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Holonomie Evenescente des Equations Differentielles Degenerees Transverses
Singularities & Dynamical Systems S.N. Pnevmatikos (editor) 0 Elsevier Science Publishers B.V. (North-Holland), 1985
161
HOLONOMI E EVENESCENTE DES E Q U A T I O N S D I F F E R E N T I E L L E S DEGENEREES TRANSVERSES Robert
Moussu
U n i v e r s i t i ! de
Dijon
France
: Un germe en 0 c E2 d'dquation diffdrentielle holomorphe o = 0 tel que 2 j w = y dy et j o est "gdn&rique" posskde une unique sdparatrice X d'dquation w 2 y + x3 = 0. Deux telles dquations sont holomorphiquement conjugudes si. et seule-
RESUME 1
ment si elles ont la mime holonomie dvanescente. Cet invariant est plus prdcis que il existe des dquations w = 0 dont toutes les va0 C Ez et telles que X b une holonomie nulle.
l'holonomie de la sdparatrice ridtds intdgrales adhkrent
:
0
1. INTRODUCTION et RESULTATS.
Soit o =
a
dx + b dy = 0 une dquation diffdrentielle holomorphe sur une petite
boule EB = { ( x , y ) b E 2/xZ + y g = E}dont 0 est le seul point singulier. Elle ddfinit un feuilletage holomorphe 5 de €6 - { O } sans singularitd. C. Camacho et P. Sad w ont montrd dans [2] que 3 posside au rnoins unc A6pah&ice, c'est dire une w feuille Xo dont l'adhdrence X dans eB est un ensemble analytique de codimension 1 qui contient 0 , x0 = x - {O}. Soit f une dquation rdduite de X sur un voisinage de 0. On peut supposer, E dtant pris assez petit,que EB est une boule de Milnor pour f [ll]. Pour comprendre
F
au voisinage de Xo il est nature1 de comparer 3 b la fibrala gdomdtrie de w w tion de Milnor de f. Un outil classique pour cette dtude est L'kolonomie d e Xo : au gdndrateur du groupe fondamental de Xo (homdornorphe 2 S1 xR d'aprks [ll]) correspond un diffdomorphisme d'holonomie de la feuille Xo
, hw,X , qui est un dld-
, Diff(En,O) ddsignant le gtroupt de4 ge~mcnd t di~66omokphiome4 holomorphes qui fixent 0 G En. Plus prdcisdment, c'est seulement la chhAe dc ConjugaiOofl de hw,X , [hw,X ] , ie sa classe d'dquivalence modulo les automorphis-
ment de Diff(E,O)
mes intkrieurs de Diff(E,O) qui est bien ddfinie ; nous l'appelons holonomie de la sdparatrice X . I1 est clairque si deux dquations w = 0, w ' = 0 sont hoLomotrphiqutrneuzt conju-
guheo , i.e
leurs skparatrices ont les m h e s holonomies. Rdciproquement, si w = 0 uz'e4.t pa4
162
R. Moussu l a rnatrice reprdsentant l e 1 - j e t du champ X
d6ghn&k, i.e
= b
a ax
a
a -- posskde
ay au rnoins une valeur propre non n u l l e , o = 0 b une ou deux sdparaLrices (Poincard (0
[14], Dulac [ 7 ] ) dont l e s holonomies c a r a c t d r i s e n t "en g i n 6 r a l " l a c l a s s e de conjugaison d e l ' k q u a t i o n 10 = 0 ; c ' e s t toujours l e c a s s i l e s deux v a l e u r s propres de 1 3 X sont non n u l l e s ( v o i r p a r exemple [ 9 ] , [ 1 0 ] , [ 1 3 ] ) . On p o u r r a i t espdrer q u ' u n 0
t e l r 6 s u l t a t s u b s i s t e si w = 0 n ' e s t p a s t r k s d&qdndr&e.Mais nous a l l o n s v o i r que ce n ' e s t pas l e cas. Si l'dquation
0
= 0 e s t d&q&n&rde mais son 1 - j e t non r r u l , e l l e posskde une
forme r-iorrnale forrnelle ( [ 1 6 ] , [ 1 2 ] ) du type : d(y
2
+ x") +
,
F(x)dy = 0
enf d i f e d P g h n h 6 e 2 den coo4donnkeA ( x , y ) G. (I: t e l l e n que
UEFlNlTlON 1
: w = 0
2 3 j w = d(y2 + x )
t
Ax
2
-
,
dy
5 [[XJ
F
Ltannuetne n i n = 3 , i.e. it e x d t e den
hd(C
.
La condition n = 3 p e u t - g t r e i n t e r p r 6 t d e en termes d e t r a n s v e r s a l i t d dans
,
l ' e s p a c e d e s 2 - j e t s d'kquation w = 0
PROPOSITION 1
:
Si
v o i r par exernple [16].
e n t d&ghn&he
w = 0
-
f ~ a n n v ~ ne el l e ponngde tine unique nkpu-
ta-ttrice X d'hquation y 2 + x3 = 0 danh de 6onnen coofidonnken ( x , y )
eot tangent& ir
[h ] de X w, X
lB
, i.e
X
e t L'koXonomie
( 0 ) = 1.
E x ~ m ~ 1 e s -~e ~o ~ j ~ 2e-R c: ~ Ihcm--: u ~ eRappelons ~ t o u t d'abord les t r o i s c o n j e c t u r e s
~
que R. Thom a v a i t proposd l o r s de ses sdminaires N o t o n s encore
w
w = 0 et soit
A = {L
I'IHES dans les anndes 74-75.
l'ensemble des f e u i l l e s de f e u i l l e t a g e d d f i n i par u n e Gquation
Fbj /i 3 0 1 ,
c-
3;
l k r e conjecture :
B =
2kme c o n j e c t u r e :
A = B =
0
et A
B = {LG
n6
holomorphe.
Fw .
fini
3w
+ w posskde une i n t d g r a l e
+ ?
A =
3w
et A
premikre
w posskde une i n t d g r a l e premikre
rn6romorphe. 3kme conjecture :
/L e s t a n a l y t i q u e }
9
1
6 est finie>Les
s d p a r a t r i c e s p o r t e n t de
l'holonomie. La premikre c o n j e c t u r e e s t v r a i e [13]
l a troisiime
,
,
l a deuxikme e s t f a u s s e [ 5 ] a i n s i que
comme l e montrera l'exemple s u i v a n t . L'dquation
o1 = d ( y
2
3
+ x ) + x ( 2 y d x - 3~ d y ) = 0
163
Holomomie Evenescente des Equations Differentielles DegenBrtks Transverses
e s t d k q d n k r d e - t r a n s v e r s e e t X = {y2 + x 3 = O}
3
v e r r o n s d a n s Pque chaque f e u i l l e d e que l'holonornie
h
W1
= lE.
2
wl'
est s o n u n i q u e s d p a r a t r i c e . Nous 2 (c d a n s s o n a d h d r e n c e e t
contient 0
3
L'kquation = d ( y t x ) p o s s & d e , cornme w1 , u n e u n i q u e s d p a r a t r i c e wo 2 Ainsi X = { y t x3 = 0 ) d o n t l ' h o l o n o m i e e s t lE e t e l l e n ' e s t p a s c o n j u g u d e w
a
0'
l ' h o l o n o r n i e d e l a s d p a r a t r i c e d ' u n e k q u a t i o n d 6 g d n d r 6 e t r a n s v e r s e n ' e s t pas u n i n v a r i a n t q u i caractdrise cette d q u a t i o n . Nous r n o n t r e r o n s d a n s l e p a r d g r a p h e I11 q u ' i u n e forrne d i g i n i r i e - t r a n s v e r s e , w , e s t associde u n e r e p r k s e n t a t i o n
b / 3 Z
Ho :
-+
* H / 2Z
Diff(E,O)
q u i e s t b i e n d k f i n i e a un a u t o m o r p h i s r n e i n t k r i e u r p r & s d e D i f f ( ( f , O ) . Par d d f i n i t i o n l a c l a s s e d ' k q u i v a l e n c e [H ]
huunebcente d e w
. Le
(li
de H
w
pour c e t t e r e l a t i o n e s t a p p e l d e
hodonomit
q u a l i f i c a t i f " d v a n e s c e n t " est j u s t i f i d d a n s I V : o n p e u t
c o n s i d k r e r q u e l ' h o l o n o m i e d v a n e s c e n t e est p o r t d e p a r l e s c y c l e s & v a n e s c e n t s d e Y2
+
x3
q u e [H ]
w
~
p
e
, y2
x3 = 0 & a n t
+
l'dquation d e l a sdparatrice de w
est dkterrnind p a r l e c o u p l e ( f , 9 ) a v e c f = H
0
3
(1
*
2
P u i s q u e f = 9 = lr -1 (cp o 3 o cp,S) a v e c
,
0)
g = Hw(O
1). w
3
un c o u p l e
3 (x) = j x
.
'p G D i f f ( ( f , O ) Un p e t i t c a l c u l r n o n t r e q u ' i l e x i s t e u n u n i 2 cp(x) = x + P ( x ) t e l q u e
ob j = e x p ( Z i n / 3 ) e t
q u e cp d u t y p e
*
o n p e u t p r e n d r e p o u r r e p r k s e n t a n t d e [H
,
S(x) = -x
[H(w)l =
[(f,g)l
[cp-l o 3 o cp,S
=
]
Par e x e r n p l e , p o u r l e s i q u a t i o n s wo = O , w l = O o n a H w . = (3,s) 0
avec
. Remarquons
q(x) = x/l+ax
,
,
H
1
O1
a E (c - {O}
(cp-l o 3 o cp,S
.
164
R. Moussu
Ce thdor&me de synthise est un cas particulier d'un rdsultat plus gdndral que j'ai montrd avec D. Cerveau. I1 sera l'objet d'une publication ultdrieure. Ces deux thdortmes posent plus de problkmes qu'il n'en rdsolvent, par exemple : = lB qui 1. Existe-t-il des dquations ddgdndrdes transverses w telles que h 0,
x
ne sont pas holomorphiquement conjugudes i w et w1 ? Cette question est dquivalente (d'aprks le thdorkme 2) la suivante : existe-t-il f,g Diff(B,O) tels w e
2.
