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Sur une équation de transport intervenant en dynamique des populations
C. R. Acad. Sci. Paris, iquations aux db-ivees
t. 325, SCrie partielles/Parfial
I, p. 1087-1090,
Differential
1997 Equations
Sur une kquation de transport en dynamique des populations Khalid
LATRACH
Univrrsiti Quart&
dr Gorse, Laboratoirr Grov,rtti, BP 52, 20250
R&m-k.
et Aref JERIBI de Mathbmatiqurs, Cortr, France.
Dans cette Note nous prCsentonsquelquesrCsultatsd’existence g6nCrauxpour des Cquationsde transport monodimensionnelles avec des conditions aux limites non lin&airesintervenant en dynamiquedespopulations. On a transport
Abstract.
intervenant
equation
arising in growing
cell populations
In this Note we present SOUP general existence results for one-dimensional transport equations with nonlinear houndnry conditions arising in growing cell populations.
1. Introduction Dans ce travail on se propose de p&enter quelques r&ultats d’existence pour des equations de transport non linkaires intervenant en dynamique des populations. DesJCsultats de ce type ont CtC obtenus dans [5] pour desCquationsde transport de neutrons. Ce qu’il y a de nouveau c’est que dans le problkme que nous consid6ronsles conditions aux limites sont modClisCespar une loi de reproduction non IinCaire couvrant, en particulier, les differentes lois de reproduction considCr6esdans [3], [7], [S] et [ 101.D’autre part, pour les conditions aux limites linCaires,les rksultats d’existence n’ont 6tC Ctablis que pour le probEme (2.1). Notre methode permet de traiter des perturbations du probEme (2.1) par des opkrateurs non lin&aires de type Nemytskii (thtor&me 3). ConsidCrons l’&quation
(1.1) oti l-1E [O, I], 11,V’ E [a, b] avec 0 < n < b < Sw. La fonction T,~(/L;11)dCcrit la densit de population et est determinCe par le degrC de maturitk LLet la vitesse 11de maturation des cellules. Le degr6 de maturit& /L est dCfini tel que IL = 0 ?I la naissanceet 1 B la mort de la cellule. Les fonctions a( . . , ) et T( . , . , , ) sont des fonctions non lin&aires en T/),et X dCsigneun nombre complexe. Note prbentke 0764.-4442/97/0325
par Jean-Michel 1087 0 Acadt!mie
BONY. des SciencesElsevier,
Paris
1087
K. Latrach
et
A.
jeribi
Soit p E [I, +oo). Designons partiel
par X, I’espace LP( [0, l] x [a! b]; dp d,(l) et W,
l’espace de Sobolev
Notons que tout Clement $I de W,, admet des traces sur r0 = (0) x [CA,h] et ITI = {l} x [a,: b], elements des espaces front&es Xi := L,(r,; ,&I) et Xi := L,(l?l; pldu) (twir, par exemple, [2] et [.3]). Nous les noterons, respectivement, $’ et ,$!I. Les conditions aux limites sont modelisees par :
‘$O = K(7p),
(1.2)
ou K est un operateur front&e non lineaire de Xi dans >Xg verifiant (Hl) il existe une constante U > 0 telle que
On definit l’operateur
d’advection
I
D(SI<)
l’hypothese
:
Sh- par :
= {li,
E W,
tel que ,Y,I;”= K(T+/I~)}
Dans le present travail, nous obtenons des resultats d’existence pour des problemes du type (l.l)-( 1.2) darts le cas ou r(p, V, ‘u’. li/(,l, II’)) = ~(7). ,~‘),f(/r, ,v’, $J(,~.v’)). La fonction mesurable r;(., .), est le noyau de l’operateur lineaire borne B defini par :
Quant a f, elle est suppode
mesurable et est donnee par : f:RxC-C (t: u) -f(t>
?I),
oil bl = [O: l] x [a, b],D ans ce qui suit on se placera dans le cas oh la restriction L,,( [a, b]. du), notee B, est compacte, c’est-a-dire w4 air K(L,[a,
i? E K(L,J[a,
de B a l’espace
b]: dv)),
b], dv) desi g ne l’ideal des operateurs compacts
sur LP([u: b], dv).
