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Sur l'arithmétique des anneaux locaux de dimension 2 et 3
Journal of Algebra 213, 499᎐512 Ž1999. Article ID jabr.1998.7672, available online at http:rrwww.idealibrary.com on
Sur l’arithmetique des anneaux locaux de ´ dimension 2 et 3 Belgacem Draouil Departement de Math., Faculte´ des Sciences de Bizerte, Zarzouna, 7.021-Bizerte, Tunisia
and Jean-Claude Douai U.F.R. de Mathematiques, Uni¨ ersite´ des Sciences et Techniques de Lille, ´ 59655-Villeneu¨ e d’Ascq Cedex, France E-mail: [email protected] Communicated by Walter Feit Received October 15, 1997
Soient A un anneau local, normal, henselien, excellent, de dimension 2, x son ´ point ferme, K s FracŽ A. son corps des fractions. Soit f : ´ k 0 son corps residuel, ´ ª Spec A une resolution de Spec A par un schema de dimension 2 ´ ´ regulier ´ dont la fibre speciale Y s fy1 Ž x 4. definie sur k 0 est supposee ´ ´ ´ `a croisements normaux. On sait qu’une telle resolution existe toujours. L’ensemble des points de ´ codimension 1 de X s Spec A y x 4 ( y Y correspond ` a l’ensemble P des ideaux de hauteur 1 de A. Lorsque k 0 est fini, Saito a decrit le noyau de ´ ´ l’application ⌿K : H 3 Ž K, Q l Ž2.. ª [¨ g P H 3 Ž K ¨ , Q l Ž2.. ou ` K ¨ est le complete ´ ´ de K en ¨ , l premier / car k 0 , en termes du graphe dual associe ´ `a la courbe exceptionnelle Y. Il existe une filtration par le poids naturelle sur la cohomologie H 1 Ž Y, Q l . de la fibre speciale geometrique Y s Y mk 0 k 0 , filtration d’aboutisse´ ´ ´ ment de la suite spectrale dont le terme E1p⭈ q est H˘ q Ž Y w q x, Q l . Žcf. le n⬚1.1 pour la notation Y w q x .. Le noyau de K correspond au premier cran de cette filtration ou de maniere la realisation geometrique ` ´equivalente au 1Ž< ⌫ <. ab m Ql , < ⌫ < designant ´ ´ ´ ´ du graphe dual de Y. Nous montrons comment on peut generaliser ce point de vue ´ ´ aux anneaux locaux de dimension 3. On considerera dans ce but un anneau local, ´ normal, henselien, excellent, de dimension 3, dont le corps residuel k 0 est ou ´ algebriquement clos ou fini. A priori les singularites ´ ´ de Spec A sont contenues dans une sous-variete ´ ´ de codimension 1. Nous suposerons ici que A admet une seule singularite de ´ en son point ferme´ x 4. Soit f : ª Spec A une resolution ´ Spec A par un schema regulier de dimension 3; la fibre speciale Y image ´ ´ ´ reciproque par f du point ferme ´ ´ x de A est alors une surface. La filtration par les poids du H 1 Ž Y . consideree est alors remplacee ´ ´ precedemment ´´ ´ par celle du 499 0021-8693r99 $30.00 Copyright 䊚 1999 by Academic Press All rights of reproduction in any form reserved.
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DRAOUIL ET DOUAI
H 2 Ž Y .. Dans le cas ou clos, nous montrons que le noyau de ` k 0 est algebriquement ´ l’application K : H 3 Ž K, Q l Ž2.. ª [¨ g P H 3 Ž K ¨ , Q l Ž2.. contient un sous-groupe isomorphe ` a Q lr 1Ž A. ou ` r1Ž A. s dim W1Ž H 2 Ž Y, Ql .. ŽWi Ž H 2 Y, Ql . s ensembles des 2Ž . . elements de H Y, Q ´´ ` l de poids F i pour la filtration par le poids . Dans le cas ou k 0 est fini, c’est le noyau de ⌿K : H 4 Ž K, Q l Ž3.. ª [¨ g P H 4 Ž K ¨ , Q l Ž3.. qu’il faut X alors considerer ´ et nous montrons qu’il contient un sous-groupe du type Ž Ql . r 1Ž A. ou geometrique du graphe ⌫ de ` r1X Ž A. s rang Q l H 2 Ž< ⌫ <, Ql . ou ` < ⌫ < est la realisation ´ ´ ´ la fibre exceptionnelle Y Žon peut toujours supposer sommets, aretes, faces . . . de ˆ ce dernier definis sur k 0 ; en particulier les points triples de < ⌫ < seront supposes ´ ´ X definis sur k 0 .. Les entiers r1Ž A. et r1Ž A. sont independants de la resolution ´ ´ ´ choisie. Les noyaux des differentes applications K sont ´ etudies ´ ´ grace ˆ `a la suite exacte de localisation appliquee ´ `a X s Spec A y x 4: g
H i Ž X , i y 1. ª H i Ž K , i y 1.
6
. . . ª lim H iy 2 p Ž D, i y 1 y p . ª D
lim H iq 1y2 p Ž D, i y 1 y p . ª . . . ª
Ž).
6
␦i
D
ou des sous-schemas fermes ` D decrit ´ l’ensemble des desingularisations ´ ´ ´ de dimension p - dim X. Nous sommes amenes ´ `a dualiser Ž). et, en particulier, l’application de Gysin g et, cela, nous pourrons le faire grace ˆ au theoreme ´ ` de dualite´ ´etabli par A. Grothendieck ŽS.G.A. 5, ‘‘Cohomologie l-adique et fonctions L,’’ expose ´ I, Lecture Notes in Math, Vol. 589. Remarque 4.7.17 qui est l’analogue pour les anneaux locaux strictement henseliens de la dualite ´ ´ de Poincare´ pour les varietes ´´ definies sur les corps. Ceci ne semble pas avoir ´ ete ´ ´ utilise´ par Saito. Cette dualite´ permet d’interpreter ´ le groupe H 3 Ž X, Ql Ž2.. dans les cas ou ` k 0 est algebriquement ´ clos Žresp. le H 4 Ž X, Q l Ž3.. dans le cas ou ` k 0 est fini. comme le dual du H 2 Ž X, Ql .. Žpar generation . dans le H 2 Ž X, Q l . En fait, les classes de H 2 Ž< ⌫ <, Q l . se relevent ` ´ en des classes dont les duales sont dans le noyau de K et ce point constitue l’analogue du resultat de Saito. 䊚 1999 Academic Press ´
0. NOTATIONS ET OUTILS Dans toute la suite, A designera un anneau local, normal, henselien et ´ ´ excellent de dimension 2 ou 3. Dans le cas ou ` A est de dimension 3, nous supposerons que A admet une seule singularite ´ en son point ferme, ´ condition, qui en dimension 2, est automatiquement remplie ` a cause de l’hypothese ` de normalite. ´ On notera K, le corps des fractions de A, x, son point ferme, ´ k 0 , son corps residuel, ´ P, l’ensemble des ideaux premiers de hauteur 1 de A. ´ O¨ , l’anneau de valuation de ¨ g P, et si on note X s Spec A y x 4 , tout ¨ g P definit un diviseur de X. ´
L’ARITHMETIQUE DES ANNEAUX LOCAUX ´
501
Pour tout ¨ g P, on designera par K ¨ le complete ´ ´ ´ de K en ¨ , par k Ž ¨ . le corps residuel de K . ´ ¨ l designera toujours un entier premier different de la caracteristique ´ ´ ´ de k 0 . Si H est un Q l-module, on posera H Ž i . s H mQ l Q l Ž i . ou ` Ql Ž i . s Q l Ž1. m ⭈⭈⭈ m Q l Ž1. Ž i-fois. est le module de Tate tensorise ´ i-fois avec lui-meme. ˆ Tous les schemas consideres ´ ´ ´ sont munis de la topologie ´etale et on ´ecrira simplement H i Ž V, F . au lieu de H i Ž Vet , F ., pour un faisceau F quelconque sur le site ´ etale Vet d’un schema ´ V. Nous noterons simplement H i Ž X, n. le groupe H i Ž X, Q l Ž n... Comme nous l’avons indique ´ dans l’introduction, nous aurons besoin de la suite exacte de localisation de Grothendieck Žcf. w4, n⬚ 9.7x. qui a ´ ete ´ par la suite amendee ´ dans ‘‘Hodge’s general conjecture is fase for trivial reasons,’’ Topology 8 Ž1969., 299᎐303, g
H i Ž X , i y 1. ª H i Ž K , i y 1.
6
⭈⭈⭈ ª lim H iy2 p Ž D, i y 1 y p . ª D
lim H iq1y2 p Ž D, i y 1 y p . ª ⭈⭈⭈ ª
Ž ).
6
␦i
D
ou des sous-schemas fermes ` D decrit ´ l’ensemble des desingularisations ´ ´ ´ de dimension p - dim X et g designe l’homomorphisme de Gysin. Il faut ´ remarquer que la suite de localisation est valable pour un schema ´ quelconque X et que Grothendieck n’impose la caracteristique nulle que pour ´ pouvoir disposer de la resolution des singularites. ´ ´ Comme tout ¨ g P definit un sous-schema reduit de ´ ´ ferme´ irreductible ´ ´ codimension 1 de X, le noyau de ⌿K : H i Ž K , i y 1 . ª
[H ¨ gP
iy1
Ž k Ž ¨ . , i y 2.
contient le noyau de ␦ i, i.e.; Ker ⌿K = Ker ␦ i s Coker g s H i Ž X , i y 1 . rIm g . L’application duale de g sera determinee ´ ´ grace ˆ aux dualites ´ suivantes; Pour X s Spec A y x 4 , d s dim A, on a des accouplements parfaits: 1er Cas.
k 0 algebriquement clos w9, Remarque 4.7.17x ´
Ž D1. H i Ž X , d y 1 . = H 2 dy1yi Ž X , Ql . ª H 2 dy1 Ž X , d y 1 . ( Ql .
502 2` eme Cas.
Ž D2.
