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Contraction faible en norme vectorielle —théorie de Perron- Frobenius pour le cas de blocs
LINEAR
ALGEBRA
AND
ITS
APPLICATIONS
(1973)
6, 305-335
Contraction Faible en Norme Vectorielle-Thkorie Frobenius pour le Cas de Blocs F. ROBERT Section Lyon.
de Perron-
ET M. RASCLE
d’Analyse
Universite’
305
Num&rique
Claude
Bernard
France
Communicated by Alston Householder
1. INTRODUCTION, La
notion,
rappel&e
relativement
a une
vectorielles) L’objet
matrice
(c’est-a-dire
une
est une notion
“naturelle”
en analyse
lineaire,
d’iterations
initial
preddente,
mais impliquant
de ce qui constitue
a amenes,
par
necessite
resultats,
qui,
de blocs”
des relations
a posteriori,
carree
A
=
Frobenius
:
(aij)
et
est d’elaborer
accessible
la Proposition
car&e
a valeurs
utilisable
pour
contraction
appelee
a Claborer
comme
suivantes,
evidemment
moins imperative
la convergence,
4.1 de ce texte,
de coherence, apparaissent
fond&es
une notion neanmoins
: nous l’avons
classiques
norme
[5].
lineaires
de ce travail
numeriquement
Partie
d’une
vectorielle
que la notion
nous
a la Sec. 2, de contraction
norme
la convergence
en &ant
NOTATIONS
une
valables sur
le
tout
faible.
cette
etude
un ensemble
extension pour
“au
de cas
toute
matrice
de
Perron-
thCor&me
supmin~!5$L
notre
lorsque
ou partielle
constitue
l’extension
travail
etudie
les elements
A est alors decomposee totale
u>O
D
en blocs,
et de
essentiellement
aii de A sont d’oh,
notion
j
%
ce que
habituelle
deviennent
eux m&mes des matrices:
pour A, des notions
bloc-irr~ductibilite’.
de la
i
Cette
de culminance,
derniere
notion,
qui
d’irreductibilite
pour
une
0 American Elsevier Publishing Company, Inc., 1973
F. ROBERT
306 matrice,
correspond
[4] d’une certaine positif;
a I’irreductibilite, application,
cette application
dans cette
etude,
irreductible, une valeur
propre
notee p(y), rayon
spectral
“de
faible
reels est la relation
ou “element
a Clement.”
> 0 de Rk (toutes composantes
obtenue
de l’application
y
que
nous
de l’application
d’ordre
partiel
y.
positives).
les composantes
la meme operation
on note Bt la matrice
Les autres
notations
“composante
R”,,, ditsigne l’ensemble
reelles et stricternent
en effectuant
Enfin,
A.
reelle B.
?I
contraction”
ou complexe x par leur valeur absolue ou leur module. matrice
si y est attache
de base sont usuelles : la relation d’ordre, notee <, entre
le vecteur reel, > 0, obtenu en remplaCant la matrice
positif
a un cas non lineaire du theor&me classique
la constante
ou matrices
composante”
suivant:
propre strictement
n’est pas autre chose que le rayon spectral
Les notations vecteurs
a cause du resultat
un vecteur
positive
de Perron-Frobenius,
dans
de Rk dans son cone
y, Ctudiee & la Sec. 3, joue un role determinant
(cf. [4]). Grace & cette extension introduisons
au sens oh elle est definie
notee y, nonlintaire,
principalement
elle admet
ET M. RASCLE
1x1designe
du vecteur reel
De m8me (A ( designe sur les elements
transposee
sont precisees
a
des vecteurs
de la matrice
lorsqu’elles
de la carree,
interviennent.
2. RAPPELS
On se donne, pow toute la suite, une decomposition
de Cn en somme
directe de k sous-espaces C” = TV, @ w, Pi designe l’opdrateur dans Cn, on notera sous-espace
de projection
@ *. . @ Wk.
de Cn dans Wi, et pour un x quelconque
xi = P,x sa projection
Wi d’une norme &
de taille k saw Cn, construite
dans Wi.
On munit
chaque
ce qui nous dkfinit une norme vectorielle
de la faGon suivante: ‘PI(X)
XECn
+P(,)
=
; P,(x)
avec, par definition,
P,(X) = &(xJ,
Par construction, sur l’algebre
M,
(i = 1, 2,. . . , k).
cette norme vectorielle des matrices
complexes
est r&A&e
[5] ; elle engendre,
(n, n), une norme
vectorielle
rkguliere de taille k2, notCe M, ainsi construite: Toute matrice 1, 2,. . ., k).
A de M, est decomposee
Posons
en blocs Aij = PiAPi
(i, j =
307
CONTRACTIONFAIBLEENNORMEVECTORIELLE
Alors M(A)
est la matrice
1’ClCment Sij(Ai,). multiplicative
rtelle,
On rappelle
(VA, B E M,,
(k, k) 3 0, ayant en position
que M est une norme
on a M(AB)
(i, i)
vectorielle
sous
< M(A)M(B)).
On rappelle Cgalement que l’ensemble des majorantes de A relativement a p, c’est-a-dire
l’ensemble
des matrices T(k, k) verifiant l’inegaliti:
vx E C”, est caract&&
Pbw < TPM
par la simple inegalite WA)
autrement
(1)
dit, M(A)
< T
(2)
est la plus petite des majorantes
Enfin, si p designe la fonction
rayon spectral
de A.
(module
maximum
des
valeurs propres) on rappelle l’initgalite
VA E M,,
p(A) <
(3)
dM(A)I.
Cette inegalite est a la base de la notion de contraction en norme vectorielle [5]:
l’operateur
vectorielle
(lineaire) A est dit contractant
p si p[M(A)]
la suite contraction
Cette notion
< 1.
forte, entraine
done
relativement
de contraction, la convergence
a la norme appelee dans
de la matrice
A (P(A) < 1). La norme vectorielle
REMARQUE. n sur P)
type p(x) = 1x1 (reguliere de taille
engendre la norme vectorielle type M(A)
(3) redonne l’inegaliti:
VA E M,, et la condition
= IA )sur M,. L’inCgalitC
classique
P(A) G P(lAI)
p(jAI) < 1, qui entraine evidemment la convergence de A, de A relativement a la norme
n’est pas autre chose que la contraction vectorielle
type.
Le but principal construire,
de ce travail est de montrer que l’on peut definir et
pour tout A E M,,
VA E M,, La condition
notee p(y), telle que
P(A) < P(Y) <
p(y) < 1 entrainera
tout en &ant moins imperative de co&action
une quantite,
dM(A)I.
(4)
done encore la convergence
que la contraction
faible que nous avons adoptee.
forte.
de A,
D’oh l’expression
308
F. ROBERT
La notion
de contraction
notee y, de Rk dans Rk20, a priori y et l’etudions 3.
faible
repose
ET M. RASCLE
sur une certaine
pour la simplicite
de l’expose,
application,
nous definissons
dans la section suivante.
L'APPLICATION y Soit y I’application
de Rk dans R”,,, ainsi definie: = sup i
---fy&b)
UERk
.zgWi Xj#O
(?.$I +;x;;),
j=i
oh uj designe la j&me composante Par homogeneite,
de la norme dependant
continue #+
l,Z,...,R)
(5)
de u don&
dans Rk.
yi(u) s’ecrit aussi
Ce sup est Cvidemment d’une fonction
(i= E
atteint,
11 existe
evidemment
puisqu’il
sur le compact
s’agit de la borne superieure
de Wi constitue
done (au moins)
un ii,
par la boule unite
non nul dans Wi, et
de U, tel que
(6) Nous venons de mettre
en evidence,
d’au moins un jeu de vecteurs 2ii verifiant ment unique, nous noterons
pour M don&
dans Rk, l’existence
(6). Ce jeu n’etant
Y”(U) l’ensemble
pas necessaire-
(non vide) des matrices
de la
(a,, . . . , 2,) de vecteurs
pris
forme
que l’on peut
construire,
dans les Wi et verifiant commencer
pour chaque (6).
jeu
Ce formalisme
B dresser la liste des proprietes
PROPOSITION 3.1. Pow
&ant
defini,
nous pouvons
utiles de I’application
tout u E Rk, et pour tout S E Y(u)
yw
= SI@l,
y.
on a :
(8)
CONTRACTION
FAIBLE
EN NORME VECTORIELLE
0 <
s<
309
(9)
[M(A)]t.
De plus, pow tout v E Rk, et pour tout T E Y(v)
on a:
TluJ< +I = ~(4. Preuve.
Ces relations
sont Cvidentes,
(10)
par construction
m&me de y et
n
deS.
PROPOSITION 3.2.
y est wne semi-norme
L’application
taille k SW Rk, absolue done monotone Montrons
VA E R,
ce qui est Cvident par construction
En effet, soit R E Y(u
y(W
= I4y(4
(11)
+ r(v).
(12)
m&me de y.
E
Rk,
+ v);
Y@ + v) G Y(4
d’oh y(~ + U) = Rju + v[.
Mais alors, pour tout S E Y(u)
+
et T E 9’(v)
il vient,
puisque
R >, 0:
VI< RIuI + Rlvl < Slul + T/VI = ~(4 + y(v).
y est done bien une semi-norme absolve par construction
vectorielle (de taille k) sur Rk.
Elle est
(VU E Rk, y(u) = y( IuI)), done [l] monotone (dans
le premier hyperoctant) (0 < u < v implique y(u) < y(v)). logie employ&e dans [4], cette application
-
[l].
ensuite que Vu, v
+
vectorielle de
hyperoctant)
que VU E Rk,
V&Cons
(dans le premier
Avec la termino-
y de R” dans lui-m&me est :
HomogEne :
(Vu E Rk)(Vl -
Convexe:
-
Monotone:
sa restriction
E R)(;1 > 0) :
y(h)
= I+)).
au c6ne RkO est convexe
au sens usuel.
0 < u < v entraine 0 < Y(U) < y(v) et pour tout vecteur
u de R”, on a ly(~)l < ~(1~1). (E n f al‘t on a 1’CgalitC dans cette dernihe inCgalit6.) PROPOSITION 3.3.
L’application
y est lipschitzienne,
compacte) (pow la topologie habituelle de Rk).
done continzle (et
310
F. ROBERT
Preuve.
y &ant une semi-norme VW v E Rk
Soit alors S E Y(u OnsaitqueO
-
[y(u) -
vectorielle,
ET M. RASCLE
il vient
y(n) 1< Y@ -
4.
21).
< S < [M(A)]t.D’ohy(u
-v)
= Slu - VI< [M(A)ltlu
-
~1.
Par suite Vu, v
E
R”,
PROPOSITION3.4.
Mu) -
Pww
- 4. n
Soit u E Rk et K l’ensemble (t%entuellement vide) des
indices des composantes nulles de u. (1,. . .> k) et I un sous-ensemble suivantes sont t!quivalentes : (a)
Vi E I,
yi(u) = 0
(b)
V~EI,
VEER,
Preuve.
Y(V)1 d
Soit I? le com$l&mentaire de K dans
de {l, 2,. . , k}.
Alors les propositions
Aji = 0.
(a) S’Ccrit ViEI,
sup i: I.ujl$$$$J rjeWij= 1 %
= 0
XifO
soit encore
vi E
I,
t’j E (1, 2,. . ., k),
VXi E Wij
Iuil&(Aji~i)
= 0
ou encore, puisque uj = 0 pour j E K ViE
I;
VEER,
VX~E Wi,
#J~(A~,xJ = 0
soit enfin, puisque q5j est une norme sur Wj: Vi E I,
Vi E I?,
Aji = 0
ce qui est bien la proposition
(b).
REMARQUE. On montre aiskment que si (a) et (b) sont vkrifikes, alors Vi E I, Vj E I?, toute matrice S prise dans Y(u) PROPOSITION 3.5.
Les propriM
a un z&o en position
(6 i).
suivantes sont iquivalentes.
(a)
IL existe u non nul tel que y(u) = 0.
(b)
A admet au moins une ligne de blocs identiquement nulle.
De plus, si elles sont vt%ifi&es, les indices des composantes non nulles de u sont ceux des lignes de blocs de A identiquement
nulles.
(Par consiquent,
CONTRACTION FAIBLE EN NORME VECTORIELLE
311
l’existence d’un u > 0 tel que y(u) = 0 est caracthsie
par A = 0 mais alors
pour tout u E Rk, y(u) = 0: Preuve. strictement
Simple inch
y est l’application
application
dans (1, 2,.
identiquement nulle.)
de la proprikti:
3.4 prkddente
pour
, k} (I? non vide) et I = (1, 2,.
Par contraposition
de 3.5, on obtient la propriktt! suivante:
PROPOSITION3.6.
Pour que la semi-norme
. , k}.
K
n
vectorielle y soit une nowne
vectorielle, il faut et il suffit que A n’ait aucune ligne de blocs identiquement nwlle. En effet, cela correspond a imposer &la semi-norme vectorielle y l’axiome supplkmentaire
de skparation suivant : y(u) n’est nul que pour u nul.
REMARQUE.
On montre
de plus que,
pour
n
que y soit une norme
vectorielle rt@ulikre [5] il faut et il suffit que A admette un bloc et un seul non nul par ligne et par colonne
de blocs.
Mais alors A est totalement
culminante (cf. Sec. 5). PROPOSITION 3.7.
So3 u > 0 dans Rk (toutes composantes
strictement
Dire que yi(u) = 0 c’est dire que la i&me colonne de blocs de A :
positives).
AIi, Azi, Aki est identiquement n&e. Preuve.
Simple application
Par contraposition,
de la Proposition
on obtient
3.4, pour K vide.
la propriCtC suivante,
n
utiliske par la
suite : PROPOSITION3.8.
Pour que y applique RtO dans hi-m&e,
il faut et il
suffit que A n’admette aucawze colonne de blocs identiquement nulle. REMARQUES. (a)
Examinons
ce qui prkbde,
que Y(0)
fi est pris quelconque, (b)
l’ensemble
9’(u)
Dans le cas, sans inth&t pratique, est l’ensemble
dans les cas suivants:
oh u = 0, il est clair, d’aprks
des matrices S de la forme (7) oh
nonnul, dans Wi (i = 1, 2,. . . , k).
