Sur l'hydrodynamique des mélanges liquides de He3 et He4

P h y s i c a X V I I , no 7

Juli 1951

SUR L ' H Y D R O D Y N A M I Q U E DES MELANGES L I Q U I D E S DE He 3 ET He 4 p a r P. M A Z U R et I. P R I G O G I N E Facult6 des Sciences de l'Universit6 Libre de Bruxelles, Belgique

Synopsis The hydrothermodynamic treatment of several-fluid systems, based on the assumption of an inhibition of the transfer of impulse, is extended to the case that each fluid consists of more than one component. The theory shows that equations of motion can be set up for every fluid whereas equations of diffusion describe the relative movements of the components belonging to one fluid around the center of gravity of that fluid. The results can be applied to liquid mixture of He 3 and He 4, assuming these mixtures to consist of a normal fluid containing He 3 and the normal fraction of He 4, and a superfluid of He 4 only. A quantitative discussion is given of several effects arising in this system.

1. Introduction. D a n s un t r a v a i l pr6c6dent 1), les a u t e u r s ont m o n t r 6 que grace a u x m 6 t h o d e s de la t h e r m o d y n a m i q u e des ph6nom6nes irr6versibles, il est possible de d o n n e r d e u x f o r m u l a t i o n s l ' h y d r o d y n a m i q u e d ' u n s y s t 6 m e f o r m 6 de plusieurs c o n s t i t u a n t s . L a premi6re f o r m u l a t i o n 6tait o b t e n u e en a d m e t t a n t que la formule de Gibbs p o u r l ' e n t r o p i e du s y s t 6 m e rest.e applicable au m o u v e m e n t b a r y c e n t r i q u e du syst6me, ce qui correspond, c o m m e il a 6t4 montr6, l'id6e d ' u n t r a n s f e r t n o r m a l de q u a n t i t 6 de m o u v e m e n t entre les diff6rents c o n s t i t u a n t s . On o b t i e n t ainsi l ' 6 q u a t i o n classique de S t o k e s - N a v i e r et les 6quations de diffusion des diff6rents constit u a n t s . L a deuxi6me f o r m u l a t i o n est o b t e n u e si l'on a d m e t que la formule de G i b b s p o u r l ' e n t r o p i e s p a r unit6 de masse de chaque const.ituant que nous a p p e l o n s alors un " f l u i d e " , reste valable le long de son p r o p r e m o u v e m e n t . Cela c o r r e s p o n d ~t l'id6e d ' u n e inhibition de la t r a n s m i s s i o n de q u a n t i t 6 de m o u v e m e n t e n t r e les diff6rents fluides. Nous a v o n s ainsi o b t e n u des 6quations " h y d r o t h e r m o d y n a m i q u e s " d ' u n t y p e n o u v e a u . E n a p p l i q u a n t ces 6quations au mod61e de d e u x fluides de l'H61uim liquide II, nous a v o n s o b t e n u - - 680 - -

SUR L ' H Y D R O D Y N A M I Q U E DES MI~LANGES L I Q U I D E S DE He 3 ET He 4 681

les 6quations de Gorter pour la dynamique des fluides normal et superfiuide. Le but du pr6sent travail est d'abord de g6n6raliser les bilans thermodynamiques ainsi que les nouvelles 6quations hydrothermodynamiques au cas d'un syst&me form6 de plusieurs "fluides" entre lesquels il y a inhibition de la transmission de quantit6 de mouvement, mais dont chacun peut ~tre compos6 de plusieurs constituants. Ensuite nous appliquerons les r6sultats ainsi obtenus aux m61anges de He 3 et He 4 en dessous du point I. Nous admettrons en effet, comme il semble naturel de le falre (He 3 ne poss6dant pas de point 1, m~me aux plus faibles temp6ratures 6tudi6es) qu'entre l'isotope He 3 et le constituant " n o r m a l " de l'isotope He 4 il y a transfert normal de quantit6 de mouvement mais qu'il y a inhibition de transfert de quantit6 de mouvement entre le constituant superfluide et les autres constituants du syst~me. Nous avons bien l& un syst&me de deux fluides form6s respectivement de deux et d'un seul constituant. Nous allons 6crire d'abord syst6matiquement les bilans pour un syst~me de plusieurs fluides 1 ..... a . . . . . 9 dont chacun contient c*` constituants. Ces 6quations g6n6ralisent celles donn6es dans notre premiere note 1). Les notations sont les m~mes que dans ce premier travail. a. L e s b i l a n s massiques. Enpremierlieu, nousavons le bilan massique de chaque constituant (cf. 1.3.2)*) O~.ylOt = - - F_,: 0%y¢%/~x . i ~ + ~,i Oq.yA°rlOx i + v, y M , y v (2.1) 2. B i l a n s et relations phdnomdnologiques.

oil Q*`yest la densit6, M.y la masse mol6culaire, v*`r le coefficient stoechiom6trique du constituant y du fluide a, t% la vitesse barycentrique du fluide a et &or la vecteur de diffusion de c o n s t i t u a n t y l'int6rieur du fluide a. On a donc

~o,~ = ~r O,,r~%y/Zy°,y '

Aay

=

~,~y -- to,,.

