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Zur möglichkeit einer neutrinotheorie des lichtes
Physica
V, n o 9
October
1938
ZUR M O G L I C H K E I T E I N E R N E U T R I N O T H E O R I E DES LICHTES yon A. SOKOLOW Physical Technical Institute, T o m s k
Es werden die Relationen zwischen den Komponenten des gesamten elektromagnetischen Feldes und des Neutrinofeldes in relativistisch invarianter Form aufgestellt und die Wechselwirkung zwischen den Ladungen sowie die Ausstrahlung des Lichtes. als Folge reiner Neutrinoprozesse betrachtet.
1. Quantelung des Photonen]ddes. Bekanntlich kazan man die Komponenten des elektromagetischen Tensors (*~,~), welche das Feld beschreibt, durch das skalare - - (*0) und das Vektorpotential (*,) folgendermassen ausdrficken *)
ao~
~%,
O ~ - ax~
~x~'
(1)
wo x4-----ict, "4 = iaPo, und die elektrische (E) und magnetische (H) Feldstiirke durch die folgenden TensorkomponenteI1 gegeben sind
iE1 iE2 iEa
~41 ~42 ~4a ]"
Dann bekommt man die erste Gruppe der M a x w e 1 l'schen Gleichungen fiir das Vakuum
~o~ _ o,
(3)
nut unter der Nebenbedingung
a,~ _ 0, ax~
(4)
*) Lateinische Buchstaben laufen yon 1 bis 3, griechische bis 4; ausserdem ist ~ n u r zweier Werte flihig.
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51"
798
A. SOKOLOW
der das Viererpotential geniigen muss; die zweite Gruppe aber
a¢~,,, axp + ~a¢~p + aCp~, ax--~-_- 0
(5)
wird dabei identisch befriecligt. Ffihrt man eiuen zu (era) ,,dualen" schiefsymmetrischen Tensor (,¢*~) ein nach dem Schema
( H1H2 H3 ~ = iE i i E 2 iEs)
(¢41* ¢42* 043* ) . 03!. ¢12. \ ¢23
,
(6)
so schreibt man die zweite Oruppe der Maxwellgleichungen folgendermassen u m a ¢ ~ = O.
(7)
Es ist ldar, dass das elektromagnetische Feld prim~ir dutch den Sechservektor E. und H . charakterisiert wird; die Potentiale erscheinen erst bei der Einffihrung der Weehselwirkung mit .den Ladungen. Da die Potentiale sich dutch das Feld nicht eindeutig bestimmen lassen, so ist es iiblich fiir das reine Photonenfeld die Nebenbedingung ¢~ = 0 (8) einfiihren, die zwar nicht relativistisch invariant ist, jedoch sich mittels entsprechender Eichtransformationen fiir jedes beliebige Koordinatensystem erfiillen l~isst. Man karm auch statt (8) eine relativistisch invariante Nebenbedingung S~ 0 ~ = 0 (9) einfiihren, wo (S~) einen willkfirlichen aber konstanten Hilfsvektor . . r. . ) bedeutet, dessert L~nge S = V ~ S ~ von Null (,,Eich ve k m verschieden ist. Es ist leicht einzusehen, dass die Wahl der willkiirlichen Richtung des ,,Eichvektors" (S~) einer bestimmten Eichung der Potentiale ~quivalent ist. Insbesondere erh~lt man die Bedingung (8), wenn man den Vektor (S~) parallel der Zeitachse setzt, d.h. S 1 = S 2 = S 3 = 0,
S4 = S.
0o)
ZUR MOGLICHKEIT EINER NEUTRINOTHEORIE DES LICHTES
799
I
Berticksichtigt man die Nebenbedingungen (4) und (9), so kann man jetzt die Potentiale dutch das Feld eifldeutig bestimmen
S~ 8T~
=
S~ 0~..
(11)
Schreibt man die Fourierzerlegung einer der d'Alembertschen Gleichung geniigenden Feldgr6sse in der Form = ~_/d~l
d~2 d~a [(I)(~)
ei~t*xt* + ~+ (~) e--'~t.x~],
(12)
wo hE den Impuls des Photons, 2rch die Plancksche Konstante und ~ = i~ = i x/~,,~, bedeutet, so bekommt man die folgenden Ausdriicke fiir die elektromagnetischen Grundbeziehungen in Fourierkomponenten %.(g) = i [~. , . ( ~ ) - ~. %(~)]. (1.1)
• ~p %.(~) + ~..,,p(~) + ~. %/~)
~.%.(~) =
i
= o,
(s.1)
0,
(3.1)
~ O,(g) = O,
(4.1)
S~ ¢t,(g) = 0,
(9.1)
S~, ~t, 0,(I~)
=
S~ O~,,(g).
(1 I.I)
Will man die Vertauschungsrelationen (V.-R.) fiir die Amplituden des Photonenfeldes aufstellen, so muss man vor allem die Feldenergie = .4_fdx, dx2 dx3(H 2 + E 2) (13) durch die unabh~ngigen Amplituden ausdrticken. Setzt man in (13) die Fourierzerlegung fiir das Viererpotential ein, so erh~lt man nach Vernachl~ssigung der Nullpunktsenergie
M/" = 2 [d~, d~2 d~3 ~20#-(g) O~(~).
(14)
Da die vier Komponenten O~,(~) den zwei Nebenbedingungen unterliegen, so daft man yon ihnen nur zwei als unabh~ingige wiihlen, z.B. (Ih(~) und (I)2(g), die dann gerade die zwei verschiedenen Polarisationszust~nde des Photons charakterisieren werden. Aus (4.1) und (9.1) findet man
(I)3(~) -- S4~ (1)~(~) Sa4
'
(1)4(I~)-- s~,~(~) S,s
(15) '
(~ = 1,2) Physica V
51
800
A. S O K O L O W
WO
Setzt man (15) in(14) ein, so bekommt man den Ausdruck der Hamfltonftmktion W durch die unabNingigen Amplituden
334 s,3
~ (~) ~(~) (17)
(~, a' -~ 1,2) Die V.-R. der zwei tmabh~ngigen Amplituden findet man aus den Bewegungsgleichungen, ffir die zwei anderen aber muss man dazu'noch die Formeln (15) in Betracht ziehen. Auf diese Weise erh~ilt man
[~,(~). ~.~(~')] = 6h
=*~(~) °;'(~')--*;'(~') ~(~)= ~-
"(~.
2s.~&.,_~ ~(~,_~), (18) s,~ s o, /
wobei aus (16) fo]gt
S,pSp. = 2Sp S. ~p ~., S~.S.~a=S.~.(S~w H- S ~ , ~ ) - - S . S . ~ . , .
(19)
Die V.-R. ffir die Tensorkomponenten
[o~..(~), *~,~,(~ + ')] = ch = ~ ( G . ~ , ~,-, +
~.~,, ~.~,-- ~. ~., ~.~--~. ~ G,) ~(~'--~). (2o)
die man mittels (1.1) und (18) ableiten kann, hiLngen nicht, wie zu erwarten war, yon der Richtung des Vektors (S~), d.h. yon der Wahl der Eichung ffir die Potentiale, ab. Nimmt man insbesondere, ffir den Fall des Photonenfeldes, d.h. wenn ~4 = 0, die Richtung des Eichvektors parallel der Zeitachse an (vgl. (10)), so erhiilt man statt (18) die einfachere V.-R.
