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Sur quelques aspects des oscillations sous-harmoniques d'ordre trois dans un circuit couple non-lineaire en regime force
hr. J. Non-Linear
Mechakv.
Vol. 8, pp. 239-252.
Pergamon Press 1973. Printed
in Great
Britain
SUR QUELQUES ASPECTS DES OSCILLATIONS SOUSHARMONIQUES D’ORDRE TROIS DANS UN CIRCUIT COUPLE NON-LINEAIRE EN REGIME FORCE M. UniversitC
de Provence
et
DEFILIPPI
J. C. LATIL
et Centre de Recherches
Physiques,
Marseille,
France
R&urn&-On ttudie les solutions sous-harmoniques d’ordre trois d’un systtme diffbrentiel non-lin6aire du quatriime ordre reprtsentant un circuit blectrique couplt exciti: sinusoidalement. La mtthode de Galerkin-Urabe permet de preciser certains aspects des solutions mis en .?widence exptrimentalement. On montre I’existence de plusieurs solutions sousharmoniques d’ordre trois et on dttermine leur comportement (amplitude et stabilitC) en fonction de la frequence.
INTRODUCI’ION
DEUX circuits 6lectriques rksistifs, soumis B une tension sinusoidale, couplts par capiciti et dont chaque rCsonateur comporte une inductance ?I noyau de ferrite (systbme g deux degrb de 1ibertC) peuvent etre reprCsentb par le modkle suivant [ 1,2] : ..
= o$x, + ko;x, .. x2 = - C&C, + ko;x,
Xl
- 2q,o,(l
+ 8~2,~;)~~ - $~;(a,x;
- ka,x;)
- 2q,o,(l
+ 8a,x;)z$
- ka,x;)
- fo;(a,x;
+ 2oo,Ecosot
(1)
avec les hypoth&ses : (i) les caracttristiques courant-flux sont des fonctions reprCsenttes par des cubiques, (ii) les circuits sont accord&, (iii) I’hystCrtsis est ntgligCe. En variables sans dimension, x1 et x2 reprbsentent le flux dans les circuits primaire et secondaire, k le coeff%zient de couplage et ql, qz le frottement dans chacun des circuits. LX systkme libre, ISaris& non amorti (q, = 0), admet les frkquences propres: ff = f;(l
- k)
j-; = f;(l
+ k).
Posons : 2E = f”
- (3&Y
f” p = 1 pour ce qui est relatif B la premi&re rCsonance et p = 2 pour ce qui est relatif g la seconde. Avec ces notations, F. Boeri (cf. [l], p. 114) obtient les rbultats suivants par la mkthode de Malkin. Pour que le systtme (1) admette des solutions sous-harmoniques d’ordre trois, il faut et il sufft que E > EO 239
240
M. DEFILIPPI et J. C. LATIL
la methode donnant une approximation de sO. Dans ce cas, pour des frtquencesfsuperieures a 3f,, il existe trois solutions sous-harmoniques asymptotiquement stables (composantes fondamentales dephades de 2x/3) et de m&me amplitude. La mtthode permet de construire les courbes amplitude-frequence et amplitudeexcitation pour la composante fondamentale des solutions. La courbe amplitude-frtquence peut Ctre approchee par une branche de parabole (courbe I, Fig. 1).
750
I 800
850
900
950
HZ FIG. 1.
En faisant harmoniques p. 110:
le changement de variable de t en 3t, les approximations des solutions sousrelatives a la premiere resonance flet a la seconde f,s’tcrivent, d’apres [l] 1 x,(t) = M, sin t - M, cost + (h, - 9)A cos 3t I. ( x&l = M, sin t - M, cos t + Akh, cos x x,(t) = M, sin t - M, cos t + (h2 - 9)A cos 3t x,(t) = - M, sin t + M, cost
+ Akh, cos 3t.
(2.1)
(2.2)
La methode de Malkin exige l’hypothbse de quasi linearitt pour le systeme (1). La validite des approximations (2.1) et (2.2) se restreint aux solutions relatives aux frequences d’excitation voisines de 3f, ou 3f2. Or l’etude experimentale des circuits Clectriques, d&rite dans [l], a mis en evidence des phenombnes non prtvus par la methode de Malkin. 11s concernent les oscillations sous-harmoniques du circuit secondaire qui apparaissent pour une frequence d’excitation voisine de 3f,. Pour des valeurs faibles du coefficient de couplage k(k < 0.3) tout se passe comme s’il y avait “saturation” de l’amplitude du sous-harmonique. La courbe de rtponse amplitudefrequence se stabilise a une amplitude pratiquement constante au lieu de croitre selon la
SW quelques aspects des oscillations sous-harmontques
241
branche de parabole theorique. Lorsque la valeur du coefficient de couplage augmente, ce phenomene devient de moins en moins marque, pour disparaitre vers la valeur k = 0.45. D’autre part, on rencontre des zones de frequence dans lesquelles l’oscillation sousharmonique n’est plus observable; elle fait place & l’oscillation fondamentale du circuit (t&s faible car ceci a lieu tres loin des resonances). Au fur et a mesure que le couplage augmente, on peut observer dans ces zones des oscillations, que F. Boeri qualitie d’irregulikes, dont l’amplitude varie dans le temps avec une modulation apparente sans qu’une pCriodicitt puisse experimentalement &tre mise en evidence. Pour essayer d’expliquer les phtnomenes decrits ci-dessus, nous avons aborde l’etude des solutions sousharmoniques de (1) avec la methode d”Urabe, rejetant l’hypothbse de quasilinearite. METHODE
DE GALERKi~-URABE
A. Co?lsid~ra~io?ls~~~o~iques Cette methode, developpee par Urabe dans [3-51, consiste tout d’abord dans le calcul d’une approximation de Galerkin d’ordre Cleve dune Cventuelle solution 2rr-periodique de (3). Elle permet ensuite de montrer I’existence, sous certaines conditions, d’une solution exacte dans un voisinage de cette approximation et de donner une estimation de l’erreur par rapport a celle-ci. Soit le systeme differentiel vectoriel: f = X(x, t)
(3)
I1 satisfait les conditions (C) suivantes. x:fRn X fR-+fR”? (x, r) + X(x, 0 est une application continue, possede des derivees partielles premieres par rapport aux x’(i = 1,. . , , n) continues dansIR” x IR et pour tout
X(X, t) = X(x, f + 2x)
On pose $(x, t) = g(x,
(x, t).
t).
Rappelons les notations de [6], utilisees dans ce qui suit, Le symbolelI . fl designe la norme euclidienne pour les vecteurs ainsi que la norme correspondante pour les matrices. C(27r) (resp. C’Qn)) dtsigne l’ensemble des applications continues (resp. contin~ment derivables) de IR-rJR” t I-+x(t) Zrc-periodiques, avec la norme uniforme not&z I/ . I/u, /lx /Iu = sup IIx(t) II. f
t Les rtsultats s’btendent au cas oti X: i2 x IR -IR” S2&ant un ouvert de R”.
D
M. DFFII IPI’I et .I. c.
242
1-A ITI
Chercher une approximation de Galerkin d’ordre m d’une solution Cventuelle de (3) cons&e en la dktermination des n(2m + 1) coefficients de x,(t) = a, f (J2)
f
2n-pkriodique
(uj sin jt + bj cos jt)
j=l
de telle sorte que: 277
X(x,(s), S) ds = 0
&
s
0 2n
1
X(x,,,(s), s) sin js ds + jb, = 0
__
zJ2
(4)
s
0
277
1
X(x,(s), s) cos js ds - jaj = 0
~
xJ2 j = 1,2,...,
s
0
m et a,, aj, bj EIR”.