DRAOUIL ET DOUAI
k 0 fini H i Ž X , d . = H 2 dyi Ž X , Q l . ª H 2 d Ž X , d . ( Q l
qui correspond formellement ` a la dualite ´ de Poincare´ sur un schema ´ de dimension Ž d y 1.. On peut resoudre le schema ´ ´ Spec A Žcf. w5x.: il existe un morphisme propre birationnel f : ª Spec A tel que: Ži. est un schema de dimension 2 ou 3 selon que A est de ´ regulier ´ dimension 2 ou 3. Žii. Y s fy1 Ž x . est un diviseur de ` a croisements normaux definie ´ sur k 0 . Žiii. L’application _ Y ª X s Spec A _ x 4 induite par f est un isomorphisme. Dans le cas ou non nulle nous la supposerons ` k 0 est de caracteristique ´ differente de 2, 3, 5 afin de pouvoir utiliser w1x. ´ Analogie de base. Le schema X n’est pas une vraie variete ´ ´ ´ mais est l’analogue d’une famille de courbes ou de surfaces Žselon que dim A s 2 ou 3. dependant d’une uniformisante locale et degenerant en la surface ´´ ´ Y: on fait passer par x le trait henselien Spec k 0 ww t xx, s t, si k 0 est de ´ caracteristique 0 et Spec W Ž k 0 ., s uniformisante de Witt, si k 0 est fini. ´ On posera k s k 0 ŽŽ t .. ou FracŽW Ž k 0 ... L’analogie precedente est confirmee ´´ ´ par les dualites ´ ŽD1. et ŽD2..
1. A EST DE DIMENSION 2 1.1. Le corps residuel k 0 de A est algebriquement clos de ´ ´ caracteristique nulle ´
est alors de dimension 2. Notons Y w px s @i 0 - ⭈ ⭈ ⭈ ⭈- i p Yi 0 l ⭈⭈⭈ l Yi p, Ž Yi . i g I s collection des composantes irreductibles de Y. Posons ´ h1 Ž < ⌫ < . s rang Q l H 1 Ž < ⌫ < , Q l . ou geometrique du graphe dual ⌫ de Y. Le groupe ` < ⌫ < est une realisation ´ ´ ´ H 1 Ž< ⌫ <, Q l . coıncide avec W0 Ž H 1 Ž Y, Q l .. constitue de poids o ¨ ´ des ´elements ´ pour la filtration par le poids 0 ; W0 ; W1 s H 1 Ž Y , Q l .
L’ARITHMETIQUE DES ANNEAUX LOCAUX ´
503
du groupe H 1 Ž Y, Q l . deduite de la suite spectrale E1p, q s H q Ž Y w px, Q l . « ´ p, q Ž H Y, Q l . w6, Sect. 1x. Si ⌽ s rang Q l H 1 Ž Y w0x, Q l ., alors le rang sur Q l de H 1 Ž Y, Q l . vaut ⌽ q h1Ž< ⌫ <. w6, Sect. 4x. Dans ces conditions, on a: THEOREME ´ ` 1. Soit A un anneau local, normal, henselien ´ de dimension 2, a algebriquement clos de caracteristique 0. Alors, le noyau ` corps residuel ´ ´ ´ Ker ⌿K de l’application ⌿K : H 2 Ž K, 1. ª [¨ g P H 2 Ž K ¨ , 1. contient un groupe isomorphe a ` Ž Ql . h1Ž < ⌫ <.q⌽ . Demonstration. La suite exacte de localisation pour X s’ecrit: ´ ´ g
H 2 Ž X , 1.
H 2 Ž K , 1.
[H
6
Ž O¨ , Q1 .
6
¨ gP
o
6
[H
¨ gP
1
Ž O¨ , Q1 .
Ž g s Gysin . . On a les isomorphismes H 1 Ž O¨ , Q l . ( H 1 Ž k Ž ¨ ., Q l . ( H 2 Ž K ¨ , 1.. Le groupe H 2 Ž X, 1. est dual du groupe H 1 Ž X, Q l . Žcf. §0, dualite ´ ŽD1. avec 0Ž Ž . . . d s 2 et i s 2 . Le groupe H k ¨ , Q l est dual du groupe H 1 Ž k Ž ¨ ., Q l . par l’accouplement: ŽD1, d s 1, i s 1. H o Ž k Ž ¨ . , Ql . m H 1 Ž k Ž ¨ . , Ql . ª H 1 Ž k Ž ¨ . , Ql . ( H 2 Ž K ¨ , 1. ( Ql . La suite exacte de localisation du §0 s’ecrit ´ alors: g
H 2 Ž X , 1.
H 2 Ž K , 1.
⌿K
[H
6
Ž k Ž ¨ . , Ql .
6
¨ gP
o
6
[H
¨ gP
2
Ž K ¨ , 1. .
Le noyau Ker ⌿K est ´ egal au conoyau de g. L’application g est duale de l’application
 : H 1 Ž X , Ql . ª
Ł H 1 Ž k Ž ¨ . , Ql . .
¨ gP
D’autre part, l’injection H 1 Ž Y, Q l . ¨s p H 1 Ž X, Q l . est induite par l’application surjective de specialisation 1ab Ž X . m Q l ¸ 1ab Ž Y . m Q l . Elle per´ 1Ž met d’identifier H Y, Q l . ` a un sous-espace de H 1 Ž X, Q l .; un ´ element de ´ P se specialise en un point ferme ´ ´ de Y. Nous avons le diagramme suivant: ¨
H 1 Ž X, Q l . 6
H 1 Ž Y, Q l . 6
⌸ ¨ g P H 1 Ž k 0 , Q l . s 0 ª⌸ ¨ g P H 1 Ž k Ž ¨ ., Q l . Toute classe de cohomologie de H 1 Ž Y, Q l . vue comme classe de cohomologie de H 1 Ž X, Q l . s’annule donc par restriction ` a un ´ element quel´ conque ¨ de P. On en deduit que Ker  contient le Q l-espace vectoriel ´ H 1 Ž Y, Q l ., donc Ker  contient un sous-espace isomorphe ` a Ž Q l . h1Ž < ⌫ <.q⌽ .
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DRAOUIL ET DOUAI
Par dualite, que Ker ⌿K s Coker g contient un sous-groupe ´ on en deduit ´ isomorphe ` a Ž Q l . h1Ž < ⌫ <.q⌽ . 1.2. Le corps residuel k 0 est fini ´ Ce cas est ´ etudie l’existence d’une suite ´ par Saito w8x qui demontre ´ exacte Ž r Ž A. s rang de H 1 Ž< ⌫ <, Q l .. 0 ª Ž Ql .
r Ž A.
ª H 3 Ž K , 2.
⌿K
[H
6
Ž S.
3
¨ gP
Ž K ¨ , 2. ª Ql ª 0
pour tout 1 / p s caracteristique de k 0 . Nous allons expliquer le noyau de ´ ŽS. ` a l’aide de la filtration par le poids de H 1 Ž Y, Q l . ou ` Y s Y mk 0 k 0 Žpour cette derniere, ` on renvoie maintenant dans ce cas `a w7x ᎏ§2 et non plus ` a w6x.. Le schema d’apres ´ Spec A ´etant de dimension 2, il se resout ´ ` w1x de la meme ˆ fac¸on qu’en 1.1. La suite de localisation pour X s Spec A y x4 s’ecrit: ´
Ž O¨ , 1 .
g
H 3 Ž X , 2. ª H 3 Ž K , 2.
[H
6
¨ gP
1
6
[H
¨ gP
2
Ž O¨ , 1 . .
On a les isomorphismes: H 1 Ž O¨ , 1 . ( H 1 Ž k Ž ¨ . , 1 . et H 2 Ž O¨ , 1 . ( H 2 Ž k Ž ¨ . , 1 . ( H 3 Ž K ¨ , 2 . . D’ou ` Ker ⌿K ( H 3 Ž X, 2.rIm g. L’application de Gysin g : [¨ g P H 1 Ž O¨ , 1. ª H 3 Ž X, 2. est duale de l’application
 : H 1 Ž X , Ql . ª Ł ¨ g P H 1 Ž k Ž ¨ . , Ql . Žle dual de H 3 Ž X, 2. s’obtient en appliquant la dualite ´ de ŽD2. avec d s 2 et i s 3.. Soit 0 ; W0 ; W1 s H 1 Ž Y, Q l . la filtration par la poids de H 1 Ž Y, Q l .. Le sous-espace W0 H 1 Ž Y, Q l . coıcide avec H 1 Ž< ⌫ <, Q l . ou ¨ ` < ⌫ < est une realisation geometrique du graphe dual ⌫ de Y. ´ ´ ´ Si nous supposons les composantes irreductibles et les points doubles de ´ Y definies sur k 0 , alors le graphe dual ⌫ de Y se descend ` a k 0 i.e., est en ´ fait defini sur k 0 d’ou le graphe ´ ` H 1 Ž< ⌫ <, Ql . ( H 1 Ž< ⌫ <, Ql . ou ` < ⌫ < designe ´ dual de Y. On obtient alors l’injection: W0 H 1 Ž Y , Q l . : H 1 Ž Y , Q l . ¨ H 1 Ž X , Q l . . Cette derniere ` injection correspond apres ` dualite´ au fait que les classes de 1ab Ž Y . m Q t qui proviennent de 1ab Ž< ⌫ <. m Q l se relevent dans ´
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1ab Ž X . m Q l par generisation. Montrons que W0 Ž H 1 Ž Y, Q l .. est inclus ´ ´ 1 dans Ker  . Le groupe W0 Ž H Ž Y, Q l .. se calcule comme l’homologie du complexe Žcf. l’analogue en dimension 1 de la ligne y4 p. 41 de w7x; dans w7x, Y w1x est note ´ Y w2x .: H 0 Ž Y w0x , Q l . ª H 0 Ž Y w1x , Q l . ª 0. Donc W0 Ž H 1 Ž Y , Q l . . s
H 0 Ž Y w1x , Q l . Im H 0 Ž Y w0x , Q l . ª H 0 Ž Y w1x , Q l . 4
.
