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Zur Berechnung des Extinktionskoeffizienten kleiner Teilchen bei weißem Licht
Powder Technology-Elsevier
Sequoia SA., Lausanne-Printed
363
in the Netherlands
Short Communication
Zor Berecbnung des Extinktionskoeffizienten Teilchen bei we&m Licht
kleiner
H. REICHERT Insrirut jiir Mechanische ruhe (TH),
Ve~fahrenstechnik, Universitiit Karls-
Karlsruhe (Deutschland)
(Eingegangen am 28. Februar 1972)
Es ist tiblich, fur die Schwachung eines Strahls weiDen Lichtes, der durch eine homogene Suspension gleich grol3er Teilchen hindurchtritt, im Bereich hinreichend geringer Feststoffvolumenkonzentration folgende Beziehung anzugeben’*2*3 :
T I
= Transmission = Intensitat des durch die Suspension geschwachten Lichtes I, = Intensitat bei reiner Suspensionsfltissigkeit K, = Extinktionskoeflizient der Teilchen bei weil3em Licht Cv = Feststoffvolumenkonzentration der Suspension L = Durchstrahlte Dicke der Suspension $ = Spharizitat der Teilchen, Verhaltnis der Oberflache der volumengleichen Kugel zur tatsachlichen Teilchenoberflache d = TeilchengrbBe, definiert als Durchmesser der volumengleichen Kugel.
Der Extinktionskoeflizient K bezeichnet das Verhaltnis des optischen Wirkungsquerschnittes der Teilchen zu ihrem geometrischen Projektionsquerschnitt. Fur eine bestimmte MeBanordnung und fur bestimmte optische Konstanten von Fest‘stoff und Fltissigkeit wird weiterhin angesetzt1*2*3, dal3 der Extinktionskoeflizient bei Verwendung weil3en Lichtes nur von der Teilchengroge abhangt. Hierauf beruht das Prinzip der photometrischen Bestimmung von TeilchengrGBenverteilungen. Es Powder Technol., 6 (1972)
sol1 in diesem Beitrag theoretisch tiberprtift werden, ob unter den genannten Bedingungen fur weil3es Licht der Extinktionskoeflizient einer monodispersen Suspension tatsachlich nur von der GroBe der suspendierten Teilchen abhlngt. Auf Grund der Theorie von Mie ist bekannt4, da13 fur paralleles Licht der Extinktionskoeffizient von kugelformigen Teilchen neben dem Brechungsindex von Teilchen und Fltissigkeit von der Teilchengr6Be und der Lichtwellenllnge abhangt. Es muB daher die Intensitat des geschwachten weiljen Lichtstrahles in einer strengen Ableitung dadurch bestimmt werden, da13 man die Intensitaten der einzelnen Wellenlangenbereiche, aus denen sich das weiBe Licht zusammensetzt, nach dem Durchtritt durch die Suspension aulintegriert. Es gilt Gleichung (1) fur das monochromatische Licht eines Wellenlangenintervalls dl entsprechend. Die am Amperemeter angezeigte Intensitat beim Durchgang durch die reine Suspensionsfltissigkeit ist der relativen spektralen Intensitat der Lampe i,(n) und der relativen spektralen Empfindlichkeit des Empfangers eR(1) proportional. Fur die Transmission ergibt sich somit
s 12
id4 eR(4exp {- ‘?zL)di
T=
i1
(2)
12 &(A) e,(E.)dE.