Dans le cas oh u = ej, j&me vecteur de base de Rk‘, il vient yi(ej) = ;sfi
pp
z x,
= S,,(AJ.
I’. ROBERT
312 Nommons realisant
vecteur culminant
pour A ji, tout vecteur ii (non nul) de Wi
ce sup (il en existe au moins un).
Alors, il est clair que Y(ej) (7) ou Bi est pris culminant
(c)
ET M. RASCLE
est l’ensemble
des matrices
Dans ce qui suit, nous serons amen&s a utiliser la matrice suivante,
dite matrice associtk i y [4], c’est la matrice respectivement D’apres
y(e,), y(es),
le point
(k, k) dont les colonnes
il est clair que la matrice
que, dans l’espace
ordonne
on appelle idiaL tout sous-espace
la terminologie
associee
a y
[M(A)lt.
3.9 Notions d’lrre’ductibilite’ et de Primitivite’ de l’dpplication Rappelons
sont
. , y(eJ.
(b) ci-dessus,
n’est autre que la matrice
Riesz,
de la forme
pour Aji (i = 1, 2,. . , k).
de Bourbaki),
c’est-a-dire
Rn comme
y [4]
dans tout espace de
vectoriel
I solide (“Cpais”
verifiant
la condition
dans
(13) que dans R k, les seuls ideaux
11 est facile de constater c’est-B-dire
espaces de base”, de l’ensemble Rappelons
des vecteurs
les sous-espaces
de base e,, ep,
alors [4] que l’application
(necessairement
ferme)
Y”(U) > 0). Rappelons
partie
y est dite irriductible si aucun ideal par y, primitive
si aucune
par y, ou encore s’il existe un entier
yp soit strictement
aussi que, l’application
sont les “souspar toute
. , e6.
de Rk n’est invariant
reunion d’ideaux de Rk n’est invariante p tel que l’application
engendres
positive y etant
(VU > 0, % # 0 entraine
monotone
et convexe,
elle
est irreductible
(resp. primitive) si et sedement si sa matrice associee [M(A)lt
est irdductible
(resp. primitive)
que la matrice
A est bloc irdductible
la norme vectorielle REMARQUE.
11 est elementaire
de montrer
relativement
reguliere 9
il est clair que l’on peut definir une
attachee
a toute decomposition
en blocs D, il le reste relativement
en blocs D’ plus “grossiere”
que D (“plus grossiere”
en blocs sur
relativement
a toute
a une
decomposition
signifiant
evidemment
que les blocs definis par D peuvent &re obtenus par une nouvelledecomposition
des blocs
B
que si A est irreductible,
Alors si un element A E M, est bloc irreductible
decomposition
relativement
B toute norme vectorielle
Plus generalement,
notion de bloc-irreductibilite M,.
Nous dirons dans ce cas
(resp. bloc primitive)
consideree.
elle est bloc irreductible donnee sur C”.
au sens usuel.
definis
par D’).
La notion
habituelle
d’irreductibilite
CONTRACTION
correspond
FAIBLE
EN NORME
alors 21la notion d’irrkductibilitk
en blocs “la plus fine”
313
VECTORIELLE
par blocs pour la d&composition
(la moins grossihre):
c’est celle oh tous les blocs
sont (1, 1). Notons
que, si l’application
aucune ligne ou colonne
y est irrkductible,
de blocs identiquement
alors la matrice nulle.
A n’a
Dans ce cas, on
savait deja [4] que si Z.Ln’est pas nul, Y(U) = y( 1~1) n’est pas nul et que si u est positif,
y(zt) est positif.
des rkciproques 4. NOTION
DE
Les rhultats
3.5, 3.6, et 3.7 fournissent
done
de ces rCsultats.
CONTRACTION
FAIBLE
EN
NORME
VECTORIELLE
Elle repose sur la 4.1.
PROPOSITION
Pour tout u dome dans Rk, l’ensemble des vecteurs v
de Rk vhrifiant vx E C”, est caractkis6
lup(4
G vw4
(14)
+ar l’inhgalite’
(15)
Y(U)< v. Preuve. la relation
(a) Soit v un vet :teur de Rk vhifiant
(14).
Pour x = xi E Wi,
(14) s’krit
Iult D’oh pour xi non nul dans Wi
i'i >
+
lUjl
$+@;I
d’oh enfin par passage au sup sur tous les xi non nuls de Wj vi 3 r&4 et v vhifie
bien la relation
(15).
(i = 1, 2,. . .) k)
314
F. ROBERT
ET M. RASCLE
(b) Montrons que le vecteur Y(U) lui-mCme vkrifie (14).
Or 1.~~1 > 0.
En effet,
On peut done minorer cette derniilre quantitk par
ce qui montre bien que l’on a vz E C”,
(c) Puisque
y(u)
l~(ww
vkrifie
<
TY(41'2%4.
(14), il est clair que tout
a fortiori (14) et la dkmonstration
est complhte.
On rappelle que l’on pose classiquement
(16)
ZI> y(U) vkrifie
pI
pour toute application
T de
Rk dans lui-m&me, et pour tout u 3 0 dans Rk, mais non nul
avec par convention En particulier,
r/&)
= sup{u E R, T(u) > cm}
(17)
TV
=
(18)
inf{P E R, T(u) < /Iti}
sup(O) = -
co ; inf (0) = + co.
pour u > 0, il vient
Si de plus T est monotone,
il est clair que l’on a, pour tout u >, 0, u # 0
dans Rk
0 < 17244 G ~244 On dira qu’une application
T monotone
sur Rk est c-monotone
(c &ant un
nombre Se1 positif) s’il existe u > 0; u # 0 tel que qT(u) 3 c, autrement dit si
CONTRACTION
FAIBLE
EN NORME
sup q&b) u>o UfO
En particulier [4].
si elle n’est c-monotone
d’oh rhlte,
Enfin,
>,
toute application
On dira qu’une application
(20)
irrkductible
est c-monotone
jamais c-monotone
n'est
pour aucun r&e1 positif c, autrement
dit si
que pour tout u > 0, u # 0
de manihe
notera p(T), rayon spectral
kvidente
les notions
monotone
de vecteur
propre
T de Rk dans Rk et l’on
de T, le module maximum
des valeurs propres
On a alors le rirsultat de base:
TH~OR~ME
Soit T une ap#‘cation
1[4].
monotone, continue done compacte. (a)
0.
monotone
et de valeur propre d’une application de T.
c >
T de Rk dans Rk
si T est monotone,
on dkfinit
315
VECTORIELLE
de Rk dans lui-n&me, homogdne,
Alors
Ou bien elle n’est jamais c-monotone:
alors elle n’admet qu’une seule
valeur propre, 0, attach&e a au moins une direction de vecteurs propres > 0. On a alors 0 = supqT(u)
= p(T) = inf zT(u).
U>O U#O
La borne sup &ant (b)
atteintepour
tout vectewpropye
Ou bien elle est c-monotone
propre p(T) su$kieure
(21)
u>o
>
0 de T.
(c > 0). Alors elle admet une valeur
ou &ale au nombre c (done positive),
mains une direction de vecteurs propyes > 0, et sup&ewe
attache’e a au
ou &ale au module
de toute autre valeur propre,1 et l’on a les formules de mini-max 0 < sup qr(%) = p(T) = inf zT(u), U>O U#O
la borne sup dtant atteinte En particulier
pour
suivantes: (22)
U>O
tout vecteur propye > 0 de T attache’e a p(T).
si T est irrkductible,
le rayon spectral p(T) de T est la
seule valeur propye attache’e a des vecteurs $ropres
2, 0.
En fait
p(T) est
attache’ d des vecteurs projwes > 0. De plus, on a alors les formules de minmax suivantes : 1 Valeur propre 6ventuellement u dam C”, T(u) =
Z-(1~1) (cf. [4]).
complexe:
on peut
complexifier
T en posant, pour
F. ROBERT
316 0 < sup qT(u)
= sup qT(u)
U>O UfO
Ce theoreme
= inf tT(u),
(23)
U>O UfO
pour tout vecteur propre
> 0 de T (attache’
d p(T)). constitue
de Perron-Frobenius
evidemment
l’extension
a des applications
l’appliquerons
Nous
= inf rT(u) U,O
les bornes sup et inf Want atteintes alors nkessairement
theoreme.
= p(T)
U>O
ET M. RASCLE
du theoreme
classique
non line’aires.
B y, qui verifie
Cvidemment
les hypotheses
du
Pour y, nous noterons q et T au lieu de q,, et t, et nous poserons R(A)
= supp(S). U>O U#O SEY(%)
D’apres
(21) et (22), il vient p(y) = inf r(u) = sup v(u). U>O u>o
(24)
UfO
De plus, si y est irreductible Q > 0 attache Nous
[M(A) irreductible],
y admet un vecteur propre
B p(y).
appliquerons
aussi le Theoreme
1 a toute
matrice
carree
non-
negative S (S > 0). Une telle matrice en verifie Cvidemment les hypotheses, et la forme la plus faible des formules de min-max supqa(u)
= p(S)
= inf ra(u).
U>O uto
= max l
ohs,,
‘su]i __
valable
pour toute
U = diag(u), il vient
= S,,(
W’SU)
ui
denote la norme de matrice p(S)
resultat
(25)
u>o
A noter que, pour u > 0 et en posant rs(u)
citees s’ecrit ici:
engendree
par la norme du max, d’ou
= inf S,,(U-lSU) IL>0 matrice
nonnegative
(26) S, qu’elle
soit
ou non
irrt!ductible.2 2 Ce rCsultat est dkmontrk directement
dans [2] et compl&
ainsi:
l’inf figurant
dans (26) est atteint si et seulement si il existe z > 0: Sz < p(S)z done en particulier si S est irrkductible
(rCsultat alors classique).
CONTRACTION
Le Theo&me
FAIBLE
1 est alors un argument
de base pour la suite.
Pow tout u > 0 mais non nul et tout v > 0 dam Rk,
PROPOSITION 4.2.
pour toute matrice S prise dam 9
Preuve.
317
EN NORME VECTORIELLE
(u) , on a
Puisque y(v) < [M(A)]%,
il est clair que
r(v) < “[M(‘&4. Par ailleurs, et puisque y(U) = S u, il vient V(U) = qs(u).
Or, d’apres
(25) ~(4 d P(S). 11ne reste plus qu’a montrer que p(S) < z(v). Or d’apres la Proposition (3.1), on a Sv < y(v)
puisque
S E Y(G).
Par suite p(S) = inf rs(4 m>O et (27) est entierement PROPOSITION 4.3.
Preuve.
demontre.
< rs(4
< r(v),
n
Pour tout u >, 0 et # 0 dans Rk, on a
Par definition
d’ou puisque y est monotone
et homogene
0 < Yw41 < Y[+4~1 = +M~). d’oh par definition
de z[y(~)]
+441 < +). L’autre
in&alit6
se prouve
resultat de base de cette etude.
de facon
n analogue.
Etablissons
alors le
F. ROBERT ET M. RASCLE
318 TH~OR~ME 2. P(A) G P(Y) = W) Prewe.
P[WA)I.
e
(29)
En effet, on tire de (27) sup q(U) < sup p(S) < inf t(v) < inf t y>. WWlt(v) U>O UfO .%9(zc)
U2-0 uzo
ce
v>o
qui donne bien p(y) = R(A) < p[M(A)].
que p(A) < p(y).
Considerons,
11 ne reste plus a demontrer
pour u > 0 dans Rk, I’inegalite
de base
(cf. 4.1) Qx E C”,
++W
<
b441tP(~).
Choisissons pour x un vecteur propre de A attache a une valeur propre de module p(A).
Puisque
11 vient
x n’est pas nul, p(x) ne l’est pas non plus.
u E Rk,,, u”$(x) est une quantiti: reelle strictement
positive.
Alors, puisque D’oh
d’oh il resulte, par passage a l’inf sur tous les u > 0, que p(A) < inf z(a) = P(Y)
u>o
et la preuve est complete.
n
11 est alors nature1 d’introduire DEFINITIONS. La quantitkp(y)
les sera a@h’e
constante de faible contrac-
tion de A (relativement d p) : c’est le rayon spectral de y. A seya dite faiblement
contractante
relativement 2 p si p(y) < 1.
Avec
le Theo&me
2 s’enonce
ces definitions,
THI?OR~ME 2’.
La contraction
de la facon
faible [p(y) < l] implique
suivante:
la convergence
[p(A) < 11tout en e’tant mains impkative que la conhaction forte [p(M(A))
< 11.
CONTRACTION
FAIBLE
5. DES EXEMPLES.
5.1.
Voyons
EN NORME
NOTION DE CULMINANCE
ce que deviennent
de la norme vectorielle la norme vectorielle de A s’identifient
TOTALE
les resultats
precedents
dans le cas
type sur C”, definie par p(x) = 1x1et qui engendre
M(A)
Les sow-espaces
319
VECTORIELLE
= IA 1sur M,
(Sec. 2).
Wi relatifs a p Ctant de dimension
1, les blocs Aij
a ses elements aii (i, j = 1,. . . , PZ).
On a alors, pour tout u dans Rk
ce qui permet
de retrouver
que, pour u don&
dans Rk, l’ensemble
des
vecteurs v verifiant
vx E est caracte’rise’ par l’inegalite
IUl$4XI < VqXl
0,
JAJtjz4\ < zi.
De plus, pour tout u > 0 dans Rk, il vient
~(24) = min
* la&uj C-. z&i
l
D’autre
t(u) = max 2++ !+ '
1
=
S,,(U-lIqtq
z
part, il resulte de (31) que pour tout u > 0 dans Rk, IAIt est
Clement de .9’(u).