[~.(~), ,+(~,)]
= ~ch. (~..,
~..~~..,)~(~'--~),
(21)
aus der man sowohl die Breitsche Formel ffir die Wechselwirkung zweier Ladungen ~), als auch den Einsteinschen Koeffizient der spontanen Ausstrahlung bekommen kann 2). Weiter werden wir auch die Ausdrticke der Alnplituden (I)(~) u n d (I)+(~) durch die primiire Funktion (I) brauchen.
ZUR
MoGLICHKEIT
EINER
NEUTRINOTHEORIE
DES LICHTES
801
t
Aus (12) hat man
2(~)',,lf 0+(~) = 2(2=)'/'
( ¢,i°*~, dx, dx 2 dx3 eel,'%, #P + i
(22)
8a9~ ax4]"
2. Quantelung des Neutrino/eldes. Die Quantelung des Neutrinofeldes war schon frfiher von uns 3, 4) untersucht. Hier wollen wit einige zus~tzliche Betrachtungen aufstellen, die wir sp~tter bei der Analyse des Zusammenhanges des Neutrinofeldes mit dem elektromagnetischen Feld brauchen werden. N i m m t man die Matrizen der Diracgleichung in der relativistisch. symmetrischen F o r m an
(23)
o~" = i o ¢ . und o~4 = ~o, wo
(X0
:
(oo %
(o ..],
o"o
=c\ 0 -oo0 oo:(o ) - ~0i •
P3
/ o i,,o ~l
/o ,,o~,
,~,,,o, P'=~,,,oO] P==~,-i,,oO)' /
0'.n : 1
1
0i
10
(24)
und setzt fiir den Vierervektor des Impulses
hk~ = hk,, ihK = ih x/k,k,, + x 2,
(25)
wobei x = ~c/h und ~ = Neutrinomasse, die spitter gleich Null gesetzt wird, so kann man die Diracgleichung und die Fourierzerlegung tier Wellenfunktion des Neutrinos in der folgenden F o r m schreiben 2) 4)
(~
ax~ -- P3 ×) + = 0
(26)
und I
)
/"
++ - (2~j-~ ~/dk, dk2dk~Ea+(k)
+
c(k)
eik~zF],
J
A. SOKOLOW
802
",)
wobei
a+ __. (a¢ a t ~+ at), a----
• c=
,
(c, c= c3 c4),
/c,+\ C+
\~+/
a,
a 1 ~- - - y(k,2 A s + k 3 A,),
c, = T(K + ×) C,,
a2 : - - - T ( k * 2 A , - - k3 A2),
c2 = T(K + ×) C2,
a3 = y(K + x) A,,
C3 =
- - - 1 , ( k ' 2 C 2 -~- k3C,) ,
a4 = ¥(K + ×) A2,
C4 :
--y(k,2 Cl--k
1
k12=kl+ik2,
N-----v/(K+×)2+k 2'
(28)
3C2),
k2 = k , , k . .
Die Hamilton-Funktion und Gesamtla~dung werden in diesem Falle durch die folgenden Ausdrticke gegeben: ~x, - - p a ×
~b=
#
= hc/dk, dk2 dk3 K(A+(k)
A,(k) - - Co.(k) C+(k)), (29)
=[dxl dx2 dx3 +++ --_ ,d
z ~
=/dk, dk2dk3(A+(k)Ao.(k) +
Co-(k) C+(k)).
(30)
¢,/
(o = 1,2) Aus (29) erh~lt m a n die folgenden V.-R. A+(k ') Ao.(k) + Ao.(k) A+(k ') = 8o.o.,8 ( k ' - - k ) , C+(k ') Co.(k) + Co.(k) C+(k ') = ~o.o.,8(k' - - k). (31) Alle anderen Amplituden sind vertauschbar. Nach Formel (31) mtissen wir die GrSssen A+(k) A,(k) = Y,,(k), Cl+(k) C,(k) = Nlc(k ) usw. (32) als Anzahl der Neutrinos bzw. Antineutrinos im Zustand k ansehen. Setzt m a n jetzt die Werte (31) in (29) und (30) ein, so findet man
= hcfdk, d~ dk3 g _]
Z (Yo.~(k) + Yo.c(k) - - ~(0)), o.=l,2
f,
=./d&
dk~ d& o~:=,(No.,,(k) -- NMk) + ~(0)),
(33)
ZUR MOGLICHKEIT
EINER
NEUTRINOTHEORIE
DES LICHTES
803
¢
d.h. die Neutrinos u n d Antineutrinos haben eine immer positive Energie und entgegengesetzte Ladungen; hierbei muss m a n natfirlich die Frage der Nullpunktsenergie und Nullpunktsladung noch nachtfiiglich erledigen. Wir werden sp~iterhin noch die V.-R. zwischen Fourieramplituden 6p, % brauchen, woffir m a n aus (28) nur die folgende von Null verschiedenen antikommutierenden Kombinationen erh/ilt: a~.(k') a,(k) + ap(k) a~(k') = a..p(k) 8 ( k ' - - k ) . c~.(k') %(k) + %(k) c~.(k') = %,.(k) 8 ( k ' - - k ) .
(34)
wobei ftir x = 0 6p,p(k) = cp,p(k), 612 =
613 =
(35)
621 =
634 ~
643 ~
0
611 ~--- 622 ~
6/33 ~
644 ~
½
331 ~
--624
=
--642
=
k3 2k
(36)
~ - -
k* 614 =
632 =
641 ~
323 =
2k
hi2 2k
"
Setzt m a n die Zeflegungen (27) flit ~b+ und ~b in die Kontinuitiitsgleichung ax~ ~1+ ~a~ + = 0
.
(37)
ein, wo ~ eine beliebige Diracmatrix bedeutet, so b e k o m m t m a n die folgende Relationen zwischen den Amplituden
(k.--l~,)a + ( k ) ~ a ( 1 ) = 0 (k~ + Z~,)a+ (k)~0#c+(l) = 0 usw.
/
J
(38)
Dariiber hinaus ist leicht zu beweisen, dass
a+(k)
P,~+I6(1) = 0
a+(k) Po+1 c+(1) = 0 ~=
usw.
(39)
1,2
sind, wenn wir die folgende Beziehungen haben x = 0 und k I =
Il
(k I =
k/k).
(40)
804
A. S O K O L O W
Bei der AufsteUung der V.-R. ftir die Amplituden des Photonenfeldes wird man auch die folgenden Ausdrticke brauchen B = ap,~p(k)cp~,p,(l),
(41)
wo ~ und 7 die Diracmatrizen sind, und die Bedeutung der Koeffizienten ap,p und cpp, durch die Formeln (36) definiert ist. Speziell flit x = 0 wird die Summe auf der rechten Seite der Gleichung (41), wie es aus (36) folgt, nur von den Richtungen der Vektoren k und 1 abhitngen. Werden also k und 1 parallel (vgl. die Bedingung (40)), so darf man setzen ap,/3p(ki) cprp,(kl) = B(k'l~7).