On conclut que l’inclusion W0 Ž H 1 Ž Y, Q l .. : Ker  est ´ equivalente ` a la nullite, H o Ž Y w1x, Q l . ª ¨ H 1 Ž k Ž ¨ ., Q l . du ´ pour tout ¨ g P, de la fleche ` diagramme suivant H o Ž Y w1x , Q l . ¨
H 1 Ž X , Ql .
6 6
sp
6
6
W0 H 1 Ž Y , Q l . : H 1 Ž Y , Q l .
¨
H 1 Ž k Ž ¨ . , Ql .
ou ` ¨ est la composee ´ de  avec la projection de Ł ¨ g P H 1 Ž k Ž ¨ ., Ql . sur 1Ž Ž . le facteur H k ¨ , Q l .. Soit z ¨ le o-cycle dans Y obtenu en specialisant ¨ . En specialisant la ´ ´ w1x w1x fleche ¨ ª X, on obtient une fleche z ª Y et une fleche z ª Y ou ` ` ` ` ¨ ¨ z ¨w1x designe la trace de Y w1x sur z ¨ , d’ou ´ ` le diagramme commutatif suivant qui traduit la commutativite restriction avec la specialisa´ des operations ´ ´ tion: restriction
H o Ž z ¨w1x , Q l .
6
6
6
H 1 Ž Y , Ql .
6
restriction
H 1 Ž k Ž ¨ . , Ql .
6
6
H 1 Ž X , Ql .
H 1 Ž z¨ , Ql .
¨
6
H o Ž Y w1x , Q l .
˘ ou H o Ž Y w1x, Q l . ª H 1 Ž Y, Q l . est celle de Cech provenant de la ` la fleche ` suite spectrale H q Y w px, Q l . « H *Ž Y, Q l .. Or la trace de Y w1x sur z ¨ est vide, d’ou ` la nullite´ de H o Ž z¨w1x, Ql . et par suite celle de la fleche ` o Ž w1x H Y , Q l . ª ¨ H 1 Ž k Ž ¨ ., Q l .. Il en resulte que le noyau ⌿K contient un ´ sous-groupe isomorphe ` a Q lr Ž A. de rang ´ egal au rang du groupe 1 W0 Ž H Ž Y, l ...
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DRAOUIL ET DOUAI
2. A EST DE DIMENSION 3 2.1. Le corps residuel k 0 est algebriquement clos de ´ ´ caracteristique nulle ´
est alors de dimension 3. On resout Spec A par un morphisme birationnel f : ª Spec A tel ´ que w5x: Ži. est un scheme de dimension 3. ´ regulier ´ y1 Žii. Y s f Ž x 4. est un diviseur ` a croisements normaux, Žiii. f induit un isomorphisme _ Y ( X. La ` encore, on considere ` la suite exacte de localisation pour X: H 3 Ž X , 2. ª H 3 Ž K , 2.
D
␦3
lim H 2 Ž D, 1 . ª
6
g
6
lim H 1 Ž D, 1 . ª
D
ou des sous-schemas fermes ` D decrit ´ l’ensemble des desingularisations ´ ´ ´ de X de dimension - dimension de X. Nous avons vu dans le §0 que Ker ⌿K > Ker ␦ 3 s coker g s 3Ž H X, 2.rIm g. Nous ne savons pas determiner coker g, mais nous allons ´ montrer qu’il existe un entier r 1Ž A. dependant de la structure de Hodge ´ mixte de la fibre exceptionnelle Y telle que coker g contient un sous-groupe du type Ž Q l . r 1Ž A.. Dans l’analogie de base du §0, nous avons dit que X ´ etait l’analogue de la fibre generique d’une famille de surfaces definie sur le spectre d’un ´ ´ ´ corps k du type k 0 ŽŽ t ... Le groupe d’inertie I s GalŽ krk . joue le role ˆ de 2Ž . groupe de monodromie operant sur H X, Q ou X est la fibre geometri´ ` ´ ´ l que de X au dessus de Spec k. On sait qu’il existe alors sur H 2 Ž X, Q l . une filtration W⬘ par le poids de la monodromie Žcf. w6x. qui coıncide avec la ¨ filtration par les poids des valeurs propres associees aux relevements du ´ ` Frobenius Žcf. w2, n⬚ 3.6, 7, p. 41, Propo. 2.13x.: O ; W0X ; W1X ; W2X ; W3X ; W4X s H 2 Ž X , Q l . . De son cote, ˆ ´ H 2 Ž Y, Ql . est muni d’une filtration W qui est la filtration d’aboutissement de la suite spectrale w6, Sect. 1x E1p⭈ q s H q Ž Y w px , Q l . « H pq q Ž Y , Q l . . Les gradues ´ associes ´ aux filtrations W et W⬘ satisfont aux isomorphismes suivants:
;
Gr 0W ⬘ Ž H 2 Ž X , Q l . . Gr1W ⬘ Ž H 2 Ž X , Q l . . .
6
Gr1W Ž H 2 Ž Y , Q l . .
;
6
Gr 0W Ž H 2 Ž Y , Q l . .
L’ARITHMETIQUE DES ANNEAUX LOCAUX ´
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De plus, nous avons le diagramme suivant w2, bas de la p. 214x:
qui montre que les ´ elements de H 2 Ž X, Q l . I sont de poids F 2. Par ´ 2Ž l’application surjective sp: H Y, Q l . ª H 2 Ž X, Q l . I, W1 s’envoie isomorphiquement sur W1X Žcf. w6, Corollaire 1 de la Sect. 3x.. THEOREME excellent de ´ ` 2. Soient A un anneau local, normal, henselien, ´ dimension 3, n’admettant qu’une seule singularite´ en son point ferme. ´ Alors, pour tout l, le noyau de l’application ⌿K : H 3 Ž K, 2. ª [¨ g P H 3 Ž K ¨ , 2. contient un sous-groupe isomorphe a ` Ž Ql . r1Ž A. ou` r1Ž A. s dimension du 2Ž Ž .. Q l-espace ¨ ectoriel W1 H Y, Q l . Demonstration. En appliquant D1 du §0, on obtient les dualites ´ ´ pour d s 3 et i s 3: H 3 Ž X , 2. m H 2 Ž X , Ql . ª H 5 Ž X , 2. ( Ql , pour d s 2 et i s 2: H 2 Ž D, 1 . m H 1 Ž D, Q l . ª H 3 Ž D, 1 . ( Q l . Il en resulte que le conoyau de l’application: ´ g:
[H D
1
Ž D, Ql . ª H 3 Ž X , 2 .
est dual du noyau de l’application
 : H 2 Ž X , Q l . ª ⌸ D H 2 Ž D, Q l . ou toutes les desingularisations des sous-schemas fermes ` D decrit ´ ´ ´ ´ de dimension 0 ou 1. Par la commutativite ´ du diagramme ŽI., la partie W1 de H 2 Ž Y, Ql . s’envoie isomorphiquement sur son image dans H 2 Ž X, Q l . Žen fait dans W2 Ž H 2 Ž X, Q l ... Notons encore W1 cette image. Pour montrer le theoreme ´ ` 2, il nous suffira de montrer que Ker  contient W1. Pour cela, nous
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decoupons W1 en deux parties Gr1 s Gr1Ž H 2 Ž Y, Q l .. s W1rW0 et Gr 0 s ´ 2 Gr 0 Ž H Ž Y, Q l .. s W0 et montrons separement que Gr1 et Gr 0 appartien´ ´ nent ` a Ker  . Commenc ¸ons par Gr0 . Gr0 est isomorphe au terme E22, 0 dans la suite spectrale E2p, q s H q Ž Y w px, Q l . « H p, q Ž Y, Q l . donc est quotient de H o Ž Y w2x, Q l . par l’image de H o Ž Y w1x, Q l . ª H o Ž Y w2x, Q l .. Soient D une desingularisation d’un sous-schema ferme ´ ´ ´ de X, de dimension - 2, D la specialisation de D, D Žresp. D . est muni d’une ´ fleche vers X Žresp. Y .. ` La fleche D ª Y induit un morphisme H o Ž Y w2x, Q l . ª H 2 Ž D, Q l . qui ` se factorise par H o Ž D w2x, Q l .. Or D w2x s ⭋, donc H o Ž D w2x, Q l . s 0 et la fleche H o Ž Y w2x, Q l . ª H 2 Ž D, Q l . est nulle, donc aussi la fleche ` ` o Ž w2x H Y , Q l . ª H 2 Ž D, Q l . par composition de la fleche H o Ž Y w2x, Q l . ª ` H 2 Ž D, Q l . avec la specialisation H 2 Ž D, Q l . ª H 2 Ž D, Q l .. On en deduit ´ ´ 2 que Gr 0 Ž H Ž Y, Q l .. est inclus dans Ker  . Montrons que Gr1Ž H 2 Ž Y, Q l .. est inclus dans Ker  . Gr1 est un quotient de H 1 Ž Y w1x, Q l .. Considerons alors le diagramme commutatif ´
H 2 Ž D, Q l .
6
restriction
6
6
6
H 2 Ž D , Ql .
6
6
H 2 Ž X , Ql .
H 1 Ž D w1x , Q l . 6
H 2 Ž Y , Ql .
6
Gr1
restriction
6
H 1 Ž Y w1x , Q l .
La fleche H 1 Ž Y w1x, Q l . ª H 2 Ž D, Q l . se factorise comme suit ` H 1 Ž Y w1x , Q l . ª H 1 Ž D w1x , Q l . ª H 2 Ž D , Q l . ª H 2 Ž D, Q l . . Or D w1x est ou vide ou constitue ´ d’un nombre fini de points et alors H 1 Ž Dw1x, Q l . s 0. On en deduit que Gr1 : Ker  . Gr 0 et Gr1 sont inclus ´ dans Ker  , donc aussi W1 est inclus dans Ker  . 2.2. Le corps residuel k 0 est fini ´ Supposons la caracteristique de k 0 differente de 2,3 et 5 et que A ´ ´ n’admette qu’une seule singularite ´ en son point ferme´ x. Par w1x on dispose d’une resolution f : ª Spec A verifiant: ´ ´ Ži. est un scheme de dimension 3, ´ regulier ´ y1 Žii. Y s f Ž x 4. est un diviseur ` a croisements normaux, definie ´ sur k 0 , Žiii. L’application _ Y ª X induite par f est un isomorphisme.
