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K. Saanouni et F. Sidoroff
Conclusion Une condition de liaison reliant la variation de volume B l’endommagement, bien que non classique, permet done, avec quelques precautions, l’ecriture d’un modele coherent dont nous avons presente les grandes lignes. L’application 21un mat&iau reel exigerait bien Cvidemment de completer et de raffiner ce modele (Andrieux, 1996), mais les developpements present& (cc infiu) fournissent la base pour le traitement cohkrent de cette liaison. Note remise le 26 septembre 1996, acceptee le 1”’ octobre 1996.
References bibliographiques Andrieux F., 19%. Sur les milieux visco-hyperelastiques endommageables,These de doctorat de I’UTC, Compibgne. Chabocbe J. L., 1980. Sur L’Utilisation des Variables Internes d’Rtat pour la Description du Comportement Mscoplastique et de la Rupture par Endommagement, Problemes Non Lineaires de Mecanique, PWN, Nowacki W.N., Bd.Varsovie, p. 137-159. Far-r-is R. J., 1968. The intluence of vacuole formation on response and failure of filled elastomers, Trans. Sot. Rheo.,
p. 315334. He&let P., 1992. Caracterisation de I’endomagement des propergols sohdes composites, These de doctorat de I’UTC, Compiegne. Jazzar F., 1993. Modelisation du comportement hyperelastique quasi-incompressible de structure acier Blastomere,These de doctorat, Marseille. Lemtitre J. et Chaboehe J. L., 1985. Mecanique des Materiaux Solides, Dunod, Paris. Nguyen Q. S. et Halphen B., 1975. Sur les materiaux standard g&+mlis6s, J. Met., 14, p. 39-63. Ogden R. W., 1984. Non Linear Elastic Deformation, John Wiley, New York. Rivlin R. S., 1948. Large elastic deformations of isotropic materials, Trans. Roy. Sot., 241, p. 379-397. Sidoroff F., 1974. Un modele viscoe’lastique non lineaire avec configuration intermediaire, J. M&c., 13, no 4, p. 679-713. Simo J. C., 1987. On a fully three-dimensional finite-strain viscoelastic damage model: formulation and computational aspects, Comp. Meth. in Appl. Mech. EnS., 60, p. 153-173. Treloar L. R. J., 1975. The Physics of Rubber Elasticity, Third edition, Clarendon Press,Oxford, Truesdell C. A. and No11 W., 1965. The Non-linear Field Theories of Mechanics, Handbuch der Physics, Bd III/3, Springer-
Verlag, Berlin.
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Sur les solides hyperClastiques A compressibilit6 induite par I’endommagement Florence ANDRIEUX,
Khhais
SAANOUNI
et Fraqois
SIDOROFF
F. A. : UTC LG2mS, LRA 1505 du CNRS, BP 649, 60206 Compi$gne cedex ; K. S. : UTT GSM/LASMIS, BP 2060, 10010 Troyes cedex ; F. S. : ECL LTDS, LMR C5513 du CNRS, BP 163, 69131 lhlly cedex, France.
RhmC.
On prksente dans cette Note une modklisation du comportement d’un solide hyperklastique endommageable?I compressibilit6 induite dans le cadre de la thermodynamique des processus irr6versibles. Une condition de liaison non classique (modkle CL) qui permet de rendre compte de la compressibiliti induite par l’endommagement isotrope est proposke. On montre alors que le mod&le CL est compatible avec un autre modkle dit peu compressible (modble PC) quand le module de compressibilitk tend vers I’infini. Les deux mod&les sont illustrks dans le cas de la traction simple.
On hyperelastic solids with damage induced compressibility Abstract.
Abridged
Using the framework of thermodynamics of irreversible processes with state variables a formulation of the damage induced compressibility in hyperelastic solids is proposed. A non-classic compressibility constraint condition is introduced (model CL) to describe the compressibility induced by isotropic damage. This model is shown to be consistent with a ‘weakly compressible’ model (model PC) when the compressibility modulus is very high. The two models are applied to the uniaxial tensile test and compared.
English Version
Rubber-like materials (hyperelastic or viscohyperelastic solids) are characterized by large elastic deformations and are usually supposedto be incompressible (Rivlin, 1948; Treloar, 1975). However, it is observed that these materials when damaged become compressible (Farris, 1968; Heuillet, 1993). This leads to the so-called hyperelastic solid with compressibility induced by damage growth.
