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Poids des duaux des codes BCH et sommes exponentielles
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 331, Série I, p. 629–632, 2000 Géométrie algébrique/Algebraic Geometry (Informatique théorique/Computer Science)
Poids des duaux des codes BCH et sommes exponentielles Eric FÉRARD Institut de mathématique de Luminy, CNRS UPR 9016, case 907, 163, avenue de Luminy, 13288 Marseille cedex 9, France Courriel : [email protected] (Reçu le 8 juin 2000, accepté le 23 août 2000)
Résumé.
On considère un code BCH binaire Cn de longueur 2n − 1. On s’intéresse au poids des mots du dual de Cn . Ces poids peuvent s’exprimer en fonction de sommes exponentielles qui vérifient la borne de Weil. Serre puis O. Moreno et C. Moreno ont amélioré cette borne. Dans certains cas, nous obtiendrons un résultat encore meilleur. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Weight of duals of BCH codes and exponential sums Abstract.
We consider a binary BCH code Cn of length 2n − 1. We improve the bound on the distance of the dual of Cn previously given by Carlitz and Uchiyama. The weight of a non-zero codeword is linked to the value of an exponential sum. This exponential sum satisfies the Weil bound. Serre, then C. Moreno and O. Moreno, improved this bound. In some cases, we will obtain a better result. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
1. Introduction Soit n un entier strictement positif. Posons q = 2n . On considère un code BCH binaire Cn de longueur q − 1 = 2n − 1 et de distance prescrite 2t + 1. Le poids w d’un mot de code non nul du dual de Cn satisfait la borne de Carlitz–Uchiyama : |w − 2n−1 | 6 (t − 1)2n/2 . Soit c un mot de code non nul du dual de Cn . Ce mot peut s’écrire sous la forme c = TrFq /F2 f (α) α∈F? , q
où f est un polynôme à coefficients dans Fq sans terme constant de degré impair et inférieur ou égal à 2t − 1. Note présentée par Jean-Pierre S ERRE. S0764-4442(00)01681-5/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
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E. Férard
On définit la somme exponentielle S(f ) par : S(f ) =
X
(−1)TrFq /F2 (f (x)) .
x∈Fq
Comme le poids w(c) de c est le nombre de α ∈ Fq tel que TrFq /F2 (f (α)) = 1, on a w(c) =
q − S(f ) . 2
Weil puis Serre ont montré que la somme exponentielle S(f ) satisfait : S(f ) 6 (deg f − 1)[2√q ]/2. Cette Note vise à présenter des améliorations de cette borne (voir [1] et [2]). 2. Borne sur les sommes exponentielles Si d est un entier positif dont le développement dyadique est d = 2d1 + · · · + 2dr , alors, par définition, son poids binaire est r. Soit f un polynôme à coefficients dans Fq de degré 2g + 1. Soit a le poids binaire de f , c’est-à-dire le maximum du poids binaire des exposants de f . Soit µ la partie entière de n/a. On supposera que µ > 1. Si d est un entier, l’ordre de d en 2 est le plus grand entier e tel que 2e divise d. On le notera ord2 (d). Nous rappelons un résultat sur la divisibilité par les puissances de 2 de S(f ). T HÉORÈME 1 (Litsyn, Moreno, Moreno [4]). – Soit f un polynôme à coefficients dans Fq . Soit a le poids binaire de f . Alors ord2 S(f ) > n/a. 2.1. Cas où n est impair Si y est un nombre réel, on notera [y] sa partie entière et {y} sa partie fractionnaire. O. Moreno et C. Moreno ont proposé une amélioration de la borne de Serre–Weil. T HÉORÈME 2 (Moreno, Moreno [5]). – Soit f un polynôme à coefficients dans Fq de degré 2g + 1. Soient a le poids binaire de f et µ la partie entière de n/a. Alors S(f ) 6 g · 2µ [21−µ √q ]. √ Nous allons voir que, dans de nombreux cas, |S(f )| 6 g · 2µ M − 3 · 2µ , où M = [21−µ q]. D’après le µ µ théorème 1, il suffit de prouver que |S(f )| est différent de g · 2 M − k · 2 pour k = 0, 1 et 2. Soit h le polynôme caractéristique de l’endomorphisme de Frobenius de la Jacobienne de la courbe y 2 + y = f (x) sur Fq . Serre (voir [7]) a montré que si |S(f )| = g · 2µ M , alors h est égal à g h(t) = t2 ± 2µ M t + q . En généralisant les résultats de Xing (voir [10]), on montre que, dans certains cas, h n’est pas le polynôme caractéristique de l’endomorphisme de Frobenius d’une variété abélienne sur Fq .