L’ARITHMETIQUE DES ANNEAUX LOCAUX ´
509
L’application ⌿K de la suite exacte ŽS. de 1.2 relative au cas ou ` A est de dimension 2 doit ˆ etre remplacee par l⬘ application notee encore ´ ´ ⌿K : H 4 Ž K , 3 . ª
[H ¨ gP
4
Ž K ¨ , 3. .
De maniere fait dans le n⬚ 1.2, nous ` analogue `a ce que nous avons X exhiberons un sous-groupe du type Ž Q1 . r 1Ž A. dans le noyau Ker ⌿K ou ` r 1X Ž A. est un entier lie ´ `a l’homologie du graphe dual de Y. Le groupe H 2 Ž Y, Q l . est encore muni d’une filtration par le poids, filtration d’aboutissement de la suite spectrale dont le terme E1p, q s H q Ž Y w px, Q l .: 0 ; W0 ; W1 ; W2 Ž H 2 Ž Y , Q l . . . Pour cette filtration, W0 s W0 Ž H 2 Ž Y, Q l .. s H 2 Ž< ⌫ <, Q l . Žcf. p. 41 de w7x, ligne y4. ou ⌫ designe le graphe duale de Y. ` comme precedemment ´´ ´ L’entier r 1X Ž A. sera le rang sur Q l de H 2 Ž< ⌫ <, Q l .; il ne dependra pas du ´ choix de resolution choisie. ´ THEOREME excellent de ´ ` 3. Soit A un anneau local, normale, henselien, ´ dimension 3, a fini k 0 de caracteristique p / 2, 3, 5. Supposons ` corps residuel ´ ´ que A n’admette qu’une seule singularite´ en son point ferme, ´ singularite´ que l’on resout par f : ª Spec A. Supposons, de plus, que le graphe dual ⌫ de ´ Y soit defini ´ sur k 0 Ž i.e., que les sommets, aretes, ˆ faces de ⌫ de Y soit defini ´ sur k 0 ou de maniere de Y, les ` ´equi¨ alente que les composantes irreductibles ´ courbes doubles de Y, les points triples de Y soient definis sur k 0 .. Alors, le ´ 4Ž 4Ž . . noyau de l’application ⌿X K : H K, 3 ª [¨ g P H K ¨ , 3 contient un sousgoupe isomorphe a ` Ž Ql . r1Ž A. ou` r1X Ž A. est la dimension sur Ql de H 2 Ž< ⌫ <, Ql .. Demonstration. On ´ ecrit la suite exacte de localisation pour X Žcf. §0. ´ H 4 Ž K , 3.
␦4
lim H 3 Ž D, 2 . ª
6
H 4 Ž X , 3.
6
g
6
lim H 2 Ž D, 2 . ª D
D
Žou des sous-schemas fermes ` D decrit ´ l’ensemble des desingularisations ´ ´ ´ de X de dimension - 2. qui entraıne ˆ Ker ␦ 4 s coker g. Comme dans le §0, nous avons Ker ⌿K > ker ␦ 4 s coker g. H 4 Ž X, 3. est dual du H 2 Ž X, Q l . par la dualite ´ ŽD2. appliquee ´ au cas i s 4 et d s 3 et H 2 Ž D, 2. dual du H 2 Ž D, Q l . toujours par ŽD2. appliquee ´ au cas i s 2 et d s 2. Ainsi l’application: g : [D H 2 Ž D, 2 . ª H 4 Ž X , 3 . est duale de l’application
 : H 2 Ž X , Q l . ª ⌸ D H 2 Ž D, Q l . .
510
DRAOUIL ET DOUAI
LEMME 1. H 2 Ž Y, Q l . contient un sous-espace isomorphe a ` W0 et la restriction a W de l’application ` 0 H 2 Ž Y , Ql . ª H 2 Ž X , Ql . est injecti¨ e. Demonstration. Soient X la fibre geometrique de X sur k i.e. X s ´ & ´ ´ X mk k, Xs X mk k n r ou k est l’extension maximale non ramifiee ` nr ´ de k. 2Ž G Evidemment, H X, Q l . ; W0 ou ` G s GalŽ krk . et sous les hypotheses ` du theoreme, il y a en fait l’egalite ´ ` ´ ´ H 2 Ž X, Ql . G s W0 . Du diagramme ŽI., valable sur k n r et, ´ evidemment aussi en caracteris´ tique non nulle, on deduit le diagramme commutatif ´ I
6
H 2 Ž X , Ql .
6
&
0
6
H 2 Ž X, Q l . 6
sp
H
2
Ž Y , Ql .
ou ` I s inertie de GalŽ krk .. Descendons-le de k n r `a k. Nous avons la suite exacte deduite de la suite spectrale de descente de k n r ` a k. ´ &
H 2 Ž X , Q l . ª H 2 Ž X, Q l .
GalŽ k 0 rk 0 .
&
ª H 2 Gal Ž k 0rk 0 . , H 1 Ž X, Q l . .
ž
/
&
Comme k 0 est fini, alors dim k 0 F 1 et donc H 2 ŽGalŽ k 0rk 0 ., H 1 Ž X, Q l .. s 0. De la meme de la suite ˆ maniere, ` nous avons la suite exacte deduite ´ spectrale de descente de k 0 ` a k0 H 2 Ž Y , Ql . ª H 2 Ž Y , Ql .
GalŽ k 0 rk 0 .
ª 0.
Or, pour des raisons de poids, &
H 2 Ž X, Q l .
GalŽ k 0 rk 0 .
s H 2 Ž Y , Ql .
GalŽ k 0 rk 0 .
s W0 G
s H 2 Ž X , Ql . s H 2 Ž X , Ql .
ž
I GalŽ k 0 rk 0 .
/
.
L’ARITHMETIQUE DES ANNEAUX LOCAUX ´
511
On en deduit donc le diagramme suivant: ´ G
sp
6
GalŽ k 0 rk 0 .
s W0
6
ª H 2 Ž Y , Ql .
H 2 Ž Y , Ql .
0
6 6
H 2 Ž X , Q l . s W0 6
6
6
H 2 Ž X , Ql . 6
0
W0 se releve ` dans H 2 Ž X, Ql . Žresp. H 2 Ž Y, Ql ... La restriction de sp ` a W0 est un morphisme surjectif donc un isomorphisme de W0 sur lui-meme. On en deduit que l’application ˆ ´ H 2 Ž Y , Ql . ª H 2 Ž X , Ql . envoie injectivement W0 sur son image, d’ou ` le lemme.* Nous allons maintenant montrer que Ker  contient W0 dans H 2 Ž X, Q l .. W0 est le quotient de H o Ž Y w2x, Q l . par
Ž cf. ligne y4 p. 41 de w 7 x . . Il suffit alors de montrer la nullite ´ de la fleche ` o w2x 2 H Ž Y , Q l . ª H Ž D, Q l . pour toute desingularisation D d’un scheme ´ ´ ferme´ de X, de dimension F 1. Cette fleche est obtenue par la composition des applications ` H o Ž Y w2x , Q l . W0 : H 2 Ž Y , Q l . Im H o Ž Y w1x , Q l . ª H o Ž Y w2x , Q l . 4
6
6
W0 : H 2 Ž X , Q l . 6
6
H 2 Ž D, Q l . Notons d la specialisation de D; la fleche d ª Y induit un morphisme ´ ` H o Ž Y w2x, Q l . ª H 2 Ž d, Q l . qui se factorise par H o Ž d w2x, Q l .. Nous avons alors le diagramme commutatif suivant:
6
6
H 2 Ž D, Q l .
6
6
6
H 2 Ž d, Q l . 6
6
H 2 Ž X , Ql .
6
H 2 Ž Y , Ql .
6
W0
H 0 Ž d w2x , Q l .
6
H o Ž Y w2x , Q l .
*Note ajoutee du lemme, on pourrait aussi plus ´ aux ´epreu¨ es. Pour la demonstration ´ directement que sp est un morphisme d’espaces vectoriels ponderes ´ ´ de type Ž0, 0..
512
DRAOUIL ET DOUAI
Comme dim d F 1, alors d w2x s ⭋ et H o Ž d w2x, Q l . s 0. Ainsi pour tout D, l’application H o Ž Y w2x, Q l . ª H 2 Ž D, Q l . est nulle et par suite le groupe W0 est inclus dans Ker  .
REFERENCES 1. S. S. Abhyankar, ‘‘Resolution of singularities of embedded algebraic surfaces,’’ Academic ´ Press, New YorkrLondon, 1966. ´ 2. P. Deligne, Conjecture de Weil, II, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 52 Ž1980., 137᎐252. 3. J. C. Douai, Degenerescence de surfaces et principe de Hasse, J. Algebra 152 Ž1992., ´´ ´ 269᎐288. 4. A. Grothendieck, ‘‘Le groupe de Brauer, III,’’ dans Dix exposes ´ sur la cohomologie de schemas, North-Holland, Amsterdam, 1968. ´ 5. H. Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of char zero, Ann. of Math. 79 Ž1964., 109᎐326. 6. D. R. Morrison, ‘‘The Clemens᎐Schmid Exact Sequences and Applications,’’ Ann. of Math. Stud., Vol. 106, pp. 101᎐119, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1984. 7. M. Rapoport and Th. Zink, On the local Zeta functions of Shimura varieties: Monodromy filtration and vanishing cycles in unequal characteristic, In¨ ent. Math. 68 Ž1982., 21᎐101. 8. S. Saito, Class field theory for two dimensional rings, in ‘‘Galois Representations and Arithmetic Algebraic Geometry,’’ Adv. Stud. Pure Math., Vol. 12, pp. 343᎐373, Kinokuniya, Tokyo, 1987. 9. S. G. A. 5, Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois-Marie 1965᎐1966, in ‘‘Cohomolo´ ´ ´ ´ gie 1-adique et fonctions L,’’ Expose ´ I, Complexes Dualisants, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 589, Springer-Verlag, BerlinrHeidelbergrNew York.
