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Surfaces de la classe VII0 avec champs de vecteurs
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Serie I, p. 409-412, 1999 Geometrie analytiquel Analytic Geometry
Surfaces de la classe V110 avec champs de vecteurs Georges DLOUSSKY a, Karl OEWEKLAUS a, Matei TOl\1A
b
• UMR-CNRS 6632 et CMI, Universite de Provence, 39, rue Joliot-Curie, 13453 Marseille cedex 13, France Courriel : {dloussky, karloelj}@gyptis.univ-mrs.fr b Fachhereich Mathematik, Universitat Osnabriick, 49069 Osnabriick, Allemagne et Academie Houmaine, Bucarest, Roumanie Courriel : Matei. [email protected] (Heeu Ie 16 avril 1999, accepte Ie 25 mai 1999)
Resume.
Nous montrons qu'une surface minimale de la c1asse Vll, avec b 2 > 0 sur laquelle existe un champ de vecteurs non trivial contient exactement b 2 courbes rationnelles. II s'ensuit par un theorerne de I. Nakamura qu'une telle surface se deforme en une surface de Hopf primaire eclatee. Ce resultat precise la classification des surfaces complexes compactes avec champs de vecteurs. © 1999 Academic des Sciences/Editions scientifiques et medicales Elsevier SAS
Surfaces of class VII o with vector fields
Abstract.
We show that a minimal surface of class VIl o with b2 > 0 which admits a nontrivial holomorphic vector field contains exactly b2 rational curves. By a theorem of I. Nakamura this implies that such a surface is a deformation of a blown-up primary Hopf surface. This result clarifies the classification of compact complex surfaces with holomorphic vector fields. © 1999 Academie des Sciences/Editions scientifiques et medicales Elsevier SAS
1. Introduction et rappels Le but de cette Note est d'annoncer une contribution (voir [5D a la classification des surfaces compactes complexes admettant un champ de vecteurs holomorphe non trivial. Cette classification est tres precise a l'exception du cas des surfaces minimales de la c1asse Vll o avec b 2 > o. Puisque un champ de vecteurs non trivial sur une telle surface est unique et doit s'annuler (voir par exemple [1D, on peut se restreindre, d'apres [8] au cas OU la C-action holomorphe induite est effective. Une surface de la classe VII est une surface compacte complexe 8 telle que b 1 (8 ) = 1 et la dimension de Kodaira /),(8) = -00. La classe Vll o designe les surfaces de la classe VII qui sont minimales. Si une surface de la classe VII admet un champ de vecteurs holomorphe non trivial, il en sera de meme pour son modele minimal. La classification des surfaces de la classe VII o est ouverte dans Ie cas b z > O. lei les seuls exemples dont on dispose sont les surfaces S admettant une coquille spherique globale (CSG), c'est-a-dire telles qu'il existe un voisinage ouvert U C C2 " {O} de la Note presentee par Etienne
GHYS.
0764-4442199/03290409 © 1999 Academie des Sciences/Editions scientifiques et medicates Elsevier SAS. Tous droits reserves.
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G. Dloussky et al. 2
sphere S3 C C et une application 1 : U -+ S biholomorphe sur son image, tels que S" 1(U) soit connexe. Dans ce cas le nombre de courbes rationnelles sur S est ega! a b2(S). Dans [10J, I. Nakamura introduit la notion de surface speciale : une surface S de la classe VII o avec b 2 > 0 est dite speciale, s'il existe b 2 courbes rationnelles sur S. Dans ce cas, S contient un cycle de courbes rationnelles (voir [9» et S est une deformation d'une surface de Hopf primaire eclatee (voir [10». Dans le meme article, I. Nakamura conjecture qu'une surface speciale contient une coquille spherique globale.
TH~oRtME PRINCIPAL. - Soit S une surface minimale de la classe VIl o avec b 2 champs de vecteurs holomorphe non trivial. Alors S est une surface speciale.
