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Sur certaines lois invariantes par moyenne pondérée aléatoire
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, Série I, p. 815–820, 2000 Probabilités/Probability Theory
Sur certaines lois invariantes par moyenne pondérée aléatoire Quansheng LIU Irmar, Université de Rennes-I, campus de Beaulieu, 35042 Rennes, France Courriel : [email protected] (Reçu le 3 janvier 2000, accepté après révision le 16 mars 2000)
Résumé.
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Nous considérons des solutions de l’équation (E) : Z = i=1 Ai Zi , où = désigne l’égalité en distribution, (N, A1 , A2 , . . .) est une variable aléatoire à valeurs dans {0, 1, . . .} × [0, ∞[ × [0, ∞[ × · · · (de loi conjointe arbitraire), et Z, Z1 , Z2 , . . . sont des variables aléatoires positives, de même loi, mutuellement indépendantes et indépendantes de (N, A1 , A2 , . . .). Des exemples sont les distributions des variables aléatoires limites des processus de Bellman–Harris [1,10,19] et de Crump–Mode–Jagers [11,9], des marches aléatoires avec branchement [7,8], des cascades multiplicatives [21,17,14,20] et de certains systèmes de particules infinis [13]. Pour chaque solution Z, nous précisons le comportement asymptotique en 0 de sa fonction de répartition, et celui en ∞ de sa fonction caractéristique ; nous montrons qu’elle a une densité sur ]0, ∞[ et qu’elle charge toute la demi-droite [0, ∞[ . Ainsi, nous obtenons de nouveaux résultats pour tous les processus mentionnés ci-dessus. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
On some laws invariant by random weighted mean Abstract.
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We consider solutions of the distributional equation (E): Z = i=1 Ai Zi , where (N, A1 , A2 , . . .) is a random variable with values in {0, 1, . . .} × [0, ∞[ × [0, ∞[ × · · · (and with arbitrary joint law), and Z, Z1 , Z2 , . . . are positive random variables, independent each other and independent of (N, A1 , A2 , . . .). Examples are the distributions of the famous limit random variables of the following processes: (a) the Bellman–Harris process [1,10, 19] and the Crump–Mode–Jagers process [11,9], (b) the branching random walks [7,8], (c) the multiplicative cascades [21,17,14,20], (d) the smoothing processes [13]. For any solution Z (with finite or infinite mean), we find asymptotic properties of the distribution function P(Z 6 x) at 0 and the characteristic function E eitZ at ∞; we prove that the distribution of Z is absolute continuous on (0, ∞), and that its support is the whole half line [0, ∞). We therefore obtain new results for all processes mentioned above. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Note présentée par Jean-Pierre K AHANE. S0764-4442(00)00272-X/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
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Abridged English version We search for properties of each solution Z of the distributional equation (E) introduced in the abstract. P A For simplicity, we assume p0 = 0, p1 < 1, and P(∀i ∈ Write pn = P(N = n) and Y1 = N i=1 i . P N {1, . . . , N }, Ai > 0) = 1. Assume also that E i=1 Aα i 6 1 for some α ∈ (0, 1] and that P(Y1 = 1) < 1. Then Equation (E) has a solution which is not a.s. constant [18]. Let Z be any such solution and let φ(t) = E eitZ (t ∈ R) be its characteristic function. It is known that E Z < ∞ (so that the derivative φ0 exists) if E Y1 = 1,
E Y1 log+ Y1 < ∞ and
−∞
N X
Ai log Ai < 0.
(1)
i=1
The results that we shall present extend the corresponding ones of Harris [15], Stigum [24], Athreya [2] and Dubuc [12] about the limit random variable of the Galton–Watson process, and give new information for all processes mentioned in the abstract. In particular, they improve or complete some theorems in [6,11, 7,16,22,5]. As usual we write g(t) = O(h(t)) if g/h is bounded, and g(t) ∼ h(t) if g(t)/h(t) → 1, and we denote by 1{·} the indicator function of the event {·}. T HEOREM 1 (Decay rate of |φ(t)| at ∞). – For each fixed a > 0, if −a E A−a 1 < ∞ and E A1 1{N = 1} < 1,
(2)
R∞ Qm then φ(t) = O(|t|−a ) and −∞ |t|a−1 |φ(t)| dt < ∞; if additionally m := ess inf N > 1 and E i=1 A−a i < −ma ∞, then φ(t) = O(|t| R ∞ ). R ∞The conclusions remain valid if we replace φ(t) by the Laplace transform E e−tZ (t > 0) and −∞ by 0 . T HEOREM 2 (Decay rate of |φ0 (t)| at ∞ and absolute continuity under (1)). – Assume (1) and fix a > −1. R∞ PN 0 −(a+1) < ∞ and E A−a ) and −∞ |t|a |φ0 (t)| dt < ∞. If E i=1 A−a 1 1{N = 1} < 1, then φ (t) = O(|t| i Consequently, if the conditions hold for some a > −1/2, then the law of Z has a square-integrable density on (0, ∞); if they hold for some a > 0, then the law of Z has a density with [a]-fold continuous derivative, where [a] is the integer part of a. In particular (take a = 0), if E N < ∞, then the law of Z has a continuous density on (0, ∞). The last part where E N < ∞ was proved in [7] for the branching random walks, and in [24,1,11] for branching processes. When the condition (1) is not necessarily satisfied, we can apply the following result which is new for all processes mentioned in the abstract. T HEOREM 3 (Absolute continuity without the hypothesis (1)). – If for some ε > 0, E A−ε 1 < ∞, then the law of Z is absolutely continuous on (0, ∞). T HEOREM 4 (Decay rate of P(Z 6 x) at 0 and moments of negative orders). – Fix a > 0. If (2) holds, a −b for all 0 < b < a; if additionally m (= ess inf N ) > 1 then P(Z Qm6 x)−a= O(x ), so that E Z < ∞ma and E i=1 Ai < ∞, then P(Z 6 x) = O(x ), so that E Z −mb < ∞ for all 0 < b < a. Conversely, −a Pm 1{N = m} < ∞. if E Z −a < ∞, then E A−a 1 1{N = 1} < 1 and E i=1 Ai −ν −a < ∞ if C OROLLARY 1. – If E A−ν 1 < ∞ and E A1 1{N = 1} = 1 for some ν > 0, then E Z −a 0 < a < ν and E Z = ∞ if a > ν.