3 f = g2 = (f.9) 6=
et [(f,g)l i [H
wo
I
,[t{
I
?
(")
D. Cerveau a montrd qu'une 1-forme w ddg&ndrde transverse posskde une forme
"normale" du type
:
w = a d(y2
+ x3) + (y2 + x3 ) n +
Xx(2x dy - 3y dx)
OA a est une fonction holomorphe telle que a(0) f 0 , rl est une 1-forme holomorphe et X E. E. Quelle relation existe-t-il entre cette forme normale et [ H ] ? Comment interw 3 vient i travers i- et x(2x dy - 3y dx) la connexion de Gauss-Manin de y2 + x dans le calcul de hw,x ' de Hw ? Les techniques de 3 . Ecalle sur "les fonctions r6surgentes permettent peut 6tre de rkoudre la premikre question ; quant la deuxikme e l k peut-Etre abordde en utilisant des arguments de B. Malgrange
[a]
.
11. DESINGULARISATION ( [ 11, [ 131,[ 151 ) DES FORMES DEGENEREES-TRANSVERSES.
N
La d6singularisation d'une dquation w = 0 est la mgme que celle de 3 w = 0 nous pouvons pour N grand. En utilisant la forme normale de Takens,[l6],[12], donc supposer que : w = d(y2
+ x3) + x2 P(x) dy
,
P&IR[X]
Nous allons constater que w est ddsingularisbe (ou rdduite au sens de [13]) par les trois bclatements suivants (Figure 1) ler dclatement : nl : M1 + t2est l'dclatement de 0 & (c2 repdrds par les deux cartes : (t,x),(t',y) avec tt' = 1 , y = tx ;
. Les points de M1
sont
n 1 (t,x) = (x,tx) , nl(t',y) =(t'y,y) et A = (t = 0 , x = 0 ) . On note p1 = nl-l(o) (*)
RCcemment J.Ecalle et Y.C.Yoccoz ont montrC l'existence d'une infinit6 de [ ( f , g ) l [ ( f ,g) 3 distincts
.
165
Holonomie Evenescente des Equations Dif fgrentielles Dgknkrdes Transverses 2kme dclaternent :
n2
: M?
(u,t),(u',x) TI
On note P
M1 e s t 1'6clatement de A eMl.
-f
Les p o i n t s de M
par ( t ' , y ) e t l e s deux c a r t e s :
sont rep&&
= n2-'(~)
2
,
uu' = 1
avec
2( u , t ) = ( t , t u )
x = tu ;
n2(u',x) = (x,u'x).
B = P r\ P? = ( u = 0, t = 0 ) . 1
et
3kme dclatement : n 3 : M3 -+ M2 e s t l ' d c l a t e m e n t de B & M2. sont rephrds par ( t ' , y ) , (v,t),
Les p o i n t s de M3
( u ' , x ) e t l e s deux c a r t e s
,
avec v v ' = 1
(v',u)
p3 = n 3 - ' ( ~ )
et
M1
u = tv
,
n3(v',u) = (u,v'u).
c
= P
n3(v,t) = (vt,t) On note
C' = P 3 n P2
P3
M2
M3
L
F i g u r e 1.
En &sum& l e s p o i n t s de M3 sont repdrks par l e s quatre c a r t e s ( t ' , y ) ,
,
( t t l = 1, y = t 3 v )
( u ' , x ) avec
Dans ces c a r t e s l ' a p p l i c a t i o n n(t',y)
,
=(t'y,y)
2
n(v',u) = (u
Dans l e s c a r t e s ( t ' , y ) ,
2
TI
( v v l = 1, u = v t )
= n3 o
TI(V,t)
,
V',U3Vt2) (u',x)
TI^
,
(v,t),(v',u)
( u u l = 1, x = u v l ) .
o n1 s ' d c r i t :
2
3
= ( t v, t v )
n(u',x) = (x,u'x).
l e s d c l a t d s " d i v i s d s " [13] de w
n ' o n t pas de
p o i n t s s i n g u l i e r s ; en e f f e t (1)
n*(w)/y
(2)
TI
*
de (3)
%W
par
(w)/x
-
e t a i n s i P1
= U(y,t')dy
+ y d t ' (...)
avec U ( 0 , t ' ) f 0
(...I
avec V(0,u') f 0
= V(x.u')dx + y d x '
C e t P2
-
C ' sont des f e u i l l e s du f e u i l l e t a g e
Dans la c a r t e ( v , t ) l ' d c l a t d d i v i s i de
TI.
-
*
5
w = 'TI ( w ) / t v = 6 v ( l + v
a pour seuls p o i n t s s i n g u l i e r s sont r 6 d u i t e s [ 1 3 ]
.
+
t A(t,v)
C = (0,O) e t
+
dt
t ( 2 t 3~
C" = ( - 1 , O )
+
-
W
image rdciproque
tB(v,t))dv
e t ces s i n g u l a r i t d s
E n f i n pour Gtudier l e d e r n i e r p o i n t s i n g u l i e r , C ' ,
nous dans la c a r t e ( v ' , u ) :
(4)
-
W'
avec A ' ( 0 , O )
=
* TI
5
(w)/u
= B'(0,O)
V'
= 2v'(1
+
A'(v',u))du
+ ~ ( + lB ' ( v ' , u ) ) d v '
= 0 ; c e t t e s i n g u l a r i t d est aussi rkduite.
plasons-
R. Moussu
166
_________ O&norlstrntion d e
N
l a p r o p o s i t i a : L'imagr riciproquc Xpar
TI
des,on p l u t 6 t d e l a
s 6 p a r a t r i c e X d e 10,coupe l e d i v i s e u r e x c e p t i o n n e l e n l ' u n i q u e p o i n t s i n y u l i e r d e l ' k c l a t i divish de w d i s t i n c t des "coins" C,C', c'est d
( v , t ) , d ' a p r b s (3) ( v a i r [ 7 ] , [ 1 4 ] ) X v + 1
t
d i r e err C " . D a n s l a c a r t e
a u n e d q u a t i o n du t y p e :
t2 f ( t ) = 0
P a r un c a l c u l b l h r n e n t a i r e o n e n d h d u i t q u e ] ' u n i q u e s k p a r a t r i c e tiori
~ L tJy p e
y
e t que h'
W,
X
x
d e w a u n e t'qud-
:
2
+ x3 +
i j ai,jx y = 0
c
i +"i _ > 3
( 0 ) = 1 d'aprhs 3
( v o i r [lj]
avec
"3,O
=
-[Ill).
111. HOLOIIOI.1IE EVANESCENTE : r e p o s e s u r l e lemme s u i v a n t :
La c o n s t r u c t i o n d u rnorphisme H
i*I
-
O d m~ o n s t_ r a t i o_ n : _D'aprks _
1.11, 2 . 1 1 ,
Fill d ' d q u a t i o n s
ment r o n n e x e s d e
,
PI-C
respectives
-
P -C'
2
s o n t d e s f e u i l l e s lisses s i r n p l e -
y = 0 dans ( t ' , y ) , x = 0 dans (u',x).
I1 e x i s t e d o n c F1,F2 cornme dans l ' b n o n c & du lemrne. L 1 6 q u a t i o n Z , 3 . 11, q u i d g f i n i t
1
3 w
3hl
au voisinage d e C
d
p o u r I-jet
2(3v d t + t d v ) .
-
C'est une & q u a t i o n r k s o n n a n t e d a n s l e domaine d e S i c g e l . E l l e p o s s t d e une 3 i n t h g r a l e p r e m i k r e h o l o m o r p h e F = t vU a v e c U(0) f 0 p u i s q u e sa s k p a r a t r i c e P 1
a o n e holonornie t r i v i a l ?
( d ' a p r e s [7] ,[13],[10])
.
P a r un argument a n a l o g u e on
montrc l ' r x i s t e n c e d e F ' . c--
5w
Description de -
a u v o i s i n a q e d e P3
. Plasons-nous
dans l a carte ( v , t ) e t notons
D,D',O" des p e t i t s d i s q u r s d a n s P 3 = { t = 0 ) c e n t r h s e n C,C',C" e t s o i e n t Q Pour
F
3 ~
P
3
> 0 assez p e t i t , k
(ii-
,
- D U D ' u D"
6v(l + v
3 /U3 w
t
tA)dt
cst t r a n s v e r s e dux f i b r e s v
x
U3 = { ( v , t ) /
~e O3 ,
/ti <
E
1
q u i a pour kquation 3.11 : t
t(2
t
3v t tt1)dv = 0
{It1 > ~ l d eU3. Le g e r m e d e ce f e u i l l e t a g e l e l o n g
167
Holonomie Evenescente des Equations Diffbrentielles Dbg4nerees Transverses
03 e s t c s r a c t d r i s d p a r l ' h o l o n o m i e d e sa f e u i l l e Q 3 , c ' e s t c e t t e holonomie que nous a p p e l o n s hoPonomie euunehcente d e w . Pour b i e n l a d d f i n i r , c h o i s i s s o n s l e s
de
g6nkrateurs
T ~ ( O ~ , C ", ~C )' l 0 6 2D" d e l a faCon s u i v a n t e :
u,E
l e l a c e t o b t e n u en p a r c o u r a n t l r segment C" C Cl0
a D f ) , p u i s l e cercle
&
0 0
ao
6.~1
) est
(resp. 2D
(resp.
d m s l e s e n s i n d i r e c t (resp. l e cercle a D ' d a n s l e
s e n s d i r e c t ) e t e n f i n l e s e r p e n t CoC"
y =
0:
( r e s p . C"oC'o) oU Co
( r e s p . l e segment C C" 0
0
1. P a r c o n s t r u c t i o n
est homotope a u bord all" e t 0" p a r c o u r u d a n s l e s e n s i n d i r e c t . =
fi =
c " ~ c ~ .. c~ ~D c~" ~ -? C" C ' .3';r.c'oc"o 0 0 -
t
Y
-4
?
