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Sur le probléme des vibrations de deux liquides non miscibles dans un container en apesanteur
IECHANICS RESEARCH COMMUNICATIONS 093-6413/91 $3.00 + .00
Vol. 18, (2/3),121-127, 1991 Printed in the USA Copyright (c) 1 9 9 1 Pergamon Press plc
IUR LE PROBLI~ME DES VIBRATIONS DE DEUX LIQUIDES NON MISCIBLE[ )ANS UN CONTAINER EN APESANTEUR
~. C A P O D A N N O ,aboratoire de M~canique Th~orique - U.F.R. des Sciences et des Techniques. F - 25030 |esangon C~dex - France.
Received 4 June 1990; accepted for print 5 July 1990)
ntroduction
~e probl~me des oscillations de divers syst6mes de liquides non miscibles utilis6s dans de ',xp6riences hors gravit6 dans des laboratoires spatiaux, et donc dans lesquelles les tension uperficielles jouent un r61e pr6pond6rant, a fait robjet d'un certain nombre de travaux r6cent 1}, [2]. Dans ceux-ci, les syst~mes envisag6s sont cylindriques ou sph6riques, de sorte que 1'o~ ~eut calculer effectivement les 6ventuelles fr6quences propres des oscillations du syst6me autou le sa position d'6quilibre. Dans le cas o?a les deux liquides sont plac6s entre deux sphere ',oncentriques, un calcul simple prouve la stabilit6 de l'6quilibre [2]. L'objet essentiel de ce travai ',st de montrer qu'il s'agit d'un cas exceptionnel et qu'en g6n6ral, c'est-h-dire si les deux corps so~ luelconques, le syst6me liquide est instable. 121
22
P. CAPODANNO
I~quations du mouvement
Le syst~me des deux liquides non miscibles est plac6 entre deux solides rigides quelconque: limit6s par deux surfaces ferm6es r6guli~res ts~ et ts2. Le liquide ext6rieur
(resp. int6rieur), d
masse sp6cifique Pt (resp. pz), occupe un domaine % (resp. xz). A l'6quilibre, en rabsence d gravit6, la surface de s6paration S est une sphere de centre O, de rayon a. O sera pris comm p61e d'un syst~me de coordonn6es sph6riques (r, 0, to), 0 < 0 < g, - rc < to < x. Nous nous int6ressons aux 6ventuelles petites oscillations du syst6me autour de sa positio cl'6quilibre et nous nous plaqons en th6orie lin6aire. Soient r = a + ~ (0, to, t) l'6quation de la surface de s6paration et to~ (r, 0, to, t), to2 (r, 0, to, t) le potentiels des vitesses des mouvements des liquides, suppos6s irrotationnels. Nous avons (1)
Ato,
=0
dans%,
=0
sur ~,,
0 tO, (2)
Ato2 = 0
dansx2
0to2
On
= 0
sur~
On
O d6signe la dErivEe normale ext6deure ~ % u x2. On Les conditions cin6matiques et dynamiques ~t l'interface sont (3)
.
b ~ .
Ot
(3')
.
3 ~, . .
0 to2
br
3r
P2 - P~ =
sur S (r = a)
~
+
--
surS(r=a)
R2 3~ p . P2 sont les pressions dans les liquides, ot la tension superficielle ~t l'interface,
1
1
- - + - - la courbure moyenne de l'interface pertttrb6e.
R1
R2
VIBRATIONS DES LIQUIDES NON MISCIBLES
123
Jtilisant la formule de Bernoulli et rexpression classique de la courbure moyenne [5], nou )btenons au lieu de (3') la condition
,
'4)
---P'ot
P2
---3t
+
sinZ0
Bcp~
+ . . . . (sin0---) sin0 3 0 30
+ 2~
1
= F(t)
)~a F(t) est une fonction arbitraire du temps. .,a constante des volumes fluides se traduit par ,
i
5)
~dS
= 0
s
~t nous ajoutons les conditions 6)
~ 2 ~ - pr6riodique en cp,
r6guli~re en 0 = 0, 0 = n
) e u x orobl/~mes d e N e u m a n n a o x i l i a i r e s
2onsid6rons les deux probl~mes de Neumann ABq~.:~__ =0
7)
f
dansx~
fAqh
On
BtPa
=0
dansxl
:0
su,
=-f
surS
!