Par suite
WA) =
PW)
=
PPI)
La double inegalite sup 44 U>O
< R(A)
= P(Y)
[ = inf T(U)] u>o
s’ecrit done ici
!!YTX$5 -\
sup min i U>O1
par consequent
matrices nonnegatives
u>Ol
un resultat
classique
[7] applique ici a la matrice
On a done dans ce cas coincidence negatif suivant :
= inf max
j=l
n lacluj C---, j=l
dans
(32)
%
la theorie
des
\AIt.
de p(y) et p[M(A)]
d’oh le resultat
I?. ROBERT ET M. RASCLE
320 PROPOSITION
Relativement
5.2.
d la norme vectorielle type,
et pour
to&e matrice A, contractions faible et forte coincident. Dans le cas general d’une norme vectorielle p reguliere, il en sera encore de m&me si l’on a, pour tout u > 0 de Rk y(u) = [M(A)ltu.
(33)
En effet, il vient alors
d’oh p(y) = u>. inf z EM(A La condition
(33) correspond
PIM(A)I.
(34)
a un cas “pathologique”
: c’est celui oh, . , k)
=
dans chaque colonne (j) de blocs de A, les differents blocs Aij (i = 1,2,. admettent
un vecteur culminant
commun.
A sera dite alors totalement culminante relativement B p. PROPOSITION 5.3.
Si
A est totalement culminante
relativement
a p,
contractions faible et forte co&dent. Et il est clair que, relativement toute matrice 5.4.
est totalement
Donnons
le decoupage
a la norme vectorielle-type
culminante:
un exemple
numerique
5.1 ci-dessus.
de culminance
totale:
en blocs indique et la norme S,,
suivante est totalement
A=
7
3
2
1
1
1
3
3
6
5
3
6
2
1
4
-8
2
,
d’oti
M(A)
1 -3
En effet, notant A=
I
A
A11
21
AIZ
A
22
avec
sur chaque bloc, la matrice
culminante :
1
p(x) = 1x1,
c’est l’exemple
i
I
=
CONTRACTION
et &I
(1) All vecteur (7
-
FAIBLE
(1
-
3
1
321
EN NORWIE VECTORIELLE
ont un vecteur
culminant
1) relatif a la ligne (4
commun,
-
1
par exemple
3) de A,,
6) de Asi.
(2) Ai2 et &e ont un vecteur culminant commun, par exemple vecteur (- 1 1) relatif a la ligne (- 8 4) de A,, et a la ligne (6 de A,,. Dans ce cas, on a p(y) = p[M(A)] 5.5
= 22,35.
11 est clair qu’il suffit de changer quelques signes d’elements
a la norme vectorielle
B=
choisie.
4
137
1
0
218
4
3
1
culminante
de A
relativement
1 3
2
d’oh
,
M(B)
=
8
121
16
9i’
I’
1
2
36
calculs faits”
-31
(cf. Sec. 7), les inegalites f(B)
< P(Y) 6
Pwm
ici 14,019..
Ainsi, et relativement est
3)
Prenons par exemple
‘7-365
s’ecrivent
le
.
pour obtenir une matrice qui n’est plus totalement
“Tous
le
et a la ligne
faiblement
contractante.
. < 19,856..
. < 22,35..
a la norme vectorielle
contractante,
done
. .
choisie, la matrice
convergente,
sans
B/20
&tre fortement
Notons d’ailleurs que
Lx
i
gj
)
= 1,l
et
et que
S,,
= 1,45
go (
)
(norme de matrice engendree par la norme dite de la somme des valeurs absolues):
ces deux tests ne permettent
convergence,
plus onereux il est vrai: 6. COMPARAISON PARTIELLE.
pas non plus de conclure
comme le permet celui de faible contraction
a la
(numeriquement
voir Sets. 7 et 8).
DES CONTRACTIONS
FAIBLE
ET FORTE.
CULMINANCE
NON CULMINANCE
La question se pose naturellement est une notion effectivement
de savoir quand la contraction
plus fine que la contraction
forte.
faible
En d’autres
F. ROBERT
322 termes, il s’agit de savoir quand la quantite meilleure
que p[M(A)].
“raisonnable”
Nous allons
ET M. RASCLE
p(y) est une majoration
elaborer
une condition
pour qu’il en soit ainsi. Prealablement,
de p(A) suffisante
nous aurons besoin
de quelques DEFINITIONS.
A sera dite culminante
deblocsA,touslesblocsA,,.(i
d’indice Y si, dans la &me colonne
= 1,2,...,
k) admettent
un vecteur culminant
commun. Ainsi, culminante
dire que
A
est totalement
d’indices
1, 2,. , . , k.
A seya dite non culminante On rappelle
l’irreductibilite
REMARQUES.
(b) Avec la decomposition est culminante
la matrice
218
4
3
113
2,
depend
2
et la norme suivante,
engendree
qui est bloc
1, mais pas d’indice 2 :
-31
de culminance $J choisie.
que du choix
particulieres
316
sont evidemment
vectorielle
est irreductible
1
11 norme
indice.
1
0
notions
est
B donnee en 5.5, est a la
bloc, la matrice
d’indice
7-365
(c) Les
d’aucun
si M(A)
en blocs indiquee
4-137
culminance
qu’elle
et bloc irreductible.
par la norme du max sur chaque
c=
dire
de y).
(a) Par exemple,
fois non culminante
c’est
si elle n’est culminante
que A est dite bloc irrtfductible
(ce qui traduit
irreductible,
culminante,
d’indice
relatives, La notion
de la decomposition
choisies sur chaque
Y, culminance
pour une matrice
totale,
non
A don&e
a la
de bloc irreductibilite, en blocs
bloc pour construire
elle, ne
et non des normes la norme vectorielle
utilide. 11 suffit l’ensemble
alors, pour u > 0 dans R Ic, de se reporter Y(U)
(Sec. 3) et de rappeler
pour Ctablir la propriete
suivante,
l’expression
don&e
a la definition
de Ye
sans demonstration:
de
CONTRACTION FAIBLE EN NORME VECTORIELLE PROPOSITION6.1.
Les $ropositions
s&antes
323
sont i’quivalentes :
(a)
A est culminante &&dice r;
(b)
Pour tout u > 0 de Rk, et pour tout S E Y(u),
S a m8me riGme ligne
que [M(A)Y; (c) I1 existe au mains un IL > 0 dans Rk et un S dans 9’(u) ait me”me &me
En niant, dans le rksultat ci-dessus, k, et en rappelant
Y = l,Z,...,
tel que S
ligne que [M(A)lt. les propositions
(a) et (c), pour
que pour tout u de Rk et tout S de Y(u)
on a 0 < S < [M(A)Jt, il Gent PROPOSITION6.2.
Les propositions
suivantes sont hquivalentes :
(1) A est non culminante. (2) Pour tout u > 0 de Rk, et pour tout S E 9’(u),
il existe, dans chaque
ligne de S, au moins ztn Gment strictement inf&rieur d l’&ment
correspondant
de [M(A)]“. En kcrivant que A est culminante
d’indices
1, 2,,
. , k, on obtient.
g
partir de 6.1, le rksultat suivant : PROPOSITION6.3.
Les @repositions s&antes
sont iquivalentes :
(a) A est totalement culnzinante. (b) Pour tout u > 0 de Rk, [M(A)lt Nous sommes la comparaison
alors en mesure d’ktablir
des contractions
TH~OR~~ME3.
est l’unique Wbment de Y(u). notre rksultat de base pour
faible et forte.
Si A est bloc iwthiuctible et n’est pas totalement culminante,
alors l’imigalite’ stricte s&ante
est assude P(Y) <
,dM(A)l,
(35)
et la corttraction faible est alors une notion strictement plus fine que la conhaction forte. Prewe. (3.9).
La bloc-irrCductibilit&
de A caractkrise
l’irrkductibilitk
de y
On sait alors (Thkorkme 1) que y admet un vecteur propre u > 0
associk B son rayon spectral p(y):
y(u) = p(y)“;
y(w) = Su, il est clair que zt est vecteur propre propre P(Y)
soit S E Y(u).
Puisque
> 0 de S pour la valeus
324
F. ROBERT
A n’etant
pas totalement
culminante,
il existe
entre 1 et k pour lequel A n’est pas culminante (c) dans 6.1, il vient Clement different ment inferieur
que, dans la reme
au moins un indice Y
d’indice Y. Alors, en niant
ligne de S, existe
de I’ClCment correspondant
puisque S < [M(A)]“.
ET M. RASCLE
de [M(A)lt,
au moins un
et en fait stricte-
D’oh, puisque u > 0
(36) D’autre
part, il vient, pour tout i de 1 a k
d’oh
si p(y) etait egal B p(M(A)),
on aurait
Comme
inverse
a priori,
l’inegalite
est assuree
(Theo&me
l), on aurait
en fait
D’ou finalement
(37) ce qui est impossible, ou bien 2 &alit&,
[M(A)lt
e‘t an t ureductible,
ou bien 2 inegalites
strictes
car pour u > 0, on a dans (37) (cf. Varga
[7],
p. 32). L’exemple comparaison.
de la matrice
B donnee
B est bloc irreductible
fait, non culminante):
en (6.5)
illustre
ce theoreme
de
culminante
(en
et non totalement
on verifie que p(y) < p[M(B)].
n
CONTRACTION
7.
FAIBLE
CALCUL NUMERIQUE
Disons d’abord 7. I.
EN NORME
DE LA CONSTANTE
quelques
325
VECTORIELLE
DE FAIBLE COKTRACTION
p(y)
mots du
Calcul Nunthriqzte de l’dpplication
y dam le Cas de Normes
I1 est clair que, pour tout u de Rk, la i&me composante
Polytkidrales de y(u) peut
s’ecrire
~~(26)
est done le sup d’une fonction
boule-unite
Si les normes
en (au moins) un point extremal
Qi sont polyedrales,
fini de points
la recherche
sur un convexe
borne:
la
dans Wi de la norme &.
Ce sup est done atteint nombre
convexe
extremaux,
du maximum
En pratique,
leurs boules-unite
de cette boule.
n’admettent
d’oti le calcul numerique
qu’un
de Ye
par
d’un nombre fini de quantites.
nous utiliserons
pour toutes
les normes +i soit la norme
du max, notee tirn, soit sa norme duale : la norme de la somme des modules des composantes,
notee &.
espace R”, la boule-unite
(On remarque
evidemment
que, sur un m&me
de la norme +a admet 2” points extremaux,
et
celle de la norme & n’en admet que 26 : d’ou un volume de calculs inferieur par l’emploi 7.2.
de $r.)
Calcul Nuvnhique L’algorithme
de la Comtante de Faible Contraction p(y)
present6
ci-dessous
propre cu > 0 de l’application du Theo&me
a pour but de construire
y. Alors si A est bloc-irreductible,
il resulte
1 que P(Y) = G4
ce qui permet
d’atteindre
numeriquement
p(y).
de savoir calculer y (cf. Sec. 7.1).
culminante,
il redonne
pour calculer
PROPOSITION
7.3.
une variante
(38)
= rb),
Cvidemment [M(A)lt
un vecteur
Cet algorithme Lorsque
de la methode
necessite
A est totalement
de la puissance
sur
alors p(y) = p[M(A)]. Pour tout u > 0 dans Rk, posons
F(u)
=
y?!.
t(u)
(39)
326
F. ROBERT
ET M. RASCLE
Alors, partant de u,, > 0, quelcolzque dans Rk, la rekuwence Ur+l
=
(Y =
m4)
0,
1,2,...),
(40)
dkffinie si et seulement si A n’admet aucune colonne de blocs identiquement nulle, permet de construire la suite (up} de vecteurs > 0 de Rk telle que (1) La suite {UT} est monotone non croissante : elle converge vers 0 3 0 dans Rk. (2) uril a au moins une composante &ale 2 la composante de u, de mJme indice. (3) On a, pour tout Y @is dans N
Ainsi
la suite des r&eelspositifs t(u,)
est-elle monotone non croissante, done
converge&e vets une limite z > 0, tandis que la suite des rheelspositifs q(uT), monotone non. dtkcroissante converge vets une limite 77; 0 < q ,< p(y) < z. (4) La suite des vecteurs positifs y(uT) est monotone et non ddcroissante. Elle converge vers y(o).
On a alors y(w) = TO.
(5) Si de plus A est bloc irrbductible, condition qui implique qu’elle n’ait aucune colonne de blocs identiquement nulle, alors (a) au bien cc) = 0, (b) ou bien w a toutes ses composantes strictement positives
(co> 0) et
par consiquent (41)
p(y) = r(w) = t(w) = z = q > 0, les suites ~jr(u,) et t(u,) Preuve.
Want alors adjacentes vers la valeur cherch&e p(y).
Tout d’abord,
dire que la rkurrence
que F applique RLO clans hi-m&me,
ce qui a lieu (3.8) si et seulement si A n’a aucune Etudions
alors les propriMs
U
dent
(40) est &fide,
c’est dire
ou encore, que y a la m&me propri&C, colonne
de blocs nulle.
de la suite ainsi construite Y(%)
r+l = z(u,)
(r = 0, 1,. . .),
il est clair qu’elle est formke de vecteurs
> 0 clans R”.
(42)
CONTRACTION
FAIBLE
EN NORME
327
VECTORIELLE
(a) Puisque, pour tout u de Rk, y(u) < T(.u)‘u, il vient
d’oh le point (1). (b) On a alors
pour au moins un indice j entre 1 et k. D’oh
[u,+l]j
=
y$$ = [%I .;
c’est le point (2). (c) Puisque u, > 0, il vient, d’apres
(24) et (28)
D’oh le point (3). (d) Puisque
la suite des u,(>
y est monotone, Y(%) = il vient
0) est monotone
non croissante,
il en est de m&me de la suite des r(ztJ.
et que
Alors, puisque
que a4, converge vers w, t(~~) vers T et que y est continue,
+4%+1,
y(w) = t * w ce qui demontre
le point (4).