Ddsignons p a r f , g l e s d i f f h n o r p h i s m e s d ' h o l o n o m i e c o r r e s p o n d a n t s
f
3
= 9
2
a,B.
v
,
P u i s q u e l e l o n g d e aD e t aD' 3 2 t v U e t u v'tJ' o n a
w p o s s 6 d e l e s i n t d g r a l e s p r e m i k r e s (lemme 1 )
lC.
=
A i n s i on p e u t f a c t o r i s e r l'homomorphisme d ' h o l o n o m i e hw
en
h,
= H ,
: 2/3
Hu :
=
*L
*
Diff(C,O)
oh q est l a p r o j e c t i o n c a n o n i q u e d e Z*Z
o q
H,
DEFZN7TZON 2
: nl(Q3,C"o) = Z
(1
sur H/3
Z * Z/2'2 et
H * L / 2 L * D i f f (K,O)
*
,
0) = f
Hu(O
*
1) = 9 .
, modula l e n mZumoqJkinmen ,[Ha] edt uyjpedhe hutonomie ivuneacente de w ou de 3,
Lu d u d e d'kquiuatence de H ,
i n t h n i e w i o de D i f f ( E , O )
.
D d m o n s t r a t i o n du thdorkme 1 : I1 e s t c l a i r q u e s i w , w ' 2
s o n t holomorphiquement
conjugudes par $ D i f f ( E , O ) , a l o r s I$ se r e l k v e en un germe de-diffdomorphisme 3 d e M l e l o n g du d i v i s e u r e x c e p t i o n n e l P1 Q P2 n P q u i a p p l i q u e sur
Les holonomies d e 8, c o n s i d d r 6 e
i.e
[ti,]
cornme f e u i l l e d e
z
Fwe t
3W
h
$W,
3 W'
s o n t donc conjugudes,
= [H,,].
Avant d e m o n t r e r l a r d c i p r o q u e , m o n t r o n s l ' a s s e r t i o n f i n a l e du t h & o r & n e : f o g ddtermine l'holonomie H
w,x
de la sdparatrice X si H ,
= ( f , g ) . D'aprks [ 1 3 ] ,
ou p l u s p r d c i s d m e n t un thdorkme d e 3. M a r t i n e t , 3.P. Ramis [1(1]
montre q u e l e d i f -
fkomorphisme d ' h o l o n o m i e h = g o f = H (y) d d t e r m i n e compl6ternent w
168
R. Moussu
l a c l a s s e d e c o n j u g a i s o n d u gerrne d e =; r & s o n n a n t e d e 1 - j e t e n C" = ( - 1 , O )
1
JC,,w= 6(v+l)dt
0 e n C" p u i s q u e
-
(I) -
0 est u n e d q u a t i o n
:
+ t dv.
ti = g o f d k t e r r n i n e l ' h o l o n o m i e d e s a d e u x i i m e v a r i i t e i n v a r i a n t e
En p a r t i c u l i e r
q u i n ' e s t r i e n d ' a u t r e que l ' h o l o n o m i e
hw,X
.
S u p p o s o n s q u e d e u x d q u a t i o n s a= 0 , w ' = 0, di.g&nd-rCes-transverses a i e n t
l a &me holonornie i v a n e s c e n t e o u p l u s p r k c i s k m e n t q u e h
0
= h
: TI
w'
1
(Q ,C'l0) 3
,
Diff(B,O)
+
Q
-
3 -
P
- D
3
n D'n D ".
Nous a l l o n s c o n s t r u i r e p a r l a m i t h o d e c l a s s i q u e du r e l i v e m e n t d e s c h e m i n s d a n s P3 - {C,C',C"} u n d i f f d o m o r p h i s r n e h o l o m o r p h e f i b r d ; : 2.
v
: (v,t)
de U
-
k
-
U = n(U)
chernins C
ob
P2 ~l { t ' = O } U { u ' = 0 ) -u
= n ( U ' ) s o n t d e s v o i s i n a g e s d e 0 t (E
2
. Nous
utiliserons des
tels que si v a p p a r t i e n t i 1 'un d e s d i s q u e s i ce d i s q u e s o i t p o r t & p a r u n r a y o n .
d ' o r i g i n e v d ' e x t r k r n i t e C"
lire &tape : ____
c
Construction de
se r e l k v e (pour ( v , t )
(C'',t)
I
3 W s u r pw ,
qui appliquent
l a restriction de C
D,D',D",
C,'
, U'
(v, qJ(v,t)) 'v
s u r U' - k k = P1
et
+
&
-t
@
a u - d e s s u s d e Q,.
-
.-. 3
S i / t i < 17 a s s e z p e t i t , l e chernin
v) dans l a f e u i l l e d e 3
w
(resp. de
e n un c h e m i n d ' o r i g i n e ce p o i n t e t d ' e x t r d - m i t C ( v , t l )
, ) p a s s a n t pdr
0
(resp. (v,tIl)).
Par
construction l'application v
@ : (V,tl)
+
(v,t'J =
cp(v,t)) c
e s t u n d i f f d o m o r p h i s m e holornorphe d ' u n v o i s i n a g e d e Q 2kme d t a p e : P r o l o n q e r n e n t d e
41
@
a u - d e s s u s d e D".
3
qui applique
3w
D ' a p r k s l e thdorkrne d e
p l u s h a u t ou p l u s p r d c i s h e n t sa d d m o n s t r a t i o n , s i v & D" - C"
,
sur
-
5 w'
[lo]
*
cite
on p e u t e n c o r e
d d f i n i r cp d e l a rnsrne f a S o n a u v o i s i n a g e d u p o i n t C". P a r c o n s t r u c t i o n ( v o i r
[lo]
o u [ 1 3 ] ) cp est b o r n d e a u v o i s i n a g e d e v + l = 0 ; e l l e s ' d t e n d d e f q o n h o l o m o r p h e s u r u n v o i s i n a g e d e C" d a n s c e t t e d r o i t e . ____ 3kme d t a p e : P r o l o n q e m e n t d e
c
@
a u - d e s s u s d e P1.
Le m&me a r g u m e n t ( q u e d a n s l a
d e u x i b e & t a p e ) permet d e prolonger
b_un v c s i n a g e V d e C. P l u s p r d c i s k m e n t
les diffdornorphisrnes d'holonornie pour
3 w , w' , il e x i s t e
conjuguds
D , t e l que les f e u i l l e s
-" sw/U1 , ,/U1
t i o n s holomorphes
: U1
F,F'
I
n
W
-t
(f
un v o i s i n a g e U1 d e P1,
3
F'(v,t) = t v(l + d ( v , t ) )
contenant
s o i e n t les s u r f a c e s d e n i v e a u d e s f o n c -
q u i s ' k r i v e n t d a n s l a carte ( t , v )
F(v,t) = t v(1 + O(v.t)) 3
correspondants L aD &ant
169
Holonomie Evenescente des Equations Diffhrentielles Dkg6nhrees Transverses
o , O ~ s'dnnulent sur p1 , i.e O(o,t)
0;
O'(o,t) = 0 .
=
En utilisant la forme normale de 0. Cerveau (voir l'introduction), il est 2 possible de choisir la carte (t,v) , i.e les coordonnkes (x,y) e P , telle que rr les droites v = constante soient transverses aux feuilletages 3 , sur Ul,
-
A
Alors pour (t,v) & U l , pv :
x
-t
w
le chemin radial v
+ (1
- hbl
se relkve dans une feuille de
-
Fw
(vl,tl) & V. Notons
I
v1
xu, -
v/lv/
en un chemin d'origine ce point et d'extrdmitd
+
(V1,t'$ = Cp(Vl'tl) = (vl, (CI(Vl'tl)). 6
Le chemin p i 1 se relkve dans la feuille de
et d'extrkmitk (v,t'). On dkfinit
3
en un chemin d'origine (vl,ttl) = 0 } d P 1 par
- 4 alors Cp sup U1- {t'
IL
Cp(v,t) = (v,t') = (v, q(v,t')).
En utilisant les intdgrales premikres F,F' qui, dans la carte (t' ,y),s'kcrivent 3
1
F(y,t') = y(l + O(tl v , 7 , ) F'(y,t') = y(l + 9(t13v, 71 , ) , on montre que cp est bornk au voisinage de P1 L, {t' = 0)
-
par continuitk. h
-
. On l'ktend i nouveau
Par le mgme argument, @ se prolonge h un voisinage de P2 ; finalement nous obte2ons un diffdomorphisme holomorphe d'un voisinage U de P que
3, sup
U - n 'v
-1
$ u l .
( 0 ) sur U
I$
= T
Soit U l'image de U par
TI
1
J
P 2 L, P 3 qui appli-
; puisque n est un isomorphisme de
, 0 4 o n -1 / U - { O } A
est un diffkomorphisme holomorphe qui applique
/U sur Z W ge par continuitd en 0 en un kldment de Diff((T , O ) .
IV. HOLONOMIE EVANESCENTE ET CYCLES EVANESCENTS
9 / 0'
(U) et qui se prolon-
:
-
Nous allons tout d'abord "rechercher" les cycles &vanescents de la fibre de 2 3 Milnor de y'_+ x 3 = ri en dtudiant l'dquation w = d(y + x ) = 0. Soit L la rl feuille de Fwo image rdciproque de y 2 + x3 = qopour r- petit. La restriction p de la projection p de U3 sur Q
3
rl
qui s'dcrit
p(v,t) = v
i
-b
L
ri
est le revgtement h 6 feuillets ddterminds par 6
2
t v (l+v) =
, Q,
=
P3 - D U D ' " D"
, U3
=
que l'on peut symboliquement reprdsenter par la figure 3.
{(v,t)/v
k Q 3 ,It[< a }
R. Moussu
170
Figure 3.
-
P a r u n e d t u d e d l 6 m e n t a i r e ( v o i r p a r exemple l e c o u r s d e V d l i r o n d ' a n a l y s e ou t1.A.
