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Sur une methode d'etude de la dynamique des particules traversant L'espace accelerateur d'un cyclotron
Nuclear Instruments and Methods 212 (1983) 53-59 North-Holland Publishing Company
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S U R U N E M E T H O D E D ' E T U D E D E LA D Y N A M I Q U E D E S P A R T I C U L E S T R A V E R S A N T L'ESPACE ACCELERATEUR D'UN CYCLOTRON
D. T H O U R O U D E et A. D U R A N D Laboratoire Th~orie des Systbmes Physiques, Universitb de Rennes I, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex, France
Re~u le 4 octobre 1982
Equations are given allowing to study variations of generalized coordinates of a particle when crossing a gap in a cyclotron. Two methods are compared with the numerical integration.
1. Introduction D a n s un acc61+rateur lin6aire, les espaces acc616rateurs ont la sym6trie de r6volution. Ceci a permis Lapostolle et al. [1,2] d'obtenir les 6quations d o n n a n t le gain d'6nergie et la variation de phase d ' u n proton lots de la travers6e d ' u n tel espace. Cette th6orie d6velopp6e par Schnizer [3-5] et Prome [6] a en outre rendu possible la simulation de la marche d ' u n faisceau dans un acc61brateur lin6aire c o m p t e tenu des effets de charge d'espace. D a n s les cyclotrons, loin du centre, les espaces acc616rateurs peuvent ~tre consid+r6s c o m m e 6tant h deux dimensions et nous avons pu obtenir dans ce cas des 6quations de passage analogues ~t celles obtenues dans le cas d ' u n acc616rateur lin6aire [7]. Pr6s du centre du cyclotron, les espaces acc616rateurs pr6sentent une g6om6trie ~t trois dimensions. Le but de cette 6tude est d'6tablir et de comparer, dans ce cas, deux groupes d'6quations de passage.
2. Expression du potentiel et des champs Dans l'espace d'acc616ration que nous consid6rons (voir fig. 1, un exemple de g6om6trie acc616ratrice), les particules non relativistes (charge q, masse m) cheminent au voisinage de l'axe Oz, le plan m6dian 6tant le plan yOz. Afin de simplifier le formalisme, nous supposons que le d6 et l'anti d6 sont sym6triques par rapport au plan xOy et que les plansyOz et xOz sont 6galement des plans de sym6trie. Le d6 (z > 0) est au
f
/
p ~-" ///" .................
C
~. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
J 2a
Fig. 1. G6om6trie de l'espace acc616rateur consider6. 0 1 6 7 - 5 0 8 7 / 8 3 / 0 0 0 0 - 0 0 0 0 / $ 0 3 . 0 0 © 1983 N o r t h - H o l l a n d
D. Thouroude,A. Durand/ Etudede la dynamiquedesparticules
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potentiel V = V0 cos(~0t + ~), l'anti d6 (z < 0) est/t V = 0. On admet que le champ electrique dans la fente est le champ statique multiplie par le facteur cos(~t + ~). Au voisinage de l'axe Oz, le potentiel statique peut se representer ~ l'aide d'un developpement limite
y2
X 2
V(x, y, z) = V(O, O, z) +-T&(z)
+~-A2(z )
X4 y4 x2y2 + ~ a , ( z ) +~A4(z ) + ~ A s ( z
).
(1)
La condition A V = 0 entraine les relations suivantes:
A, + A2 + ~2V(O, O,z)/~z2=O, A3 + As + OZA,/OzZ=O, A4 + As + O2A2/Oz2=O.
(2)
Les champs E~, E," E: s'obtiennent directement /t partir d'eq. (1). Dans un premier temps, nous negligeons l'action du champ magnetique de guidage. Les equations du mouvement s'ecrivent alors: d2y dz 2
q m22
( E ~ - ( d~z y ) Ez ) cos(~t
Definissons maintenant les coefficients T 0 ( k ) = ~2
To(k ) est
+ 0),
d2x _ q (E~-(~7)E.)cos(~t+~). dx' dz 2 m~ 2
To, S, TTo, SS,
fo~E:(O,O,z)coskzdz,
S,(k)=-
(3)
qui vont intervenir dans les equations de passage V02~ A , ( z ) s i n k z d z .
i=la5.
(4)
le facteur de temps de transit
TT°(k)=-Voo2 fo~E:(O,O,z)sinkzdz,
SSi(k)=_~2 fo~A,(z)coskzdz,
i=la5,
(5)
relations dans lesquelles k = ~/,~. Remarquons qu'il a ete tenu compte dans ces coefficients, des symetries. A l'aide de ces coefficients, nous allons 6tudier la dynamique des particules dans un espace accelerateur. Nous comparerons deux methodes: la premiere, qui permet d'obtenir directement les coordonnees generalisees d'une particule/t la sortie de l'espace accelerateur en fonction des coordonnees/~ l'entree et la deuxieme analogue/~ celle utilisee dans ref. 7, qui fait intervenir les coordonnbes generalisees au milieu de la fente et qui fait appel / t u n plus grand hombre de coefficients. Une integration numerique du systeme d'eqs. (3) nous permettra de comparer la precision de ces deux methodes. 3. Equations de passage direct entree-sortie
3.1. Gain d'~nergie Nous considerons la region - l ~< z ~ l off le champ 61ectrique est non nul. Les conditions initiales seront donc prises en z = - 1 et la phase sera alors q, = ~,. Dans ce cas, le gain d'energie de la particule s'ecrit:
AW= qf~'E:(x, y,z ) cos( ~t
+
~1 ) dz.
