Analyse spectrale des précipitations et débits mensuels dans un bassin karstique du jura Français

Journal o f Hydrology, 29 (1976) 293--313

293

© Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam -- Printed in The Netherlands

ANALYSE SPECTRALE D E S P R I ~ C I P I T A T I O N S E T DI~BITS M E N S U E L S DANS UN BASSIN KARSTIQUE DU JURA FRAN~AIS

R. F R O I D E V A U X et R. KRUMMENACHER

D~partement de G~ologie et de Pal~ontologie, Universit$ de Gen~ve, Genbve (Suisse) Directorate o f Ground Water, Madras (India) 2 (Requ le 21 f~vrier, 1975; revis~ et accept~ le 25 aofit, 1975)

ABSTRACT Froidevaux, R. et Krummenacher, R., 1976. Analyse spectrale des precipitations et d~bits mensuels dans un bassin karstique du Jura fram;ais. (Spectral analysis of monthly rainfall and runoff data in a karstic basin (French Jura Mountains).) J. Hydrol., 29: 293--313. The monthly rainfall at five localities measured over the previous 21 years, and the average monthly run-off of two rivers observed during the past ten years were studied using time-series analysis. Localities and rivers are situated in a karstic basin (basin of the Valserine) of the French Jura Mountains. Examination of the different spectra showed that at least three periods contribute to the variance of these series: 24 months, 12 months and 4 months. A climatic and hydrogeological explanation is given for these three components. As the band-width was not always narrow enough to distinguish the annual peak from the biennial, a moving-average filter was used to resolve these two components. A good coherency was observed within rainfall series and within run-off series but the coherency between rainfall and run-off was not significant for periods of 12 and 4 months. The 12- and 4-month components are simple harmonic processes whilst the biennial c om p o n en t is a second-order autoregressive process. RESUME Les precipitations mensuelles de cinq stations (mesur~es pendant 21 ans) et les d~bits mensuels de deux rivi~res (mesur~s pendant dix ans) du bassin karstique de la Valserine (Jura fram;ais) sont examines ~ l'aide des techniques d'analyse des s~ries chronologiques. L'~tude des diff~rents spectres r~v~le que trois p~riodes au moins sont responsables de la variance de ces s~ries: (a) Une p~riode de 24 mois. (b) Une p~riode de 12 mois. (c) Une p~riode de 4 mois. Une explication climatologique et hydrog4ologique est donn~e pour ces trois composantes.

i Adresse: D~partement de G~ologie-Pal~ontologie de l'Universit~de Gn~ve, 13 rue des Maraichers, 1211 Gen~ve, Suisse. Adresse: Directorateof Ground Water, 10 A, Dhandapani Street,600 017 Madras, India.

294 Le pouvoir de r~solution n'~tant pas toujours suffisant pour distinguer la composante annuelle de la composante bisannuelle, on utilise un filtre de moyennes mobiles pour s~parer ces deux composantes. Les spectres de coherence entre les diff4rentes s~ries sont ensuite ~tudi~s. On note des valeurs ~lev~es de cette coherence pour les comparaisons entre s~ries pluviom~triques ou entre s~ries limnigraphiques; par contre, lorsqu'on compare une s~rie limnigraphique ~ une s~rie pluviom~trique on remarque que la coherence est non significative pour les p~riodes de 12 et 4 mois. Les composantes 12 et 4 mois sont des processus harmoniques simples. La composante bisannuelle, quant ~ elle, peut se d~crire correctement ~ l'aide d'un processus autor~gressif d'ordre 2:

