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Sur le théorème du goldstone pour des systèmes nonrélativistes
Volume 27A, number 1
PHYSICS
SUR
LE
LETTERS
20 May 1968
THt~ORI~,ME DU GOLDSTONE S Y S T ~ . M E S NONRI~. L A T I V I S T
POUR ES
DES
M. CRI@AN Acad$rnie de la R . S . R o u ~ a n i e , Fili~le de Cluj Regu le 17 avril 1968
En utilisant le formalism de la fonction de Green l'auteur donne un dgmonstration nouvelle du th~or~me de Goldstone, diff4rente de celle de Lange.
Le th4orfime de Goldstone pour les systfimes des spins m o n t r e que dans l e s p e c t r e ~nergetique des ondes de spin peut s u r v e n i r une r a m i f i c a t i o n s a n s sauts 4nerg4tiques, si le s y m 4 t r i e est viol~e. L ' a p p a r i t i o n d ' u n e r a m i f i c a t i o n s a n s sauts finerg4tique s ' ~ x p r i m e d ' a p r ~ s Lange [1] par la relation:
off:
l i m L(k, c0) = 2~riu6(~0) k-~0
(1)
L(k,~)= ~ fdtexp{i[oot-k(ri-rj)]}x ie~2
(2)
×
I o>
et
=.
GaB(k,t) = iO(t)([Sa(k,t),SB(-k,O ])
(6)
et si l ' o n e x p r i m e e n s u i t e la fonction de G r e e n dans la r e p r e s e n t a t i o n de Lehman on deduit de (4) l ' e x p r e s s i o n suivante:
E(k) = l i m ! ~+0 e-o
[ d E ' Fa[3 (k' E')
fdE E ,
~
~ w : ~ = - i ~ exp(-iEt) =
(7)
= lira [ d E ' e x p ( - i E ' t ) [ E ' - i e ] F ~ ( k , E ' ) . t~+0 s 21r E~0 On r e m a r q u e m a i n t e n a n t tout de s u i t e que le d e r n i e r m e m b r e en (7) r e p r 4 s e n t e la d e n s i t 4 s p 6 c t r a l e dans la r e p r 4 s e n t a t i o n de L e h m a n pour une fonction de G r e e n du type suivant:
Gafl(k , t) = iO(t)([[~, Sa(k , t)], Sj3(-k, 0 ) ] ) . (8)
En appliquant la m~thode de la fonction de G r e e n , nous nous proposons de d ~ m o n t r e r le t h 4 o r ~ m e suivant: Dans chaque s y s t ~ m e de spins ~i s y m ~ t r i e viol~e il y a une r a m i f i c a t i o n du s p e c t r e 4 n e r g e tique qui r e m p l i e la condition: tim E(k) =0 . k~0 En effet comrne on sait, la condition de violation de la s y m ~ t r i e s ' e x p r i m e p a r [ ~ , Sz ] = 0, ~tant le H a m i l t o n i e n n e du s y s t ~ m e de s p i n s i n v a r i a n t au r o t a t i o n s . Si l ' o n u t i l i s e la fonction G r e e n et on fait appel fi la r e l a t i o n bien connue
[9]
Or si 1'on fait clans cette d e r n i S r e e x p r e s s i o n Sa (k, t) = Sz(k , t) et S:3(-k, O) = Sz(-k , O) on a [~, S z) = 0 doff il en ddcoule i m m 6 d i a t e m e n t l ' 4 g a l i t 4 (3). The thOorSrne Ononc4 plus haut est donc d4montr~. D ' a u t r e p a r t pour Sa = S+(k, t) SB = S-(-k, O) il en r S s u l t e des considOrations prOcSdentes l i m E(k) ¢ 0 ce qui c o r r e s p o n d fi une r a m i f i c a t i o n k~0 fi sauts Onergetique [3].
Rdfdrences E(k) = l i m f t -~+0
E dE
GaB(k , E) exp (-lEt)
~,G'~(k' E) = ~f G'~fl(k , t) exp (lEt)
(4) (5)
1. R . V . Lange, Phys. Rev. 146 (1966) 301. 2. N.M. Hugenholtz, R e p o r t s ou P r o g r e s s in P h y s i c s , XXXVIII (1965) 201. 3. H. Stern, Phys. Rev. 147 (1966) 94.
