- Email: [email protected]
Sur l'unicité dans L3ℝ3 des solutions « mild » des équations de Navier-Stokes
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, Sbrie I, p. 1253-1256, Analyse mathkmatique/Mathematical Analysis (fquations aux d&i&es partielles/Partia/ Differential
1997 Equations)
Sur l’unicit6 dans L”( R”) des solutions <>des hquations de Navier-Stokes Giulia
FURIOLI,
et Elide
Pierre-Gilles
LEMARIkRIEUSSET
TERRANEO I
DCpartrment dr Mathbnatiqurs, Boulevard tlrs Coquilms, 9102.5 E-mail : [email protected],
R&urn&
LJniversitC tl’Evrp, kvry cedrx. [email protected],
trrranw&lami.univ-rvry.fr
Nousprouvons1’unicitCdansL”(R”) dessolutionsGmild >>desequationsde NavierStokeslorsquela donnCeinitiale est de taille suffisammentpetite. La demonstration reposesur l’estimationdu terme bilinCairedansl’espace6:,x (Iw”). On the uniqueness in L”( W”) of mild solutions for the Navier-Stokes equations
Abstract.
We prove uniqueness in L:‘( W”) f or mild solutions of the Nutpier-Stokes equations when the initial data are ,snzull enough. The proof lies on LIFZ estimate in the B,L ’ “(R’) norm jbr the bilinear term.
Nous nous proposons de dCmontrer dans cette Note 1’unicitC dans L”(lR”) des solutions (( mild >> des iquations de Navier-Stokes lorsque la donnke initiale est de norme assezpetite. Rappelonsqu’une solution (
(1)
Asi; - (G. ‘+Z - $‘p,
+ . ~1= 0,
pour une donnCe initiale Go (avec e . ~2” = O), est une solution de l’equation : (2) oti $ est le projecteur de Leray sur les champs de vecteurs h divergence nulle. Notons &--s(G, 5) = P exp((t - .)A)* . (718 *Z) et t B(72, i7) = &*(Z, qils. (3) I’ 11est immCdiat qu’il existe une constante Cl t;lye que II&-,(G: <)[I 4 < &liGll~ IlGllt~ (lorsque ,u’E E x E x E, on notera /I7;IIE 1a norme I~uIIIE + ll~w2ll~ + II7bIfi). alors B(Z, c) appartient 2 l’espace On obtient done que si 2 E C([O: +w[, (L”(W”))“), c([O:+m[,(Lf(IT))“) Note prbentke 0764.4442/97/0325
avec III?(7&zT)(t)ll,~
F C; ~4 supo
par Yves MEYER. 1253
0
AcadCmie
des
ScienceslElsevier,
Paris
1253
G.
Furioli,
P. C.
Lemarik-Rieusset
et E. Terraneo
Une solution G mild >> dans L”(P) sera done pour now une 77E C([O, +,xc[, (L”(FGy) q UI. vkrifie dans S’ : G = exp(tA)u~ - R(G: 5,). L’existence de solutions <
te 1 q ue 7;; IlGll~3 < +w,
y;i
dilli;llL-
<
fonction
vectorielle
[5]). On montre que
+tm,
!@a
dilli;llL-
=O}
(norm6 par ~up~>~(lJ’iiJJ~3 + JirllG/I~-)). C e 1a permet de conclure que, si /lGOllL~ est assez petite, l’opkateur F : G t-+ exp(tA)Go - B(G. 5) est contractant sur un voisinage de exp 0 tel que, si II& III, 1 < bo et si 72 est /‘unique solution de C = exp(tA)Z Cl- L?(G. ,Z) dons C( [O.+x[, (L”(W))“) qui ve’rifie : /cO &lli;ll~= 0 et ll’$,l + sup Ji(li& < fo2, alars tnufe autre solution i; E C( [O:T[, (L”(W))“) (pour un t;.o t>o T E]O. +cx]) de l’kquatinn v’= t:xp(tA),tio - 13(G,~7) pour 0 < t < T, est en fuir &gale & G, c’est-&dire V’f E [O.T[ 72= 6. sup
La dkmonstration repose sur le lemme suivant : LEMME.