INTRODUCTION Le b u t de c e t t e ~ t u d e est d ' a n a l y s e r l ' ~ v o l u t i o n des p r e c i p i t a t i o n s m e n s u e l l e s de c i n q s t a t i o n s p l u v i o m ~ t r i q u e s situ~es dans le J u r a franco-suisse, ainsi q u e les d~bits m e n s u e l s de d e u x rivi~res d r a i n a n t la r~gion consid~r~e. /~ l'aide des m ~ t h o d e s d ' a n a l y s e s p e c t r a l e et d ' a u t o c o r r ~ l a t i o n on essaiera de s~parer et d ' i d e n t i f i e r les d i f f ~ r e n t e s c o m p o s a n t e s i n f l u e n q a n t le c o m p o r t e m e n t de ces s~ries. DONNEES Les s t a t i o n s p l u v i o m ~ t r i q u e s choisies r e p r ~ s e n t e n t c h a c u n e u n e pluviom~trie et u n c l i m a t p a r t i c u l i e r d a n s la r~gion ~tudi~e. L a s t a t i o n de C h e z e r y ( 5 8 0 m) est situ~e au f o n d du vallon de la Valserine, vallon i n t r a - m o n t a g n e u x t y p i q u e m e n t jurassien. L a s t a t i o n de L a m o u r a ( 1 . 1 5 5 m ) est situ~e n o n loin des crates de la H a u t e Cha[ne. Elle enregistre les h a u t e u r s de p r e c i p i t a t i o n s les plus ~lev~es de la r~gion. L a s t a t i o n de T r a b l e t t e s ( 4 3 5 m ) est d~j~ dans la z o n e d ' i n f l u e n c e de la plaine b o u r g u i g n o n n e . C o m m e s t a t i o n i n t e r m ~ d i a i r e e n t r e C h e z e r y et T r a b l e t t e s n o u s a v o n s choisi G i r o n ( 9 8 0 m ) qui r e n d c o m p t e ~ g a l e m e n t des h a u t e u r s de p r e c i p i t a t i o n s d a n s le bassin de la S e m i n e . Enfin, sur le P l a t e a u suisse, n o u s a v o n s choisi C o i n t r i n (423 m). Les d~bits, q u a n t ~ eux, o n t ~t~ mesur~s sur d e u x rivi~res, la Valserine et la S e m i n e , a u x localit~s de C h e z e r y e t de Coz ( F i g . l ) . Les p r e c i p i t a t i o n s m e n s u e l l e s s o n t ~tudi~es sur u n e p ~ r i o d e de 21 ans ( 1 9 5 0 - - 1 9 7 0 ) , alors q u e les d~bits n ' o n t ~t~ mesur~s q u e sur dix ans ( 1 9 6 0 - 1 9 6 9 ) . L a Fig.2 m o n t r e l'allure de ces e n r e g i s t r e m e n t s . Le c o n t e x t e c l i m a t i q u e et h y d r o g ~ o l o g i q u e de c e t t e r~gion a ~t~ ~tudi~ en d~tail dans des t r a v a u x ant~rieurs ( K r u m m e n a c h e r , 1972a, b, 1 9 7 4 ; K r u m m e n a c h e r et D a v a u d , 1 9 7 2 ; J o n a c , 1974). TRAITEMENT DES DONNEES L o r s q u ' o n analyse u n e s~rie c h r o n o l o g i q u e (~'est-~-dire u n e s~rie de

295

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Fig.1. Plan de situation. Fig.1. Location map. donn6es 6quidistantes ayant pour indice le temps) on recherche en g6n6ral les objectifs suivants (Jackson et al., 1973): (a) Identifier les diff6rents 616ments c o m p o s a n t la s6rie. (b) Construire un filtre math6matique permettant de s6parer ces diff6rentes composantes et surtout d'61iminer celle qui est purement al6atoire. (c) Trouver un module stochastique pouvant d6crire le c o m p o r t e m e n t de ces composantes. Dans le cas qui nous int6resse il est clair que, outre la composante al6atoire toujours pr6sente, la "saisonnalit~" doit jouer un rble important. I1 sera donc int6ressant d'61iminer le bruit et l'influence de la saison afin de v6rifier s'il existe un autre facteur rendant c o m p t e de l'6volution de la s6rie. Le traitement des donn6es de cette 6tude s'est fait selon l'organigramme de la Fig.3. Test de la stationnarit~

On sait que pr6alablement & toute analyse de s6rie chronologique, il faut

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[ INTERRR~TATIONJ Fig.3. Organigramme du traitement des donn~es. Fig.3. Data processing algorithm. v~rifier si cette s~rie est stationnaire, c'est-~-dire si ses propri~t~s statistiques sont ind~pendantes du temps. G~n~ralement on se borne ~ v~rifier la stationnaxit~ des m o m e n t s d ' o r d r e 1 et 2 ~ l'aide test de " r u n " (Bendat et Piersol, 1971); on parlera alors de stationnarit~ au sens large. Si de plus, les donn~es de cette s~rie sont distributes n o r m a l e m e n t , alors la stationnarit~ sera stricte (Matalas, 1967). Dans n o tr e cas les sept s~ries suivent une distribution normale et sont stationnaires par r a p p o r t aux carr~s moyens, ce qui nous p e r m e t de poursuivre sans avoir ~ t r a ns f or m e r les donn~es.

