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Petites oscillations planes de deux liquides pesants non miscibles dans un vase fixe
MECHANICS RESEARCH COMMUNICATIONS 0093-6413/88
Voi.15(4), 243-247, 1988. Printed in the U S A Copyright (e) 1988 Pergamon Press plc
~3.00 + .00
PETITES OSCILLATIONS
PLANES DE DEUX LIQUIDES PESANTS NON MISCIBLES DANS UN
VASE FIXE. P. CAPODANNO Laboratoire de Mdcanique Thdorique Besan~on Cedex - France
- Facultd des Sciences
- F -25030-
(Received 1 March 1988; accepted for print 5 May 1988) Introduction Dans cet article, l'auteur met le probl~me en dquations et montre qu'il peut @tre ramend ~ la rdsolution d'une dquation opdratorielle dans un espace de Hilbert convenable ; il en ddduit un thdor~me d'existence des frdquences propres du syst~me des deux liquides. II propose ensuite une formulation variationnelle du probl~melddriv~e du principe de Hamilton. Enfin, il donne une solution analytique dans le cas d'un vase rectangulaire bords verticaux. Position du probl~me et dquations Dans le plan du mouvement, vertical
ascendant,
du mouvement
choisissons
les axes orthonorm~s
Ox, Oy : Oy est
Ox porte la ligne de sdparation des liquides ~ l'dqui-
libre, celle-ci occupant
l'intervalle
a2~x~b 2. La ligne libre ~ l'dquilibre
est ddfinie par y = h>O, al,
des liquides sont 01 et 02 (02>01).
et T 2 les domaines occupds ~ l'dquilibre f~rieur,
o Iet
o 2 les parties mouill~es
Les mouvements et ~2(x,y,t) w2(x,t)
irrotationnels
des vitesses.
; soient ~l(x,y,t)
~I et ~2 et les ordonndes Wl(X,t) ,
de la ligne libre et de la ligne de s~paration au dessus de leurs
positions
d'dquilibre
(i)
A~I = 0
(2)
~~nl I=
(3)
par les liquides supdrieur et inde la paroi du vase.
des liquides sont supposds les potentiels
On appelle T I
a~y ~=
doivent
dans Xl
satisfaire ;
aux conditions
(I')
A¢ 2 = 0
suivantes
:
dans t 2
0
sur O I
;
(2')
~~n22 0
sur 02
a w~ ~t
sur y = 0
;
(3')
~2ffi ~w~ ~y ~t
sur y = 0
(4) ~--~y= ~ ) t
sur y = h 243
244
P. CAPODANNO
(5)
~t ~ + g Wl = ~i (t)
sur y = h
Pl ~-~t + (p 2 - 131) g w 2 = ~2 (t)
(6)
P2 ~ t e -
(7)
f Wl(W,t) dx = 0
;
(7')
sur y = 0 w2(x,t) dx = 0
Les ~quations (2), (3), (4) traduisent les conditions cin~matiques
; (5) et
(6) les conditions dynamiques d~coulant de la formule de ~ernoulli,
(7) et
(7') la constance des volumes des liquides. R~duction & une 4quation op~ratoriel!e - Appelons H2(P, Q) la fonction de Green sym4trique
[i], [3] du probl&me de
Neumann pour T 2. Une solution du probl&me (i'), (2'), (3') est
cette solution v4rifiant
(9)
~.
02(Q2,t) dQ2 = 0
Posons ¢I = q~i + 01' @'i v~rifiant (I), (2), (4) et ~n~- 0 sur y = 0, q~l v~rifiant (i)
(2), (3) et ~
= 0 sur y = h. R~solvant ces probl&mes de
Neumann pour ¢i et ¢';, nous obtenons des formules analogues ~ (8), ¢i et 0~ v~rifiant (i0)
qbi(Ql,t) dQ I = 0
,
(ii)
f~
¢I(Q2,t)NQ 2 ' '
= 0
eL
Int4grant les conditions (5) et (6) sur [a I, b I] et [a2, b 2] respectivement et tenant compte de (7), (7'), (9), (i0) et (ii), nous d~terminons l(t) et ~ 2 ( t ) ,
(5')
de sorte que (5) et (6) prennent la forme
~
~
k' avec, en n o t a n t 1 2 ( a i , b i )
-
k4
~,
" ~'~ = {u~L2(ai,bi)
I
a
b f idx
= O}
( i = 1, 2 ) /
i
k i application lin~aire L2(al, b I) dans lui-m~me, d~finie par
kI
application lin~.lire de L2(a 2, b 2) darts Ll(a l, hi), dlfinie par
j,
OSCILLATIONS
DES
LIQUIDES
PESANTS
245
k~ application lin4aire de L2(al, b I) dans L2(a2, b2), d4finie par
,r~
(pl + p2 ) k I2I application lin4aire de L2(a2, b 2) dans lui -m~me, d4finie par .. r,) k, ., =
",?