(42)
Bekalmtlich kann man die 16 Diracmatrizen, die fibrigens eine Gruppe bilden, folgendermassen einteilen 5) a~=i~.,~o; ~= Pla~';} (43) [~ = - - ~2 ~ ; 7~ = P3 a~, wobei die Matrizen ao, ~. und P3 durch die Formeln (24) bestimmt sind. Die Matrizen 74 = Pa und [~4 = - - P 2 kann man als einen Skalar und Pseudoskalar auffassen, a~ und a~ bilden einen Vierervektor bzw. Pseudo-Vierervektor, die [~" und y" bilden einen antisymrnetrischen Tensor zweiten Ranges
(44)
T/~v ~--- itx/~ P3 0~v
oder dazu dualen Tensor "r*/zv ~
--
(4s)
ct/~ P2 tXv,
wobei i71 iy 2 i73/
=
\T41 T 42 T 43] :
\T*23 T*31 T*I2] "
(46)
Die letzte Relation litsst sich leicht verifizieren, wenn man sich der Bedeutung von ~2 ~- - - ip3 0¢10~20¢3 ¢X4 (47) erinnert. Setzt man in (42) der Reihe nach verschiedene Diracmatrizen an der Stelle yon ~ und y, so erh~tlt man die nichtverschwindende Werte des Koeffizienten B nut in folgenden FAllen B(k 1~ ,tv) = B(k I a~ a v) =
2k~, k~ k2
(48)
ZUR MOGLICHKEIT EINER NEUTRINOTHEORIE DES LICHTES
~0~
B(k 1~'~ ~'v') _-- 2 (k~,kv) 8,,, +kv kv, 8~,w--k~,k~, 8~,--k~ ku, 8u~,) ; (49) alle andere Kombinationen der Matrizen ~ und T ergeben fiir B den Wert Null. Im Folgenden werden wit ausser +-Funktionen auch Wellenfunktionen ~o einer anderen Art brauchen, die folgendermassen definiert sind
s.
ox~
S~, a~°+ =++.
1
(50)
Mittels der Zerlegungen v o n + + und + aus (27) finden wir dafiir
i
--
q~+
(2~)'~, j -
"i
/'dk, d _dk s+, k~
[~(k) ~"+"+'-- ~+(k)~-"~',,],
f dk, dk2_dk, s,k, E~+(k) e-~', - , -
(2=) ~.J
c (k) e", -,] .
]
"
i (51)
3. Zuri~ck]i~hrung des elektromagnetischen Feldes au] das Neu= trino]eld. Nach der Jordan-Kronigschen Hypothese 6)7) mfissen wit die Ausstrahlung eines Photons entweder als die Ausstrahlung zweier ,,koh~irenter", d.h. in der Richtung des Photons fliegenden Elementarpartikeln (Neutrino und Antineutrino) ansehen, oder als Ramaneffekt der Neutrino oder Antineutrino ohne Richtungsiinderung *). Um dieser Forderung genfigen kSnnen, ftihren wit die folgenden HilfsgeorSsse ein, die wir spiiter mit dem electromagnetischen Field identifizieren werden a) 9) ~p = i(2~) '/' S~ 2
lim ¢Sp [~-1 ~0+ ~0 =
OXv l.v-->O
hu ,Sp f f dkldk#k#l~dl2dl3 [ a +(k)pa(1)e---~*#~,-'~)--c(k)~c +(1)e'*~,(h~--'~)S~,(lvp__kv,)+ i~-..->o
+ a + (k) lSc+ (1)e-'~*,(tt~+kt~!- - c(k) [3a(1)ei*#*t~+P'v-)
(S2)
w o ¢ = [~'v/c~/4~hund ~ eine der Diracmatrizen bedeuten. N u n ersieht m a n aus (52), dass die Z~hler und Nenner beide *) Die Untersuchung der Theorie von Jordan und Kronig wurde yon Pryce ~) durchge= f~hrt.
806
A. SOKOLOW
bei ~-+ 0 verschwinden; hierbei verschwindet der Nenner gerade in dem Falle, wo die Argumente zweier Amplituden, die im gleichen Produkt nebeneinander stehen, ein und derselben Richtung entsprechen. Die Unbestimmtheit 0/0 kann mittels V.-R. behoben werden, u n d e s ergibt sich ein endliches Resultat. Wit gelangen also zur ,,kohiirenten" Ausstrahlung als Folge der Bedingung, dass bei verschwindendem F (Masse des Neutrinos) und bei verschwindendem * (der GrSsse, die wir als ,,Ladung" des Neutrino ansehen woUen) das Verhiiltnis dieser beiden Gr0ssen konstant bleibt. Mit Hilfe yon (22) kSnnen wir auch die Fourieramplituden der durch die Amplituden des Neutrinofeldes ausdriicken
~,~x-- i~4Sp limcfdk dk2dk ~ a+(k)~a (k + ~) + c(k + ~) ~c+(k) '
3lk(k+
c(~-- k) ~a(k) -) u.s.w. + k(k--~) [ V ( ~ - k7 + ×5 + Vk~ + × ~ _ ~l
+
(53)
Daraus erh~ilt man V.-R. ffir die Amplituden 4)
ch ~2,SpSp, [pp(Ej), y~ (1~')] = 4~ S,, E,,,S,,, ~,,, B(I~, ~y) (~(~' -- ~)(~g,l~ "
(54)
[P,(~). ~',.(~')] = [P+(~). 'r~.(~')] = o,
wobei ~g,g' = tim n /
dcok
,,-.o-4-~= (V1 + n - - ~ .
k,) (x/1 + n--~'~, k~) '
n = x2/k2 und dcoh das Element des Raumwinkels bedeutet. Da wir noch die folgende Beziehung
.
.(1
1
)=, (ss,
haben, so kSnnen wir annehmen, class ~,~' ~(~' -- ~;) = ~(~' -- ~). (56) Mittels Diracmatrizen kann man den schiefsymetrischen Tensor zweiten Ranges bilden ,) *
= i~
%
~,
(57)
B
start dessen man auch den dualen Tensor gebrauchen kann
¢~. = ; axp -*~ v
-
-
"~p
.
(58)
ZUR'MOGLICHKEIT E I N E R NEI[ITRINOTHEORIE DES LICHTES
807
•Weiter miissen wir auch zwei skalare Funktionen bilden ¢'
(59)
=
und ¢2_
.~.
(60)
Die V.-R. fiir die soeben gebildeten Gr/Sssen h/ingen, wie man aus (48), (49) und (54) schliessen kann, nicht ab von dem Vektor (Sp) ch
ch
[Co(g), ¢o,+(g,)] = ~ ~o,, 8(g' - - g).