(6)
Pour effectuer l'integration, il faut connaitre les lois du mouvement sous la forme
y = h(z). Au premier ordre, on 6crira o:t=k,(z+l), x=x, +x',(z+l),
t =f(z), x = g(z)
v=)', +y;(z+l),
et (7)
or) x p y~, x 'I, y~ sont les excursions et les pentes de la trajectoire de la particule en z = - l . L'integration d'eq. (6) donne le gain d'energie, calcul6 au premier ordre~ que nous noterons AWla.
{ [ (Xl+X'll)2 (yl AW~=qVo c o s ( k , l + ¢ , ) g ( k , ) + 2 k'Sl(k')+~ +sin(k,l+~,)
( x',(x, +x',1)777
+yi/) 2
k'S2(k~)
]
(8)
D. Thouroude, A. Durand / Etude de la dynamique des particules
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Si la valeur obtenue est du m6me ordre de grandeur que l'6nergie cin6tique initiale (ce qui est le cas au voisinage du centre, dans un cyclotron),il est n6cessaire de poursuivre le developpement t = f ( z ) et on 6crira: O)l = k l ( Z + I) - A ( z
l)2
+
(9)
soit k = k I - 2 A ( z + l). On d6termine A en 6crivant que k ( z = l) = k 2, valeur obtenue/a l'aide d'eq. (8). II vient alors, au deuxi6me ordre A d d0,
Awd=awd+
d2(AWIO) ] dk~ "
(10)
On obtient le gain d'6nergie en r6solvant cette 6quation qui est du troiseme degr6 en k 2.
3.2. Variation de la phase En dehors de l'espace acc616rateur, la phase varie lin6airement avec le temps. Afin d'avoir une variation finie, on peut definir la phase r6duite
4=O-
z(dq~/dz), f+!
soit Aq7d = -- J ,
(11)
d247
z dz---7 dz.
(12)
O n peut relier la variation de la phase entre z = - l et z = + 1 h la variation de phase r6duite. En utilisant les memes d6veloppements que pr4c6demment, on obtient, au premier ordre
qkl dT0 A4d = ~-'~11 V()~ 1 - I s i n ( k ~ / + ~a).
(13)
3.3. Mouvement transversal A partir des 6qs. (3), nous pouvons obtenir les variations d'excursions et de pentes Ax d, A y d, A x 'd, A y 'd. On obtient pour Ax'd:
ax'd=
' Awd -x I • 2W 1
-
'a;7
qV° sin(kfl+O~) 2 W I x~
cos(k,t+<)
s,
2 o3 +
s,+x-~-~S3+-~ - 5}
+ x , y , - x{ s5
'
et AX d =
21(x; + Ax 'd) +
d2(ax 'd) d k l d~l
•
(is)
Pour obtenir A y 'd et A y a, il suffit de changer x en y, de substituer $4 h $3 et S 2 h S~.
4. Equations de passage avec origine au centre
4.1. Gain d'bnergie Lorsque l'on prend l'origine au centre de l'espace acc~l~rateur z = 0, t = 0, ~ = 00, l'obtention des coordonn6es de sortie se fait en deux temps. Tout d'abord, on obtient un jeu d'6quations d o n n a n t les
D. Thouroude,A. Durand/ Etudede la dynamiquedesparticules
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caract6ristiques du mouvement h la sortie de la fente en fonction des m6mes caract6ristiques a l'entr6e. Cependant ces 6quations font intervenir les caract6ristiques du mouvement au milieu de la fente, caract6ristiques qui sont des inconnues du probl6me. On doit donc chercher un deuxi6me jeu d'6quations qui relient les param&res entr6e, milieu, sortie. On obtient ce deuxi6me jeu d'6quations, en n'int6grant cette fois ci que sur la moiti6 de l'espace acc616rateur. Pour le gain d'6nergie on op6re de la faqon suivante: on a AW= q
y, z) cos(0at + qS0) dz.
(16)
Au ler ordre
oat=koz, X=Xo+X'oZ , y=yo+y~z,
(17)
off les grandeurs indic6es 0 sont relatives au milieu de l'espace accelerateur. On obtient alors
AWlm=qVo
COS~0
To(ko)+--~S,(ko)+
+ sin q~o(Xox'Od~o [ koS,( ko) ] + yoyd d~o [ koS2( ko ) ] ) } .