>0
admettant un
On a vu dans [4], qu'j) existe beaucoup d'exemples de surfaces minimales contenant une CGS avec une action effective de (C, +). Vu notre resutat present, la reponse positive a la conjecture de I. Nakamura impliquerait que toute surface de la classe VIIo avec champ de vecteurs admet une coquille spherique globale, ce qui terminerait definitivement la classification des surfaces avec champ de vecteurs.
2. Singularites des flots holomorphes Les singularites des champs de vecteurs holomorphes semi-complets en dimension complexe deux ont ete etudiees par E. Ghys et J. Rebelo ([11], [7], [12]). Nous renvoyons le lecteur a [llJ ou [7] pour la definition. D'apres le theorerne B de [7], Ie premier jet de B doit etre non nul en une singularite isolee, si Best semi-complet. Cela est Ie cas si Best la restriction a un ouvert d'un champ defini sur une variete compacte. Dans la suite nous ne citons explicitement que les resultats non encore publics de [12]. Soit B un champs de vecteurs semi-complet defini dans un voisinge de I'origine de C 2 • On note F Ie feuilletage holomorphe reduit associe ayant 0 comme singularite isolee et w une I-forme holomorphe definissant F. On appelle courbe invariante une courbe I irreductible contenant 0 telle que I -, {O} soit une feuille. Si B a une singularite isolee dont le premier jet ne s'annule pas, la matrice M de la partie lineaire de B est de I'un des quatre types suivants : (1) M a deux valeurs propres nulles, i.e. M est nilpotente, On dira alors que la singularite pest nilpotente ; (2) AI a exactement une valeur propre non nulle : on dira que Pest une singularite col-nceud ; (3) M a deux valeurs propres non nulles Al et A2 telles que ~ ¢ N* et ~ ¢ N* ; (4) M a deux valeurs propres non nulles Al et A2 et ~ E N* ou ~ E N*. THEORt':ME 1 ([12], theorems A). - Soit () un genne de champ de vecteurs holomorphe defini et semi-complet au voisinage de l'origine de C 2• Supposons que l'origine ne soit pas une singularite isolee de B et que le feuilletage F assode soit singulier. Alors, a changement de coordonnees pres. () est de l'une des formes suivantes : cas A : l 'origine est une singularite isolee de :F d'ordre 2 : 1. () = I(x, y) [xy(x - yW [x(x - 2y) a/ax + y(y - 2x) a/ay],
2. () = I(x, y) [xy(x - y)2Ja [x(x - 3y) a/ax + y(y - 3x) a/ay], 3. B,= I(x, y) [xy2(x - y)3Ja [x(2x - 5y) a/ax + y(y - 4x) a/ayJ, ou 1(0,0) =1= 0 et a E N* ;
cas B : l'origine est une slngularite isolee de F d'ordre 1 avec partie lineaire nilpotente non triviale : 3 l. e = I(x, y) [x + y2Ja [2ya/ax _ 3x2 a/ay],
2. e = I(x,y)[y(y - x 2W [(2y - x 2)8/ax + 2xyo/ayj, 3. B,= I(x, y) fy(y - X 2)2Ja [(3y - x 2) a/ox + 4xya/ay], au 1(0,0) =1= 0 et a E N* ;
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Surfaces de la classe VIl o avec champs de vecteurs cas C : l'origine est une singularite isolee de :F d'ordre 1 avec deux valeurs propres non nulles : 1. () f(x,y)xnymlJ, OU lJ est un champ dont la partie lineaire s'ecrit mxDj{)x - nyD/Dy, f(O,O) =f:. a et m , n E N*, 2. () = xayb f(x,y) [mx8/8x - ny8/8y]. avec m, n E N*. 1(0,0) f. 0 et am - bn = ±1. 3. () = x f(x,y)[x8/8x + ny8/8y]. avec n E N* et f(O,O) fa.
=
3. Champs de vecteurs sur les surfaces de la classe VIl o On suppose dans la suite que S est une surface de la classe VIl o qui n'admet pas d'action holomorphe de C*. (Si S admet une action de C .... alors S est une surface d'Inoue « paraboJique » (voir [8))). LEMME 1. - Soient () un champ de vecteurs holomorphe non trivial sur S, F le feuilletage (rMuir) associe et PES un point singulier (isole') de F. Alors toute courbe invariante 'Y de F dans un voisinage de Pest contenue dans une courbe rationnelle G de S invariante pour :F.