Analyse spectrale L'analyse spectrale, qui est un des principaux outils pour l'~tude des s~ries chronologiques, est une mesure de la distribution de la variance en f o n c t i o n de

298 la fr~quence. On trouvera les bases th~oriques dans Anderson (1958); Jenkins et Watts (1969); et Kisiel (1969). T o u s l e s diff~rents algorithmes existant pour calculer les spectres peuvent se regrouper en deux grandes families: (1) Ceux qui utilisent la transform6e rap ide de Fourier (F.F.T.) ou m6thode directe. (2) C e u x qui calculent le spectre ~ partir de la f o n c t i o n d'autocovariance. Le choix de l'une ou de l'autre de ces m6thodes n'est pas simple; leurs avantages et d~savantages respectifs sont d~crits par Edge et Liu (1970). Notre choix s'est port~ sur la deuxi~me m~thode car elle p e r m e t d ' o b t e n i r un pouvoir de r~solution plus fin. Dans ce cas l'estimateur du spectre Ps (f) est ~gal h la transform6e de Fourier des m premiers termes d'autocovariance Cxx (k) : m-1

Ps(f) = 2 ICxx(O) + 2

C x x ( k ) w ( k ) cos 2 ~ f k l ,

O < f < lA

(1)

k=l avec :

Cxx(k)= l / N

N-k ~ (xt--~) (xt-k--Y), t=l

0~
(2)

La quantit6 w (k) de l'~q.1 est une fen~tre spectrale destin6e ~ minimiser les fluctuations de l'estimateur. Pour cette ~tude nous avons utilis6 la fen~tre de Tukey-Hanning qui a la forme suivante:

w(k) =

t

1~[1 + cos(~k/m)],

hk l< m (3)

0

,

kl>m

Le choix de m est d~licat. En effet on d~sire g~n~ralement que l'estimateur ait deux qualit~s incompatibles, c'est-h-dire: (a) un pouvoir de r~solution tr~s fin; et (b) une variance minimale. Or on sait que (Jenkins et Watts, 1969, p.248 sq.): variance x largeur de bande = constante Pour la fen~tre de Tukey-Hanning la largeur de b~nde vaut: B -

1,333 m

(4)

et la variance : var

0,75 m N

o~ N = longueur de la s~rie.

(5)

299 Le fait que nous nous int6ressons surtout aux basses fr6quences nous a fait opter pour la finesse du pouvoir de r6solution, car si la bande est trop large, le pic annuel {f = 0,083) risque de masquer t o u s l e s autres. Les conditions d'analyse pour les diff6rentes s6ries sont donn6es au Tableau I. L'inspection visuelle des spectres (Fig.4) r6v61e que, hormis le pic annuel et ses harmoniques (f = 0,08; 0,16; 0,33), deux fr6quences semblent contribuer la variance: (a) Une bande de fr6quence situ6e autour de 0,045 (p6riode = 24 mois). {b) Une autre autour de 0,25 (p6riode = 4 mois). TABLEAU I Conditions d'analyse des diff~rentes s~ries N

m

B

d.1.

var

Stations pluviom~triques 252 70

0,019

10

0,208

Stations limnigraphiques

0,038

9

0,219

120 35

d.1, = degr~s de libertY.

Composante 24 mois. Ce pic est situ~ tr~s pros du pic annuel, donc malais~ ~tudier tel quel. (Dans le cas de la Valserine et de Giron le pouvoir de r~solution ne permet m~me pas de les s~parer convenablement.) I1 faudra donc avoir recours au filtrage (voir plus loin) pour lui trouver ses caract~ristiques propres. On peut n~anmoins remarquer que l'importance des pics annuels et bisannuels semble comparable pour les pluviosit~s, alors que le pic bisannuel est nett e m e n t subordonn~ au pic annuel pour les d~bits.