J 21
untere Emplindlichkeitsgrenze des Empfangers 1, = obere Emptindlichkeitsgrenze des Empfangers K, = Extinktionskoeflizient bei der Wellenlange ;1. Vergleicht man die exakte Ableitung Gl. (2) mit dem tiblichen Ansatz nach Gl. (l), so la& sich der dort eingeftihrte Extinktionskoefhzient K, berechnen. Es zeigt sich, dal3 K, auBer von der Teilchengrol3e d such noch vom Produkt Cv. L bei sonst konstanten Bedingungen abhlngt. Die physikalische Begrtindung liegt darin, da13das weiBe Licht wahrend des Durchgangs durch die Suspension seine spektrale Intensitatsverteilung Hndert, denn die Intensitat jedes Wellenlangenintervalls wird infolge der Abhangigkeit des Extinktionskoeftizienten von der Wellenlange unterschiedlich geA,
=
SHORT
364 schwacht. Der Betrag der Intensitatsabnahme jedes Wellenlangenintervalls hangt dartiber hinaus aber such von der Feststoffvolumenkonzentration und der Starke der durchstrahlten Schicht ab. Anhand dieser ifberlegungen folgt also, da13 bei der Verwendung weil3en Lichtes das Lambert-Beersche Gesetz, in der Form von Gl. (1) angesetzt, such bei niedriger Konzentration nicht gelten kann, denn der Extinktionskoefhzient fur weil3es Licht ist selbst von der Konzentration abhangig. Es gilt daher zu untersuchen, unter welchen Bedingungen eventuell die Cv-Abhangigkeit von Kw vernachIbsigbar ist. Fur diese Falle kiinnte man dann naherungsweise mit der einfachen Gleichung (1) rechnen. Als triviale Losung folgt aus Gl. (1) und Gl. (2) fur den Fall K,= konst, da13 such Kw=K,= konst gilt. Weiterhin 1aDt sich fur extrem niedrige Konzentrationen Cv L/d-+0 durch Reihenentwicklung der Exponentialfunktionen in Gl. (1) und Gl. (2) ableiten, da13 hierfiir sich folgender Grenzwert ergibt :
K,,
= lim (c”yd-o&
s = *
5
Nicht
I 1
absorbierend
Im
-1
1 -=cl
.iil‘::--, II 0
10
5
Zinksulfid
K(x)
o!J 0 K (x
Q =
im
I
3
10
1 I
Rutil
x
Wasser
’
x=_
1
’
rrd nF
m=l,76
’
x
in Wasser
m = 2,06
5-
(3)
Diese Gleichung wurde schon vonAllen2 benutzt, urn den Extinktionskoeffizienten Kw fur bestimmte Brechungsindizes nach der Theorie von Mie zu berechnen. Es wurde dabei jedoch nicht beachtet, da0 sie exakt nur fur C,L/d+O gilt. Fur kugelformige Teilchen (+= 1) mit Durchmessern unterhalb etwa 2 ,um kann fur die ublichen Photometeranordnungen mit sehr kleinem Empfangerwinkel (ungefahr 1”) K, nach der Theorie von Mie berechnet werden, da der Anteil des vom Empfanger aufgenommenen Streulichtes vernachlassigbar ist4. Zur Abschatzung des Einflusses von Cv L auf K, wurden daher fur ein paar TeilchengroI3en unterhalb 2 pm die von Dettmar, Lode und Marre’ nach Mie berechneten K,-Werte einiger verschieden hoch brechender, nicht absorbierender Materialien herangezogen. Als Suspensionsfhissigkeit wurde Wasser gewahlt, dessen Brechungsindex nF = 1,33 betragt. Die Berechnung von K, aus Gl. (1) und Gl. (2) wurde fur Polystyrol (Brechungsindex n, = 1,59) bei den Teilchengrogen d=0,8 und 1,3 pm, fur Rutil (n,=2,74) bei d =0,125; 0,27; 0,67 und 1,Opm und fur Zinksulfid (ns = 2,37) bei d = 0,18; 0,514und 1,0 pm durchgefuhrt. Abbildung 1 zeigt den Verlauf Powder Technol., 6 (1972)
K(Q)
COMMUNICATIONS
10
5
b
*_nd
Abb. 1. Verlauf des Extinktionskoefizienten relative Brechungsindizes.
Ok0 Abb. 2. Resultierende und EmpWnger.