Note prhentke
par Pierre SUQUET.
1251-8069/97/03240281 0 Acadhnie des Sciences/Elsevier, Paris
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F. Andrieux,
K. Saanouni et F. Sidoroff
Modelling this phenomena is very important for the numerical computation of rubber-like components which is usually performed using the hypothesis of total incompressibility or quasi incompressibility (Ogden, 1984; Jazzar, 1993). In this work a new non-classical constraint condition is proposed to describe the compressibility induced by the development of isotropic damage inside an isotropic isothermal hyperelastic medium. For validation purposes,the proposed model is compared with another one assuming weak compressibility. The framework of the thermodynamics of irreversible processes (Lemaitre and Chaboche, 1985) with state variables is used introducing the left Cauchy Green tensor B_ associated to the Cauchy stress tensor _T as external state variables (eulerian description). Isotropic damage is represented by the internal state variable D (D E [0 1] ) with Y as the dual variable (Chaboche, 1980). The Gibbs free energy p. v/( g, D) = W( B_,D) is used as thermodynamic potential; while a damage surface is introduced to describe the damage evolution law in the framework of the Generulised standard materials (GSM) (Nguyen and Halphen, 1975). Assuming uncoupled volumetric and deviatoric response for large deformations, i.e. F = Ju3 E, the state potential becomes an isotropic function of the variable J (J =det E = p. /p ) and E( dct (E) = 1 ) (Sidoroff, 1974). The first model (CL model) is based on the state potential given by equation (1) together with the constraint condition [eq. (3)]. This allows the Clausius-Duhem inequality to be written under the form given by equation (5) and provides the state laws given by equations (6). The dissipation analysis is made using one of the two following methods: - model CLI: the damage surface is given by equation (7) as a convex function of Y and where Q(D) is a positive increasing function of D describing the evolution of the radius of the damage surface. The damage evolution law is then given by equation (8) where the damage ‘multiplier’ 8 is an explicit function of the constraint ‘multiplier’ r introduced by the state laws [eq. (6)]. This can be solved for given loading conditions by explicit computation of the multiplier r using appropriate boundary conditions (Andrieux, 1996). Unfortunately this ‘natural’ way is not helpful for numerical finite element computations which require the material response on any general loading path; - model CL2: a simple but approximate way to obtain an uncoupled relation between the damage and the constraint multipliers is to take the damage surface as a function of the deviatoric part ? of the force Y, i.e. f(? ; D) = ?- Q(D) together with a damage potential G( Y ; D) = Y - Q(D) in the framework of a non-associated theory. The new damage evolution law is then given by the equation (9) where Q’(D) is the derivative of Q( D ) with respect to D. The second model (PC model) uses the compressibility modulus K and the effective volume variation variable j = J/g( D ) to define the state potential by equation (10) and the state laws by equations (12). The damage evolution law is given by equations (13) and (14) obtained from the damage surface defined by equation (7). The PC model is shown to reduce to the CL1 model when the compressibility modulus K tends to infinity and the constraint condition [eq. (3)] is then retrieved (seeAndrieux, 1996). With specialization of the constitutive functions to (15) the models PC, CL1 and CL2 are compared in the case of the uniaxial tension loading path. Figure 1 shows the variation of the Cauchy stress 0, the volume variation J and the damage D versus the elongation 1. The model PC tends to the mode] CL2 as K increases and gives the same curves as the model CL1 for K = 100.0 MPa. These very simple models only provide conceptual guidelines. They will have to be completed and refined for the actual description of real materials.