Pour une telle approximation, l’existence d’une solution 27c-pkriodique correspondante est assur&e si la proposition suivante est v&ifi&e [6]. Proposition 1. Supposons les conditions (C) satisfaites et, de plus, que les dtrivkes partielles a2x/&xi8xj existent et sont continues dansIR” xlR. Si le systtime diffkrentiel:
dy
z
ne posskde pas de solutions tel que:
=
27c-pkriodiques
I(/(Xm@)~ 4Y autres que z&o,? s’il existe un nombre
2Rr
alors le systkme seule telle que:
(3) admet
une solution
(5.1)
< 6
(5.2)
?i?ik,6 < 1
(5.3)
2n-pkriodique
isol&e$ R. Cette
solution
II2 - XAI” d 6 et l’on a: /I9 - XJ,, La constante
R est une borne de la norme
< 2Mr
uniforme
(I(H 11 u < M) de I’opCrateur
H: C(2n) + C’(27r) inverse de 1’opCrateur B: C’(2x) + C(2Z) t Le systkme est dit non critique. : La solution
Dam ces conditions
est dite isoke si le systime
6 positif
x,(t) est dite aussi non critique.
j = $(9(t). t).v est non critique.
est la
243
defini par
k, est une constante telle que:
k, i. j
x - x,(t)!IU < 6 et pour tout x tel que 11 r 2
telR
sup IIi,(t)
- -+,(t),
f
L’operateur H est explicit& par Urabe dans [3] VW(t)
H(t,
s)
=
‘s” 0
Wt,
4
ds)
t)ll.
:
ds
cp
E
C(274
est la matrice de Green du systeme (5.1).
B. Application de la m&hode au syste’me (1) Urabe et Reiter developpent cette methode sur ordinateur dans [4]. Nous appliquons ces resultats au sysdme (1). (a) Calcul des approximations de Galerkin. Le systeme (1) est traitt en effectuant les changements de variables suivants: x1 = KC1 x2 = c(xz t = 3t/o B = (%)I~
11vient : X, = - 9/12x, + 9kj?*x, - 6q,j?(l + 8a,x:)i, - 24p*(a,xi - ka,x$ + 18B.Ecos 3t = X, .. x2 = - 9fi2x2 + 9k/?*x, - 6q,j?(l + 8a2x$i2 - 24/?*(a,x: - ka,x:) = X2.
(6)
Le systbme (6) est de la forme 2 = X(x, i, t)
x = &,x2)
et possbde la propriete de symetrie: X(x,$
Par suite, les approximations
t) = - X(-x,
-i,
t + 71)
de Galerkin sont cherchees sous la forme:
x1,,, = F (b,,_ 1 sin (2n - 1)t + b,” cos (2n - 1)t) 1
-‘Cam =
f$
(cZn_
1
sin (2n - 1)t + c2” cos (211- 1)t)
ii,,, = $ (-(2i1 - l)b,, sin (212- 1)t + (211- l)b,,_ 1 cos (211- 1)t)
(7)
244
$,,,
= 7 (- (211 -
l)C,,
Sin (2Fl -
M
nFFI1 II’I’I et 1. C. LA,!~
l)t
t- (2Ft -
l)C,,_ ,
COS (2Fl -
l)t).
Les coefficients b b-1 b 2s c 2n- 1’ c 2n sont determines en rtsolvant le systbme d’equations determinantes relatif A (6) (l’analogue de (4)) par la methode de Newton. Les valeurs de depart sont calculees a partir de (2.1) et (2.2). En effet, la methode de Malkin donne -‘cret x2 sous la forme x1 = 6, sin t + h, cost + b, cos Jt _Xt= cr sin t + cz cos 1 + cq cos 3t avec : b, = M, b,=-M, b, = (hp - 9)A c I = $Gi, c2 = ‘/iv2 C4
=
khpA
06 p = 1, y = 1 correspondent au sous-harmonique relatif A f, et p = 2, y = - 1 correspondent au sous-harmonique relatif a &,. Remarque 1. Lorsque la frequence d’excitation atteint des valeurs tres suptrieures a 3fi ou 3f,, les valeurs de depart don&es par (2.1) et (2.2) deviennent inexploitables pour la methode de Newton (convergence trop lente). 11 est alors possible d’operer de proche en proche pour ttudier le comportement des solutions en fonction de la frequence. Les coefficients de la solution correspondant ti la frequence f sont pris comme valeurs de depart pour calculer la solution correspondant A une frequence d’excitation f + 4f. (b) CaEcuEdu mmbre Y. I1 est facile de voir que le nombre
F = lli,m - XJ”
+ /lx,, - X2m/l”
peut etre choisi comme valeur de r. Ce nombre est calcule a partir des coefficients de Fourier d,,_. I, d2,,, de (X,, - j&J et ezn- ,, ezn, de (X2, - g2,). 11est Cvalue par l’inegalite:
Les seconds membres de (6) Ctant des polynomes de degre trois, la valeur de m, est don&e par m, = 3m - 1 Cette procedure est discutee dans [4]. (c) Calm1 de M. Pour appliquer la proposition forme:
1, il est ntcessaire d’ecrire (6) sous la
xt = U x2 = u ti = X,(X,, .X2,U,t) ti = X,(X,, X2’v, t)
et d’expliciter le systeme aux variations (5.1) relatif a (8). La metrice fondamentale 4(t) est obtenue par la methode de Runge et Kutta. Elle est calculee aux instants t, = Ah. (2 = 0, 1,. . .) A,,; A,$ = 2~; 1, = 256). L’operateur H(t, s) est explicite et la methode de Simpson donne une valeur approchee de
R est alors calculte a partir de la plus grande de ces valeurs’i‘. Au passage on calcule les valeurs propres de +(27c)dont les valeurs absolues renseignent sur la stabilite de x,. On admet ensuite que si x, est une approximation d’ordre Cleve de la solution exacte P (conditions de la proposition 1 verifiees) la stabilite de cette derniere se deduit de celle de x,. RESLILTATS
RELATIFS
A UNE FAIBLE
VALEUR
DU COEFFICIENT
DE COUPLAGE
Afm d’etudier ces phenomenes non expliques par la methode des perturbations de Malkin, on a choisi la valeur k = 020. La valeur e = 42.42 est celle qui a CtCchoisie dans les experiences de [l] et correspond a 30 V efhcaces. Les autres parametres du circuit conduisent aux valeurs suivantes des coefticients a,, a2’ 4,, q2 pour G1= lo-“/J10 a, = 0.707262 a2 = 0.813827 q1 = q2 = 0002678
Pour illustrer la methode, traitons un exemple a frequence donnee. Exemple numPrique
L’exemple trait& concerne la solution sousharmonique d’ordre trois relative a la seconde resonance f,, qui apparait pour une frequence de l’excitation de 762 Hz (3j2 = 723 Hz). On donnera plus loin des solutions correspondant a d’autres valeurs de la frequence d’excitation. Les approximations calcultes sont d’ordre 8 (m = 8). Le systeme (2.2) conduit aux valeurs suivantes des coefficients de Four&r: b, = 0.144 930 85
c1 = -0.144
b, = -0.095
491 07
c2 = 0.095 491 07
b, = -0244
499 94
cq = 0.004 989 794
930 85
Le systeme d’equations determinantes est rtsolu par la methode de Newton en prenant comme valeurs de depart les valeurs ci-dessus; les autres coefficients sont supposes Cgaux a zero. En ne conservant que dix chiffres, le rtsultat est le suivant:
t Dans [6] est don&e
une estimation
de R qui ne nkessite
pas d’expliciter
l’opkrateur
H.
M
246
Xlm
D~I~ll~rl’l
0~1937116201sint
=
c.
et J.