Theorem 4 and its corollary improve some results of Barral [4,5]. T HEOREM 5 (The support). – Assume that either (a) (1) holds, or (b) Y1 is not concentrated on a set of points of the form λn (n ∈ {±1, ±2, . . .}) for some λ > 0, with P(0 < Y1 < 1) > 0 and P(Y1 > 1) > 0. Then for all 0 6 a < b 6 ∞, P(a < Z 6 b) > 0.
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When (1) holds, this was proved in [7] for the branching random walks. T HEOREM 6 (The iid case and the homogeneous case). – Suppose that we are in one of the following two cases: (A) {Ai } is iid and independent of N ; (B) A1 = A2 = · · · and is independent of N . Suppose also that p1 = 0. Put A = A1 , m = min{i > 2 : pi > 0}, m = m in case (A) and m = 1 in case (B). Let 0 < a < ∞. (i) We have: (a) P(A 6 x) = O(xa ) ⇔ P(Z 6 x) = O(xma ); (b) P(A 6 x) = O(xa ) ⇒ φ(t) = O(|t|−ma ); (c) E A−a < ∞ ⇒ E Z −ma < ∞ in case (A), and E A−a < ∞ ⇔ E Z −a < ∞ in case (B). (ii) Let δ > 0 and ` : (0, δ] → (0, ∞) be a function slowly varying at 0 and bounded away from 0 and ∞ on a ma m 0), each compact subset of (0, δ]. If P(A 6 x) ∼ (x → 0), then P(Z 6 x) ∼ cx [`(x)] (x → −a x `(x) −a m where 0 < c < ∞ is determined by c = pm E(Z ) in case (A), and by c = E(Z1 + · · · + ZN ) in case (B), Zi being independent copies of Z which are also independent of N . Case (A) contains the Mandelbrot’s situation; case (B) contains the Bellman–Harris situation. In case (A), part (i) extends some results in [16,22,4]; in case (B), (i)(a) and (i)(b) were proved in [19].
1. Introduction De nombreux problèmes nous conduisent à étudier certaines distributions sur R+ , invariantes par moyenne poindérée aléatoire et associées à une suite de poids aléatoires positifs. En d’autres termes, nous cherchons des propriétés des solutions de l’équation (E) introduite dans le résumé. Cette équation généralise considérablement la notion de lois stables ; grâce à la grande généralité, elle intervient dans beaucoup de sujets divers, dont certains sont déjà mentionnés dans le résumé. Parmi d’autres exemples intéressants, citons [25]. Les conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence d’une solution sont connues [18]. Soit Z une solution de (E) (intégrable ou non). Le comportement asymptotique en ∞ de la fonction de répartition P(Z 6 x) a été étudié [18,20]. Ici, nous décrivons son comportement au voisinage de 0, et celui au voisinage de l’infini de la fonction caractéristique E eitZ ; nous étudions l’absolue continuité de la loi de Z et ainsi que son support. Nos résultats généralisent ceux correspondants de Harris [15], Stigum [24], Athreya [2] et Dubuc [12] pour le processus de Galton–Watson ; ils améliorent ou complètent certains théorèmes de nombreux auteurs, dont Bellman et Harris [6], Athreya [1] et Liu [19] pour le processus de Bellman–Harris, Doney [11] pour le processus de Crump–Mode–Jagers, Biggins et Grey [7] pour les marches aléatoires avec branchement, et Kahane [16], Molchan [22] et Barral [4,5] pour les cascades de Mandelbrot [21]. 2. Les résultats PN Soient pn = P(N = n), n ∈ N, et Y1 = i=1 Ai . Supposons que p0 = 0, p1 < 1, et P(∀i ∈ {1, . . . , N }, Ai > 0) = 1. Ces conditions ne sont pas essentielles, mais elles nous permettent d’éviter des discussions PN moins intéressantes et de simplifier les énoncés des résultats. Supposons aussi que E i=1 Aα i 6 1 pour un certain α ∈ (0, 1] et que P(Y1 = 1) < 1. Ainsi, l’équation (E) admet une solution qui n’est pas p.s. constante [18]. Notons Z une telle solution, et φ(t) = E eitZ (t ∈ R) sa fonction caractéristique. Il est connu que Z est intégrable (donc la dérivée φ0 existe) si E Y1 = 1,
E Y1 log+ Y1 < ∞ et
−∞
N X
Ai log Ai < 0.
(1)
i=1
Comme d’habitude, nous écrivons g(t) = O(h(t)) si g/h est bornée, g(t) ∼ h(t) si g(t)/h(t) → 1, et nous notons 1{·} la fonction indicatrice de l’événement {·}.
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T HÉORÈME 1 (Le comportement asymptotique de φ en ∞). – Soit a > 0 fixé. Si −a E A−a 1 < ∞ et E A1 1{N = 1} < 1,
(2)
R∞ Qm < ∞, alors φ(t) = O(|t|−a ) et −∞ |t|a−1 |φ(t)| dt < ∞ ; si de plus m := ess inf N > 1 et E i=1 A−a i −ma ). Les restent valables si l’on remplace φ(t) par la transformée de alors φ(t) = O(|t| R ∞ conclusions R∞ Laplace E e−tZ (t > 0) et −∞ par 0 . φ0 en ∞ et l’absolue continuité sous l’hypothèse T HÉORÈME 2 (Le comportement asymptotique PN de −a 0 A < ∞ et E A−a (1)). – Supposons (1) et fixons a > −1. Si E 1 1{N = 1} < 1, alors la dérivée φ i=1 i R ∞ existe et vérifie φ0 (t) = O(|t|−(a+1) ) et −∞ |t|a |φ0 (t)| dt < ∞. Par conséquent, si les conditions ont lieu pour un certain a > −1/2, alors Z a une densité de carré intégrable ; si elles ont lieu pour un a > 0, alors Z a une densité de classe C[a] (i.e. [a]-fois continûment dérivable), où [a] est la partie entière de a. En particulier (en prenant a = 0), si E N < ∞, alors Z a une densité continue sur R∗+ . La dernière partie (où E N < ∞) a été montrée par Stigum [24] pour le processus de Galton–Watson, par Athreya [1] pour le processus de Bellman–Harris, par Doney [11] pour le processus de Crump–Mode– Jagers, et par Biggins et Grey [7] pour les marches aléatoires avec branchement. Lorsque l’hypothèse (1) n’est pas nécessairement satisfaite, le théorème suivant s’applique. T HÉORÈME 3 (L’absolue continuité sans l’hypothèse (1)). – Si pour un certain ε > 0, E A−ε 1 < ∞, alors la loi de Z est absolument continue sur ]0, ∞[ . Ce théorème est nouveau pour tous les processus mentionnés dans le résumé ; pour le cas de Galton– Watson, cf . [12] ou [3]. P(Z 6 x) = O(xa ), T HÉORÈME 4 (Moments d’ordres négatifs). – Soit a > 0 fixé. Si (2) a lieu, alors Qm −b < ∞, alors et donc E Z < ∞ pour tout 0 < b < a ; si de plus m (= ess inf N ) > 1 et E i=1 A−a i P(Z 6 x) = O(xma ), et donc E Z −mb < ∞ pour tout 0 < b < a. Réciproquement, si E Z −a < ∞, alors −a Pm 1{N = m} < ∞. E A−a 1 1{N = 1} < 1 et E i=1 Ai −ν −a < ∞ si C OROLLAIRE 1. – Si E A−ν 1 < ∞ et E A1 1{N = 1} = 1 pour un certain ν > 0, alors E Z 0 < a < ν et E Z −a = ∞ si a > ν.