DEFINITION I. - Une fonction est dite compl&enzent continue si elle est continue et envoie toute partie bornee de son domaine dans un ensemble compact contenu dans son image. La proposition suivante joue un role essentiel dans la demonstration des resultas ci-dessous. PROPOSITION 1. - On suppose que l’hypothhe (Hl) est satisfaite. Alors pour tout X ve’ri$ant est continu sur X, RI:: X > max(0, blog(Z4)), l’ope’rateur (X - SK) est inversible et (X - SK)-’
1088
Sur une
equation
de transport
intervenant
et envoie les ensembles born& duns les born& De plus, si (H2) l’ope’rateur (X - SK)-’ B est complbtement continu sur X,. La dtmonstration
en dynamique
des
populations
est ve’rijike et p E (1, cx~), alors
est dCtaillCe dans [6].
2. Rhltats Nous rappelons qu’une fonction
f : 61 x C +
C est dite de Curathe’odo~ si
V TLE C, la fonction f(.. 7~) est mesurable sur R ; 1 p.p.t. t E R la fonction f(t, .) est continue sur C. Si f last de CarathCodory, on peut alors dCfinir I’opCrateur de Nemytskii JV~ sur l’ensemble des fonctions 73 : Q --+ C par (,v;lljj(p,ti) = S(p, ‘0,T/)(/L,v)) pour tout (/A, 71) E 0. Pour une Ctude dCtaillCedes opkrateurs de Nemytskii dans les espacesL,,, on pourra consulter [4) (voir Cgalement[ 11). Dans ce qui suit, la fonction f et 1’opCrateurde Nemytskii correspondant sont assujettis h vCrifier : (H3)
f
est une fonction de Carathiodory ; 1’opCrateur Aft envoie X,] dans lui-mCme. 1
Soit r’ > 0, on dCsigne par B,. la boule B,. := {,+‘I E X,
tel que 11 li, /IX, 5 T} .
THBOREME I. - Soit p E (1, w). On supposeque les hypothkses (Hl), (H2) et (H3) sont ~Grijikes. Alors pour tout r’ > 0, il existe X0 > 0 tel que le probkme :
admette au moins une solution duns B,. pour tout X vkrifiant Re X > A~~. Id& de la dkmonstt-ation. - Soit X un nombre complexe tel que Rc X > max(0. b log(ZA)). Nous dkduisons, moyennant la premi&+epartie de la proposition 1, que (A - SIC) est inversible et le problkme (2.1) se ramene alors B do= (A - SIi)-‘B,4r,(,i:), T$’ = K$ I. D’autre part, l’utilisation de la seconde partie de la proposition 1 montre que (A - Sl<)-lB.A’f est un op&rateur complktement continu et, ‘v’q~E B,., 11(X- S&‘Bji$(ljl)(( < F(R.eX)~~~~~I,oti 3(.) est une fonction continue dkcroissante F(z) = (1. D’oh l’existence d’un rCe1X,1> 0 tel que (A - Sl,--lB~V> envoie B, vCrifiant limr,, dans elle-m&mepour Re X > X0. Maintenant le rCsultatdCcouledu thCor$medu point fixe de Schauder. Une dCmarche analogue B celle utilisCe lors de la dtmonstration du thCor&me 1. basCe sur la proposition 1 et le thCor?me du point fixe de Schauder, conduit au rCsultat suivant : TH~OR~ME 2. - On supposeque les hypothgsesdu the’ortkle I sont satisfuites et que les opdruteurs B et K sont positij? (au sens de l’ordre). Si de plus, il existe c > 0 et 0 # ~$0E B: := B3, n Xz (02 Xz de’signele c&e positif de l’espace X,) tel que : (i) .& @ N(B) (noyau de B), (ii) [N~+)(p~~v) 2 c$o(p~~) pour tout ,VI E B:. Alors pour tout X E {X E C j Re X > max(O, blog(U))}, il existe rl > 0 tel que le probEme : b 7:‘.‘4’l(~L,7:‘))d1:‘: x 4/L, 71) + ,7&L, 7J)= 7/ u h;(ll, 71’)f(p, .I’ (2.2) I $1” = K(d)‘),
udmette au moins une solution T/I* E D(Sh-) II B:
ve’ri$ant )[+*I( = r.