Composante 4 mois. L'origine de ce pic est clairement d~montr~ ~ la Fig. 5. Nous constatons,que le r~gime des d~bits et des precipitations dans la r~gion jurassienne estassez complexe. En fait nous avons un type oc~anique simple (maximum en f~vrier--mars, minimum: en aoflt) se compliquant d'un type continental d'Europe centrale avec minimum caract~ris~ en octobre. Le r~sultat est que ~es ~ries~ aussi bien pluviom~triques que limnigraphiques, pr~sentent trois n~axirha: (1) En f~vriel- 'mars. (2) En aoflt--septembre. (3) En novembre--d~cembre.

Analyse spectrale bivari~e Une fois connue la r~partition de la variance pour les diff~rentes s~ries, on d~sire connaftre le degr~ de correlation existant entre deux s~ries pour une

300

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Fig.5. D~bits mensuels moyens et precipitations. Fig. 5. Monthly average rainfalls and runoffs.

fr6quence d o n n 6 e . U n e quantit~ est g~n~ralement utilisde p o u r d@rire ce t y p e de relation: la coh6rence, d~finie par:

K~2(f) =L~2(f)+Q:~(f)

O<~f<<.½

(6)

Ps~l (f) "Ps:: (f) ' avec

Lj~(f)=2

~ 1,2(k)w(k)cos2~fk f , t / , : ( 0 ) + 2 m-1 k=l

= cospectre

O<~f<~½

(7)

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Fig.6. Coherency spectra.

Fig.6. Spectres de coh@rence.

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m-1 Q12(f)=4 ~ ql2(k)w(k)sin2zrfk, k=l

0<<.f<~1/2

(8)

= spectre de quadrature ll: et q12 6tant les estimateurs pairs et impairs de la fonction de crosscovariance et valant: l,~ (k) = ,~ [ c 1 : (k) + c , : ( - k ) l ,

0 < k < rn - 1

q,2 (k) = 1&[C12 (k) - C,2 (-k)],

0 ~
(9)

(10)

la cross-covariance, elle, vaut:

1N-k C,2(k)=-~-t~=~1 ( x l t - x ) ( x : t - x ) ,

O<<.k<<.m-1

(11)

Pour les d~tails de calcul on se r6f6rera fi Jenkins et Watts (1969, p.382 sq.). La coh6rence est tr6s utile en ce sens qu'elle nous donne une mesure non dimensionnelle de la corr61ation existant entre deux s6ries. La seule pr6caution observer est de choisir de mani6re judicieuse la valeur de m, faute de quoi les r6sultats peuvent se r6veler inconsistant voire aberrant. Une autre quantit6 est parfois utilis6e: la phase. Dans eette ~tude, cependant, son emploi ne se justifie pas, car le d6phasage, s'il existe, est de l'ordre de quelques jours, donc ind6celable avec des valeurs mensuelles. Les spectres de coh6rence pour les s~ries brutes sont donn6s aux Figs.6 et 7. On voit que pour les fr6quences int6ressantes (0,05; 0,08; 0,25) la coh6rence est assez 61ev6e. Afin de mieux pouvoir comparer les s6ries entre elles nous avons construit des matrices de coh6rence pour chaque bande de fr6quence 6tudi6e. Pour la composante bisannuelle la coh6rence entre les stations limnigraphiques a 6t6 calcul6e sur les donn6es filtr6es, car le pouvoir de r6solution ne permettait pas de le faire sur les donn6es brutes. Ces matrices sont repr6sent6es au Tableau II. A c e stade il faut d6finir l'intervalle de confiance pour pouvoir tester la significativit6 des diff6rences. Pour ce faire Jenkins et Watts (1969, p.379) pr6conisent d'op6rer t o u t d'abord la transformation:

Y,2 (f) = arctanh IK~: l=

1/~ ln[(1 + K~2)/(1 - K,2)]

(12)

et de reporter sur t'6chelle transform~e l'intervalle de confiance pour Y~2, qui vaut: Y,2 (f) ± 77('1

-

cU2)lv~

(13)

off 77(1 - a/2) = valeur de la variable normale r6duite qui n'a qu'une probabilit6 6gale h a/2 d'6tre d6pass6e en valeur absolue. Nous avons pr6f6r6, quant ~ nous, ne pas transformer les valeurs du spectre

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12 .