Lorsque kN k∞ < ∞, nos résultats améliorent le corollaire II.A, les propositions II.B.1, II.B.2, II.B.4, II.B.5(ii) et le corollaire II.B.3 de Barral [5]. T HÉORÈME 5 (Le support). – Supposons que nous soyons dans l’un des deux cas suivants : (a) (1) est satisfaite ; (b) Y1 n’est pas concentrée sur un ensemble de points de la forme λn (n ∈ {±1, ±2, . . .}) pour un certain λ > 0, et que P(0 < Y1 < 1) > 0 et P(Y1 > 1) > 0. Alors pour tout 0 6 a < b 6 ∞, P(a < Z 6 b) > 0. Ce résultat a été montré par Biggins et Grey [7] dans le cas (a) et pour les marches aléatoires avec branchement, et par [23] pour le cas du processus de Bellman–Harris et sans l’hypothèse (a) ni (b). Considérons maintenant deux cas spéciaux particulièrement intéressants. T HÉORÈME 6 (Le cas iid et le cas homogène). – Supposons que nous soyons dans un des deux cas suivants : (A) (le cas iid) la suite {Ai } est iid, et indépendante de N ; (B) (le cas homogène) toutes les Ai sont égales et indépendantes de N . Supposons aussi que p1 = 0. Notons A = A1 , m := min {i > 2 : pi > 0}, m = m dans le cas iid et m = 1 dans le cas homogène. Soit 0 < a < ∞. a ma )⇔ 6 x) = O(xa ) ⇒ φ(t) = O(|t|−ma ) ; (i) On a : (a) P(A 6 x) = O(x −ma P(Z 6 x) = O(x ) ; (b) P(A −a −a < ∞ dans le cas iid, et E(A ) < ∞ ⇔ E[Z −a ] < ∞ dans le cas (c) E(A ) < ∞ ⇒ E Z homogène.
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(ii) Soient δ > 0 et ` : (0, δ] → (0, ∞) une fonction à variation lente en 0 ayant pour bornes inférieure et supérieure différente de 0 et de +∞ sur chaque sous-ensemble compact de (0, δ]. Si P(A 6 x) ∼ xa `(x) (x → 0), alors P(Z 6 x) ∼ xma [`(x)]m (x → 0), où 0 < c < ∞ est déterminée par c = pm [E(Z −a )]m dans le cas iid, et par c = E(Z1 + · · · + ZN )−a dans le cas homogène. Le cas iid contient la situation des cascades de Mandelbrot où N est une constante > 2. Pour cette situation de Mandelbrot, Kahane ([16], p. 306) a montré que P(A 6 x) = O(xa ) implique P(Z 6 x) = O(xN a ) (cf . aussi [4]), et Molchan ([22], Theorem 4) a montré que E(A−a ) < ∞ implique E[Z −N a ] < ∞. Le cas homogène contient la situation du processus de Bellman–Harris ; pour ce cas (i)(a) et (i)(b) ont été montrés dans [19]. Remarque 1. – Nos hypothèses globales exigent que P(A = 0) = P(N = 0) = 0. Or on peut passer du cas P(A = 0) + P(N = 0) > 0 au cas P(A = 0) = P(N = 0) = 0 en considérant la loi conditionnelle de A sachant A > 0 et celle de Z sachant Z > 0 [19]. Donc le théorème 3 implique que la loi de Z est absolument continue sur ]0, ∞[ dès que E A−ε 1{A > 0} < ∞ pour un certain ε > 0, sans supposer que P(A = 0) = P(N = 0) = 0. 3. Esquisse des démonstrations L EMME 1. – Soient g : R+ → R+ une fonction positive bornée et A une variable aléatoire positive. Supposons qu’il existe des constantes 0 < p < 1, 0 < a < R∞ et t0 > 0 telles qu’on ait, pour tout t > t0 , ∞ g(t) 6 p E g(At). Si pE(A−a ) < 1, alors g(t) = O(t−a ) et 0 g(t) ta−1 dt < ∞. La partie g(t) = O(t−a ) est une conséquence du lemme 4.1 de [19], et peut s’obtenir comme suit. Soit C > 0 assez grand tel que g(t) 6 p E g(At) + C t−a pour tout t > 0. En itérant cette inégalité n fois et en faisant tendre n vers +∞, on obtient g(t) 6 C/(1 − p E(A−a )). Une procédure similaire montre que la RT fonction G(T ) = 0 φ(t) ta−1 dt (T > 0) est bornée, ce qui termine la démonstration du lemme. En termes ou de transformée de Laplace, l’équation (E) s’écrit (E0 ) : QN de fonction caractéristique itZ φ(t) = E i=1 φ(Ai t), où φ(t) = E e ou E e−tZ , t > 0. Une modification de la preuve du théorème 3.1 PN de [19] montre que limt→∞ E eitZ = 0. Soient ε ∈ ]0, 1[ , δ > 0 et Nδ = i=1 1{Ai > δ}. Soit tε > 0 tel qu’on ait |φ(t)| < ε si t > tε . Donc par (E0 ), si t > tε /δ, alors |φ(t)| 6 E|φ(A1 t)| εNδ −1 1{Nδ > e1 t))|, où pε,δ = E εNδ −1 1{Nδ > 1}, et A e1 est une variable aléatoire positive dont la loi 1} = pε,δ E|φ(A 1 Nδ −1 e 1{Nδ > 1} pour toute fonction g positive borélienne. est déterminée par E g(A1 ) = pε,δ E g(A)ε −a −a e Comme limε↓0 limδ↓0 pε,δ E A1 = E A1 1{N > 1} < 1, nous pouvons choisir ε ∈ ]0, 1[ puis δ > 0 e−a < 1. Le lemme termine donc la preuve du théorème 1. La preuve du théorème 2 tels qu’on ait pε,δ E A 1 est similaire en dérivant l’équation (E0 ). Le théorème 3 découle du théorème 1 en itérant l’équation (E0 ). Le théorème 4 est une conséquence du théorème 1 et du fait que [par (E)], si E Z −a < ∞, alors E Z −a > −a > (cK )m K −x E[Y1−x 1{N = m}], où K > 0 et cK = P(Z 6 K). Dans E Z −aE A−a 1 1{N = 1} et E Z le cas (a) du théorème 5, l’argument de [7] s’applique ; la preuve du cas (b) est la suivante. Soient I1 le support de (la distribution de) Y1 , et IZ celui de Z ; notons I1+ = I1 r {0} et IZ+ = IZ r {0}. Par (E), si a ∈ I1+ et z ∈ IZ+ , alors az ∈ IZ+ . Donc z0 M ⊂ IZ+ , où z0 est un point quelconque de IZ+ , M = {a1 · · · an : n > 1, ai ∈ I1+ } et z0 M = {z0 a : a ∈ M }. Comme log M = {log a : a ∈ M } est stable par addition, il est dense dans R sous les hypothèses du (b). D’où IZ+ est dense dans ]0, ∞[ , ce qui termine la preuve du théorème 5. P∞ Pour montrer le théorème 6, notons f (t) = i=0 pn tn . L’équation (E) s’écrit alors (Ea) : φ(t) = f (E φ(At)) dans le cas iid, et (Eb) : φ(t) = E f (φ(At)) dans le cas homogène. Les deux équations (Ea) et (Eb) sont étroitement liées : si φ est solution de (Ea), alors t 7→ E φ(At) est solution de (Eb) ; réciproquement, si φ est solution de (Eb), alors t 7→ f (φ(t)) est solution de (Ea). Plaçons-nous dans le cas iid. Si P(A 6 x) = O(xa ), alors par le théorème 1, φ(t) = O(t−b ) pour tout 0 < b < ma. En choisissant a < b < ma et en remplaçant |φ(At)| par C/(1 + At)b dans |φ(t)| 6 (E |φ(At)|)m , on
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obtient φ(t) = O(t−ma ). D’autre part, par (E), on a P(Z 6 x) > pm [P(Z 6 K)]m [P(A 6 x/(Km))]m et E Z −ma 6 E(A1 Z1 + · · · + A1 Zm )a 6 m[E(A1 Z1 )−a ]m . La preuve de (i) est donc terminée. Pour montrer (ii), il suffit de montrer le résultat similaire pour les transformées de Laplace φA (t) = E e−tA et φ(t) = E e−tZ , t > 0 ; pour ce faire, on utilise φ(t) ∼ pm E φA (Zt) qui découle de (Ea). Pour le cas homogène, on utilise le fait que si Z est solution du cas homogène, alors Z1 + · · · + ZN est solution du cas iid, et que, par (E), E Z −a = E A−a E (Z1 + · · · + ZN )−a . Références bibliographiques [1] Athreya K.B., On the supercritical one-dimensional age dependent branching processes, Ann. Math. Statis. 40 (1969) 743–763. [2] Athreya K.B., On the absolute continuity of the limit random variable in the supercritical Galton–Watson branching process, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 563–565. [3] Athreya K.B., Ney P.E., Branching Processes, Springer-Verlag, Berlin, 1972. [4] Barral J., Continuité, Moments d’ordres négatifs et analyse multifractale de cascades multiplicatives de Mandelbrot, Thèse, Université, Paris-Sud, Orsay, 1997. [5] Barral J., Moments, continuité, et analyse multifractale des cascades multiplicatives de Mandelbrot, Probab. Th. Rel. Fields 113 (1999) 535–569. [6] Bellman R., Harris T., On age-dependent binary branching processes, Ann. Math. 55 (1952) 280–295. [7] Biggins J.D., Grey D.R., Continuity of limit random variables in the branching random walk, J. Appl. Probab. 16 (1979) 740–749. [8] Biggins J.D., Kyprianou A.E., Seneta–Heyde norming in the branching random walk, Ann. Probab. 25 (1997) 337–360. [9] Bingham N.H., Doney R.A., Asymptotic properties of supercritical branching processes II: Crump–Mode and Jirina processes, Adv. Appl. Probab. 7 (1975) 66–82. [10] Cohn H., Norming constants for the finite mean supercritical Bellman–Harris process, Z. Wahrsch. 61 (1982) 189–205. [11] Doney R.A., A limit theorem for a class of supercritical branching processes, J. Appl. Probab. 9 (1972) 707–724 . [12] Dubuc S., Problèmes relatifs à l’itération de fonctions suggérés par les processus en cascade, Ann. Inst. Fourier Grenoble 21 (1971) 171–251. [13] Durrett R., Liggett T., Fixed points of the smoothing transformation, Z. Wahrsch. verw. Gebeite 64 (1983) 275– 301. [14] Guivarc’h Y., Sur une extension de la notion de loi semi-stable, Ann. Inst. Henri-Poincaré 26 (1990) 261–285. [15] Harris T.E., Branching processes, Ann. Math. Statis. 19 (1948) 474–494. [16] Kahane J.-P., Produit de poids aléatoires indépendants et applications, in: Fractal Geometry and Analysis, Bélaire J., Dubuc S. (Eds.), Kluwer Acad. Publ., 1991, pp. 277–324. [17] Kahane J.-P., Peyrière, Sur certaines martingales de Benoit Mandelbrot, Adv. Math. 22 (1976) 131–145. [18] Liu Q., Fixed points of a generalized smoothing transformation and applications to branching processes, Adv. Appl. Probab. 30 (1998) 85–112. [19] Liu Q., Asymptotic properties of supercritical age-dependent branching processes and homogeneous branching random walks, Stoch. Proc. Appl. 82 (1999) 61–87. [20] Liu Q., Sur certaines martingales de Mandelbrot généralisées, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 328 (1999) 1207– 1212. [21] Mandelbrot B., Multiplications aléatoires et distributions invariantes par moyenne pondérée aléatoire, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 278 (1974) 289–292 and 355–358. [22] Molchan G.M., Scaling exponents and multifractal dimensions for independent random cascades, Commun. Math. Phys. 179 (1996) 681–702. [23] Schuh H.J., Seneta constants for the supercritical Bellman–Harris process, Adv. Appl. Probab. 14 (1982) 732–751. [24] Stigum B.P., A theorem on the Galton–Watson process, Ann. Math. Statis. 37 (1966) 696–698. [25] Rösler U., A fixed point theorem for distributions, Stoch. Proc. Appl. 42 (1992) 195–214.