(2.2)

En sommant (2.1) s u r y nous pouvons 6crire le bilan de la densit6 Q*` = Zyg~y de chaque fluide 0q./St = - - Y-,i Oe*`°J./Ox ~ ~ + ~,yv~yM.y v. (2.3) Finalement nous avons le bilan de la densit6 totale ~o= ~*`£*` O01Ot ---- - - ~ OQoJISx'

(2.4)

*) Les renvois aux formules de notre premier travail sont pr~c6dfis du chiffre romain I.

682

P. M A Z U R E T I . P R I G O G I N E

oh to, la vitesse barycentri(tue du syst6me, est d6fini par b. L e s b i l a n s m6caniques. Le bilan de la quantit( de m o u v e m e n t de claaque fluide est donn6 par (cf. 1.3.3) eW

= e``~``' - - Y'; oP~/ox~ - - a~. ~

(2.6:

La pression partielle du fluide a est encore donn4e par (cf. I . 3.4' p~ .= }(p~, + p~2 + ~ ) (2.7: La conservation de la'quantit6 de m o u v e m e n t le long du mouve. ment barycentrique du syst6me total est exprim4e par ¢ ~I~ = ~6 ~

-

-

Y'i aP~i/°d

(2.8:

E n t r e les tenseurs de pression de chaque fluide et le tenseur d( pression barycentrique nous avons la r~lation (cf. I. 3.5)

Z``(P~" + o``A~ A~) = p;i oh A`` est le vecteur de d i / / u s i o n d u f l u i d e a d6fini par ~`` = to~ - - to

(2.9: (2.10

A partir de (2.6), (2.8), (2.9) et en tenant compte des d6finition! de ~`` et ~, nous trouvons la formule qui g6n6ralise (I. 3.7)

G`` ~

= Z`` o ~i F_,r v,,r M , , r v

(2.11

Quant au bilan de l'6nergie cin6tique macroscopique de chaqu( flu'ide, nous l'obtenons ~ partir de (2.6) apr4s multiplication par ~ sommation sur les coordonn6es g6om6triques i et en tenant compt( de (2.3) O½q ``o~``¢o,, / a x i

-

-

-

X~i o~ aP~/Ox i + Z~.p`` q~' to,, ~ - - ~, -~ ,~^``e% + ½J~ Z r v~r M``r v.. (2.12

Cette expression est l'analogue de (I. 3.8). c. B i 1 a n 6 n e r g 6 t i q u e. Pour l'4nergie totale par unit6 d( volume nous 6crirons *) (cf. I. 3.9) e u = Z O`u = Z (co a + l a 0 a + o a o ) (2.13 et pour le flux de l'4nergie totale (cf. I. 3.9) ¢~[U]

0' ; + Z'~) = Z``(q`` u ` o ~~ + W``~ + ZiP``°~``

(2.14

*) Darts le ealcul d u b i l a n ~nergStique, nous n ' a v o n s p a s t e n u c o m p t e de l'4nergi cin~tique de diffusion. L a c o n t r i b u t i o n de ee t e r m e a u b i l a n e n t r o p i q u e est en effet uni q u e m e n t une source de l'6nergie cin4tique de diffusion z'[LD], d o n t l a v a l e u r t e n d tr6 r a p i d e m e n t vers z~ro (diffusion conservative) [cf. I. § 2].

S U R L ' H Y D R O D Y N A M I Q U E D E S M E L A N G E S L I Q U I D E S D E He3 E T H e 4

68.'

