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Zur neutrinotheorie des lichtes III
ZUR N E U T R I N O T H E O R I E D E S LICHTES I I I v o n R. D E L. K R O N I G Natuurkundig Laboratorium tier Rijks-Universiteit te Groningen
Zusammenfassung Eine Reihe yon Eigenschaften der Neutrinofelder in ihrer Beziehung zu den Strahlungsfeldern wird abgeleitet. Mit Hilfe einer Matrix B gelingt es einerseits, die in I schon teilweise erzielte Reduktion des Systems der Matrixamplituden bk, welche das Strahlungsfeld kennzeichnen, vollst~ndig durchzufiihren, und anderseits, die in I I an Hand eines einfachen Beispiels erSrterte Frage allgemein zu beantworten, welche Strahlungsfelder durch Neutrinofelder gegebener Energie verwirklicht werden kSnnen. Besonderes Interesse verdienen dabei die reinen Strahlungsfelder, in denen sich die gesamte Neutrinoenergie als Strahlungsenergie ~iussert, und die reinen Neutrinofelder, die strahlungsfrei sind. Auf die M~iglichkeit, einen ~-Zerfall der Kerne vermittels Strahlung zu induzieren, wird hingewiesen.
Einleitung. Wie i m Teil I u n d I I dieser U n t e r s u c h u n g 1) stellen wir uns auf den zuerst v o n d e B r o g l i e u n d d a n a c h v o n J o rd a n 3) v e r t r e t e n e n S t a n d p u n k t , w o n a c h sich die S t r a h l u n g s f e l d e r auf N e u t r i n o f e l d e r zuriickfiihren lassen sollen. Z u r B e q u e m l i c h keit des Lesers schreiben wir bier noch e i n m a l k u r z die fiir das Folgende g r u n d l e g e n d e n Definitionen u n d F o r m e l n auf, die wir in I ausfiihrlich b e s p r o c h e n h a b e n . D a s N e u t r i n o f e l d w i r d d u r c h die M a t r i x a m p l i t u d e n ak u n d ck g e k e n n z e i c h n e t , wobei der I n d e x k die einzelnen P a r t i a l w e l l e n m i t F r e q u e n z vk = kvl u n t e r s c h e i d e t . ~1 ist die kleinste F r e q u e n z der N e u t r i n o w e l l e n , wie sie d u t c h eine der B e g r e n zung des (eindimensionalen) H o h l r a u m s e n t s p r e c h e n d e Periodizit~itsforderung b e d i n g t wird, hv t d e m z u f o l g e die E n e r g i e s t u f e zwischen a u f e i n a n d e r f o l g e n d e n T r a n s l a t i o n s q u a n t e n z u s t ~ i n d e n der N e u trinos. Die ak u n d c~ geniigen d e n V e r t a u s c h u n g s r e l a t i o n e n aka~+ alak = ~--k,l, c, c~ + cz c~, = , ~ , , ~, ak cl + . c~ ak = 0 --
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--
(2)
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DES LICHTES III
fiir alle ganzzahligen W e r t e k u n d l mit der F e s t s e t z u n g a--k = a~, c_~ = c~,
(3)
wo 1~ die A d j u n g i e r t e bedeutet. Besondere B e a c h t u n g v e r d i e n t (ebenso wie bei einer gew6hnlichen F o u r i e r entwicklung) der Fall k = 0, ftir den n e b e n ao u n d Co noch zwei weitere Gr6ssen ~o u n d ¥o eingeftihrt werden, die denselben V e r t a u s c h u n g s r e l a t i o n e n wie ao u n d Co geniigen sollen mit der A u s n a h m e , class ~o C~o+ C~o~o = 0, ~o ~*o + ~*o so = l,
~o ~'o + YoYo = 0, ~o ~o* + Y*o~o = 1
(2a)
ist, u n d die mit ao u n d Co v e r m 6 g e ~/2 ao = ~o + ~*o, ~/2 Co = ~o + ~*o z u s a m m e n h ~ n g e n . D a n n stellen die Gr6ssen Lo = ~-o*~o, No = Tot Yo, Lk=a~a~=a_,ak, N~-=C~C~=C_kck, k=
(4) 1,2 . . . . .
die Anzahl der N e u t r i n o s im Q u a n t e n z u s t a n d k mit R e c h t s s p i n bzw. Linksspin dar. Die V e r t a u s c h u n g s r e l a t i o n e n (2) u n d (2a) werden befriedigt, w e n n wir ~o ( L o = 0 , No, L1, N 1. . . . ; L ~ = I , No, L1, Nt . . . . ) = l , y o ( L o , N o = 0 , L t , N1 . . . . ;Lo, N~----1, L1, N~ . . . . ) = (--1) Lo, a, (Lo, No . . . .
c~ (Lo, No . . . .