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Nous considérons des solutions de l’équation (E) : Z = i=1 Ai Zi , où = désigne l’égalité en distribution, (N, A1 , A2 , . . .) est une variable aléatoire à valeurs dans {0, 1, . . .} × [0, ∞[ × [0, ∞[ × · · · (de loi conjointe arbitraire), et Z, Z1 , Z2 , . . . sont des variables aléatoires positives, de même loi, mutuellement indépendantes et indépendantes de (N, A1 , A2 , . . .). Des exemples sont les distributions des variables aléatoires limites des processus de Bellman–Harris [1,10,19] et de Crump–Mode–Jagers [11,9], des marches aléatoires avec branchement [7,8], des cascades multiplicatives [21,17,14,20] et de certains systèmes de particules infinis [13]. Pour chaque solution Z, nous précisons le comportement asymptotique en 0 de sa fonction de répartition, et celui en ∞ de sa fonction caractéristique ; nous montrons qu’elle a une densité sur ]0, ∞[ et qu’elle charge toute la demi-droite [0, ∞[ . Ainsi, nous obtenons de nouveaux résultats pour tous les processus mentionnés ci-dessus. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
On some laws invariant by random weighted mean Abstract.
d
PN
We consider solutions of the distributional equation (E): Z = i=1 Ai Zi , where (N, A1 , A2 , . . .) is a random variable with values in {0, 1, . . .} × [0, ∞[ × [0, ∞[ × · · · (and with arbitrary joint law), and Z, Z1 , Z2 , . . . are positive random variables, independent each other and independent of (N, A1 , A2 , . . .). Examples are the distributions of the famous limit random variables of the following processes: (a) the Bellman–Harris process [1,10, 19] and the Crump–Mode–Jagers process [11,9], (b) the branching random walks [7,8], (c) the multiplicative cascades [21,17,14,20], (d) the smoothing processes [13]. For any solution Z (with finite or infinite mean), we find asymptotic properties of the distribution function P(Z 6 x) at 0 and the characteristic function E eitZ at ∞; we prove that the distribution of Z is absolute continuous on (0, ∞), and that its support is the whole half line [0, ∞). We therefore obtain new results for all processes mentioned above. 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS
Note présentée par Jean-Pierre K AHANE. S0764-4442(00)00272-X/FLA 2000 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés.
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Abridged English version We search for properties of each solution Z of the distributional equation (E) introduced in the abstract. P A For simplicity, we assume p0 = 0, p1 < 1, and P(∀i ∈ Write pn = P(N = n) and Y1 = N i=1 i . P N {1, . . . , N }, Ai > 0) = 1. Assume also that E i=1 Aα i 6 1 for some α ∈ (0, 1] and that P(Y1 = 1) < 1. Then Equation (E) has a solution which is not a.s. constant [18]. Let Z be any such solution and let φ(t) = E eitZ (t ∈ R) be its characteristic function. It is known that E Z < ∞ (so that the derivative φ0 exists) if E Y1 = 1,
E Y1 log+ Y1 < ∞ and
−∞
N X
Ai log Ai < 0.
(1)
i=1
The results that we shall present extend the corresponding ones of Harris [15], Stigum [24], Athreya [2] and Dubuc [12] about the limit random variable of the Galton–Watson process, and give new information for all processes mentioned in the abstract. In particular, they improve or complete some theorems in [6,11, 7,16,22,5]. As usual we write g(t) = O(h(t)) if g/h is bounded, and g(t) ∼ h(t) if g(t)/h(t) → 1, and we denote by 1{·} the indicator function of the event {·}. T HEOREM 1 (Decay rate of |φ(t)| at ∞). – For each fixed a > 0, if −a E A−a 1 < ∞ and E A1 1{N = 1} < 1,
(2)
R∞ Qm then φ(t) = O(|t|−a ) and −∞ |t|a−1 |φ(t)| dt < ∞; if additionally m := ess inf N > 1 and E i=1 A−a i < −ma ∞, then φ(t) = O(|t| R ∞ ). R ∞The conclusions remain valid if we replace φ(t) by the Laplace transform E e−tZ (t > 0) and −∞ by 0 . T HEOREM 2 (Decay rate of |φ0 (t)| at ∞ and absolute continuity under (1)). – Assume (1) and fix a > −1. R∞ PN 0 −(a+1) < ∞ and E A−a ) and −∞ |t|a |φ0 (t)| dt < ∞. If E i=1 A−a 1 1{N = 1} < 1, then φ (t) = O(|t| i Consequently, if the conditions hold for some a > −1/2, then the law of Z has a square-integrable density on (0, ∞); if they hold for some a > 0, then the law of Z has a density with [a]-fold continuous derivative, where [a] is the integer part of a. In particular (take a = 0), if E N < ∞, then the law of Z has a continuous density on (0, ∞). The last part where E N < ∞ was proved in [7] for the branching random walks, and in [24,1,11] for branching processes. When the condition (1) is not necessarily satisfied, we can apply the following result which is new for all processes mentioned in the abstract. T HEOREM 3 (Absolute continuity without the hypothesis (1)). – If for some ε > 0, E A−ε 1 < ∞, then the law of Z is absolutely continuous on (0, ∞). T HEOREM 4 (Decay rate of P(Z 6 x) at 0 and moments of negative orders). – Fix a > 0. If (2) holds, a −b for all 0 < b < a; if additionally m (= ess inf N ) > 1 then P(Z Qm6 x)−a= O(x ), so that E Z < ∞ma and E i=1 Ai < ∞, then P(Z 6 x) = O(x ), so that E Z −mb < ∞ for all 0 < b < a. Conversely, −a Pm 1{N = m} < ∞. if E Z −a < ∞, then E A−a 1 1{N = 1} < 1 and E i=1 Ai −ν −a < ∞ if C OROLLARY 1. – If E A−ν 1 < ∞ and E A1 1{N = 1} = 1 for some ν > 0, then E Z −a 0 < a < ν and E Z = ∞ if a > ν.
Theorem 4 and its corollary improve some results of Barral [4,5]. T HEOREM 5 (The support). – Assume that either (a) (1) holds, or (b) Y1 is not concentrated on a set of points of the form λn (n ∈ {±1, ±2, . . .}) for some λ > 0, with P(0 < Y1 < 1) > 0 and P(Y1 > 1) > 0. Then for all 0 6 a < b 6 ∞, P(a < Z 6 b) > 0.