LAIII
- 0.1229685032cost
+ 0.0005586664
sin 3t - 0.2338788995
cos 3t
+ 0.000029225
3 sin 5t - 0~0000650810
cos 5t
sin 7t - 0.0001373695
cos 7t
+ 0~0002415711
+ 0.000003 739 8 sin 9t - 0.000056 750 1 cos 9t + 0~0000002227
x2m
=
sin llt
+ 0~0000000897
cos llt
+ ON)OOOO123 1 sin 13t - 0~0000000560
cos 13t
+ 0~0000000024
sin 15t - 0~0000000144
cos 15t
- 0.1650625299
sin t + 0.1013482755
cos t
- 0.000057 744 5 sin 3 t + 0.004 809 830 1 cos 3t - 0.0000129836
sin 5t + OXMIOOO94792cos 5t
- OXJOOO479387 sin 7t + 0.0000299997
cos 7t
- 0~000000 125 5 sin 9t + 0~0000114417
cos 9t
- 0WO0000501
sin llt
- 0~0000000238
sin 13t + O~OOOOOCOl32cos 13t
- 0~0000000023
sin 15t + 0~0000000029
- O~OOOOOOO175cos llt
cos 15t
Le nombre i est Cvalue pour tn,, = 23, les coefficients de l’approximation de Galerkin conservant les 18 chiffres de leur representation dans l’ordinateur. On prend pour r une valeur legerement superieure a ; J(d:“_r ?I=1
+ d:,) + Z J(&, “=I
+ &)
soit ici: r = 0.903. La valeur de R calculee
lo-’
est 30.574 266 9 : on prend : &if = 30.58.
Pour tester la solution
approchee,
appliquons
la proposition
2Mr = 0.5522748. En prenant
la valeur fi = 0001, l’intgalite
k, < [s~p[{96qga,(l~i-,,(t)I + {144W,(J~,,(r)J + (964Ba2(Ii2Jr)(
+ {144k/32~,(~~,,,,(r)l k, = 3.732
+ {192+,(lxIm(r)l
+ fi) + 144P2a2((X2&)l
< 6
(5.3) est verifiee, car:
+ 6) + 144fi2a,(l.u,,(r)) + W
lo-”
1. L’inegalite
+ 6))’ + W
+ @I2
+ W2 + {192q~~,(~--C,,&)~ + fi)S21 1’
(5.2) donne
Sur quelqwy
nspects des oscillation.~
.rolrs-harmoniques
247
et: Rk,b 11 existe done une solution Galerkin calculee, et:
= 144.116.
2rc-ptriodique
If - x,1, < 2Rr Cette solution donne :
1O-3 < 1. a(t) correspondant
< 0.5523.
a l’approximation
de
lo-‘.
a(t) est stable. En effet, le calcul des valeurs
propres
si de la matrice
4(27r)
s~,~ = 0.591 144517 + j(0.785341725) s3,4 = 0.922 183335 f j(O.337476604). Les valeurs
absolues
sont respectivement : cl,2 O3.4
=
0.982961573
=
0.98 1994 174.
Les valeurs absolues des valeurs propres de $(27r) Ctant toutes inferieures a l’unitt, la solution consideree est done bien stable. Montrons que la solution exacte a(t) possede la m&me symetrie que l’approximation de Galerkin. La proposition 1 assure l’existence dune solution unique telle que IIit(t) - x,(t) I( d 6 Or, x,(t) = -x,,,(t
+ rc) et l’inegalite
Vt.
devient:
(1a(t) + Xm(l + 7T)II d 6 Pour I = t + TT,puisque
l’approximation
est de phiode
Ht. 27r,
IIqt + n) + x,(t) (1d 6 Compte tenu de la symttrie Puisque a(t) est la seule solution
(9)
Vt.
(7) si i(t) est solution, il en est de meme de -;(t satisfaisant (9), il en resulte que: z(t) = -a(t
+ 7r)
-t n).
Vt
et a(t) peut s’ecrire S?(t) = jJ (Li2,_ 1 sin (2a - 1)t + i,” cos (211 I DISCUSSION
DES RESULTATS
1)t).
OBTENUS
A. Solutions sous-harmoniques relatives d f, Les valeurs de depart des coefficients, calculees a partie de (2.1), conduisent a deux solutions sous-harmoniques d’ordre trois, l’une stable, l’autre instable. Les approximations de Galerkin ont ete calcultes pour f = 762 Hz et f = 800 Hz. Le comportement des solutions est identique, tout au moins dans ce domaine de frequences, a celui qui est prevu par la mtthode de Malkin en ce qui concerne l’amplitude de x1 et x2 et la stabilitt. 11 est en accord avec l’experience effectuee par F. Botri pour la solution stable. Les solutions ne presentant pas de caracteres particuliers, nous ne donnons pas les tableaux de rtsultats correspondants.
B. Solution sous-harmonique
relative h f2
Les equations determinantes sont maintenant rCsolues avec, pour valeurs de depart, les valeurs des coefficients don&es par (2.2). Les solutions ainsi obtenues prCsentent des caracteristiques differentes de celles dorm&es par la mtthode de Mall&r quand la frtquence de 1”excitation s’tloigne de 3fi. PourS = 762 Hz, frequence voisine de 3f,, les deux methodes sont en accord et indiquent l’existence de deux solutions sous-harmo~iq~es d’ordre trois, l’une stabfe (solution l), l’autre instable (solutian 2). La solution 1 est donnCe dans l’exemple numCrique trait6 plus ham. Pour f = 785 Hz, les deux solutions calcul6es sont instables. La disparition de l’oscillation sous-harmonique constatCe par F. Boeri n’est pas due aux perturbations introduites lors du changement de frkquence du gtntrateur, comme il en avait emis l’hypothese, mais a 1”instabilitC qui la rend physiquement inobservabte. La solution 1 redevient stable pour~f = 950 Hz (Tableau l), la solution 2 restant instable. A 1080 Hz, les solutions I et 2 sont toutes deux instables. 11y a alternance des zones de stabilite et d’instabiliti;, ce qui explique la presence de “trous” dans la rCponse amplitudefrequence.