Nous supposons donc que le flux comprend ici pour chaque fluide un flux de convection massique li6 A la vitesse de ce fluide, un flu~ calorifique W=, un flux li6 aux tenseur des pressions de ce fluid~ et enfin un flux de l'6nergie potentieUe de composantes Z~. En tenant compte du principe de la conservation de l'6nergie, le bilan de l'energie totale sera donn6 sous forme explicite, en vertu de (2.13) et (2.14) par

~(O~ea/Ot + o~fldot + aQ~o /Ot) = ea aoG + qa a°J~ + W, + ZiP~%+Z~ ) (2.15) Le bilan de l'6nergie potentielle est donn6 par

X,,Oe,,oJOt = - - X.,~(O/Oxi) (e~ oo . ~ + z'~) - - z.,~,~ o . ~ v~o ~ co~~. (2.16) Ainsi grfice & (2.12), (2.15) et (2.16), nous obtenons le bilan de l'6nergie interne

aoe/Ot = X a Oo e~,/at --- --X.,,(a/ax') (e~e~o~ + W~) - -Y,~,.i,,P~ ooJi=lax'+ Y. ¢~o~- ~ Z co~Zyv,wM,~r v + X,,,y., e,~,q~yA :y. (2.17) Le second membre de (2.17) peut ~tre mis sous la forme d'une diVergence et d'une source (cf. I. 3.15). d. B i 1 a n e n t r o p i q u e. Afin de g6n6raliser le traitement hydrothermodynamique d'un syst~me de plusieurs fluides (cf. I. § 3d) d'un seul constituant chacun, nous admettrons ici encore que chaque fluide se comporte comme une phase ~ la temp6rature T et soumise A la pression p~ et que la formule de Gibbs (cf. I. 2.5 et I. 3.19),

dsa

1 dea

at -

T at + - T ~

p~ d ( 1 ) ~

~_~ dN,w - - x~

(2.18)

at

reste valable le long du mouvement de chaque /luide ~ condition d'effecteur les d6rivations qui figurent dans (2.18) conform6ment au mouvement de chaque fluide. La pression ob~it encore A la relation thermodynamique ~Pa = OaSa~T + Xy OayO#a~, : XyOayr}(~ay)T

(2.19)

oh l'indice T rappeUe qu'au cours de la variation, la temp6rature T doit ~tre consid6r6e comme une constante *). *) Dans (2.18) l'entropie sa est, par d6finition, l'entropie par unit~ de masse du fluide a. On peut ais~ment d6monter ~ nouveau (cf. I. § 4) que eette entropie est identique h l'entropie sp~eifique massique du fluide a, ee qui justifie (2.19).

684

P. M A Z U R E T I. P R I G O G I N E

Nous obtenons ainsi, en tenant compte des 6quations de continuit6 de la mati~re

aos/at = z ao~s~/at = _ --X,,OO~soJ~/ax' + [X Ooe/at + X ,,ao e~o)~/Ox' + X ., p&o~lax'-i i ]/T - - Z., v vavM~,vl~.v v + Z ,v,i ~,v 0 O.vA.v/Ox (2.20) Grhce ~ (2.17) nous trouvons encore Oes/at = Z v,, (a/ax') (ods ~o~ + W ~ / T -

#.vo~vA~r/T)

- - Z , ( W ~ / T 2) ar/ax' + T - ' [X r,,(p~ SU-- P~)Oo~/ax' + +Z..v,,{3~v-TO(l~r/r)/ax'}o~ ~'A~ y +X~,A~o~-½Z oJ~v Ym Yv] (2.21) , ,y D'oh pour le flux entropique #[S] = Z~.v(O s~oa~ + W J T

--7 t*~v q,vA~v)/T

(2.22)

Posons

2t1a = W.. - - X v have.rAy (2.23) oh le second membre de droite peut ~tre interpret6-comme le flux calorifique li6 A la diffusion, et 2tl = X ~t1~. (2.24) En utilisant ~ au lieu de Wa, le flux entropique prend la forme tr~s simple [S] = ~ / T + Z,,vs,,voycov. (2.25)

Quant & la source d'entropie, on a, en vertu de (2.21), (2.23) et (2.24)

T~[S] = - - Z,(~'/T) aT/ax' + Z ,.i (p~5u - - P~) OoJ/ax' + + Za.i ~.~co~ -- ½Y,,, o:,~ Zvv,w.Mv-',r + Av ~ O.

(2.26)

Introduisons encore la source de quantit6 de mouvement ~o~ due aux chocs ~lastiques seulement (cf. I. 3.25)

~ = )i.~,__ (oa/e) Z "v°J~" .,,,vM ,.v v

(2.27)

avec =

o

(2.28)