0,so spektrale
Q60
‘h
fiir verschiedene
A
/pm
Intensitltsverteilung
070 von Lampe
365
SHORT COMMUNICATIONS TABELLE 1 Resultierende IntensitZtsverteilung von Lampe und Empfanger Gm i,W,(~l
0,35 0,000
040 0,027
0,45 0,101
050 0,229
055 0,398
060 0,498
0,65 0,283
0,70 0,043
0,75 0,000
TABELLE 2 Bereichsgrenzen fur x und p in Abhlngigkeit von der TeilchengrijBe Suspension
ZinksuljTdJWasser
RutillWasser
d/w
0,18 054 2,15 6,45 1,OO 3,Ol
0,125 1,49 0,70
x1 x2
1,00 11,9 5,57
0,27 3,23 1,51
Polystyrol/Wasser
0,67 8,00 3,73
des Extinktionskoeflizienten K nach der Theorie von Mie als Funktion von x = xdn,/A fur Rutil und Zinksuhids und fur Polystyrol als Funktion eon p=2xdn,(ml)/;i. Fur Polystyrol wurdenaherungsweise die Losung der Mie-Theorie verwendet4, die fur relative Brechungsindizes m nahe bei 1 gilt. Parameter in Abb. 1 ist der relative Brechungsindex m = nS/nF. 1 bezeichnet die Wellenlange im Vakuum. Die relative spektrale Intensitlt der Lampe i,(n) wurde der eines schwarzen Strahlers bei T= 2800 K gleich gesetzt. Als Empfanger wurde ein SelenPhotoelement mit normaler spektraler Empfindlichkeit e,(l) angenommen. Abbildung 2 zeigt das Produkt der beiden GraBen i, (A)eR(A) als Funktion der Wellenlange J_. Wichtige Sttitzpunkte sind in Tabelle 1 angegeben. Die Werte in Tabelle 1 entsprechen etwa der von Allen2 verwendeten resultierenden Intensitatsverteilung. Die untere Integrationsgrenze bei der Berechnung der Transmission nach GI. (2) ist 2, =0,35 pm, die obere A2=0,75 pm. In Tabelle 2 sind die den Grenzen zugehorigen Werte fiir x und p bei den einzelnen TeilchengrGBen aufgetragen. Abbildung 3 zeigt den aus Gl. (1) und Gl. (2) errechneten Extinktionskoeffizienten fur weiDes Licht K, in Abhangigkeit vom Produkt C,L. Mit wachsender Konzentration fallt K, in allen betrachteten Fallen. Dieser Abfall ist relativ zum Grenzwert Kw, umso ausgepragter, je starker sich K, im betrachteten Wellenlangenbereich andert. Ganz besonders ist dies bei kleinen und hochbrechenden Teilchen der Fall, wie aus Tabelle 2 und Abb. 1 hervorgeht. Bei groBeren Teilchen, deren x-Bereich rechts des Maximums der K(x)-Funktion liegt, Hndert sich K, zwar such noch mit der Wellenlange, jedoch fiihren diese Anderungen nur zu geringen Abweichungen des Kw-Wertes von K,,. Powder Technol., 6 (1972)
WO 11,9 5,57
0.80 3,63 1,69
p, p2
1,30 5,90 2,76
i
0-l
(
.
10-7
I@ ----.-
.
,, la5
.
Cv L/cm Rutll IWmser m=2* ZmksultidlWasser m = 1,78 Potystyroll wmser m= 1.19
, IL+ Pammeter d/pm
Abb. 3. Abhlngigkeit des Extinktionskoeffizienten Licht von der Feststoffvolumenkonzentration.