(e) Si A est bloc-irreductible, nulle
(M(A),
ayant
1 colonne
pas nul, il est alors vecteur Theo&me D’autre
(43)
1, cas irreductible,
elle ne peut avoir de colonne nulle, serait reductible).
propre de y d’aprb cc) est necessairement
(43). > 0:
de blocs
Si w (2 0) n’est Alors, d’apres
le
(38) en resulte.
part
(44
1;. ROBERT
328 ce qui montre, quantite
puisque yi(u,) converge
positive,
q = z, quantite
ET M. RASCLE
lorsque Y tend vers I’infini vers une
que ~(26,) et r(ut,) ont m6me limite.
necessairement
Par consequent
Cgale alors a p(y), ce qui acheve la demon-
stration. 7.4.
Commentaires Cet algorithme
produit
t(~~) qui convergent
done une suite non croissante
vers r > 0.
t = p(y).
Si t reste superieur
monotone,
cf. Theoreme
a p(y) (par exemple
1) l’algorithme
(1) On est stir d’atteindre
Cchoue.
en m&me temps un vecteur
P(Y). (2) En fait, on pourra conclure plus general oh les suites I est alors evidemment Bien entendu, don&e)
et si la limite
> 0 w de y attache
au succes de l’algorithme
p(y). en machine
(a une precision
p(y) par encadrements.
s’agit que d’un controle en tours d’algorithme remarquons u ?+I
a priori:
la question
[M(A)l% =
par une methode
normal,
puisqu’il
culminante,
(Y = 0, 1,.
.),
pour
U, = diag(u,).
de la puissance
appliquee
L’algorithme colineaires
a [M(A)lt,
a ceux
ce qui est
s’agit alors de calculer
d[M(AV).
Exemples Caracte%ristiqztes
Pour la simplicite,
on prend, dans les 2 exemples suivants,
A totalement
d’ou pour tout UU: Y(U) =
(1) Exemple kgatif. norme S,,
il vient
4%)
P(Y) =
culminante,
et si il ne
de succes Cventuel de celui-ci
propose produit done dans ce cas une suite de vecteurs obtenus
Neanmoins,
reste ouverte.
que si A est totalement
T(UJ = S,,(U,-l[M(A)]tU,)
Dew
a
dans le cadre
le fait que les suites v(u~) et t(.~,) soient ou non adjacentes,
Enfin,
c-
w = 0). En fait, dans ce
propre
il est possible de controler
et non d’une assurance
7.5.
jamais
Precisons:
et t(z~,) sont adjacentes : leur limite commune
oui, on est done sfir d’atteindre
avec
est acquis si
si y n’est
p(y) si A est bloc irreductible
w des u,. est > 0 dans Rk (seule autre possibilite: cas, on construit
de reels positifs
Les succes de l’algorithme
W(41t14
Nous prenons, avec le partitionnement
sur chaque bloc.
Considkrons
indique, la
CONTRACTION
FAIBLE
EN NORME
VECTORIELLE
329
o/o 0
0 0
0~0
A=
1
d’ohM(A)=
/l
0~0
0 ’
!o
010
0
11 est clair que A est totalement
culminante,
et bloc-irreductible
[M(A)
irreductible]. Puisque
A est totalement
culminante,
il vient p(y) = p[M(A)]
= 1.
En fait on a, pour CL=
211 >
0
f42 >
0,
u, y(u) = iM(A)ltu
=
261.
D’oti
17(4 = min(u2/+, u11u2);
W
= max(~21~l,M42),
et
avec sup ~(24) = p(y) = inf ~(24) = 1. v>o U>O Sup et inf Ctant atteints
par exemple
propre
1 w = 11
2 I on obtient
la suite
pour le vecteur
de y. Si on applique
l’algorithme
en partant de zco =
de vecteurs U,=~;‘2
+:;;
11’S u4 =
III6
+~ l/an
. .* 1,2n-1
et cette suite converge vers ~1)w.4l.
I ‘2n
puis
l/2
nil
.**
F. ROBERT
330 La suite ~(2.6~)est stationnaire
ET M. RASCLE
sur la valeur +, t(ur) est stationnaire
sur
la valeur 2. I1 est clair que I’algorithme pas adjacentes
Cchoue: les 2 suites v(N~) et T(u,) ne sont
car (cf. Varga [7], p. 44, Exercise 5) M(A)
est imprimitive
et irreductible. (2) Exemple positif. vectorielle
Avec le m&me partitionnement,
0
A=
00
maintenant
0
100 ____
1
100
0
0
d’ou
,
010
M(A)
11
1
1
o
=
0
11 est clair que A est totalement (M(A)
et la m&me norme
(norme du max sur chaque bloc), considerons
culminante,
et bloc-irreductible
irreductible).
Puisque A est totalement
culminante,
il vient
I + y5 = p2= 1,618.
p(y) = p[M(A)I
.
En fait on a, pour
y(u)
= [M(A)ltu
=
1:+ u2
D’oti r(u) = max(1 + ~~/y;
q(u) = min(l + u21u1, 4u2); D’oti
Sup et inf Ctant atteints par exemple pour le vecteur propre co=
ig_1 2
de
y.
z+/tis).
CONTRACTION
Partant
FAIBLE
331
VECTORIELLE
2 1 on obtient
de +, =
ur =
EN NORME
312
36125
I312 uz = /g/lo
1
u3 =
avec t(2t0) = 2; t(z+) = 5/3;
~(24~)
On peut conclure a la r&site
36125
g/1()
576/650
z64=
.. ’
13/8 = 1,633.
=
de l’algorithme:
M(A)
&ant irreductible
et primitive, on sait (cf. [73, p. 44) que les suites v(u+.) et z(z+) sont adjacentes vers t(A)
8.
= 1,618. .
EXEMPLES
.
NUMERIQUES
(1) Avec le partitionnement bloc, considerons
la matrice
17
-5 5 -
23 8
7 8
6
-9
4
6
-5
-2
15
-3
-17
0
17
16
11
-3
-20
4
6
-5
-2
12
5
13
21
3
5
9
-7
2
3
-1
-3
6
l-l
4-2
6
16
40 - 22 -29
12
18 -11
-4
-7
-7 3
2
-
-2
4 7
4
12
4
1
13
-4
9 -5
18
-8
4
22
-
M(A)
M(A)
est irreductible.
=
19
51
91
86
54
46
58 !
42
44
40
41 ~.
132
18
31
521
19
-3 2 -7 7 -
d’oti 47
-8
0
12
12 -15
23
16
-8
-3
-4
-4 -5
17
-1
-17
9
-_I3
18 _
-3 1
-1
-26 4 -10
1
16
-11
0
-3
2
-
18
4
13
10
6 -17
9
26
19
7
4
5
10 -4
-4
12
12
-3
1
24 -11
2
_
-
-2
5 1-l
6
40 -18
et la norme du max sur chaque
(12, 12) suivante:
10-l
3 -20 13 -
indique,
On peut verifier que A est non culminante.
23
F. ROBERT
332 Les
resultats
I’algorithme,
numeriques
don&s
pour les 4 vecteurs
sont adjacentes
ci-apres
montrent
de depart choisis:
vers la valeur 143,451.
un w > 0 proportionnel
ET M. RASCLE
la reussite
de
les suites t(~~) et ~(zL~)
. . et la suite des uu, converge
vers
a y(w).
Les inegalites
f(A) G P(Y)< #of(A)) s’ecrivent,
ici p(A) < 143,451..
. < 179,296..
. .
(2) Enfin, l’exemple de la matrice B, bloc irreductible don&e
en (5.5) a conduit aux rkultats
de depart,
on obtient,
de 10-4, un vecteur
en une quinzaine
9.
et non culminante,
Pour differents
d’iterations,
vecteurs
pour une precision
propre w > 0 de y, tel que
wl/wZ = 1,1547 ce qui correspond
suivants:
et tel que
bien aux resultats
T(W) = 19,8564..
. = p(y)
attendus.
CONCLUSION
Nous avons done defini et Ctudie, 8. partir du ThCoreme de contraction
faible
en norme
vectorielle,
strictement
plus fine si A, bloc-irreductible,
Les questions
laissees
equivalente
ouvertes
l’unicite particulier
applications
de la direction
proviennent
de la suivante:
que donne le Theoreme
1
T, on manque d’information sur attach&e au rayon spectral p(T),en
propre
dans le cas irreductible.
Une telle etude spectrale (mais non utilisee) de repondre
constante
en fait
mais
culminante.
non line’aires
repose probablement
de la notion g&r&ale de primitivite doute
culminante,
n’est pas totalement
dans le cadre de la theorie de Perron-Frobenius pour certaines
a la contraction
ou A est totalement
forte dans le cas “pathologique”
1, une notion
a la Sec. 3.9 du present aux questions
de faible contraction
de I’adjacence
sur l’approfondissement
telle qu’elle est definie en [4] et rappel&e laissees
travail.
Elle permettrait
sans
dans le calcul
de la
ouvertes
(Sec. 7), en particulier
de regler la question
des suites q(z+) et ~(a,).~
3 Ajoutd ci la correction des ~p~pyeuues : Pour d’autres kultats Perron-Frobenius
r¢s en Theorie de
nonlineaire voir Cgalement H. Schneider and R. E. L. Turner, Pos-
itive eigenvectors of order preserving
maps, J. Math.
Anal.
Appl.
37(1972), 506-515.
1
11k-G
p~w%)l
W,)
wd
*1.
Itekation
1
54,079
143,451
81094,
122,942
143,417
180,258
47 22 23 38
33 58 25
19
29 46 40 28
29 46 40 28
16
19 54 44
16
19 54 44
137,525
inchangke
146,650
inchangbe
0,5656
0,7161
27 81 41 26
0.5684
0,5074
0.6820
2
0,5694
0,666s
1
1
131,932
109,792
27 81 41 26
1
1
1000
0
47,087
rl(%)
inchangke
143,417
142,135
inchangbe
143,923
inchangke
0,5304
0,557o
0,5074
0,665O
3
TABLEAIJ
143,121 2
144,065
126,902 143,451
33 58 25 19 153,183
47 22 23 38
51053,
257,741
29 46 40 28
47 22 23 38
inchangke
19 54 44 16
16
19 54 44
29 46 40 28
16
8 31
51 14
19 54 44
0,3663
0.4253 27 81 41 26
0.3897
0,4259
27 81 41 26
0,9222
0,4649
143,375
143,451
143,527
33 58 25
19
29 46 40 28
19 54 44 16
27 81 41 26
0,523s
0,5542
0,5074
0,6649
4
143,408
inchangke
143,487
inchan@
0,3663
0,3871
0,354s
0,4663 0,3566
0,4663 0,3743
4
3
2
1
47 35 22 30
1
1
0,9223
0,3743
1000
1
1
0
Pw41
dU,)
S(u,)
%
Itkation
TABLEAU
143,456
143,444
inchangke
143,460
inchangbe
0,523s
0,5536
0,5072
0,6647
5
143,447
inchangke
143,450
inchangee
143,452
inchangke
0,523s
0,5536
0,5072
0,6646
6
143,450
inchangee
143,452
inchangbe
0,3663
0,3663
inchangke
0,3871
0,3546
0,4647
6
0,3871
0,354s
0,464s
5
inchangbe
143,451
inchangke
143,451
inchangee
inchangke
7
143,451
inchangke
143,451
inchangke
7
8 F M
F-4
rib,)
pwJ,)l
d%)
Sk)
UP
Ittration
rlw
pre$J1
+%.)
SW
ur
Itkration
33 58 25 19
38,092
126,902
16
0.5071
0,5075
inchangke 132,477
103,214
150,221
inchangbe
g
143,072
143,451
143,848
33 58 25 19
29 46 40 28
16
143,421
inchangke
143,523
inchang6e
143,448
inchangke
143,457
inchangke
143,450
inchangee
143,452
inchangie
F
3
F!
0,5237
7
z
0,5237
inchangke
7
143,451
inchangke
143,451
inchangke
inchangbe
7
19 54 44
0,5237
0,526O
0.5964
0,5535
0,5071
0,6645
6
143,450
inchangbe
143,452
inchangbe
inchangke
6
27 81 41 26
0,5538
0.5535
0,6646
0,6648
3
0,5084
143,447
inchangee
143,459
inchangke
0,664s
143,393
143,451
143,496
33 58 25 19
0,5568
inchangke
16
5
4
19 54 44 29 46 40 28
0,5514
0,582s
0,5339
0,6997
5
4
TABLEAU
142,782
143,417
143,744
47 22 23 38
29 46 40 28
27 81 41 26
0,5517
0,5832
0,5339
0,6998
4
0,5952
143,417
212,134
47 22 23 38
47 22 23 38
31073,
29 46 40 28
8 31
51 14
16
19 54 44
19 54 44
16
1,2258
27 81 41 26
1000
1
0,5186
1
1
0,664s
0,9688
1 0,5186
2
140,728
inchangke
148,271
inchan&
1
120,861
inchangbe
214,824
47 35 22 30
0
40,103
143,451
44809,
inchangk
19 54 44
29 46 40 28
16
19 54 44
0.5554 27 81 41 26
0,5695
0,5695
0,5836
0,5339
0,7027
3
3
27 81 41 26
1
0,5626
0,7368 0,5836
1
2
0,9095
0,9239
1
1
1
1000
0
TABLEAU
CONTRACTION
FAIBLE
EN NORME
VECTORIELLE
335
REFERENCES F. L. Bauer, J. Stow, et C. Witzgall, 3(1961), 2577264. C. Odiard. Un corollaire nications”
Absolute and monotonic
du theoreme
A. Ostrowski, M. Rascle,
Metrical properties Anal.
Irreductibilite
F. Robert,
R.I.R.O.
of operator
et primitivite
Algebra
and A#.
2(1969),
F. Robert, Sur une notion de contraction C. R. Acad. R. S. Varga,
Sci. A t 271(1970), Matrix
Iterative
(1962). January
28, 1972
matrices
“Breves
commu-
124-129.
and matrices
partitioned
de certains operateurs
nonlineaires,
un
(a paraitre).