1089
K. Latrach
et A. jeribi
Notons que les dCmonstrations des thCor&mes 1 et 2 consistent B ramener chacun des deux problkmes aux limites (2.1) et (2.2) B un problkme de point fixe et Ies rCsu1tats d’existence se dCduisent alors via la proposition 1 et le thCor&me de Schauder. Cependant, en considerant le problkme (l.l)-( 1.2), cette dCmarche n’est plus valable. En effet, ce demier se dCduit de (2.1) par perturbation par un opCrateur de Nemytskii non constant (done non compact, ~nir [4], Chapitre 5) et par suite le thior&me de Schauder n’est plus applicable. De plus, contrairement aux problkmes (2.1) et (2.2), le fait que 1’opCrateur front&e K soit non IinCaire introduit des difficult& techniques supplimentaires. NCanmoins, en se pla$ant dans le cadre des hypothkses ci-dessous et en utilisant le thCor?me du point fixe de Krasnosel’skii (voir [9], p. 31), nous &tablirons un r&ultat d’existence pour (l.l)-(1.2).
oti L(Xi,XE) dCsigne l’ensemble des opCrateurs lintaires born& de Xi dans Xi, p(., .) E I,” ([O: l] x [a: h], dir du) et l’opkrateur de Nemytskii engendrC par (T, ,(V>, envoie X, dans lui-m&me. 3. - Soit 7‘ > 0. Si les hypoth&es (H2), (H3) et (H3) sent ve’ri&ks, alors il existe X0 > 0 td?Ique le problbme (l.l)-(1.2) admette au moins une solution dans B,. pour tout X ~@ri$antRtl X > X0. THI+OR&ME
Id&e de la dPmonstration. - En vertu de la IinCaritC de K, 5’~ est aussi lineaire et {X E C I F:e X > max(0. blog( llKl/))} C p(Sl<), oli p(Sl;) dCsigne l’ensemble rCsolvant de SIC. Soit X tel que Rex > rnax(O.blog-(IIKII)). Alors le problkme (l.l)-(1.2) devient ,$ = L(X)?+‘)+ O(X)c/,. Oh L(X) := (A - IS,)-~A& et O(X) := (X - S,)-‘SJV>. 0 n vkrifie que 1’opCrateur c+(X) est compl&tement continu et qu’il existe deux rkels X1 et X2 tels que L(X) est une contraction stricte pour ReX > X1 et L(X)$ + O(X)9 E B,. V,$: p E B,. pour RrX > X2. Pour conclure, il suffit de poser A0 = max(X1: X2) et d’utiliser le thCo&me du point fixe de Krasnosel’skii (vair [9]. p. 31). On trouvera les details des rCsultats annon& ainsi que d’autres r&.ultats dans [6]. i%oteremisele 3 ft%rier 1997,accepteeapr&sr&ision le
15
septembre1997.
RCf&-ences bibliograpbiques 1 I] Chow S. N. et Hale J. K., 1982. Methods of h+rrcation iheop, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York. [2] Dautray R. et Lions J.-L., 1988. Anulyse muthPmutiqur et c&u1 numc!riyue, tome 9. Mason, Paris. valur problems in uhstmt~ kinetic tlteoty. [3] Greenberg W., Van Der Mee C. et Protopopescu V., 1987. Boundary Birkhluser Verlag. Leyden : Noordhoff International [4] Krasnosel’skii M. A. ef al., 1976. Integral operators in space oj strmmahlr ,functions, Publishing. [5] Latrach K., 1996. On a nonlinear stationary problem arising in transport theory, J. Muth. Phys.. 37, p. 1336.1348. [6] Latrach K. et Jerihi A., A nonlinear boundary value problem arising in growing cell populations, preprint. [7] Lehowitz J. L. et Rubinow S. I., 1974. A theory for the age and generation time distribution of a microbial population, J, Math. Bid.. 1, p. 17-36. [X] Rotenherg I%, 1983. Transport theory for growing cell populations, J. Theor. Bid., 103, p. I8 l- 199. [9] Smart R. D., 1980 Fikxf Point Theo?, 2nd edition. Cambridge University Press. [IO] Van Der Mee C. et Zweifel P., 1987. A Fokker-Plank equation for growing cell populations, J. Math. Bid.. 25, p. 61-72.