(18)
On obtient une autre relation en 6crivant que:
Wo- W, =q
fo
Ez(x,y, z)
cos(oat+~0 ) dz.
(19)
--oO
En introduisant les coefficients d6finis par 6% (5), on peut 6crire W o - W~ = ~ +
sin~ o
TTo+~SSI+--SS2
_cosqJo(Xox,od_~o(koSS,) +Y°YOd~o'd(koSS 2))}.
(20)
Si l'on veut d6velopper t = f ( z ) au second ordre, on 6crira
oat = koz
-
Bz
(21)
2 ,
avec B = (k 1 - ko)/21, de telle sorte que pour z = - l , on ait k = k 1. Contrairement ~ la m6thode pr6c6dente, on ne peut obtenir le gain d'6nergie des seules 6qs. (18) et (20) puisqu'il faut conna~tre x o, x~, Y0, Yd, 4'o. Nous allons donc donner les 6quations permettant de calculer ces grandeurs.
4.2. Variation de la phase On obtient A~--
2Wo dko
~.o (AW'~)
et q~-qT,-
ko d [ d [ ] 2Wo dko ~ o W ° - W,] .
(22)
D. Thouroude, A. Durand / Etude de la dynamique des particules
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4.3. Mouvement transversal Les equations sont les suivantes, pour x a x ' = - 2----~o
, (23)
)
A~=~0 °
x ; - x',
2W° x o sin ~oS1 - x; cos ~o Ax' ,
q 0ixo
x
2W° -~SS, cosffo+-~
2
d
sinq~O~o[SS,]+X'osinq, o T T o + ~ a a I
d
d
- c o s ePoXo~XoXo~-~o ( koSS1) + yoy~-~o ( koSS2)
Xo - x , = h-TSo
)] ,
+
SS2
)
(24)
(x; - x',) ,
Pour obtenir les 6quations en y, on remplace x par y, S 1 par S 2, SS1 par SS 2 et SS 2 par SS 1. La resolution d'6qs. (18)-(24) permet de d6terminer d'abord Wo, fro, Xo, x~, Yo, Y~ et donc W2, q'2, x2, x'z, Y2, Y~. Remarquons que cette m6thode demande plus de calculs que la premiere, puisqu'il y a 2 syst6mes d'6quations dans ce cas. Afin de comparer la pr6cision des 2 methodes, nous allons les appliquer ~ l'&ude de la travers6e d'un mod61e simplifi6 d'espace accelerateur.
5. Etude de la travers6e d'un espace acc/~16rateur simplifi6
5,1. Expression du potentiel La geometrie etudiee est representee sur la fig. 1. Nous supposons une variation lineaire du potentiel dans le prolongement des electrodes, hypoth~se qui a et6 verifiee par un calcul num6rique [8]. Ceci permet de donner une expression analytique du potentiel sous la forme suivante:
1"Io. Vofo°~Sinuzsinua du{ ~ V( x, y, z) = ~- * aft2 u2 k
(~--k~)~ -'-~ 1
-1
× c o s ( 2 k ' - 1) 2c chab t- c o s ( 2 k ' - 1) 2b chBc ] ' o6 =
u2+
~-c
(2k'-
1) 2 ,/2 ,
~=
u2+
~
(2k'-l)
2'/2
Dans le cas 06 2a = 24 mm, 2b = 60 mm, 2c = 24 mm, nous avons represente sur la fig. 2 les variations de la composante axiale E: du champ sur l'axe. En comparant avec les valeurs calcul6es numeriquement precedemment [8], nous observons un bon accord, l'erreur relative etant inferieure h 1% dans la plupart des cas.
La fig. 3 represente les variations du parametre To(k ). On peut representer To(k ) sous la forme approchee:
To(k ) = e x p
(
k2( -~
Vo
E . ( O , O , O)
)2}
"
(26)
D. Thouroude, A. Durand / Etude de la dynamique des particules
58 ! , ~ oo ~-~ 30,
,ro~)
20. i
Q6, ~o
Q2
lO
20
30
~5
~0
Fig. 2. Composante axiale du champ sur l'axe en fonction de la distance du centre de l'espace acc6r6rateur.
k
2b
Fig. 3. Facteur de temps de transit To en fonetion de k.
Cette expression a n a l y t i q u e a 6t6 o b t e n u e en p r e n a n t p o u r le c h a m p l o n g i t u d i n a l Ez(z ), une v a r i a t i o n en e x p [ - ( z / z ~ ) 2] ou z a est une c o n s t a n t e (ici z~ = 188 mm).