Bloc H matrices et convergence
blocs, Linear
R2(1971),
AppZ. 2(1961), 161-209.
debut de theorie de Perron-Frobenius
Received
de Perron-Frobenius,
de la revue de l’A.F.C.E.T.,
into blocks, J. Math.
norms, Num. Math.
des methodes iteratives classiques
par
223-265. faible relativement a une norme vectorielle,
96-99. Analysis.
Prentice
Hall, Englewood
Cliffs, N. J.
ALGEBRA
AND
ITS
APPLICATIONS
(1973)
6, 305-335
Contraction Faible en Norme Vectorielle-Thkorie Frobenius pour le Cas de Blocs F. ROBERT Section Lyon.
de Perron-
ET M. RASCLE
d’Analyse
Universite’
305
Num&rique
Claude
Bernard
France
Communicated by Alston Householder
1. INTRODUCTION, La
notion,
rappel&e
relativement
a une
vectorielles) L’objet
matrice
(c’est-a-dire
une
est une notion
“naturelle”
en analyse
lineaire,
d’iterations
initial
preddente,
mais impliquant
de ce qui constitue
a amenes,
par
necessite
resultats,
qui,
de blocs”
des relations
a posteriori,
carree
A
=
Frobenius
:
(aij)
et
est d’elaborer
accessible
la Proposition
car&e
a valeurs
utilisable
pour
contraction
appelee
a Claborer
comme
suivantes,
evidemment
moins imperative
la convergence,
4.1 de ce texte,
de coherence, apparaissent
fond&es
une notion neanmoins
: nous l’avons
classiques
norme
[5].
lineaires
de ce travail
numeriquement
Partie
d’une
vectorielle
que la notion
nous
a la Sec. 2, de contraction
norme
la convergence
en &ant
NOTATIONS
une
valables sur
le
tout
faible.
cette
etude
un ensemble
extension pour
“au
de cas
toute
matrice
de
Perron-
thCor&me
supmin~!5$L
notre
lorsque
ou partielle
constitue
l’extension
travail
etudie
les elements
A est alors decomposee totale
u>O
D
en blocs,
et de
essentiellement
aii de A sont d’oh,
notion
j
%
ce que
habituelle
deviennent
eux m&mes des matrices:
pour A, des notions
bloc-irr~ductibilite’.
de la
i
Cette
de culminance,
derniere
notion,
qui
d’irreductibilite
pour
une
0 American Elsevier Publishing Company, Inc., 1973
F. ROBERT
306 matrice,
correspond
[4] d’une certaine positif;
a I’irreductibilite, application,
cette application
dans cette
etude,
irreductible, une valeur
propre
notee p(y), rayon
spectral
“de
faible
reels est la relation
ou “element
a Clement.”
> 0 de Rk (toutes composantes
obtenue
de l’application
y
que
nous
de l’application
d’ordre
partiel
y.
positives).
les composantes
la meme operation
on note Bt la matrice
Les autres
notations
“composante
R”,,, ditsigne l’ensemble
reelles et stricternent
en effectuant
Enfin,
A.
reelle B.
?I
contraction”
ou complexe x par leur valeur absolue ou leur module. matrice
si y est attache
de base sont usuelles : la relation d’ordre, notee <, entre
le vecteur reel, > 0, obtenu en remplaCant la matrice
positif
a un cas non lineaire du theor&me classique
la constante
ou matrices
composante”
suivant:
propre strictement
n’est pas autre chose que le rayon spectral
Les notations vecteurs
a cause du resultat
un vecteur
positive
de Perron-Frobenius,
dans
de Rk dans son cone
y, Ctudiee & la Sec. 3, joue un role determinant
(cf. [4]). Grace & cette extension introduisons
au sens oh elle est definie
notee y, nonlintaire,
principalement
elle admet
ET M. RASCLE
1x1designe
du vecteur reel
De m8me (A ( designe sur les elements
transposee
sont precisees
a
des vecteurs
de la matrice
lorsqu’elles
de la carree,
interviennent.
2. RAPPELS
On se donne, pow toute la suite, une decomposition
de Cn en somme
directe de k sous-espaces C” = TV, @ w, Pi designe l’opdrateur dans Cn, on notera sous-espace
de projection
@ *. . @ Wk.
de Cn dans Wi, et pour un x quelconque
xi = P,x sa projection
Wi d’une norme &
de taille k saw Cn, construite
dans Wi.
On munit
chaque
ce qui nous dkfinit une norme vectorielle
de la faGon suivante: ‘PI(X)
XECn
+P(,)
=
; P,(x)
avec, par definition,
P,(X) = &(xJ,
Par construction, sur l’algebre
M,
(i = 1, 2,. . . , k).
cette norme vectorielle des matrices
complexes
est r&A&e
[5] ; elle engendre,
(n, n), une norme
vectorielle
rkguliere de taille k2, notCe M, ainsi construite: Toute matrice 1, 2,. . ., k).
A de M, est decomposee
Posons
en blocs Aij = PiAPi
(i, j =
307
CONTRACTIONFAIBLEENNORMEVECTORIELLE
Alors M(A)
est la matrice
1’ClCment Sij(Ai,). multiplicative
rtelle,
On rappelle
(VA, B E M,,
(k, k) 3 0, ayant en position
que M est une norme
on a M(AB)
(i, i)
vectorielle
sous
< M(A)M(B)).
On rappelle Cgalement que l’ensemble des majorantes de A relativement a p, c’est-a-dire
l’ensemble
des matrices T(k, k) verifiant l’inegaliti:
vx E C”, est caract&&
Pbw < TPM
par la simple inegalite WA)
autrement
(1)
dit, M(A)
< T
(2)
est la plus petite des majorantes
Enfin, si p designe la fonction
rayon spectral
de A.
(module
maximum
des
valeurs propres) on rappelle l’initgalite
VA E M,,
p(A) <
(3)
dM(A)I.
Cette inegalite est a la base de la notion de contraction en norme vectorielle [5]:
l’operateur
vectorielle
(lineaire) A est dit contractant
p si p[M(A)]
la suite contraction
Cette notion
< 1.
forte, entraine
done
relativement
de contraction, la convergence
a la norme appelee dans
de la matrice
A (P(A) < 1). La norme vectorielle
REMARQUE. n sur P)
type p(x) = 1x1 (reguliere de taille
engendre la norme vectorielle type M(A)
(3) redonne l’inegaliti:
VA E M,, et la condition
= IA )sur M,. L’inCgalitC
classique
P(A) G P(lAI)
p(jAI) < 1, qui entraine evidemment la convergence de A, de A relativement a la norme
n’est pas autre chose que la contraction vectorielle
type.
Le but principal construire,
de ce travail est de montrer que l’on peut definir et
pour tout A E M,,
VA E M,, La condition
notee p(y), telle que
P(A) < P(Y) <
p(y) < 1 entrainera
tout en &ant moins imperative de co&action
une quantite,
dM(A)I.
(4)
done encore la convergence
que la contraction
faible que nous avons adoptee.
forte.
de A,
D’oh l’expression
308
F. ROBERT
La notion
de contraction
notee y, de Rk dans Rk20, a priori y et l’etudions 3.
faible
repose
ET M. RASCLE
sur une certaine
pour la simplicite
de l’expose,
application,
nous definissons
dans la section suivante.
L'APPLICATION y Soit y I’application
de Rk dans R”,,, ainsi definie: = sup i
---fy&b)
UERk
.zgWi Xj#O
(?.$I +;x;;),
j=i
oh uj designe la j&me composante Par homogeneite,
de la norme dependant
continue #+
l,Z,...,R)
(5)
de u don&
dans Rk.
yi(u) s’ecrit aussi
Ce sup est Cvidemment d’une fonction
(i= E
atteint,
11 existe
evidemment
puisqu’il
sur le compact
s’agit de la borne superieure
de Wi constitue
done (au moins)
un ii,
par la boule unite
non nul dans Wi, et
de U, tel que
(6) Nous venons de mettre
en evidence,
d’au moins un jeu de vecteurs 2ii verifiant ment unique, nous noterons
pour M don&
dans Rk, l’existence
(6). Ce jeu n’etant
Y”(U) l’ensemble
pas necessaire-
(non vide) des matrices
de la
(a,, . . . , 2,) de vecteurs
pris
forme
que l’on peut
construire,
dans les Wi et verifiant commencer
pour chaque (6).
jeu
Ce formalisme
B dresser la liste des proprietes
PROPOSITION 3.1. Pow
&ant
defini,
nous pouvons
utiles de I’application
tout u E Rk, et pour tout S E Y(u)
yw
= SI@l,
y.
on a :
(8)
CONTRACTION
FAIBLE
EN NORME VECTORIELLE
0 <
s<
309
(9)
[M(A)]t.
De plus, pow tout v E Rk, et pour tout T E Y(v)
on a:
TluJ< +I = ~(4. Preuve.
Ces relations
sont Cvidentes,
(10)
par construction
m&me de y et
n
deS.
PROPOSITION 3.2.
y est wne semi-norme
L’application
taille k SW Rk, absolue done monotone Montrons
VA E R,
ce qui est Cvident par construction
En effet, soit R E Y(u
y(W
= I4y(4
(11)
+ r(v).
(12)
m&me de y.
E
Rk,
+ v);
Y@ + v) G Y(4
d’oh y(~ + U) = Rju + v[.
Mais alors, pour tout S E Y(u)
+
et T E 9’(v)
il vient,
puisque
R >, 0:
VI< RIuI + Rlvl < Slul + T/VI = ~(4 + y(v).
y est done bien une semi-norme absolve par construction
vectorielle (de taille k) sur Rk.
Elle est
(VU E Rk, y(u) = y( IuI)), done [l] monotone (dans
le premier hyperoctant) (0 < u < v implique y(u) < y(v)). logie employ&e dans [4], cette application
-
[l].
ensuite que Vu, v
+
vectorielle de
hyperoctant)
que VU E Rk,
V&Cons
(dans le premier
Avec la termino-
y de R” dans lui-m&me est :
HomogEne :
(Vu E Rk)(Vl -
Convexe:
-
Monotone:
sa restriction
E R)(;1 > 0) :
y(h)
= I+)).
au c6ne RkO est convexe
au sens usuel.
0 < u < v entraine 0 < Y(U) < y(v) et pour tout vecteur
u de R”, on a ly(~)l < ~(1~1). (E n f al‘t on a 1’CgalitC dans cette dernihe inCgalit6.) PROPOSITION 3.3.
L’application
y est lipschitzienne,
compacte) (pow la topologie habituelle de Rk).
done continzle (et
310
F. ROBERT
Preuve.
y &ant une semi-norme VW v E Rk
Soit alors S E Y(u OnsaitqueO
-
[y(u) -
vectorielle,
ET M. RASCLE
il vient
y(n) 1< Y@ -
4.
21).
< S < [M(A)]t.D’ohy(u
-v)
= Slu - VI< [M(A)ltlu
-
~1.
Par suite Vu, v
E
R”,
PROPOSITION3.4.
Mu) -
Pww
- 4. n
Soit u E Rk et K l’ensemble (t%entuellement vide) des
indices des composantes nulles de u. (1,. . .> k) et I un sous-ensemble suivantes sont t!quivalentes : (a)
Vi E I,
yi(u) = 0
(b)
V~EI,
VEER,
Preuve.
Y(V)1 d
Soit I? le com$l&mentaire de K dans
de {l, 2,. . , k}.
Alors les propositions
Aji = 0.
(a) S’Ccrit ViEI,
sup i: I.ujl$$$$J rjeWij= 1 %
= 0
XifO
soit encore
vi E
I,
t’j E (1, 2,. . ., k),
VXi E Wij
Iuil&(Aji~i)
= 0
ou encore, puisque uj = 0 pour j E K ViE
I;
VEER,
VX~E Wi,
#J~(A~,xJ = 0
soit enfin, puisque q5j est une norme sur Wj: Vi E I,
Vi E I?,
Aji = 0
ce qui est bien la proposition
(b).
REMARQUE. On montre aiskment que si (a) et (b) sont vkrifikes, alors Vi E I, Vj E I?, toute matrice S prise dans Y(u) PROPOSITION 3.5.
Les propriM
a un z&o en position
(6 i).
suivantes sont iquivalentes.
(a)
IL existe u non nul tel que y(u) = 0.
(b)
A admet au moins une ligne de blocs identiquement nulle.
De plus, si elles sont vt%ifi&es, les indices des composantes non nulles de u sont ceux des lignes de blocs de A identiquement
nulles.
(Par consiquent,
CONTRACTION FAIBLE EN NORME VECTORIELLE
311
l’existence d’un u > 0 tel que y(u) = 0 est caracthsie
par A = 0 mais alors
pour tout u E Rk, y(u) = 0: Preuve. strictement
Simple inch
y est l’application
application
dans (1, 2,.
identiquement nulle.)
de la proprikti:
3.4 prkddente
pour
, k} (I? non vide) et I = (1, 2,.
Par contraposition
de 3.5, on obtient la propriktt! suivante:
PROPOSITION3.6.
Pour que la semi-norme
. , k}.
K
n
vectorielle y soit une nowne
vectorielle, il faut et il suffit que A n’ait aucune ligne de blocs identiquement nwlle. En effet, cela correspond a imposer &la semi-norme vectorielle y l’axiome supplkmentaire
de skparation suivant : y(u) n’est nul que pour u nul.
REMARQUE.
On montre
de plus que,
pour
n
que y soit une norme
vectorielle rt@ulikre [5] il faut et il suffit que A admette un bloc et un seul non nul par ligne et par colonne
de blocs.
Mais alors A est totalement
culminante (cf. Sec. 5). PROPOSITION 3.7.
So3 u > 0 dans Rk (toutes composantes
strictement
Dire que yi(u) = 0 c’est dire que la i&me colonne de blocs de A :
positives).
AIi, Azi, Aki est identiquement n&e. Preuve.