L , = 0, Nk, • • • ; Lo, No . . . . L~ = 1, N , . . . . ) = (__ 1)L°+N°+...+N~__~,
Lk, Nk----O, . . . ; Lo, No . . . .
(5)
Lk, N~---- 1 .... ) = ( - - 1)Lo+N°+ . . - L k k=
1,2, . . . ,
setzen, w ~ h r e n d aUe tibrigen M a t r i x e l e m e n t e verschwinden, u n d gleichzeitig w e r d e n d u r c h diesen Ansatz die Gr6ssen Lk u n d Nk Diagonalmatrizen. Das Strahlungsfeld wird d u r c h die M a t r i x a m p l i t u d e n bk beschrieben, die n a c h J o r d a n (1.c.) d u r c h die Gleichung
~/ [ k l b~ = i ~
l=---oo
as Ck_l
(7)
als F u n k t i o n der ak u n d ck gegeben sein sollen. E s gilt d a n n die Vertauschungsrelation l bk bz -- b~ b~ = -- ~-k, ~ I l I
(8)
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R. DE L. KRONIG
ftir alle ganzzahligen von Null verschiedenen Werte k und l, wenn wir in Ubereinstimmung mit den Gleichungen (7) und (3) b_~ = b~
(9)
setzen. M~=b~b~=b_kbk,
k:
1,2 . . . . ,
(10)
stellt die Anzahl der Lichtquanten im Quantenzustand k des Strahlungsfeldes dar. In I wurde hervorgehoben, dass das durch Gleichung (7) definierte System der Matrizen bk nicht irreduzibel ist. Im Gegenteil sahen wit dort, dass es sogar schon in, wenigstens teilweise, reduzierter Form vorliegt. Im Folgenden sou zun~chst untersucht werden, wie die vollst~ndige Reduktion jenes Systems stattfinden kann. Physikalisch bedeutet die Reduzibilit~t natfirlich, wie auch in I betont, dass durch Angabe der Anzahl der Lichtquanten jeder Sorte in einem Strahlungsfelde dieses als Neutrinofeld noch nicht eindeutig festgelegt ist, dass es vielmehr Neutrinofelder mit gleicher Besetzung der Lichtquantenzust~nde gibt, die physikalisch voneinander verschieden sind. Um zu entscheiden, in welcher Weise ein Strahlungsfeld mit gegebener Anzahl der Lichtquanten j eder Sorte durch Neutrinofelder dargestellt werden kann, untersuchen wir eingehender im Anschluss an die Betrachtungen in n, welche Strahlungsfelder mit bestimmten Besetzungszahlen der Lichtquantenzust/~nde aus Neutrinofeldern gleicher Energie aufgebaut werden k6nnen. Diese Frage, die in n fiir ein einfaches Beispiel erledigt wurde, gelingt es jetzt, ganz allgemein zu beantworten. Dabei ergeben sich als besonders wichtige F~lle von Neutrinofeldern die reinen Strahlungsfelder, bei denen die gesamte Neutrinoenergie als Strahlungsenergie in Erscheinung tritt, und die reinen Neutrinofelder, die strahlungsfrei sind. Schliesslich wird im Hinblick auf die vorausgesetzte Identit~t von Strahlungsmit Neutrinofeldern auf einige Konsequenzen hingewiesen, die diese Auffassung fiir die Erscheinungen des radioaktiven ~-Z6rfalls mit sich bringt, und die vielleicht eine experimentelle Prtifung der hier ert~rterten Gesichtspunkte errn6glichen diirften.
§ 1. Ein/~hrung einer mit allen bk vertauschbaren Matrix B. Wir definieren zun~tchst eine neue Matrix B verm~ge B =i
~ l =---oo
azc'_,.