Sur l’arithmetique des anneaux locaux de ´ dimension 2 et 3 Belgacem Draouil Departement de Math., Faculte´ des Sciences de Bizerte, Zarzouna, 7.021-Bizerte, Tunisia
and Jean-Claude Douai U.F.R. de Mathematiques, Uni¨ ersite´ des Sciences et Techniques de Lille, ´ 59655-Villeneu¨ e d’Ascq Cedex, France E-mail: [email protected] Communicated by Walter Feit Received October 15, 1997
Soient A un anneau local, normal, henselien, excellent, de dimension 2, x son ´ point ferme, K s FracŽ A. son corps des fractions. Soit f : ´ k 0 son corps residuel, ´ ª Spec A une resolution de Spec A par un schema de dimension 2 ´ ´ regulier ´ dont la fibre speciale Y s fy1 Ž x 4. definie sur k 0 est supposee ´ ´ ´ `a croisements normaux. On sait qu’une telle resolution existe toujours. L’ensemble des points de ´ codimension 1 de X s Spec A y x 4 ( y Y correspond ` a l’ensemble P des ideaux de hauteur 1 de A. Lorsque k 0 est fini, Saito a decrit le noyau de ´ ´ l’application ⌿K : H 3 Ž K, Q l Ž2.. ª [¨ g P H 3 Ž K ¨ , Q l Ž2.. ou ` K ¨ est le complete ´ ´ de K en ¨ , l premier / car k 0 , en termes du graphe dual associe ´ `a la courbe exceptionnelle Y. Il existe une filtration par le poids naturelle sur la cohomologie H 1 Ž Y, Q l . de la fibre speciale geometrique Y s Y mk 0 k 0 , filtration d’aboutisse´ ´ ´ ment de la suite spectrale dont le terme E1p⭈ q est H˘ q Ž Y w q x, Q l . Žcf. le n⬚1.1 pour la notation Y w q x .. Le noyau de K correspond au premier cran de cette filtration ou de maniere la realisation geometrique ` ´equivalente au 1Ž< ⌫ <. ab m Ql , < ⌫ < designant ´ ´ ´ ´ du graphe dual de Y. Nous montrons comment on peut generaliser ce point de vue ´ ´ aux anneaux locaux de dimension 3. On considerera dans ce but un anneau local, ´ normal, henselien, excellent, de dimension 3, dont le corps residuel k 0 est ou ´ algebriquement clos ou fini. A priori les singularites ´ ´ de Spec A sont contenues dans une sous-variete ´ ´ de codimension 1. Nous suposerons ici que A admet une seule singularite de ´ en son point ferme´ x 4. Soit f : ª Spec A une resolution ´ Spec A par un schema regulier de dimension 3; la fibre speciale Y image ´ ´ ´ reciproque par f du point ferme ´ ´ x de A est alors une surface. La filtration par les poids du H 1 Ž Y . consideree est alors remplacee ´ ´ precedemment ´´ ´ par celle du 499 0021-8693r99 $30.00 Copyright 䊚 1999 by Academic Press All rights of reproduction in any form reserved.
500
DRAOUIL ET DOUAI
H 2 Ž Y .. Dans le cas ou clos, nous montrons que le noyau de ` k 0 est algebriquement ´ l’application K : H 3 Ž K, Q l Ž2.. ª [¨ g P H 3 Ž K ¨ , Q l Ž2.. contient un sous-groupe isomorphe ` a Q lr 1Ž A. ou ` r1Ž A. s dim W1Ž H 2 Ž Y, Ql .. ŽWi Ž H 2 Y, Ql . s ensembles des 2Ž . . elements de H Y, Q ´´ ` l de poids F i pour la filtration par le poids . Dans le cas ou k 0 est fini, c’est le noyau de ⌿K : H 4 Ž K, Q l Ž3.. ª [¨ g P H 4 Ž K ¨ , Q l Ž3.. qu’il faut X alors considerer ´ et nous montrons qu’il contient un sous-groupe du type Ž Ql . r 1Ž A. ou geometrique du graphe ⌫ de ` r1X Ž A. s rang Q l H 2 Ž< ⌫ <, Ql . ou ` < ⌫ < est la realisation ´ ´ ´ la fibre exceptionnelle Y Žon peut toujours supposer sommets, aretes, faces . . . de ˆ ce dernier definis sur k 0 ; en particulier les points triples de < ⌫ < seront supposes ´ ´ X definis sur k 0 .. Les entiers r1Ž A. et r1Ž A. sont independants de la resolution ´ ´ ´ choisie. Les noyaux des differentes applications K sont ´ etudies ´ ´ grace ˆ `a la suite exacte de localisation appliquee ´ `a X s Spec A y x 4: g
H i Ž X , i y 1. ª H i Ž K , i y 1.
6
. . . ª lim H iy 2 p Ž D, i y 1 y p . ª D
lim H iq 1y2 p Ž D, i y 1 y p . ª . . . ª
Ž).
6
␦i
D
ou des sous-schemas fermes ` D decrit ´ l’ensemble des desingularisations ´ ´ ´ de dimension p - dim X. Nous sommes amenes ´ `a dualiser Ž). et, en particulier, l’application de Gysin g et, cela, nous pourrons le faire grace ˆ au theoreme ´ ` de dualite´ ´etabli par A. Grothendieck ŽS.G.A. 5, ‘‘Cohomologie l-adique et fonctions L,’’ expose ´ I, Lecture Notes in Math, Vol. 589. Remarque 4.7.17 qui est l’analogue pour les anneaux locaux strictement henseliens de la dualite ´ ´ de Poincare´ pour les varietes ´´ definies sur les corps. Ceci ne semble pas avoir ´ ete ´ ´ utilise´ par Saito. Cette dualite´ permet d’interpreter ´ le groupe H 3 Ž X, Ql Ž2.. dans les cas ou ` k 0 est algebriquement ´ clos Žresp. le H 4 Ž X, Q l Ž3.. dans le cas ou ` k 0 est fini. comme le dual du H 2 Ž X, Ql .. Žpar generation . dans le H 2 Ž X, Q l . En fait, les classes de H 2 Ž< ⌫ <, Q l . se relevent ` ´ en des classes dont les duales sont dans le noyau de K et ce point constitue l’analogue du resultat de Saito. 䊚 1999 Academic Press ´
0. NOTATIONS ET OUTILS Dans toute la suite, A designera un anneau local, normal, henselien et ´ ´ excellent de dimension 2 ou 3. Dans le cas ou ` A est de dimension 3, nous supposerons que A admet une seule singularite ´ en son point ferme, ´ condition, qui en dimension 2, est automatiquement remplie ` a cause de l’hypothese ` de normalite. ´ On notera K, le corps des fractions de A, x, son point ferme, ´ k 0 , son corps residuel, ´ P, l’ensemble des ideaux premiers de hauteur 1 de A. ´ O¨ , l’anneau de valuation de ¨ g P, et si on note X s Spec A y x 4 , tout ¨ g P definit un diviseur de X. ´
L’ARITHMETIQUE DES ANNEAUX LOCAUX ´
501
Pour tout ¨ g P, on designera par K ¨ le complete ´ ´ ´ de K en ¨ , par k Ž ¨ . le corps residuel de K . ´ ¨ l designera toujours un entier premier different de la caracteristique ´ ´ ´ de k 0 . Si H est un Q l-module, on posera H Ž i . s H mQ l Q l Ž i . ou ` Ql Ž i . s Q l Ž1. m ⭈⭈⭈ m Q l Ž1. Ž i-fois. est le module de Tate tensorise ´ i-fois avec lui-meme. ˆ Tous les schemas consideres ´ ´ ´ sont munis de la topologie ´etale et on ´ecrira simplement H i Ž V, F . au lieu de H i Ž Vet , F ., pour un faisceau F quelconque sur le site ´ etale Vet d’un schema ´ V. Nous noterons simplement H i Ž X, n. le groupe H i Ž X, Q l Ž n... Comme nous l’avons indique ´ dans l’introduction, nous aurons besoin de la suite exacte de localisation de Grothendieck Žcf. w4, n⬚ 9.7x. qui a ´ ete ´ par la suite amendee ´ dans ‘‘Hodge’s general conjecture is fase for trivial reasons,’’ Topology 8 Ž1969., 299᎐303, g
H i Ž X , i y 1. ª H i Ž K , i y 1.
6
⭈⭈⭈ ª lim H iy2 p Ž D, i y 1 y p . ª D
lim H iq1y2 p Ž D, i y 1 y p . ª ⭈⭈⭈ ª
Ž ).
6
␦i
D
ou des sous-schemas fermes ` D decrit ´ l’ensemble des desingularisations ´ ´ ´ de dimension p - dim X et g designe l’homomorphisme de Gysin. Il faut ´ remarquer que la suite de localisation est valable pour un schema ´ quelconque X et que Grothendieck n’impose la caracteristique nulle que pour ´ pouvoir disposer de la resolution des singularites. ´ ´ Comme tout ¨ g P definit un sous-schema reduit de ´ ´ ferme´ irreductible ´ ´ codimension 1 de X, le noyau de ⌿K : H i Ž K , i y 1 . ª
[H ¨ gP
iy1
Ž k Ž ¨ . , i y 2.
contient le noyau de ␦ i, i.e.; Ker ⌿K = Ker ␦ i s Coker g s H i Ž X , i y 1 . rIm g . L’application duale de g sera determinee ´ ´ grace ˆ aux dualites ´ suivantes; Pour X s Spec A y x 4 , d s dim A, on a des accouplements parfaits: 1er Cas.
k 0 algebriquement clos w9, Remarque 4.7.17x ´
Ž D1. H i Ž X , d y 1 . = H 2 dy1yi Ž X , Ql . ª H 2 dy1 Ž X , d y 1 . ( Ql .
502 2` eme Cas.
Ž D2.