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CompressibilitC
induite
par endommagement
Introduction
Les solides caoutchoutiques (hyperelastiques ou viscohyperelastiques) sont caracterises par de grandes deformations Blastiques (plusieurs centaines de pourcent) et sont souvent consider& comme incompressibles (Rivlin, 1948 ; Treloar, 1975). Cependant il a ete observe que, pour ces solides, l’endommagement volumique s’accompagne,pour autant que les conditions cinematiques de la sollicitation le permettent, d’une augmentation de volume (Farris, 1968; Heuillet, 1993). On parle ainsi de solides hyperelastiques h compressibilite induite par l’endommagement au sens oti le materiau, raisonnablement suppose incompressible dans son &at non endommage, peut subir en revanche une variation de volume resultant de l’apparition et de la croissance de l’endommagement. La modelisation de ce phenomene est d’une grande importance pour le calcul des structures caoutchoutiques endommageablesqui sont souvent traitkes comme &ant incompressibles, (Ogden, 1984), mais pour lesquelles les variations de volume, mCmefaibles, peuvent jouer un role essentiel, (Jazzar, 1993). Cette liaison entre endommagementet variation de volume pose cependant quelques problemes conceptuels difficiles qui font l’objet de cette Note : la description naturelle se fait par l’introduction d’une condition de liaison (mod&e CL) reliant la variation de volume a l’endommagement, mais qui conduit ZIune formulation non classique que nous validerons par passagea la limite, ZI partir d’un modele peu compressible (modele PC) plus lourd mais sans singular&. Par souci de simplicite on se limitera au cas hyperelastique isotherme, independant des vitesses, isotrope et avec endommagement isotrope. Dans le cadre general des mod&es standard generalis& (MSG ; Nguyen Halphen, 1975) et en formulation eulerienne, les variables d’etat seront done le tenseur de Cauchy-Green gauche e, seule variable contrblable, et une variable interne scalaire d’endommagement D (D E [0, 11 ), seule source de dissipation. Les forces thermodynamiques correspondantes seront le tenseur des contraintes de Kirchhoff L = JT et la force thermodynamique d’endommagement (Chaboche, 1980 ; Lemaitre et Chaboche, 1985) : z:d--
?i’= Yd
-
oti W = W( B, D ) represente l’energie par unite de volume dans la configuration de reference, et oti d est le tenseur des taux de deformation. Conformement au formalisme standard generalise, la loi d’evolution d’endommagement decoulera alors d’une fonction seuil d’endommagement, (Nguyen Halphen, 1975), f( Y) dans l’espace des forces thermodynamiques Y. Par ailleurs et pour expliciter plus commodement le role de la compressibilite, nous decomposerons la deformation en parties spherique et distorsionnelle. En notant E le tenseur gradient et J = det &‘= p. /p = VIV, le jacobien de la transformation (variation de volume), nous posons F = J’” c( det F = 1 ). Le potentiel d’etat dans l’espace des deformations peut alors &tre Ccrit sous la forme d’une fonction isotrope des variables J, g et D : W = WB( J, s, D), Sidoroff (1974).
Mod&le A condition
de liaison
(CL)
Toujours par souci de simplicite le potentiel d’etat est choisi sous la forme suivante : W(B,D)=(l-0)
W,(E) 283
F. Andrieux,
K. Saanouni et F. Sidoroff
ou W, est l’energie de deformation du solide non endommage suppose incompressible. Compte term de la forme de W on obtient en notant dev ( . ) le deviateur de ( . ) :
-r-2(1
-D)dev
(-aw;f’)] g
: g+W,@)daO
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La variation de volume induite par l’endornmagement est d&rite par la relation : J=g(D)
ou J2- [g(D)12=0
(3)
oti g( D ) est une fonction positive et croissante de la variable D verifiant y( D = 0 ) = 1, de sorte qu’en l’absence d’endommagement, la condition (3) redonne la condition classique d’incompressibilite. Par derivation de (3) et apres de simples transformations, il vient, en suivant la demarche gCn&ale de Truesdell (1965) : J2trace(d)-g(D)g’(D)d=O
(4)
oti g’( D ) represente la derivee de g( D ) par rapport a la variable D. La combinaison de (2) et (4) conduit a &-ire l’inegalitk sous la forme suivante :
z--rJ21-2(1
-D)dev
(-dW;f’) g
j : d+ [rg(D)g’(D)
+ W,(@]
d 3 0
(5)
oti r est un multiplicateur de Lagrange. Un raisonnement classique permet d’obtenir les relations d’etat et d’ecrire (5) sous la forme suivante :
z=s+3
-
Y=y,+?