Campo [ 3 ] ) d u
revstement
suivant :
p
r7
:
Lq
n Uj
t
Qj
,
on p e u t m o n t r e r l e lemme
Le tlel6vemen.t powl p d'o4igine C'j0 du Pucet 6 i = 6 - l . C C - ~ ~ai , uvec n e o t un 1uce.t e t t e n lace& ,: nont den ghn64u.teunn de T ~ ( < , C ~ ~ ~ ) . 62 D'ccu.the p & t Pe t i e G v t m ~ n t de y6 =(fi.a) ~ V L M p e n t L ~ h e m e n thomotope u LEMME 2
:
zi
i = 1,2
boad aD" d t ?
71
.
S o i t maintenant
(ii
s
v6
r\
= 0 une &quation d&ydnb&e-transverse d'holonomie dvanes-
c e n t c ( f , y ) . Le d i f f 6 o m o r p h i s m e d ' h o l o n o m i e c o r r e s p o n d a n t [fl,g].
-6
6i e s t l e commutateur D'aprhs l e lemrne, il d 6 c r i t l a f a c o n a v e c l a q u e l l e l e cycle & v a n e s c e n t
est " d i r o u l 6 " en s p i r a l e p a r s o n relkvernent d a n s l e s f e u i l l e s d e
-
30 .
C'est de
c e t t e manigre q u e 3U.B 1 1 ' 3 a s e n k o [ 1 7 ] , [ 1 8 ] 6 t u d i e l a n a i s s a n c e d e c y c l e s limites pour d e s p e r t u r b a t i o n s d e champs h a m i l t o n i e n s . En u t i l i s a n t l a f o r m e n o r m a l e d e U. Cerveau d e w ( d e I ) e t d e s a r g u m e n t s d e B. Malgrange [ 8 ] c e t t e i n t e r p r k t a t i o n
d e I I p e u t Gtre p r i c i s i e . w
'c-
Le r e l i v e m e n t d e y6 dans l e s f e u i l l e s d e
de la skparatrice
x
= {y2
.
+ x3 = 01
30
permet d e r e t r o u v e r l ' h o l o n o r n i e
E n p a r t i c u l i e r un c a l c u l 61;rnentaire
que Ies t r o i s d g a 1 i t i . s s u i v a n t e s s o n t i q u i v a l e n t e s :
V. ETUDF DE
"1,
=
d(y
2
t X
3
)
+ X ( ~ dy X
-
3y dx)
Cette k t u d e a e s s e n t i e l l e m e n t pour b u t d e rnontrer :
montre
171
Holonomie Evenescente des Equations Diffdrentielles D&&n&ees Transverses
PROPOSITION 3 : Zl e x i o t e deo 6quutiono = 0 dhg6nbnBen h m 5 v e n 4 e 4 .teelea que t o u f e A f e d deuilfen de -% oonf u d h b e n f e o ?L 0 e t l'holanomie de 4u 4nBpatlatzice li
w1 x
e4t
w
lg.
Si H
0
= ( f , g ) est l'holonornie dvanescente d ' u n e t e l l e dquation a l o r s
En e f f e t s i f e t q commutent l e c o u p l e ( f , g ) est conjuguk
,
3(x) = j x D ' a p r k s l e thdor6me 1,
j = exp(2i n/3).
S(x) = - x
-
= 0 e s t holornorphiquement c o n j u g u d
= ( 3 , s ) e t les f e u i l l e s de
puisque H
i (3,s) a v e c
w0
Calculons l ' h q u a t i o n
zl
w
w
2
3
= d ( y +x ) = O
n e s o n t p a s a d h k r e n t e s 2 0.
,-( 3 . 1 1 , 4.11) d e J w l au v o i s i n a g e d e P 3 . La
= 0
c a r t e ( v , t ) n ' e s t pas t r h s bonne p u i s q u ' e l l e n e perrnet p a s d e v o i r ce q u i se p a s s e en C ' . P r e n o n s l a c a r t e
( s , z ) avec
Dans cette n o u v e l l e c a r t e
c
,
= (0,O)
C ' = (1,O)
&
o1 =
,
C" = ( - 1 , O )
, 2z s ( 1 - s ) 2 , 2 3 s ( s + l ) ( ~ - l ) d z+ z d s ( 3 s + S - l + Z S ( l - S ) ) .
n ( s , z ) = 2z2 s(1-s)
3
Ir
Nous c o n s t a t o n s q o e o1 est une d q u a t i o n d e R i c a t t i s u r l e f i b & " c a n o n i q u e " d e b a s e g P ( l ) , d e f i b r e t P ( 1 ) d e c l a s s e d e Chern -1, ou p l u s e x a c t e m e n t , d a n s l a c a r t e ( s , z ) d e ce f i b r d ; l e s t r o i s a u t r e s c a r t e s d t a n t
llz
,
w' =
1/21
. 6
Nous n o t o n s
p : E + KP(1)
ce f i b r d . Le f e u i l l e t a g e
pridtds suivantes :
- Sa s e c t i o n n u l l e
P
= {z = 0 }
3
wl
d e E poss&de les pro-
est une f e u i l l e q u i p o r t e l e s t r o i s p o i n t s s i n -
g u l i e r s C , C ' ,C".
-
il e s t t r a n s v e r s e
l a f i b r a t i o n en d e h o r s d e s " s d p a r a t r i c e s "
- La r e p r d s e n t a t i o n d ' h o l o n o r n i e d e l a f e u i l l e Po - {C,Cl,C"} = Lo mot-p h i sme
est un horno-
172
oh
R. Moussu
I'\
est le sous-groupe de Klein formd des homographies qui laissent fixe z = 0.
Ainsi on peut supposer (modulo un changement de coordonnbes dans (cP(1)) puisque 'L w1 posskde d e s intdqrales preniikres en C et C " (lemme 1) : hi; (B) = hi;;(0 * 1) = Iiw (0 * 1) = g = s , avec S(x) = -x 1 1 1 h; ( a ) = h u (1 * 0) = Hw (1 * 0) = f , avec f(x) 1 ax jx 1 9 1 Un calcul klimentaire au plus 6ldgamment un petit raisonnement g6omdtrique que nous a communiquk D. Sullivan permet de montrer que (fsg)' = lfp(l). Ainsi d'apris le thborkme 1 la sdparatrice X = n(X n'a pas d'holonomie. T\r
Pour achever la ddmonstration de la proposition il suffit de montrer que f et q ne commutent pas, c'est b dire que a f 0. En effet, on vkrifie a l o r s facilement que l'orbite d'un point de PK(1) - {0} soils l'action du qroupe engendrd par (f,q) contient 0 G PK(1) dans son adhdrence Ainsi toutes les feuilles d e F 0) 1 distinctes du diviseur exceptionnel et de la sbparatrice contiennent le diviseur 2 exceptionnel dans leur adhdrence et toutes les feuilles de 3 adhkrent a O r : (E w1 ~
.
.
2
3
Supposons que f pt g commutent, alors H '"1 = H 0 avec w = d(y + x ) et et clb sont ho1omorphiquement"conj~~ud~s. D'aprks le thkod'aprks le thiorkme 1, rkme de division de 6 . de Rham on a
,
g(0) f 0
. Puisque
* (d(y 2+x 3 1 ) posskde encore
@
Y2
+ X3
1 existe une unit6 U telle que :
d(y'+x
3
Une telle 6ga it6 est impossible, son premier membre ne posskde pas de termes en x y d x . REFERENCES [I ]
I. Bendixon. Sur les points singuliers des kquations diffdrentielles. Ofv. Kangl. Vetenskaps. Akade. Eorhandlinger, Stokholm. 9 (1698),635-656.
[2 3
C. Camacho & P. Sad. Invariant varieties through singularities of holomorphic
[3]
vector fields - Ann. of Math. 115(1962), 579-595. N . A . Campo. Tresses, monodromie et le yroupe symplectique
@
1
Helv. (1979) D. Cerveau& J.F. Mattei.
-
Commentari Math.
Sinwlarities of codimension one complex foli-
ations, A partial survey. In this volume.
Holonomie Evenescente des Equations Differentielles Dkgknerkes Transverses
D. Cerveau & 3.F. Mattei
. Formes integrables singuli6res -
173
Astdrisque
no 97 - (1982)
C. de Rham. Sur la division des forrnes et des courants par une forme linkire Commentari Math. Hel. 28 (1954) H. Dulac. Recherches sur les points singuliers des kquations diffkrentiellesJournal de 1'Ecole Polytechnique,Z,sec.9 (1904),1-125. B. Malgrange. Intdgrales asymptotiques et monodromie - Ann. Eco. Norm. Sup.
Paris 7 (19741, 405-530. 3 . Martinet & 3P.Ramis. Problkmes de modules pour les kquations diffkrentiel-
les non linkaires du premier ordre
-
Publi. Math. I.H.E.S. no 55 (1982)
63-164. 3. Martinet & 3P. Ramis : Classifications analytiques des kquations diffdren-
tielles r6sonnantes. A paraitre dans AstGrisque (1984) 3. Milnor. Singular points of complex hypersurfaces - Ann. of Math. Studies 61 (1968). R. Moussu. Symdtrie et forme normale des centres et foyers dkgknkrds Ergod. Th. et Dynam. Sys. (1982) - 2 , 241-251. 3.F. Mattei & R. Moussu : Holonomie et intkgrales premiires
-
Ann. Scient.
Ec. Norm. Sup. Ser. 4.13 (1980), 469-523. H. Poincard. Mdmoire sur les courbes d6finies par une dquation diffdrentielle. 3. Math. Pures et Appl. 3-7 (1881), 375-422. A. Seidenberg. Reduction of singularities of the differential equation A dy = B dx - Amer. 3 . Math. 79 (19681, 248-269. F. Takens. Normal forms f o r certain singularities of vector fields - Ann. Inst. Fourier-Grenoble 23 (19731, 163-195. S . Il'Jasenko. The origin of limit cycles
... Mat.
353-363 S. 11'3asenko. The multicity of limit cycles vol. 118 (1982).