DRAOUIL ET DOUAI
k 0 fini H i Ž X , d . = H 2 dyi Ž X , Q l . ª H 2 d Ž X , d . ( Q l
qui correspond formellement ` a la dualite ´ de Poincare´ sur un schema ´ de dimension Ž d y 1.. On peut resoudre le schema ´ ´ Spec A Žcf. w5x.: il existe un morphisme propre birationnel f : ª Spec A tel que: Ži. est un schema de dimension 2 ou 3 selon que A est de ´ regulier ´ dimension 2 ou 3. Žii. Y s fy1 Ž x . est un diviseur de ` a croisements normaux definie ´ sur k 0 . Žiii. L’application _ Y ª X s Spec A _ x 4 induite par f est un isomorphisme. Dans le cas ou non nulle nous la supposerons ` k 0 est de caracteristique ´ differente de 2, 3, 5 afin de pouvoir utiliser w1x. ´ Analogie de base. Le schema X n’est pas une vraie variete ´ ´ ´ mais est l’analogue d’une famille de courbes ou de surfaces Žselon que dim A s 2 ou 3. dependant d’une uniformisante locale et degenerant en la surface ´´ ´ Y: on fait passer par x le trait henselien Spec k 0 ww t xx, s t, si k 0 est de ´ caracteristique 0 et Spec W Ž k 0 ., s uniformisante de Witt, si k 0 est fini. ´ On posera k s k 0 ŽŽ t .. ou FracŽW Ž k 0 ... L’analogie precedente est confirmee ´´ ´ par les dualites ´ ŽD1. et ŽD2..
1. A EST DE DIMENSION 2 1.1. Le corps residuel k 0 de A est algebriquement clos de ´ ´ caracteristique nulle ´
est alors de dimension 2. Notons Y w px s @i 0 - ⭈ ⭈ ⭈ ⭈- i p Yi 0 l ⭈⭈⭈ l Yi p, Ž Yi . i g I s collection des composantes irreductibles de Y. Posons ´ h1 Ž < ⌫ < . s rang Q l H 1 Ž < ⌫ < , Q l . ou geometrique du graphe dual ⌫ de Y. Le groupe ` < ⌫ < est une realisation ´ ´ ´ H 1 Ž< ⌫ <, Q l . coıncide avec W0 Ž H 1 Ž Y, Q l .. constitue de poids o ¨ ´ des ´elements ´ pour la filtration par le poids 0 ; W0 ; W1 s H 1 Ž Y , Q l .
L’ARITHMETIQUE DES ANNEAUX LOCAUX ´
503
du groupe H 1 Ž Y, Q l . deduite de la suite spectrale E1p, q s H q Ž Y w px, Q l . « ´ p, q Ž H Y, Q l . w6, Sect. 1x. Si ⌽ s rang Q l H 1 Ž Y w0x, Q l ., alors le rang sur Q l de H 1 Ž Y, Q l . vaut ⌽ q h1Ž< ⌫ <. w6, Sect. 4x. Dans ces conditions, on a: THEOREME ´ ` 1. Soit A un anneau local, normal, henselien ´ de dimension 2, a algebriquement clos de caracteristique 0. Alors, le noyau ` corps residuel ´ ´ ´ Ker ⌿K de l’application ⌿K : H 2 Ž K, 1. ª [¨ g P H 2 Ž K ¨ , 1. contient un groupe isomorphe a ` Ž Ql . h1Ž < ⌫ <.q⌽ . Demonstration. La suite exacte de localisation pour X s’ecrit: ´ ´ g
H 2 Ž X , 1.
H 2 Ž K , 1.
[H
6
Ž O¨ , Q1 .
6
¨ gP
o
6
[H
¨ gP
1
Ž O¨ , Q1 .
Ž g s Gysin . . On a les isomorphismes H 1 Ž O¨ , Q l . ( H 1 Ž k Ž ¨ ., Q l . ( H 2 Ž K ¨ , 1.. Le groupe H 2 Ž X, 1. est dual du groupe H 1 Ž X, Q l . Žcf. §0, dualite ´ ŽD1. avec 0Ž Ž . . . d s 2 et i s 2 . Le groupe H k ¨ , Q l est dual du groupe H 1 Ž k Ž ¨ ., Q l . par l’accouplement: ŽD1, d s 1, i s 1. H o Ž k Ž ¨ . , Ql . m H 1 Ž k Ž ¨ . , Ql . ª H 1 Ž k Ž ¨ . , Ql . ( H 2 Ž K ¨ , 1. ( Ql . La suite exacte de localisation du §0 s’ecrit ´ alors: g
H 2 Ž X , 1.
H 2 Ž K , 1.
⌿K
[H
6
Ž k Ž ¨ . , Ql .
6
¨ gP
o
6
[H
¨ gP
2
Ž K ¨ , 1. .
Le noyau Ker ⌿K est ´ egal au conoyau de g. L’application g est duale de l’application
 : H 1 Ž X , Ql . ª
Ł H 1 Ž k Ž ¨ . , Ql . .
¨ gP
D’autre part, l’injection H 1 Ž Y, Q l . ¨s p H 1 Ž X, Q l . est induite par l’application surjective de specialisation 1ab Ž X . m Q l ¸ 1ab Ž Y . m Q l . Elle per´ 1Ž met d’identifier H Y, Q l . ` a un sous-espace de H 1 Ž X, Q l .; un ´ element de ´ P se specialise en un point ferme ´ ´ de Y. Nous avons le diagramme suivant: ¨
H 1 Ž X, Q l . 6
H 1 Ž Y, Q l . 6
⌸ ¨ g P H 1 Ž k 0 , Q l . s 0 ª⌸ ¨ g P H 1 Ž k Ž ¨ ., Q l . Toute classe de cohomologie de H 1 Ž Y, Q l . vue comme classe de cohomologie de H 1 Ž X, Q l . s’annule donc par restriction ` a un ´ element quel´ conque ¨ de P. On en deduit que Ker  contient le Q l-espace vectoriel ´ H 1 Ž Y, Q l ., donc Ker  contient un sous-espace isomorphe ` a Ž Q l . h1Ž < ⌫ <.q⌽ .
504
DRAOUIL ET DOUAI
Par dualite, que Ker ⌿K s Coker g contient un sous-groupe ´ on en deduit ´ isomorphe ` a Ž Q l . h1Ž < ⌫ <.q⌽ . 1.2. Le corps residuel k 0 est fini ´ Ce cas est ´ etudie l’existence d’une suite ´ par Saito w8x qui demontre ´ exacte Ž r Ž A. s rang de H 1 Ž< ⌫ <, Q l .. 0 ª Ž Ql .
r Ž A.
ª H 3 Ž K , 2.
⌿K
[H
6
Ž S.
3
¨ gP
Ž K ¨ , 2. ª Ql ª 0
pour tout 1 / p s caracteristique de k 0 . Nous allons expliquer le noyau de ´ ŽS. ` a l’aide de la filtration par le poids de H 1 Ž Y, Q l . ou ` Y s Y mk 0 k 0 Žpour cette derniere, ` on renvoie maintenant dans ce cas `a w7x ᎏ§2 et non plus ` a w6x.. Le schema d’apres ´ Spec A ´etant de dimension 2, il se resout ´ ` w1x de la meme ˆ fac¸on qu’en 1.1. La suite de localisation pour X s Spec A y x4 s’ecrit: ´
Ž O¨ , 1 .
g
H 3 Ž X , 2. ª H 3 Ž K , 2.
[H
6
¨ gP
1
6
[H
¨ gP
2
Ž O¨ , 1 . .
On a les isomorphismes: H 1 Ž O¨ , 1 . ( H 1 Ž k Ž ¨ . , 1 . et H 2 Ž O¨ , 1 . ( H 2 Ž k Ž ¨ . , 1 . ( H 3 Ž K ¨ , 2 . . D’ou ` Ker ⌿K ( H 3 Ž X, 2.rIm g. L’application de Gysin g : [¨ g P H 1 Ž O¨ , 1. ª H 3 Ž X, 2. est duale de l’application
 : H 1 Ž X , Ql . ª Ł ¨ g P H 1 Ž k Ž ¨ . , Ql . Žle dual de H 3 Ž X, 2. s’obtient en appliquant la dualite ´ de ŽD2. avec d s 2 et i s 3.. Soit 0 ; W0 ; W1 s H 1 Ž Y, Q l . la filtration par la poids de H 1 Ž Y, Q l .. Le sous-espace W0 H 1 Ž Y, Q l . coıcide avec H 1 Ž< ⌫ <, Q l . ou ¨ ` < ⌫ < est une realisation geometrique du graphe dual ⌫ de Y. ´ ´ ´ Si nous supposons les composantes irreductibles et les points doubles de ´ Y definies sur k 0 , alors le graphe dual ⌫ de Y se descend ` a k 0 i.e., est en ´ fait defini sur k 0 d’ou le graphe ´ ` H 1 Ž< ⌫ <, Ql . ( H 1 Ž< ⌫ <, Ql . ou ` < ⌫ < designe ´ dual de Y. On obtient alors l’injection: W0 H 1 Ž Y , Q l . : H 1 Ž Y , Q l . ¨ H 1 Ž X , Q l . . Cette derniere ` injection correspond apres ` dualite´ au fait que les classes de 1ab Ž Y . m Q t qui proviennent de 1ab Ž< ⌫ <. m Q l se relevent dans ´
L’ARITHMETIQUE DES ANNEAUX LOCAUX ´
505
1ab Ž X . m Q l par generisation. Montrons que W0 Ž H 1 Ž Y, Q l .. est inclus ´ ´ 1 dans Ker  . Le groupe W0 Ž H Ž Y, Q l .. se calcule comme l’homologie du complexe Žcf. l’analogue en dimension 1 de la ligne y4 p. 41 de w7x; dans w7x, Y w1x est note ´ Y w2x .: H 0 Ž Y w0x , Q l . ª H 0 Ž Y w1x , Q l . ª 0. Donc W0 Ž H 1 Ž Y , Q l . . s
H 0 Ž Y w1x , Q l . Im H 0 Ž Y w0x , Q l . ª H 0 Ž Y w1x , Q l . 4
.