J
-,..,-----;J
IL,t
- Introduisons
l'espace
¢
~ = L2(a 1, b l) x L 2 ( a 2 ,
b 2) muni du p r o d u i t
sca-
laire et de la norme naturels, not4s ( , )~ et I I.I~, et les op4rateurs Let
M de ~ d4fini$ par Pl kl
-Pl kl
\-Pl k~
(Pl + Pm)k~
~=(
pl g
0
)
L = 0
(P2 - Pl)g
En appelant w le couple {Wl, w2} , nous voyons que les 4quations du mouvement se mettent sous la forme op4ratorielle ~2w (12) L -~Z + Mw = 0 , wE ~ Existence des valeurs propres Des calculs simples montrent que M est autoadjoint, -I que M existe.
fortement positif et
Un calcul direct montre que L e s t autoadjoint. On prouve que L e s t posii ~w ~w tif en montrant que ~ (L ~--~ , -~)~ est l'4nergie cin4tique T des deux liquides. En effet, la formule de Green et les conditiens aux limites permettent d'4crire
q r~ et il suffit de remplacer ~I = ~I! + ~
et ~2 par leurs valeurs.
!
! Enfin,les applications lin4aires kl, k~, k2, (Pl + P2)k2i i sont compactes
en vertu de r4sultats classiquessur les op4rateurs int4graux dont le noyau est r~gulier ou pr4sente une faible singularit4 [2], ce qui entralne que L e s t -
Posant dans (12)
compact. w = W(P)e iOt et remarquant que C = M -I L existe,
nous obtenons l'4quation (13)
CW = O
-2
W
,
We
et il suffit de d4montrer que C a des valeurs propres positives. Munissons ~ du produit scalaire (w, ~) = (Mw, ~).. 0
246
P. CAPODANNO
Appelons~a
l'espace de Hilbert obtenu.
norme associ4e
Jl.llo est 4quivalente
En vertu des propriEt4s
de M, la
~ ll.JI~
Ii est facile de voir que C est compact, autoadjoint et positif dans Go-i M est born4 et L e s t compact dans ~ ; donc leur produit C est compact dans
~et
par consequent
Un calcul direct,
dans go.
ok il est tenu compte de la definition
m4trie de L, montre que C symEtrique Enfin,
on a ais~ment
Par cons4quent
et born~ d a n s ~ .
(CW, W)o = (LW, W)E ~
0.
[4], C a une infinit~ d4nombrable
tives, auxquelles
variationnell~
Appelons~l,
~(~I'
propres
propres
posi-
al, o~,...,
d~ probl~me
r~2 les potentiels
liquides et introduisons
les fr4quences
de valeurs
d ,... des liquides, d + ~ avec n. Les fonctions propres W (n) = {W~ n), W (n~ } n 2 (n = i, 2,...) forment un syst~me orthosonalto~l dans ~ . Formulation
correspondent
de C et de la sy-
des forces de pesanteur
agissant
sur les
la fonctionnelle [3]. t2 ~2' Wl' w2) = ~ (T - ~i - ~2 )dt' tI
~:~ ~ ~ Cherchant dans la classe des fonctions les m~mes valeurs
aux dates extremes
(2), (3), (4), (i'), obtenons Eliminant
les conditions
(3'),
dynamiques
"'
et nous retrouvons ~2 en cherchant
+'<
les Equations
les ~ e t
= .~¢cos(dt
~dans
+ %)
'
et satisfaisant
(7),
aux conditions
(7'), celles qui annulent
(i),
6~,
nous
(5) et (6).
alors gr$ce ~ elles w I e t
'
Posant
(2'),
2 ¢i' ~2' Wl' w2 de classe C , prenant
w2,nous obtenons
la fonctionnelle
'
'
I'
.
et les conditions aux limites pour ~I et la classe C 2 qui annulent 6 ~
~2 = ~2 cos(at + T)
k ~ portant
dans ~ e t
int~-
grant de 0 ~ ~--, nous obtenons une fonctionnelle ~ (~ I, ~2 ) e t nous pouvons calculer
les valeurs propres
en r4solvant
le probl~me
6 ~ = O.