La production d'entropie prend alors la forme

T.,:rs] -

=

--

Z,(~'/T)

aT/ax' + Z

t~p

,(p a's -- P~) eco~/ex' +

+ zo,v,, EILv-

y

y

Y

+

"ioa'". + (A - - Za,v ½A ,,2 v,v M~,v) v > 0. (2.29) + Z ~,i v~

SUR L ' H Y D R O D Y N A M I Q U E DES MI~LANGES LIQUIDES DE He ~ ET He 4 68~=

Ainsi, la production d'entropie est maintenant li6e ~ la di//usio~, l'intdrieur de chaque /hdde. Remarquons que pour a = 1, nora obtenons la forme classique de la production d'entropie pour ur syst&me de plusieurs constituants, tandis que pour 7' = 1, dans chaque fluide, nous retrouvons la forme simple (I. 3.27) de la produc. tion d'entropie pour un syst~me de plusieurs fluides. e. I. e s r e l a t i o n s ph~nom~nologiques. Grace at principe de sym6trie de Curie et au caract~re physique de ~v~ nou, pouvons d6composer ici la production d'entropie en quatre pattie, qui doivent ~tre s6par~ment positives (cf. I. § 3e) X ,,,i(pa~ r1 - - P~) &d=/Ox' > 0 - - Z i ( • i / T ) OT/Ox i + Y~,,v, i [ ~ vi --. (O#,r/Oxi)r ] O~v A~v > 0 X a,i ~'a.i ojia ~ 0

(2.30'

(A - - Ig,~ .~A o - .=i,-r M , 3, v > 0 En tenant compte de ces infigalit6s qui interdisent certains coupla. ges, on peut 6tablir les relations ph~nom6nologiques les plus gfnfra. les pour un tel syst&me. En particulier, lorsque nous avons un syst~me de deux fluide~ dont un est form~ d'un seul et l'autre de deux constituants, nou~ pouvons ~crire 2) (cf. I. § 2 et § 3.e) p,o,s __ p(i =

,(oo llO ' + oo flO )

P2 aq - - PT = ~12(&°izlOx' + O°J~lOxi) - i

x. oo lOx ~12 aq Y~, Oo?.1o '

"

~ i = aor [ ~ 2 - ~ , + (O#tt/Ox)r - (O#12/OXi)r] - (at~T) o r / o x ' =

--

¢ (I ,o, --

,o= I)

v = a(A - - Y~.,r ½ A~" v.r M.~) ~ aA ott nous avons tenu compte de X. ~. = 0 et Xvo.~A.~ = 0. En raison de l'hypoth~se fondamentale d'une inhibition de 1~ transmission de quantit6 de mouvement, les coefficients d'entraine ment mutuel sont suppos6s nuls dans les deux premieres relation~ (2.31). En substituant les valeurs des tenseurs des pressions po" et de~ sources donn~s par (2.31) dans les 6quations (2.6), nous obtenons le~ 6quations de la dynamique des deux fluides

686

P. M A Z U R

E T I. P R I G O G I N E

0~.l~=Qn~-ougrad(#n)r-e~2grad(#~2)r+~t(A to~+½grad div ~ ) ] --

(~ol/0) Ea, u toa %u M . v v --

(to 1 --

to2)

.~ ([

1

(1~ 1

--

CO2 1)

e 2 ~ = 02~2 - - 02 grad (~*2)r + ~h(/Ito2 + ½ grad div ta2) - -

[

(2.3,

| |

- - (02/0) Z..rt°. ".~ Ma~, v + (tot - - to2) ¢ (I o~ - - o~2 I)

J

avec l'6quation de diffusion O~A,2=aD[[}~2-~u + grad ( # , , ) r - g r a d (#t2)r] -- (apt~ T) grad r . (2.23) Ces 6quations d6terminent enti6rement le comportement hydrodynamique du syst6me. 3. Mdlanges d'Hdlium 3 et d'Hdlium 4 en dessous du point 2. Nous admettrons qu'un tel m61ange ~st form6 d'un fluide normal contenant les constituants H61ium tribarique et quadrubarique normal (He 3 et He~) et d'un superfluide sans viscosit6 form6 uniquement des particules superfluities He2. Ce m61ange est de plus le si6ge de la r6action chimique He 4 # He 4. Nous d6signerons par la suite les deux fluides par les indices n (fluide normal) et s (superfluide), les deux constituants du fluide normal par les indices n4 (constituant He,4,) et 3 (constituant He3). Enfin, une grandeur relative k l'H61ium 4 total dans le m61ange sera d6sign6e par l'unique indice 4. Les valeurs des coefficients stoechiom6triques des trois constituants du syst6me sont v,,4 ---- --v., = 1 et v3 = 0. D'autre part, on a aussi M,4 = M, = M 4. Examinons maintenant de plus pr6s les 6quations de la dynamique et l'6quation de diffusion ainsi que certains effets propres ~ ce syst6me: a. E q u a t i o n s de la dynamique. En admettant qu'il y a 6quilibre chimique imm6diat pour la transition (H,4 # He s (/*,,4 =/~s) et en supposant que pour les volumes sp6cifiques massiques on a v3 ~ v,,4 --~ v, ~ 1/Q on trouve apr6s un calcul 616mentaire

e,,4~(~.4)r + e3~(m)r = = (e,/e)cSp+e,N,,,(s,,4--s,)~ST+e,N,,,{Nd(1--N,)}Zi(al~JON).)ON i