5.2. Comparaison des rOsultats N o u s allons consid6rer des ions N 3+ et nous p r e n d r o n s les donn6es num6riques suivantes: tension acc616ratrice V0 = 31 kV, fr6quence ~ = 8 MHz. On consid6re une particule d'6nergie cin6tique initiale W~ = 32,4 keV, c'est-fi-dire telle que k] = 75 m - ]. Sur la fig. 2, on voit que le c h a m p E z d6croit assez r a p i d e m e n t et q u ' a u del/L de z = 50 ram, il est p r a t i q u e m e n t nuh on trouve en effet que p o u r z = 50 mm, le c h a m p Ez est 6gal au 1 / 2 5 0 de sa valeur maximale. N o u s p r e n d r o n s d o n c l = 50 mm. A f i n de c o m p a r e r les 2 m6thodes, nous avons int6gr6 n u m 6 r i q u e m e n t les 6qs. (3) du m o u v e m e n t fi r a i d e des formules de R u n g e - K u t t a a 4 a p p r o x i m a t i o n s . La pr6cision o b t e n u e est meilleure que 10 -4. Cette m6thode, appliqu6e fi un ion N 3+ qui chemine le long de l'axe Oz (x~ =y~ = 0; x'~ = y f = 0) et qui est tel que q,j = - 3,75 r a d (pour avoir ~] + kfl = 0), donne, c o m m e gain d'6nergie A W = 69 keV et une variation de phase, entre - 5 0 m m et + 50 mm, de 5,88 rad. L a relation (8) se simplifie ici:
AW¢= qVoro( k, ).
(27)
Soit AW~ = 57 keV, c'est-~-dire kl2 = 45,2 m - i. L ' e r r e u r sur Wz est donc de l ' o r d r e de 12%. La variation de p h a s e qui est ici 6gale h l(k I + k2) vaut 6 rad (erreur de 2,2%). Si on utilise les coordonn6es au centre du gap, on doit r6soudre le syst6me
qkoVo [ dT0 q'o = '~ , + k , l + ~ - ° [ s i n ~ ' 0 ~ o
qVo
Wo = W, + T
dTT0 ] ]'
c°s 4°d~7,,o
(28)
[ T° cos q'0 + TTO sin q'0 ].
La r6solution d o n n e q~0 = 0,091 rad et W0 = 71,2 keV soit un gain d'+nergie
AW, m=qVoTo(ko) cos4~o,
AW, r'~=71 keV,
(29)
D. Thouroude, A. Durand / Etude de la dynamique des particules
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Tableau 1 Runge Kutta
Gain d'6nergie (en keY) 69
Variation de phase (en rad) 5,88
Passage direct ler ordre Passage direct 2~me ordre Passage par le milieu ler ordre
57 68,5 71
6 5,86 5,80
soit une erreur de 3% sur W2, nettement infbrieure h l'erreur correspondante de la premiere m6thode. La variation de phase s'bcrit
A~ qk°V° dT°
sin q~0-
2W0 d k 0 On trouve A,~= - 0 , 0 2 rad soit Aq, = 5,80 rad (erreur 1,3%). Afin d'am61iorer la pr6cision de la premi6re m6thode, nous pouvons utiliser les formules utilisant les dbveloppements au deuxi6me ordre. On obtient alors, pour le gain d'6nergie AW~ = 68,5 keV, c'est-/a-dire que l'erreur n'est plus que de 0,5%. Pour la variation de phase, nous obtenons A~a = 5,86 rad soit une pr6cision tr6s bonne. On peut rSsumer ces r6sultats sur un tableau (cf. tableau 1). Nous avons 6galement compar6 les 2 m6thodes pour d'autres valeurs de la phase et de l'6nergie initiale. On peut remarquer que le deuxi6me ordre appliqu6 aux 6quations de passage direct entr6e sortie donne des r6sultats d'une pr6cision satisfaisante, et que ces 6quations sont d'une rbsolution plus simple que celles utilisant les coordonn6es au centre de l'espace accbl6rateur.
6. Conclusion Nous avons obtenu les 6quations donnant le gain d'6nergie et la variation de phase, les pentes et excursions d'une particule traversant un espace acc616rateur d'un cyclotron. On a ensuite 6tudi6 la travers6e de l'espace acc616rateur par des ions N 3+ et on a compar6 les r6sultats obtenus avec ceux que donnent une int6gration pas fi pas des 6quations du mouvement. L'accord est satisfaisant, m~me dans le cas off l'6nergie cin&ique initiale de la particule est du m~me ordre que l'6nergie maximale qu'elle peut acqubrir en traversant l'espace acc616rateur. Cette m6thode permettrait de simuler la marche d'un faisceau/l l'int6rieur du cyclotron en tenant cortlpte d'autres ph~nombnes comme la charge d'espace. Nous tenons/~ remercier le Dr. P. Lapostolle pour les discussions int6ressantes que nous avons eues avec lui lors de nos rencontres au G.A.N.I.L. /t Caen.
References [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
P. Lapostolle, CERN AR/Int. SG 65/11 (1965). Carne, P. Lapostolle and Prome, Conf. de Frascati (1965). Schnizer, CERN 69-3 (1969). Schnizer, CERN-ISR 300/LI-69-25. Schnizer, Part. Accel. 2 (1971) 141. Prome, Th6se, Orsay (1971). D. Thouroude, Note C.R. Acad. Sci. Paris (D+c. 1979) B. 277. D. Thouroude, Tanguy and A. Durand, GANIL 80R/006/IS/01 (1980).