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Poids des duaux des codes BCH et sommes exponentielles
Il y a aussi un nombre fini de choix possibles pour le polynôme h si |S(f )| = g · 2µ M − k · 2µ avec k = 1 ou 2 (voir [8,9,3]). On élimine la plupart de ces cas de manière analogue. Cette méthode permet d’obtenir le résultat suivant (voir [1]) : T HÉORÈME 3. – Supposons que n soit un entier impair. Soit f un polynôme à coefficients dans Fq de degré 2g + 1. Soit a le poids binaire de f . On suppose que a > 3 et n > a. Posons µ = [n/a] et √ M = [21−µ q]. Soit b le plus grand entier impair divisant g. Supposons que les conditions suivantes sont satisfaites : (i) n 6= 1 + 2µ, n 6= 3 + 2µ ; √ (ii) µ 6= n/3 ou 21−µ q 6 1 − 4 cos2 (3π/7) ≈ 0, 8019. Si l’une des conditions suivantes est vérifiée : (iii) g est premier avec n ; (iv) a divise n, M est impair et a ne divise pas b ; (v) a divise n, M est pair et ord2 M < µ/b ; (vi) a ne divise pas n, M est impair et il n’existe pas d’entier i, 1 6 i < b/a, tel que µ divise ir ; (vii) a ne divise pas n, M est pair et ord2 M 6 µ/b ; (viii) a ne divise pas n et gM impair ; alors S(f ) 6 g · 2µ M − 3 · 2µ . Si de plus n n’est pas un multiple de µ et gM est pair, alors S(f ) 6 g · 2µ M − 4 · 2µ . Remarque 1. – Pour tout entier ` strictement positif, on pose S` (f ) =
X
TrF
(−1)
q`
/F2 (f (x))
.
x∈Fq`
Rodier a donné une minoration des sommes exponentielles S` (f ) pour une infinité de valeurs de ` si f est un polynôme de degré 7, 23, . . . (voir [6]) : lim sup ` impair
|S` (f )| = 2g − 2. q `/2
2.2. Cas où n est pair Dans cette partie, on suppose que f est un polynôme de degré 2a − 1 avec a > 3. On suppose aussi que n > 2a. Dans ce cas, on peut compléter le résultat donné dans le théorème 1 (voir [2]). T HÉORÈME 4. – Soit f un polynôme à coefficients dans Fq de degré 2a − 1 avec a > 3. Soit α le coefficient du terme dominant de f . Si a divise n, alors l’ordre de S(f ) en 2 est égal à n/a si et seulement si a TrF2a /F2 α(q−1)/(2 −1) = 1. Si S(f ) atteint la borne de Weil, alors pour tout entier ` strictement positif, S` (f ) l’atteint aussi : S` (f ) = (2a − 2)q `/2 . Donc, si a divise n, l’ordre de S` (f ) en 2 est strictement supérieur à `µ. On peut déduire du théorème précédent que c’est impossible si α n’est pas nul. On obtient le résultat suivant même dans le cas où n n’est pas un multiple de a (voir [2]).
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E. Férard
T HÉORÈME 5. – Soit f un polynôme à coefficients dans Fq de degré 2a − 1. On suppose que a > 3 et n > 2a. Soit µ la partie entière de n/a. Si n est pair, alors S(f ) 6 (2a − 2)√q − a · 2µ . Si de plus a est impair et ne divise pas n, alors S(f ) 6 (2a − 2)√q − (a + 1) · 2µ . Références bibliographiques [1] Férard E., Weight of dual of BCH codes and exponential sums, Prépublication de l’Institut de mathématiques de Luminy 04, 2000. [2] Férard E., Poids des duaux des codes BCH de distance prescrite 2a + 1 et sommes exponentielles, Prépublication de l’Institut de mathématiques de Luminy 16, 2000. [3] Lauter K., Geometric methods for improving the upper bounds on the number of rational points on algebraic curves over finite fields, Prépublication de l’Institut de mathématiques de Luminy 29, 1999. [4] Litsyn S., Moreno C.J., Moreno O., Divisibility properties and new bounds for cyclic codes and exponential sums in one and several variables, Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 5 (1994) 105–116. [5] Moreno O., Moreno C.J., A p-adic Serre bound, Finite Fields Appl. 4 (1998) 201–217. [6] Rodier F., Minoration de certaines sommes exponentielles binaires, in: Arithmetic, Geometry and Coding Theory, Luminy, 1993, pp. 199–209. [7] Serre J.-P., Sur le nombre des points rationnels d’une courbe algébrique sur un corps fini, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 296 (1983) 397–402. [8] Serre J.-P., Rational points on curves over finite fields, Notes by F. Gouvêa of lectures at Harvard University, 1985. [9] Smyth C., Totally positive algebraic integers of small trace, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 34 (1984) 1–28. [10] Xing C., The characteristic polynomials of abelian varieties of dimensions three and four over finite fields, Sci. China Ser. A 37 (1994) 147–150.