=f
surS
3n
--)~¢Pl ~n
vec la condition de compatibilit~
Is
fdS
= 0
ii f e L2(S) = {u ~ LZ(S) ,is udS = 0}, il existe classiquement une solution faible ¢P2et une seuk e (7) appartenant ~t ~Ia(xz) = { u ~ Hl(xz) ,is u, s d S . 0} qui v~rifie
124
P. CAPODANNO
f,
grad tp2 grad x~2d x2=
2
fsf'*
dS
V ~2 ~ H (xz)
qous appelons K 2 l'op6rateur de i~2(S) dans lui-mEme qui associe ~ f la trace tp2 s de tp2 sur S. OJ t6montre comme dans [3] que K2 est d6fini positif, auto adjoint et compact. qous pouvons de m6me associer a f la trace q~ ~ssur S d'une fonction ~0~ ~ H~(x~) ; l'op6rateu ~orrespondant 14.1 est, de m~me, d0fini n6gatif, auto-adjoint e t c o m p a c t .
~'~auation fonctionnelle du probl~m¢
3¢ 3ans le probl6me, on a tpi ~ K~
~t
(i = 1, 2), de sorte qu'en portant dans (4), on obtient
'6quation fonctionnelle que doit v6rifier ~ (0, q), t). Int6grant sur S et tenant compte de (5) et (6) ~n a F (t) = 0 : ntroduisons les op6rateurs
= P2K2-
PxK~;
M-
sin20
~tp~
+
-sin0
30
sin 0 - 30
klors l'6quation fonctionnelle s'Ecrit (~
8)
L--
+
--M~=O
t2
az
;i nous en cherchons des solutions de la forme ~ = Z (0, tp)e' ~t, nous obtenons 9)
o~LZ=
--MZ az
~tude de i'oo~rateur M
+ 2.
VIBRATIONS DES LIQUIDES NON MISCIBLES
125
t Cherehons des solutions de M Z = 0 de la forme Z = e ( 0 ) @(q~) ; nous obtenons
e " + cotg 0 e '
+
sin20
)
e
0
;
~"+
h2(I)
0.
omme e doit &re rEgulier pour 0 = 0 et 0 = ~, la thEorie des fonctions de Legendre[4] montre Je ron doit avoir h = 0, h = 1, done e = Pl (cos o) = cos o, e = Pl.~ (cos o) = sin o, ce qui fournit ~ur MZ = 0 trois solutions linEairement indEpendantes cos0, sin0 cosq~, sin0 sin(p. On obtient :s solutions de (9) qui correspondent ~ co = 0, donc qui ne correspondent pas h des vibrations de nterface. ous chercherons donc les Eventuelles fonctions propres dans un sous-espace de {
L~(s)=
urEgulierpour0=0,0=~etorthogonal~X,
}
u ~ if(s) cos 0, sin0 coscp, sin0 sinq)
uni du produit scalaire ( , ) et de la norme ] [ . ] ] classique de I~ (S). I On peut Eerire M = - A s + 2I, I &ant l'opErateur unite et A s rop&ateur de Laplace-Beltrami. As) est classiquement considEr6 comme un opErateur auto-adjoint de I2. (S), de domaine de 5finition D(-As) = H2(S) [4]. IntEgrant par parties clans (-A s u, v), on obtient la forme bilinEaire ;sociEe ~ -As :
-ks(U,V)
=
(uove+
sin20
u q0 v q0
dS,
1
ant le domaine de dEf'mition est D [(- As)~/'j = H (S), muni de la norme du graphe [4] dEfinie ELr:
+
(u~ + - u~)dS ., s sin20
omme les valeurs propres de - As sont n(n + 1) [n = 0,1,2,...] et que 1, cos O, sinO cosq), sinO nq) s o n t lcs fonetions propres a s s o c i E ~ s a n = 0 et n = 1, o n a
26
P. CAPODANNO
(~
+ - -1u ~ l c t s sin2O
z
-> 611~11
v~
• H (1S ) ~
L2o (S)
3) Nous eonsid~rons M eomme tm Ol~erateur auto-adjoint de I.~(S), de domaine de d~finition D(M) = HZ(S) n I.~(S) ; la forme bilineaire associ~e re(u, v) = - 8s (u, v) - 2 (u,v) a pou domaine de definition V = Hi(S) n LZ,(S) muni de la norme de HI(S) dej~ d~finie et qui ser
, o ~ I I. II,. On montre ais~ment que V e s t dense darts I-~(S) et que
Im(u,v) l--.