(62)
Man verifiziert nun mit Hilfe von (38) und (39), dass die Tensorkomponenten O~,v und O*,, den Maxwellschen Gleichungen ge-. niigen, dabei erh/ilt man auch das verschwindende Resultat Itir die Diagonalglieder, d.h. O l l ~--- O~i = .0 U.S.W. (63) Auf Grund der erhaltenen Resultate kSnnen wir jetzt diese schiefsymmetrischen Tensoren mit den elektromagnetischen Tensoren (2) und (6) identifizieren. Die Komponenten des Vektorpotentials bestimmen wir aus (11) und (57) O~ ~- i~". (64) Dieser Ausdruck n i m m t die einfachere Form an 0 . = Yo",
(65)
04 = O,
wenn man den ,,Eichvektor" (S~) parallel der Zeitachse setzt. Dabei ist ftir diesen Fall Y~ = ~,-+olim
.ffdk,
dk2 dk3 dl~ d12 dl3 e ~ c k - ~ l " "¢8 (kl)
y~ (kl) = - - 1 [ a + (k )y"a(l)e~(K--L)t--c(--k)y"c + (--1)e "--'icIK-L)t
L
+
[-~--)~)2~~
(66)
(L--K) +
a + (k) y" c + (--1) ei°cIc+L)'- - c(-- k)y" a(1) e-i~IK+LI` ] (K + L) 2 - ( k - 1)2 (L + K).. (67)
Es scheint nun nattirlich, die beiden skalaren Funktionen (59) und (60) mit der longitudinalen Komponente des elektromagnetischen Feldes, die zur Coulombwechselwirkung Anlass gibt, zu verkniipfen.
808
A. SOKOLOW
4. Die Breitsche Formel und der Einsteinsche Ausstrahlungkoe/[izient. Wit erhalten die Breitsche Formel als Resultat der Wechselwirkungsiibertragung der Neutrinos und Antineutrinos bei der Zugrundelegung des folgenden Wechselwirkungsgesetzes zwischen der ladung e mit dem Neutrinofeld. U=
eX~,((I)~,+ S~(I)------~I),
(68)
wo cX~,----cX,,, iCXo die Komponenten der Vierergeschwindigkeit des Elektrons bedeuten. Aus der Formel (68) sehen wir, dass im Gegensatz zum Vektorpotential des Photonenfeldes (I)~, das nach (9) orthogonal zum ,,Eichvektor" steht, die longitudinale Komponente des elektromagnetischen Feldes ¢IS~IS parallel zum Vektor (~5~) gerichtet ist. Wenn das skalare Potential des Photonenfeldes nicht vorhanden ist, ¢4 = 0, muss m a n nach (10) ffir den ,,Eichvektor" die Richtung der Zeitachse w~ihlen. Dann n i m m t der Ausdruck (68) die einfachere Gestalt an U = e(),. (I),, + i k o ~ l ) .
(69)
Setzen wir hier die Werte der Komponenten des Potentials
* . = v~ ] ~1= SoL /
(70)
~r = e(x.v~ + CXov~).
(71)
so bekommen wir
Dann gibt uns die gewShnliche StSrungstheorie den folgenden Ausdruck der gegenseitigen Wechselwirkungsenergie der zwei Electronen: #"e'2' lim ×2ff dkldk2dk3dl'dl2dl3(K + L)cos (k + 1 ) . x v -
16~----:K.-+o j j
KSL~[(K + L) 5 - - (k + 1)515
• {X(J)~,(02)a,,,(k)cop,(l) __ ~1);q~)ap,~,,p(k)%wp,(l)} ' wo (1) und (2) die beide Ladungen numerieren uncl x ~--~x (l) - - x
(2).
(72)
ZUR MOGLICHKEIT E I N E R NEUTRINOTHEORIE DES LICHTES
809
¢
Dieses Resultat kann man in der Form oo
V--
e(X)e(2) £d f dkldk2dk3
l~-~3J
lJ - ~ ( - ~ ~ cos(k + l)kl.X[X~o')X(o2)B(k,%~o)--
o
- - Xl,l) ~31B(k xy" ¥'")]
(73)
schreiben, indem man die folgende Formel
=fa oo
lim x 2 ; dt,dl2dlJ(l) = ~,-->0 j [(K + L)-" - - (k + l)2J 2
Z~/(Zk,) (k + / ) 2
(74)
0
zu Hilfe nimmt. Ffihrt man die neue Variable kn
~,, = (k + l) -~- und v = k - - l
(75)
ein, so findet man nach einer Integration nach v und ~. die geforderte Breitsche Formel
V- g(1)4~ e(2)
x(°l) x(°21- - ½
(;~1) X~2) +
x2
.
(76)
Die Wechselwirkungsenergie (7 l) ffihrt auch zum folgendem Ausdruck ffir die spontane Wahrscheinlichkeit der Dipol-Ausstraklung eines Paares Neutrino und Antineutrino (d.h. Photon) durch eine Ladung bei dem fibergang aus einem energetischen Zustand (E,, ~F~) in einen anderen (Ep~d~)2).
A = -~-~
dk~ dk2 dka dlx dl2 dla H2(ld) 8(~,,p- K - - L)., (77)
wo
e2~? /'? ,,,~ y3'(l'k') ~'P y3(kl) • H2(kl) --~ lim/-75-LY5_~3 I I dkt' dk2' dka" dll" dl~ dl; ~"P ~.->o (z~) d d
E . , - Ep ~"P ----
hc
"
~? =
f d-¢~ X,, ~F,., t
wo die Integration nach den Koordinaten der ausstrahlenden Ladungen auszuffihren ist. Da die Anfangsanzahl der Neutrinos und Antineutrinos gleich Null ist, so haben wir nach einigen Umformungen A =
e2 [d~ld~2d~a
8=2h j
~3
(x"*×g)28(~,.p--~) •
(78)
I0
ZUR MOGLICHKEIT EINER NEUTRINOTHEORIE DES LICHTES
Daraus erh~ilt man nach der Integration mittels Polarkoordinaten den b e k a n n t e n Ausdruck des Einsteinschen Ausstrahlungskoeffizienten. A =
e2(X~)2 ~mp 3~h
(79)
Der Verfasser verdankt Prof. D. I w a n e n k o manche kritische Diskussionen tiber das Thema. Eingegangen a m 13. Juli 1938.
LITERATURVERZEICHNIS I) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
K. N i k o l s k y , Phys. Z. Sowjet. 2, 447. 1932. A. S o k o l o w , Phys. Z. Sowjet. 12, 472, 1937. A. S o k .o I o w, Phys. Z. Sowjet. 12, 148, 1937, vgl. auch Nature, 139, I071, 1937. A. S o k o I o w, Phys. Z. Sowjet. 13, 36, 1938, vgl. auch Nature, 140, 810, 1937. J. v. N e u m a n n , Z. Phys. 48, 868, 1928. P. J o r d a n und R. d e L. K r o n i g , Z. Phys. 100, 569, 1936. R.. d e L. K r o n i g , Physica, 3, If20, 1936. M. H . L . P r y c e, Proc. roy. Soc. (A), 165, 247, 1938, vgl. auch Nature, 141,976, 1938. A. S o k o l o w , Nature, 141, 976, 1938.