s=rJ2i
%=2(1--D)dev
Y,=rg(D)g’(D)
(6)
?=W,(@)
On verifie en particulier que les termes spheriques Y, et 3, proportionnels au multiplicateur r, represententla compensation au niveau des forces Yet 3 de la contrainte imposee conjointement a la deformation et au dommage par la condition de liaison (3). On verifie Cgalement qu’en absence d’endommagement (D = 0), les relations (6) redeviennent celles tout a fait classiques d’un milieu hyperelastique incompressible defini par le potentiel W,. La relation complCmentaired’evolution de I’endommagement est obtenue dans le cadre des MSG en choisissant l’une des deux voies suivantes : - modele CL1 : c’est la voie la plus <
284
(7)
CompressibilitC
induite
par endommagement
oti Q( D ) est une fonction positive et croissante de D qui gouverne la dimension de la surface de non-endommagementdans l’espace des deformations et doit traduire la non-lirkarite de l’evolution de l’endommagement. L’equation d’evolution du dommage s’ecrit alors :
d=S-j$
si f=o,
et d=O
si f
ou C$est le multiplicateur de l’endommagement qui peut Ctre calcule par la condition de consistance f = 0. Notons que ce calcul fait apparaitre un couplage avec la derivee du multiplicateur de liaison r qui intervient dans l’expression de Y (par-tie Y, de Y). La mar&-e naturelle de resoudre ce couplage consiste, si la cinknatique de deformation imposee le permet, a calculer explicitement l’expression de r par une condition aux limites. Cela impose de traiter les sollicitations au cas par cas pour obtenir une expression analytique du multiplicateur r. Une telle approche (Andrieux, 1996) pose des problbmes du point de we du calcul des structures par elements finis ; elle necessite des relations de comportement g&kales et valables pour toutes les sollicitations thermomkcaniquesque l’on pourra imposer a la structure ; - modele CL2 : une maniere simple, mais approchee, de contourner ce problbme consiste a Cviter le couplage entre les multiplicateurs d’endommagement 8 et de liaison r en negligeant le terme YS dans l’expression du convexe f qui ne depend plus que de r : f ( ? ; D ) = r - Q( D ). Cela revient a supposer, comme dans Simo (1987) que seule la par-tie distorsionnelle de Y gouveme l’evolution de l’endornmagement. On se met alors dans le cadre d’une theorie non associee en introduisant un potentiel d’endommagement G( Y; D) = Y - Q(D) dependant de Y tout entier de sorte que si f= 0, l’evolution du dommage est independante de r :
&pQ=
63Y
&(Zdev(Eg):d)>O
(9)
oti Q’(D) est la derivee de Q(D) par rapport a D et la notation (@) signifie la partie positive de @ Modi3e peu compressible (PC) Dans ce modele, le potentiel d’etat est maintenant fonction de J, @ et D. On le choisit sous la forme additive suivante : W(J,@, D) = KW,(.i) + (1 - 0.) W&j)
(10)
oti W, est la par-tie spherique du potentiel, K est le module de compressibilite du mat&au et la variable effective j = J/g( D ) oii g( D ) est la m&me fonction que dans le modele CL. L’inCgalitC fondamentale s’6crit alors :
- aw&f>
-z -KJ ------l-2(1 dJ
-D)dev
KJ--g’(D)aw,(h s2(D)
aJ
285
F. Andrieux,
K. Saanouni et F. Sidoroff
Les equations d’etat sont alors donnees par :
Par comparaison avec les equations d’etat (6) du modele CL, on remarque que la difference entre ces deux modeles se limite aux composantesspheriques Y, de Y et 2 de 5. Pour l’analyse de la dissipation, on retient le convexe f don& par (7) qui conduit, dans le cadre des h4SG et apres utilisation de la condition f = 0, a l’expression suivante de la vitesse d’endommage-
ou le scalaire H > 0 est don& par : 2aQW)
+
ajz
aw,U)
+2(#)2-s)]
(14)
aJ
oti g”( D ) est la derivee seconde de g( D ) par rapport a D. On peut montrer (Andrieux, 1996) que ce modele PC tend vers le modele CL1 lorsque K tend vers l’infini. Application
h la traction
simple
Pour illustrer le comportement de ces trois modbles, nous choisissons une forme explicite des differentes fonctions du modble :
wo g(D)
= :[(;+@(7,-3)+(;-/?)(1,-3)] =
l+yD
et Q(D)=Qo
V’m
(15) I