1
fur weiDes
Zu hohe Feststoffvolumenkonzentrationen haben Mehrfachstreuung des Lichtes in der Suspension zur Folge. Fur diesen Konzentrationsbereich gilt Gl. (2) nicht mehr. Koglin6 hat experimentell nachgewiesen, daD der Einflul3 der Mehrfachstreuung vernachllssigbar ist, solange die mittlere freie Lichtwegkinge l=-
2d
3KwCv grol3er als ungefahr die Strahlbreite des Lichtes ist. Aus dieser Bedingung 1aDt sich eine Grenkonzentration Cvm abschatzen. Fur Cv
366
SHORT COMMIJNICATIt 3NS
TABELLE 3 Grenzkonzentration
und AbfaII des Extinktionskoeffzienten
Suspension
ZinksulfidlWasser
d/w
0,lS 1,46 2,7 0,20
K c :_. 105 AJGvI&v,
0,54
1,OO 2,992 2,82 7,9 4,1 0,09 0,04
in Abhlngigkeit
Polystyrolf Wasser
Rutii/Wasser
0,125 472 3,9 0,26
0,27 452 1,3 0,04
061 2,94 5,l 0,04
C, bei vorgegebener Schichttiefe L der Abfall des Extinktionskoeflizienten Kw gegentiber Kwo ablesen. Er sei mit AK, bezeichnet. Die Abschatzung der Grenzkon~ntration nach Gl. (4) wurde mit einer angenommenen Strahlbreite von 0,3 cm durchgefiihrt und Kw wurde naherungsweise durch K,, ersetzt. In Tabelle 3 sind die Ergebnisse dieser Abschatzung zusammengestellt. Die Schichttiefe ist dabei mit L= 1 cm eingesetzt. Die Ergebnisse dieser Untersuchung zeigen, dab fur Teilchengr~Ben tiber etwa 0,8 pm die Abhangigkeit des Extinktionskoellizienten fur weiDes Licht von der Konzentration gering ist und hochstens wenige Prozent betdgt. In diesem KorngrSDenbereich darf, solange die Mehrfachstreuung keine Rolle spielt, in sehr guter Nglherung mit dem Lambert-Beerschen Gesetz in Form der Gl. (1) gerechnet werden. K, ist bei sonst gleichen Bedingung~ tatsachlich nur von der TeilchengrijBe d abhangig und kann, dem Vorgehen Allens folgend, nach Gl. (3) berechnet werden. Fur sehr kleine Teilchen, deren K,-Werte in der NPhe des ersten Maximums der K(x)-Funktion liegen, gilt besonders bei hohen relativen Brechungsindizes das Lambert-Beersche Gesetz in der iiblichen Schreibweise nicht. In diesen Fallen muD die Transmission nach Gl. (2) berechnet werden. Die Abhangigkeit dieser Aussage vom spezifischen Verlauf der resultierenden Intensitatsverteilung ~~(~)e~(~)wurde dadurch ~~rpr~ft, daB die Berechnungen such fiir den hypothetischen Fall
Powder Te~hno~., 6 (1972)
von der TeiIchengriiBe
1,OO 244 9,l 0,03
0,80 1,89 9,4 0,04
1,30 3,Ol 9,6 0,OO
durchgeftihrt wurden, da13 i,(,I)e,@) zwischen A1 und A, konstant sei. Es ist plausibel, da13sich hierftir bei den kleinen KorngrijBen sehr vie1 gr6Bere Abweichungen AK, ergeben, denn die unterschiedlithe Lichtschwachung der einzelnen Wellenlangen wird nun gleich gewichtet. Fur Teilchengriigen iiber 1 pm ist aber such hier der Exti~tionskoe~zient ftir weibes Licht in guter Naherung von der Konzentration unabhangig.
LITERATUR H. E. Rose, Determination of the extinction coefficient-particle size relationship for spherical bodies, J. Appl. Chem., 2 (1952) 8&88. T. Allen, Determination of the size distribution and specific surface of fine powders by photoextinction methods. I. Theoretical estimate of variation in extinction coefficient with particle size using a white light source, Powder Techno~., 2 (1968169) 133-140.
H. P. Kurz und R. Johne, Uber die Anwendbarkeit der photometrischen OberIIlchenbestimmung auf breite KorngrbBenve~eilungen und auf Pulver mit hohen spezifischen Obertichen, Powder Technol., 3 (1969/70) 83-91. H. C. van de Hulst, Light Scattering by Small Particles, Wiley, New York, 1957. H. K. Dettmar, W. Lode und E. Macre, Lichtstreuung und Teiichengr~~nve~eilung kugelformiger TeiIchen, Kotfoid-Z., 188 (1963) 2840. B. Koglin, Photometrische Untersuchungen zur Wirkung grenzfllchenaktiver Stoffe als Dispergiermittei in Suspensionen, Kongre~bericht 5. Congreso intern. de fa ~etergencia, Barcelona 1969, 237-246.