On conclut que l’inclusion W0 Ž H 1 Ž Y, Q l .. : Ker  est ´ equivalente ` a la nullite, H o Ž Y w1x, Q l . ª ¨ H 1 Ž k Ž ¨ ., Q l . du ´ pour tout ¨ g P, de la fleche ` diagramme suivant H o Ž Y w1x , Q l . ¨
H 1 Ž X , Ql .
6 6
sp
6
6
W0 H 1 Ž Y , Q l . : H 1 Ž Y , Q l .
¨
H 1 Ž k Ž ¨ . , Ql .
ou ` ¨ est la composee ´ de  avec la projection de Ł ¨ g P H 1 Ž k Ž ¨ ., Ql . sur 1Ž Ž . le facteur H k ¨ , Q l .. Soit z ¨ le o-cycle dans Y obtenu en specialisant ¨ . En specialisant la ´ ´ w1x w1x fleche ¨ ª X, on obtient une fleche z ª Y et une fleche z ª Y ou ` ` ` ` ¨ ¨ z ¨w1x designe la trace de Y w1x sur z ¨ , d’ou ´ ` le diagramme commutatif suivant qui traduit la commutativite restriction avec la specialisa´ des operations ´ ´ tion: restriction
H o Ž z ¨w1x , Q l .
6
6
6
H 1 Ž Y , Ql .
6
restriction
H 1 Ž k Ž ¨ . , Ql .
6
6
H 1 Ž X , Ql .
H 1 Ž z¨ , Ql .
¨
6
H o Ž Y w1x , Q l .
˘ ou H o Ž Y w1x, Q l . ª H 1 Ž Y, Q l . est celle de Cech provenant de la ` la fleche ` suite spectrale H q Y w px, Q l . « H *Ž Y, Q l .. Or la trace de Y w1x sur z ¨ est vide, d’ou ` la nullite´ de H o Ž z¨w1x, Ql . et par suite celle de la fleche ` o Ž w1x H Y , Q l . ª ¨ H 1 Ž k Ž ¨ ., Q l .. Il en resulte que le noyau ⌿K contient un ´ sous-groupe isomorphe ` a Q lr Ž A. de rang ´ egal au rang du groupe 1 W0 Ž H Ž Y, l ...
506
DRAOUIL ET DOUAI
2. A EST DE DIMENSION 3 2.1. Le corps residuel k 0 est algebriquement clos de ´ ´ caracteristique nulle ´
est alors de dimension 3. On resout Spec A par un morphisme birationnel f : ª Spec A tel ´ que w5x: Ži. est un scheme de dimension 3. ´ regulier ´ y1 Žii. Y s f Ž x 4. est un diviseur ` a croisements normaux, Žiii. f induit un isomorphisme _ Y ( X. La ` encore, on considere ` la suite exacte de localisation pour X: H 3 Ž X , 2. ª H 3 Ž K , 2.
D
␦3
lim H 2 Ž D, 1 . ª
6
g
6
lim H 1 Ž D, 1 . ª
D
ou des sous-schemas fermes ` D decrit ´ l’ensemble des desingularisations ´ ´ ´ de X de dimension - dimension de X. Nous avons vu dans le §0 que Ker ⌿K > Ker ␦ 3 s coker g s 3Ž H X, 2.rIm g. Nous ne savons pas determiner coker g, mais nous allons ´ montrer qu’il existe un entier r 1Ž A. dependant de la structure de Hodge ´ mixte de la fibre exceptionnelle Y telle que coker g contient un sous-groupe du type Ž Q l . r 1Ž A.. Dans l’analogie de base du §0, nous avons dit que X ´ etait l’analogue de la fibre generique d’une famille de surfaces definie sur le spectre d’un ´ ´ ´ corps k du type k 0 ŽŽ t ... Le groupe d’inertie I s GalŽ krk . joue le role ˆ de 2Ž . groupe de monodromie operant sur H X, Q ou X est la fibre geometri´ ` ´ ´ l que de X au dessus de Spec k. On sait qu’il existe alors sur H 2 Ž X, Q l . une filtration W⬘ par le poids de la monodromie Žcf. w6x. qui coıncide avec la ¨ filtration par les poids des valeurs propres associees aux relevements du ´ ` Frobenius Žcf. w2, n⬚ 3.6, 7, p. 41, Propo. 2.13x.: O ; W0X ; W1X ; W2X ; W3X ; W4X s H 2 Ž X , Q l . . De son cote, ˆ ´ H 2 Ž Y, Ql . est muni d’une filtration W qui est la filtration d’aboutissement de la suite spectrale w6, Sect. 1x E1p⭈ q s H q Ž Y w px , Q l . « H pq q Ž Y , Q l . . Les gradues ´ associes ´ aux filtrations W et W⬘ satisfont aux isomorphismes suivants:
;
Gr 0W ⬘ Ž H 2 Ž X , Q l . . Gr1W ⬘ Ž H 2 Ž X , Q l . . .
6
Gr1W Ž H 2 Ž Y , Q l . .
;
6
Gr 0W Ž H 2 Ž Y , Q l . .
L’ARITHMETIQUE DES ANNEAUX LOCAUX ´
507
De plus, nous avons le diagramme suivant w2, bas de la p. 214x:
qui montre que les ´ elements de H 2 Ž X, Q l . I sont de poids F 2. Par ´ 2Ž l’application surjective sp: H Y, Q l . ª H 2 Ž X, Q l . I, W1 s’envoie isomorphiquement sur W1X Žcf. w6, Corollaire 1 de la Sect. 3x.. THEOREME excellent de ´ ` 2. Soient A un anneau local, normal, henselien, ´ dimension 3, n’admettant qu’une seule singularite´ en son point ferme. ´ Alors, pour tout l, le noyau de l’application ⌿K : H 3 Ž K, 2. ª [¨ g P H 3 Ž K ¨ , 2. contient un sous-groupe isomorphe a ` Ž Ql . r1Ž A. ou` r1Ž A. s dimension du 2Ž Ž .. Q l-espace ¨ ectoriel W1 H Y, Q l . Demonstration. En appliquant D1 du §0, on obtient les dualites ´ ´ pour d s 3 et i s 3: H 3 Ž X , 2. m H 2 Ž X , Ql . ª H 5 Ž X , 2. ( Ql , pour d s 2 et i s 2: H 2 Ž D, 1 . m H 1 Ž D, Q l . ª H 3 Ž D, 1 . ( Q l . Il en resulte que le conoyau de l’application: ´ g:
[H D
1
Ž D, Ql . ª H 3 Ž X , 2 .
est dual du noyau de l’application
 : H 2 Ž X , Q l . ª ⌸ D H 2 Ž D, Q l . ou toutes les desingularisations des sous-schemas fermes ` D decrit ´ ´ ´ ´ de dimension 0 ou 1. Par la commutativite ´ du diagramme ŽI., la partie W1 de H 2 Ž Y, Ql . s’envoie isomorphiquement sur son image dans H 2 Ž X, Q l . Žen fait dans W2 Ž H 2 Ž X, Q l ... Notons encore W1 cette image. Pour montrer le theoreme ´ ` 2, il nous suffira de montrer que Ker  contient W1. Pour cela, nous
508
DRAOUIL ET DOUAI
decoupons W1 en deux parties Gr1 s Gr1Ž H 2 Ž Y, Q l .. s W1rW0 et Gr 0 s ´ 2 Gr 0 Ž H Ž Y, Q l .. s W0 et montrons separement que Gr1 et Gr 0 appartien´ ´ nent ` a Ker  . Commenc ¸ons par Gr0 . Gr0 est isomorphe au terme E22, 0 dans la suite spectrale E2p, q s H q Ž Y w px, Q l . « H p, q Ž Y, Q l . donc est quotient de H o Ž Y w2x, Q l . par l’image de H o Ž Y w1x, Q l . ª H o Ž Y w2x, Q l .. Soient D une desingularisation d’un sous-schema ferme ´ ´ ´ de X, de dimension - 2, D la specialisation de D, D Žresp. D . est muni d’une ´ fleche vers X Žresp. Y .. ` La fleche D ª Y induit un morphisme H o Ž Y w2x, Q l . ª H 2 Ž D, Q l . qui ` se factorise par H o Ž D w2x, Q l .. Or D w2x s ⭋, donc H o Ž D w2x, Q l . s 0 et la fleche H o Ž Y w2x, Q l . ª H 2 Ž D, Q l . est nulle, donc aussi la fleche ` ` o Ž w2x H Y , Q l . ª H 2 Ž D, Q l . par composition de la fleche H o Ž Y w2x, Q l . ª ` H 2 Ž D, Q l . avec la specialisation H 2 Ž D, Q l . ª H 2 Ž D, Q l .. On en deduit ´ ´ 2 que Gr 0 Ž H Ž Y, Q l .. est inclus dans Ker  . Montrons que Gr1Ž H 2 Ž Y, Q l .. est inclus dans Ker  . Gr1 est un quotient de H 1 Ž Y w1x, Q l .. Considerons alors le diagramme commutatif ´
H 2 Ž D, Q l .
6
restriction
6
6
6
H 2 Ž D , Ql .
6
6
H 2 Ž X , Ql .
H 1 Ž D w1x , Q l . 6
H 2 Ž Y , Ql .
6
Gr1
restriction
6
H 1 Ž Y w1x , Q l .
La fleche H 1 Ž Y w1x, Q l . ª H 2 Ž D, Q l . se factorise comme suit ` H 1 Ž Y w1x , Q l . ª H 1 Ž D w1x , Q l . ª H 2 Ž D , Q l . ª H 2 Ž D, Q l . . Or D w1x est ou vide ou constitue ´ d’un nombre fini de points et alors H 1 Ž Dw1x, Q l . s 0. On en deduit que Gr1 : Ker  . Gr 0 et Gr1 sont inclus ´ dans Ker  , donc aussi W1 est inclus dans Ker  . 2.2. Le corps residuel k 0 est fini ´ Supposons la caracteristique de k 0 differente de 2,3 et 5 et que A ´ ´ n’admette qu’une seule singularite ´ en son point ferme´ x. Par w1x on dispose d’une resolution f : ª Spec A verifiant: ´ ´ Ži. est un scheme de dimension 3, ´ regulier ´ y1 Žii. Y s f Ž x 4. est un diviseur ` a croisements normaux, definie ´ sur k 0 , Žiii. L’application _ Y ª X induite par f est un isomorphisme.
