Une remarque sur l'annulateur du groupe des classes d'idéaux

C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006) 289–294 http://france.elsevier.com/direct/CRASS1/

Théorie des nombres

Une remarque sur l’annulateur du groupe des classes d’idéaux Francesco Amoroso Laboratoire N. Oresme, CNRS UMR 6139, université de Caen, BP 5186, 14032 Caen cedex, France Reçu le 10 septembre 2005 ; accepté après révision le 21 décembre 2005 Disponible sur Internet le 20 janvier 2006 Présenté par Jean-Pierre Serre

Résumé En utilisant une inégalité pour la hauteur de Weil dans une extension abélienne de Q ainsi qu’un théorème de Linnik, nous démontrons une minoration de l’indice de l’annulateur du groupe des classes d’idéaux d’un corps cyclotomique, qui est exponentielle en le degré du corps. Pour citer cet article : F. Amoroso, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).  2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. Abstract A remark on the annihilator of the ideal class group. Using an inequality for the Weil height on an Abelian extension of the rationals and a theorem of Linnik, we prove a lower bound for the index of the annihilator of the ideal class group of a cyclotomic field. This lower bound is exponential in the degree of the field. To cite this article: F. Amoroso, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 342 (2006).  2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés.

Abridged English version Introduction For a natural number m
≡ 2 mod 4 we denote by ζm a primitive m-root of unity and we let Km = Q(ζm ) be the m-th cyclotomic field of degree ϕ(m) over Q. Let also Γm be the Galois group of Km over Q, whose elements are the − maps σa : ζm → ζma , for a integer with gcd(a, m) = 1. We also denote by J the complex conjugation σ−1 and by Clm the minus part of the ideal class group of Km . Finally, for
ψa σa ∈ Z[Γm ]; ψ= 1
a
m−1 gcd(a,m)=1

we let ψ1 = We prove:



a |ψa |.

Adresse e-mail : [email protected] (F. Amoroso). 1631-073X/$ – see front matter  2005 Académie des sciences. Publié par Elsevier SAS. Tous droits réservés. doi:10.1016/j.crma.2005.12.023

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− ). Then Theorem 0.1. Let ψ ∈ Z[Γm ] and assume (1 − J )ψ
= 0 and ψ ∈ Ann(Clm

 1 log 5 ϕ(m) ψ1
(1 − J )ψ 1
× , 2 12L log m where L is Linnik’s constant.1 Let now

  Z[Γm ]− = ψ ∈ Z[Γm ] s.t. (1 + J )ψ = 0 = (1 − J )Z[Γm ],

Im be the Stickelberger ideal and Im− = Im ∩ Z[Γm ]− its minus part. Then (see [6], Theorem 6.10)  − − Im− ⊆ Ann Clm and (see [5])  Z[Γm ]− : Im− = 2a(m) h− m, − )− = Ann(Cl − ) ∩ Z[Γ ]− and a(m) = 0 if m is a prime power and a(m) = 2k−2 − 1 if m has k
2 where Ann(Clm m m distinct prime factors. Therefore   − −   log Z[Γm ]− : Im− = a(m) log 2 + log h− log Z[Γm ]− : Ann Clm m.

We deduce from Theorem 0.1 the following lower bound for the index of the annihilator. Theorem 0.2. 



  − − 2 log m ϕ(m) log log m cϕ(m) − − 1 log , log Z[Γm ] : Ann Clm
4 log m c log m where c =

log 5 12L

and L is Linnik’s constant.

1 Let us remark that (see [6], Theorem 4.20) log h− m ∼ 4 ϕ(m) log m, for m → +∞; therefore, at least for a prime power m,  − −  ϕ(m) log m. log Z[Γm ]− : Ann Clm

Proof of Theorem 0.1. We generalize the proof, sketched in the introduction of [4], of the lower bound for the exponent of the class group of Km . Let
ψa σa ∈ Z[G] ψ= 1
a
m−1 pgcd(a,m)=1

and assume that ψ satisfies the hypothesis of Theorem 0.1. Then, by a theorem of Linnik, there exists a prime number l ≡ 1 (mod m) bounded by l  mL for some absolute constant L > 0. This prime splits completely in Z[ζm ]; let P ⊆ Z[ζm ] be a prime ideal over l. Then ∗ and for a fractional ideal I which is an extension of a fractional ideal of Z[ζ + ζ −1 ]. P ψ = (γ )I for some γ ∈ Km m m 1−J and remark that α is not a root of unity, since P ψ(1−J )
= Z[ζm ]. By the main result of [3], we have the Let α = γ following lower bound for the Weil height of α: log 5 . 12 Let now Pa = σa P ; then h(α)


1 I.e. the smallest L > 0 such that for all integer m
2 there exists a prime number l ≡ 1 mod m such that l  mL .

(1)

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(α) = (γ )1−J =

ψa −ψm−a

Pa

291

.