Fig.7. Spectres de coherence (suite). Fig.7. Coherency spectra (continue).

de coherence et nous r~f~rer ~ une table (Fig.8) off, pour chaque valeur de K~2, sont report~ les limites de confiance (et cela pour un degr~ de libert~ et un seuil de probabilit~ donn~s). Si on se reporte maintenant au Tableau II on peut faire les remarques suivante s: (1) Toutes les coh~rences sont homog~nes et ~lev~es pour la composante bisannuelle. (2) Pour la composante annuelle les coh~rences entre stations pluviom~triques et entre stations limnigraphiques sont homog~nes et significativem e n t ~lev~es. Par contre les coh~rences pluviosit~--d~bit sont mauvaises voire non significatives. (3) M~mes remarques pour la composante 4 mois, ~ cela pros que seule la coh6rence Chezery--La Valserine est mauvaise.

305 TABLEAU II Matrices de coh6rences

Composante annuelle: Chezery Trablettes Lamoura Cointrin Giron La Valserine La Semine Composante "'4 mois": Chezery Trablettes Lamoura Cointrin Giron La Valserine La Semine Composante bisannuelle: Chezery Trablettes Lamoura Cointrin Giron La Valserine La Semine

Chezery

Trablettes

Lamoura

Cointrin

1,00

0,84 1,00

0,68 0,81 1,00

0,67 0,82 0,87 1,00

Giron

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1,00

0,88 1,00

0,86 0,84 1,00

0,89 0,86 0,79 1,00

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1,00 1,00

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1,00 1,00

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Filtrage des d o n n e e s L ' a n a l y s e s p e c t r a l e n o u s a r6v616 l ' e x i s t e n c e d ' u n t r e n d c y c l i q u e fi l o n g t e r m e ( e n v i r o n 24 mois). P o u r p o u v o i r l'isoler n o u s a v o n s utilis6 le filtre X l l de Shiskin et al. (1967). Ce filtre d 6 c o m p o s e , fi l'aide de plusieurs 6 q u a t i o n s de m o y e n n e s mobiles, les valeurs observ6es (O) en: (a) t r e n d c y c l i q u e fi long t e r m e (C) (b) c o m p o s a n t e saisonni~re (S) (c) f l u c t u a t i o n s al6atoires o u variance r6siduelle (I) De s o r t e que: O=C+S+I En f i l t r a n t ainsi n o s d o n n 6 e s n o u s a v o n s o b t e n u d ' u n e p a r t u n e c o m p o s a n t e p 6 r i o d e inf~rieure ou 6gale ~ 12 m o i s ( c o m p o s a n t e annuelle + c o m p o s a n t e " 4 m o i s " ) r e p r 6 s e n t 6 e ~ la Fig.9 et d ' a u t r e p a r t le t r e n d c y c l i q u e (Fig.10). Le

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10

Fig.8. Intervalles de confiance pour la coherence. Fig.8. Confidence limits for coherency.

Tableau III nous donne la m o y e n n e , la d~viation standard et le coefficient de variation des diff~rentes sSries. On remarque que l'~cart-type de la com posant e annuelle fluctue passablement d'une s~rie ~ l'autre; en fait il varie sympathique. m e n t avec l'altitude ( F i g . l l ) . R e t o u r n o n s m a i n t e n a n t aux Figs.9 et 10 pour constater que si la composante a l'allure d ' u n ph~nomSne p~riodique simple, il n'en va pas de mSme p o ur le trend cyclique. Pour le d~crire c o r r e c t e m e n t il faudra avoir recours un module stochastique.

A j u s t e m e n t d'un module stochastique On sait que les principaux processus non harmoniques pouvant g6n6rer des Fig.9. Donn6es filtr6es: saisonnalit6. Fig.9. Filtered data: seasonality.

h

~7

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5

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o

o

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306

1.0

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0.8

0.9

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.......

P~l DL = •

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. . . . . . . . . . . . . . . .