- I1 existe Cl > 0 tel que VT E 10,+x1,
($‘“(R3)j3),
VG E C([O! T[: (L”(R”))3),
V7u’
E L”(]O:T[,
on a, pour 0 < t < T :
Dkmonstration du thkor2me. - L’inCgalitk (4) nous assureque si *iiest une solution c
sup l\Gl\. L,, 5 Cl sap II&lln+,,x o
Si IlG.oll~~~ est assez petite, on aura ;;;
IIGI[LI < &.
done on a dans S’ ,rlo= i;u;G = Jini(clxp(lA)GII
Par ailleurs, llI?(~,G)ll,+
i
0 pour I; -3
0,
- R(1T,G)) = Go.
Si to = sup{t > 0 tel $e Vs 2 [O,t], G = ,G} et si t,O < T, il existe, par continuitk de t H 1171- ??ij//L~;tl > to tel que ‘d’sE [O,tl], Ild - lTllL3 < &. On obtient alors :
ce qui donne uTi= 0’ dans 10,tl] et finalement ?I = Z. Cela contredit la dkfinition de lo. On a done to = T et le thCor&me est dCmontrC. Defmonstrution du lemme. - Les transformations de Riesz opkrant continQment sur l!%i@(W”), on peut remplacer l’opkrateur vectoriel n(G, ?I) par l’opkrateur scalaire
1254
SW l’unicit6
dans I,,’ (62,‘) des solutions
(Cmild u des Cquations
de Navier-Stokes
I1 s’agit de montrer :
oti Rwelons que ll.fll,p.~ = ~~P~~~~~II~.~II~~~
f
= xjEH A,f
est la dkcomposition de
Littlewood-Paley de f. Rappelons 2 ce propos quelques notations. Si m E L”(Iw”), VL(D) est l’ophateur dCfini par (m(D)f)*(E) = m(<)f(<); 1orsque m = A: avec k E L1(W) (7rt,(D)j = k * f), on notera ~~~rn(D)~~l~ = .I IkIck. On fi xe alors w E CF (W”) telle que Supp w C {E tel que w(A) = 1; on lui associe cp(<) = 1 - Cjzo w( $) et f I IEI I 2) et, pour t # 0, I& e sorte que ~$1 = w). La dkomposition de Littlewood-Paley de f E S’(W”) WE) = v($)PPE) Cd est l’Cgalit6 f = S,f + Cjzk A, f, oh Sk = v(g) et Aj = w(g). Lorsque Sk.f + 0 dans S’(lR”) quand k -+ -x, on a f = C,,z Ajf. La dkmonstration de (7) est immidiate. On a meme A(u:v) E e;‘“(R”) (c’est-g-dire que SUP,,~ 2JllAjA(~~.v)((L~
< i-x).
En effet, on a :
Or IlAj(~~~)ll~~ I Il14~)lII~I141L~3 l141L~,, tadis que
d’oti
\(A(~L,‘v)\(~~,.~ 5 ~&(((LcJ(D)I/(~ SU~~<.~<~ (jv(IL3 sl~p~<.~<~ ((TJ((~~. L’inCgalitk
(7) est done
dtmontrke. Quant h (8) elle se dkmontre de manikre analogue, en remplaCant l’estimation IlAj(7rv)llL~ I I~~w(D)IIIII~uII~~ ll?~ll~:~par IIAJ(‘u*~~J)IIL~ I (7.425ll~llL3 ll~~~llti,+.x. En effet :
2
I TC3G $p$, II4IL’ n
1255
G.
Furioli,
P. C.
On contr6le
LemaribRieusset
et E. Terraneo
en remarquant
IlAjOijlL2
On contr6le IlAj/!lj
que //A,u[~~:~ I III~(D)I~~I~IuII~:, et que
llLl en remarquant que I~A~wII~,~ 5 2-5 Il~ll~+.~
Enfin on contr6le 2--f I~~wI~~~,~. d’oh
et que IIS--L)UII~~
< C21~~~~~~L:1.