Solution 1
i
fJi
8 4 10 11 Y2 13 14 15 16
k 6
k* s:
/‘iI
0.2380324383 -0-248 1326841 MO3 1406824 -0,17X9632403 0.0003569342 -o*oQo1972274 @OOOlI78145 -0%)001032005 oGKm2 558 2 -0.~~16~~7 0.~~~851 -o-0fxmo01S0 OTKKMOOO243 -0mo0000151 0~0000000006 -0~0000000014
Solution 2
f
br
-05636165435 0.514 167 3116 -0-0091523219 -0N194S02186 0.000 127217 7 - @OOO102 729 3 - 0000020968 0 o+Oo 025 453 0 -0000ooO4532 0.~#3 1627 -0.~~045 3 -o@Oooooooo2 -0~0000000044 0~000000 003 1 o@ooooooooo 0~0000000003
03672. 1O-7 83.76 O-001 5-612 O-439831 391 + i .0~884907633 0.830077566 f ) .0.486453042 0.988 186 806 0.962 115042 Stable
0.0~97S~9906 -0.6828132612 0.0017415344 -0.203 1607653 OGOO3151877 -0003 5297803 @0000473896 - omo439 093 0 0.0~~5486 -0.~035~S3 0.~~3734 -0~0000017112 osKmooo35 1 -0moooo1359 0~0000000028 - omoooo 00s S
i -0-0088149910 0.2896364825 -0~0003012212 0.008 092 207 9 -0@00403799 OMO746052 3 -o+K?Qooso712 O-000090465 1 -0.0~~~4502 0.~~7 1917 -0.~~04~4 0~0@woo3558 - 0~0000000044 0@000000282 -oQooooomo3 @mooooo18
0.2234, lo-” il.72 O@Ol 5,356 0.254 651509 3.71161443 0.076 164907 I j. 0.981986351 0.254651509 3.71161443 0.984935671 Instable
Afin de prkciser l’allure de celle-ci, la solution 1 a CtCcalcul&e en outre pour 795, 810, 850,900 et 1000 Hz en operant suivant la remarque 1. Les courbes (II) et (III) reprCsentCes Fig 1 sont obtenues par continuite 5 partir des points calcules par la methode de Galerkin-
Sur que1que.r a.7pect.ydes oscillations sowharmoniquar
Urabe. Elles representem a dire
respectivement
J(b:
la composante
+ bi) et J(c:
249
fondamentale
de x1 et xZ, c’est
+ c:),
en fonction de la frequence. Les points marques d’un car& representent les solutions stables, les points marques dun cercle, les solutions instables. La partie en trait interrompu indique les zones d’instabilitt determinCes par simulation analogique. La courbe de reponse relative la composante x1 de la solution 1 presente une “saturation” d’amplitude par rapport a la rtponse relative a x2 et a la parabole (courbe I) don&e par la methode de Malkin. 11 faut remarquer ici la difference de comportement entre cette solution et l’oscillation obtenue dans les experiences, d&rites dans [ 11, effectuees sur le circuit Clectrique. En effet, x1 et x2 representent, en variables sans dimensions, les flux dans les noyaux primaire et secondaire. Or, les courbes amplitude-frequence obtenues a partir du circuit experimental presentent une saturation d’amplitude pour le flux secondaire, et non pas primaire. 11 semble qu’il existe au moins une autre solution que celle don&e par la methode de Malkin pour des frequences d’excitation tloignees de 3f,, frequences auxquelles apparait la “saturation”. Dans cette zone de frequences, les valeurs de depart donntes par les relations (2.2) ne sont plus exploitables. Pour nous liberer de cette contrainte, nous avons determine les coefficients initiaux sans utiliser (2.2). On considere le systeme (6) en negligeant le frottement (ql = qz = 0). Etant donne les symetries du systeme obtenu, une premiere approximation des solutions peut etre calculee par: .x1 = b, cos t + b, cos 3t
.yyz= c2 cos t + c4 cos 3t. Les coefficients de depart b,, b, et c2, cq sont donnts par les racines reelles du systeme d’equations determinantes: b#/98*
- 1) - 2a,(b;
b,(llP*
- 1) - 2/3a,(b:
645
+ 34
+ b,b,
+ 2b;)) + kc,( 1 + 2a,(c;
= o
+ 6bzb, + 3bi) + kc, + 2/3ka2(c3,+
+ E/p = 0
(10)
c2((1/9P2 - 1) - 2a,(ci + c2cq + 24) C,(l/fl’
+ c2c4 + 24)
- 1) - 2/3a,(c;
+ 6c;c,
+ 34
+ kb,(l + 2a,(b; + kb, + 2/3ka,(b;
+ b,b,
+ 2b;)) = 0
+ 6b;b,
+ 3b;) = 0
La recherche systematique des solutions de (10) a CtCfaite pour une frequence d’excitation correspondant a la zone de saturation, soit f = 950 Hz. Elle permet de retrouver les solutions de (6) traitees precedemment, mais aussi une solution sous-harmonique d’ordre trois stable (solution 1) presentant une “saturation” pour la composante x2. Elle est obtenue a partir des valeurs suivantes: b, = -0.4247982850
c2 =
b, = -00817609020
cq = -00029268945
0.2130741500
les autres coefficients Ctant Cgaux a zero. Le tableau 2 et la Fig. 2 donnent un resume des
250
M
DI
FII II*PI
Solution
et J. C.
r R 6 k, s
ru
1 ‘
b, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
LA
0.740473 596 3 - 0.447 788 803 9 0.0016615613 -0.1830495753 0,002 743 944 8 0~0015500439 omO355 750 1 -0~0001785180 0~00000123 15 -oQOOoo73519 0QOO0010497 OGOOOOO785 8 OGOOOOOO442 -00000000138 00000000004 0~0000000024
-0.389071 1568 0,232 371795 5 -0GOO347 1156 OGlO2966215 -0QOO5774609 -0GO03009923 -0GOO6836633 0~0000389186 -0QO00001364 OWOOO13396 -0GOO000223 5 -@OOOOOO 1402 -0QOO000008 1 0~0000000034 omOOOOoOOo -0~000000m5
0.759. lo-’ 22.17 0.00 1 5.248 1 0.022 275 872 f j (0.964009 367 0.753 518 932 f j .0.625852458 0,964 266 695 0,979 531 556 Stable
FIG. 2.
SW que1que.r aspect.~ des o.rcrllations
sous-harmonrqwr
251
rCsultats relatifs a cette solution. La zone A de cette figure est en tours d’investigation, la convergence de la mCthode de Newton est trbs lente dans ce domaine de frkquences.
CONCLUSION
En r&urn& les rCsultats obtenus par la m&hode de Galerkin-Urabe pour une valeur faible du coefficient de couplage prCcisent les phCnom2nes de “saturation” d’amplitude et d’extinction des oscillations sous-harmoniques d’ordre trois relatives Ctla seconde rbonance, constates expkrimentalement ([ 11). En ce qui concerne le premier deces phknomines, F. Boeri avait tmis l’hypothtise que la “saturation” Ctait due g la prksence d’une hystCrCsis dans les noyaux de ferrite, hystkrbis qui ttait nCgligte dans son ttude. 11 s’avbre en fait qu’il ne s’agit pas d’un phCnom&ne d’&cr&tagede l’amplitude, mais bien de la rtponse naturelle du circuit et c’est l’hypoth6se de quasilinCaritC qui est, sur ce point, g rejeter. Pour ce qui est du deuxikme phCnom&ne, la mCthode de Galerkin-Urabe montre, toujours dans le cas de couplages faibles, que l’apparition de “trous” dans la rt?ponse amplitude-frbquence est 1iQ &l’alternance de zones de stabilitk et d’instabilitk de la solution Ctudike. Les valeurs de dCpart don&es par le systkme (10) permettent de montrer, dans certains domaines de frequences d’excitation, l’existence de trois types de solutions sous harmoniques d’ordre trois pour le syst2me (1). 11semble, pour ces valeurs de la frCquence d’excitation, que la mtthode de Malkin laisse Cchapper des solutions. Les r&ultats obtenus prksentent l’int&tt, du point de vue expCrimenta1 de fournir des conditions d’obtention d’un type donnC d’oscillations sous-harmoniques quelle que soit la frCquence de la source. Les conditions initiales relatives & (1) sont calculCes g partir des approximations de Galerkin. Elles ont permis de dCterminer les zones stables et instables sur calculateur analogique. 11reste g faire une Ctude systkmatique du circuit Clectrique et l’on peut espCrer, notamment grgce d la connaissance de conditions initiales prkcises, pouvoir obtenir des rbultats plus fins.
BIBLIOGRAPHIE [I] F. BOERI,SystPme.r coUpI& qunsilinkakr. non autonomes: Marseille (1968). [2] F. BOERI,Solutions periodiques des systimes quasilinkaires Non-Linear
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2,343%312
pcfrrodrcrtk. stnbilith et mod&s
non autonomes
g deux degris
physiques.
de liberte.
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(Received
15 February
1973)
252
M.
DEFILIPPI
ET
J. C. LATIL
Abstract-Third order subharmonic solutions of a fourth order non-linear differential system modeling a sinusoidally excited coupled electric circuit are studied. The Galerkin-Urabe method makes it possible to be more explicit on some aspects of the solutions evidenced experimentally. The existence of se:,eral third order subharmonic solutions is shown and their behavior (amplitude and stability) as a function of frequency is determined.
ZusammenfassungPDie subharmonischen LBsungen dritter Ordnung eines nichtlinearen Differentialsystems vierter Ordnung werden untersucht. Dieses System stellt einen elektrischen Stromkreis mit awei Freiheitsgraden und sinusfermiger Erregung dar. Einige experimentelle Gesichtspunkte der Liisungen werden an Hand der Methode van Galerkin-Urabe genau formuliert. Das Vorhandensein mehrerer subharmonischer Liiaungen wird gezeigt und deren Frequenzverhalten (Amplitude und Stabilittit) werden bestimmt.
no acneKThI
MC’T~:IY I’aJIepRLtHa-ypa6e peIrIeIIn8.