Sequoia SA., Lausanne-Printed
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in the Netherlands
Short Communication
Zor Berecbnung des Extinktionskoeffizienten Teilchen bei we&m Licht
kleiner
H. REICHERT Insrirut jiir Mechanische ruhe (TH),
Ve~fahrenstechnik, Universitiit Karls-
Karlsruhe (Deutschland)
(Eingegangen am 28. Februar 1972)
Es ist tiblich, fur die Schwachung eines Strahls weiDen Lichtes, der durch eine homogene Suspension gleich grol3er Teilchen hindurchtritt, im Bereich hinreichend geringer Feststoffvolumenkonzentration folgende Beziehung anzugeben’*2*3 :
T I
= Transmission = Intensitat des durch die Suspension geschwachten Lichtes I, = Intensitat bei reiner Suspensionsfltissigkeit K, = Extinktionskoeflizient der Teilchen bei weil3em Licht Cv = Feststoffvolumenkonzentration der Suspension L = Durchstrahlte Dicke der Suspension $ = Spharizitat der Teilchen, Verhaltnis der Oberflache der volumengleichen Kugel zur tatsachlichen Teilchenoberflache d = TeilchengrbBe, definiert als Durchmesser der volumengleichen Kugel.
Der Extinktionskoeflizient K bezeichnet das Verhaltnis des optischen Wirkungsquerschnittes der Teilchen zu ihrem geometrischen Projektionsquerschnitt. Fur eine bestimmte MeBanordnung und fur bestimmte optische Konstanten von Fest‘stoff und Fltissigkeit wird weiterhin angesetzt1*2*3, dal3 der Extinktionskoeflizient bei Verwendung weil3en Lichtes nur von der Teilchengroge abhangt. Hierauf beruht das Prinzip der photometrischen Bestimmung von TeilchengrGBenverteilungen. Es Powder Technol., 6 (1972)
sol1 in diesem Beitrag theoretisch tiberprtift werden, ob unter den genannten Bedingungen fur weil3es Licht der Extinktionskoeflizient einer monodispersen Suspension tatsachlich nur von der GroBe der suspendierten Teilchen abhlngt. Auf Grund der Theorie von Mie ist bekannt4, da13 fur paralleles Licht der Extinktionskoeffizient von kugelformigen Teilchen neben dem Brechungsindex von Teilchen und Fltissigkeit von der Teilchengr6Be und der Lichtwellenllnge abhangt. Es muB daher die Intensitat des geschwachten weiljen Lichtstrahles in einer strengen Ableitung dadurch bestimmt werden, da13 man die Intensitaten der einzelnen Wellenlangenbereiche, aus denen sich das weiBe Licht zusammensetzt, nach dem Durchtritt durch die Suspension aulintegriert. Es gilt Gleichung (1) fur das monochromatische Licht eines Wellenlangenintervalls dl entsprechend. Die am Amperemeter angezeigte Intensitat beim Durchgang durch die reine Suspensionsfltissigkeit ist der relativen spektralen Intensitat der Lampe i,(n) und der relativen spektralen Empfindlichkeit des Empfangers eR(1) proportional. Fur die Transmission ergibt sich somit
s 12
id4 eR(4exp {- ‘?zL)di
T=
i1
(2)
12 &(A) e,(E.)dE.