1
a
m−1 gcd(a,m)=1

For the place va of Km corresponding to the prime Pa we have |α|vava = l ψm−a −ψa . n

For all the other places, |α|v = 1. Therefore,
 log l L log m  (1 − J )ψ  . ϕ(m)h(α) = |ψa − ψm−a |  1 2 2

(2)

1
a
m−1 gcd(a,m)=1

Theorem 0.1 follows from (1) and (2), since
(ψa − ψm−a )σa . (1 − J )ψ =

2

1
a
m−1 pgcd(a,m)=1

Proof of Theorem 0.2. Let c =

log 5 12L

and put N =

ϕ(m) 2

and n =

cϕ(m) 4 log m .

The set Λm of ψ =

Z[Γm ] with ψa
0 and ψ1  [n] has cardinality

 n−1

 cϕ(m) N + [n] N 2 log m 4 log m −1

. [n] n c

 1
a
(m−1)/2 gcd(a,m)=1

Let also remark that   Card (1 − J )Λm = Card(Λm ).

ψa σa ∈

(3)

(4)

Let now ψ and ψ  two distinct elements of (1 − J )Λm . Then (1 − J )(ψ − ψ  ) = 2(ψ − ψ  )
= 0 and ψ − ψ  1  4[n] <

cϕ(m) . log m

− ); thus / Ann(Clm By Theorem 0.1, ψ − ψ  ∈      − Z[Γm ]− : Ann Clm
Card (1 − J )Λm .

Theorem 0.2 follows from (3), (4) and (5).

(5)

2

1. Introduction Soit m un entier, m
≡ 2 mod 4 et soit ζm une racine primitive m-ième de l’unité. Notons Km = Q(ζm ) et posons Γm = Gal(Km /Q). Pour tout a ∈ Z, pgcd(a, m) = 1, on note σa l’élément de Γm tel que σa (ζm ) = ζma . Notons égale− la « partie moins » du groupe des classes d’idéaux de K , i.e. le quotient du groupe des classes ment J = σ−1 et Clm m d’idéaux de Km par celui de son sous-corps réel maximal Q(ζm + ζm−1 ). Soit
ψ= ψa σa ∈ Z[Γm ] ; 1
a
m−1 pgcd(a,m)=1

on pose : ψ1 =



a |ψa |.

Nous démontrons le résultat suivant :

− ). Alors Théorème 1.1. Soit ψ ∈ Z[Γm ]. Supposons (1 − J )ψ
= 0 et ψ ∈ Ann(Clm  1 log 5 ϕ(m) ψ1
ψ(1 − J )1
× , 2 12L log m

où L > 0 est la constante de Linnik.2 2 I.e. le plus petit L tel que pour tout entier m
2 il existe un nombre premier l  mL avec l ≡ 1 mod m.

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Notons

  Z[Γm ]− = ψ ∈ Z[Γm ] t.q. (1 + J )ψ = 0 = (1 − J )Z[Γm ]

et soit Im l’idéal de Stickelberger et Im− = Im ∩ Z[Γm ]− . Alors (cf. [6], Theorem 6.10) :  − − Im− ⊆ Ann Clm et, par un théorème de Sinnott (voir [5]) :  Z[Γm ]− : Im− = 2a(m) h− m, − )− = Ann(Cl − ) ∩ Z[Γ ]− et où a(m) = 0 si m est une puissance d’un nombre premier et a(m) = 2k−2 − 1 où Ann(Clm m m si m possède k
2 facteurs premiers distincts. Donc   − −  log Z[Γm ]− : Ann Clm  log Z[Γm ]− : Im− = a(m) log 2 + log h− m.

Nous déduirons du Théorème 1.1 la minoration suivante pour l’indice de l’annulateur : Théorème 1.2.



   − − cϕ(m) 2 log m ϕ(m) log log m − log Z[Γm ] : Ann Clm
− 1 log , 4 log m c log m où c =

log 5 12L

et L est la constante de Linnik.