Exemple Nous consid4rons quides occupant
un vase rectangulaire les r4gions 0 ~ y < h
La m~thode de separation
des variables
0 ~ x ~ 9, -h' ~ y ~ h, les lit et -h ~ y ~ 0 ~ l'4quilibre. donne
OSCILLATIONS
DES L I Q U I D E S
PESANTS
247
oO
y,
#l(X,
t) =
[ n= 1
A
cos n x ch n (y + h ) c o s ( ~ t + n n
n
T
) n
co
~2(x,y,t)
Les
ffi [ Bn c o s n x n= 1
conditions
la d e u x i ~ m e
dynamiques
ayant
On en d4duit
ch n (y + h')
deuxsolutions
w I, w 2, donc
W (ni)
permettent
r (ni) = lw I
i~
coS(0nt
+ Tn ) ~ avec
de c a l c u l e r
hnl,
hn2
fonctions
o
et h
n
sup~rieures
n
AnshnhnfiBn
par
shnh'
les ~ q u a t i o n s
~ -h.
propres
= cos nx sh n (h + hni),
(ni) w2
= cos n x sh n
hni}
(i = I, 2) R4f4rences [i] JOHN.
F - Partial
Physics
- Springer
[2] MI KH LI N. land
equations
-dans
"Mathematics
Applied
to
1970.
S.G - M a t h e m a t i c a l
Physics~
an a d v a n c e d
course
- North
Hol-
1965.
[3] M O I S E Y E V . fluid. [4] RIESZ. Villars.
Abbreviated
differential
N.N,
Springer
RUMIANTSEV.
V.V
- Dynamic
stability
of b o d i e s
containing
1968.
F, SZ-NAGY.
B - Lemons
~'analyse
fonctionnelle
- Gauthier-
Paris - 1968.
paper.
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information,
please
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the
author.
Voi.15(4), 243-247, 1988. Printed in the U S A Copyright (e) 1988 Pergamon Press plc
~3.00 + .00
PETITES OSCILLATIONS
PLANES DE DEUX LIQUIDES PESANTS NON MISCIBLES DANS UN
VASE FIXE. P. CAPODANNO Laboratoire de Mdcanique Thdorique Besan~on Cedex - France
- Facultd des Sciences
- F -25030-
(Received 1 March 1988; accepted for print 5 May 1988) Introduction Dans cet article, l'auteur met le probl~me en dquations et montre qu'il peut @tre ramend ~ la rdsolution d'une dquation opdratorielle dans un espace de Hilbert convenable ; il en ddduit un thdor~me d'existence des frdquences propres du syst~me des deux liquides. II propose ensuite une formulation variationnelle du probl~melddriv~e du principe de Hamilton. Enfin, il donne une solution analytique dans le cas d'un vase rectangulaire bords verticaux. Position du probl~me et dquations Dans le plan du mouvement, vertical
ascendant,
du mouvement
choisissons
les axes orthonorm~s
Ox, Oy : Oy est
Ox porte la ligne de sdparation des liquides ~ l'dqui-
libre, celle-ci occupant
l'intervalle
a2~x~b 2. La ligne libre ~ l'dquilibre
est ddfinie par y = h>O, al,
des liquides sont 01 et 02 (02>01).
et T 2 les domaines occupds ~ l'dquilibre f~rieur,
o Iet
o 2 les parties mouill~es
Les mouvements et ~2(x,y,t) w2(x,t)
irrotationnels
des vitesses.