V, n o 9
October
1938
ZUR M O G L I C H K E I T E I N E R N E U T R I N O T H E O R I E DES LICHTES yon A. SOKOLOW Physical Technical Institute, T o m s k
Es werden die Relationen zwischen den Komponenten des gesamten elektromagnetischen Feldes und des Neutrinofeldes in relativistisch invarianter Form aufgestellt und die Wechselwirkung zwischen den Ladungen sowie die Ausstrahlung des Lichtes. als Folge reiner Neutrinoprozesse betrachtet.
1. Quantelung des Photonen]ddes. Bekanntlich kazan man die Komponenten des elektromagetischen Tensors (*~,~), welche das Feld beschreibt, durch das skalare - - (*0) und das Vektorpotential (*,) folgendermassen ausdrficken *)
ao~
~%,
O ~ - ax~
~x~'
(1)
wo x4-----ict, "4 = iaPo, und die elektrische (E) und magnetische (H) Feldstiirke durch die folgenden TensorkomponenteI1 gegeben sind
iE1 iE2 iEa
~41 ~42 ~4a ]"
Dann bekommt man die erste Gruppe der M a x w e 1 l'schen Gleichungen fiir das Vakuum
~o~ _ o,
(3)
nut unter der Nebenbedingung
a,~ _ 0, ax~
(4)
*) Lateinische Buchstaben laufen yon 1 bis 3, griechische bis 4; ausserdem ist ~ n u r zweier Werte flihig.
797 Physica V
51"
798
A. SOKOLOW
der das Viererpotential geniigen muss; die zweite Gruppe aber
a¢~,,, axp + ~a¢~p + aCp~, ax--~-_- 0
(5)
wird dabei identisch befriecligt. Ffihrt man eiuen zu (era) ,,dualen" schiefsymmetrischen Tensor (,¢*~) ein nach dem Schema
( H1H2 H3 ~ = iE i i E 2 iEs)
(¢41* ¢42* 043* ) . 03!. ¢12. \ ¢23
,
(6)
so schreibt man die zweite Oruppe der Maxwellgleichungen folgendermassen u m a ¢ ~ = O.
(7)
Es ist ldar, dass das elektromagnetische Feld prim~ir dutch den Sechservektor E. und H . charakterisiert wird; die Potentiale erscheinen erst bei der Einffihrung der Weehselwirkung mit .den Ladungen. Da die Potentiale sich dutch das Feld nicht eindeutig bestimmen lassen, so ist es iiblich fiir das reine Photonenfeld die Nebenbedingung ¢~ = 0 (8) einfiihren, die zwar nicht relativistisch invariant ist, jedoch sich mittels entsprechender Eichtransformationen fiir jedes beliebige Koordinatensystem erfiillen l~isst. Man karm auch statt (8) eine relativistisch invariante Nebenbedingung S~ 0 ~ = 0 (9) einfiihren, wo (S~) einen willkfirlichen aber konstanten Hilfsvektor . . r. . ) bedeutet, dessert L~nge S = V ~ S ~ von Null (,,Eich ve k m verschieden ist. Es ist leicht einzusehen, dass die Wahl der willkiirlichen Richtung des ,,Eichvektors" (S~) einer bestimmten Eichung der Potentiale ~quivalent ist. Insbesondere erh~lt man die Bedingung (8), wenn man den Vektor (S~) parallel der Zeitachse setzt, d.h. S 1 = S 2 = S 3 = 0,
S4 = S.
0o)
ZUR MOGLICHKEIT EINER NEUTRINOTHEORIE DES LICHTES
799
I
Berticksichtigt man die Nebenbedingungen (4) und (9), so kann man jetzt die Potentiale dutch das Feld eifldeutig bestimmen
S~ 8T~
=
S~ 0~..
(11)
Schreibt man die Fourierzerlegung einer der d'Alembertschen Gleichung geniigenden Feldgr6sse in der Form = ~_/d~l
d~2 d~a [(I)(~)
ei~t*xt* + ~+ (~) e--'~t.x~],
(12)
wo hE den Impuls des Photons, 2rch die Plancksche Konstante und ~ = i~ = i x/~,,~, bedeutet, so bekommt man die folgenden Ausdriicke fiir die elektromagnetischen Grundbeziehungen in Fourierkomponenten %.(g) = i [~. , . ( ~ ) - ~. %(~)]. (1.1)
• ~p %.(~) + ~..,,p(~) + ~. %/~)
~.%.(~) =
i
= o,
(s.1)
0,
(3.1)
~ O,(g) = O,
(4.1)
S~ ¢t,(g) = 0,
(9.1)
S~, ~t, 0,(I~)
=
S~ O~,,(g).
(1 I.I)
Will man die Vertauschungsrelationen (V.-R.) fiir die Amplituden des Photonenfeldes aufstellen, so muss man vor allem die Feldenergie = .4_fdx, dx2 dx3(H 2 + E 2) (13) durch die unabh~ngigen Amplituden ausdrticken. Setzt man in (13) die Fourierzerlegung fiir das Viererpotential ein, so erh~lt man nach Vernachl~ssigung der Nullpunktsenergie
M/" = 2 [d~, d~2 d~3 ~20#-(g) O~(~).
(14)
Da die vier Komponenten O~,(~) den zwei Nebenbedingungen unterliegen, so daft man yon ihnen nur zwei als unabh~ingige wiihlen, z.B. (Ih(~) und (I)2(g), die dann gerade die zwei verschiedenen Polarisationszust~nde des Photons charakterisieren werden. Aus (4.1) und (9.1) findet man
(I)3(~) -- S4~ (1)~(~) Sa4
'
(1)4(I~)-- s~,~(~) S,s
(15) '
(~ = 1,2) Physica V
51
800
A. S O K O L O W
WO
Setzt man (15) in(14) ein, so bekommt man den Ausdruck der Hamfltonftmktion W durch die unabNingigen Amplituden
334 s,3
~ (~) ~(~) (17)
(~, a' -~ 1,2) Die V.-R. der zwei tmabh~ngigen Amplituden findet man aus den Bewegungsgleichungen, ffir die zwei anderen aber muss man dazu'noch die Formeln (15) in Betracht ziehen. Auf diese Weise erh~ilt man
[~,(~). ~.~(~')] = 6h
=*~(~) °;'(~')--*;'(~') ~(~)= ~-
"(~.
2s.~&.,_~ ~(~,_~), (18) s,~ s o, /
wobei aus (16) fo]gt
S,pSp. = 2Sp S. ~p ~., S~.S.~a=S.~.(S~w H- S ~ , ~ ) - - S . S . ~ . , .
(19)
Die V.-R. ffir die Tensorkomponenten
[o~..(~), *~,~,(~ + ')] = ch = ~ ( G . ~ , ~,-, +
~.~,, ~.~,-- ~. ~., ~.~--~. ~ G,) ~(~'--~). (2o)
die man mittels (1.1) und (18) ableiten kann, hiLngen nicht, wie zu erwarten war, yon der Richtung des Vektors (S~), d.h. yon der Wahl der Eichung ffir die Potentiale, ab. Nimmt man insbesondere, ffir den Fall des Photonenfeldes, d.h. wenn ~4 = 0, die Richtung des Eichvektors parallel der Zeitachse an (vgl. (10)), so erhiilt man statt (18) die einfachere V.-R.