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Lois invariantes par moyenne pondérée aléatoire
When (1) holds, this was proved in [7] for the branching random walks. T HEOREM 6 (The iid case and the homogeneous case). – Suppose that we are in one of the following two cases: (A) {Ai } is iid and independent of N ; (B) A1 = A2 = · · · and is independent of N . Suppose also that p1 = 0. Put A = A1 , m = min{i > 2 : pi > 0}, m = m in case (A) and m = 1 in case (B). Let 0 < a < ∞. (i) We have: (a) P(A 6 x) = O(xa ) ⇔ P(Z 6 x) = O(xma ); (b) P(A 6 x) = O(xa ) ⇒ φ(t) = O(|t|−ma ); (c) E A−a < ∞ ⇒ E Z −ma < ∞ in case (A), and E A−a < ∞ ⇔ E Z −a < ∞ in case (B). (ii) Let δ > 0 and ` : (0, δ] → (0, ∞) be a function slowly varying at 0 and bounded away from 0 and ∞ on a ma m 0), each compact subset of (0, δ]. If P(A 6 x) ∼ (x → 0), then P(Z 6 x) ∼ cx [`(x)] (x → −a x `(x) −a m where 0 < c < ∞ is determined by c = pm E(Z ) in case (A), and by c = E(Z1 + · · · + ZN ) in case (B), Zi being independent copies of Z which are also independent of N . Case (A) contains the Mandelbrot’s situation; case (B) contains the Bellman–Harris situation. In case (A), part (i) extends some results in [16,22,4]; in case (B), (i)(a) and (i)(b) were proved in [19].
1. Introduction De nombreux problèmes nous conduisent à étudier certaines distributions sur R+ , invariantes par moyenne poindérée aléatoire et associées à une suite de poids aléatoires positifs. En d’autres termes, nous cherchons des propriétés des solutions de l’équation (E) introduite dans le résumé. Cette équation généralise considérablement la notion de lois stables ; grâce à la grande généralité, elle intervient dans beaucoup de sujets divers, dont certains sont déjà mentionnés dans le résumé. Parmi d’autres exemples intéressants, citons [25]. Les conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence d’une solution sont connues [18]. Soit Z une solution de (E) (intégrable ou non). Le comportement asymptotique en ∞ de la fonction de répartition P(Z 6 x) a été étudié [18,20]. Ici, nous décrivons son comportement au voisinage de 0, et celui au voisinage de l’infini de la fonction caractéristique E eitZ ; nous étudions l’absolue continuité de la loi de Z et ainsi que son support. Nos résultats généralisent ceux correspondants de Harris [15], Stigum [24], Athreya [2] et Dubuc [12] pour le processus de Galton–Watson ; ils améliorent ou complètent certains théorèmes de nombreux auteurs, dont Bellman et Harris [6], Athreya [1] et Liu [19] pour le processus de Bellman–Harris, Doney [11] pour le processus de Crump–Mode–Jagers, Biggins et Grey [7] pour les marches aléatoires avec branchement, et Kahane [16], Molchan [22] et Barral [4,5] pour les cascades de Mandelbrot [21]. 2. Les résultats PN Soient pn = P(N = n), n ∈ N, et Y1 = i=1 Ai . Supposons que p0 = 0, p1 < 1, et P(∀i ∈ {1, . . . , N }, Ai > 0) = 1. Ces conditions ne sont pas essentielles, mais elles nous permettent d’éviter des discussions PN moins intéressantes et de simplifier les énoncés des résultats. Supposons aussi que E i=1 Aα i 6 1 pour un certain α ∈ (0, 1] et que P(Y1 = 1) < 1. Ainsi, l’équation (E) admet une solution qui n’est pas p.s. constante [18]. Notons Z une telle solution, et φ(t) = E eitZ (t ∈ R) sa fonction caractéristique. Il est connu que Z est intégrable (donc la dérivée φ0 existe) si E Y1 = 1,
E Y1 log+ Y1 < ∞ et
−∞
N X
Ai log Ai < 0.
(1)
i=1
Comme d’habitude, nous écrivons g(t) = O(h(t)) si g/h est bornée, g(t) ∼ h(t) si g(t)/h(t) → 1, et nous notons 1{·} la fonction indicatrice de l’événement {·}.
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T HÉORÈME 1 (Le comportement asymptotique de φ en ∞). – Soit a > 0 fixé. Si −a E A−a 1 < ∞ et E A1 1{N = 1} < 1,
(2)
R∞ Qm < ∞, alors φ(t) = O(|t|−a ) et −∞ |t|a−1 |φ(t)| dt < ∞ ; si de plus m := ess inf N > 1 et E i=1 A−a i −ma ). Les restent valables si l’on remplace φ(t) par la transformée de alors φ(t) = O(|t| R ∞ conclusions R∞ Laplace E e−tZ (t > 0) et −∞ par 0 . φ0 en ∞ et l’absolue continuité sous l’hypothèse T HÉORÈME 2 (Le comportement asymptotique PN de −a 0 A < ∞ et E A−a (1)). – Supposons (1) et fixons a > −1. Si E 1 1{N = 1} < 1, alors la dérivée φ i=1 i R ∞ existe et vérifie φ0 (t) = O(|t|−(a+1) ) et −∞ |t|a |φ0 (t)| dt < ∞. Par conséquent, si les conditions ont lieu pour un certain a > −1/2, alors Z a une densité de carré intégrable ; si elles ont lieu pour un a > 0, alors Z a une densité de classe C[a] (i.e. [a]-fois continûment dérivable), où [a] est la partie entière de a. En particulier (en prenant a = 0), si E N < ∞, alors Z a une densité continue sur R∗+ . La dernière partie (où E N < ∞) a été montrée par Stigum [24] pour le processus de Galton–Watson, par Athreya [1] pour le processus de Bellman–Harris, par Doney [11] pour le processus de Crump–Mode– Jagers, et par Biggins et Grey [7] pour les marches aléatoires avec branchement. Lorsque l’hypothèse (1) n’est pas nécessairement satisfaite, le théorème suivant s’applique. T HÉORÈME 3 (L’absolue continuité sans l’hypothèse (1)). – Si pour un certain ε > 0, E A−ε 1 < ∞, alors la loi de Z est absolument continue sur ]0, ∞[ . Ce théorème est nouveau pour tous les processus mentionnés dans le résumé ; pour le cas de Galton– Watson, cf . [12] ou [3]. P(Z 6 x) = O(xa ), T HÉORÈME 4 (Moments d’ordres négatifs). – Soit a > 0 fixé. Si (2) a lieu, alors Qm −b < ∞, alors et donc E Z < ∞ pour tout 0 < b < a ; si de plus m (= ess inf N ) > 1 et E i=1 A−a i P(Z 6 x) = O(xma ), et donc E Z −mb < ∞ pour tout 0 < b < a. Réciproquement, si E Z −a < ∞, alors −a Pm 1{N = m} < ∞. E A−a 1 1{N = 1} < 1 et E i=1 Ai −ν −a < ∞ si C OROLLAIRE 1. – Si E A−ν 1 < ∞ et E A1 1{N = 1} = 1 pour un certain ν > 0, alors E Z 0 < a < ν et E Z −a = ∞ si a > ν.