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D. T H O U R O U D E et A. D U R A N D Laboratoire Th~orie des Systbmes Physiques, Universitb de Rennes I, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex, France
Re~u le 4 octobre 1982
Equations are given allowing to study variations of generalized coordinates of a particle when crossing a gap in a cyclotron. Two methods are compared with the numerical integration.
1. Introduction D a n s un acc61+rateur lin6aire, les espaces acc616rateurs ont la sym6trie de r6volution. Ceci a permis Lapostolle et al. [1,2] d'obtenir les 6quations d o n n a n t le gain d'6nergie et la variation de phase d ' u n proton lots de la travers6e d ' u n tel espace. Cette th6orie d6velopp6e par Schnizer [3-5] et Prome [6] a en outre rendu possible la simulation de la marche d ' u n faisceau dans un acc61brateur lin6aire c o m p t e tenu des effets de charge d'espace. D a n s les cyclotrons, loin du centre, les espaces acc616rateurs peuvent ~tre consid+r6s c o m m e 6tant h deux dimensions et nous avons pu obtenir dans ce cas des 6quations de passage analogues ~t celles obtenues dans le cas d ' u n acc616rateur lin6aire [7]. Pr6s du centre du cyclotron, les espaces acc616rateurs pr6sentent une g6om6trie ~t trois dimensions. Le but de cette 6tude est d'6tablir et de comparer, dans ce cas, deux groupes d'6quations de passage.
2. Expression du potentiel et des champs Dans l'espace d'acc616ration que nous consid6rons (voir fig. 1, un exemple de g6om6trie acc616ratrice), les particules non relativistes (charge q, masse m) cheminent au voisinage de l'axe Oz, le plan m6dian 6tant le plan yOz. Afin de simplifier le formalisme, nous supposons que le d6 et l'anti d6 sont sym6triques par rapport au plan xOy et que les plansyOz et xOz sont 6galement des plans de sym6trie. Le d6 (z > 0) est au
f
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p ~-" ///" .................
C
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J 2a
Fig. 1. G6om6trie de l'espace acc616rateur consider6. 0 1 6 7 - 5 0 8 7 / 8 3 / 0 0 0 0 - 0 0 0 0 / $ 0 3 . 0 0 © 1983 N o r t h - H o l l a n d
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potentiel V = V0 cos(~0t + ~), l'anti d6 (z < 0) est/t V = 0. On admet que le champ electrique dans la fente est le champ statique multiplie par le facteur cos(~t + ~). Au voisinage de l'axe Oz, le potentiel statique peut se representer ~ l'aide d'un developpement limite
y2
X 2
V(x, y, z) = V(O, O, z) +-T&(z)
+~-A2(z )
X4 y4 x2y2 + ~ a , ( z ) +~A4(z ) + ~ A s ( z
).
(1)
La condition A V = 0 entraine les relations suivantes:
A, + A2 + ~2V(O, O,z)/~z2=O, A3 + As + OZA,/OzZ=O, A4 + As + O2A2/Oz2=O.
(2)
Les champs E~, E," E: s'obtiennent directement /t partir d'eq. (1). Dans un premier temps, nous negligeons l'action du champ magnetique de guidage. Les equations du mouvement s'ecrivent alors: d2y dz 2
q m22
( E ~ - ( d~z y ) Ez ) cos(~t
Definissons maintenant les coefficients T 0 ( k ) = ~2
To(k ) est
+ 0),
d2x _ q (E~-(~7)E.)cos(~t+~). dx' dz 2 m~ 2
To, S, TTo, SS,
fo~E:(O,O,z)coskzdz,
S,(k)=-
(3)
qui vont intervenir dans les equations de passage V02~ A , ( z ) s i n k z d z .
i=la5.
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le facteur de temps de transit
TT°(k)=-Voo2 fo~E:(O,O,z)sinkzdz,
SSi(k)=_~2 fo~A,(z)coskzdz,
i=la5,
(5)
relations dans lesquelles k = ~/,~. Remarquons qu'il a ete tenu compte dans ces coefficients, des symetries. A l'aide de ces coefficients, nous allons 6tudier la dynamique des particules dans un espace accelerateur. Nous comparerons deux methodes: la premiere, qui permet d'obtenir directement les coordonnees generalisees d'une particule/t la sortie de l'espace accelerateur en fonction des coordonnees/~ l'entree et la deuxieme analogue/~ celle utilisee dans ref. 7, qui fait intervenir les coordonnbes generalisees au milieu de la fente et qui fait appel / t u n plus grand hombre de coefficients. Une integration numerique du systeme d'eqs. (3) nous permettra de comparer la precision de ces deux methodes. 3. Equations de passage direct entree-sortie
3.1. Gain d'~nergie Nous considerons la region - l ~< z ~ l off le champ 61ectrique est non nul. Les conditions initiales seront donc prises en z = - 1 et la phase sera alors q, = ~,. Dans ce cas, le gain d'energie de la particule s'ecrit:
AW= qf~'E:(x, y,z ) cos( ~t
+
~1 ) dz.