Simple application
Par contraposition,
de la Proposition
on obtient
3.4, pour K vide.
la propriCtC suivante,
n
utiliske par la
suite : PROPOSITION3.8.
Pour que y applique RtO dans hi-m&e,
il faut et il
suffit que A n’admette aucawze colonne de blocs identiquement nulle. REMARQUES. (a)
Examinons
ce qui prkbde,
que Y(0)
fi est pris quelconque, (b)
l’ensemble
9’(u)
Dans le cas, sans inth&t pratique, est l’ensemble
dans les cas suivants:
oh u = 0, il est clair, d’aprks
des matrices S de la forme (7) oh
nonnul, dans Wi (i = 1, 2,. . . , k).
Dans le cas oh u = ej, j&me vecteur de base de Rk‘, il vient yi(ej) = ;sfi
pp
z x,
= S,,(AJ.
I’. ROBERT
312 Nommons realisant
vecteur culminant
pour A ji, tout vecteur ii (non nul) de Wi
ce sup (il en existe au moins un).
Alors, il est clair que Y(ej) (7) ou Bi est pris culminant
(c)
ET M. RASCLE
est l’ensemble
des matrices
Dans ce qui suit, nous serons amen&s a utiliser la matrice suivante,
dite matrice associtk i y [4], c’est la matrice respectivement D’apres
y(e,), y(es),
le point
(k, k) dont les colonnes
il est clair que la matrice
que, dans l’espace
ordonne
on appelle idiaL tout sous-espace
la terminologie
associee
a y
[M(A)lt.
3.9 Notions d’lrre’ductibilite’ et de Primitivite’ de l’dpplication Rappelons
sont
. , y(eJ.
(b) ci-dessus,
n’est autre que la matrice
Riesz,
de la forme
pour Aji (i = 1, 2,. . , k).
de Bourbaki),
c’est-a-dire
Rn comme
y [4]
dans tout espace de
vectoriel
I solide (“Cpais”
verifiant
la condition
dans
(13) que dans R k, les seuls ideaux
11 est facile de constater c’est-B-dire
espaces de base”, de l’ensemble Rappelons
des vecteurs
les sous-espaces
de base e,, ep,
alors [4] que l’application
(necessairement
ferme)
Y”(U) > 0). Rappelons
partie
y est dite irriductible si aucun ideal par y, primitive
si aucune
par y, ou encore s’il existe un entier
yp soit strictement
aussi que, l’application
sont les “souspar toute
. , e6.
de Rk n’est invariant
reunion d’ideaux de Rk n’est invariante p tel que l’application
engendres
positive y etant
(VU > 0, % # 0 entraine
monotone
et convexe,
elle
est irreductible
(resp. primitive) si et sedement si sa matrice associee [M(A)lt
est irdductible
(resp. primitive)
que la matrice
A est bloc irdductible
la norme vectorielle REMARQUE.
11 est elementaire
de montrer
relativement
reguliere 9
il est clair que l’on peut definir une
attachee
a toute decomposition
en blocs D, il le reste relativement
en blocs D’ plus “grossiere”
que D (“plus grossiere”
en blocs sur
relativement
a toute
a une
decomposition
signifiant
evidemment
que les blocs definis par D peuvent &re obtenus par une nouvelledecomposition
des blocs
B
que si A est irreductible,
Alors si un element A E M, est bloc irreductible
decomposition
relativement
B toute norme vectorielle
Plus generalement,
notion de bloc-irreductibilite M,.
Nous dirons dans ce cas
(resp. bloc primitive)
consideree.
elle est bloc irreductible donnee sur C”.
au sens usuel.
definis
par D’).
La notion
habituelle
d’irreductibilite
CONTRACTION
correspond
FAIBLE
EN NORME
alors 21la notion d’irrkductibilitk
en blocs “la plus fine”
313
VECTORIELLE
par blocs pour la d&composition
(la moins grossihre):
c’est celle oh tous les blocs
sont (1, 1). Notons
que, si l’application
aucune ligne ou colonne
y est irrkductible,
de blocs identiquement
alors la matrice nulle.
A n’a
Dans ce cas, on
savait deja [4] que si Z.Ln’est pas nul, Y(U) = y( 1~1) n’est pas nul et que si u est positif,
y(zt) est positif.
des rkciproques 4. NOTION
DE
Les rhultats
3.5, 3.6, et 3.7 fournissent
done
de ces rCsultats.
CONTRACTION
FAIBLE
EN
NORME
VECTORIELLE
Elle repose sur la 4.1.
PROPOSITION
Pour tout u dome dans Rk, l’ensemble des vecteurs v
de Rk vhrifiant vx E C”, est caractkis6
lup(4
G vw4
(14)
+ar l’inhgalite’
(15)
Y(U)< v. Preuve. la relation
(a) Soit v un vet :teur de Rk vhifiant
(14).
Pour x = xi E Wi,
(14) s’krit
Iult D’oh pour xi non nul dans Wi
i'i >
+
lUjl
$+@;I
d’oh enfin par passage au sup sur tous les xi non nuls de Wj vi 3 r&4 et v vhifie
bien la relation
(15).
(i = 1, 2,. . .) k)
314
F. ROBERT
ET M. RASCLE
(b) Montrons que le vecteur Y(U) lui-mCme vkrifie (14).
Or 1.~~1 > 0.
En effet,
On peut done minorer cette derniilre quantitk par
ce qui montre bien que l’on a vz E C”,
(c) Puisque
y(u)
l~(ww
vkrifie
<
TY(41'2%4.
(14), il est clair que tout
a fortiori (14) et la dkmonstration
est complhte.
On rappelle que l’on pose classiquement
(16)
ZI> y(U) vkrifie
pI
pour toute application
T de
Rk dans lui-m&me, et pour tout u 3 0 dans Rk, mais non nul
avec par convention En particulier,
r/&)
= sup{u E R, T(u) > cm}
(17)
TV
=
(18)
inf{P E R, T(u) < /Iti}
sup(O) = -
co ; inf (0) = + co.
pour u > 0, il vient
Si de plus T est monotone,
il est clair que l’on a, pour tout u >, 0, u # 0
dans Rk
0 < 17244 G ~244 On dira qu’une application
T monotone
sur Rk est c-monotone
(c &ant un
nombre Se1 positif) s’il existe u > 0; u # 0 tel que qT(u) 3 c, autrement dit si
CONTRACTION
FAIBLE
EN NORME
sup q&b) u>o UfO
En particulier [4].
si elle n’est c-monotone
d’oh rhlte,
Enfin,
>,
toute application
On dira qu’une application
(20)
irrkductible
est c-monotone
jamais c-monotone
n'est
pour aucun r&e1 positif c, autrement
dit si
que pour tout u > 0, u # 0
de manihe
notera p(T), rayon spectral
kvidente
les notions
monotone
de vecteur
propre
T de Rk dans Rk et l’on
de T, le module maximum
des valeurs propres
On a alors le rirsultat de base:
TH~OR~ME
Soit T une ap#‘cation
1[4].
monotone, continue done compacte. (a)
0.
monotone
et de valeur propre d’une application de T.
c >
T de Rk dans Rk
si T est monotone,
on dkfinit
315
VECTORIELLE
de Rk dans lui-n&me, homogdne,
Alors
Ou bien elle n’est jamais c-monotone:
alors elle n’admet qu’une seule
valeur propre, 0, attach&e a au moins une direction de vecteurs propres > 0. On a alors 0 = supqT(u)
= p(T) = inf zT(u).
U>O U#O
La borne sup &ant (b)
atteintepour
tout vectewpropye
Ou bien elle est c-monotone
propre p(T) su$kieure
(21)
u>o
>
0 de T.
(c > 0). Alors elle admet une valeur
ou &ale au nombre c (done positive),
mains une direction de vecteurs propyes > 0, et sup&ewe
attache’e a au
ou &ale au module
de toute autre valeur propre,1 et l’on a les formules de mini-max 0 < sup qr(%) = p(T) = inf zT(u), U>O U#O
la borne sup dtant atteinte En particulier
pour
suivantes: (22)
U>O
tout vecteur propye > 0 de T attache’e a p(T).
si T est irrkductible,
le rayon spectral p(T) de T est la
seule valeur propye attache’e a des vecteurs $ropres
2, 0.
En fait
p(T) est
attache’ d des vecteurs projwes > 0. De plus, on a alors les formules de minmax suivantes : 1 Valeur propre 6ventuellement u dam C”, T(u) =
Z-(1~1) (cf. [4]).
complexe:
on peut
complexifier
T en posant, pour
F. ROBERT
316 0 < sup qT(u)
= sup qT(u)
U>O UfO
Ce theoreme
= inf tT(u),
(23)
U>O UfO
pour tout vecteur propre
> 0 de T (attache’
d p(T)). constitue
de Perron-Frobenius
evidemment
l’extension
a des applications
l’appliquerons
Nous
= inf rT(u) U,O
les bornes sup et inf Want atteintes alors nkessairement
theoreme.
= p(T)
U>O
ET M. RASCLE
du theoreme
classique
non line’aires.
B y, qui verifie
Cvidemment
les hypotheses
du
Pour y, nous noterons q et T au lieu de q,, et t, et nous poserons R(A)
= supp(S). U>O U#O SEY(%)
D’apres
(21) et (22), il vient p(y) = inf r(u) = sup v(u). U>O u>o
(24)
UfO
De plus, si y est irreductible Q > 0 attache Nous
[M(A) irreductible],
y admet un vecteur propre
B p(y).
appliquerons
aussi le Theoreme
1 a toute
matrice
carree
non-
negative S (S > 0). Une telle matrice en verifie Cvidemment les hypotheses, et la forme la plus faible des formules de min-max supqa(u)
= p(S)
= inf ra(u).
U>O uto
= max l
ohs,,
‘su]i __
valable
pour toute
U = diag(u), il vient
= S,,(
W’SU)
ui
denote la norme de matrice p(S)
resultat
(25)
u>o
A noter que, pour u > 0 et en posant rs(u)
citees s’ecrit ici:
engendree
par la norme du max, d’ou
= inf S,,(U-lSU) IL>0 matrice
nonnegative
(26) S, qu’elle
soit
ou non
irrt!ductible.2 2 Ce rCsultat est dkmontrk directement
dans [2] et compl&
ainsi:
l’inf figurant
dans (26) est atteint si et seulement si il existe z > 0: Sz < p(S)z done en particulier si S est irrkductible
(rCsultat alors classique).
CONTRACTION
Le Theo&me
FAIBLE
1 est alors un argument
de base pour la suite.
Pow tout u > 0 mais non nul et tout v > 0 dam Rk,
PROPOSITION 4.2.
pour toute matrice S prise dam 9
Preuve.
317
EN NORME VECTORIELLE
(u) , on a
Puisque y(v) < [M(A)]%,
il est clair que
r(v) < “[M(‘&4. Par ailleurs, et puisque y(U) = S u, il vient V(U) = qs(u).
Or, d’apres
(25) ~(4 d P(S). 11ne reste plus qu’a montrer que p(S) < z(v). Or d’apres la Proposition (3.1), on a Sv < y(v)
puisque
S E Y(G).
Par suite p(S) = inf rs(4 m>O et (27) est entierement PROPOSITION 4.3.
Preuve.
demontre.
< rs(4
< r(v),
n
Pour tout u >, 0 et # 0 dans Rk, on a
Par definition
d’ou puisque y est monotone
et homogene
0 < Yw41 < Y[+4~1 = +M~). d’oh par definition
de z[y(~)]
+441 < +). L’autre
in&alit6
se prouve
resultat de base de cette etude.
de facon
n analogue.
Etablissons
alors le
F. ROBERT ET M. RASCLE
318 TH~OR~ME 2. P(A) G P(Y) = W) Prewe.
P[WA)I.
e
(29)
En effet, on tire de (27) sup q(U) < sup p(S) < inf t(v) < inf t y>. WWlt(v) U>O UfO .%9(zc)
U2-0 uzo
ce
v>o
qui donne bien p(y) = R(A) < p[M(A)].
que p(A) < p(y).
Considerons,
11 ne reste plus a demontrer
pour u > 0 dans Rk, I’inegalite
de base
(cf. 4.1) Qx E C”,
++W
<
b441tP(~).
Choisissons pour x un vecteur propre de A attache a une valeur propre de module p(A).
Puisque
11 vient
x n’est pas nul, p(x) ne l’est pas non plus.
u E Rk,,, u”$(x) est une quantiti: reelle strictement
positive.
Alors, puisque D’oh
d’oh il resulte, par passage a l’inf sur tous les u > 0, que p(A) < inf z(a) = P(Y)
u>o
et la preuve est complete.
n
11 est alors nature1 d’introduire DEFINITIONS. La quantitkp(y)
les sera a@h’e
constante de faible contrac-
tion de A (relativement d p) : c’est le rayon spectral de y. A seya dite faiblement
contractante
relativement 2 p si p(y) < 1.
Avec
le Theo&me
2 s’enonce
ces definitions,
THI?OR~ME 2’.
La contraction
de la facon
faible [p(y) < l] implique
suivante:
la convergence
[p(A) < 11tout en e’tant mains impkative que la conhaction forte [p(M(A))
< 11.
CONTRACTION
FAIBLE
5. DES EXEMPLES.
5.1.
Voyons
EN NORME
NOTION DE CULMINANCE
ce que deviennent
de la norme vectorielle la norme vectorielle de A s’identifient
TOTALE
les resultats
precedents
dans le cas
type sur C”, definie par p(x) = 1x1et qui engendre
M(A)
Les sow-espaces
319
VECTORIELLE
= IA 1sur M,
(Sec. 2).
Wi relatifs a p Ctant de dimension
1, les blocs Aij
a ses elements aii (i, j = 1,. . . , PZ).
On a alors, pour tout u dans Rk
ce qui permet
de retrouver
que, pour u don&
dans Rk, l’ensemble
des
vecteurs v verifiant
vx E est caracte’rise’ par l’inegalite
IUl$4XI < VqXl
0,
JAJtjz4\ < zi.