Supposons que Ie point Pest une singularite isolee de O. Alors le premier jet de () en P n 'est pas nilpotent. LEMME 2. -
Demonstration. - Ce lemme resulte de [7]. proposition 3.16 et remarque 2.4. et de [9] (2.2.4).
0
On note par De le diviseur effectif assode au champ 8. LEMME 3. - Supposons Supp(D e) :/= 0. Soit P E Supp(D e) un point singulier de F, S'il existe en P une courbe invariante 0 C/. Supp(De). alors la restriction de () a 0 a un point singulier d'ordre 2 en P. En outre, P est un point regulier de Supp(De) et F n'a aucune autre singularite sur O. PROPOSITION 4. - 1) Si Pest une singularite isolee d'un champ de vecteurs () sur S, alors le premier jet a deux valeurs propres non nulles dont aucun des rapports n'est un entier positif. 2) Si () a des singularites isolees elles sont exactement les slngularites d'un cycle de courbes rationnelles. Demonstration. - D'apres Ie lernrne 2. il n'existe pas de singularite isolee nilpotente. Si P, est une singularite de type (2) ou (4). on choisit une courbe invariante G1 passant par P1 telle que I'indice de Camacho-Sad CS(:F, G1 , Pd soit positif. La formule de Camacho-Sad implique I'existence d'une seconde singularite P2 E 0 1 • On montre qu'elle est de type (3) et que P2 ¢ De d'apres Ie lemme 3. 11 existe une seconde courbe invariante 02 pass ant par P2. Le calcul des indices de Camacho-Sad
permet de trouver une autre singularite de type (3) et de construire par recurrence une suite infinie de courbes. Ceci est impossible et done il n'existe que des singularites isolees de type (3). En utilisant h nouveau Ie lemme 3. on montre que leurs courbes invariantes forment un cycle. 0 Avec [2] et la proposition 4 on dernontre : PROPOSITION 5. - SOil 0 un champ de vecteurs holomorphe non trivial sur S . Alors, il existe sur S au moins une courbe rationnelle sur laquelle () s'annule.
LEMME 6. - Les singularites de :F sur De ont toutes deux valeurs propres non nulles dont les quotients sont des rationnels strictement negatifs. Par toute singularite passent localement exactement deux courbes invariantes.
Demonstration. - La demonstration consiste (voir [12]) sauf les cas C.I et C.2. LEMME 7. - Si () s'annule
a exclure
toutes les formes normales du theoreme I 0
sur une courbe irreductible G, le feuilletage :F admet sur G au moins
une singularite-
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G. Dloussky et al.
Demonstration. - On montre d'abord que C est invariante par F . Si C est singuliere, sa singularite est une singularite de F . Sinon, on a C 2 ~ -2 (voir [9]). Par la fonnule de Camacho-Sad, on en 0 deduit I'existence d'au moins une singularite de F sur C. PROPOSITION 8. - Le diviseur De contient un cycle de courbes rationnelles. Demonstration. - Si De ne contenait pas de cycle, on pourrait construire un diviseur positif non nul Z, tel que pour toute courbe irreductible C, on ait Z . C O. Cela est impossible d'apres [6]. 0
=
4. Surfaces speclales D~FlNITION 9 (voir [10)). - Soit S une surface de la c1asse VIl o avec b 2 (S) est une surface speciale si S contient exactement b 2 (S) courbes rationnelles.
> O. On dira que
S
TH~OR~ME 2. - Soient S une surface compacte minimale de la classe VII o et b 2 = b 2 (S) > O. On suppose qu'il existe sur S une action holomorphe effective de (C, +) induite par un champs de vecteurs 8. Alors S est une surface speciale, Ie champ de vecteurs 8 n'a aucun point singulier isole et les singularites du feuilletage induit sont exactement les b 2 singularites du diviseur maximal D. En outre, le diviseur D est connexe et contient un cycle et au moins un arbre.