J 21
untere Emplindlichkeitsgrenze des Empfangers 1, = obere Emptindlichkeitsgrenze des Empfangers K, = Extinktionskoeflizient bei der Wellenlange ;1. Vergleicht man die exakte Ableitung Gl. (2) mit dem tiblichen Ansatz nach Gl. (l), so la& sich der dort eingeftihrte Extinktionskoefhzient K, berechnen. Es zeigt sich, dal3 K, auBer von der Teilchengrol3e d such noch vom Produkt Cv. L bei sonst konstanten Bedingungen abhlngt. Die physikalische Begrtindung liegt darin, da13das weiBe Licht wahrend des Durchgangs durch die Suspension seine spektrale Intensitatsverteilung Hndert, denn die Intensitat jedes Wellenlangenintervalls wird infolge der Abhangigkeit des Extinktionskoeftizienten von der Wellenlange unterschiedlich geA,
=
SHORT
364 schwacht. Der Betrag der Intensitatsabnahme jedes Wellenlangenintervalls hangt dartiber hinaus aber such von der Feststoffvolumenkonzentration und der Starke der durchstrahlten Schicht ab. Anhand dieser ifberlegungen folgt also, da13 bei der Verwendung weil3en Lichtes das Lambert-Beersche Gesetz, in der Form von Gl. (1) angesetzt, such bei niedriger Konzentration nicht gelten kann, denn der Extinktionskoefhzient fur weil3es Licht ist selbst von der Konzentration abhangig. Es gilt daher zu untersuchen, unter welchen Bedingungen eventuell die Cv-Abhangigkeit von Kw vernachIbsigbar ist. Fur diese Falle kiinnte man dann naherungsweise mit der einfachen Gleichung (1) rechnen. Als triviale Losung folgt aus Gl. (1) und Gl. (2) fur den Fall K,= konst, da13 such Kw=K,= konst gilt. Weiterhin 1aDt sich fur extrem niedrige Konzentrationen Cv L/d-+0 durch Reihenentwicklung der Exponentialfunktionen in Gl. (1) und Gl. (2) ableiten, da13 hierfiir sich folgender Grenzwert ergibt :
K,,
= lim (c”yd-o&
s = *
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Nicht
I 1
absorbierend
Im
-1
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Zinksulfid
K(x)
o!J 0 K (x
Q =
im
I
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1 I
Rutil
x
Wasser
’
x=_
1
’
rrd nF
m=l,76
’
x
in Wasser
m = 2,06
5-
(3)
Diese Gleichung wurde schon vonAllen2 benutzt, urn den Extinktionskoeffizienten Kw fur bestimmte Brechungsindizes nach der Theorie von Mie zu berechnen. Es wurde dabei jedoch nicht beachtet, da0 sie exakt nur fur C,L/d+O gilt. Fur kugelformige Teilchen (+= 1) mit Durchmessern unterhalb etwa 2 ,um kann fur die ublichen Photometeranordnungen mit sehr kleinem Empfangerwinkel (ungefahr 1”) K, nach der Theorie von Mie berechnet werden, da der Anteil des vom Empfanger aufgenommenen Streulichtes vernachlassigbar ist4. Zur Abschatzung des Einflusses von Cv L auf K, wurden daher fur ein paar TeilchengroI3en unterhalb 2 pm die von Dettmar, Lode und Marre’ nach Mie berechneten K,-Werte einiger verschieden hoch brechender, nicht absorbierender Materialien herangezogen. Als Suspensionsfhissigkeit wurde Wasser gewahlt, dessen Brechungsindex nF = 1,33 betragt. Die Berechnung von K, aus Gl. (1) und Gl. (2) wurde fur Polystyrol (Brechungsindex n, = 1,59) bei den Teilchengrogen d=0,8 und 1,3 pm, fur Rutil (n,=2,74) bei d =0,125; 0,27; 0,67 und 1,Opm und fur Zinksulfid (ns = 2,37) bei d = 0,18; 0,514und 1,0 pm durchgefuhrt. Abbildung 1 zeigt den Verlauf Powder Technol., 6 (1972)
K(Q)
COMMUNICATIONS
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Abb. 1. Verlauf des Extinktionskoefizienten relative Brechungsindizes.
Ok0 Abb. 2. Resultierende und EmpWnger.