1090
t. 325, SCrie partielles/Parfial
I, p. 1087-1090,
Differential
1997 Equations
Sur une kquation de transport en dynamique des populations Khalid
LATRACH
Univrrsiti Quart&
dr Gorse, Laboratoirr Grov,rtti, BP 52, 20250
R&m-k.
et Aref JERIBI de Mathbmatiqurs, Cortr, France.
Dans cette Note nous prCsentonsquelquesrCsultatsd’existence g6nCrauxpour des Cquationsde transport monodimensionnelles avec des conditions aux limites non lin&airesintervenant en dynamiquedespopulations. On a transport
Abstract.
intervenant
equation
arising in growing
cell populations
In this Note we present SOUP general existence results for one-dimensional transport equations with nonlinear houndnry conditions arising in growing cell populations.
1. Introduction Dans ce travail on se propose de p&enter quelques r&ultats d’existence pour des equations de transport non linkaires intervenant en dynamique des populations. DesJCsultats de ce type ont CtC obtenus dans [5] pour desCquationsde transport de neutrons. Ce qu’il y a de nouveau c’est que dans le problkme que nous consid6ronsles conditions aux limites sont modClisCespar une loi de reproduction non IinCaire couvrant, en particulier, les differentes lois de reproduction considCr6esdans [3], [7], [S] et [ 101.D’autre part, pour les conditions aux limites linCaires,les rksultats d’existence n’ont 6tC Ctablis que pour le probEme (2.1). Notre methode permet de traiter des perturbations du probEme (2.1) par des opkrateurs non lin&aires de type Nemytskii (thtor&me 3). ConsidCrons l’&quation
(1.1) oti l-1E [O, I], 11,V’ E [a, b] avec 0 < n < b < Sw. La fonction T,~(/L;11)dCcrit la densit de population et est determinCe par le degrC de maturitk LLet la vitesse 11de maturation des cellules. Le degr6 de maturit& /L est dCfini tel que IL = 0 ?I la naissanceet 1 B la mort de la cellule. Les fonctions a( . . , ) et T( . , . , , ) sont des fonctions non lin&aires en T/),et X dCsigneun nombre complexe. Note prbentke 0764.-4442/97/0325
par Jean-Michel 1087 0 Acadt!mie
BONY. des SciencesElsevier,
Paris
1087
K. Latrach
et
A.
jeribi
Soit p E [I, +oo). Designons partiel
par X, I’espace LP( [0, l] x [a! b]; dp d,(l) et W,
l’espace de Sobolev
Notons que tout Clement $I de W,, admet des traces sur r0 = (0) x [CA,h] et ITI = {l} x [a,: b], elements des espaces front&es Xi := L,(r,; ,&I) et Xi := L,(l?l; pldu) (twir, par exemple, [2] et [.3]). Nous les noterons, respectivement, $’ et ,$!I. Les conditions aux limites sont modelisees par :
‘$O = K(7p),
(1.2)
ou K est un operateur front&e non lineaire de Xi dans >Xg verifiant (Hl) il existe une constante U > 0 telle que
On definit l’operateur
d’advection
I
D(SI<)
l’hypothese
:
Sh- par :
= {li,
E W,
tel que ,Y,I;”= K(T+/I~)}
Dans le present travail, nous obtenons des resultats d’existence pour des problemes du type (l.l)-( 1.2) darts le cas ou r(p, V, ‘u’. li/(,l, II’)) = ~(7). ,~‘),f(/r, ,v’, $J(,~.v’)). La fonction mesurable r;(., .), est le noyau de l’operateur lineaire borne B defini par :
Quant a f, elle est suppode
mesurable et est donnee par : f:RxC-C (t: u) -f(t>
?I),
oil bl = [O: l] x [a, b],D ans ce qui suit on se placera dans le cas oh la restriction L,,( [a, b]. du), notee B, est compacte, c’est-a-dire w4 air K(L,[a,
i? E K(L,J[a,
de B a l’espace
b]: dv)),
b], dv) desi g ne l’ideal des operateurs compacts
sur LP([u: b], dv).