Demonstration. - Si () avait des singularites isolees, d'apres les proposition 4 et 8, it existerait deux cycles de courbes rationnelles. Alors S serait une surface d'Inoue-Hirzebruch ([9], (8.1)). Mais on sait que ces surfaces n'admettent pas de champ de vecteurs. Done () n'a aucun point singulier isole et contient exactement un cycle de courbes rationnelles. D'apres le lemme 6, chaque singularite de Fest situee sur exactement deux courbes (locales) invariantes. De plus, si () ne s'annule pas identiquement sur une courbe rationnelle, alors elle ne porte qu'une singularite (cette courbe rationnelle est Ie sornrnet d'un arbre). On en deduit que Ie nombre de courbes rationnelles est egal au nombre de singularites de F. Soit M(S) la matrice d'intersection du diviseur maximal D de S. On demontre que la matrice M(S) est definie negative. En appliquant I'une des fonnuies de Baum-Bott et la fonnule de Brunella [11, on montre que Ie nombre de courbes est exactement egal a b 2 • 0 THEOR~ME 3. - Soit S une surface minimale de /a classe VII o avec b 2 > 0 admettant une action presque effective de (C, +). Alors it existe une deformation holomorphe de S en une surface de Hopf primaire eclatee b2 fois.
References bibliographiques [I] Brunella M.• Feuilletages holomorphes sur les surfaces complexes compactes, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 30 (4~me serie) (1997) 569-594. [2] Carrell 1., Howard A., Kosniowski C., Holomorphic vector fields on complex surfaces, Math. Ann. 204 (1973) 73-8\. [3] Camacho C., Sad P; Invariant varieties through singularities of holomorph ic vector fields, Ann. Math. liS (1982) 579-595 . [4J Dloussky G., Oeljeklaus K., Veclor fields and foliations on surfaces of class VIlo, Ann. Inst, Fourier (1999) (~paraitre). [5J Dloussky G., Oeljeklaus K., Toma M., Surfaces de la c1asse VIlo admettant un champ de vecteurs, (article soumis). [6] Enoki I.. Surfaces of class VII o with curves, Tohoku Math. J. 33 (1981) 453-492. [7J Ghys E., Rebelo J., Singularizes des flots holomorphes II. Ann. Inst. Fourier 47 (4) (1997) 1117-1174. IS] Hausen 1., Zur Klassifikation glatter kornpakter C*·FUichen, Math. Ann. 301 (1995) 763-769. 19] Nakamura I.• On surfaces of class VIlo with curves, Invent. Math. 78 (1984) 393-443. [10] Nakamura I., On surfaces of class VIlo with curves II, Tohoku Math. J. 42 (1990) 475-516. [II] Rebelo J.• Singularit~s des flots holomorphes I, Ann. Inst. Fourier 46 (2) (1996) 411-428. (12] Rebelo J.• Singularites des flots holomorphes III, Prepublication.
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Surfaces de la classe V110 avec champs de vecteurs Georges DLOUSSKY a, Karl OEWEKLAUS a, Matei TOl\1A
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• UMR-CNRS 6632 et CMI, Universite de Provence, 39, rue Joliot-Curie, 13453 Marseille cedex 13, France Courriel : {dloussky, karloelj}@gyptis.univ-mrs.fr b Fachhereich Mathematik, Universitat Osnabriick, 49069 Osnabriick, Allemagne et Academie Houmaine, Bucarest, Roumanie Courriel : Matei. [email protected] (Heeu Ie 16 avril 1999, accepte Ie 25 mai 1999)
Resume.
Nous montrons qu'une surface minimale de la c1asse Vll, avec b 2 > 0 sur laquelle existe un champ de vecteurs non trivial contient exactement b 2 courbes rationnelles. II s'ensuit par un theorerne de I. Nakamura qu'une telle surface se deforme en une surface de Hopf primaire eclatee. Ce resultat precise la classification des surfaces complexes compactes avec champs de vecteurs. © 1999 Academic des Sciences/Editions scientifiques et medicales Elsevier SAS
Surfaces of class VII o with vector fields
Abstract.