-
Sbornik,78 (1969) No 3,
Amer. Math. SOC. Transl. 2
,
R. MOUSSU Universitk de Dijon Ddpartement de Mathkmatiques Laboratoire de Topologie - ERA07.945 B.P. 134 21004 DI30N CEDEX - FRANCE
161
HOLONOMI E EVENESCENTE DES E Q U A T I O N S D I F F E R E N T I E L L E S DEGENEREES TRANSVERSES Robert
Moussu
U n i v e r s i t i ! de
Dijon
France
: Un germe en 0 c E2 d'dquation diffdrentielle holomorphe o = 0 tel que 2 j w = y dy et j o est "gdn&rique" posskde une unique sdparatrice X d'dquation w 2 y + x3 = 0. Deux telles dquations sont holomorphiquement conjugudes si. et seule-
RESUME 1
ment si elles ont la mime holonomie dvanescente. Cet invariant est plus prdcis que il existe des dquations w = 0 dont toutes les va0 C Ez et telles que X b une holonomie nulle.
l'holonomie de la sdparatrice ridtds intdgrales adhkrent
:
0
1. INTRODUCTION et RESULTATS.
Soit o =
a
dx + b dy = 0 une dquation diffdrentielle holomorphe sur une petite
boule EB = { ( x , y ) b E 2/xZ + y g = E}dont 0 est le seul point singulier. Elle ddfinit un feuilletage holomorphe 5 de €6 - { O } sans singularitd. C. Camacho et P. Sad w ont montrd dans [2] que 3 posside au rnoins unc A6pah&ice, c'est dire une w feuille Xo dont l'adhdrence X dans eB est un ensemble analytique de codimension 1 qui contient 0 , x0 = x - {O}. Soit f une dquation rdduite de X sur un voisinage de 0. On peut supposer, E dtant pris assez petit,que EB est une boule de Milnor pour f [ll]. Pour comprendre
F
au voisinage de Xo il est nature1 de comparer 3 b la fibrala gdomdtrie de w w tion de Milnor de f. Un outil classique pour cette dtude est L'kolonomie d e Xo : au gdndrateur du groupe fondamental de Xo (homdornorphe 2 S1 xR d'aprks [ll]) correspond un diffdomorphisme d'holonomie de la feuille Xo
, hw,X , qui est un dld-
, Diff(En,O) ddsignant le gtroupt de4 ge~mcnd t di~66omokphiome4 holomorphes qui fixent 0 G En. Plus prdcisdment, c'est seulement la chhAe dc ConjugaiOofl de hw,X , [hw,X ] , ie sa classe d'dquivalence modulo les automorphis-
ment de Diff(E,O)
mes intkrieurs de Diff(E,O) qui est bien ddfinie ; nous l'appelons holonomie de la sdparatrice X . I1 est clairque si deux dquations w = 0, w ' = 0 sont hoLomotrphiqutrneuzt conju-
guheo , i.e
leurs skparatrices ont les m h e s holonomies. Rdciproquement, si w = 0 uz'e4.t pa4
162
R. Moussu l a rnatrice reprdsentant l e 1 - j e t du champ X
d6ghn&k, i.e
= b
a ax
a
a -- posskde
ay au rnoins une valeur propre non n u l l e , o = 0 b une ou deux sdparaLrices (Poincard (0
[14], Dulac [ 7 ] ) dont l e s holonomies c a r a c t d r i s e n t "en g i n 6 r a l " l a c l a s s e de conjugaison d e l ' k q u a t i o n 10 = 0 ; c ' e s t toujours l e c a s s i l e s deux v a l e u r s propres de 1 3 X sont non n u l l e s ( v o i r p a r exemple [ 9 ] , [ 1 0 ] , [ 1 3 ] ) . On p o u r r a i t espdrer q u ' u n 0
t e l r 6 s u l t a t s u b s i s t e si w = 0 n ' e s t p a s t r k s d&qdndr&e.Mais nous a l l o n s v o i r que ce n ' e s t pas l e cas. Si l'dquation
0
= 0 e s t d&q&n&rde mais son 1 - j e t non r r u l , e l l e posskde une
forme r-iorrnale forrnelle ( [ 1 6 ] , [ 1 2 ] ) du type : d(y
2
+ x") +
,
F(x)dy = 0
enf d i f e d P g h n h 6 e 2 den coo4donnkeA ( x , y ) G. (I: t e l l e n que
UEFlNlTlON 1
: w = 0
2 3 j w = d(y2 + x )
t
Ax
2
-
,
dy
5 [[XJ
F
Ltannuetne n i n = 3 , i.e. it e x d t e den
hd(C
.
La condition n = 3 p e u t - g t r e i n t e r p r 6 t d e en termes d e t r a n s v e r s a l i t d dans
,
l ' e s p a c e d e s 2 - j e t s d'kquation w = 0
PROPOSITION 1
:
Si
v o i r par exernple [16].
e n t d&ghn&he
w = 0
-
f ~ a n n v ~ ne el l e ponngde tine unique nkpu-
ta-ttrice X d'hquation y 2 + x3 = 0 danh de 6onnen coofidonnken ( x , y )
eot tangent& ir
[h ] de X w, X
lB
, i.e
X
e t L'koXonomie
( 0 ) = 1.
E x ~ m ~ 1 e s -~e ~o ~ j ~ 2e-R c: ~ Ihcm--: u ~ eRappelons ~ t o u t d'abord les t r o i s c o n j e c t u r e s
~
que R. Thom a v a i t proposd l o r s de ses sdminaires N o t o n s encore
w
w = 0 et soit
A = {L
I'IHES dans les anndes 74-75.
l'ensemble des f e u i l l e s de f e u i l l e t a g e d d f i n i par u n e Gquation
Fbj /i 3 0 1 ,
c-
3;
l k r e conjecture :
B =
2kme c o n j e c t u r e :
A = B =
0
et A
B = {LG
n6
holomorphe.
Fw .
fini
3w
+ w posskde une i n t d g r a l e
+ ?
A =
3w
et A
premikre
w posskde une i n t d g r a l e premikre
rn6romorphe. 3kme conjecture :
/L e s t a n a l y t i q u e }
9
1
6 est finie>Les
s d p a r a t r i c e s p o r t e n t de
l'holonomie. La premikre c o n j e c t u r e e s t v r a i e [13]
l a troisiime
,
,
l a deuxikme e s t f a u s s e [ 5 ] a i n s i que
comme l e montrera l'exemple s u i v a n t . L'dquation
o1 = d ( y
2
3
+ x ) + x ( 2 y d x - 3~ d y ) = 0
163
Holomomie Evenescente des Equations Differentielles DegenBrtks Transverses
e s t d k q d n k r d e - t r a n s v e r s e e t X = {y2 + x 3 = O}
3
v e r r o n s d a n s Pque chaque f e u i l l e d e que l'holonornie
h
W1
= lE.
2
wl'
est s o n u n i q u e s d p a r a t r i c e . Nous 2 (c d a n s s o n a d h d r e n c e e t
contient 0
3
L'kquation = d ( y t x ) p o s s & d e , cornme w1 , u n e u n i q u e s d p a r a t r i c e wo 2 Ainsi X = { y t x3 = 0 ) d o n t l ' h o l o n o m i e e s t lE e t e l l e n ' e s t p a s c o n j u g u d e w
a
0'
l ' h o l o n o r n i e d e l a s d p a r a t r i c e d ' u n e k q u a t i o n d 6 g d n d r 6 e t r a n s v e r s e n ' e s t pas u n i n v a r i a n t q u i caractdrise cette d q u a t i o n . Nous r n o n t r e r o n s d a n s l e p a r d g r a p h e I11 q u ' i u n e forrne d i g i n i r i e - t r a n s v e r s e , w , e s t associde u n e r e p r k s e n t a t i o n
b / 3 Z
Ho :
-+
* H / 2Z
Diff(E,O)
q u i e s t b i e n d k f i n i e a un a u t o m o r p h i s r n e i n t k r i e u r p r & s d e D i f f ( ( f , O ) . Par d d f i n i t i o n l a c l a s s e d ' k q u i v a l e n c e [H ]
huunebcente d e w
. Le
(li
de H
w
pour c e t t e r e l a t i o n e s t a p p e l d e
hodonomit
q u a l i f i c a t i f " d v a n e s c e n t " est j u s t i f i d d a n s I V : o n p e u t
c o n s i d k r e r q u e l ' h o l o n o m i e d v a n e s c e n t e est p o r t d e p a r l e s c y c l e s & v a n e s c e n t s d e Y2
+
x3
q u e [H ]
w
~
p
e
, y2
x3 = 0 & a n t
+
l'dquation d e l a sdparatrice de w
est dkterrnind p a r l e c o u p l e ( f , 9 ) a v e c f = H
0
3
(1
*
2
P u i s q u e f = 9 = lr -1 (cp o 3 o cp,S) a v e c
,
0)
g = Hw(O
1). w
3
un c o u p l e
3 (x) = j x
.
'p G D i f f ( ( f , O ) Un p e t i t c a l c u l r n o n t r e q u ' i l e x i s t e u n u n i 2 cp(x) = x + P ( x ) t e l q u e
ob j = e x p ( Z i n / 3 ) e t
q u e cp d u t y p e
*
o n p e u t p r e n d r e p o u r r e p r k s e n t a n t d e [H
,
S(x) = -x
[H(w)l =
[(f,g)l
[cp-l o 3 o cp,S
=
]
Par e x e r n p l e , p o u r l e s i q u a t i o n s wo = O , w l = O o n a H w . = (3,s) 0
avec
. Remarquons
q(x) = x/l+ax
,
,
H
1
O1
a E (c - {O}
(cp-l o 3 o cp,S
.
164
R. Moussu
Ce thdor&me de synthise est un cas particulier d'un rdsultat plus gdndral que j'ai montrd avec D. Cerveau. I1 sera l'objet d'une publication ultdrieure. Ces deux thdortmes posent plus de problkmes qu'il n'en rdsolvent, par exemple : = lB qui 1. Existe-t-il des dquations ddgdndrdes transverses w telles que h 0,
x
ne sont pas holomorphiquement conjugudes i w et w1 ? Cette question est dquivalente (d'aprks le thdorkme 2) la suivante : existe-t-il f,g Diff(B,O) tels w e
2.