Remarquons que (cf. [6], Theorem 4.20) : 1 log h− m ∼ ϕ(m) log m, 4 pour m → +∞ et donc, au moins pour une puissance m d’un nombre premier,  − −  ϕ(m) log m. log Z[Γm ]− : Ann Clm 2. Preuves Démonstration du Théorème 1.1. On généralise la preuve de la minoration de l’exposant du groupe de classes de Km esquissée dans l’introduction de [4]. Soit
ψ= ψa σa ∈ Z[G] 1
a
m−1 pgcd(a,m)=1

qui satisfait aux hypothèses du théorème. Le théorème de Linnik montre qu’il existe un nombre premier l ≡ 1 mod m et tel que l  mL pour une certaine constante L > 0. Le nombre premier l est totalement décomposé dans Z[ζm ] ; soit P un idéal premier ∗ et pour un idéal I extension d’un idéal de Z[ζ + ζ −1 ]. au-dessus de l. Alors : P ψ = (γ )I pour un certain γ ∈ Km m m 1−J Notons α = γ et remarquons que α n’est pas une racine de l’unité (car P ψ(1−J )
= Z[ζm ]). Le théorème principal de [3] (op. cit., p. 2) montre que log 5 . 12 Notons Pa = σa P (a = 1, . . . , m − 1, pgcd(a, m) = 1). On a donc : (γ )I = Paψa h(α)


1
a
m−1 gcd(a,m)=1

(6)

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et



(α) =

ψa −ψm−a

Pa

293

.

1
a
m−1 gcd(a,m)=1

Notons va la place finie de Km correspondant à Pa ; on a alors |α|vava = l ψm−a −ψa . n

Par ailleurs, si v est une place de Km et v
= va , alors |α|v = 1. Donc :
 n  ϕ(m)h(α) = log max |α|vava , 1 1
a
m−1 gcd(a,m)=1

=




max(ψm−a − ψa , 0) log l

1
a
m−1 gcd(a,m)=1

=

log l 2




|ψa − ψm−a |

1
a
m−1 gcd(a,m)=1

 L log m  (1 − J )ψ  . 1 2 La conclusion désirée découle des formules (6) et (7) en remarquant que
(1 − J )ψ = (ψa − ψm−a )σa . 2 

(7)

1
a
m−1 pgcd(a,m)=1

Démonstration du Théorème 1.2. On pose N := où c =

ϕ(m) 2

et n :=

cϕ(m) , 4 log m

log 5 12L .

L’ensemble


Λm := ψ =

 ψa σa ∈ Z[Γm ] t.q. ψa
0, ψ1  [n]

1
a
(m−1)/2 pgcd(a,m)=1

est de cardinal  cϕ(m)

 n−1

N + [n] N 2 log m 4 log m −1

. n c [n]

(8)

Remarquons aussi que   Card (1 − J )Λm = Card(Λm ). Soient

ψ, ψ 

∈ (1 − J )Λm avec ψ

ψ − ψ  1  4[n] <


ψ . =

(9) Alors (1 − J )(ψ

− ψ  ) = 2(ψ

− ψ  )
= 0

et

cϕ(m) . log m

− ), ce qui montre que : / Ann(Clm Le Théorème 1.1 nous assure donc : ψ − ψ  ∈      − Z[Γm ]− : Ann Clm
Card (1 − J )Λm .

Les relations (8), (9) et (10) donnent la conclusion cherchée.

2

(10)

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Si l’on admet l’hypothèse de Riemann généralisée, le Théorème 1.1 peut être généralisé à des extensions abéliennes imaginaires et même CM, (en utilisant, comme on l’a fait dans [4] pour minorer l’exposant du groupe de classes d’un corps CM, le résultat principal de [2] à la place de la minoration de la hauteur de [3]). Plus généralement, en utilisant des techniques additionnelles de géométrie des nombres, on peut traiter également des corps « proche » d’un corps CM, par exemple les corps engendrés par un petit nombre de Salem. Tous ces résultats font l’objet de l’article [1]. Remerciements Je tiens à remercier B. Anglès pour plusieurs discussions qui ont motivé ce travail et pour avoir bien voulu me faire part de ses commentaires sur une version initiale de cet article. Références [1] [2] [3] [4] [5] [6]

F. Amoroso, Groupes de classes de corps de « type CM », Rapport de Recherche LMNO 2005-17. F. Amoroso, S. David, Le problème de Lehmer en dimension supérieure, J. Reine Angew. Math. 513 (1999) 145–179. F. Amoroso, R. Dvornicich, A lower bound for the height in Abelian extensions, J. Number Theory 80 (2) (2000) 260–272. F. Amoroso, R. Dvornicich, Lower bounds for the height and size of the ideal class group in CM fields, Monatsh. Math. 138 (2) (2003) 85–94. W. Sinnott, On the Stickelberger ideal and the circular units of a cyclotomic field, Ann. Math. (2) 108 (1978) 107–134. L.C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, Springer-Verlag, New York, 1982.