DEFINITION I. - Une fonction est dite compl&enzent continue si elle est continue et envoie toute partie bornee de son domaine dans un ensemble compact contenu dans son image. La proposition suivante joue un role essentiel dans la demonstration des resultas ci-dessous. PROPOSITION 1. - On suppose que l’hypothhe (Hl) est satisfaite. Alors pour tout X ve’ri$ant est continu sur X, RI:: X > max(0, blog(Z4)), l’ope’rateur (X - SK) est inversible et (X - SK)-’
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Sur une
equation
de transport
intervenant
et envoie les ensembles born& duns les born& De plus, si (H2) l’ope’rateur (X - SK)-’ B est complbtement continu sur X,. La dtmonstration
en dynamique
des
populations
est ve’rijike et p E (1, cx~), alors
est dCtaillCe dans [6].
2. Rhltats Nous rappelons qu’une fonction
f : 61 x C +
C est dite de Curathe’odo~ si
V TLE C, la fonction f(.. 7~) est mesurable sur R ; 1 p.p.t. t E R la fonction f(t, .) est continue sur C. Si f last de CarathCodory, on peut alors dCfinir I’opCrateur de Nemytskii JV~ sur l’ensemble des fonctions 73 : Q --+ C par (,v;lljj(p,ti) = S(p, ‘0,T/)(/L,v)) pour tout (/A, 71) E 0. Pour une Ctude dCtaillCedes opkrateurs de Nemytskii dans les espacesL,,, on pourra consulter [4) (voir Cgalement[ 11). Dans ce qui suit, la fonction f et 1’opCrateurde Nemytskii correspondant sont assujettis h vCrifier : (H3)
f
est une fonction de Carathiodory ; 1’opCrateur Aft envoie X,] dans lui-mCme. 1
Soit r’ > 0, on dCsigne par B,. la boule B,. := {,+‘I E X,
tel que 11 li, /IX, 5 T} .
THBOREME I. - Soit p E (1, w). On supposeque les hypothkses (Hl), (H2) et (H3) sont ~Grijikes. Alors pour tout r’ > 0, il existe X0 > 0 tel que le probkme :
admette au moins une solution duns B,. pour tout X vkrifiant Re X > A~~. Id& de la dkmonstt-ation. - Soit X un nombre complexe tel que Rc X > max(0. b log(ZA)). Nous dkduisons, moyennant la premi&+epartie de la proposition 1, que (A - SIC) est inversible et le problkme (2.1) se ramene alors B do= (A - SIi)-‘B,4r,(,i:), T$’ = K$ I. D’autre part, l’utilisation de la seconde partie de la proposition 1 montre que (A - Sl<)-lB.A’f est un op&rateur complktement continu et, ‘v’q~E B,., 11(X- S&‘Bji$(ljl)(( < F(R.eX)~~~~~I,oti 3(.) est une fonction continue dkcroissante F(z) = (1. D’oh l’existence d’un rCe1X,1> 0 tel que (A - Sl,--lB~V> envoie B, vCrifiant limr,, dans elle-m&mepour Re X > X0. Maintenant le rCsultatdCcouledu thCor$medu point fixe de Schauder. Une dCmarche analogue B celle utilisCe lors de la dtmonstration du thCor&me 1. basCe sur la proposition 1 et le thCor?me du point fixe de Schauder, conduit au rCsultat suivant : TH~OR~ME 2. - On supposeque les hypothgsesdu the’ortkle I sont satisfuites et que les opdruteurs B et K sont positij? (au sens de l’ordre). Si de plus, il existe c > 0 et 0 # ~$0E B: := B3, n Xz (02 Xz de’signele c&e positif de l’espace X,) tel que : (i) .& @ N(B) (noyau de B), (ii) [N~+)(p~~v) 2 c$o(p~~) pour tout ,VI E B:. Alors pour tout X E {X E C j Re X > max(O, blog(U))}, il existe rl > 0 tel que le probEme : b 7:‘.‘4’l(~L,7:‘))d1:‘: x 4/L, 71) + ,7&L, 7J)= 7/ u h;(ll, 71’)f(p, .I’ (2.2) I $1” = K(d)‘),
udmette au moins une solution T/I* E D(Sh-) II B:
ve’ri$ant )[+*I( = r.