llAJ~/JllL~
I c"2jllAj7.jll,~ Remat-ques. - a) On peut obtenir aussi 1’unicitC locale de la solution pour donnCes quelconques done I’unicitC globale sur l’intervalle maximal d’existence. I1 suffit de dkomposer IlAjTjlIL2
Les deux derniers termes se traitent comme dans le cas global, puisque sup //G - exp(~A)~&,I\~:~ -+ 0 si t + 0. O<:s
oil ;wst sQ 11exl,(.sA)GollL~ VW t’i$‘yq
sup Il,~-cxp(sA)l~~ilL~ o
+ 0 si t + 0. (A cette fin il suffit d’ktablir
llA,(1171!)llLL < ca+ J/4,., ~(4
l’estimation
et
+ 0,
VU E L’(R”),
L+.)
b) On peut de mCme dkmontrer
I’existence et l’ukitk des solutions G mild s>dans d’autres espaces . d-l,', . I-l,<1 ou F; pour 1 5 ?-, < 3, 1 < 4 < +m (voir [4]). limites que L”( R”), par exemple B; c) L’unicitC dans un espace limite a Ctk prouvke rkemment par Y. Le Jan et A. S. Sznitman (voir [6]). L’espace considCrC est l’espace B = {U E S’(W”) tel que 3 ~1E Lm(W”).,il(E) = .~(<)/l<12}. C’est un espace de Besov sur les pseudo-mesures (voir [3]) L3 = {,u E S’(R”) tel que supY llAjll’j,,r < +m}, jEB
ce qui a motivC notre indr&t pour l+i’a(W”). Note remise le 27 mars 1997. acceptke le 8 avril 1997
R&fkrences bibliographiques [I]
Bony
J. M.,
lineaires.
Ann.
1981. Sci.
i&z
Calcul symbolique et propagation des singularites Norm. Sup., 4bme Serie. 14, p. 209-246.
pour
les
equations
[2] Cannone M., 199.5. Ondelettes, prrrc~~roduirs ef Navirr-Stokrv. Diderot kditeur. 131 Cannone M., 1997. Fluides en cascade. groupe de travail Ondelettes et Navier-Stokes. dans L,‘(R’r) et d’autres [4] Furioli G., Lemarik-Rieusset P.-G. et Terraneo E. Unicite Navier-Stokes. [S] Kato
T.,
Zeit.,
187,
En preparation. 1984. Strong L” solutions p.
Polytechnique.
1256
F.,
Navier-Stokes
equations
in
R”’
with
Universite espaces
applications
derivees
d’fivry. fonctionnels to weak
partielles
limites solutions,
non
pour
Math.
47 l-480.
[tl] Le Jan Y. et Sznitman [7] Plan&on
of the
aux
1996.
A. S., 1996. Stochastic
Solutions
globales
cascades et comportement
and 3-dimensional asymptotique pour
Navier-Stokes les equations
equations. Pwprint. de Navier-Stokes. T/r~sr,
&ole
1997 Equations)
Sur l’unicit6 dans L”( R”) des solutions <
FURIOLI,
et Elide
Pierre-Gilles
LEMARIkRIEUSSET
TERRANEO I
DCpartrment dr Mathbnatiqurs, Boulevard tlrs Coquilms, 9102.5 E-mail : [email protected],
R&urn&
LJniversitC tl’Evrp, kvry cedrx. [email protected],
trrranw&lami.univ-rvry.fr
Nousprouvons1’unicitCdansL”(R”) dessolutionsGmild >>desequationsde NavierStokeslorsquela donnCeinitiale est de taille suffisammentpetite. La demonstration reposesur l’estimationdu terme bilinCairedansl’espace6:,x (Iw”). On the uniqueness in L”( W”) of mild solutions for the Navier-Stokes equations
Abstract.
We prove uniqueness in L:‘( W”) f or mild solutions of the Nutpier-Stokes equations when the initial data are ,snzull enough. The proof lies on LIFZ estimate in the B,L ’ “(R’) norm jbr the bilinear term.