Ilull,,
4
Ilvllv;
m(u,v)>_
--Ilull 7
2
v
V,,v~,
Alors, M admet un inverse M-lqui applique I.~(S) tout entier darts D(M) [4].
Le o r o b l ~ m e de l'existenee des fr(muences p r o o r e s
1) Ecrivons requation (9) sous la forme ¢X
M-1LZ
=
Z. a 2 0)2
M1L Z n'a de sens que si L Z e H~/S) nLa0(S), done, en vertu de la symetrie de L, si L cos 0, ~2
B sin0 coscp, L sin0 sin~p sont orthogonaux, ~ L,(S), ee qui n'est possible que pour une geom&ri, .-xeeptionnelle du container. On arrive ~t la m~me conclusion si on ecrit l'&tuation sous la forme t2
ff 1
- - o32Z = I: 1MZ,
n'agissant que sur des elements de ~I X~S).
IX
En general, le syst~me liquide est done instable. 2) Supposons maintenant que LZ e L~(S) VZ e ~.~S) ; alors nous pouvons ~montrer t'existence de vibrations propres. -t
Posant C = M L, r&tuation (9) devient
VIBRATIONS DES LIQUIDES NON MISCIBLES
10)
et
CZ-
127
Z
a~
lous la consid6rons
darts l'espace V,, c'est-ii-dire l'espace V muni du produit scolair~
II
u , v ) o = m (u, v) = 0 ; la norme associ6e
I10 est
6quivalente /i
II
I1,. En
d,
hypoth~se fake sur L et du fait que L e s t un op6rateur compact de LZ(S), on voit aisdment que I st une application compacte de V 0 d a n s L ~ ( S ) . D ' a u t r e p a r t , o n a
II rvi'w I Iv -< 7--II w II
t~ f w • I-~(S), de sorte que M -' est continue de'I.~(S) clans V,. C est done un op6rateur compac [e V0. / u, v • V0 et puisque nous avons 1~ t Lu •
D(M), nous pouvons 6crire
Cu, v)o = (IM1Lu, v)0 = (M1VflLu,v) =(Lu,v) = (v, Lu) = (u, Cv)0 (Cu,u)0 = (Lu, u) > O, nul
pour
u = 0 seulement.
a done une infinitd de valeurs proprcs positives ~.2, .... ~ ..... ~, --* 0 quand n --> o., Luxquelles correspondent les frdquences propres o). = - -
aX,
du syst~me des deux liquides ;
es fonctions proprcs forment un syst~me orthonormal total clans V0 [4]. t) Le cas exceptionnel qui vient d'&re dmdid se rencontre quand ot ett~2 sont des sphbre :oncentriques ; on peut alors caleuler effectivement les valeurs propres [2].
16f6rences
! ] B A U E R H.F. - Int. Jour. Microgravity r~s. appl. - I, 1, p 11 - 26 - 1987 12] B A U E R H.F. - Int. Jour. Microgravity res. appl. - I, 2, p 90-102 - 1988 13] C A P O D A N N O P. - Mech. Res. C o m m . - 16(6) - p 371-377 - 1988 14] D A U T R A Y R . . L I O N S J.L. - Analyse math~matiquc et Caleul Num6dque - T o m e s I et II Vlasson- 1984/85 15] L A N D A U L, L I F C H I T Z F - M6caniquc des fluides - Mir - 1971
tbbrcviatcd paper. For further informations, please contact the author.