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K. Latrach
et A. jeribi
Notons que les dCmonstrations des thCor&mes 1 et 2 consistent B ramener chacun des deux problkmes aux limites (2.1) et (2.2) B un problkme de point fixe et Ies rCsu1tats d’existence se dCduisent alors via la proposition 1 et le thCor&me de Schauder. Cependant, en considerant le problkme (l.l)-( 1.2), cette dCmarche n’est plus valable. En effet, ce demier se dCduit de (2.1) par perturbation par un opCrateur de Nemytskii non constant (done non compact, ~nir [4], Chapitre 5) et par suite le thior&me de Schauder n’est plus applicable. De plus, contrairement aux problkmes (2.1) et (2.2), le fait que 1’opCrateur front&e K soit non IinCaire introduit des difficult& techniques supplimentaires. NCanmoins, en se pla$ant dans le cadre des hypothkses ci-dessous et en utilisant le thCor?me du point fixe de Krasnosel’skii (voir [9], p. 31), nous &tablirons un r&ultat d’existence pour (l.l)-(1.2).
oti L(Xi,XE) dCsigne l’ensemble des opCrateurs lintaires born& de Xi dans Xi, p(., .) E I,” ([O: l] x [a: h], dir du) et l’opkrateur de Nemytskii engendrC par (T, ,(V>, envoie X, dans lui-m&me. 3. - Soit 7‘ > 0. Si les hypoth&es (H2), (H3) et (H3) sent ve’ri&ks, alors il existe X0 > 0 td?Ique le problbme (l.l)-(1.2) admette au moins une solution dans B,. pour tout X ~@ri$antRtl X > X0. THI+OR&ME
Id&e de la dPmonstration. - En vertu de la IinCaritC de K, 5’~ est aussi lineaire et {X E C I F:e X > max(0. blog( llKl/))} C p(Sl<), oli p(Sl;) dCsigne l’ensemble rCsolvant de SIC. Soit X tel que Rex > rnax(O.blog-(IIKII)). Alors le problkme (l.l)-(1.2) devient ,$ = L(X)?+‘)+ O(X)c/,. Oh L(X) := (A - IS,)-~A& et O(X) := (X - S,)-‘SJV>. 0 n vkrifie que 1’opCrateur c+(X) est compl&tement continu et qu’il existe deux rkels X1 et X2 tels que L(X) est une contraction stricte pour ReX > X1 et L(X)$ + O(X)9 E B,. V,$: p E B,. pour RrX > X2. Pour conclure, il suffit de poser A0 = max(X1: X2) et d’utiliser le thCo&me du point fixe de Krasnosel’skii (vair [9]. p. 31). On trouvera les details des rCsultats annon& ainsi que d’autres r&.ultats dans [6]. i%oteremisele 3 ft%rier 1997,accepteeapr&sr&ision le
15
septembre1997.
RCf&-ences bibliograpbiques 1 I] Chow S. N. et Hale J. K., 1982. Methods of h+rrcation iheop, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York. [2] Dautray R. et Lions J.-L., 1988. Anulyse muthPmutiqur et c&u1 numc!riyue, tome 9. Mason, Paris. valur problems in uhstmt~ kinetic tlteoty. [3] Greenberg W., Van Der Mee C. et Protopopescu V., 1987. Boundary Birkhluser Verlag. Leyden : Noordhoff International [4] Krasnosel’skii M. A. ef al., 1976. Integral operators in space oj strmmahlr ,functions, Publishing. [5] Latrach K., 1996. On a nonlinear stationary problem arising in transport theory, J. Muth. Phys.. 37, p. 1336.1348. [6] Latrach K. et Jerihi A., A nonlinear boundary value problem arising in growing cell populations, preprint. [7] Lehowitz J. L. et Rubinow S. I., 1974. A theory for the age and generation time distribution of a microbial population, J, Math. Bid.. 1, p. 17-36. [X] Rotenherg I%, 1983. Transport theory for growing cell populations, J. Theor. Bid., 103, p. I8 l- 199. [9] Smart R. D., 1980 Fikxf Point Theo?, 2nd edition. Cambridge University Press. [IO] Van Der Mee C. et Zweifel P., 1987. A Fokker-Plank equation for growing cell populations, J. Math. Bid.. 25, p. 61-72.
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