[~.(~), ,+(~,)]
= ~ch. (~..,
~..~~..,)~(~'--~),
(21)
aus der man sowohl die Breitsche Formel ffir die Wechselwirkung zweier Ladungen ~), als auch den Einsteinschen Koeffizient der spontanen Ausstrahlung bekommen kann 2). Weiter werden wir auch die Ausdrticke der Alnplituden (I)(~) u n d (I)+(~) durch die primiire Funktion (I) brauchen.
ZUR
MoGLICHKEIT
EINER
NEUTRINOTHEORIE
DES LICHTES
801
t
Aus (12) hat man
2(~)',,lf 0+(~) = 2(2=)'/'
( ¢,i°*~, dx, dx 2 dx3 eel,'%, #P + i
(22)
8a9~ ax4]"
2. Quantelung des Neutrino/eldes. Die Quantelung des Neutrinofeldes war schon frfiher von uns 3, 4) untersucht. Hier wollen wit einige zus~tzliche Betrachtungen aufstellen, die wir sp~tter bei der Analyse des Zusammenhanges des Neutrinofeldes mit dem elektromagnetischen Feld brauchen werden. N i m m t man die Matrizen der Diracgleichung in der relativistisch. symmetrischen F o r m an
(23)
o~" = i o ¢ . und o~4 = ~o, wo
(X0
:
(oo %
(o ..],
o"o
=c\ 0 -oo0 oo:(o ) - ~0i •
P3
/ o i,,o ~l
/o ,,o~,
,~,,,o, P'=~,,,oO] P==~,-i,,oO)' /
0'.n : 1
1
0i
10
(24)
und setzt fiir den Vierervektor des Impulses
hk~ = hk,, ihK = ih x/k,k,, + x 2,
(25)
wobei x = ~c/h und ~ = Neutrinomasse, die spitter gleich Null gesetzt wird, so kann man die Diracgleichung und die Fourierzerlegung tier Wellenfunktion des Neutrinos in der folgenden F o r m schreiben 2) 4)
(~
ax~ -- P3 ×) + = 0
(26)
und I
)
/"
++ - (2~j-~ ~/dk, dk2dk~Ea+(k)
+
c(k)
eik~zF],
J
A. SOKOLOW
802
",)
wobei
a+ __. (a¢ a t ~+ at), a----
• c=
,
(c, c= c3 c4),
/c,+\ C+
\~+/
a,
a 1 ~- - - y(k,2 A s + k 3 A,),
c, = T(K + ×) C,,
a2 : - - - T ( k * 2 A , - - k3 A2),
c2 = T(K + ×) C2,
a3 = y(K + x) A,,
C3 =
- - - 1 , ( k ' 2 C 2 -~- k3C,) ,
a4 = ¥(K + ×) A2,
C4 :
--y(k,2 Cl--k
1
k12=kl+ik2,
N-----v/(K+×)2+k 2'
(28)
3C2),
k2 = k , , k . .
Die Hamilton-Funktion und Gesamtla~dung werden in diesem Falle durch die folgenden Ausdrticke gegeben: ~x, - - p a ×
~b=
#
= hc/dk, dk2 dk3 K(A+(k)
A,(k) - - Co.(k) C+(k)), (29)
=[dxl dx2 dx3 +++ --_ ,d
z ~
=/dk, dk2dk3(A+(k)Ao.(k) +
Co-(k) C+(k)).
(30)
¢,/
(o = 1,2) Aus (29) erh~lt m a n die folgenden V.-R. A+(k ') Ao.(k) + Ao.(k) A+(k ') = 8o.o.,8 ( k ' - - k ) , C+(k ') Co.(k) + Co.(k) C+(k ') = ~o.o.,8(k' - - k). (31) Alle anderen Amplituden sind vertauschbar. Nach Formel (31) mtissen wir die GrSssen A+(k) A,(k) = Y,,(k), Cl+(k) C,(k) = Nlc(k ) usw. (32) als Anzahl der Neutrinos bzw. Antineutrinos im Zustand k ansehen. Setzt m a n jetzt die Werte (31) in (29) und (30) ein, so findet man
= hcfdk, d~ dk3 g _]
Z (Yo.~(k) + Yo.c(k) - - ~(0)), o.=l,2
f,
=./d&
dk~ d& o~:=,(No.,,(k) -- NMk) + ~(0)),
(33)
ZUR MOGLICHKEIT
EINER
NEUTRINOTHEORIE
DES LICHTES
803
¢
d.h. die Neutrinos u n d Antineutrinos haben eine immer positive Energie und entgegengesetzte Ladungen; hierbei muss m a n natfirlich die Frage der Nullpunktsenergie und Nullpunktsladung noch nachtfiiglich erledigen. Wir werden sp~iterhin noch die V.-R. zwischen Fourieramplituden 6p, % brauchen, woffir m a n aus (28) nur die folgende von Null verschiedenen antikommutierenden Kombinationen erh/ilt: a~.(k') a,(k) + ap(k) a~(k') = a..p(k) 8 ( k ' - - k ) . c~.(k') %(k) + %(k) c~.(k') = %,.(k) 8 ( k ' - - k ) .
(34)
wobei ftir x = 0 6p,p(k) = cp,p(k), 612 =
613 =
(35)
621 =
634 ~
643 ~
0
611 ~--- 622 ~
6/33 ~
644 ~
½
331 ~
--624
=
--642
=
k3 2k
(36)
~ - -
k* 614 =
632 =
641 ~
323 =
2k
hi2 2k
"
Setzt m a n die Zeflegungen (27) flit ~b+ und ~b in die Kontinuitiitsgleichung ax~ ~1+ ~a~ + = 0
.
(37)
ein, wo ~ eine beliebige Diracmatrix bedeutet, so b e k o m m t m a n die folgende Relationen zwischen den Amplituden
(k.--l~,)a + ( k ) ~ a ( 1 ) = 0 (k~ + Z~,)a+ (k)~0#c+(l) = 0 usw.
/
J
(38)
Dariiber hinaus ist leicht zu beweisen, dass
a+(k)
P,~+I6(1) = 0
a+(k) Po+1 c+(1) = 0 ~=
usw.
(39)
1,2
sind, wenn wir die folgende Beziehungen haben x = 0 und k I =
Il
(k I =
k/k).
(40)
804
A. S O K O L O W
Bei der AufsteUung der V.-R. ftir die Amplituden des Photonenfeldes wird man auch die folgenden Ausdrticke brauchen B = ap,~p(k)cp~,p,(l),
(41)
wo ~ und 7 die Diracmatrizen sind, und die Bedeutung der Koeffizienten ap,p und cpp, durch die Formeln (36) definiert ist. Speziell flit x = 0 wird die Summe auf der rechten Seite der Gleichung (41), wie es aus (36) folgt, nur von den Richtungen der Vektoren k und 1 abhitngen. Werden also k und 1 parallel (vgl. die Bedingung (40)), so darf man setzen ap,/3p(ki) cprp,(kl) = B(k'l~7).