3 f = g2 = (f.9) 6=
et [(f,g)l i [H
wo
I
,[t{
I
?
(")
D. Cerveau a montrd qu'une 1-forme w ddg&ndrde transverse posskde une forme
"normale" du type
:
w = a d(y2
+ x3) + (y2 + x3 ) n +
Xx(2x dy - 3y dx)
OA a est une fonction holomorphe telle que a(0) f 0 , rl est une 1-forme holomorphe et X E. E. Quelle relation existe-t-il entre cette forme normale et [ H ] ? Comment interw 3 vient i travers i- et x(2x dy - 3y dx) la connexion de Gauss-Manin de y2 + x dans le calcul de hw,x ' de Hw ? Les techniques de 3 . Ecalle sur "les fonctions r6surgentes permettent peut 6tre de rkoudre la premikre question ; quant la deuxikme e l k peut-Etre abordde en utilisant des arguments de B. Malgrange
[a]
.
11. DESINGULARISATION ( [ 11, [ 131,[ 151 ) DES FORMES DEGENEREES-TRANSVERSES.
N
La d6singularisation d'une dquation w = 0 est la mgme que celle de 3 w = 0 nous pouvons pour N grand. En utilisant la forme normale de Takens,[l6],[12], donc supposer que : w = d(y2
+ x3) + x2 P(x) dy
,
P&IR[X]
Nous allons constater que w est ddsingularisbe (ou rdduite au sens de [13]) par les trois bclatements suivants (Figure 1) ler dclatement : nl : M1 + t2est l'dclatement de 0 & (c2 repdrds par les deux cartes : (t,x),(t',y) avec tt' = 1 , y = tx ;
. Les points de M1
sont
n 1 (t,x) = (x,tx) , nl(t',y) =(t'y,y) et A = (t = 0 , x = 0 ) . On note p1 = nl-l(o) (*)
RCcemment J.Ecalle et Y.C.Yoccoz ont montrC l'existence d'une infinit6 de [ ( f , g ) l [ ( f ,g) 3 distincts
.
165
Holonomie Evenescente des Equations Dif fgrentielles Dgknkrdes Transverses 2kme dclaternent :
n2
: M?
(u,t),(u',x) TI
On note P
M1 e s t 1'6clatement de A eMl.
-f
Les p o i n t s de M
par ( t ' , y ) e t l e s deux c a r t e s :
sont rep&&
= n2-'(~)
2
,
uu' = 1
avec
2( u , t ) = ( t , t u )
x = tu ;
n2(u',x) = (x,u'x).
B = P r\ P? = ( u = 0, t = 0 ) . 1
et
3kme dclatement : n 3 : M3 -+ M2 e s t l ' d c l a t e m e n t de B & M2. sont rephrds par ( t ' , y ) , (v,t),
Les p o i n t s de M3
( u ' , x ) e t l e s deux c a r t e s
,
avec v v ' = 1
(v',u)
p3 = n 3 - ' ( ~ )
et
M1
u = tv
,
n3(v',u) = (u,v'u).
c
= P
n3(v,t) = (vt,t) On note
C' = P 3 n P2
P3
M2
M3
L
F i g u r e 1.
En &sum& l e s p o i n t s de M3 sont repdrks par l e s quatre c a r t e s ( t ' , y ) ,
,
( t t l = 1, y = t 3 v )
( u ' , x ) avec
Dans ces c a r t e s l ' a p p l i c a t i o n n(t',y)
,
=(t'y,y)
2
n(v',u) = (u
Dans l e s c a r t e s ( t ' , y ) ,
2
TI
( v v l = 1, u = v t )
= n3 o
TI(V,t)
,
V',U3Vt2) (u',x)
TI^
,
(v,t),(v',u)
( u u l = 1, x = u v l ) .
o n1 s ' d c r i t :
2
3
= ( t v, t v )
n(u',x) = (x,u'x).
l e s d c l a t d s " d i v i s d s " [13] de w
n ' o n t pas de
p o i n t s s i n g u l i e r s ; en e f f e t (1)
n*(w)/y
(2)
TI
*
de (3)
%W
par
(w)/x
-
e t a i n s i P1
= U(y,t')dy
+ y d t ' (...)
avec U ( 0 , t ' ) f 0
(...I
avec V(0,u') f 0
= V(x.u')dx + y d x '
C e t P2
-
C ' sont des f e u i l l e s du f e u i l l e t a g e
Dans la c a r t e ( v , t ) l ' d c l a t d d i v i s i de
TI.
-
*
5
w = 'TI ( w ) / t v = 6 v ( l + v
a pour seuls p o i n t s s i n g u l i e r s sont r 6 d u i t e s [ 1 3 ]
.
+
t A(t,v)
C = (0,O) e t
+
dt
t ( 2 t 3~
C" = ( - 1 , O )
+
-
W
image rdciproque
tB(v,t))dv
e t ces s i n g u l a r i t d s
E n f i n pour Gtudier l e d e r n i e r p o i n t s i n g u l i e r , C ' ,
nous dans la c a r t e ( v ' , u ) :
(4)
-
W'
avec A ' ( 0 , O )
=
* TI
5
(w)/u
= B'(0,O)
V'
= 2v'(1
+
A'(v',u))du
+ ~ ( + lB ' ( v ' , u ) ) d v '
= 0 ; c e t t e s i n g u l a r i t d est aussi rkduite.
plasons-
R. Moussu
166
_________ O&norlstrntion d e
N
l a p r o p o s i t i a : L'imagr riciproquc Xpar
TI
des,on p l u t 6 t d e l a
s 6 p a r a t r i c e X d e 10,coupe l e d i v i s e u r e x c e p t i o n n e l e n l ' u n i q u e p o i n t s i n y u l i e r d e l ' k c l a t i divish de w d i s t i n c t des "coins" C,C', c'est d
( v , t ) , d ' a p r b s (3) ( v a i r [ 7 ] , [ 1 4 ] ) X v + 1
t
d i r e err C " . D a n s l a c a r t e
a u n e d q u a t i o n du t y p e :
t2 f ( t ) = 0
P a r un c a l c u l b l h r n e n t a i r e o n e n d h d u i t q u e ] ' u n i q u e s k p a r a t r i c e tiori
~ L tJy p e
y
e t que h'
W,
X
x
d e w a u n e t'qud-
:
2
+ x3 +
i j ai,jx y = 0
c
i +"i _ > 3
( 0 ) = 1 d'aprhs 3
( v o i r [lj]
avec
"3,O
=
-[Ill).
111. HOLOIIOI.1IE EVANESCENTE : r e p o s e s u r l e lemme s u i v a n t :
La c o n s t r u c t i o n d u rnorphisme H
i*I
-
O d m~ o n s t_ r a t i o_ n : _D'aprks _
1.11, 2 . 1 1 ,
Fill d ' d q u a t i o n s
ment r o n n e x e s d e
,
PI-C
respectives
-
P -C'
2
s o n t d e s f e u i l l e s lisses s i r n p l e -
y = 0 dans ( t ' , y ) , x = 0 dans (u',x).
I1 e x i s t e d o n c F1,F2 cornme dans l ' b n o n c & du lemrne. L 1 6 q u a t i o n Z , 3 . 11, q u i d g f i n i t
1
3 w
3hl
au voisinage d e C
d
p o u r I-jet
2(3v d t + t d v ) .
-
C'est une & q u a t i o n r k s o n n a n t e d a n s l e domaine d e S i c g e l . E l l e p o s s t d e une 3 i n t h g r a l e p r e m i k r e h o l o m o r p h e F = t vU a v e c U(0) f 0 p u i s q u e sa s k p a r a t r i c e P 1
a o n e holonornie t r i v i a l ?
( d ' a p r e s [7] ,[13],[10])
.
P a r un argument a n a l o g u e on
montrc l ' r x i s t e n c e d e F ' . c--
5w
Description de -
a u v o i s i n a q e d e P3
. Plasons-nous
dans l a carte ( v , t ) e t notons
D,D',O" des p e t i t s d i s q u r s d a n s P 3 = { t = 0 ) c e n t r h s e n C,C',C" e t s o i e n t Q Pour
F
3 ~
P
3
> 0 assez p e t i t , k
(ii-
,
- D U D ' u D"
6v(l + v
3 /U3 w
t
tA)dt
cst t r a n s v e r s e dux f i b r e s v
x
U3 = { ( v , t ) /
~e O3 ,
/ti <
E
1
q u i a pour kquation 3.11 : t
t(2
t
3v t tt1)dv = 0
{It1 > ~ l d eU3. Le g e r m e d e ce f e u i l l e t a g e l e l o n g
167
Holonomie Evenescente des Equations Diffbrentielles Dbg4nerees Transverses
03 e s t c s r a c t d r i s d p a r l ' h o l o n o m i e d e sa f e u i l l e Q 3 , c ' e s t c e t t e holonomie que nous a p p e l o n s hoPonomie euunehcente d e w . Pour b i e n l a d d f i n i r , c h o i s i s s o n s l e s
de
g6nkrateurs
T ~ ( O ~ , C ", ~C )' l 0 6 2D" d e l a faCon s u i v a n t e :
u,E
l e l a c e t o b t e n u en p a r c o u r a n t l r segment C" C Cl0
a D f ) , p u i s l e cercle
&
0 0
ao
6.~1
) est
(resp. 2D
(resp.
d m s l e s e n s i n d i r e c t (resp. l e cercle a D ' d a n s l e
s e n s d i r e c t ) e t e n f i n l e s e r p e n t CoC"
y =
0:
( r e s p . C"oC'o) oU Co
( r e s p . l e segment C C" 0
0
1. P a r c o n s t r u c t i o n
est homotope a u bord all" e t 0" p a r c o u r u d a n s l e s e n s i n d i r e c t . =
fi =
c " ~ c ~ .. c~ ~D c~" ~ -? C" C ' .3';r.c'oc"o 0 0 -
t
Y
-4
?