Nous nous proposons de dCmontrer dans cette Note 1’unicitC dans L”(lR”) des solutions (( mild >> des iquations de Navier-Stokes lorsque la donnke initiale est de norme assezpetite. Rappelonsqu’une solution (
(1)
Asi; - (G. ‘+Z - $‘p,
+ . ~1= 0,
pour une donnCe initiale Go (avec e . ~2” = O), est une solution de l’equation : (2) oti $ est le projecteur de Leray sur les champs de vecteurs h divergence nulle. Notons &--s(G, 5) = P exp((t - .)A)* . (718 *Z) et t B(72, i7) = &*(Z, qils. (3) I’ 11est immCdiat qu’il existe une constante Cl t;lye que II&-,(G: <)[I 4 < &liGll~ IlGllt~ (lorsque ,u’E E x E x E, on notera /I7;IIE 1a norme I~uIIIE + ll~w2ll~ + II7bIfi). alors B(Z, c) appartient 2 l’espace On obtient done que si 2 E C([O: +w[, (L”(W”))“), c([O:+m[,(Lf(IT))“) Note prbentke 0764.4442/97/0325
avec III?(7&zT)(t)ll,~
F C; ~4 supo
par Yves MEYER. 1253
0
AcadCmie
des
ScienceslElsevier,
Paris
1253
G.
Furioli,
P. C.
Lemarik-Rieusset
et E. Terraneo
Une solution G mild >> dans L”(P) sera done pour now une 77E C([O, +,xc[, (L”(FGy) q UI. vkrifie dans S’ : G = exp(tA)u~ - R(G: 5,). L’existence de solutions <
te 1 q ue 7;; IlGll~3 < +w,
y;i
dilli;llL-
<
fonction
vectorielle
[5]). On montre que
+tm,
!@a
dilli;llL-
=O}
(norm6 par ~up~>~(lJ’iiJJ~3 + JirllG/I~-)). C e 1a permet de conclure que, si /lGOllL~ est assez petite, l’opkateur F : G t-+ exp(tA)Go - B(G. 5) est contractant sur un voisinage de exp
La dkmonstration repose sur le lemme suivant : LEMME.
- I1 existe Cl > 0 tel que VT E 10,+x1,
($‘“(R3)j3),
VG E C([O! T[: (L”(R”))3),
V7u’
E L”(]O:T[,
on a, pour 0 < t < T :
Dkmonstration du thkor2me. - L’inCgalitk (4) nous assureque si *iiest une solution c
sup l\Gl\. L,, 5 Cl sap II&lln+,,x o
Si IlG.oll~~~ est assez petite, on aura ;;;
IIGI[LI < &.
done on a dans S’ ,rlo= i;u;G = Jini(clxp(lA)GII
Par ailleurs, llI?(~,G)ll,+
i
0 pour I; -3
0,
- R(1T,G)) = Go.
Si to = sup{t > 0 tel $e Vs 2 [O,t], G = ,G} et si t,O < T, il existe, par continuitk de t H 1171- ??ij//L~;tl > to tel que ‘d’sE [O,tl], Ild - lTllL3 < &. On obtient alors :
ce qui donne uTi= 0’ dans 10,tl] et finalement ?I = Z. Cela contredit la dkfinition de lo. On a done to = T et le thCor&me est dCmontrC. Defmonstrution du lemme. - Les transformations de Riesz opkrant continQment sur l!%i@(W”), on peut remplacer l’opkrateur vectoriel n(G, ?I) par l’opkrateur scalaire
1254
SW l’unicit6
dans I,,’ (62,‘) des solutions
(Cmild u des Cquations
de Navier-Stokes
I1 s’agit de montrer :
oti Rwelons que ll.fll,p.~ = ~~P~~~~~II~.~II~~~
f
= xjEH A,f
est la dkcomposition de
Littlewood-Paley de f. Rappelons 2 ce propos quelques notations. Si m E L”(Iw”), VL(D) est l’ophateur dCfini par (m(D)f)*(E) = m(<)f(<); 1orsque m = A: avec k E L1(W) (7rt,(D)j = k * f), on notera ~~~rn(D)~~l~ = .I IkIck. On fi xe alors w E CF (W”) telle que Supp w C {E tel que w(A) = 1; on lui associe cp(<) = 1 - Cjzo w( $) et f I IEI I 2) et, pour t # 0, I& e sorte que ~$1 = w). La dkomposition de Littlewood-Paley de f E S’(W”) WE) = v($)PPE) Cd est l’Cgalit6 f = S,f + Cjzk A, f, oh Sk = v(g) et Aj = w(g). Lorsque Sk.f + 0 dans S’(lR”) quand k -+ -x, on a f = C,,z Ajf. La dkmonstration de (7) est immidiate. On a meme A(u:v) E e;‘“(R”) (c’est-g-dire que SUP,,~ 2JllAjA(~~.v)((L~
< i-x).