(6)
Pour effectuer l'integration, il faut connaitre les lois du mouvement sous la forme
y = h(z). Au premier ordre, on 6crira o:t=k,(z+l), x=x, +x',(z+l),
t =f(z), x = g(z)
v=)', +y;(z+l),
et (7)
or) x p y~, x 'I, y~ sont les excursions et les pentes de la trajectoire de la particule en z = - l . L'integration d'eq. (6) donne le gain d'energie, calcul6 au premier ordre~ que nous noterons AWla.
{ [ (Xl+X'll)2 (yl AW~=qVo c o s ( k , l + ¢ , ) g ( k , ) + 2 k'Sl(k')+~ +sin(k,l+~,)
( x',(x, +x',1)777
+yi/) 2
k'S2(k~)
]
(8)
D. Thouroude, A. Durand / Etude de la dynamique des particules
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Si la valeur obtenue est du m6me ordre de grandeur que l'6nergie cin6tique initiale (ce qui est le cas au voisinage du centre, dans un cyclotron),il est n6cessaire de poursuivre le developpement t = f ( z ) et on 6crira: O)l = k l ( Z + I) - A ( z
l)2
+
(9)
soit k = k I - 2 A ( z + l). On d6termine A en 6crivant que k ( z = l) = k 2, valeur obtenue/a l'aide d'eq. (8). II vient alors, au deuxi6me ordre A d d0,
Awd=awd+
d2(AWIO) ] dk~ "
(10)
On obtient le gain d'6nergie en r6solvant cette 6quation qui est du troiseme degr6 en k 2.
3.2. Variation de la phase En dehors de l'espace acc616rateur, la phase varie lin6airement avec le temps. Afin d'avoir une variation finie, on peut definir la phase r6duite
4=O-
z(dq~/dz), f+!
soit Aq7d = -- J ,
(11)
d247
z dz---7 dz.
(12)
O n peut relier la variation de la phase entre z = - l et z = + 1 h la variation de phase r6duite. En utilisant les memes d6veloppements que pr4c6demment, on obtient, au premier ordre
qkl dT0 A4d = ~-'~11 V()~ 1 - I s i n ( k ~ / + ~a).
(13)
3.3. Mouvement transversal A partir des 6qs. (3), nous pouvons obtenir les variations d'excursions et de pentes Ax d, A y d, A x 'd, A y 'd. On obtient pour Ax'd:
ax'd=
' Awd -x I • 2W 1
-
'a;7
qV° sin(kfl+O~) 2 W I x~
cos(k,t+<)
s,
2 o3 +
s,+x-~-~S3+-~ - 5}
+ x , y , - x{ s5
'
et AX d =
21(x; + Ax 'd) +
d2(ax 'd) d k l d~l
•
(is)
Pour obtenir A y 'd et A y a, il suffit de changer x en y, de substituer $4 h $3 et S 2 h S~.
4. Equations de passage avec origine au centre
4.1. Gain d'bnergie Lorsque l'on prend l'origine au centre de l'espace acc~l~rateur z = 0, t = 0, ~ = 00, l'obtention des coordonn6es de sortie se fait en deux temps. Tout d'abord, on obtient un jeu d'6quations d o n n a n t les
D. Thouroude,A. Durand/ Etudede la dynamiquedesparticules
56
caract6ristiques du mouvement h la sortie de la fente en fonction des m6mes caract6ristiques a l'entr6e. Cependant ces 6quations font intervenir les caract6ristiques du mouvement au milieu de la fente, caract6ristiques qui sont des inconnues du probl6me. On doit donc chercher un deuxi6me jeu d'6quations qui relient les param&res entr6e, milieu, sortie. On obtient ce deuxi6me jeu d'6quations, en n'int6grant cette fois ci que sur la moiti6 de l'espace acc616rateur. Pour le gain d'6nergie on op6re de la faqon suivante: on a AW= q
y, z) cos(0at + qS0) dz.
(16)
Au ler ordre
oat=koz, X=Xo+X'oZ , y=yo+y~z,
(17)
off les grandeurs indic6es 0 sont relatives au milieu de l'espace accelerateur. On obtient alors
AWlm=qVo
COS~0
To(ko)+--~S,(ko)+
+ sin q~o(Xox'Od~o [ koS,( ko) ] + yoyd d~o [ koS2( ko ) ] ) } .
(18)
On obtient une autre relation en 6crivant que:
Wo- W, =q
fo
Ez(x,y, z)
cos(oat+~0 ) dz.