PHYSICS
SUR
LE
LETTERS
20 May 1968
THt~ORI~,ME DU GOLDSTONE S Y S T ~ . M E S NONRI~. L A T I V I S T
POUR ES
DES
M. CRI@AN Acad$rnie de la R . S . R o u ~ a n i e , Fili~le de Cluj Regu le 17 avril 1968
En utilisant le formalism de la fonction de Green l'auteur donne un dgmonstration nouvelle du th~or~me de Goldstone, diff4rente de celle de Lange.
Le th4orfime de Goldstone pour les systfimes des spins m o n t r e que dans l e s p e c t r e ~nergetique des ondes de spin peut s u r v e n i r une r a m i f i c a t i o n s a n s sauts 4nerg4tiques, si le s y m 4 t r i e est viol~e. L ' a p p a r i t i o n d ' u n e r a m i f i c a t i o n s a n s sauts finerg4tique s ' ~ x p r i m e d ' a p r ~ s Lange [1] par la relation:
off:
l i m L(k, c0) = 2~riu6(~0) k-~0
(1)
L(k,~)= ~ fdtexp{i[oot-k(ri-rj)]}x ie~2
(2)
×
I o>
et
=
GaB(k,t) = iO(t)([Sa(k,t),SB(-k,O ])
(6)
et si l ' o n e x p r i m e e n s u i t e la fonction de G r e e n dans la r e p r e s e n t a t i o n de Lehman on deduit de (4) l ' e x p r e s s i o n suivante:
E(k) = l i m ! ~+0 e-o
[ d E ' Fa[3 (k' E')
fdE E ,
~
~ w : ~ = - i ~ exp(-iEt) =
(7)
= lira [ d E ' e x p ( - i E ' t ) [ E ' - i e ] F ~ ( k , E ' ) . t~+0 s 21r E~0 On r e m a r q u e m a i n t e n a n t tout de s u i t e que le d e r n i e r m e m b r e en (7) r e p r 4 s e n t e la d e n s i t 4 s p 6 c t r a l e dans la r e p r 4 s e n t a t i o n de L e h m a n pour une fonction de G r e e n du type suivant:
Gafl(k , t) = iO(t)([[~, Sa(k , t)], Sj3(-k, 0 ) ] ) . (8)
En appliquant la m~thode de la fonction de G r e e n , nous nous proposons de d ~ m o n t r e r le t h 4 o r ~ m e suivant: Dans chaque s y s t ~ m e de spins ~i s y m ~ t r i e viol~e il y a une r a m i f i c a t i o n du s p e c t r e 4 n e r g e tique qui r e m p l i e la condition: tim E(k) =0 . k~0 En effet comrne on sait, la condition de violation de la s y m ~ t r i e s ' e x p r i m e p a r [ ~ , Sz ] = 0, ~tant le H a m i l t o n i e n n e du s y s t ~ m e de s p i n s i n v a r i a n t au r o t a t i o n s . Si l ' o n u t i l i s e la fonction G r e e n et on fait appel fi la r e l a t i o n bien connue
[9]
Or si 1'on fait clans cette d e r n i S r e e x p r e s s i o n Sa (k, t) = Sz(k , t) et S:3(-k, O) = Sz(-k , O) on a [~, S z) = 0 doff il en ddcoule i m m 6 d i a t e m e n t l ' 4 g a l i t 4 (3). The thOorSrne Ononc4 plus haut est donc d4montr~. D ' a u t r e p a r t pour Sa = S+(k, t) SB = S-(-k, O) il en r S s u l t e des considOrations prOcSdentes l i m E(k) ¢ 0 ce qui c o r r e s p o n d fi une r a m i f i c a t i o n k~0 fi sauts Onergetique [3].
Rdfdrences E(k) = l i m f t -~+0
E dE
GaB(k , E) exp (-lEt)
~,G'~(k' E) = ~f G'~fl(k , t) exp (lEt)
(4) (5)
1. R . V . Lange, Phys. Rev. 146 (1966) 301. 2. N.M. Hugenholtz, R e p o r t s ou P r o g r e s s in P h y s i c s , XXXVIII (1965) 201. 3. H. Stern, Phys. Rev. 147 (1966) 94.