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c~lira~~~orrIrsec~rl~
11 !‘(‘TO~WIHOCTh),
penreHIrii
Ii
Mechakv.
Vol. 8, pp. 239-252.
Pergamon Press 1973. Printed
in Great
Britain
SUR QUELQUES ASPECTS DES OSCILLATIONS SOUSHARMONIQUES D’ORDRE TROIS DANS UN CIRCUIT COUPLE NON-LINEAIRE EN REGIME FORCE M. UniversitC
de Provence
et
DEFILIPPI
J. C. LATIL
et Centre de Recherches
Physiques,
Marseille,
France
R&urn&-On ttudie les solutions sous-harmoniques d’ordre trois d’un systtme diffbrentiel non-lin6aire du quatriime ordre reprtsentant un circuit blectrique couplt exciti: sinusoidalement. La mtthode de Galerkin-Urabe permet de preciser certains aspects des solutions mis en .?widence exptrimentalement. On montre I’existence de plusieurs solutions sousharmoniques d’ordre trois et on dttermine leur comportement (amplitude et stabilitC) en fonction de la frequence.
INTRODUCI’ION
DEUX circuits 6lectriques rksistifs, soumis B une tension sinusoidale, couplts par capiciti et dont chaque rCsonateur comporte une inductance ?I noyau de ferrite (systbme g deux degrb de 1ibertC) peuvent etre reprCsentb par le modkle suivant [ 1,2] : ..
= o$x, + ko;x, .. x2 = - C&C, + ko;x,
Xl
- 2q,o,(l
+ 8~2,~;)~~ - $~;(a,x;
- ka,x;)
- 2q,o,(l
+ 8a,x;)z$
- ka,x;)
- fo;(a,x;
+ 2oo,Ecosot
(1)
avec les hypoth&ses : (i) les caracttristiques courant-flux sont des fonctions reprCsenttes par des cubiques, (ii) les circuits sont accord&, (iii) I’hystCrtsis est ntgligCe. En variables sans dimension, x1 et x2 reprbsentent le flux dans les circuits primaire et secondaire, k le coeff%zient de couplage et ql, qz le frottement dans chacun des circuits. LX systkme libre, ISaris& non amorti (q, = 0), admet les frkquences propres: ff = f;(l
- k)
j-; = f;(l
+ k).
Posons : 2E = f”
- (3&Y
f” p = 1 pour ce qui est relatif B la premi&re rCsonance et p = 2 pour ce qui est relatif g la seconde. Avec ces notations, F. Boeri (cf. [l], p. 114) obtient les rbultats suivants par la mkthode de Malkin. Pour que le systtme (1) admette des solutions sous-harmoniques d’ordre trois, il faut et il sufft que E > EO 239
240
M. DEFILIPPI et J. C. LATIL
la methode donnant une approximation de sO. Dans ce cas, pour des frtquencesfsuperieures a 3f,, il existe trois solutions sous-harmoniques asymptotiquement stables (composantes fondamentales dephades de 2x/3) et de m&me amplitude. La mtthode permet de construire les courbes amplitude-frequence et amplitudeexcitation pour la composante fondamentale des solutions. La courbe amplitude-frtquence peut Ctre approchee par une branche de parabole (courbe I, Fig. 1).
750
I 800
850
900
950
HZ FIG. 1.
En faisant harmoniques p. 110:
le changement de variable de t en 3t, les approximations des solutions sousrelatives a la premiere resonance flet a la seconde f,s’tcrivent, d’apres [l] 1 x,(t) = M, sin t - M, cost + (h, - 9)A cos 3t I. ( x&l = M, sin t - M, cos t + Akh, cos x x,(t) = M, sin t - M, cos t + (h2 - 9)A cos 3t x,(t) = - M, sin t + M, cost
+ Akh, cos 3t.
(2.1)
(2.2)
La methode de Malkin exige l’hypothbse de quasi linearitt pour le systeme (1). La validite des approximations (2.1) et (2.2) se restreint aux solutions relatives aux frequences d’excitation voisines de 3f, ou 3f2. Or l’etude experimentale des circuits Clectriques, d&rite dans [l], a mis en evidence des phenombnes non prtvus par la methode de Malkin. 11s concernent les oscillations sous-harmoniques du circuit secondaire qui apparaissent pour une frequence d’excitation voisine de 3f,. Pour des valeurs faibles du coefficient de couplage k(k < 0.3) tout se passe comme s’il y avait “saturation” de l’amplitude du sous-harmonique. La courbe de rtponse amplitudefrequence se stabilise a une amplitude pratiquement constante au lieu de croitre selon la
SW quelques aspects des oscillations sous-harmontques
241
branche de parabole theorique. Lorsque la valeur du coefficient de couplage augmente, ce phenomene devient de moins en moins marque, pour disparaitre vers la valeur k = 0.45. D’autre part, on rencontre des zones de frequence dans lesquelles l’oscillation sousharmonique n’est plus observable; elle fait place & l’oscillation fondamentale du circuit (t&s faible car ceci a lieu tres loin des resonances). Au fur et a mesure que le couplage augmente, on peut observer dans ces zones des oscillations, que F. Boeri qualitie d’irregulikes, dont l’amplitude varie dans le temps avec une modulation apparente sans qu’une pCriodicitt puisse experimentalement &tre mise en evidence. Pour essayer d’expliquer les phtnomenes decrits ci-dessus, nous avons aborde l’etude des solutions sousharmoniques de (1) avec la methode d”Urabe, rejetant l’hypothbse de quasilinearite. METHODE
DE GALERKi~-URABE
A. Co?lsid~ra~io?ls~~~o~iques Cette methode, developpee par Urabe dans [3-51, consiste tout d’abord dans le calcul d’une approximation de Galerkin d’ordre Cleve dune Cventuelle solution 2rr-periodique de (3). Elle permet ensuite de montrer I’existence, sous certaines conditions, d’une solution exacte dans un voisinage de cette approximation et de donner une estimation de l’erreur par rapport a celle-ci. Soit le systeme differentiel vectoriel: f = X(x, t)
(3)
I1 satisfait les conditions (C) suivantes. x:fRn X fR-+fR”? (x, r) + X(x, 0 est une application continue, possede des derivees partielles premieres par rapport aux x’(i = 1,. . , , n) continues dansIR” x IR et pour tout
X(X, t) = X(x, f + 2x)
On pose $(x, t) = g(x,
(x, t).
t).
Rappelons les notations de [6], utilisees dans ce qui suit, Le symbolelI . fl designe la norme euclidienne pour les vecteurs ainsi que la norme correspondante pour les matrices. C(27r) (resp. C’Qn)) dtsigne l’ensemble des applications continues (resp. contin~ment derivables) de IR-rJR” t I-+x(t) Zrc-periodiques, avec la norme uniforme not&z I/ . I/u, /lx /Iu = sup IIx(t) II. f
t Les rtsultats s’btendent au cas oti X: i2 x IR -IR” S2&ant un ouvert de R”.
D
M. DFFII IPI’I et .I. c.
242
1-A ITI
Chercher une approximation de Galerkin d’ordre m d’une solution Cventuelle de (3) cons&e en la dktermination des n(2m + 1) coefficients de x,(t) = a, f (J2)
f
2n-pkriodique
(uj sin jt + bj cos jt)
j=l
de telle sorte que: 277
X(x,(s), S) ds = 0
&
s
0 2n
1
X(x,,,(s), s) sin js ds + jb, = 0
__
zJ2
(4)
s
0
277
1
X(x,(s), s) cos js ds - jaj = 0
~
xJ2 j = 1,2,...,
s
0
m et a,, aj, bj EIR”.