(19)
--oO
En introduisant les coefficients d6finis par 6% (5), on peut 6crire W o - W~ = ~ +
sin~ o
TTo+~SSI+--SS2
_cosqJo(Xox,od_~o(koSS,) +Y°YOd~o'd(koSS 2))}.
(20)
Si l'on veut d6velopper t = f ( z ) au second ordre, on 6crira
oat = koz
-
Bz
(21)
2 ,
avec B = (k 1 - ko)/21, de telle sorte que pour z = - l , on ait k = k 1. Contrairement ~ la m6thode pr6c6dente, on ne peut obtenir le gain d'6nergie des seules 6qs. (18) et (20) puisqu'il faut conna~tre x o, x~, Y0, Yd, 4'o. Nous allons donc donner les 6quations permettant de calculer ces grandeurs.
4.2. Variation de la phase On obtient A~--
2Wo dko
~.o (AW'~)
et q~-qT,-
ko d [ d [ ] 2Wo dko ~ o W ° - W,] .
(22)
D. Thouroude, A. Durand / Etude de la dynamique des particules
57
4.3. Mouvement transversal Les equations sont les suivantes, pour x a x ' = - 2----~o
, (23)
)
A~=~0 °
x ; - x',
2W° x o sin ~oS1 - x; cos ~o Ax' ,
q 0ixo
x
2W° -~SS, cosffo+-~
2
d
sinq~O~o[SS,]+X'osinq, o T T o + ~ a a I
d
d
- c o s ePoXo~XoXo~-~o ( koSS1) + yoy~-~o ( koSS2)
Xo - x , = h-TSo
)] ,
+
SS2
)
(24)
(x; - x',) ,
Pour obtenir les 6quations en y, on remplace x par y, S 1 par S 2, SS1 par SS 2 et SS 2 par SS 1. La resolution d'6qs. (18)-(24) permet de d6terminer d'abord Wo, fro, Xo, x~, Yo, Y~ et donc W2, q'2, x2, x'z, Y2, Y~. Remarquons que cette m6thode demande plus de calculs que la premiere, puisqu'il y a 2 syst6mes d'6quations dans ce cas. Afin de comparer la pr6cision des 2 methodes, nous allons les appliquer ~ l'&ude de la travers6e d'un mod61e simplifi6 d'espace accelerateur.
5. Etude de la travers6e d'un espace acc/~16rateur simplifi6
5,1. Expression du potentiel La geometrie etudiee est representee sur la fig. 1. Nous supposons une variation lineaire du potentiel dans le prolongement des electrodes, hypoth~se qui a et6 verifiee par un calcul num6rique [8]. Ceci permet de donner une expression analytique du potentiel sous la forme suivante:
1"Io. Vofo°~Sinuzsinua du{ ~ V( x, y, z) = ~- * aft2 u2 k
(~--k~)~ -'-~ 1
-1
× c o s ( 2 k ' - 1) 2c chab t- c o s ( 2 k ' - 1) 2b chBc ] ' o6 =
u2+
~-c
(2k'-
1) 2 ,/2 ,
~=
u2+
~
(2k'-l)
2'/2
Dans le cas 06 2a = 24 mm, 2b = 60 mm, 2c = 24 mm, nous avons represente sur la fig. 2 les variations de la composante axiale E: du champ sur l'axe. En comparant avec les valeurs calcul6es numeriquement precedemment [8], nous observons un bon accord, l'erreur relative etant inferieure h 1% dans la plupart des cas.
La fig. 3 represente les variations du parametre To(k ). On peut representer To(k ) sous la forme approchee:
To(k ) = e x p
(
k2( -~
Vo
E . ( O , O , O)
)2}
"
(26)
D. Thouroude, A. Durand / Etude de la dynamique des particules
58 ! , ~ oo ~-~ 30,
,ro~)
20. i
Q6, ~o
Q2
lO
20
30
~5
~0
Fig. 2. Composante axiale du champ sur l'axe en fonction de la distance du centre de l'espace acc6r6rateur.
k
2b
Fig. 3. Facteur de temps de transit To en fonetion de k.
Cette expression a n a l y t i q u e a 6t6 o b t e n u e en p r e n a n t p o u r le c h a m p l o n g i t u d i n a l Ez(z ), une v a r i a t i o n en e x p [ - ( z / z ~ ) 2] ou z a est une c o n s t a n t e (ici z~ = 188 mm).