Vol. 18, (2/3),121-127, 1991 Printed in the USA Copyright (c) 1 9 9 1 Pergamon Press plc
IUR LE PROBLI~ME DES VIBRATIONS DE DEUX LIQUIDES NON MISCIBLE[ )ANS UN CONTAINER EN APESANTEUR
~. C A P O D A N N O ,aboratoire de M~canique Th~orique - U.F.R. des Sciences et des Techniques. F - 25030 |esangon C~dex - France.
Received 4 June 1990; accepted for print 5 July 1990)
ntroduction
~e probl~me des oscillations de divers syst6mes de liquides non miscibles utilis6s dans de ',xp6riences hors gravit6 dans des laboratoires spatiaux, et donc dans lesquelles les tension uperficielles jouent un r61e pr6pond6rant, a fait robjet d'un certain nombre de travaux r6cent 1}, [2]. Dans ceux-ci, les syst~mes envisag6s sont cylindriques ou sph6riques, de sorte que 1'o~ ~eut calculer effectivement les 6ventuelles fr6quences propres des oscillations du syst6me autou le sa position d'6quilibre. Dans le cas o?a les deux liquides sont plac6s entre deux sphere ',oncentriques, un calcul simple prouve la stabilit6 de l'6quilibre [2]. L'objet essentiel de ce travai ',st de montrer qu'il s'agit d'un cas exceptionnel et qu'en g6n6ral, c'est-h-dire si les deux corps so~ luelconques, le syst6me liquide est instable. 121
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P. CAPODANNO
I~quations du mouvement
Le syst~me des deux liquides non miscibles est plac6 entre deux solides rigides quelconque: limit6s par deux surfaces ferm6es r6guli~res ts~ et ts2. Le liquide ext6rieur
(resp. int6rieur), d
masse sp6cifique Pt (resp. pz), occupe un domaine % (resp. xz). A l'6quilibre, en rabsence d gravit6, la surface de s6paration S est une sphere de centre O, de rayon a. O sera pris comm p61e d'un syst~me de coordonn6es sph6riques (r, 0, to), 0 < 0 < g, - rc < to < x. Nous nous int6ressons aux 6ventuelles petites oscillations du syst6me autour de sa positio cl'6quilibre et nous nous plaqons en th6orie lin6aire. Soient r = a + ~ (0, to, t) l'6quation de la surface de s6paration et to~ (r, 0, to, t), to2 (r, 0, to, t) le potentiels des vitesses des mouvements des liquides, suppos6s irrotationnels. Nous avons (1)
Ato,
=0
dans%,
=0
sur ~,,
0 tO, (2)
Ato2 = 0
dansx2
0to2
On
= 0
sur~
On
O d6signe la dErivEe normale ext6deure ~ % u x2. On Les conditions cin6matiques et dynamiques ~t l'interface sont (3)
.
b ~ .
Ot
(3')
.
3 ~, . .
0 to2
br
3r
P2 - P~ =
sur S (r = a)
~
+
--
surS(r=a)
R2 3~ p . P2 sont les pressions dans les liquides, ot la tension superficielle ~t l'interface,
1
1
- - + - - la courbure moyenne de l'interface pertttrb6e.
R1
R2
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Jtilisant la formule de Bernoulli et rexpression classique de la courbure moyenne [5], nou )btenons au lieu de (3') la condition
,
'4)
---P'ot
P2
---3t
+
sinZ0
Bcp~
+ . . . . (sin0---) sin0 3 0 30
+ 2~
1
= F(t)
)~a F(t) est une fonction arbitraire du temps. .,a constante des volumes fluides se traduit par ,
i
5)
~dS
= 0
s
~t nous ajoutons les conditions 6)
~ 2 ~ - pr6riodique en cp,
r6guli~re en 0 = 0, 0 = n
) e u x orobl/~mes d e N e u m a n n a o x i l i a i r e s
2onsid6rons les deux probl~mes de Neumann ABq~.:~__ =0
7)
f
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fAqh
On
BtPa
=0
dansxl
:0
su,
=-f
surS
!