0,so spektrale
Q60
‘h
fiir verschiedene
A
/pm
Intensitltsverteilung
070 von Lampe
365
SHORT COMMUNICATIONS TABELLE 1 Resultierende IntensitZtsverteilung von Lampe und Empfanger Gm i,W,(~l
0,35 0,000
040 0,027
0,45 0,101
050 0,229
055 0,398
060 0,498
0,65 0,283
0,70 0,043
0,75 0,000
TABELLE 2 Bereichsgrenzen fur x und p in Abhlngigkeit von der TeilchengrijBe Suspension
ZinksuljTdJWasser
RutillWasser
d/w
0,18 054 2,15 6,45 1,OO 3,Ol
0,125 1,49 0,70
x1 x2
1,00 11,9 5,57
0,27 3,23 1,51
Polystyrol/Wasser
0,67 8,00 3,73
des Extinktionskoeflizienten K nach der Theorie von Mie als Funktion von x = xdn,/A fur Rutil und Zinksuhids und fur Polystyrol als Funktion eon p=2xdn,(ml)/;i. Fur Polystyrol wurdenaherungsweise die Losung der Mie-Theorie verwendet4, die fur relative Brechungsindizes m nahe bei 1 gilt. Parameter in Abb. 1 ist der relative Brechungsindex m = nS/nF. 1 bezeichnet die Wellenlange im Vakuum. Die relative spektrale Intensitlt der Lampe i,(n) wurde der eines schwarzen Strahlers bei T= 2800 K gleich gesetzt. Als Empfanger wurde ein SelenPhotoelement mit normaler spektraler Empfindlichkeit e,(l) angenommen. Abbildung 2 zeigt das Produkt der beiden GraBen i, (A)eR(A) als Funktion der Wellenlange J_. Wichtige Sttitzpunkte sind in Tabelle 1 angegeben. Die Werte in Tabelle 1 entsprechen etwa der von Allen2 verwendeten resultierenden Intensitatsverteilung. Die untere Integrationsgrenze bei der Berechnung der Transmission nach GI. (2) ist 2, =0,35 pm, die obere A2=0,75 pm. In Tabelle 2 sind die den Grenzen zugehorigen Werte fiir x und p bei den einzelnen TeilchengrGBen aufgetragen. Abbildung 3 zeigt den aus Gl. (1) und Gl. (2) errechneten Extinktionskoeffizienten fur weiDes Licht K, in Abhangigkeit vom Produkt C,L. Mit wachsender Konzentration fallt K, in allen betrachteten Fallen. Dieser Abfall ist relativ zum Grenzwert Kw, umso ausgepragter, je starker sich K, im betrachteten Wellenlangenbereich andert. Ganz besonders ist dies bei kleinen und hochbrechenden Teilchen der Fall, wie aus Tabelle 2 und Abb. 1 hervorgeht. Bei groBeren Teilchen, deren x-Bereich rechts des Maximums der K(x)-Funktion liegt, Hndert sich K, zwar such noch mit der Wellenlange, jedoch fiihren diese Anderungen nur zu geringen Abweichungen des Kw-Wertes von K,,. Powder Technol., 6 (1972)
WO 11,9 5,57
0.80 3,63 1,69
p, p2
1,30 5,90 2,76
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I@ ----.-
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Cv L/cm Rutll IWmser m=2* ZmksultidlWasser m = 1,78 Potystyroll wmser m= 1.19
, IL+ Pammeter d/pm
Abb. 3. Abhlngigkeit des Extinktionskoeffizienten Licht von der Feststoffvolumenkonzentration.