We show that a minimal surface of class VIl o with b2 > 0 which admits a nontrivial holomorphic vector field contains exactly b2 rational curves. By a theorem of I. Nakamura this implies that such a surface is a deformation of a blown-up primary Hopf surface. This result clarifies the classification of compact complex surfaces with holomorphic vector fields. © 1999 Academie des Sciences/Editions scientifiques et medicales Elsevier SAS
1. Introduction et rappels Le but de cette Note est d'annoncer une contribution (voir [5D a la classification des surfaces compactes complexes admettant un champ de vecteurs holomorphe non trivial. Cette classification est tres precise a l'exception du cas des surfaces minimales de la c1asse Vll o avec b 2 > o. Puisque un champ de vecteurs non trivial sur une telle surface est unique et doit s'annuler (voir par exemple [1D, on peut se restreindre, d'apres [8] au cas OU la C-action holomorphe induite est effective. Une surface de la classe VII est une surface compacte complexe 8 telle que b 1 (8 ) = 1 et la dimension de Kodaira /),(8) = -00. La classe Vll o designe les surfaces de la classe VII qui sont minimales. Si une surface de la classe VII admet un champ de vecteurs holomorphe non trivial, il en sera de meme pour son modele minimal. La classification des surfaces de la classe VII o est ouverte dans Ie cas b z > O. lei les seuls exemples dont on dispose sont les surfaces S admettant une coquille spherique globale (CSG), c'est-a-dire telles qu'il existe un voisinage ouvert U C C2 " {O} de la Note presentee par Etienne
GHYS.
0764-4442199/03290409 © 1999 Academie des Sciences/Editions scientifiques et medicates Elsevier SAS. Tous droits reserves.
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G. Dloussky et al. 2
sphere S3 C C et une application 1 : U -+ S biholomorphe sur son image, tels que S" 1(U) soit connexe. Dans ce cas le nombre de courbes rationnelles sur S est ega! a b2(S). Dans [10J, I. Nakamura introduit la notion de surface speciale : une surface S de la classe VII o avec b 2 > 0 est dite speciale, s'il existe b 2 courbes rationnelles sur S. Dans ce cas, S contient un cycle de courbes rationnelles (voir [9» et S est une deformation d'une surface de Hopf primaire eclatee (voir [10». Dans le meme article, I. Nakamura conjecture qu'une surface speciale contient une coquille spherique globale.
TH~oRtME PRINCIPAL. - Soit S une surface minimale de la classe VIl o avec b 2 champs de vecteurs holomorphe non trivial. Alors S est une surface speciale.
>0
admettant un
On a vu dans [4], qu'j) existe beaucoup d'exemples de surfaces minimales contenant une CGS avec une action effective de (C, +). Vu notre resutat present, la reponse positive a la conjecture de I. Nakamura impliquerait que toute surface de la classe VIIo avec champ de vecteurs admet une coquille spherique globale, ce qui terminerait definitivement la classification des surfaces avec champ de vecteurs.