(3.1)

e,O(~,) r = = (ode)¢5p - o,N,¢(s,~-s,)~T-¢, N ~ {Nd(1- N,)} Xi(a#3/aNi) ¢5Ni oh la sommation sur ] d6signe une sommation sur deux titres ind6-

SUR L'HYDRODYNA]V[IQUEDES MI~LANGESLIQUIDES DE He3 ET He4 687 q

pendants qui fixent le composition du syst~me. De plus, on a pos6 N.4 = ~,,U(~.~ + e.) =

~,,4/~

N~ = eU(e,, + 03) = eUe,,.

(3.2)

Nous avons choisis N,, 4 et N, pour fixer le composition du syst~me. GrAce A (3.1) et en tenant compte des notations d6finies plus haut ainsi que des valeurs des coefficients stoechiom6triques des diff6rents constituants, les 6quations (2.32) prennent, en absence de forces ext6rieures, la forme 0,, ~,, = - - (0J0) grad p - O: N,,4(s,,¢--ss) grad T - - o,N,,4{N~/(1-N,) } Zs(~#t3/ONi) grad Ni+~,,(A to,,+ I- grad div to,,)-e: I L = - -

(e,,/e) (to. -- to:) M4 v --

(to. -- to:) .~ (I o~. -- ~: I)

grad p + O: N,,4(s,,4---s:) grad T + + o:N,4{Nd(1 - - N~)} Zi(O~31~Ns) grad N s - --(0:/O) (to,,-- tos)M4 v + ( t o . - - to:) ¢ (I aJ.--als

(3.31

(ode)

I)

Ces 6quations sont valables quelle que soit la forme du potentiel chimique #3. Elles mettent en 6vidence le lien tr~s 6troit entre les propri6t6s hydrodynamiques et les propri6t6s thermodynamiques du m61ange. L'6tude des diff6rents effets observ6s dans ce syst~me peut se faire A partir des 6quations (3.3) et de l'6quation de diffusion de He 3 dans le fluide normal. Afin de simplifier la suite des calculs, nous ferons ici une hypoth&se sur les potentiels chimiques des diff6rents constituants c'est-A-dire sur la forme de l'~nergie libre de Gibbs du syst~me. Nous admettrons en effet que l'6nergie libre de Gibbs du m61ange He 3 - - He 4 est de la forme propos6e par de Boer et Gorter s) et sugg6r6e par les experiences sur la tension de vapeur de He 3 dans le m61ange. G = n4g* + n3g* + k T In 3 In {%/(n,, 4+ n3)}+ n,4 In {nii4/(n,4 + n3)}] (3.4) off g* et g* sont les 6nergies fibres par particule respectivement de l'h61ium 4 put et de l'h61ium 3 put et oil les n repr6sentent les hombres de particules de chaque constituant dans tout le syst&me. La forme (3.4) exprime l'id6e que He 3 est ,,dissous" uniquement dans la fraction normale de He 4.

688

P. M A Z U R

E T I. PRIGOGINE

Grf~ce ~ l'expression (3.4) nous trouvons que le potentiel chimique /*a doit ~tre de la forme /*a = [r/(p, T) + R T In N * ] / M a

(3.5)

off N* est le titre molaire effectif de He a dans le fluide normal N*

= (ea/M3)/(o~.4/M4 + ~3/M3)

1'3 ne d~pend donc que du titre effectif N*. D ' a u t r e part, on d~duit de (3.4) que/*, est ind6pendant de N*. A partir de la forme (3.5) du potentiel chimique/*a on d~montre encore que S,,4 - - Ss = (OS4/ON,,4)pT (3.6) oh s 4 est l'entropie sp&ifique de He 4 dans le m~lange donn4e par S4 =

N,,4S.4 -~- (1 - - N ~ 4 ) s s

et off nous avons utilis4 le th6or~me de Duhem-Margules pour les entropies sp&ifiques. Ainsi, les 6quations de la d y n a m i q u e (3.3) prennent la forme plus simple (grace ~ (3.5) et (3.6),