~

DLz

II

Fig.8. Intervalles de confiance pour la coherence. Fig.8. Confidence limits for coherency. T a b l e a u I I I n o u s d o n n e la m o y e n n e , la d~viation s t a n d a r d et le c o e f f i c i e n t de v a r i a t i o n des d i f f ~ r e n t e s s~ries. O n r e m a r q u e q u e l ' ~ c a r t - t y p e de la c o m p o s a n t e annuelle f l u c t u e p a s s a b l e m e n t d ' u n e s~rie ~ l ' a u t r e ; en fait il varie s y m p a t h i q u e m e n t avec l ' a l t i t u d e ( F i g . l l ) . R e t o u r n o n s m a i n t e n a n t a u x Figs.9 et 10 p o u r c o n s t a t e r q u e si la c o m p o sante a l'allure d ' u n p h ~ n o m ~ n e p ~ r i o d i q u e simple, il n ' e n va pas de m ~ m e p o u r le t r e n d cyclique. P o u r le d~crire c o r r e c t e m e n t il f a u d r a avoir r e c o u r s un m o d u l e s t o c h a s t i q u e .

Ajustement d'un module stochastique On sait q u e les p r i n c i p a u x p r o c e s s u s n o n h a r m o n i q u e s p o u v a n t g~n~rer des - Fig.9. Donn~es filtr~es: saisonnalit4. Fig.9. Filtered data: seasonality.

309

T A B L E A U III

M o y e n n e s , d~viations standards et c o e f f i c i e n t s de variabilit~ m

_

Chezery Trablettes Lamoura Cointrin Giron La V a l s e r i n e LaSemine

Trend c y c l i q u e

D o n n ~ e s brutes

Composante annuelle

.~

S

V

X

S

V

157 127 174 80 135 51 94

106 71 104 51 78 36 67

67,5 55,9 59,8 63,8 57,8 70,6 71,3

0 0 0 0 0 0 0

50 28 46 20 37 27 49

--------

150 122 168 77 133 48 92

S

V

33 24 34 19 34 17 32

22,2 19,7 20,2 24,7 25,6 35,4 34,8

:I LAMOURA

/

looo,

+GIRON ./ /

+ CHEZERY

-l-

+.IRABLETTES

COl N TRI"N

o

I

I

I

I

I

I

I

10

20

30

40

50

60

70

)s

Fig.11. R e l a t i o n altitude--d~viation standard. Fig.11. A l t i t u d e vs. standard deviation relation.

s6ries chronologiques oscillantes sont: (1) Les processus purement al6atoires. (2) Les processus autor6gressifs d'ordre m. (3) Les processus de moyennes mobiles d'ordre I. On peut exclure le premier cas, car il aurait 6t6 61imin6 par le filtre. Quant aux moyennes mobiles, on salt qu'il faut un mod61e d'ordre assez 61ev6 pour obtenir un ajustement 6gal & celui d'un processus autor6gressif d'ordre inf6rieur (Matalas, 1967; Jenkins et Watts, 1969, p.185). Nous avons donc choisi le mod61e autor6gressif qui s'exprime math6matiquement par:

310

Xt-P=al(Xt_l

-p)+a2(Xt_2 -U)+...+am(Xt_m-p)+Zt

(14)

off: m = o r d r e d u processus: a l , a2 . . . . , a m = p a r a m ~ t r e s du processus; et Z t = b r u i t blanc. En utilisant la m ~ t h o d e du m a x i m u m de vraisemblance on p e u t estimer les param~tres al . . . . . a m par: C x x ( J ) = al C x x ( J - 1) + a2Cxx(l" - 2) + . . .

+

o~mCxx(j - m )

(15)

C x x (J) ~tant la f o n c t i o n d ' a u t o c o v a r i a n c e .

Si l ' o n utilise la f o n c t i o n d ' a u t o c o r r d l a t i o n , l'~q. 15 devient: rxx(J) = a ~ r x x ( J -

1) + a 2 r x x ( J -

2) + . . .

+ amrxx(J-

m)

(16)

avec:

(17)

rxx(J) = c x x ( j ) l C ~ ( o ) S i m v a u t 1 l'~q.16 se r~duit ~:

(18)

al = r x x ( 1 )

alors que s'il v a u t 2: al =

a2 =

r~x(1) [1 - r x x ( 2 ) l

(19)

1 - r~x(1 ) r x x ( 2 ) - r~x(1 )

(20)

1 - r~x(1)

N o t o n s que p o u r u n processus d ' o r d r e 2, les valeurs a~ et a2 p e u v e n t ~galem e n t ~tre lues d i r e c t e m e n t sur des t a b l e a u x ~ partir des c o e f f i c i e n t s d ' a u t o c o r r e l a t i o n (Jaquet, 1973). P o u r le cas g~n~ral d ' u n processus d ' o r d r e m o n aura r e c o u r s ~ la n o t a t i o n matricielle (Whittle, 1 9 5 4 ) : a = Q--1 r