1
fur weiDes
Zu hohe Feststoffvolumenkonzentrationen haben Mehrfachstreuung des Lichtes in der Suspension zur Folge. Fur diesen Konzentrationsbereich gilt Gl. (2) nicht mehr. Koglin6 hat experimentell nachgewiesen, daD der Einflul3 der Mehrfachstreuung vernachllssigbar ist, solange die mittlere freie Lichtwegkinge l=-
2d
3KwCv grol3er als ungefahr die Strahlbreite des Lichtes ist. Aus dieser Bedingung 1aDt sich eine Grenkonzentration Cvm abschatzen. Fur Cv
366
SHORT COMMIJNICATIt 3NS
TABELLE 3 Grenzkonzentration
und AbfaII des Extinktionskoeffzienten
Suspension
ZinksulfidlWasser
d/w
0,lS 1,46 2,7 0,20
K c :_. 105 AJGvI&v,
0,54
1,OO 2,992 2,82 7,9 4,1 0,09 0,04
in Abhlngigkeit
Polystyrolf Wasser
Rutii/Wasser
0,125 472 3,9 0,26
0,27 452 1,3 0,04
061 2,94 5,l 0,04
C, bei vorgegebener Schichttiefe L der Abfall des Extinktionskoeflizienten Kw gegentiber Kwo ablesen. Er sei mit AK, bezeichnet. Die Abschatzung der Grenzkon~ntration nach Gl. (4) wurde mit einer angenommenen Strahlbreite von 0,3 cm durchgefiihrt und Kw wurde naherungsweise durch K,, ersetzt. In Tabelle 3 sind die Ergebnisse dieser Abschatzung zusammengestellt. Die Schichttiefe ist dabei mit L= 1 cm eingesetzt. Die Ergebnisse dieser Untersuchung zeigen, dab fur Teilchengr~Ben tiber etwa 0,8 pm die Abhangigkeit des Extinktionskoellizienten fur weiDes Licht von der Konzentration gering ist und hochstens wenige Prozent betdgt. In diesem KorngrSDenbereich darf, solange die Mehrfachstreuung keine Rolle spielt, in sehr guter Nglherung mit dem Lambert-Beerschen Gesetz in Form der Gl. (1) gerechnet werden. K, ist bei sonst gleichen Bedingung~ tatsachlich nur von der TeilchengrijBe d abhangig und kann, dem Vorgehen Allens folgend, nach Gl. (3) berechnet werden. Fur sehr kleine Teilchen, deren K,-Werte in der NPhe des ersten Maximums der K(x)-Funktion liegen, gilt besonders bei hohen relativen Brechungsindizes das Lambert-Beersche Gesetz in der iiblichen Schreibweise nicht. In diesen Fallen muD die Transmission nach Gl. (2) berechnet werden. Die Abhangigkeit dieser Aussage vom spezifischen Verlauf der resultierenden Intensitatsverteilung ~~(~)e~(~)wurde dadurch ~~rpr~ft, daB die Berechnungen such fiir den hypothetischen Fall
Powder Te~hno~., 6 (1972)
von der TeiIchengriiBe
1,OO 244 9,l 0,03
0,80 1,89 9,4 0,04
1,30 3,Ol 9,6 0,OO
durchgeftihrt wurden, da13 i,(,I)e,@) zwischen A1 und A, konstant sei. Es ist plausibel, da13sich hierftir bei den kleinen KorngrijBen sehr vie1 gr6Bere Abweichungen AK, ergeben, denn die unterschiedlithe Lichtschwachung der einzelnen Wellenlangen wird nun gleich gewichtet. Fur Teilchengriigen iiber 1 pm ist aber such hier der Exti~tionskoe~zient ftir weibes Licht in guter Naherung von der Konzentration unabhangig.
LITERATUR H. E. Rose, Determination of the extinction coefficient-particle size relationship for spherical bodies, J. Appl. Chem., 2 (1952) 8&88. T. Allen, Determination of the size distribution and specific surface of fine powders by photoextinction methods. I. Theoretical estimate of variation in extinction coefficient with particle size using a white light source, Powder Techno~., 2 (1968169) 133-140.
H. P. Kurz und R. Johne, Uber die Anwendbarkeit der photometrischen OberIIlchenbestimmung auf breite KorngrbBenve~eilungen und auf Pulver mit hohen spezifischen Obertichen, Powder Technol., 3 (1969/70) 83-91. H. C. van de Hulst, Light Scattering by Small Particles, Wiley, New York, 1957. H. K. Dettmar, W. Lode und E. Macre, Lichtstreuung und Teiichengr~~nve~eilung kugelformiger TeiIchen, Kotfoid-Z., 188 (1963) 2840. B. Koglin, Photometrische Untersuchungen zur Wirkung grenzfllchenaktiver Stoffe als Dispergiermittei in Suspensionen, Kongre~bericht 5. Congreso intern. de fa ~etergencia, Barcelona 1969, 237-246.