En effet, on a :
Or IlAj(~~~)ll~~ I Il14~)lII~I141L~3 l141L~,, tadis que
d’oti
\(A(~L,‘v)\(~~,.~ 5 ~&(((LcJ(D)I/(~ SU~~<.~<~ (jv(IL3 sl~p~<.~<~ ((TJ((~~. L’inCgalitk
(7) est done
dtmontrke. Quant h (8) elle se dkmontre de manikre analogue, en remplaCant l’estimation IlAj(7rv)llL~ I I~~w(D)IIIII~uII~~ ll?~ll~:~par IIAJ(‘u*~~J)IIL~ I (7.425ll~llL3 ll~~~llti,+.x. En effet :
2
I TC3G $p$, II4IL’ n
1255
G.
Furioli,
P. C.
On contr6le
LemaribRieusset
et E. Terraneo
en remarquant
IlAjOijlL2
On contr6le IlAj/!lj
que //A,u[~~:~ I III~(D)I~~I~IuII~:, et que
llLl en remarquant que I~A~wII~,~ 5 2-5 Il~ll~+.~
Enfin on contr6le 2--f I~~wI~~~,~. d’oh
et que IIS--L)UII~~
< C21~~~~~~L:1.
llAJ~/JllL~
I c"2jllAj7.jll,~ Remat-ques. - a) On peut obtenir aussi 1’unicitC locale de la solution pour donnCes quelconques done I’unicitC globale sur l’intervalle maximal d’existence. I1 suffit de dkomposer IlAjTjlIL2
Les deux derniers termes se traitent comme dans le cas global, puisque sup //G - exp(~A)~&,I\~:~ -+ 0 si t + 0. O<:s
oil ;wst sQ 11exl,(.sA)GollL~ VW t’i$‘yq
sup Il,~-cxp(sA)l~~ilL~ o
+ 0 si t + 0. (A cette fin il suffit d’ktablir
llA,(1171!)llLL < ca+ J/4,., ~(4
l’estimation
et
+ 0,
VU E L’(R”),
L+.)
b) On peut de mCme dkmontrer
I’existence et l’ukitk des solutions G mild s>dans d’autres espaces . d-l,', . I-l,<1 ou F; pour 1 5 ?-, < 3, 1 < 4 < +m (voir [4]). limites que L”( R”), par exemple B; c) L’unicitC dans un espace limite a Ctk prouvke rkemment par Y. Le Jan et A. S. Sznitman (voir [6]). L’espace considCrC est l’espace B = {U E S’(W”) tel que 3 ~1E Lm(W”).,il(E) = .~(<)/l<12}. C’est un espace de Besov sur les pseudo-mesures (voir [3]) L3 = {,u E S’(R”) tel que supY llAjll’j,,r < +m}, jEB
ce qui a motivC notre indr&t pour l+i’a(W”). Note remise le 27 mars 1997. acceptke le 8 avril 1997
R&fkrences bibliographiques [I]
Bony
J. M.,
lineaires.
Ann.
1981. Sci.
i&z
Calcul symbolique et propagation des singularites Norm. Sup., 4bme Serie. 14, p. 209-246.
pour
les
equations
[2] Cannone M., 199.5. Ondelettes, prrrc~~roduirs ef Navirr-Stokrv. Diderot kditeur. 131 Cannone M., 1997. Fluides en cascade. groupe de travail Ondelettes et Navier-Stokes. dans L,‘(R’r) et d’autres [4] Furioli G., Lemarik-Rieusset P.-G. et Terraneo E. Unicite Navier-Stokes. [S] Kato
T.,
Zeit.,
187,
En preparation. 1984. Strong L” solutions p.
Polytechnique.
1256
F.,
Navier-Stokes
equations
in
R”’
with
Universite espaces
applications
derivees
d’fivry. fonctionnels to weak
partielles
limites solutions,
non
pour
Math.
47 l-480.
[tl] Le Jan Y. et Sznitman [7] Plan&on
of the
aux
1996.
A. S., 1996. Stochastic
Solutions
globales
cascades et comportement
and 3-dimensional asymptotique pour
Navier-Stokes les equations
equations. Pwprint. de Navier-Stokes. T/r~sr,
&ole