L’ARITHMETIQUE DES ANNEAUX LOCAUX ´
509
L’application ⌿K de la suite exacte ŽS. de 1.2 relative au cas ou ` A est de dimension 2 doit ˆ etre remplacee par l⬘ application notee encore ´ ´ ⌿K : H 4 Ž K , 3 . ª
[H ¨ gP
4
Ž K ¨ , 3. .
De maniere fait dans le n⬚ 1.2, nous ` analogue `a ce que nous avons X exhiberons un sous-groupe du type Ž Q1 . r 1Ž A. dans le noyau Ker ⌿K ou ` r 1X Ž A. est un entier lie ´ `a l’homologie du graphe dual de Y. Le groupe H 2 Ž Y, Q l . est encore muni d’une filtration par le poids, filtration d’aboutissement de la suite spectrale dont le terme E1p, q s H q Ž Y w px, Q l .: 0 ; W0 ; W1 ; W2 Ž H 2 Ž Y , Q l . . . Pour cette filtration, W0 s W0 Ž H 2 Ž Y, Q l .. s H 2 Ž< ⌫ <, Q l . Žcf. p. 41 de w7x, ligne y4. ou ⌫ designe le graphe duale de Y. ` comme precedemment ´´ ´ L’entier r 1X Ž A. sera le rang sur Q l de H 2 Ž< ⌫ <, Q l .; il ne dependra pas du ´ choix de resolution choisie. ´ THEOREME excellent de ´ ` 3. Soit A un anneau local, normale, henselien, ´ dimension 3, a fini k 0 de caracteristique p / 2, 3, 5. Supposons ` corps residuel ´ ´ que A n’admette qu’une seule singularite´ en son point ferme, ´ singularite´ que l’on resout par f : ª Spec A. Supposons, de plus, que le graphe dual ⌫ de ´ Y soit defini ´ sur k 0 Ž i.e., que les sommets, aretes, ˆ faces de ⌫ de Y soit defini ´ sur k 0 ou de maniere de Y, les ` ´equi¨ alente que les composantes irreductibles ´ courbes doubles de Y, les points triples de Y soient definis sur k 0 .. Alors, le ´ 4Ž 4Ž . . noyau de l’application ⌿X K : H K, 3 ª [¨ g P H K ¨ , 3 contient un sousgoupe isomorphe a ` Ž Ql . r1Ž A. ou` r1X Ž A. est la dimension sur Ql de H 2 Ž< ⌫ <, Ql .. Demonstration. On ´ ecrit la suite exacte de localisation pour X Žcf. §0. ´ H 4 Ž K , 3.
␦4
lim H 3 Ž D, 2 . ª
6
H 4 Ž X , 3.
6
g
6
lim H 2 Ž D, 2 . ª D
D
Žou des sous-schemas fermes ` D decrit ´ l’ensemble des desingularisations ´ ´ ´ de X de dimension - 2. qui entraıne ˆ Ker ␦ 4 s coker g. Comme dans le §0, nous avons Ker ⌿K > ker ␦ 4 s coker g. H 4 Ž X, 3. est dual du H 2 Ž X, Q l . par la dualite ´ ŽD2. appliquee ´ au cas i s 4 et d s 3 et H 2 Ž D, 2. dual du H 2 Ž D, Q l . toujours par ŽD2. appliquee ´ au cas i s 2 et d s 2. Ainsi l’application: g : [D H 2 Ž D, 2 . ª H 4 Ž X , 3 . est duale de l’application
 : H 2 Ž X , Q l . ª ⌸ D H 2 Ž D, Q l . .
510
DRAOUIL ET DOUAI
LEMME 1. H 2 Ž Y, Q l . contient un sous-espace isomorphe a ` W0 et la restriction a W de l’application ` 0 H 2 Ž Y , Ql . ª H 2 Ž X , Ql . est injecti¨ e. Demonstration. Soient X la fibre geometrique de X sur k i.e. X s ´ & ´ ´ X mk k, Xs X mk k n r ou k est l’extension maximale non ramifiee ` nr ´ de k. 2Ž G Evidemment, H X, Q l . ; W0 ou ` G s GalŽ krk . et sous les hypotheses ` du theoreme, il y a en fait l’egalite ´ ` ´ ´ H 2 Ž X, Ql . G s W0 . Du diagramme ŽI., valable sur k n r et, ´ evidemment aussi en caracteris´ tique non nulle, on deduit le diagramme commutatif ´ I
6
H 2 Ž X , Ql .
6
&
0
6
H 2 Ž X, Q l . 6
sp
H
2
Ž Y , Ql .
ou ` I s inertie de GalŽ krk .. Descendons-le de k n r `a k. Nous avons la suite exacte deduite de la suite spectrale de descente de k n r ` a k. ´ &
H 2 Ž X , Q l . ª H 2 Ž X, Q l .
GalŽ k 0 rk 0 .
&
ª H 2 Gal Ž k 0rk 0 . , H 1 Ž X, Q l . .
ž
/
&
Comme k 0 est fini, alors dim k 0 F 1 et donc H 2 ŽGalŽ k 0rk 0 ., H 1 Ž X, Q l .. s 0. De la meme de la suite ˆ maniere, ` nous avons la suite exacte deduite ´ spectrale de descente de k 0 ` a k0 H 2 Ž Y , Ql . ª H 2 Ž Y , Ql .
GalŽ k 0 rk 0 .
ª 0.
Or, pour des raisons de poids, &
H 2 Ž X, Q l .
GalŽ k 0 rk 0 .
s H 2 Ž Y , Ql .
GalŽ k 0 rk 0 .
s W0 G
s H 2 Ž X , Ql . s H 2 Ž X , Ql .
ž
I GalŽ k 0 rk 0 .
/
.
L’ARITHMETIQUE DES ANNEAUX LOCAUX ´
511
On en deduit donc le diagramme suivant: ´ G
sp
6
GalŽ k 0 rk 0 .
s W0
6
ª H 2 Ž Y , Ql .
H 2 Ž Y , Ql .
0
6 6
H 2 Ž X , Q l . s W0 6
6
6
H 2 Ž X , Ql . 6
0
W0 se releve ` dans H 2 Ž X, Ql . Žresp. H 2 Ž Y, Ql ... La restriction de sp ` a W0 est un morphisme surjectif donc un isomorphisme de W0 sur lui-meme. On en deduit que l’application ˆ ´ H 2 Ž Y , Ql . ª H 2 Ž X , Ql . envoie injectivement W0 sur son image, d’ou ` le lemme.* Nous allons maintenant montrer que Ker  contient W0 dans H 2 Ž X, Q l .. W0 est le quotient de H o Ž Y w2x, Q l . par
Ž cf. ligne y4 p. 41 de w 7 x . . Il suffit alors de montrer la nullite ´ de la fleche ` o w2x 2 H Ž Y , Q l . ª H Ž D, Q l . pour toute desingularisation D d’un scheme ´ ´ ferme´ de X, de dimension F 1. Cette fleche est obtenue par la composition des applications ` H o Ž Y w2x , Q l . W0 : H 2 Ž Y , Q l . Im H o Ž Y w1x , Q l . ª H o Ž Y w2x , Q l . 4
6
6
W0 : H 2 Ž X , Q l . 6
6
H 2 Ž D, Q l . Notons d la specialisation de D; la fleche d ª Y induit un morphisme ´ ` H o Ž Y w2x, Q l . ª H 2 Ž d, Q l . qui se factorise par H o Ž d w2x, Q l .. Nous avons alors le diagramme commutatif suivant:
6
6
H 2 Ž D, Q l .
6
6
6
H 2 Ž d, Q l . 6
6
H 2 Ž X , Ql .
6
H 2 Ž Y , Ql .
6
W0
H 0 Ž d w2x , Q l .
6
H o Ž Y w2x , Q l .
*Note ajoutee du lemme, on pourrait aussi plus ´ aux ´epreu¨ es. Pour la demonstration ´ directement que sp est un morphisme d’espaces vectoriels ponderes ´ ´ de type Ž0, 0..
512
DRAOUIL ET DOUAI
Comme dim d F 1, alors d w2x s ⭋ et H o Ž d w2x, Q l . s 0. Ainsi pour tout D, l’application H o Ž Y w2x, Q l . ª H 2 Ž D, Q l . est nulle et par suite le groupe W0 est inclus dans Ker  .
REFERENCES 1. S. S. Abhyankar, ‘‘Resolution of singularities of embedded algebraic surfaces,’’ Academic ´ Press, New YorkrLondon, 1966. ´ 2. P. Deligne, Conjecture de Weil, II, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 52 Ž1980., 137᎐252. 3. J. C. Douai, Degenerescence de surfaces et principe de Hasse, J. Algebra 152 Ž1992., ´´ ´ 269᎐288. 4. A. Grothendieck, ‘‘Le groupe de Brauer, III,’’ dans Dix exposes ´ sur la cohomologie de schemas, North-Holland, Amsterdam, 1968. ´ 5. H. Hironaka, Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of char zero, Ann. of Math. 79 Ž1964., 109᎐326. 6. D. R. Morrison, ‘‘The Clemens᎐Schmid Exact Sequences and Applications,’’ Ann. of Math. Stud., Vol. 106, pp. 101᎐119, Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1984. 7. M. Rapoport and Th. Zink, On the local Zeta functions of Shimura varieties: Monodromy filtration and vanishing cycles in unequal characteristic, In¨ ent. Math. 68 Ž1982., 21᎐101. 8. S. Saito, Class field theory for two dimensional rings, in ‘‘Galois Representations and Arithmetic Algebraic Geometry,’’ Adv. Stud. Pure Math., Vol. 12, pp. 343᎐373, Kinokuniya, Tokyo, 1987. 9. S. G. A. 5, Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois-Marie 1965᎐1966, in ‘‘Cohomolo´ ´ ´ ´ gie 1-adique et fonctions L,’’ Expose ´ I, Complexes Dualisants, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 589, Springer-Verlag, BerlinrHeidelbergrNew York.