O, ~,, = - - (0,,/0) grad p - - 0~. N.4(Os4/~N,,4)pr grad T - - - 0, {N,,4/(1 - - Are)} RT(M,,/MaM4) grad N, + +~h(dto,,+½ graddiv to,,) - - Bq,,q,(to,, - - to,) (co,,- - oJ,)2 (3.7) Q, ~ , = - - (&/q) grad p + o,N,,a(OS,/ON,,4)pr grad T + + O, {N,,4/(I-- N , ) } R T (M,,/MaM4) grad N , + + Be,q, (to,, - - to,) (o~,,- - o~,)2 (3.8) ob M , est la masse molaire m o y e n n e du fluide normal M,, = N * M 3 + (1 - - N * ) M 4. Nous avons dans (3.7) n6glig~, comme on le fait d'habitude, les termes en ( t o , - - t o , ) M 4 v, et & f i t le terme de friction mutuelle dans l'approximation de G o r t e r (cf. aussi I § 3.e) (to,, - - to,) C([ o~,,- - ,o, ]) = Bq,,O,(to,,- to,) (o~,,- - co,)2

(3.9)

b. L ' 6 q u a t i o n de diffusion. A p a r t i r de (3.8), en ten a n t compte aussi de la condition d'6quilibre chimique pour la transition He 4 ~ He 4, il est possible de mettre l'6quation de diffussion (2.33) de He 3 dans le fluide normal sous la forme

03 A3 = - - aD[RTM,{ 1 - - Ne(l - - N,4 ) } / M a M 4 N e ( 1 - N¢)] grad N ¢ + + {aD(1-- N,4 ) (~s4/~N,,4)pz - - apT~T} grad T. (3.10)

SUR L'HYDRODYNAMIQUE DES M~LANGES LIQUIDES DE He 3 ET He 4

68 c.

Introduisons les coefficients de diffusion D et de thermodiffusior D' en posant D = aDM, RT/o,,MaM4N,(1-- N,) (3.1 l',

(3.12',

D' -- aDT/TO,N,(ll .IV,) Alors (3.10) prend la forme

e3/~3 = - - e,,D[{ 1 a N,(1 - - N,4)} grad N, -]- N,(I - - N,){(D'/D) - (M3M4/RTM,,) (1 - - N,4 ) (as4/aN,4)pr} grad 7"] (3.13) -

-

D et D' sont les coefficients de diffusion et de thermodiffusion extrapol6s du m61ange He 3 - He 4 au dessous de point Jl. En effetl pour N,4 = 1 on aura la relation ph6nom6nologique classique d'un syst~me binaire 03/[3 = - - - 0 , , D [grad N, + N, (1 - - N , ) (D'/D) grad T]

(3.14)

Ainsi la pr6sence du superfluide (par l'interm6diaire de la condition d'6quilibre chimique #,4 ----#,) fait apparattre des nouveaux termes dans les coefficients ph6nom6nologiques. En d6finissant des coefficients effectifs de diffusion D* et de thermodiffusion D*' de He 3 dans le fluide normal par D*-----{1 - N, (1 - N,,,)}D (3.15) D*' = {1-Y,(l-N,,4) } {D'- D(M3M4/RTM,,)(I-N,,4)(as/ag,4)pz} (3.16) (3.13 i prend la forme simple

03A3 = - - 0 , 0 " [grad N, -k N , ( 1 - - N , ) (D*'/D) grad T]

(3.17)

c. D i s c u s s i o n de quelques effets. A partir des 6quations (3.7) et (3.17), il est possible de d6terminer enti~rement les champs de vitesse des trois constituants du m61ange .A titre d'exemple, nous 6tudierons ainsi que Gorter l'a fait pour l'h61ium II pur, les conditions qui r~gnent dans un capillaire de diam~tre h, les gradients de pression, de temp6rature et des titres 6tant dirig6s suivant l'axe de ce capillaire. A l'~quilibre m~canique (~,, = 9.Is = 0), nous trouvons, ~ partir de (3.8) pour la diff6rence des vitesses des deux fluides (%,

--

o~,) 3

grad p-0N,4

_-

(OSI/aNn4)t,Tgrad T-o{N,,4/(I-N,)}RT

(M,/M3M4) grad N,

Be O,, Physica XVII

44

(3.

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P. MAZUR E T I. P R I G O G I N E

La vitesse du fluide normal peut ~tre trouv6e par addition de (3.7) et (3.8) - - g r a d p + 7. (Ato. + ~ graddiv to.) -- 0.