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surS
3n
--)~¢Pl ~n
vec la condition de compatibilit~
Is
fdS
= 0
ii f e L2(S) = {u ~ LZ(S) ,is udS = 0}, il existe classiquement une solution faible ¢P2et une seuk e (7) appartenant ~t ~Ia(xz) = { u ~ Hl(xz) ,is u, s d S . 0} qui v~rifie
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f,
grad tp2 grad x~2d x2=
2
fsf'*
dS
V ~2 ~ H (xz)
qous appelons K 2 l'op6rateur de i~2(S) dans lui-mEme qui associe ~ f la trace tp2 s de tp2 sur S. OJ t6montre comme dans [3] que K2 est d6fini positif, auto adjoint et compact. qous pouvons de m6me associer a f la trace q~ ~ssur S d'une fonction ~0~ ~ H~(x~) ; l'op6rateu ~orrespondant 14.1 est, de m~me, d0fini n6gatif, auto-adjoint e t c o m p a c t .
~'~auation fonctionnelle du probl~m¢
3¢ 3ans le probl6me, on a tpi ~ K~
~t
(i = 1, 2), de sorte qu'en portant dans (4), on obtient
'6quation fonctionnelle que doit v6rifier ~ (0, q), t). Int6grant sur S et tenant compte de (5) et (6) ~n a F (t) = 0 : ntroduisons les op6rateurs
= P2K2-
PxK~;
M-
sin20
~tp~
+
-sin0
30
sin 0 - 30
klors l'6quation fonctionnelle s'Ecrit (~
8)
L--
+
--M~=O
t2
az
;i nous en cherchons des solutions de la forme ~ = Z (0, tp)e' ~t, nous obtenons 9)
o~LZ=
--MZ az
~tude de i'oo~rateur M
+ 2.
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t Cherehons des solutions de M Z = 0 de la forme Z = e ( 0 ) @(q~) ; nous obtenons
e " + cotg 0 e '
+
sin20
)
e
0
;
~"+
h2(I)
0.
omme e doit &re rEgulier pour 0 = 0 et 0 = ~, la thEorie des fonctions de Legendre[4] montre Je ron doit avoir h = 0, h = 1, done e = Pl (cos o) = cos o, e = Pl.~ (cos o) = sin o, ce qui fournit ~ur MZ = 0 trois solutions linEairement indEpendantes cos0, sin0 cosq~, sin0 sin(p. On obtient :s solutions de (9) qui correspondent ~ co = 0, donc qui ne correspondent pas h des vibrations de nterface. ous chercherons donc les Eventuelles fonctions propres dans un sous-espace de {
L~(s)=
urEgulierpour0=0,0=~etorthogonal~X,
}
u ~ if(s) cos 0, sin0 coscp, sin0 sinq)
uni du produit scalaire ( , ) et de la norme ] [ . ] ] classique de I~ (S). I On peut Eerire M = - A s + 2I, I &ant l'opErateur unite et A s rop&ateur de Laplace-Beltrami. As) est classiquement considEr6 comme un opErateur auto-adjoint de I2. (S), de domaine de 5finition D(-As) = H2(S) [4]. IntEgrant par parties clans (-A s u, v), on obtient la forme bilinEaire ;sociEe ~ -As :
-ks(U,V)
=
(uove+
sin20
u q0 v q0
dS,
1
ant le domaine de dEf'mition est D [(- As)~/'j = H (S), muni de la norme du graphe [4] dEfinie ELr:
+
(u~ + - u~)dS ., s sin20
omme les valeurs propres de - As sont n(n + 1) [n = 0,1,2,...] et que 1, cos O, sinO cosq), sinO nq) s o n t lcs fonetions propres a s s o c i E ~ s a n = 0 et n = 1, o n a
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P. CAPODANNO
(~
+ - -1u ~ l c t s sin2O
z
-> 611~11
v~
• H (1S ) ~
L2o (S)
3) Nous eonsid~rons M eomme tm Ol~erateur auto-adjoint de I.~(S), de domaine de d~finition D(M) = HZ(S) n I.~(S) ; la forme bilineaire associ~e re(u, v) = - 8s (u, v) - 2 (u,v) a pou domaine de definition V = Hi(S) n LZ,(S) muni de la norme de HI(S) dej~ d~finie et qui ser
, o ~ I I. II,. On montre ais~ment que V e s t dense darts I-~(S) et que
Im(u,v) l--.