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Poids des duaux des codes BCH et sommes exponentielles Eric FÉRARD Institut de mathématique de Luminy, CNRS UPR 9016, case 907, 163, avenue de Luminy, 13288 Marseille cedex 9, France Courriel : [email protected] (Reçu le 8 juin 2000, accepté le 23 août 2000)
Résumé.
On considère un code BCH binaire Cn de longueur 2n − 1. On s’intéresse au poids des mots du dual de Cn . Ces poids peuvent s’exprimer en fonction de sommes exponentielles qui vérifient la borne de Weil. Serre puis O. Moreno et C. Moreno ont amélioré cette borne. Dans certains cas, nous obtiendrons un résultat encore meilleur. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Weight of duals of BCH codes and exponential sums Abstract.
We consider a binary BCH code Cn of length 2n − 1. We improve the bound on the distance of the dual of Cn previously given by Carlitz and Uchiyama. The weight of a non-zero codeword is linked to the value of an exponential sum. This exponential sum satisfies the Weil bound. Serre, then C. Moreno and O. Moreno, improved this bound. In some cases, we will obtain a better result. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
1. Introduction Soit n un entier strictement positif. Posons q = 2n . On considère un code BCH binaire Cn de longueur q − 1 = 2n − 1 et de distance prescrite 2t + 1. Le poids w d’un mot de code non nul du dual de Cn satisfait la borne de Carlitz–Uchiyama : |w − 2n−1 | 6 (t − 1)2n/2 . Soit c un mot de code non nul du dual de Cn . Ce mot peut s’écrire sous la forme c = TrFq /F2 f (α) α∈F? , q
où f est un polynôme à coefficients dans Fq sans terme constant de degré impair et inférieur ou égal à 2t − 1. Note présentée par Jean-Pierre S ERRE. S0764-4442(00)01681-5/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
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E. Férard
On définit la somme exponentielle S(f ) par : S(f ) =
X
(−1)TrFq /F2 (f (x)) .
x∈Fq
Comme le poids w(c) de c est le nombre de α ∈ Fq tel que TrFq /F2 (f (α)) = 1, on a w(c) =
q − S(f ) . 2
Weil puis Serre ont montré que la somme exponentielle S(f ) satisfait : S(f ) 6 (deg f − 1)[2√q ]/2. Cette Note vise à présenter des améliorations de cette borne (voir [1] et [2]). 2. Borne sur les sommes exponentielles Si d est un entier positif dont le développement dyadique est d = 2d1 + · · · + 2dr , alors, par définition, son poids binaire est r. Soit f un polynôme à coefficients dans Fq de degré 2g + 1. Soit a le poids binaire de f , c’est-à-dire le maximum du poids binaire des exposants de f . Soit µ la partie entière de n/a. On supposera que µ > 1. Si d est un entier, l’ordre de d en 2 est le plus grand entier e tel que 2e divise d. On le notera ord2 (d). Nous rappelons un résultat sur la divisibilité par les puissances de 2 de S(f ). T HÉORÈME 1 (Litsyn, Moreno, Moreno [4]). – Soit f un polynôme à coefficients dans Fq . Soit a le poids binaire de f . Alors ord2 S(f ) > n/a. 2.1. Cas où n est impair Si y est un nombre réel, on notera [y] sa partie entière et {y} sa partie fractionnaire. O. Moreno et C. Moreno ont proposé une amélioration de la borne de Serre–Weil. T HÉORÈME 2 (Moreno, Moreno [5]). – Soit f un polynôme à coefficients dans Fq de degré 2g + 1. Soient a le poids binaire de f et µ la partie entière de n/a. Alors S(f ) 6 g · 2µ [21−µ √q ]. √ Nous allons voir que, dans de nombreux cas, |S(f )| 6 g · 2µ M − 3 · 2µ , où M = [21−µ q]. D’après le µ µ théorème 1, il suffit de prouver que |S(f )| est différent de g · 2 M − k · 2 pour k = 0, 1 et 2. Soit h le polynôme caractéristique de l’endomorphisme de Frobenius de la Jacobienne de la courbe y 2 + y = f (x) sur Fq . Serre (voir [7]) a montré que si |S(f )| = g · 2µ M , alors h est égal à g h(t) = t2 ± 2µ M t + q . En généralisant les résultats de Xing (voir [10]), on montre que, dans certains cas, h n’est pas le polynôme caractéristique de l’endomorphisme de Frobenius d’une variété abélienne sur Fq .