(3.19)

D'ofi pour la vitesse moyenne ~ . du fluide normal dans le capillaire co--, = - - (h2/8~,,) grad p

(3.20)

A partir de (3.18) on a alors pour la vitesse moyenne du superfluide w

2

*

oJ, = - - (h/8r/.) grad p - [grad p-oN,, (Os,]ON,4)~r grad

T-o{N,,J (1-Ne)}RT (M./M3M,) grad N,] 1/3 [B e q.]~ts

D'ofi. pour le flux moyen total de mati~re A travers le capillaire 0~ = g.~ + q,~, = ~ (h20/8n.) grad p "---0, [grad p-oN,,, (oS,/oN,,,,)grad

T-o{N,,J(1-N,)}RT (M,,/M3M4)grad Ne] a/" [B 0 g.] 1/8

et le flux moyen de He s 03 o~3 = 03/13 + 0#o. = - (h20/8~/.) grad

-

-

p- o.D* [grad N,+ N,(l-N,) (D*'/D) grad

T] (3.23)

Ces deux relation nous permettent de d6terminer, pour un grandient de temp6rature donn6, les gradients de pression et du" titre N, qui en r6sultent A l'6tat stationnaire oh les membres de gauche de (3.22) et (3.23) sont z6ro. Elles montrent l'influence du diam~tre du capillaire et sur l'effet fontalne et sur la s6paration de He 3. Examinons de plus pr&s plusieurs cas limites: 1) Dans des capillaires de tr~s faible diam~tre h -+ 0, un 6tat quasi stationnaire pour lequel ~ ~- 0 s'6tablira rapidement tandis que la condition 0 ~ = 0, correspondant ~ un 6quilibre de diffusion ne sera pas atteinte qu'au bout d'un temps long. L'6tat quasi-stationnaire du syst~me sera donc compl&tement d6termin6 par la relation grad

p- oNn4(Os4/ONn4)prgrad T- o{N,,,/(I-N,)}RT (M,/M3M,) grad N,~- 0 A temp6rature uniforme (grad T = 0) un gradient de concentration de He 3 donnera alors naissance ~ une ,,pression osmotique" grad p = 0{N,J(1 - -

N,)}RT (M./M3M4) grad N,

(3.25)

SUR L'HYDRODYNAMIQUE DES MELANGES LIQUIDES DE He 3 ET He 4 691 ¢

Cet effet a 6t6 observ6 par D a u n t , Probst et J o h n s t o n 4) qui montr~rent qu'une fente 6troite reliant deux r6servoirs d'h61ium II liquide dont 1' un contlent " une solution • de H e 3, agit comme une membrane semiperm6able provoquant une pression osmotique du c6t6 de la solution de He 3. Si la concentration de He 3 est tr~s faible dans l'un des r6servoirs, et nulle dans l'autre, (3.25) nous donne pour la pression osmotique ~ la formule de Van t' Hoff, A savoir = ~ R T N,, 4 N , / M 3 .~ Q3 R T / M 3 ~ RTC3

(3.26)

oh C3 est la concentration totale de He 3 dans l'un des deux r6servoirs. Si on maintient dans le m~mes conditions les deux r6servoirs ~t des temp6ratures diff6rentes, on doit trouver pour la pression thermomol6culaire selon (3.24) = ~ N , 4 (Os4/aN.4)p r 0 + R T C a

(3.27)

off 0 est la diff6rence des temp6ratures des deux r6servoirs. L'expression (3.26) est en accord avec les r6sultats obtenus exp6rimentalement par T a c o n i s , Beenakker et D o k o u p i l S ) . 2) Dans des capillaires ~ tr~s grand diam~tre (h -+ oo) nous trouvons ~ l'6tat stationnaire (q~ = 0 et qao3"3:-- 0) grace ~ (3.22) grad p = 0

(3.28)

D'ota, en vertu de i3.18), la relation =

--

[0N.4 (as4/ON,4)p r grad T + o { N , , , / ( I ~ IV,)} R T ( M J M a M 4 ) grad _AT,]'13 [B QQ,,]1/3 En tenant compte de (3.29) et de la condition de stationnarit6 ~ = 0, on a ~ _~_ ~_~[eN,,4 (Os4/ON,4) grad T+Q {N,,4/(I-N,)} R T (M,,/M3M4) grad N,] ~ls [B e ~,,],/3 (: D'ofi finalement la relation cherch6e entre grad T et grad N, 0

=

--

=

+

0,,O* [grad N, + N,(1 - - N,)(D*'/D) grad T] - -

03o,[eN,~(Os4/aN4)pr grad T + e { N , 4 / ( 1 - - N , ) { R T (M,,/M3M4) grad 1V,]113 (~ (3.31) exprime que la s~paration de He 3 et He 4 dans un gradient de temp6rature n'est qu'en pattie due A une ,,thermodiffusion"