Pour une telle approximation, l’existence d’une solution 27c-pkriodique correspondante est assur&e si la proposition suivante est v&ifi&e [6]. Proposition 1. Supposons les conditions (C) satisfaites et, de plus, que les dtrivkes partielles a2x/&xi8xj existent et sont continues dansIR” xlR. Si le systtime diffkrentiel:
dy
z
ne posskde pas de solutions tel que:
=
27c-pkriodiques
I(/(Xm@)~ 4Y autres que z&o,? s’il existe un nombre
2Rr
alors le systkme seule telle que:
(3) admet
une solution
(5.1)
< 6
(5.2)
?i?ik,6 < 1
(5.3)
2n-pkriodique
isol&e$ R. Cette
solution
II2 - XAI” d 6 et l’on a: /I9 - XJ,, La constante
R est une borne de la norme
< 2Mr
uniforme
(I(H 11 u < M) de I’opCrateur
H: C(2n) + C’(27r) inverse de 1’opCrateur B: C’(2x) + C(2Z) t Le systkme est dit non critique. : La solution
Dam ces conditions
est dite isoke si le systime
6 positif
x,(t) est dite aussi non critique.
j = $(9(t). t).v est non critique.
est la
243
defini par
k, est une constante telle que:
k, i. j
x - x,(t)!IU < 6 et pour tout x tel que 11 r 2
telR
sup IIi,(t)
- -+,(t),
f
L’operateur H est explicit& par Urabe dans [3] VW(t)
H(t,
s)
=
‘s” 0
Wt,
4
ds)
t)ll.
:
ds
cp
E
C(274
est la matrice de Green du systeme (5.1).
B. Application de la m&hode au syste’me (1) Urabe et Reiter developpent cette methode sur ordinateur dans [4]. Nous appliquons ces resultats au sysdme (1). (a) Calcul des approximations de Galerkin. Le systeme (1) est traitt en effectuant les changements de variables suivants: x1 = KC1 x2 = c(xz t = 3t/o B = (%)I~
11vient : X, = - 9/12x, + 9kj?*x, - 6q,j?(l + 8a,x:)i, - 24p*(a,xi - ka,x$ + 18B.Ecos 3t = X, .. x2 = - 9fi2x2 + 9k/?*x, - 6q,j?(l + 8a2x$i2 - 24/?*(a,x: - ka,x:) = X2.
(6)
Le systbme (6) est de la forme 2 = X(x, i, t)
x = &,x2)
et possbde la propriete de symetrie: X(x,$
Par suite, les approximations
t) = - X(-x,
-i,
t + 71)
de Galerkin sont cherchees sous la forme:
x1,,, = F (b,,_ 1 sin (2n - 1)t + b,” cos (2n - 1)t) 1
-‘Cam =
f$
(cZn_
1
sin (2n - 1)t + c2” cos (211- 1)t)
ii,,, = $ (-(2i1 - l)b,, sin (212- 1)t + (211- l)b,,_ 1 cos (211- 1)t)
(7)
244
$,,,
= 7 (- (211 -
l)C,,
Sin (2Fl -
M
nFFI1 II’I’I et 1. C. LA,!~
l)t
t- (2Ft -
l)C,,_ ,
COS (2Fl -
l)t).
Les coefficients b b-1 b 2s c 2n- 1’ c 2n sont determines en rtsolvant le systbme d’equations determinantes relatif A (6) (l’analogue de (4)) par la methode de Newton. Les valeurs de depart sont calculees a partir de (2.1) et (2.2). En effet, la methode de Malkin donne -‘cret x2 sous la forme x1 = 6, sin t + h, cost + b, cos Jt _Xt= cr sin t + cz cos 1 + cq cos 3t avec : b, = M, b,=-M, b, = (hp - 9)A c I = $Gi, c2 = ‘/iv2 C4
=
khpA
06 p = 1, y = 1 correspondent au sous-harmonique relatif A f, et p = 2, y = - 1 correspondent au sous-harmonique relatif a &,. Remarque 1. Lorsque la frequence d’excitation atteint des valeurs tres suptrieures a 3fi ou 3f,, les valeurs de depart don&es par (2.1) et (2.2) deviennent inexploitables pour la methode de Newton (convergence trop lente). 11 est alors possible d’operer de proche en proche pour ttudier le comportement des solutions en fonction de la frequence. Les coefficients de la solution correspondant ti la frequence f sont pris comme valeurs de depart pour calculer la solution correspondant A une frequence d’excitation f + 4f. (b) CaEcuEdu mmbre Y. I1 est facile de voir que le nombre
F = lli,m - XJ”
+ /lx,, - X2m/l”
peut etre choisi comme valeur de r. Ce nombre est calcule a partir des coefficients de Fourier d,,_. I, d2,,, de (X,, - j&J et ezn- ,, ezn, de (X2, - g2,). 11est Cvalue par l’inegalite:
Les seconds membres de (6) Ctant des polynomes de degre trois, la valeur de m, est don&e par m, = 3m - 1 Cette procedure est discutee dans [4]. (c) Calm1 de M. Pour appliquer la proposition forme:
1, il est ntcessaire d’ecrire (6) sous la
xt = U x2 = u ti = X,(X,, .X2,U,t) ti = X,(X,, X2’v, t)
et d’expliciter le systeme aux variations (5.1) relatif a (8). La metrice fondamentale 4(t) est obtenue par la methode de Runge et Kutta. Elle est calculee aux instants t, = Ah. (2 = 0, 1,. . .) A,,; A,$ = 2~; 1, = 256). L’operateur H(t, s) est explicite et la methode de Simpson donne une valeur approchee de
R est alors calculte a partir de la plus grande de ces valeurs’i‘. Au passage on calcule les valeurs propres de +(27c)dont les valeurs absolues renseignent sur la stabilite de x,. On admet ensuite que si x, est une approximation d’ordre Cleve de la solution exacte P (conditions de la proposition 1 verifiees) la stabilite de cette derniere se deduit de celle de x,. RESLILTATS
RELATIFS
A UNE FAIBLE
VALEUR
DU COEFFICIENT
DE COUPLAGE
Afm d’etudier ces phenomenes non expliques par la methode des perturbations de Malkin, on a choisi la valeur k = 020. La valeur e = 42.42 est celle qui a CtCchoisie dans les experiences de [l] et correspond a 30 V efhcaces. Les autres parametres du circuit conduisent aux valeurs suivantes des coefticients a,, a2’ 4,, q2 pour G1= lo-“/J10 a, = 0.707262 a2 = 0.813827 q1 = q2 = 0002678
Pour illustrer la methode, traitons un exemple a frequence donnee. Exemple numPrique
L’exemple trait& concerne la solution sousharmonique d’ordre trois relative a la seconde resonance f,, qui apparait pour une frequence de l’excitation de 762 Hz (3j2 = 723 Hz). On donnera plus loin des solutions correspondant a d’autres valeurs de la frequence d’excitation. Les approximations calcultes sont d’ordre 8 (m = 8). Le systeme (2.2) conduit aux valeurs suivantes des coefficients de Four&r: b, = 0.144 930 85
c1 = -0.144
b, = -0.095
491 07
c2 = 0.095 491 07
b, = -0244
499 94
cq = 0.004 989 794
930 85
Le systeme d’equations determinantes est rtsolu par la methode de Newton en prenant comme valeurs de depart les valeurs ci-dessus; les autres coefficients sont supposes Cgaux a zero. En ne conservant que dix chiffres, le rtsultat est le suivant:
t Dans [6] est don&e
une estimation
de R qui ne nkessite
pas d’expliciter
l’opkrateur
H.
M
246
Xlm
D~I~ll~rl’l
0~1937116201sint
=
c.
et J.