De plus, pour tout u > 0 dans Rk, il vient
~(24) = min
* la&uj C-. z&i
l
D’autre
t(u) = max 2++ !+ '
1
=
S,,(U-lIqtq
z
part, il resulte de (31) que pour tout u > 0 dans Rk, IAIt est
Clement de .9’(u).
Par suite
WA) =
PW)
=
PPI)
La double inegalite sup 44 U>O
< R(A)
= P(Y)
[ = inf T(U)] u>o
s’ecrit done ici
!!YTX$5 -\
sup min i U>O1
par consequent
matrices nonnegatives
u>Ol
un resultat
classique
[7] applique ici a la matrice
On a done dans ce cas coincidence negatif suivant :
= inf max
j=l
n lacluj C---, j=l
dans
(32)
%
la theorie
des
\AIt.
de p(y) et p[M(A)]
d’oh le resultat
I?. ROBERT ET M. RASCLE
320 PROPOSITION
Relativement
5.2.
d la norme vectorielle type,
et pour
to&e matrice A, contractions faible et forte coincident. Dans le cas general d’une norme vectorielle p reguliere, il en sera encore de m&me si l’on a, pour tout u > 0 de Rk y(u) = [M(A)ltu.
(33)
En effet, il vient alors
d’oh p(y) = u>. inf z EM(A La condition
(33) correspond
PIM(A)I.
(34)
a un cas “pathologique”
: c’est celui oh, . , k)
=
dans chaque colonne (j) de blocs de A, les differents blocs Aij (i = 1,2,. admettent
un vecteur culminant
commun.
A sera dite alors totalement culminante relativement B p. PROPOSITION 5.3.
Si
A est totalement culminante
relativement
a p,
contractions faible et forte co&dent. Et il est clair que, relativement toute matrice 5.4.
est totalement
Donnons
le decoupage
a la norme vectorielle-type
culminante:
un exemple
numerique
5.1 ci-dessus.
de culminance
totale:
en blocs indique et la norme S,,
suivante est totalement
A=
7
3
2
1
1
1
3
3
6
5
3
6
2
1
4
-8
2
,
d’oti
M(A)
1 -3
En effet, notant A=
I
A
A11
21
AIZ
A
22
avec
sur chaque bloc, la matrice
culminante :
1
p(x) = 1x1,
c’est l’exemple
i
I
=
CONTRACTION
et &I
(1) All vecteur (7
-
FAIBLE
(1
-
3
1
321
EN NORWIE VECTORIELLE
ont un vecteur
culminant
1) relatif a la ligne (4
commun,
-
1
par exemple
3) de A,,
6) de Asi.
(2) Ai2 et &e ont un vecteur culminant commun, par exemple vecteur (- 1 1) relatif a la ligne (- 8 4) de A,, et a la ligne (6 de A,,. Dans ce cas, on a p(y) = p[M(A)] 5.5
= 22,35.
11 est clair qu’il suffit de changer quelques signes d’elements
a la norme vectorielle
B=
choisie.
4
137
1
0
218
4
3
1
culminante
de A
relativement
1 3
2
d’oh
,
M(B)
=
8
121
16
9i’
I’
1
2
36
calculs faits”
-31
(cf. Sec. 7), les inegalites f(B)
< P(Y) 6
Pwm
ici 14,019..
Ainsi, et relativement est
3)
Prenons par exemple
‘7-365
s’ecrivent
le
.
pour obtenir une matrice qui n’est plus totalement
“Tous
le
et a la ligne
faiblement
contractante.
. < 19,856..
. < 22,35..
a la norme vectorielle
contractante,
done
. .
choisie, la matrice
convergente,
sans
B/20
&tre fortement
Notons d’ailleurs que
Lx
i
gj
)
= 1,l
et
et que
S,,
= 1,45
go (
)
(norme de matrice engendree par la norme dite de la somme des valeurs absolues):
ces deux tests ne permettent
convergence,
plus onereux il est vrai: 6. COMPARAISON PARTIELLE.
pas non plus de conclure
comme le permet celui de faible contraction
a la
(numeriquement
voir Sets. 7 et 8).
DES CONTRACTIONS
FAIBLE
ET FORTE.
CULMINANCE
NON CULMINANCE
La question se pose naturellement est une notion effectivement
de savoir quand la contraction
plus fine que la contraction
forte.
faible
En d’autres
F. ROBERT
322 termes, il s’agit de savoir quand la quantite meilleure
que p[M(A)].
“raisonnable”
Nous allons
ET M. RASCLE
p(y) est une majoration
elaborer
une condition
pour qu’il en soit ainsi. Prealablement,
de p(A) suffisante
nous aurons besoin
de quelques DEFINITIONS.
A sera dite culminante
deblocsA,touslesblocsA,,.(i
d’indice Y si, dans la &me colonne
= 1,2,...,
k) admettent
un vecteur culminant
commun. Ainsi, culminante
dire que
A
est totalement
d’indices
1, 2,. , . , k.
A seya dite non culminante On rappelle
l’irreductibilite
REMARQUES.
(b) Avec la decomposition est culminante
la matrice
218
4
3
113
2,
depend
2
et la norme suivante,
engendree
qui est bloc
1, mais pas d’indice 2 :
-31
de culminance $J choisie.
que du choix
particulieres
316
sont evidemment
vectorielle
est irreductible
1
11 norme
indice.
1
0
notions
est
B donnee en 5.5, est a la
bloc, la matrice
d’indice
7-365
(c) Les
d’aucun
si M(A)
en blocs indiquee
4-137
culminance
qu’elle
et bloc irreductible.
par la norme du max sur chaque
c=
dire
de y).
(a) Par exemple,
fois non culminante
c’est
si elle n’est culminante
que A est dite bloc irrtfductible
(ce qui traduit
irreductible,
culminante,
d’indice
relatives, La notion
de la decomposition
choisies sur chaque
Y, culminance
pour une matrice
totale,
non
A don&e
a la
de bloc irreductibilite, en blocs
bloc pour construire
elle, ne
et non des normes la norme vectorielle
utilide. 11 suffit l’ensemble
alors, pour u > 0 dans R Ic, de se reporter Y(U)
(Sec. 3) et de rappeler
pour Ctablir la propriete
suivante,
l’expression
don&e
a la definition
de Ye
sans demonstration:
de
CONTRACTION FAIBLE EN NORME VECTORIELLE PROPOSITION6.1.
Les $ropositions
s&antes
323
sont i’quivalentes :
(a)
A est culminante &&dice r;
(b)
Pour tout u > 0 de Rk, et pour tout S E Y(u),
S a m8me riGme ligne
que [M(A)Y; (c) I1 existe au mains un IL > 0 dans Rk et un S dans 9’(u) ait me”me &me
En niant, dans le rksultat ci-dessus, k, et en rappelant
Y = l,Z,...,
tel que S
ligne que [M(A)lt. les propositions
(a) et (c), pour
que pour tout u de Rk et tout S de Y(u)
on a 0 < S < [M(A)Jt, il Gent PROPOSITION6.2.
Les propositions
suivantes sont hquivalentes :
(1) A est non culminante. (2) Pour tout u > 0 de Rk, et pour tout S E 9’(u),
il existe, dans chaque
ligne de S, au moins ztn Gment strictement inf&rieur d l’&ment
correspondant
de [M(A)]“. En kcrivant que A est culminante
d’indices
1, 2,,
. , k, on obtient.
g
partir de 6.1, le rksultat suivant : PROPOSITION6.3.
Les @repositions s&antes
sont iquivalentes :
(a) A est totalement culnzinante. (b) Pour tout u > 0 de Rk, [M(A)lt Nous sommes la comparaison
alors en mesure d’ktablir
des contractions
TH~OR~~ME3.
est l’unique Wbment de Y(u). notre rksultat de base pour
faible et forte.
Si A est bloc iwthiuctible et n’est pas totalement culminante,
alors l’imigalite’ stricte s&ante
est assude P(Y) <
,dM(A)l,
(35)
et la corttraction faible est alors une notion strictement plus fine que la conhaction forte. Prewe. (3.9).
La bloc-irrCductibilit&
de A caractkrise
l’irrkductibilitk
de y
On sait alors (Thkorkme 1) que y admet un vecteur propre u > 0
associk B son rayon spectral p(y):
y(u) = p(y)“;
y(w) = Su, il est clair que zt est vecteur propre propre P(Y)
soit S E Y(u).
Puisque
> 0 de S pour la valeus
324
F. ROBERT
A n’etant
pas totalement
culminante,
il existe
entre 1 et k pour lequel A n’est pas culminante (c) dans 6.1, il vient Clement different ment inferieur
que, dans la reme
au moins un indice Y
d’indice Y. Alors, en niant
ligne de S, existe
de I’ClCment correspondant
puisque S < [M(A)]“.
ET M. RASCLE
de [M(A)lt,
au moins un
et en fait stricte-
D’oh, puisque u > 0
(36) D’autre
part, il vient, pour tout i de 1 a k
d’oh
si p(y) etait egal B p(M(A)),
on aurait
Comme
inverse
a priori,
l’inegalite
est assuree
(Theo&me
l), on aurait
en fait
D’ou finalement
(37) ce qui est impossible, ou bien 2 &alit&,
[M(A)lt
e‘t an t ureductible,
ou bien 2 inegalites
strictes
car pour u > 0, on a dans (37) (cf. Varga
[7],
p. 32). L’exemple comparaison.
de la matrice
B donnee
B est bloc irreductible
fait, non culminante):
en (6.5)
illustre
ce theoreme
de
culminante
(en
et non totalement
on verifie que p(y) < p[M(B)].
n
CONTRACTION
7.
FAIBLE
CALCUL NUMERIQUE
Disons d’abord 7. I.
EN NORME
DE LA CONSTANTE
quelques
325
VECTORIELLE
DE FAIBLE COKTRACTION
p(y)
mots du
Calcul Nunthriqzte de l’dpplication
y dam le Cas de Normes
I1 est clair que, pour tout u de Rk, la i&me composante
Polytkidrales de y(u) peut
s’ecrire
~~(26)
est done le sup d’une fonction
boule-unite
Si les normes
en (au moins) un point extremal
Qi sont polyedrales,
fini de points
la recherche
sur un convexe
borne:
la
dans Wi de la norme &.
Ce sup est done atteint nombre
convexe
extremaux,
du maximum
En pratique,
leurs boules-unite
de cette boule.
n’admettent
d’oti le calcul numerique
qu’un
de Ye
par
d’un nombre fini de quantites.
nous utiliserons
pour toutes
les normes +i soit la norme
du max, notee tirn, soit sa norme duale : la norme de la somme des modules des composantes,
notee &.
espace R”, la boule-unite
(On remarque
evidemment
que, sur un m&me
de la norme +a admet 2” points extremaux,
et
celle de la norme & n’en admet que 26 : d’ou un volume de calculs inferieur par l’emploi 7.2.
de $r.)
Calcul Nuvnhique L’algorithme
de la Comtante de Faible Contraction p(y)
present6
ci-dessous
propre cu > 0 de l’application du Theo&me
a pour but de construire
y. Alors si A est bloc-irreductible,
il resulte
1 que P(Y) = G4
ce qui permet
d’atteindre
numeriquement
p(y).
de savoir calculer y (cf. Sec. 7.1).
culminante,
il redonne
pour calculer
PROPOSITION
7.3.
une variante
(38)
= rb),
Cvidemment [M(A)lt
un vecteur
Cet algorithme Lorsque
de la methode
necessite
A est totalement
de la puissance
sur
alors p(y) = p[M(A)]. Pour tout u > 0 dans Rk, posons
F(u)
=
y?!.
t(u)
(39)
326
F. ROBERT
ET M. RASCLE
Alors, partant de u,, > 0, quelcolzque dans Rk, la rekuwence Ur+l
=
(Y =
m4)
0,
1,2,...),
(40)
dkffinie si et seulement si A n’admet aucune colonne de blocs identiquement nulle, permet de construire la suite (up} de vecteurs > 0 de Rk telle que (1) La suite {UT} est monotone non croissante : elle converge vers 0 3 0 dans Rk. (2) uril a au moins une composante &ale 2 la composante de u, de mJme indice. (3) On a, pour tout Y @is dans N
Ainsi
la suite des r&eelspositifs t(u,)
est-elle monotone non croissante, done
converge&e vets une limite z > 0, tandis que la suite des rheelspositifs q(uT), monotone non. dtkcroissante converge vets une limite 77; 0 < q ,< p(y) < z. (4) La suite des vecteurs positifs y(uT) est monotone et non ddcroissante. Elle converge vers y(o).
On a alors y(w) = TO.
(5) Si de plus A est bloc irrbductible, condition qui implique qu’elle n’ait aucune colonne de blocs identiquement nulle, alors (a) au bien cc) = 0, (b) ou bien w a toutes ses composantes strictement positives
(co> 0) et
par consiquent (41)
p(y) = r(w) = t(w) = z = q > 0, les suites ~jr(u,) et t(u,) Preuve.
Want alors adjacentes vers la valeur cherch&e p(y).
Tout d’abord,
dire que la rkurrence
que F applique RLO clans hi-m&me,
ce qui a lieu (3.8) si et seulement si A n’a aucune Etudions
alors les propriMs
U
dent
(40) est &fide,
c’est dire
ou encore, que y a la m&me propri&C, colonne
de blocs nulle.
de la suite ainsi construite Y(%)
r+l = z(u,)
(r = 0, 1,. . .),
il est clair qu’elle est formke de vecteurs
> 0 clans R”.
(42)
CONTRACTION
FAIBLE
EN NORME
327
VECTORIELLE
(a) Puisque, pour tout u de Rk, y(u) < T(.u)‘u, il vient
d’oh le point (1). (b) On a alors
pour au moins un indice j entre 1 et k. D’oh
[u,+l]j
=
y$$ = [%I .;
c’est le point (2). (c) Puisque u, > 0, il vient, d’apres
(24) et (28)
D’oh le point (3). (d) Puisque
la suite des u,(>
y est monotone, Y(%) = il vient
0) est monotone
non croissante,
il en est de m&me de la suite des r(ztJ.
et que
Alors, puisque
que a4, converge vers w, t(~~) vers T et que y est continue,
+4%+1,
y(w) = t * w ce qui demontre
le point (4).