5.2. Comparaison des rOsultats N o u s allons consid6rer des ions N 3+ et nous p r e n d r o n s les donn6es num6riques suivantes: tension acc616ratrice V0 = 31 kV, fr6quence ~ = 8 MHz. On consid6re une particule d'6nergie cin6tique initiale W~ = 32,4 keV, c'est-fi-dire telle que k] = 75 m - ]. Sur la fig. 2, on voit que le c h a m p E z d6croit assez r a p i d e m e n t et q u ' a u del/L de z = 50 ram, il est p r a t i q u e m e n t nuh on trouve en effet que p o u r z = 50 mm, le c h a m p Ez est 6gal au 1 / 2 5 0 de sa valeur maximale. N o u s p r e n d r o n s d o n c l = 50 mm. A f i n de c o m p a r e r les 2 m6thodes, nous avons int6gr6 n u m 6 r i q u e m e n t les 6qs. (3) du m o u v e m e n t fi r a i d e des formules de R u n g e - K u t t a a 4 a p p r o x i m a t i o n s . La pr6cision o b t e n u e est meilleure que 10 -4. Cette m6thode, appliqu6e fi un ion N 3+ qui chemine le long de l'axe Oz (x~ =y~ = 0; x'~ = y f = 0) et qui est tel que q,j = - 3,75 r a d (pour avoir ~] + kfl = 0), donne, c o m m e gain d'6nergie A W = 69 keV et une variation de phase, entre - 5 0 m m et + 50 mm, de 5,88 rad. L a relation (8) se simplifie ici:
AW¢= qVoro( k, ).
(27)
Soit AW~ = 57 keV, c'est-~-dire kl2 = 45,2 m - i. L ' e r r e u r sur Wz est donc de l ' o r d r e de 12%. La variation de p h a s e qui est ici 6gale h l(k I + k2) vaut 6 rad (erreur de 2,2%). Si on utilise les coordonn6es au centre du gap, on doit r6soudre le syst6me
qkoVo [ dT0 q'o = '~ , + k , l + ~ - ° [ s i n ~ ' 0 ~ o
qVo
Wo = W, + T
dTT0 ] ]'
c°s 4°d~7,,o
(28)
[ T° cos q'0 + TTO sin q'0 ].
La r6solution d o n n e q~0 = 0,091 rad et W0 = 71,2 keV soit un gain d'+nergie
AW, m=qVoTo(ko) cos4~o,
AW, r'~=71 keV,
(29)
D. Thouroude, A. Durand / Etude de la dynamique des particules
59
Tableau 1 Runge Kutta
Gain d'6nergie (en keY) 69
Variation de phase (en rad) 5,88
Passage direct ler ordre Passage direct 2~me ordre Passage par le milieu ler ordre
57 68,5 71
6 5,86 5,80
soit une erreur de 3% sur W2, nettement infbrieure h l'erreur correspondante de la premiere m6thode. La variation de phase s'bcrit
A~ qk°V° dT°
sin q~0-
2W0 d k 0 On trouve A,~= - 0 , 0 2 rad soit Aq, = 5,80 rad (erreur 1,3%). Afin d'am61iorer la pr6cision de la premi6re m6thode, nous pouvons utiliser les formules utilisant les dbveloppements au deuxi6me ordre. On obtient alors, pour le gain d'6nergie AW~ = 68,5 keV, c'est-/a-dire que l'erreur n'est plus que de 0,5%. Pour la variation de phase, nous obtenons A~a = 5,86 rad soit une pr6cision tr6s bonne. On peut rSsumer ces r6sultats sur un tableau (cf. tableau 1). Nous avons 6galement compar6 les 2 m6thodes pour d'autres valeurs de la phase et de l'6nergie initiale. On peut remarquer que le deuxi6me ordre appliqu6 aux 6quations de passage direct entr6e sortie donne des r6sultats d'une pr6cision satisfaisante, et que ces 6quations sont d'une rbsolution plus simple que celles utilisant les coordonn6es au centre de l'espace accbl6rateur.
6. Conclusion Nous avons obtenu les 6quations donnant le gain d'6nergie et la variation de phase, les pentes et excursions d'une particule traversant un espace acc616rateur d'un cyclotron. On a ensuite 6tudi6 la travers6e de l'espace acc616rateur par des ions N 3+ et on a compar6 les r6sultats obtenus avec ceux que donnent une int6gration pas fi pas des 6quations du mouvement. L'accord est satisfaisant, m~me dans le cas off l'6nergie cin&ique initiale de la particule est du m~me ordre que l'6nergie maximale qu'elle peut acqubrir en traversant l'espace acc616rateur. Cette m6thode permettrait de simuler la marche d'un faisceau/l l'int6rieur du cyclotron en tenant cortlpte d'autres ph~nombnes comme la charge d'espace. Nous tenons/~ remercier le Dr. P. Lapostolle pour les discussions int6ressantes que nous avons eues avec lui lors de nos rencontres au G.A.N.I.L. /t Caen.
References [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]
P. Lapostolle, CERN AR/Int. SG 65/11 (1965). Carne, P. Lapostolle and Prome, Conf. de Frascati (1965). Schnizer, CERN 69-3 (1969). Schnizer, CERN-ISR 300/LI-69-25. Schnizer, Part. Accel. 2 (1971) 141. Prome, Th6se, Orsay (1971). D. Thouroude, Note C.R. Acad. Sci. Paris (D+c. 1979) B. 277. D. Thouroude, Tanguy and A. Durand, GANIL 80R/006/IS/01 (1980).