Lorsque kN k∞ < ∞, nos résultats améliorent le corollaire II.A, les propositions II.B.1, II.B.2, II.B.4, II.B.5(ii) et le corollaire II.B.3 de Barral [5]. T HÉORÈME 5 (Le support). – Supposons que nous soyons dans l’un des deux cas suivants : (a) (1) est satisfaite ; (b) Y1 n’est pas concentrée sur un ensemble de points de la forme λn (n ∈ {±1, ±2, . . .}) pour un certain λ > 0, et que P(0 < Y1 < 1) > 0 et P(Y1 > 1) > 0. Alors pour tout 0 6 a < b 6 ∞, P(a < Z 6 b) > 0. Ce résultat a été montré par Biggins et Grey [7] dans le cas (a) et pour les marches aléatoires avec branchement, et par [23] pour le cas du processus de Bellman–Harris et sans l’hypothèse (a) ni (b). Considérons maintenant deux cas spéciaux particulièrement intéressants. T HÉORÈME 6 (Le cas iid et le cas homogène). – Supposons que nous soyons dans un des deux cas suivants : (A) (le cas iid) la suite {Ai } est iid, et indépendante de N ; (B) (le cas homogène) toutes les Ai sont égales et indépendantes de N . Supposons aussi que p1 = 0. Notons A = A1 , m := min {i > 2 : pi > 0}, m = m dans le cas iid et m = 1 dans le cas homogène. Soit 0 < a < ∞. a ma )⇔ 6 x) = O(xa ) ⇒ φ(t) = O(|t|−ma ) ; (i) On a : (a) P(A 6 x) = O(x −ma P(Z 6 x) = O(x ) ; (b) P(A −a −a < ∞ dans le cas iid, et E(A ) < ∞ ⇔ E[Z −a ] < ∞ dans le cas (c) E(A ) < ∞ ⇒ E Z homogène.
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Lois invariantes par moyenne pondérée aléatoire
(ii) Soient δ > 0 et ` : (0, δ] → (0, ∞) une fonction à variation lente en 0 ayant pour bornes inférieure et supérieure différente de 0 et de +∞ sur chaque sous-ensemble compact de (0, δ]. Si P(A 6 x) ∼ xa `(x) (x → 0), alors P(Z 6 x) ∼ xma [`(x)]m (x → 0), où 0 < c < ∞ est déterminée par c = pm [E(Z −a )]m dans le cas iid, et par c = E(Z1 + · · · + ZN )−a dans le cas homogène. Le cas iid contient la situation des cascades de Mandelbrot où N est une constante > 2. Pour cette situation de Mandelbrot, Kahane ([16], p. 306) a montré que P(A 6 x) = O(xa ) implique P(Z 6 x) = O(xN a ) (cf . aussi [4]), et Molchan ([22], Theorem 4) a montré que E(A−a ) < ∞ implique E[Z −N a ] < ∞. Le cas homogène contient la situation du processus de Bellman–Harris ; pour ce cas (i)(a) et (i)(b) ont été montrés dans [19]. Remarque 1. – Nos hypothèses globales exigent que P(A = 0) = P(N = 0) = 0. Or on peut passer du cas P(A = 0) + P(N = 0) > 0 au cas P(A = 0) = P(N = 0) = 0 en considérant la loi conditionnelle de A sachant A > 0 et celle de Z sachant Z > 0 [19]. Donc le théorème 3 implique que la loi de Z est absolument continue sur ]0, ∞[ dès que E A−ε 1{A > 0} < ∞ pour un certain ε > 0, sans supposer que P(A = 0) = P(N = 0) = 0. 3. Esquisse des démonstrations L EMME 1. – Soient g : R+ → R+ une fonction positive bornée et A une variable aléatoire positive. Supposons qu’il existe des constantes 0 < p < 1, 0 < a < R∞ et t0 > 0 telles qu’on ait, pour tout t > t0 , ∞ g(t) 6 p E g(At). Si pE(A−a ) < 1, alors g(t) = O(t−a ) et 0 g(t) ta−1 dt < ∞. La partie g(t) = O(t−a ) est une conséquence du lemme 4.1 de [19], et peut s’obtenir comme suit. Soit C > 0 assez grand tel que g(t) 6 p E g(At) + C t−a pour tout t > 0. En itérant cette inégalité n fois et en faisant tendre n vers +∞, on obtient g(t) 6 C/(1 − p E(A−a )). Une procédure similaire montre que la RT fonction G(T ) = 0 φ(t) ta−1 dt (T > 0) est bornée, ce qui termine la démonstration du lemme. En termes ou de transformée de Laplace, l’équation (E) s’écrit (E0 ) : QN de fonction caractéristique itZ φ(t) = E i=1 φ(Ai t), où φ(t) = E e ou E e−tZ , t > 0. Une modification de la preuve du théorème 3.1 PN de [19] montre que limt→∞ E eitZ = 0. Soient ε ∈ ]0, 1[ , δ > 0 et Nδ = i=1 1{Ai > δ}. Soit tε > 0 tel qu’on ait |φ(t)| < ε si t > tε . Donc par (E0 ), si t > tε /δ, alors |φ(t)| 6 E|φ(A1 t)| εNδ −1 1{Nδ > e1 t))|, où pε,δ = E εNδ −1 1{Nδ > 1}, et A e1 est une variable aléatoire positive dont la loi 1} = pε,δ E|φ(A 1 Nδ −1 e 1{Nδ > 1} pour toute fonction g positive borélienne. est déterminée par E g(A1 ) = pε,δ E g(A)ε −a −a e Comme limε↓0 limδ↓0 pε,δ E A1 = E A1 1{N > 1} < 1, nous pouvons choisir ε ∈ ]0, 1[ puis δ > 0 e−a < 1. Le lemme termine donc la preuve du théorème 1. La preuve du théorème 2 tels qu’on ait pε,δ E A 1 est similaire en dérivant l’équation (E0 ). Le théorème 3 découle du théorème 1 en itérant l’équation (E0 ). Le théorème 4 est une conséquence du théorème 1 et du fait que [par (E)], si E Z −a < ∞, alors E Z −a > −a > (cK )m K −x E[Y1−x 1{N = m}], où K > 0 et cK = P(Z 6 K). Dans E Z −aE A−a 1 1{N = 1} et E Z le cas (a) du théorème 5, l’argument de [7] s’applique ; la preuve du cas (b) est la suivante. Soient I1 le support de (la distribution de) Y1 , et IZ celui de Z ; notons I1+ = I1 r {0} et IZ+ = IZ r {0}. Par (E), si a ∈ I1+ et z ∈ IZ+ , alors az ∈ IZ+ . Donc z0 M ⊂ IZ+ , où z0 est un point quelconque de IZ+ , M = {a1 · · · an : n > 1, ai ∈ I1+ } et z0 M = {z0 a : a ∈ M }. Comme log M = {log a : a ∈ M } est stable par addition, il est dense dans R sous les hypothèses du (b). D’où IZ+ est dense dans ]0, ∞[ , ce qui termine la preuve du théorème 5. P∞ Pour montrer le théorème 6, notons f (t) = i=0 pn tn . L’équation (E) s’écrit alors (Ea) : φ(t) = f (E φ(At)) dans le cas iid, et (Eb) : φ(t) = E f (φ(At)) dans le cas homogène. Les deux équations (Ea) et (Eb) sont étroitement liées : si φ est solution de (Ea), alors t 7→ E φ(At) est solution de (Eb) ; réciproquement, si φ est solution de (Eb), alors t 7→ f (φ(t)) est solution de (Ea). Plaçons-nous dans le cas iid. Si P(A 6 x) = O(xa ), alors par le théorème 1, φ(t) = O(t−b ) pour tout 0 < b < ma. En choisissant a < b < ma et en remplaçant |φ(At)| par C/(1 + At)b dans |φ(t)| 6 (E |φ(At)|)m , on
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obtient φ(t) = O(t−ma ). D’autre part, par (E), on a P(Z 6 x) > pm [P(Z 6 K)]m [P(A 6 x/(Km))]m et E Z −ma 6 E(A1 Z1 + · · · + A1 Zm )a 6 m[E(A1 Z1 )−a ]m . La preuve de (i) est donc terminée. Pour montrer (ii), il suffit de montrer le résultat similaire pour les transformées de Laplace φA (t) = E e−tA et φ(t) = E e−tZ , t > 0 ; pour ce faire, on utilise φ(t) ∼ pm E φA (Zt) qui découle de (Ea). Pour le cas homogène, on utilise le fait que si Z est solution du cas homogène, alors Z1 + · · · + ZN est solution du cas iid, et que, par (E), E Z −a = E A−a E (Z1 + · · · + ZN )−a . Références bibliographiques [1] Athreya K.B., On the supercritical one-dimensional age dependent branching processes, Ann. Math. Statis. 40 (1969) 743–763. [2] Athreya K.B., On the absolute continuity of the limit random variable in the supercritical Galton–Watson branching process, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 563–565. [3] Athreya K.B., Ney P.E., Branching Processes, Springer-Verlag, Berlin, 1972. [4] Barral J., Continuité, Moments d’ordres négatifs et analyse multifractale de cascades multiplicatives de Mandelbrot, Thèse, Université, Paris-Sud, Orsay, 1997. [5] Barral J., Moments, continuité, et analyse multifractale des cascades multiplicatives de Mandelbrot, Probab. Th. Rel. Fields 113 (1999) 535–569. [6] Bellman R., Harris T., On age-dependent binary branching processes, Ann. Math. 55 (1952) 280–295. [7] Biggins J.D., Grey D.R., Continuity of limit random variables in the branching random walk, J. Appl. Probab. 16 (1979) 740–749. [8] Biggins J.D., Kyprianou A.E., Seneta–Heyde norming in the branching random walk, Ann. Probab. 25 (1997) 337–360. [9] Bingham N.H., Doney R.A., Asymptotic properties of supercritical branching processes II: Crump–Mode and Jirina processes, Adv. Appl. Probab. 7 (1975) 66–82. [10] Cohn H., Norming constants for the finite mean supercritical Bellman–Harris process, Z. Wahrsch. 61 (1982) 189–205. [11] Doney R.A., A limit theorem for a class of supercritical branching processes, J. Appl. Probab. 9 (1972) 707–724 . [12] Dubuc S., Problèmes relatifs à l’itération de fonctions suggérés par les processus en cascade, Ann. Inst. Fourier Grenoble 21 (1971) 171–251. [13] Durrett R., Liggett T., Fixed points of the smoothing transformation, Z. Wahrsch. verw. Gebeite 64 (1983) 275– 301. [14] Guivarc’h Y., Sur une extension de la notion de loi semi-stable, Ann. Inst. Henri-Poincaré 26 (1990) 261–285. [15] Harris T.E., Branching processes, Ann. Math. Statis. 19 (1948) 474–494. [16] Kahane J.-P., Produit de poids aléatoires indépendants et applications, in: Fractal Geometry and Analysis, Bélaire J., Dubuc S. (Eds.), Kluwer Acad. Publ., 1991, pp. 277–324. [17] Kahane J.-P., Peyrière, Sur certaines martingales de Benoit Mandelbrot, Adv. Math. 22 (1976) 131–145. [18] Liu Q., Fixed points of a generalized smoothing transformation and applications to branching processes, Adv. Appl. Probab. 30 (1998) 85–112. [19] Liu Q., Asymptotic properties of supercritical age-dependent branching processes and homogeneous branching random walks, Stoch. Proc. Appl. 82 (1999) 61–87. [20] Liu Q., Sur certaines martingales de Mandelbrot généralisées, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 328 (1999) 1207– 1212. [21] Mandelbrot B., Multiplications aléatoires et distributions invariantes par moyenne pondérée aléatoire, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I 278 (1974) 289–292 and 355–358. [22] Molchan G.M., Scaling exponents and multifractal dimensions for independent random cascades, Commun. Math. Phys. 179 (1996) 681–702. [23] Schuh H.J., Seneta constants for the supercritical Bellman–Harris process, Adv. Appl. Probab. 14 (1982) 732–751. [24] Stigum B.P., A theorem on the Galton–Watson process, Ann. Math. Statis. 37 (1966) 696–698. [25] Rösler U., A fixed point theorem for distributions, Stoch. Proc. Appl. 42 (1992) 195–214.
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