Ilull,,
4
Ilvllv;
m(u,v)>_
--Ilull 7
2
v
V,,v~,
Alors, M admet un inverse M-lqui applique I.~(S) tout entier darts D(M) [4].
Le o r o b l ~ m e de l'existenee des fr(muences p r o o r e s
1) Ecrivons requation (9) sous la forme ¢X
M-1LZ
=
Z. a 2 0)2
M1L Z n'a de sens que si L Z e H~/S) nLa0(S), done, en vertu de la symetrie de L, si L cos 0, ~2
B sin0 coscp, L sin0 sin~p sont orthogonaux, ~ L,(S), ee qui n'est possible que pour une geom&ri, .-xeeptionnelle du container. On arrive ~t la m~me conclusion si on ecrit l'&tuation sous la forme t2
ff 1
- - o32Z = I: 1MZ,
n'agissant que sur des elements de ~I X~S).
IX
En general, le syst~me liquide est done instable. 2) Supposons maintenant que LZ e L~(S) VZ e ~.~S) ; alors nous pouvons ~montrer t'existence de vibrations propres. -t
Posant C = M L, r&tuation (9) devient
VIBRATIONS DES LIQUIDES NON MISCIBLES
10)
et
CZ-
127
Z
a~
lous la consid6rons
darts l'espace V,, c'est-ii-dire l'espace V muni du produit scolair~
II
u , v ) o = m (u, v) = 0 ; la norme associ6e
I10 est
6quivalente /i
II
I1,. En
d,
hypoth~se fake sur L et du fait que L e s t un op6rateur compact de LZ(S), on voit aisdment que I st une application compacte de V 0 d a n s L ~ ( S ) . D ' a u t r e p a r t , o n a
II rvi'w I Iv -< 7--II w II
t~ f w • I-~(S), de sorte que M -' est continue de'I.~(S) clans V,. C est done un op6rateur compac [e V0. / u, v • V0 et puisque nous avons 1~ t Lu •
D(M), nous pouvons 6crire
Cu, v)o = (IM1Lu, v)0 = (M1VflLu,v) =(Lu,v) = (v, Lu) = (u, Cv)0 (Cu,u)0 = (Lu, u) > O, nul
pour
u = 0 seulement.
a done une infinitd de valeurs proprcs positives ~.2, .... ~ ..... ~, --* 0 quand n --> o., Luxquelles correspondent les frdquences propres o). = - -
aX,
du syst~me des deux liquides ;
es fonctions proprcs forment un syst~me orthonormal total clans V0 [4]. t) Le cas exceptionnel qui vient d'&re dmdid se rencontre quand ot ett~2 sont des sphbre :oncentriques ; on peut alors caleuler effectivement les valeurs propres [2].
16f6rences
! ] B A U E R H.F. - Int. Jour. Microgravity r~s. appl. - I, 1, p 11 - 26 - 1987 12] B A U E R H.F. - Int. Jour. Microgravity res. appl. - I, 2, p 90-102 - 1988 13] C A P O D A N N O P. - Mech. Res. C o m m . - 16(6) - p 371-377 - 1988 14] D A U T R A Y R . . L I O N S J.L. - Analyse math~matiquc et Caleul Num6dque - T o m e s I et II Vlasson- 1984/85 15] L A N D A U L, L I F C H I T Z F - M6caniquc des fluides - Mir - 1971
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