(e) Si A est bloc-irreductible, nulle
(M(A),
ayant
1 colonne
pas nul, il est alors vecteur Theo&me D’autre
(43)
1, cas irreductible,
elle ne peut avoir de colonne nulle, serait reductible).
propre de y d’aprb cc) est necessairement
(43). > 0:
de blocs
Si w (2 0) n’est Alors, d’apres
le
(38) en resulte.
part
(44
1;. ROBERT
328 ce qui montre, quantite
puisque yi(u,) converge
positive,
q = z, quantite
ET M. RASCLE
lorsque Y tend vers I’infini vers une
que ~(26,) et r(ut,) ont m6me limite.
necessairement
Par consequent
Cgale alors a p(y), ce qui acheve la demon-
stration. 7.4.
Commentaires Cet algorithme
produit
t(~~) qui convergent
done une suite non croissante
vers r > 0.
t = p(y).
Si t reste superieur
monotone,
cf. Theoreme
a p(y) (par exemple
1) l’algorithme
(1) On est stir d’atteindre
Cchoue.
en m&me temps un vecteur
P(Y). (2) En fait, on pourra conclure plus general oh les suites I est alors evidemment Bien entendu, don&e)
et si la limite
> 0 w de y attache
au succes de l’algorithme
p(y). en machine
(a une precision
p(y) par encadrements.
s’agit que d’un controle en tours d’algorithme remarquons u ?+I
a priori:
la question
[M(A)l% =
par une methode
normal,
puisqu’il
culminante,
(Y = 0, 1,.
.),
pour
U, = diag(u,).
de la puissance
appliquee
L’algorithme colineaires
a [M(A)lt,
a ceux
ce qui est
s’agit alors de calculer
d[M(AV).
Exemples Caracte%ristiqztes
Pour la simplicite,
on prend, dans les 2 exemples suivants,
A totalement
d’ou pour tout UU: Y(U) =
(1) Exemple kgatif. norme S,,
il vient
4%)
P(Y) =
culminante,
et si il ne
de succes Cventuel de celui-ci
propose produit done dans ce cas une suite de vecteurs obtenus
Neanmoins,
reste ouverte.
que si A est totalement
T(UJ = S,,(U,-l[M(A)]tU,)
Dew
a
dans le cadre
le fait que les suites v(u~) et t(.~,) soient ou non adjacentes,
Enfin,
c-
w = 0). En fait, dans ce
propre
il est possible de controler
et non d’une assurance
7.5.
jamais
Precisons:
et t(z~,) sont adjacentes : leur limite commune
oui, on est done sfir d’atteindre
avec
est acquis si
si y n’est
p(y) si A est bloc irreductible
w des u,. est > 0 dans Rk (seule autre possibilite: cas, on construit
de reels positifs
Les succes de l’algorithme
W(41t14
Nous prenons, avec le partitionnement
sur chaque bloc.
Considkrons
indique, la
CONTRACTION
FAIBLE
EN NORME
VECTORIELLE
329
o/o 0
0 0
0~0
A=
1
d’ohM(A)=
/l
0~0
0 ’
!o
010
0
11 est clair que A est totalement
culminante,
et bloc-irreductible
[M(A)
irreductible]. Puisque
A est totalement
culminante,
il vient p(y) = p[M(A)]
= 1.
En fait on a, pour CL=
211 >
0
f42 >
0,
u, y(u) = iM(A)ltu
=
261.
D’oti
17(4 = min(u2/+, u11u2);
W
= max(~21~l,M42),
et
avec sup ~(24) = p(y) = inf ~(24) = 1. v>o U>O Sup et inf Ctant atteints
par exemple
propre
1 w = 11
2 I on obtient
la suite
pour le vecteur
de y. Si on applique
l’algorithme
en partant de zco =
de vecteurs U,=~;‘2
+:;;
11’S u4 =
III6
+~ l/an
. .* 1,2n-1
et cette suite converge vers ~1)w.4l.
I ‘2n
puis
l/2
nil
.**
F. ROBERT
330 La suite ~(2.6~)est stationnaire
ET M. RASCLE
sur la valeur +, t(ur) est stationnaire
sur
la valeur 2. I1 est clair que I’algorithme pas adjacentes
Cchoue: les 2 suites v(N~) et T(u,) ne sont
car (cf. Varga [7], p. 44, Exercise 5) M(A)
est imprimitive
et irreductible. (2) Exemple positif. vectorielle
Avec le m&me partitionnement,
0
A=
00
maintenant
0
100 ____
1
100
0
0
d’ou
,
010
M(A)
11
1
1
o
=
0
11 est clair que A est totalement (M(A)
et la m&me norme
(norme du max sur chaque bloc), considerons
culminante,
et bloc-irreductible
irreductible).
Puisque A est totalement
culminante,
il vient
I + y5 = p2= 1,618.
p(y) = p[M(A)I
.
En fait on a, pour
y(u)
= [M(A)ltu
=
1:+ u2
D’oti r(u) = max(1 + ~~/y;
q(u) = min(l + u21u1, 4u2); D’oti
Sup et inf Ctant atteints par exemple pour le vecteur propre co=
ig_1 2
de
y.
z+/tis).
CONTRACTION
Partant
FAIBLE
331
VECTORIELLE
2 1 on obtient
de +, =
ur =
EN NORME
312
36125
I312 uz = /g/lo
1
u3 =
avec t(2t0) = 2; t(z+) = 5/3;
~(24~)
On peut conclure a la r&site
36125
g/1()
576/650
z64=
.. ’
13/8 = 1,633.
=
de l’algorithme:
M(A)
&ant irreductible
et primitive, on sait (cf. [73, p. 44) que les suites v(u+.) et z(z+) sont adjacentes vers t(A)
8.
= 1,618. .
EXEMPLES
.
NUMERIQUES
(1) Avec le partitionnement bloc, considerons
la matrice
17
-5 5 -
23 8
7 8
6
-9
4
6
-5
-2
15
-3
-17
0
17
16
11
-3
-20
4
6
-5
-2
12
5
13
21
3
5
9
-7
2
3
-1
-3
6
l-l
4-2
6
16
40 - 22 -29
12
18 -11
-4
-7
-7 3
2
-
-2
4 7
4
12
4
1
13
-4
9 -5
18
-8
4
22
-
M(A)
M(A)
est irreductible.
=
19
51
91
86
54
46
58 !
42
44
40
41 ~.
132
18
31
521
19
-3 2 -7 7 -
d’oti 47
-8
0
12
12 -15
23
16
-8
-3
-4
-4 -5
17
-1
-17
9
-_I3
18 _
-3 1
-1
-26 4 -10
1
16
-11
0
-3
2
-
18
4
13
10
6 -17
9
26
19
7
4
5
10 -4
-4
12
12
-3
1
24 -11
2
_
-
-2
5 1-l
6
40 -18
et la norme du max sur chaque
(12, 12) suivante:
10-l
3 -20 13 -
indique,
On peut verifier que A est non culminante.
23
F. ROBERT
332 Les
resultats
I’algorithme,
numeriques
don&s
pour les 4 vecteurs
sont adjacentes
ci-apres
montrent
de depart choisis:
vers la valeur 143,451.
un w > 0 proportionnel
ET M. RASCLE
la reussite
de
les suites t(~~) et ~(zL~)
. . et la suite des uu, converge
vers
a y(w).
Les inegalites
f(A) G P(Y)< #of(A)) s’ecrivent,
ici p(A) < 143,451..
. < 179,296..
. .
(2) Enfin, l’exemple de la matrice B, bloc irreductible don&e
en (5.5) a conduit aux rkultats
de depart,
on obtient,
de 10-4, un vecteur
en une quinzaine
9.
et non culminante,
Pour differents
d’iterations,
vecteurs
pour une precision
propre w > 0 de y, tel que
wl/wZ = 1,1547 ce qui correspond
suivants:
et tel que
bien aux resultats
T(W) = 19,8564..
. = p(y)
attendus.
CONCLUSION
Nous avons done defini et Ctudie, 8. partir du ThCoreme de contraction
faible
en norme
vectorielle,
strictement
plus fine si A, bloc-irreductible,
Les questions
laissees
equivalente
ouvertes
l’unicite particulier
applications
de la direction
proviennent
de la suivante:
que donne le Theoreme
1
T, on manque d’information sur attach&e au rayon spectral p(T),en
propre
dans le cas irreductible.
Une telle etude spectrale (mais non utilisee) de repondre
constante
en fait
mais
culminante.
non line’aires
repose probablement
de la notion g&r&ale de primitivite doute
culminante,
n’est pas totalement
dans le cadre de la theorie de Perron-Frobenius pour certaines
a la contraction
ou A est totalement
forte dans le cas “pathologique”
1, une notion
a la Sec. 3.9 du present aux questions
de faible contraction
de I’adjacence
sur l’approfondissement
telle qu’elle est definie en [4] et rappel&e laissees
travail.
Elle permettrait
sans
dans le calcul
de la
ouvertes
(Sec. 7), en particulier
de regler la question
des suites q(z+) et ~(a,).~
3 Ajoutd ci la correction des ~p~pyeuues : Pour d’autres kultats Perron-Frobenius
r¢s en Theorie de
nonlineaire voir Cgalement H. Schneider and R. E. L. Turner, Pos-
itive eigenvectors of order preserving
maps, J. Math.
Anal.
Appl.
37(1972), 506-515.
1
11k-G
p~w%)l
W,)
wd
*1.
Itekation
1
54,079
143,451
81094,
122,942
143,417
180,258
47 22 23 38
33 58 25
19
29 46 40 28
29 46 40 28
16
19 54 44
16
19 54 44
137,525
inchangke
146,650
inchangbe
0,5656
0,7161
27 81 41 26
0.5684
0,5074
0.6820
2
0,5694
0,666s
1
1
131,932
109,792
27 81 41 26
1
1
1000
0
47,087
rl(%)
inchangke
143,417
142,135
inchangbe
143,923
inchangke
0,5304
0,557o
0,5074
0,665O
3
TABLEAIJ
143,121 2
144,065
126,902 143,451
33 58 25 19 153,183
47 22 23 38
51053,
257,741
29 46 40 28
47 22 23 38
inchangke
19 54 44 16
16
19 54 44
29 46 40 28
16
8 31
51 14
19 54 44
0,3663
0.4253 27 81 41 26
0.3897
0,4259
27 81 41 26
0,9222
0,4649
143,375
143,451
143,527
33 58 25
19
29 46 40 28
19 54 44 16
27 81 41 26
0,523s
0,5542
0,5074
0,6649
4
143,408
inchangke
143,487
inchan@
0,3663
0,3871
0,354s
0,4663 0,3566
0,4663 0,3743
4
3
2
1
47 35 22 30
1
1
0,9223
0,3743
1000
1
1
0
Pw41
dU,)
S(u,)
%
Itkation
TABLEAU
143,456
143,444
inchangke
143,460
inchangbe
0,523s
0,5536
0,5072
0,6647
5
143,447
inchangke
143,450
inchangee
143,452
inchangke
0,523s
0,5536
0,5072
0,6646
6
143,450
inchangee
143,452
inchangbe
0,3663
0,3663
inchangke
0,3871
0,3546
0,4647
6
0,3871
0,354s
0,464s
5
inchangbe
143,451
inchangke
143,451
inchangee
inchangke
7
143,451
inchangke
143,451
inchangke
7
8 F M
F-4
rib,)
pwJ,)l
d%)
Sk)
UP
Ittration
rlw
pre$J1
+%.)
SW
ur
Itkration
33 58 25 19
38,092
126,902
16
0.5071
0,5075
inchangke 132,477
103,214
150,221
inchangbe
g
143,072
143,451
143,848
33 58 25 19
29 46 40 28
16
143,421
inchangke
143,523
inchang6e
143,448
inchangke
143,457
inchangke
143,450
inchangee
143,452
inchangie
F
3
F!
0,5237
7
z
0,5237
inchangke
7
143,451
inchangke
143,451
inchangke
inchangbe
7
19 54 44
0,5237
0,526O
0.5964
0,5535
0,5071
0,6645
6
143,450
inchangbe
143,452
inchangbe
inchangke
6
27 81 41 26
0,5538
0.5535
0,6646
0,6648
3
0,5084
143,447
inchangee
143,459
inchangke
0,664s
143,393
143,451
143,496
33 58 25 19
0,5568
inchangke
16
5
4
19 54 44 29 46 40 28
0,5514
0,582s
0,5339
0,6997
5
4
TABLEAU
142,782
143,417
143,744
47 22 23 38
29 46 40 28
27 81 41 26
0,5517
0,5832
0,5339
0,6998
4
0,5952
143,417
212,134
47 22 23 38
47 22 23 38
31073,
29 46 40 28
8 31
51 14
16
19 54 44
19 54 44
16
1,2258
27 81 41 26
1000
1
0,5186
1
1
0,664s
0,9688
1 0,5186
2
140,728
inchangke
148,271
inchan&
1
120,861
inchangbe
214,824
47 35 22 30
0
40,103
143,451
44809,
inchangk
19 54 44
29 46 40 28
16
19 54 44
0.5554 27 81 41 26
0,5695
0,5695
0,5836
0,5339
0,7027
3
3
27 81 41 26
1
0,5626
0,7368 0,5836
1
2
0,9095
0,9239
1
1
1
1000
0
TABLEAU
CONTRACTION
FAIBLE
EN NORME
VECTORIELLE
335
REFERENCES F. L. Bauer, J. Stow, et C. Witzgall, 3(1961), 2577264. C. Odiard. Un corollaire nications”
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matrices
“Breves
commu-
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and matrices
partitioned
de certains operateurs
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un
(a paraitre).
Bloc H matrices et convergence
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Received
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