2. Singularites des flots holomorphes Les singularites des champs de vecteurs holomorphes semi-complets en dimension complexe deux ont ete etudiees par E. Ghys et J. Rebelo ([11], [7], [12]). Nous renvoyons le lecteur a [llJ ou [7] pour la definition. D'apres le theorerne B de [7], Ie premier jet de B doit etre non nul en une singularite isolee, si Best semi-complet. Cela est Ie cas si Best la restriction a un ouvert d'un champ defini sur une variete compacte. Dans la suite nous ne citons explicitement que les resultats non encore publics de [12]. Soit B un champs de vecteurs semi-complet defini dans un voisinge de I'origine de C 2 • On note F Ie feuilletage holomorphe reduit associe ayant 0 comme singularite isolee et w une I-forme holomorphe definissant F. On appelle courbe invariante une courbe I irreductible contenant 0 telle que I -, {O} soit une feuille. Si B a une singularite isolee dont le premier jet ne s'annule pas, la matrice M de la partie lineaire de B est de I'un des quatre types suivants : (1) M a deux valeurs propres nulles, i.e. M est nilpotente, On dira alors que la singularite pest nilpotente ; (2) AI a exactement une valeur propre non nulle : on dira que Pest une singularite col-nceud ; (3) M a deux valeurs propres non nulles Al et A2 telles que ~ ¢ N* et ~ ¢ N* ; (4) M a deux valeurs propres non nulles Al et A2 et ~ E N* ou ~ E N*. THEORt':ME 1 ([12], theorems A). - Soit () un genne de champ de vecteurs holomorphe defini et semi-complet au voisinage de l'origine de C 2• Supposons que l'origine ne soit pas une singularite isolee de B et que le feuilletage F assode soit singulier. Alors, a changement de coordonnees pres. () est de l'une des formes suivantes : cas A : l 'origine est une singularite isolee de :F d'ordre 2 : 1. () = I(x, y) [xy(x - yW [x(x - 2y) a/ax + y(y - 2x) a/ay],
2. () = I(x, y) [xy(x - y)2Ja [x(x - 3y) a/ax + y(y - 3x) a/ay], 3. B,= I(x, y) [xy2(x - y)3Ja [x(2x - 5y) a/ax + y(y - 4x) a/ayJ, ou 1(0,0) =1= 0 et a E N* ;
cas B : l'origine est une slngularite isolee de F d'ordre 1 avec partie lineaire nilpotente non triviale : 3 l. e = I(x, y) [x + y2Ja [2ya/ax _ 3x2 a/ay],
2. e = I(x,y)[y(y - x 2W [(2y - x 2)8/ax + 2xyo/ayj, 3. B,= I(x, y) fy(y - X 2)2Ja [(3y - x 2) a/ox + 4xya/ay], au 1(0,0) =1= 0 et a E N* ;
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Surfaces de la classe VIl o avec champs de vecteurs cas C : l'origine est une singularite isolee de :F d'ordre 1 avec deux valeurs propres non nulles : 1. () f(x,y)xnymlJ, OU lJ est un champ dont la partie lineaire s'ecrit mxDj{)x - nyD/Dy, f(O,O) =f:. a et m , n E N*, 2. () = xayb f(x,y) [mx8/8x - ny8/8y]. avec m, n E N*. 1(0,0) f. 0 et am - bn = ±1. 3. () = x f(x,y)[x8/8x + ny8/8y]. avec n E N* et f(O,O) fa.
=
3. Champs de vecteurs sur les surfaces de la classe VIl o On suppose dans la suite que S est une surface de la classe VIl o qui n'admet pas d'action holomorphe de C*. (Si S admet une action de C .... alors S est une surface d'Inoue « paraboJique » (voir [8))). LEMME 1. - Soient () un champ de vecteurs holomorphe non trivial sur S, F le feuilletage (rMuir) associe et PES un point singulier (isole') de F. Alors toute courbe invariante 'Y de F dans un voisinage de Pest contenue dans une courbe rationnelle G de S invariante pour :F.
Supposons que Ie point Pest une singularite isolee de O. Alors le premier jet de () en P n 'est pas nilpotent. LEMME 2. -
Demonstration. - Ce lemme resulte de [7]. proposition 3.16 et remarque 2.4. et de [9] (2.2.4).