LAIII
- 0.1229685032cost
+ 0.0005586664
sin 3t - 0.2338788995
cos 3t
+ 0.000029225
3 sin 5t - 0~0000650810
cos 5t
sin 7t - 0.0001373695
cos 7t
+ 0~0002415711
+ 0.000003 739 8 sin 9t - 0.000056 750 1 cos 9t + 0~0000002227
x2m
=
sin llt
+ 0~0000000897
cos llt
+ ON)OOOO123 1 sin 13t - 0~0000000560
cos 13t
+ 0~0000000024
sin 15t - 0~0000000144
cos 15t
- 0.1650625299
sin t + 0.1013482755
cos t
- 0.000057 744 5 sin 3 t + 0.004 809 830 1 cos 3t - 0.0000129836
sin 5t + OXMIOOO94792cos 5t
- OXJOOO479387 sin 7t + 0.0000299997
cos 7t
- 0~000000 125 5 sin 9t + 0~0000114417
cos 9t
- 0WO0000501
sin llt
- 0~0000000238
sin 13t + O~OOOOOCOl32cos 13t
- 0~0000000023
sin 15t + 0~0000000029
- O~OOOOOOO175cos llt
cos 15t
Le nombre i est Cvalue pour tn,, = 23, les coefficients de l’approximation de Galerkin conservant les 18 chiffres de leur representation dans l’ordinateur. On prend pour r une valeur legerement superieure a ; J(d:“_r ?I=1
+ d:,) + Z J(&, “=I
+ &)
soit ici: r = 0.903. La valeur de R calculee
lo-’
est 30.574 266 9 : on prend : &if = 30.58.
Pour tester la solution
approchee,
appliquons
la proposition
2Mr = 0.5522748. En prenant
la valeur fi = 0001, l’intgalite
k, < [s~p[{96qga,(l~i-,,(t)I + {144W,(J~,,(r)J + (964Ba2(Ii2Jr)(
+ {144k/32~,(~~,,,,(r)l k, = 3.732
+ {192+,(lxIm(r)l
+ fi) + 144P2a2((X2&)l
< 6
(5.3) est verifiee, car:
+ 6) + 144fi2a,(l.u,,(r)) + W
lo-”
1. L’inegalite
+ 6))’ + W
+ @I2
+ W2 + {192q~~,(~--C,,&)~ + fi)S21 1’
(5.2) donne
Sur quelqwy
nspects des oscillation.~
.rolrs-harmoniques
247
et: Rk,b 11 existe done une solution Galerkin calculee, et:
= 144.116.
2rc-ptriodique
If - x,1, < 2Rr Cette solution donne :
1O-3 < 1. a(t) correspondant
< 0.5523.
a l’approximation
de
lo-‘.
a(t) est stable. En effet, le calcul des valeurs
propres
si de la matrice
4(27r)
s~,~ = 0.591 144517 + j(0.785341725) s3,4 = 0.922 183335 f j(O.337476604). Les valeurs
absolues
sont respectivement : cl,2 O3.4
=
0.982961573
=
0.98 1994 174.
Les valeurs absolues des valeurs propres de $(27r) Ctant toutes inferieures a l’unitt, la solution consideree est done bien stable. Montrons que la solution exacte a(t) possede la m&me symetrie que l’approximation de Galerkin. La proposition 1 assure l’existence dune solution unique telle que IIit(t) - x,(t) I( d 6 Or, x,(t) = -x,,,(t
+ rc) et l’inegalite
Vt.
devient:
(1a(t) + Xm(l + 7T)II d 6 Pour I = t + TT,puisque
l’approximation
est de phiode
Ht. 27r,
IIqt + n) + x,(t) (1d 6 Compte tenu de la symttrie Puisque a(t) est la seule solution
(9)
Vt.
(7) si i(t) est solution, il en est de meme de -;(t satisfaisant (9), il en resulte que: z(t) = -a(t
+ 7r)
-t n).
Vt
et a(t) peut s’ecrire S?(t) = jJ (Li2,_ 1 sin (2a - 1)t + i,” cos (211 I DISCUSSION
DES RESULTATS
1)t).
OBTENUS
A. Solutions sous-harmoniques relatives d f, Les valeurs de depart des coefficients, calculees a partie de (2.1), conduisent a deux solutions sous-harmoniques d’ordre trois, l’une stable, l’autre instable. Les approximations de Galerkin ont ete calcultes pour f = 762 Hz et f = 800 Hz. Le comportement des solutions est identique, tout au moins dans ce domaine de frequences, a celui qui est prevu par la mtthode de Malkin en ce qui concerne l’amplitude de x1 et x2 et la stabilitt. 11 est en accord avec l’experience effectuee par F. Botri pour la solution stable. Les solutions ne presentant pas de caracteres particuliers, nous ne donnons pas les tableaux de rtsultats correspondants.
B. Solution sous-harmonique
relative h f2
Les equations determinantes sont maintenant rCsolues avec, pour valeurs de depart, les valeurs des coefficients don&es par (2.2). Les solutions ainsi obtenues prCsentent des caracteristiques differentes de celles dorm&es par la mtthode de Mall&r quand la frtquence de 1”excitation s’tloigne de 3fi. PourS = 762 Hz, frequence voisine de 3f,, les deux methodes sont en accord et indiquent l’existence de deux solutions sous-harmo~iq~es d’ordre trois, l’une stabfe (solution l), l’autre instable (solutian 2). La solution 1 est donnCe dans l’exemple numCrique trait6 plus ham. Pour f = 785 Hz, les deux solutions calcul6es sont instables. La disparition de l’oscillation sous-harmonique constatCe par F. Boeri n’est pas due aux perturbations introduites lors du changement de frkquence du gtntrateur, comme il en avait emis l’hypothese, mais a 1”instabilitC qui la rend physiquement inobservabte. La solution 1 redevient stable pour~f = 950 Hz (Tableau l), la solution 2 restant instable. A 1080 Hz, les solutions I et 2 sont toutes deux instables. 11y a alternance des zones de stabilite et d’instabiliti;, ce qui explique la presence de “trous” dans la rCponse amplitudefrequence.