(42)
Bekalmtlich kann man die 16 Diracmatrizen, die fibrigens eine Gruppe bilden, folgendermassen einteilen 5) a~=i~.,~o; ~= Pla~';} (43) [~ = - - ~2 ~ ; 7~ = P3 a~, wobei die Matrizen ao, ~. und P3 durch die Formeln (24) bestimmt sind. Die Matrizen 74 = Pa und [~4 = - - P 2 kann man als einen Skalar und Pseudoskalar auffassen, a~ und a~ bilden einen Vierervektor bzw. Pseudo-Vierervektor, die [~" und y" bilden einen antisymrnetrischen Tensor zweiten Ranges
(44)
T/~v ~--- itx/~ P3 0~v
oder dazu dualen Tensor "r*/zv ~
--
(4s)
ct/~ P2 tXv,
wobei i71 iy 2 i73/
=
\T41 T 42 T 43] :
\T*23 T*31 T*I2] "
(46)
Die letzte Relation litsst sich leicht verifizieren, wenn man sich der Bedeutung von ~2 ~- - - ip3 0¢10~20¢3 ¢X4 (47) erinnert. Setzt man in (42) der Reihe nach verschiedene Diracmatrizen an der Stelle yon ~ und y, so erh~tlt man die nichtverschwindende Werte des Koeffizienten B nut in folgenden FAllen B(k 1~ ,tv) = B(k I a~ a v) =
2k~, k~ k2
(48)
ZUR MOGLICHKEIT EINER NEUTRINOTHEORIE DES LICHTES
~0~
B(k 1~'~ ~'v') _-- 2 (k~,kv) 8,,, +kv kv, 8~,w--k~,k~, 8~,--k~ ku, 8u~,) ; (49) alle andere Kombinationen der Matrizen ~ und T ergeben fiir B den Wert Null. Im Folgenden werden wit ausser +-Funktionen auch Wellenfunktionen ~o einer anderen Art brauchen, die folgendermassen definiert sind
s.
ox~
S~, a~°+ =++.
1
(50)
Mittels der Zerlegungen v o n + + und + aus (27) finden wir dafiir
i
--
q~+
(2~)'~, j -
"i
/'dk, d _dk s+, k~
[~(k) ~"+"+'-- ~+(k)~-"~',,],
f dk, dk2_dk, s,k, E~+(k) e-~', - , -
(2=) ~.J
c (k) e", -,] .
]
"
i (51)
3. Zuri~ck]i~hrung des elektromagnetischen Feldes au] das Neu= trino]eld. Nach der Jordan-Kronigschen Hypothese 6)7) mfissen wit die Ausstrahlung eines Photons entweder als die Ausstrahlung zweier ,,koh~irenter", d.h. in der Richtung des Photons fliegenden Elementarpartikeln (Neutrino und Antineutrino) ansehen, oder als Ramaneffekt der Neutrino oder Antineutrino ohne Richtungsiinderung *). Um dieser Forderung genfigen kSnnen, ftihren wit die folgenden HilfsgeorSsse ein, die wir spiiter mit dem electromagnetischen Field identifizieren werden a) 9) ~p = i(2~) '/' S~ 2
lim ¢Sp [~-1 ~0+ ~0 =
OXv l.v-->O
hu ,Sp f f dkldk#k#l~dl2dl3 [ a +(k)pa(1)e---~*#~,-'~)--c(k)~c +(1)e'*~,(h~--'~)S~,(lvp__kv,)+ i~-..->o
+ a + (k) lSc+ (1)e-'~*,(tt~+kt~!- - c(k) [3a(1)ei*#*t~+P'v-)
(S2)
w o ¢ = [~'v/c~/4~hund ~ eine der Diracmatrizen bedeuten. N u n ersieht m a n aus (52), dass die Z~hler und Nenner beide *) Die Untersuchung der Theorie von Jordan und Kronig wurde yon Pryce ~) durchge= f~hrt.
806
A. SOKOLOW
bei ~-+ 0 verschwinden; hierbei verschwindet der Nenner gerade in dem Falle, wo die Argumente zweier Amplituden, die im gleichen Produkt nebeneinander stehen, ein und derselben Richtung entsprechen. Die Unbestimmtheit 0/0 kann mittels V.-R. behoben werden, u n d e s ergibt sich ein endliches Resultat. Wit gelangen also zur ,,kohiirenten" Ausstrahlung als Folge der Bedingung, dass bei verschwindendem F (Masse des Neutrinos) und bei verschwindendem * (der GrSsse, die wir als ,,Ladung" des Neutrino ansehen woUen) das Verhiiltnis dieser beiden Gr0ssen konstant bleibt. Mit Hilfe yon (22) kSnnen wir auch die Fourieramplituden der durch die Amplituden des Neutrinofeldes ausdriicken
~,~x-- i~4Sp limcfdk dk2dk ~ a+(k)~a (k + ~) + c(k + ~) ~c+(k) '
3lk(k+
c(~-- k) ~a(k) -) u.s.w. + k(k--~) [ V ( ~ - k7 + ×5 + Vk~ + × ~ _ ~l
+
(53)
Daraus erh~ilt man V.-R. ffir die Amplituden 4)
ch ~2,SpSp, [pp(Ej), y~ (1~')] = 4~ S,, E,,,S,,, ~,,, B(I~, ~y) (~(~' -- ~)(~g,l~ "
(54)
[P,(~). ~',.(~')] = [P+(~). 'r~.(~')] = o,
wobei ~g,g' = tim n /
dcok
,,-.o-4-~= (V1 + n - - ~ .
k,) (x/1 + n--~'~, k~) '
n = x2/k2 und dcoh das Element des Raumwinkels bedeutet. Da wir noch die folgende Beziehung
.
.(1
1
)=, (ss,
haben, so kSnnen wir annehmen, class ~,~' ~(~' -- ~;) = ~(~' -- ~). (56) Mittels Diracmatrizen kann man den schiefsymetrischen Tensor zweiten Ranges bilden ,) *
= i~
%
~,
(57)
B
start dessen man auch den dualen Tensor gebrauchen kann
¢~. = ; axp -*~ v
-
-
"~p
.
(58)
ZUR'MOGLICHKEIT E I N E R NEI[ITRINOTHEORIE DES LICHTES
807
•Weiter miissen wir auch zwei skalare Funktionen bilden ¢'
(59)
=
und ¢2_
.~.
(60)
Die V.-R. fiir die soeben gebildeten Gr/Sssen h/ingen, wie man aus (48), (49) und (54) schliessen kann, nicht ab von dem Vektor (Sp) ch
ch
[Co(g), ¢o,+(g,)] = ~ ~o,, 8(g' - - g).