(21)

o~: a = v e c t e u r des param&tres recherch~s (a~, . . . , a m ) ; et r = v e c t e u r des coef. ficients d ' a u t o c o r r d l a t i o n ( r x x (1), . . . , rxx ( m ) ) . 1 rxx(1 )

rxx(1) 1

rxx(2) rxx(1 )

... ...

rxx(m) rxx(m-1)

Q =

rxx(m)

. . .

I

Un m o y e n simple p o u r estimer l ' o r d r e d u processus consiste ~ r e p o r t e r la variance r~siduelle S ~ ( m ) en f o n c t i o n de m; la c o u r b e m o n t r e r a u n m i n i m u m ou u n a p p l a t i s s e m e n t p o u r l ' o r d r e c o r r e s p o n d a n t . Un b o n e s t i m a t e u r de la variance r~siduelle est:

N-m S~ -

N

2m

1

C x x ( O ) [1 - a, r x x ( 1 ) . . . - a m r x x ( m ) ]

(22)

311 TABLEAU IV Ordre du processus autor~gressif (trend cyclique, station de Trablettes) Ordre

Valeursdes coefficients

Variance reslduelle

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,97 1,88 1,97 1,95 1,86 1,96 2,00 2,01 2,01 2,02

0,06298 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002 0,00002

-0,94 -1,13 -0,88 -0,75 -0,88 -1,04 -1,07 -1,06 -1,06

0,10 -0,33 0,01 0,02 0,15 0,20 0,18 0,09

0,22 -0,55 -0,73 -0,74 -0,78 -0,75 -0.51

0,39 0,86 1,02 1,02 1,00 0,63

-0,25 -0,60 -0,66 -0,65 -0,38

0,18 0,29 -0,05 0 , 2 6 0,00 0,19 0,39

-0,33 -0,77

0,37

Dans notre cas tous les trends m o n t r e n t que l'ajustement d'un processus d'ordre 2 est suffisant (Tableau IV), toutes les s6ries d o n n a n t des valeurs voisines de 1,8 pour a, et de - 0 , 8 5 pour as. Pour v6rifier la qualit6 de l'ajustement nous avons compar6, pour chaque s6rie, le spectre calcul6 sur les donn6es filtr6es avec le spectre th6orique Fxx (f) calcul6 h partir des param6tres al et as, et qui vaut: Fxx(f) =

1 + ~ + a~ - 2al(1 - a s ) c o s 2 ~ f - 2a~ c o s 4 ~ f

,

0 <~ f <~ 1A

(23)

avec o2x = variance de la s~rie. L'exemple choisi (voir Fig. 12) montre que la qualit~ de l'ajustement est satisfaisante. DISCUSSION DES Rl~SULTATS Trois fr~quences participent donc ~ la variance des s~ries ~tudi~es: 0,05; O,O8; 0,25. C o m p o s a n t e bisannuelle. Pr~sente partout (plus marquee cependant pour les pluviosit~s), etle est assez malais~e ~ expliquer. Peut-~tre s'agit-il d'un ph~nom~ne climatique g~n~ral. La coherence entre les d~bits et les precipitations est bonne. C o m p o s a n t e annuelle. On remarque que les contrastes saisonniers (donn~s par l'~cart-type de la composante annuelle, voir Tableau III et F i g . l l ) croissent avec l'altitude. Ce r~sultat confirme le fait g~n~ralement admis que la variabilit~ pluviom~trique augmente avec l'importance du relief. Notons que les stations de Cointrin, qui suit le r~gime climatique du Plateau suisse, et de

312

LO(

PS

0.1

O.O

-Of

-0.2

-0.3

I Ot

I 0.2

I 03

l 0.4

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0.5

0.1

0.0

-0.1

-0 ,2

-°3 o

,

,

o.~

0.2

,

~

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03

04

0.5

Fig.12. Spectres du trend cyclique pour ia station de Trablettes: a. Th~orique. b. Estim~. Fig.12. Spectra of the cyclical trend for the locality of Trablettes: a. Theoretical. b. Estimated.