oti G, /?, y, Q,, n et Do sont les constantes mattkielles des modeles. Considerons maintenant une sollicitation en traction simple definie par un gradient de deformation de composantes non nulles F,, = 3, et F22= F33= (J/A)‘.‘, et un tenseur de contrainte de Kirchhoff d’unique composante non nulle zI1. Darts ce cas, les equations uniaxiales des deux modeles sont :
~,l=~(x)=G[(f+P)(‘:2-j)+(~-~)(1-~)],~=(1-~~r(l) (16)
avec h=$(D+D,)t-’
286
I
Compressibilitk
induite
par endommagement
avec, comme seule difference, l’expression de J : - pour le modele PC J=g(D)
[l+&(l-D)*(;i)]
- pour le modele CL2 J= Cl(D) L’illustration des trois modeles (PC, CL1 et CL2), dans ce cas particulier de traction, est donnee sur la figure 1 avec G = 1,OMPa, /? = O,O, Q,, = 2,5, n = 2,0, D, = 10 - 4, y = I,0 et deux valeurs de K, I’une faible K = 1,OMPa et l’autre Clevke K = 100,OMPa. Cette figure rassemble les courbes reprksentant la variation de la contra&e de Cauchy o, de l’endommagement D et de la variation de volume J en fonction de l’elongation 1 variant de 1,0 a 2,0 Les courbes relatives aux modtiles CL1 et PC avec K = 100 MPa sont indiscemables. Ces r&hats conduisent clairement aux conclusions suivantes : - le modble avec condition de liaison CL1 coincide avec le modele PC pour K grand. II en differe, en revanche, significativement lorsque K est du m&me ordre de grandeur que G ; - le modele avec condition de liaison CL2, moins nature1 mais plus simple, donne des resultats voisins du modele CLl, ce qui justifie son utilisation en calcul de structure. De nombreuses autres applications de ce modble a des sollicitations variees sont donnees dans Andrieux (1996).
--m-m
PC (K=1OOMPa) = CL1
-
- -
Fig. 1. - Variation de u, D et J en fonction de 1 Fig. I. - Variation
- PC (K=lMPa)
pourles
mod&les ; PC (K = l,O, lOO,O), CL1 et CL2.
of CT,D and J versus 1 for the models; PC (K = 1.0, 100.0) and CL2.
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F. Andrieux,
K. Saanouni et F. Sidoroff
Conclusion Une condition de liaison reliant la variation de volume B l’endommagement, bien que non classique, permet done, avec quelques precautions, l’ecriture d’un modele coherent dont nous avons presente les grandes lignes. L’application 21un mat&iau reel exigerait bien Cvidemment de completer et de raffiner ce modele (Andrieux, 1996), mais les developpements present& (cc infiu) fournissent la base pour le traitement cohkrent de cette liaison. Note remise le 26 septembre 1996, acceptee le 1”’ octobre 1996.
References bibliographiques Andrieux F., 19%. Sur les milieux visco-hyperelastiques endommageables,These de doctorat de I’UTC, Compibgne. Chabocbe J. L., 1980. Sur L’Utilisation des Variables Internes d’Rtat pour la Description du Comportement Mscoplastique et de la Rupture par Endommagement, Problemes Non Lineaires de Mecanique, PWN, Nowacki W.N., Bd.Varsovie, p. 137-159. Far-r-is R. J., 1968. The intluence of vacuole formation on response and failure of filled elastomers, Trans. Sot. Rheo.,
p. 315334. He&let P., 1992. Caracterisation de I’endomagement des propergols sohdes composites, These de doctorat de I’UTC, Compiegne. Jazzar F., 1993. Modelisation du comportement hyperelastique quasi-incompressible de structure acier Blastomere,These de doctorat, Marseille. Lemtitre J. et Chaboehe J. L., 1985. Mecanique des Materiaux Solides, Dunod, Paris. Nguyen Q. S. et Halphen B., 1975. Sur les materiaux standard g&+mlis6s, J. Met., 14, p. 39-63. Ogden R. W., 1984. Non Linear Elastic Deformation, John Wiley, New York. Rivlin R. S., 1948. Large elastic deformations of isotropic materials, Trans. Roy. Sot., 241, p. 379-397. Sidoroff F., 1974. Un modele viscoe’lastique non lineaire avec configuration intermediaire, J. M&c., 13, no 4, p. 679-713. Simo J. C., 1987. On a fully three-dimensional finite-strain viscoelastic damage model: formulation and computational aspects, Comp. Meth. in Appl. Mech. EnS., 60, p. 153-173. Treloar L. R. J., 1975. The Physics of Rubber Elasticity, Third edition, Clarendon Press,Oxford, Truesdell C. A. and No11 W., 1965. The Non-linear Field Theories of Mechanics, Handbuch der Physics, Bd III/3, Springer-
Verlag, Berlin.
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