0
On note par De le diviseur effectif assode au champ 8. LEMME 3. - Supposons Supp(D e) :/= 0. Soit P E Supp(D e) un point singulier de F, S'il existe en P une courbe invariante 0 C/. Supp(De). alors la restriction de () a 0 a un point singulier d'ordre 2 en P. En outre, P est un point regulier de Supp(De) et F n'a aucune autre singularite sur O. PROPOSITION 4. - 1) Si Pest une singularite isolee d'un champ de vecteurs () sur S, alors le premier jet a deux valeurs propres non nulles dont aucun des rapports n'est un entier positif. 2) Si () a des singularites isolees elles sont exactement les slngularites d'un cycle de courbes rationnelles. Demonstration. - D'apres Ie lernrne 2. il n'existe pas de singularite isolee nilpotente. Si P, est une singularite de type (2) ou (4). on choisit une courbe invariante G1 passant par P1 telle que I'indice de Camacho-Sad CS(:F, G1 , Pd soit positif. La formule de Camacho-Sad implique I'existence d'une seconde singularite P2 E 0 1 • On montre qu'elle est de type (3) et que P2 ¢ De d'apres Ie lemme 3. 11 existe une seconde courbe invariante 02 pass ant par P2. Le calcul des indices de Camacho-Sad
permet de trouver une autre singularite de type (3) et de construire par recurrence une suite infinie de courbes. Ceci est impossible et done il n'existe que des singularites isolees de type (3). En utilisant h nouveau Ie lemme 3. on montre que leurs courbes invariantes forment un cycle. 0 Avec [2] et la proposition 4 on dernontre : PROPOSITION 5. - SOil 0 un champ de vecteurs holomorphe non trivial sur S . Alors, il existe sur S au moins une courbe rationnelle sur laquelle () s'annule.
LEMME 6. - Les singularites de :F sur De ont toutes deux valeurs propres non nulles dont les quotients sont des rationnels strictement negatifs. Par toute singularite passent localement exactement deux courbes invariantes.
Demonstration. - La demonstration consiste (voir [12]) sauf les cas C.I et C.2. LEMME 7. - Si () s'annule
a exclure
toutes les formes normales du theoreme I 0
sur une courbe irreductible G, le feuilletage :F admet sur G au moins
une singularite-
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G. Dloussky et al.
Demonstration. - On montre d'abord que C est invariante par F . Si C est singuliere, sa singularite est une singularite de F . Sinon, on a C 2 ~ -2 (voir [9]). Par la fonnule de Camacho-Sad, on en 0 deduit I'existence d'au moins une singularite de F sur C. PROPOSITION 8. - Le diviseur De contient un cycle de courbes rationnelles. Demonstration. - Si De ne contenait pas de cycle, on pourrait construire un diviseur positif non nul Z, tel que pour toute courbe irreductible C, on ait Z . C O. Cela est impossible d'apres [6]. 0
=
4. Surfaces speclales D~FlNITION 9 (voir [10)). - Soit S une surface de la c1asse VIl o avec b 2 (S) est une surface speciale si S contient exactement b 2 (S) courbes rationnelles.
> O. On dira que
S
TH~OR~ME 2. - Soient S une surface compacte minimale de la classe VII o et b 2 = b 2 (S) > O. On suppose qu'il existe sur S une action holomorphe effective de (C, +) induite par un champs de vecteurs 8. Alors S est une surface speciale, Ie champ de vecteurs 8 n'a aucun point singulier isole et les singularites du feuilletage induit sont exactement les b 2 singularites du diviseur maximal D. En outre, le diviseur D est connexe et contient un cycle et au moins un arbre.
Demonstration. - Si () avait des singularites isolees, d'apres les proposition 4 et 8, it existerait deux cycles de courbes rationnelles. Alors S serait une surface d'Inoue-Hirzebruch ([9], (8.1)). Mais on sait que ces surfaces n'admettent pas de champ de vecteurs. Done () n'a aucun point singulier isole et contient exactement un cycle de courbes rationnelles. D'apres le lemme 6, chaque singularite de Fest situee sur exactement deux courbes (locales) invariantes. De plus, si () ne s'annule pas identiquement sur une courbe rationnelle, alors elle ne porte qu'une singularite (cette courbe rationnelle est Ie sornrnet d'un arbre). On en deduit que Ie nombre de courbes rationnelles est egal au nombre de singularites de F. Soit M(S) la matrice d'intersection du diviseur maximal D de S. On demontre que la matrice M(S) est definie negative. En appliquant I'une des fonnuies de Baum-Bott et la fonnule de Brunella [11, on montre que Ie nombre de courbes est exactement egal a b 2 • 0 THEOR~ME 3. - Soit S une surface minimale de /a classe VII o avec b 2 > 0 admettant une action presque effective de (C, +). Alors it existe une deformation holomorphe de S en une surface de Hopf primaire eclatee b2 fois.
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