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Poids des duaux des codes BCH et sommes exponentielles
Il y a aussi un nombre fini de choix possibles pour le polynôme h si |S(f )| = g · 2µ M − k · 2µ avec k = 1 ou 2 (voir [8,9,3]). On élimine la plupart de ces cas de manière analogue. Cette méthode permet d’obtenir le résultat suivant (voir [1]) : T HÉORÈME 3. – Supposons que n soit un entier impair. Soit f un polynôme à coefficients dans Fq de degré 2g + 1. Soit a le poids binaire de f . On suppose que a > 3 et n > a. Posons µ = [n/a] et √ M = [21−µ q]. Soit b le plus grand entier impair divisant g. Supposons que les conditions suivantes sont satisfaites : (i) n 6= 1 + 2µ, n 6= 3 + 2µ ; √ (ii) µ 6= n/3 ou 21−µ q 6 1 − 4 cos2 (3π/7) ≈ 0, 8019. Si l’une des conditions suivantes est vérifiée : (iii) g est premier avec n ; (iv) a divise n, M est impair et a ne divise pas b ; (v) a divise n, M est pair et ord2 M < µ/b ; (vi) a ne divise pas n, M est impair et il n’existe pas d’entier i, 1 6 i < b/a, tel que µ divise ir ; (vii) a ne divise pas n, M est pair et ord2 M 6 µ/b ; (viii) a ne divise pas n et gM impair ; alors S(f ) 6 g · 2µ M − 3 · 2µ . Si de plus n n’est pas un multiple de µ et gM est pair, alors S(f ) 6 g · 2µ M − 4 · 2µ . Remarque 1. – Pour tout entier ` strictement positif, on pose S` (f ) =
X
TrF
(−1)
q`
/F2 (f (x))
.
x∈Fq`
Rodier a donné une minoration des sommes exponentielles S` (f ) pour une infinité de valeurs de ` si f est un polynôme de degré 7, 23, . . . (voir [6]) : lim sup ` impair
|S` (f )| = 2g − 2. q `/2
2.2. Cas où n est pair Dans cette partie, on suppose que f est un polynôme de degré 2a − 1 avec a > 3. On suppose aussi que n > 2a. Dans ce cas, on peut compléter le résultat donné dans le théorème 1 (voir [2]). T HÉORÈME 4. – Soit f un polynôme à coefficients dans Fq de degré 2a − 1 avec a > 3. Soit α le coefficient du terme dominant de f . Si a divise n, alors l’ordre de S(f ) en 2 est égal à n/a si et seulement si a TrF2a /F2 α(q−1)/(2 −1) = 1. Si S(f ) atteint la borne de Weil, alors pour tout entier ` strictement positif, S` (f ) l’atteint aussi : S` (f ) = (2a − 2)q `/2 . Donc, si a divise n, l’ordre de S` (f ) en 2 est strictement supérieur à `µ. On peut déduire du théorème précédent que c’est impossible si α n’est pas nul. On obtient le résultat suivant même dans le cas où n n’est pas un multiple de a (voir [2]).
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E. Férard
T HÉORÈME 5. – Soit f un polynôme à coefficients dans Fq de degré 2a − 1. On suppose que a > 3 et n > 2a. Soit µ la partie entière de n/a. Si n est pair, alors S(f ) 6 (2a − 2)√q − a · 2µ . Si de plus a est impair et ne divise pas n, alors S(f ) 6 (2a − 2)√q − (a + 1) · 2µ . Références bibliographiques [1] Férard E., Weight of dual of BCH codes and exponential sums, Prépublication de l’Institut de mathématiques de Luminy 04, 2000. [2] Férard E., Poids des duaux des codes BCH de distance prescrite 2a + 1 et sommes exponentielles, Prépublication de l’Institut de mathématiques de Luminy 16, 2000. [3] Lauter K., Geometric methods for improving the upper bounds on the number of rational points on algebraic curves over finite fields, Prépublication de l’Institut de mathématiques de Luminy 29, 1999. [4] Litsyn S., Moreno C.J., Moreno O., Divisibility properties and new bounds for cyclic codes and exponential sums in one and several variables, Appl. Algebra Engrg. Comm. Comput. 5 (1994) 105–116. [5] Moreno O., Moreno C.J., A p-adic Serre bound, Finite Fields Appl. 4 (1998) 201–217. [6] Rodier F., Minoration de certaines sommes exponentielles binaires, in: Arithmetic, Geometry and Coding Theory, Luminy, 1993, pp. 199–209. [7] Serre J.-P., Sur le nombre des points rationnels d’une courbe algébrique sur un corps fini, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 296 (1983) 397–402. [8] Serre J.-P., Rational points on curves over finite fields, Notes by F. Gouvêa of lectures at Harvard University, 1985. [9] Smyth C., Totally positive algebraic integers of small trace, Ann. Inst. Fourier, Grenoble 34 (1984) 1–28. [10] Xing C., The characteristic polynomials of abelian varieties of dimensions three and four over finite fields, Sci. China Ser. A 37 (1994) 147–150.
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