Solution 1
i
fJi
8 4 10 11 Y2 13 14 15 16
k 6
k* s:
/‘iI
0.2380324383 -0-248 1326841 MO3 1406824 -0,17X9632403 0.0003569342 -o*oQo1972274 @OOOlI78145 -0%)001032005 oGKm2 558 2 -0.~~16~~7 0.~~~851 -o-0fxmo01S0 OTKKMOOO243 -0mo0000151 0~0000000006 -0~0000000014
Solution 2
f
br
-05636165435 0.514 167 3116 -0-0091523219 -0N194S02186 0.000 127217 7 - @OOO102 729 3 - 0000020968 0 o+Oo 025 453 0 -0000ooO4532 0.~#3 1627 -0.~~045 3 -o@Oooooooo2 -0~0000000044 0~000000 003 1 o@ooooooooo 0~0000000003
03672. 1O-7 83.76 O-001 5-612 O-439831 391 + i .0~884907633 0.830077566 f ) .0.486453042 0.988 186 806 0.962 115042 Stable
0.0~97S~9906 -0.6828132612 0.0017415344 -0.203 1607653 OGOO3151877 -0003 5297803 @0000473896 - omo439 093 0 0.0~~5486 -0.~035~S3 0.~~3734 -0~0000017112 osKmooo35 1 -0moooo1359 0~0000000028 - omoooo 00s S
i -0-0088149910 0.2896364825 -0~0003012212 0.008 092 207 9 -0@00403799 OMO746052 3 -o+K?Qooso712 O-000090465 1 -0.0~~~4502 0.~~7 1917 -0.~~04~4 0~0@woo3558 - 0~0000000044 0@000000282 -oQooooomo3 @mooooo18
0.2234, lo-” il.72 O@Ol 5,356 0.254 651509 3.71161443 0.076 164907 I j. 0.981986351 0.254651509 3.71161443 0.984935671 Instable
Afin de prkciser l’allure de celle-ci, la solution 1 a CtCcalcul&e en outre pour 795, 810, 850,900 et 1000 Hz en operant suivant la remarque 1. Les courbes (II) et (III) reprCsentCes Fig 1 sont obtenues par continuite 5 partir des points calcules par la methode de Galerkin-
Sur que1que.r a.7pect.ydes oscillations sowharmoniquar
Urabe. Elles representem a dire
respectivement
J(b:
la composante
+ bi) et J(c:
249
fondamentale
de x1 et xZ, c’est
+ c:),
en fonction de la frequence. Les points marques d’un car& representent les solutions stables, les points marques dun cercle, les solutions instables. La partie en trait interrompu indique les zones d’instabilitt determinCes par simulation analogique. La courbe de reponse relative la composante x1 de la solution 1 presente une “saturation” d’amplitude par rapport a la rtponse relative a x2 et a la parabole (courbe I) don&e par la methode de Malkin. 11 faut remarquer ici la difference de comportement entre cette solution et l’oscillation obtenue dans les experiences, d&rites dans [ 11, effectuees sur le circuit Clectrique. En effet, x1 et x2 representent, en variables sans dimensions, les flux dans les noyaux primaire et secondaire. Or, les courbes amplitude-frequence obtenues a partir du circuit experimental presentent une saturation d’amplitude pour le flux secondaire, et non pas primaire. 11 semble qu’il existe au moins une autre solution que celle don&e par la methode de Malkin pour des frequences d’excitation tloignees de 3f,, frequences auxquelles apparait la “saturation”. Dans cette zone de frequences, les valeurs de depart donntes par les relations (2.2) ne sont plus exploitables. Pour nous liberer de cette contrainte, nous avons determine les coefficients initiaux sans utiliser (2.2). On considere le systeme (6) en negligeant le frottement (ql = qz = 0). Etant donne les symetries du systeme obtenu, une premiere approximation des solutions peut etre calculee par: .x1 = b, cos t + b, cos 3t
.yyz= c2 cos t + c4 cos 3t. Les coefficients de depart b,, b, et c2, cq sont donnts par les racines reelles du systeme d’equations determinantes: b#/98*
- 1) - 2a,(b;
b,(llP*
- 1) - 2/3a,(b:
645
+ 34
+ b,b,
+ 2b;)) + kc,( 1 + 2a,(c;
= o
+ 6bzb, + 3bi) + kc, + 2/3ka2(c3,+
+ E/p = 0
(10)
c2((1/9P2 - 1) - 2a,(ci + c2cq + 24) C,(l/fl’
+ c2c4 + 24)
- 1) - 2/3a,(c;
+ 6c;c,
+ 34
+ kb,(l + 2a,(b; + kb, + 2/3ka,(b;
+ b,b,
+ 2b;)) = 0
+ 6b;b,
+ 3b;) = 0
La recherche systematique des solutions de (10) a CtCfaite pour une frequence d’excitation correspondant a la zone de saturation, soit f = 950 Hz. Elle permet de retrouver les solutions de (6) traitees precedemment, mais aussi une solution sous-harmonique d’ordre trois stable (solution 1) presentant une “saturation” pour la composante x2. Elle est obtenue a partir des valeurs suivantes: b, = -0.4247982850
c2 =
b, = -00817609020
cq = -00029268945
0.2130741500
les autres coefficients Ctant Cgaux a zero. Le tableau 2 et la Fig. 2 donnent un resume des
250
M
DI
FII II*PI
Solution
et J. C.
r R 6 k, s
ru
1 ‘
b, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
LA
0.740473 596 3 - 0.447 788 803 9 0.0016615613 -0.1830495753 0,002 743 944 8 0~0015500439 omO355 750 1 -0~0001785180 0~00000123 15 -oQOOoo73519 0QOO0010497 OGOOOOO785 8 OGOOOOOO442 -00000000138 00000000004 0~0000000024
-0.389071 1568 0,232 371795 5 -0GOO347 1156 OGlO2966215 -0QOO5774609 -0GO03009923 -0GOO6836633 0~0000389186 -0QO00001364 OWOOO13396 -0GOO000223 5 -@OOOOOO 1402 -0QOO000008 1 0~0000000034 omOOOOoOOo -0~000000m5
0.759. lo-’ 22.17 0.00 1 5.248 1 0.022 275 872 f j (0.964009 367 0.753 518 932 f j .0.625852458 0,964 266 695 0,979 531 556 Stable
FIG. 2.
SW que1que.r aspect.~ des o.rcrllations
sous-harmonrqwr
251
rCsultats relatifs a cette solution. La zone A de cette figure est en tours d’investigation, la convergence de la mCthode de Newton est trbs lente dans ce domaine de frkquences.
CONCLUSION
En r&urn& les rCsultats obtenus par la m&hode de Galerkin-Urabe pour une valeur faible du coefficient de couplage prCcisent les phCnom2nes de “saturation” d’amplitude et d’extinction des oscillations sous-harmoniques d’ordre trois relatives Ctla seconde rbonance, constates expkrimentalement ([ 11). En ce qui concerne le premier deces phknomines, F. Boeri avait tmis l’hypothtise que la “saturation” Ctait due g la prksence d’une hystCrCsis dans les noyaux de ferrite, hystkrbis qui ttait nCgligte dans son ttude. 11 s’avbre en fait qu’il ne s’agit pas d’un phCnom&ne d’&cr&tagede l’amplitude, mais bien de la rtponse naturelle du circuit et c’est l’hypoth6se de quasilinCaritC qui est, sur ce point, g rejeter. Pour ce qui est du deuxikme phCnom&ne, la mCthode de Galerkin-Urabe montre, toujours dans le cas de couplages faibles, que l’apparition de “trous” dans la rt?ponse amplitude-frbquence est 1iQ &l’alternance de zones de stabilitk et d’instabilitk de la solution Ctudike. Les valeurs de dCpart don&es par le systkme (10) permettent de montrer, dans certains domaines de frequences d’excitation, l’existence de trois types de solutions sous harmoniques d’ordre trois pour le syst2me (1). 11semble, pour ces valeurs de la frCquence d’excitation, que la mtthode de Malkin laisse Cchapper des solutions. Les r&ultats obtenus prksentent l’int&tt, du point de vue expCrimenta1 de fournir des conditions d’obtention d’un type donnC d’oscillations sous-harmoniques quelle que soit la frCquence de la source. Les conditions initiales relatives & (1) sont calculCes g partir des approximations de Galerkin. Elles ont permis de dCterminer les zones stables et instables sur calculateur analogique. 11reste g faire une Ctude systkmatique du circuit Clectrique et l’on peut espCrer, notamment grgce d la connaissance de conditions initiales prkcises, pouvoir obtenir des rbultats plus fins.
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(Received
15 February
1973)
252
M.
DEFILIPPI
ET
J. C. LATIL
Abstract-Third order subharmonic solutions of a fourth order non-linear differential system modeling a sinusoidally excited coupled electric circuit are studied. The Galerkin-Urabe method makes it possible to be more explicit on some aspects of the solutions evidenced experimentally. The existence of se:,eral third order subharmonic solutions is shown and their behavior (amplitude and stability) as a function of frequency is determined.
ZusammenfassungPDie subharmonischen LBsungen dritter Ordnung eines nichtlinearen Differentialsystems vierter Ordnung werden untersucht. Dieses System stellt einen elektrischen Stromkreis mit awei Freiheitsgraden und sinusfermiger Erregung dar. Einige experimentelle Gesichtspunkte der Liisungen werden an Hand der Methode van Galerkin-Urabe genau formuliert. Das Vorhandensein mehrerer subharmonischer Liiaungen wird gezeigt und deren Frequenzverhalten (Amplitude und Stabilittit) werden bestimmt.
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