Ddsignons p a r f , g l e s d i f f h n o r p h i s m e s d ' h o l o n o m i e c o r r e s p o n d a n t s
f
3
= 9
2
a,B.
v
,
P u i s q u e l e l o n g d e aD e t aD' 3 2 t v U e t u v'tJ' o n a
w p o s s 6 d e l e s i n t d g r a l e s p r e m i k r e s (lemme 1 )
lC.
=
A i n s i on p e u t f a c t o r i s e r l'homomorphisme d ' h o l o n o m i e hw
en
h,
= H ,
: 2/3
Hu :
=
*L
*
Diff(C,O)
oh q est l a p r o j e c t i o n c a n o n i q u e d e Z*Z
o q
H,
DEFZN7TZON 2
: nl(Q3,C"o) = Z
(1
sur H/3
Z * Z/2'2 et
H * L / 2 L * D i f f (K,O)
*
,
0) = f
Hu(O
*
1) = 9 .
, modula l e n mZumoqJkinmen ,[Ha] edt uyjpedhe hutonomie ivuneacente de w ou de 3,
Lu d u d e d'kquiuatence de H ,
i n t h n i e w i o de D i f f ( E , O )
.
D d m o n s t r a t i o n du thdorkme 1 : I1 e s t c l a i r q u e s i w , w ' 2
s o n t holomorphiquement
conjugudes par $ D i f f ( E , O ) , a l o r s I$ se r e l k v e en un germe de-diffdomorphisme 3 d e M l e l o n g du d i v i s e u r e x c e p t i o n n e l P1 Q P2 n P q u i a p p l i q u e sur
Les holonomies d e 8, c o n s i d d r 6 e
i.e
[ti,]
cornme f e u i l l e d e
z
Fwe t
3W
h
$W,
3 W'
s o n t donc conjugudes,
= [H,,].
Avant d e m o n t r e r l a r d c i p r o q u e , m o n t r o n s l ' a s s e r t i o n f i n a l e du t h & o r & n e : f o g ddtermine l'holonomie H
w,x
de la sdparatrice X si H ,
= ( f , g ) . D'aprks [ 1 3 ] ,
ou p l u s p r d c i s d m e n t un thdorkme d e 3. M a r t i n e t , 3.P. Ramis [1(1]
montre q u e l e d i f -
fkomorphisme d ' h o l o n o m i e h = g o f = H (y) d d t e r m i n e compl6ternent w
168
R. Moussu
l a c l a s s e d e c o n j u g a i s o n d u gerrne d e =; r & s o n n a n t e d e 1 - j e t e n C" = ( - 1 , O )
1
JC,,w= 6(v+l)dt
0 e n C" p u i s q u e
-
(I) -
0 est u n e d q u a t i o n
:
+ t dv.
ti = g o f d k t e r r n i n e l ' h o l o n o m i e d e s a d e u x i i m e v a r i i t e i n v a r i a n t e
En p a r t i c u l i e r
q u i n ' e s t r i e n d ' a u t r e que l ' h o l o n o m i e
hw,X
.
S u p p o s o n s q u e d e u x d q u a t i o n s a= 0 , w ' = 0, di.g&nd-rCes-transverses a i e n t
l a &me holonornie i v a n e s c e n t e o u p l u s p r k c i s k m e n t q u e h
0
= h
: TI
w'
1
(Q ,C'l0) 3
,
Diff(B,O)
+
Q
-
3 -
P
- D
3
n D'n D ".
Nous a l l o n s c o n s t r u i r e p a r l a m i t h o d e c l a s s i q u e du r e l i v e m e n t d e s c h e m i n s d a n s P3 - {C,C',C"} u n d i f f d o m o r p h i s r n e h o l o m o r p h e f i b r d ; : 2.
v
: (v,t)
de U
-
k
-
U = n(U)
chernins C
ob
P2 ~l { t ' = O } U { u ' = 0 ) -u
= n ( U ' ) s o n t d e s v o i s i n a g e s d e 0 t (E
2
. Nous
utiliserons des
tels que si v a p p a r t i e n t i 1 'un d e s d i s q u e s i ce d i s q u e s o i t p o r t & p a r u n r a y o n .
d ' o r i g i n e v d ' e x t r k r n i t e C"
lire &tape : ____
c
Construction de
se r e l k v e (pour ( v , t )
(C'',t)
I
3 W s u r pw ,
qui appliquent
l a restriction de C
D,D',D",
C,'
, U'
(v, qJ(v,t)) 'v
s u r U' - k k = P1
et
+
&
-t
@
a u - d e s s u s d e Q,.
-
.-. 3
S i / t i < 17 a s s e z p e t i t , l e chernin
v) dans l a f e u i l l e d e 3
w
(resp. de
e n un c h e m i n d ' o r i g i n e ce p o i n t e t d ' e x t r d - m i t C ( v , t l )
, ) p a s s a n t pdr
0
(resp. (v,tIl)).
Par
construction l'application v
@ : (V,tl)
+
(v,t'J =
cp(v,t)) c
e s t u n d i f f d o m o r p h i s m e holornorphe d ' u n v o i s i n a g e d e Q 2kme d t a p e : P r o l o n q e r n e n t d e
41
@
a u - d e s s u s d e D".
3
qui applique
3w
D ' a p r k s l e thdorkrne d e
p l u s h a u t ou p l u s p r d c i s h e n t sa d d m o n s t r a t i o n , s i v & D" - C"
,
sur
-
5 w'
[lo]
*
cite
on p e u t e n c o r e
d d f i n i r cp d e l a rnsrne f a S o n a u v o i s i n a g e d u p o i n t C". P a r c o n s t r u c t i o n ( v o i r
[lo]
o u [ 1 3 ] ) cp est b o r n d e a u v o i s i n a g e d e v + l = 0 ; e l l e s ' d t e n d d e f q o n h o l o m o r p h e s u r u n v o i s i n a g e d e C" d a n s c e t t e d r o i t e . ____ 3kme d t a p e : P r o l o n q e m e n t d e
c
@
a u - d e s s u s d e P1.
Le m&me a r g u m e n t ( q u e d a n s l a
d e u x i b e & t a p e ) permet d e prolonger
b_un v c s i n a g e V d e C. P l u s p r d c i s k m e n t
les diffdornorphisrnes d'holonornie pour
3 w , w' , il e x i s t e
conjuguds
D , t e l que les f e u i l l e s
-" sw/U1 , ,/U1
t i o n s holomorphes
: U1
F,F'
I
n
W
-t
(f
un v o i s i n a g e U1 d e P1,
3
F'(v,t) = t v(l + d ( v , t ) )
contenant
s o i e n t les s u r f a c e s d e n i v e a u d e s f o n c -
q u i s ' k r i v e n t d a n s l a carte ( t , v )
F(v,t) = t v(1 + O(v.t)) 3
correspondants L aD &ant
169
Holonomie Evenescente des Equations Diffhrentielles Dkg6nhrees Transverses
o , O ~ s'dnnulent sur p1 , i.e O(o,t)
0;
O'(o,t) = 0 .
=
En utilisant la forme normale de 0. Cerveau (voir l'introduction), il est 2 possible de choisir la carte (t,v) , i.e les coordonnkes (x,y) e P , telle que rr les droites v = constante soient transverses aux feuilletages 3 , sur Ul,
-
A
Alors pour (t,v) & U l , pv :
x
-t
w
le chemin radial v
+ (1
- hbl
se relkve dans une feuille de
-
Fw
(vl,tl) & V. Notons
I
v1
xu, -
v/lv/
en un chemin d'origine ce point et d'extrdmitd
+
(V1,t'$ = Cp(Vl'tl) = (vl, (CI(Vl'tl)). 6
Le chemin p i 1 se relkve dans la feuille de
et d'extrkmitk (v,t'). On dkfinit
3
en un chemin d'origine (vl,ttl) = 0 } d P 1 par
- 4 alors Cp sup U1- {t'
IL
Cp(v,t) = (v,t') = (v, q(v,t')).
En utilisant les intdgrales premikres F,F' qui, dans la carte (t' ,y),s'kcrivent 3
1
F(y,t') = y(l + O(tl v , 7 , ) F'(y,t') = y(l + 9(t13v, 71 , ) , on montre que cp est bornk au voisinage de P1 L, {t' = 0)
-
par continuitk. h
-
. On l'ktend i nouveau
Par le mgme argument, @ se prolonge h un voisinage de P2 ; finalement nous obte2ons un diffdomorphisme holomorphe d'un voisinage U de P que
3, sup
U - n 'v
-1
$ u l .
( 0 ) sur U
I$
= T
Soit U l'image de U par
TI
1
J
P 2 L, P 3 qui appli-
; puisque n est un isomorphisme de
, 0 4 o n -1 / U - { O } A
est un diffkomorphisme holomorphe qui applique
/U sur Z W ge par continuitd en 0 en un kldment de Diff((T , O ) .
IV. HOLONOMIE EVANESCENTE ET CYCLES EVANESCENTS
9 / 0'
(U) et qui se prolon-
:
-
Nous allons tout d'abord "rechercher" les cycles &vanescents de la fibre de 2 3 Milnor de y'_+ x 3 = ri en dtudiant l'dquation w = d(y + x ) = 0. Soit L la rl feuille de Fwo image rdciproque de y 2 + x3 = qopour r- petit. La restriction p de la projection p de U3 sur Q
3
rl
qui s'dcrit
p(v,t) = v
i
-b
L
ri
est le revgtement h 6 feuillets ddterminds par 6
2
t v (l+v) =
, Q,
=
P3 - D U D ' " D"
, U3
=
que l'on peut symboliquement reprdsenter par la figure 3.
{(v,t)/v
k Q 3 ,It[< a }
R. Moussu
170
Figure 3.
-
P a r u n e d t u d e d l 6 m e n t a i r e ( v o i r p a r exemple l e c o u r s d e V d l i r o n d ' a n a l y s e ou t1.A.