Chezery, toujours ~ part, s'~loignent de part et d'autre de cette relation. Quant aux d~bits, il semble que celui de la Valserine soit moins affect~ par les variations saisonni~res que celui de la Semine. On sait que les roches karstiques ont pour effet de r~gulariser les d~bits de surface d'un bassin. Cette r~gularisation est d ' a u t a n t plus prononc~e que la karstification est avanc~e, ce qui est le cas pour le bassin de la Valserine.

Composante "4 mois". L'altitude et la position g~ographique jouent toujours le m~me rSle, celui d'augmenter les contrastes saisonniers. On notera en outre que le premier m a x i m u m est situ~ en f~vrier pour les precipitations (sauf ~ Giron) et en mars--avril pour les d~bits. Ce d~lai correspond ~ la r~tention nivale, cette r~tention ~tant plus longue dans le bassin plus ~lev~ de la Valserine que dans celui de la Semine. Enfin la coherence entre d~bits et precipitations est n e t t e m e n t plus mauvalse pour la Valserine que pour la Semine. La forme particuli~rement allong~e de ce bassin peut expliquer ce fait. ]~galement la cha[ne ~lev~e qui le limite au

313

sud-est, avec les sommets souvent enneig~s du Reculet (1.717 m) et du Cr~t de la Neige (1.716 m), ainsi que la presence d'un relief karstique mflr ~ partir de 1.200 m d'altitude. REMERCIEMENTS

Nous tenons/~ remercier le Prof. P. Vuagnat de l'Institut de Statistique de l'Universit~ de Gen~ve pour les critiques et les utiles suggestions qu'il nous a faites.

BIBLIOGRAPHIE Anderson, T.W., 1958. The Statistical Analysis of Time Series. Wiley, New York, N.Y., 704 pp. Bendat, J.S. et Piersol, A.G., 1971. Random Data: Analysis and Measurement Procedures. Wiley-Interscience, New York, N.Y., 407 pp. Edge, B.L. et Liu, P.C., 1970. Comparing power spectra by Blackman-Tukey and fast Fourier transform. Water Resour. Res., 6(6): 1601--1610. Jackson, R.E., Gilliand, J.A. et Adamowsky, K., 1973. Time series analysis of the hydrologic regimen of a groundwater discharge area. Water Resour. Res., 9(5): 1411--1419. Jaquet, J.M., 1973. Analyse de la variation verticale des descripteurs dans la formation de Vions. Arch. Sci. (Geneva), 26(3): 247--283. Jenkins, G.M. et Watts, D.G., 1969. Spectral Analysis and its Applications. Holden Day, San Francisco, Calif., 525 pp. Jonac, R., 1974. Contribution fi l'~tude climatologique, hydrologique et hydrog~ologique du bassin de l'Ain. Rapp. Bur. Rech. G~ol. Min. (Fr.), 74SGN058JAL, 90 pp. Kisiel, C.C., 1969. Time series analysis of hydrologic data. In: V.T. Chow (Editor), Advances in Hydrosciences, Vol.5, Academic Press, London, pp. 1--119. Krummenacher, R., 1972a. Hydrog~ologie du bassin de la Valserine. Bull. Bur. Rech. G~ol. Min. (Fr.), Sect.3, 2: 27--36. Krummenacher, R., 1972b. Donn~es climatiques sur le bassin de la Valserine et ses environs. C.R. S~ances Soc. Phys. Hist. Nat. Gen~ve, 7(2/3): 75--82. Krummenacher, R., 1974. Distribution et pr~vision des pluies journali~res dans le Haut Jura franqais. Bull. V.S.P., 40/98, pp.25--36. Krummenacher, R. et Davaud, E., 1972. ModUles journaliers d'~coulement dans un bassin karstique. J. Hydrol., 17(4): 375--393. Matalas, N.C., 1967. Time series analysis. Water Resour. Res., 3(3): 817--829. Shiskin, J., Young, A.H. et Musgrave, J.C., 1967. The XII variant of the census method II seasonal adjustment program. U.S. Dep. of Commerce, Bureau of Census, Tech. Pap. No.15, 66 pp. Whittle, P., 1954. A statistical investigation of sunspot observation with special references to H. Alfv~ns sunspot model. Astrophys. J., 119: 251--260.