692

P. MAZUR ET I. P R I G O G I N E

v6ritable. Un autre m6canisme d'enrichissement de He 3 est donn6 par le mouvement d'ensemble du fluide normal. Ce deuxi~me m6canismecorrespond plut6t au m6canisme de la s6paration par ,,effusion thermique" de gaz Knudsen. 3) Finalement, ~ temp6rature et concentration uniforme, nous trouvons, ~ partir de (3.22) et (3.23) pour le titre de He 3 dans le flux total de mati~re 03 °J--3 (h20/8~/,,) grad p 0 ~ = - - (h20/8~,,) grad p - - O~[grad p / B e 0.] 1/3

(3.32)

Dans les fentes tr&s 6troites (h-+ 0), (3.31) donne ~03~3/0"~ = 0

(3.33)

ce qui exprime une s6paration totale de He 3 et He 4 par 6coulement, telle qu'elle a 6t6 trouv6e dans les exp6riences de D a u n t, Probst et J o h n s t o n e ) . 4. Conclusion. La m6thode d6velopp6e dans notre premier travail z) nous a permis d'obtenir les 6quations hydrodynamiques du m61ange liquide He 3 et He 4. Sous leur forme la plus g6n6rale, ces 6quations contiennent un certain hombre de termes non lin6aires, r6sultant en pattie du passage du tenseur barycentrique des pressions aux tenseurs li6s au mouvement de chaque constituant et en pattie des relations ph6nom6nologiques (terme de friction mutuelle). Lots de la discussion de quelq.ues effets de ce syst~me, nous avons n6glig6 t o u s l e s termes non lin6aires ~ l'exception toutefois du terme de friction mutueUe que nous avons 6crit dans l'approximarion de G o r t e r . Dans une prochaine note, nous comptons revenir plus en d6tail sur l'influence des autres termes non lin6aires. Notons encore que dans un travail r6cent de P o m e r a n ts c h u k ~), cet auteur, en gen6ralisant les 6quations de Landau pour l'h61ium liquide II pur obtient aussi des 6quations de la dynamique pour les deux fluides dans les m61anges de He 3 et He 4. Une diff6rence essentielle entre ce travail et le n6tre, r6sulte du fait que toutes nos 6quations g6n6rales (cf. 3.3) sont obtenues en ne faisant que la seule hypoth~se macroscopique d'un transfert de quantit6 de mouvement faible entre les deux fluides. D'autre part nous trouvons dans la formule limite pour l'effet fontaine comme coefficient

SUR L'HYDRODYNAMIQUE DES M~LANGES LIOUIDE$ DE He 3 ET He4

693

du gradient de temp6rature le facteur N,,(Os4/ON,4)p T (cf. 3.27) et non pas l'entropie totale de l'H61ium 4, s 4. Une diff6rene analogue existait d6jA entre les th6ories de l'H61ium II liquide pur de L o ndonS), Tiszag) et L a n d a u 1 ° ) d'unepart e t l a t h 6 o r i e de G o r t e r n) d'autre part. Les th6ories bas6e sur la thermodynamique des ph6nom&nes irr6versiblesl) 1.) justifient le coefficient N,,4(Os4/ON,,4)p, r. De plus P o m e r a n t s c h u k n'obtient pas l'6quation de diffusion de He 3 dans le fluide normal ni un terme de friction 6ventuel entre les deux fluides. Re~u 6-3-51.

R~F~RENCES 1) P r i g o g i n e , I. et M a z u r , P., Physica 17(1951) 661. 2) P r i g o g i n e, I., l~.tude thermodynamique des phg~,om~nes irrdversibles, Liege (1947) Desoer, Ed. 3) D e B o e r , J. and G o r t e r , C.J., Physical6(1950) 225. 4) D a u n t , J . G . , P r o b s t , R . E . and J o h n s t o n , H . L . , Phys. Rev. (2) 73 (1948) 638. 5) T a e o n i s , K.W., B e e n a k k e r , J . G . M . and D o k o u p i l , Z., Phys. Rev. (2) 78 (1950) 171. 6) D a u n t , J . G . , P r o b s t , R . E . and J o h n s t o n , H.L., J. ChemPhys. 15 (1949) 759. 7) P o m e r a n t s e h u k , I., J. Phys. Exp. Th.U.R.S.S. 19(1948) 42. 8) L o n d o n , H., Nature, 142 (1938) 612. 9) T i s z a , Phys. Rev. 7 °, (1947) 838. 10) L a n d a u , L., J. Phys. U.R.S.S. 5(1941) 71. 11) G o r t e r , C . J . , Physiea 15 (1949) 523. 12) D e G r o o t , S. R., J a n s e n , L. and M a z u r , P., Physiqa 16 (1950) 421,691.