Campo [ 3 ] ) d u
revstement
suivant :
p
r7
:
Lq
n Uj
t
Qj
,
on p e u t m o n t r e r l e lemme
Le tlel6vemen.t powl p d'o4igine C'j0 du Pucet 6 i = 6 - l . C C - ~ ~ai , uvec n e o t un 1uce.t e t t e n lace& ,: nont den ghn64u.teunn de T ~ ( < , C ~ ~ ~ ) . 62 D'ccu.the p & t Pe t i e G v t m ~ n t de y6 =(fi.a) ~ V L M p e n t L ~ h e m e n thomotope u LEMME 2
:
zi
i = 1,2
boad aD" d t ?
71
.
S o i t maintenant
(ii
s
v6
r\
= 0 une &quation d&ydnb&e-transverse d'holonomie dvanes-
c e n t c ( f , y ) . Le d i f f 6 o m o r p h i s m e d ' h o l o n o m i e c o r r e s p o n d a n t [fl,g].
-6
6i e s t l e commutateur D'aprhs l e lemrne, il d 6 c r i t l a f a c o n a v e c l a q u e l l e l e cycle & v a n e s c e n t
est " d i r o u l 6 " en s p i r a l e p a r s o n relkvernent d a n s l e s f e u i l l e s d e
-
30 .
C'est de
c e t t e manigre q u e 3U.B 1 1 ' 3 a s e n k o [ 1 7 ] , [ 1 8 ] 6 t u d i e l a n a i s s a n c e d e c y c l e s limites pour d e s p e r t u r b a t i o n s d e champs h a m i l t o n i e n s . En u t i l i s a n t l a f o r m e n o r m a l e d e U. Cerveau d e w ( d e I ) e t d e s a r g u m e n t s d e B. Malgrange [ 8 ] c e t t e i n t e r p r k t a t i o n
d e I I p e u t Gtre p r i c i s i e . w
'c-
Le r e l i v e m e n t d e y6 dans l e s f e u i l l e s d e
de la skparatrice
x
= {y2
.
+ x3 = 01
30
permet d e r e t r o u v e r l ' h o l o n o r n i e
E n p a r t i c u l i e r un c a l c u l 61;rnentaire
que Ies t r o i s d g a 1 i t i . s s u i v a n t e s s o n t i q u i v a l e n t e s :
V. ETUDF DE
"1,
=
d(y
2
t X
3
)
+ X ( ~ dy X
-
3y dx)
Cette k t u d e a e s s e n t i e l l e m e n t pour b u t d e rnontrer :
montre
171
Holonomie Evenescente des Equations Diffdrentielles D&&n&ees Transverses
PROPOSITION 3 : Zl e x i o t e deo 6quutiono = 0 dhg6nbnBen h m 5 v e n 4 e 4 .teelea que t o u f e A f e d deuilfen de -% oonf u d h b e n f e o ?L 0 e t l'holanomie de 4u 4nBpatlatzice li
w1 x
e4t
w
lg.
Si H
0
= ( f , g ) est l'holonornie dvanescente d ' u n e t e l l e dquation a l o r s
En e f f e t s i f e t q commutent l e c o u p l e ( f , g ) est conjuguk
,
3(x) = j x D ' a p r k s l e thdor6me 1,
j = exp(2i n/3).
S(x) = - x
-
= 0 e s t holornorphiquement c o n j u g u d
= ( 3 , s ) e t les f e u i l l e s de
puisque H
i (3,s) a v e c
w0
Calculons l ' h q u a t i o n
zl
w
w
2
3
= d ( y +x ) = O
n e s o n t p a s a d h k r e n t e s 2 0.
,-( 3 . 1 1 , 4.11) d e J w l au v o i s i n a g e d e P 3 . La
= 0
c a r t e ( v , t ) n ' e s t pas t r h s bonne p u i s q u ' e l l e n e perrnet p a s d e v o i r ce q u i se p a s s e en C ' . P r e n o n s l a c a r t e
( s , z ) avec
Dans cette n o u v e l l e c a r t e
c
,
= (0,O)
C ' = (1,O)
&
o1 =
,
C" = ( - 1 , O )
, 2z s ( 1 - s ) 2 , 2 3 s ( s + l ) ( ~ - l ) d z+ z d s ( 3 s + S - l + Z S ( l - S ) ) .
n ( s , z ) = 2z2 s(1-s)
3
Ir
Nous c o n s t a t o n s q o e o1 est une d q u a t i o n d e R i c a t t i s u r l e f i b & " c a n o n i q u e " d e b a s e g P ( l ) , d e f i b r e t P ( 1 ) d e c l a s s e d e Chern -1, ou p l u s e x a c t e m e n t , d a n s l a c a r t e ( s , z ) d e ce f i b r d ; l e s t r o i s a u t r e s c a r t e s d t a n t
llz
,
w' =
1/21
. 6
Nous n o t o n s
p : E + KP(1)
ce f i b r d . Le f e u i l l e t a g e
pridtds suivantes :
- Sa s e c t i o n n u l l e
P
= {z = 0 }
3
wl
d e E poss&de les pro-
est une f e u i l l e q u i p o r t e l e s t r o i s p o i n t s s i n -
g u l i e r s C , C ' ,C".
-
il e s t t r a n s v e r s e
l a f i b r a t i o n en d e h o r s d e s " s d p a r a t r i c e s "
- La r e p r d s e n t a t i o n d ' h o l o n o r n i e d e l a f e u i l l e Po - {C,Cl,C"} = Lo mot-p h i sme
est un horno-
172
oh
R. Moussu
I'\
est le sous-groupe de Klein formd des homographies qui laissent fixe z = 0.
Ainsi on peut supposer (modulo un changement de coordonnbes dans (cP(1)) puisque 'L w1 posskde d e s intdqrales preniikres en C et C " (lemme 1) : hi; (B) = hi;;(0 * 1) = Iiw (0 * 1) = g = s , avec S(x) = -x 1 1 1 h; ( a ) = h u (1 * 0) = Hw (1 * 0) = f , avec f(x) 1 ax jx 1 9 1 Un calcul klimentaire au plus 6ldgamment un petit raisonnement g6omdtrique que nous a communiquk D. Sullivan permet de montrer que (fsg)' = lfp(l). Ainsi d'apris le thborkme 1 la sdparatrice X = n(X n'a pas d'holonomie. T\r
Pour achever la ddmonstration de la proposition il suffit de montrer que f et q ne commutent pas, c'est b dire que a f 0. En effet, on vkrifie a l o r s facilement que l'orbite d'un point de PK(1) - {0} soils l'action du qroupe engendrd par (f,q) contient 0 G PK(1) dans son adhdrence Ainsi toutes les feuilles d e F 0) 1 distinctes du diviseur exceptionnel et de la sbparatrice contiennent le diviseur 2 exceptionnel dans leur adhdrence et toutes les feuilles de 3 adhkrent a O r : (E w1 ~
.
.
2
3
Supposons que f pt g commutent, alors H '"1 = H 0 avec w = d(y + x ) et et clb sont ho1omorphiquement"conj~~ud~s. D'aprks le thkod'aprks le thiorkme 1, rkme de division de 6 . de Rham on a
,
g(0) f 0
. Puisque
* (d(y 2+x 3 1 ) posskde encore
@
Y2
+ X3
1 existe une unit6 U telle que :
d(y'+x
3
Une telle 6ga it6 est impossible, son premier membre ne posskde pas de termes en x y d x . REFERENCES [I ]
I. Bendixon. Sur les points singuliers des kquations diffdrentielles. Ofv. Kangl. Vetenskaps. Akade. Eorhandlinger, Stokholm. 9 (1698),635-656.
[2 3
C. Camacho & P. Sad. Invariant varieties through singularities of holomorphic
[3]
vector fields - Ann. of Math. 115(1962), 579-595. N . A . Campo. Tresses, monodromie et le yroupe symplectique
@
1
Helv. (1979) D. Cerveau& J.F. Mattei.
-
Commentari Math.
Sinwlarities of codimension one complex foli-
ations, A partial survey. In this volume.
Holonomie Evenescente des Equations Differentielles Dkgknerkes Transverses
D. Cerveau & 3.F. Mattei
. Formes integrables singuli6res -
173
Astdrisque
no 97 - (1982)
C. de Rham. Sur la division des forrnes et des courants par une forme linkire Commentari Math. Hel. 28 (1954) H. Dulac. Recherches sur les points singuliers des kquations diffkrentiellesJournal de 1'Ecole Polytechnique,Z,sec.9 (1904),1-125. B. Malgrange. Intdgrales asymptotiques et monodromie - Ann. Eco. Norm. Sup.
Paris 7 (19741, 405-530. 3 . Martinet & 3P.Ramis. Problkmes de modules pour les kquations diffkrentiel-
les non linkaires du premier ordre
-
Publi. Math. I.H.E.S. no 55 (1982)
63-164. 3. Martinet & 3P. Ramis : Classifications analytiques des kquations diffdren-
tielles r6sonnantes. A paraitre dans AstGrisque (1984) 3. Milnor. Singular points of complex hypersurfaces - Ann. of Math. Studies 61 (1968). R. Moussu. Symdtrie et forme normale des centres et foyers dkgknkrds Ergod. Th. et Dynam. Sys. (1982) - 2 , 241-251. 3.F. Mattei & R. Moussu : Holonomie et intkgrales premiires
-
Ann. Scient.
Ec. Norm. Sup. Ser. 4.13 (1980), 469-523. H. Poincard. Mdmoire sur les courbes d6finies par une dquation diffdrentielle. 3. Math. Pures et Appl. 3-7 (1881), 375-422. A. Seidenberg. Reduction of singularities of the differential equation A dy = B dx - Amer. 3 . Math. 79 (19681, 248-269. F. Takens. Normal forms f o r certain singularities of vector fields - Ann. Inst. Fourier-Grenoble 23 (19731, 163-195. S . Il'Jasenko. The origin of limit cycles
... Mat.
353-363 S. 11'3asenko. The multicity of limit cycles vol. 118 (1982).
-
Sbornik,78 (1969) No 3,
Amer. Math. SOC. Transl. 2
,
R. MOUSSU Universitk de Dijon Ddpartement de Mathkmatiques Laboratoire de Topologie - ERA07.945 B.P. 134 21004 DI30N CEDEX - FRANCE