; soient ~l(x,y,t)
~I et ~2 et les ordonndes Wl(X,t) ,
de la ligne libre et de la ligne de s~paration au dessus de leurs
positions
d'dquilibre
(i)
A~I = 0
(2)
~~nl I=
(3)
par les liquides supdrieur et inde la paroi du vase.
des liquides sont supposds les potentiels
On appelle T I
a~y ~=
doivent
dans Xl
satisfaire ;
aux conditions
(I')
A¢ 2 = 0
suivantes
:
dans t 2
0
sur O I
;
(2')
~~n22 0
sur 02
a w~ ~t
sur y = 0
;
(3')
~2ffi ~w~ ~y ~t
sur y = 0
(4) ~--~y= ~ ) t
sur y = h 243
244
P. CAPODANNO
(5)
~t ~ + g Wl = ~i (t)
sur y = h
Pl ~-~t + (p 2 - 131) g w 2 = ~2 (t)
(6)
P2 ~ t e -
(7)
f Wl(W,t) dx = 0
;
(7')
sur y = 0 w2(x,t) dx = 0
Les ~quations (2), (3), (4) traduisent les conditions cin~matiques
; (5) et
(6) les conditions dynamiques d~coulant de la formule de ~ernoulli,
(7) et
(7') la constance des volumes des liquides. R~duction & une 4quation op~ratoriel!e - Appelons H2(P, Q) la fonction de Green sym4trique
[i], [3] du probl&me de
Neumann pour T 2. Une solution du probl&me (i'), (2'), (3') est
cette solution v4rifiant
(9)
~.
02(Q2,t) dQ2 = 0
Posons ¢I = q~i + 01' @'i v~rifiant (I), (2), (4) et ~n~- 0 sur y = 0, q~l v~rifiant (i)
(2), (3) et ~
= 0 sur y = h. R~solvant ces probl&mes de
Neumann pour ¢i et ¢';, nous obtenons des formules analogues ~ (8), ¢i et 0~ v~rifiant (i0)
qbi(Ql,t) dQ I = 0
,
(ii)
f~
¢I(Q2,t)NQ 2 ' '
= 0
eL
Int4grant les conditions (5) et (6) sur [a I, b I] et [a2, b 2] respectivement et tenant compte de (7), (7'), (9), (i0) et (ii), nous d~terminons l(t) et ~ 2 ( t ) ,
(5')
de sorte que (5) et (6) prennent la forme
~
~
k' avec, en n o t a n t 1 2 ( a i , b i )
-
k4
~,
" ~'~ = {u~L2(ai,bi)
I
a
b f idx
= O}
( i = 1, 2 ) /
i
k i application lin~aire L2(al, b I) dans lui-m~me, d~finie par
kI
application lin~.lire de L2(a 2, b 2) darts Ll(a l, hi), dlfinie par
j,
OSCILLATIONS
DES
LIQUIDES
PESANTS
245
k~ application lin4aire de L2(al, b I) dans L2(a2, b2), d4finie par
,r~
(pl + p2 ) k I2I application lin4aire de L2(a2, b 2) dans lui -m~me, d4finie par .. r,) k, ., =
",?
J
-,..,-----;J
IL,t
- Introduisons
l'espace
¢
~ = L2(a 1, b l) x L 2 ( a 2 ,
b 2) muni du p r o d u i t
sca-
laire et de la norme naturels, not4s ( , )~ et I I.I~, et les op4rateurs Let
M de ~ d4fini$ par Pl kl
-Pl kl
\-Pl k~
(Pl + Pm)k~
~=(
pl g
0
)
L = 0
(P2 - Pl)g
En appelant w le couple {Wl, w2} , nous voyons que les 4quations du mouvement se mettent sous la forme op4ratorielle ~2w (12) L -~Z + Mw = 0 , wE ~ Existence des valeurs propres Des calculs simples montrent que M est autoadjoint, -I que M existe.
fortement positif et
Un calcul direct montre que L e s t autoadjoint. On prouve que L e s t posii ~w ~w tif en montrant que ~ (L ~--~ , -~)~ est l'4nergie cin4tique T des deux liquides. En effet, la formule de Green et les conditiens aux limites permettent d'4crire
q r~ et il suffit de remplacer ~I = ~I! + ~
et ~2 par leurs valeurs.
!