(62)
Man verifiziert nun mit Hilfe von (38) und (39), dass die Tensorkomponenten O~,v und O*,, den Maxwellschen Gleichungen ge-. niigen, dabei erh/ilt man auch das verschwindende Resultat Itir die Diagonalglieder, d.h. O l l ~--- O~i = .0 U.S.W. (63) Auf Grund der erhaltenen Resultate kSnnen wir jetzt diese schiefsymmetrischen Tensoren mit den elektromagnetischen Tensoren (2) und (6) identifizieren. Die Komponenten des Vektorpotentials bestimmen wir aus (11) und (57) O~ ~- i~". (64) Dieser Ausdruck n i m m t die einfachere Form an 0 . = Yo",
(65)
04 = O,
wenn man den ,,Eichvektor" (S~) parallel der Zeitachse setzt. Dabei ist ftir diesen Fall Y~ = ~,-+olim
.ffdk,
dk2 dk3 dl~ d12 dl3 e ~ c k - ~ l " "¢8 (kl)
y~ (kl) = - - 1 [ a + (k )y"a(l)e~(K--L)t--c(--k)y"c + (--1)e "--'icIK-L)t
L
+
[-~--)~)2~~
(66)
(L--K) +
a + (k) y" c + (--1) ei°cIc+L)'- - c(-- k)y" a(1) e-i~IK+LI` ] (K + L) 2 - ( k - 1)2 (L + K).. (67)
Es scheint nun nattirlich, die beiden skalaren Funktionen (59) und (60) mit der longitudinalen Komponente des elektromagnetischen Feldes, die zur Coulombwechselwirkung Anlass gibt, zu verkniipfen.
808
A. SOKOLOW
4. Die Breitsche Formel und der Einsteinsche Ausstrahlungkoe/[izient. Wit erhalten die Breitsche Formel als Resultat der Wechselwirkungsiibertragung der Neutrinos und Antineutrinos bei der Zugrundelegung des folgenden Wechselwirkungsgesetzes zwischen der ladung e mit dem Neutrinofeld. U=
eX~,((I)~,+ S~(I)------~I),
(68)
wo cX~,----cX,,, iCXo die Komponenten der Vierergeschwindigkeit des Elektrons bedeuten. Aus der Formel (68) sehen wir, dass im Gegensatz zum Vektorpotential des Photonenfeldes (I)~, das nach (9) orthogonal zum ,,Eichvektor" steht, die longitudinale Komponente des elektromagnetischen Feldes ¢IS~IS parallel zum Vektor (~5~) gerichtet ist. Wenn das skalare Potential des Photonenfeldes nicht vorhanden ist, ¢4 = 0, muss m a n nach (10) ffir den ,,Eichvektor" die Richtung der Zeitachse w~ihlen. Dann n i m m t der Ausdruck (68) die einfachere Gestalt an U = e(),. (I),, + i k o ~ l ) .
(69)
Setzen wir hier die Werte der Komponenten des Potentials
* . = v~ ] ~1= SoL /
(70)
~r = e(x.v~ + CXov~).
(71)
so bekommen wir
Dann gibt uns die gewShnliche StSrungstheorie den folgenden Ausdruck der gegenseitigen Wechselwirkungsenergie der zwei Electronen: #"e'2' lim ×2ff dkldk2dk3dl'dl2dl3(K + L)cos (k + 1 ) . x v -
16~----:K.-+o j j
KSL~[(K + L) 5 - - (k + 1)515
• {X(J)~,(02)a,,,(k)cop,(l) __ ~1);q~)ap,~,,p(k)%wp,(l)} ' wo (1) und (2) die beide Ladungen numerieren uncl x ~--~x (l) - - x
(2).
(72)
ZUR MOGLICHKEIT E I N E R NEUTRINOTHEORIE DES LICHTES
809
¢
Dieses Resultat kann man in der Form oo
V--
e(X)e(2) £d f dkldk2dk3
l~-~3J
lJ - ~ ( - ~ ~ cos(k + l)kl.X[X~o')X(o2)B(k,%~o)--
o
- - Xl,l) ~31B(k xy" ¥'")]
(73)
schreiben, indem man die folgende Formel
=fa oo
lim x 2 ; dt,dl2dlJ(l) = ~,-->0 j [(K + L)-" - - (k + l)2J 2
Z~/(Zk,) (k + / ) 2
(74)
0
zu Hilfe nimmt. Ffihrt man die neue Variable kn
~,, = (k + l) -~- und v = k - - l
(75)
ein, so findet man nach einer Integration nach v und ~. die geforderte Breitsche Formel
V- g(1)4~ e(2)
x(°l) x(°21- - ½
(;~1) X~2) +
x2
.
(76)
Die Wechselwirkungsenergie (7 l) ffihrt auch zum folgendem Ausdruck ffir die spontane Wahrscheinlichkeit der Dipol-Ausstraklung eines Paares Neutrino und Antineutrino (d.h. Photon) durch eine Ladung bei dem fibergang aus einem energetischen Zustand (E,, ~F~) in einen anderen (Ep~d~)2).
A = -~-~
dk~ dk2 dka dlx dl2 dla H2(ld) 8(~,,p- K - - L)., (77)
wo
e2~? /'? ,,,~ y3'(l'k') ~'P y3(kl) • H2(kl) --~ lim/-75-LY5_~3 I I dkt' dk2' dka" dll" dl~ dl; ~"P ~.->o (z~) d d
E . , - Ep ~"P ----
hc
"
~? =
f d-¢~ X,, ~F,., t
wo die Integration nach den Koordinaten der ausstrahlenden Ladungen auszuffihren ist. Da die Anfangsanzahl der Neutrinos und Antineutrinos gleich Null ist, so haben wir nach einigen Umformungen A =
e2 [d~ld~2d~a
8=2h j
~3
(x"*×g)28(~,.p--~) •
(78)
I0
ZUR MOGLICHKEIT EINER NEUTRINOTHEORIE DES LICHTES
Daraus erh~ilt man nach der Integration mittels Polarkoordinaten den b e k a n n t e n Ausdruck des Einsteinschen Ausstrahlungskoeffizienten. A =
e2(X~)2 ~mp 3~h
(79)
Der Verfasser verdankt Prof. D. I w a n e n k o manche kritische Diskussionen tiber das Thema. Eingegangen a m 13. Juli 1938.
LITERATURVERZEICHNIS I) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)
K. N i k o l s k y , Phys. Z. Sowjet. 2, 447. 1932. A. S o k o l o w , Phys. Z. Sowjet. 12, 472, 1937. A. S o k .o I o w, Phys. Z. Sowjet. 12, 148, 1937, vgl. auch Nature, 139, I071, 1937. A. S o k o I o w, Phys. Z. Sowjet. 13, 36, 1938, vgl. auch Nature, 140, 810, 1937. J. v. N e u m a n n , Z. Phys. 48, 868, 1928. P. J o r d a n und R. d e L. K r o n i g , Z. Phys. 100, 569, 1936. R.. d e L. K r o n i g , Physica, 3, If20, 1936. M. H . L . P r y c e, Proc. roy. Soc. (A), 165, 247, 1938, vgl. auch Nature, 141,976, 1938. A. S o k o l o w , Nature, 141, 976, 1938.