! Enfin,les applications lin4aires kl, k~, k2, (Pl + P2)k2i i sont compactes
en vertu de r4sultats classiquessur les op4rateurs int4graux dont le noyau est r~gulier ou pr4sente une faible singularit4 [2], ce qui entralne que L e s t -
Posant dans (12)
compact. w = W(P)e iOt et remarquant que C = M -I L existe,
nous obtenons l'4quation (13)
CW = O
-2
W
,
We
et il suffit de d4montrer que C a des valeurs propres positives. Munissons ~ du produit scalaire (w, ~) = (Mw, ~).. 0
246
P. CAPODANNO
Appelons~a
l'espace de Hilbert obtenu.
norme associ4e
Jl.llo est 4quivalente
En vertu des propriEt4s
de M, la
~ ll.JI~
Ii est facile de voir que C est compact, autoadjoint et positif dans Go-i M est born4 et L e s t compact dans ~ ; donc leur produit C est compact dans
~et
par consequent
Un calcul direct,
dans go.
ok il est tenu compte de la definition
m4trie de L, montre que C symEtrique Enfin,
on a ais~ment
Par cons4quent
et born~ d a n s ~ .
(CW, W)o = (LW, W)E ~
0.
[4], C a une infinit~ d4nombrable
tives, auxquelles
variationnell~
Appelons~l,
~(~I'
propres
propres
posi-
al, o~,...,
d~ probl~me
r~2 les potentiels
liquides et introduisons
les fr4quences
de valeurs
d ,... des liquides, d + ~ avec n. Les fonctions propres W (n) = {W~ n), W (n~ } n 2 (n = i, 2,...) forment un syst~me orthosonalto~l dans ~ . Formulation
correspondent
de C et de la sy-
des forces de pesanteur
agissant
sur les
la fonctionnelle [3]. t2 ~2' Wl' w2) = ~ (T - ~i - ~2 )dt' tI
~:~ ~ ~ Cherchant dans la classe des fonctions les m~mes valeurs
aux dates extremes
(2), (3), (4), (i'), obtenons Eliminant
les conditions
(3'),
dynamiques
"'
et nous retrouvons ~2 en cherchant
+'<
les Equations
les ~ e t
= .~¢cos(dt
~dans
+ %)
'
et satisfaisant
(7),
aux conditions
(7'), celles qui annulent
(i),
6~,
nous
(5) et (6).
alors gr$ce ~ elles w I e t
'
Posant
(2'),
2 ¢i' ~2' Wl' w2 de classe C , prenant
w2,nous obtenons
la fonctionnelle
'
'
I'
.
et les conditions aux limites pour ~I et la classe C 2 qui annulent 6 ~
~2 = ~2 cos(at + T)
k ~ portant
dans ~ e t
int~-
grant de 0 ~ ~--, nous obtenons une fonctionnelle ~ (~ I, ~2 ) e t nous pouvons calculer
les valeurs propres
en r4solvant
le probl~me
6 ~ = O.
Exemple Nous consid4rons quides occupant
un vase rectangulaire les r4gions 0 ~ y < h
La m~thode de separation
des variables
0 ~ x ~ 9, -h' ~ y ~ h, les lit et -h ~ y ~ 0 ~ l'4quilibre. donne
OSCILLATIONS
DES L I Q U I D E S
PESANTS
247
oO
y,
#l(X,
t) =
[ n= 1
A
cos n x ch n (y + h ) c o s ( ~ t + n n
n
T
) n
co
~2(x,y,t)
Les
ffi [ Bn c o s n x n= 1
conditions
la d e u x i ~ m e
dynamiques
ayant
On en d4duit
ch n (y + h')
deuxsolutions
w I, w 2, donc
W (ni)
permettent
r (ni) = lw I
i~
coS(0nt
+ Tn ) ~ avec
de c a l c u l e r
hnl,
hn2
fonctions
o
et h
n
sup~rieures
n
AnshnhnfiBn
par
shnh'
les ~ q u a t i o n s
~ -h.
propres
= cos nx sh n (h + hni),
(ni) w2
= cos n x sh n
hni}
(i = I, 2) R4f4rences [i] JOHN.
F - Partial
Physics
- Springer
[2] MI KH LI N. land
equations
-dans
"Mathematics
Applied
to
1970.
S.G - M a t h e m a t i c a l
Physics~
an a d v a n c e d
course
- North
Hol-
1965.
[3] M O I S E Y E V . fluid. [4] RIESZ. Villars.
Abbreviated
differential
N.N,
Springer
RUMIANTSEV.
V.V
- Dynamic
stability
of b o d i e s
containing
1968.
F, SZ-NAGY.
B - Lemons
~'analyse
fonctionnelle
- Gauthier-
Paris - 1968.
paper.
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