(22)
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971
Diese Matrix B hat die Eigenschaft, mit allen bk vertauschbar zu sein; d.h. es gilt Bb~=
bkB, k :
!
1,±2 .....
(23)
Zum Beweis setzen wir ftir B und bk die Ausdrticke (22) und (7) ein : 1
B b ~ --
OO
W/ ] k] ~. . . . . oo a t c _ l
am
Cl~--m
.
Schieben wir auf Grund der Vertauschungsrelationen (2) dieietzten zwei Faktoren von links nach rechts durch, so erhalten wir schliesslich B b k = b k B + x / l k ] ~=-oo
+
(24)
Die Summe auf der rechten Seite verschwindet aber; denn zu einem Term a~ak_1 gibt es ausser fiir den Fall k - l = l stets in dieser Summe einen zweiten Term ak_~a~, der zusammen mit dem ersten nach den Vertauschungsrelationen (2) wegen k :# 0 den Beitrag Null liefert, w~ihrend a~ak_~ ftir k - l ---- l auf Grund dieser Relationen selbst gleich Null ist. Entsprechendes trifft fiir die Terme c_~ c~+~ zu. Die Wichtigkeit der Matrix B liegt zun/ichst darin, dass sie die schon in der Einleitung angekiindigte vollst/indige Reduktion des Systems der Matrizen b~ erm6glicht. Es sei zu diesem Zwecke T eine unit~re Transformationsmatrix, die verm6ge B ' = T B T -1 die Matrix B auf Diagonalform bringt, w~hrend sie aus den Matrizen bk die Matrizen b~ : T b~ T - t macht. Die Beziehung (23) gilt natiirlich auch ffir die gestrichenen Gr6ssen und nimmt fiir das Matrixelement zwischen den Zust/inden r und s, da B ' ja eine Diagonalmatrix ist, speziell die Form B ' (rr) b'k (rs) = b'~ (rs) B ' (ss) oder [B' (rr) - - B ' (ss)] b'~ (rs) ~- 0 an. Daraus folgt aber, class das Matrixelement b'~ (rs) verschwindet, ausser wenn zu den Zust/inden r und s gleiche Eigenwerte yon B geh6ren. Die Matrizen b~ sind also nach Ausffihrung der Transformation T auch noch entsprechend den Eigenwerten yon B ausreduziert ; denn diese Reduktion zerst6rt nicht die schon in I besprochene, nach
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R. D E L. K R O N I G
der die bk vor Ausftihrung der Transformation T gem~iss der geraden oder ungeraden Gesamtzahl E (Lk + Nk) der Neutrinos zerfaLlen. Ein solcher Zerfall besteht n~imlich auch ftir die Matrix B, so dass man sie mittels einer Transformationsmatrix T auf Diagonalform bringen kann, die in gleicher Weise gem~iss der geraden oder ungeraden Gesamtzahl der Neutrinos zerf~llt und daher den urspriinglichen Zerfall der bk nicht zerst6rt. Wir werden sp~ter zeigen, dass die auf Grund obiger TJberlegungen zu erzielende Reduktion des Systems der Matrizen b~ eine vollst~ndige ist. Auch auf die physikalische Bedeutung der Matrix B werden wir noch n~iher eingehen. § 2. Bestimmung der Eigenwerte der Matrix B. Wir gehen jetzt dazu fiber, die Transformationsmatrix T und damit die Eigenwerte von B wirklich zu ermitteln. Zu dem Zwecke bemerken wir, dass B in noch weitgehenderem Masse als die bk zerf~illt. Es verschwinden, wie schon gesagt, zun~ichst einmal die Matrixelemente von B zwischen solchen Zust~nden des Neutrinofeldes, die nicht beide entweder einer geraden oder einer ungeraden Gesamtzahl tier Neutrinos entsprechen. Fiihrt man die Bezeichnung K~ = Lk + N~ ein, so sind ausserdem die Matrixelemente von B zwsichen denjenigen Zust~nden Null, welche nicht in allen K 1 , K2 . . . . tibereinstimmen. Dies Resultat folgt sofort aus dem Ausdruck (22) fiir B und den Ausdriicken (5) ffir die a~ und c~, nach denen in der Matrix B fiir k = 1, 2 . . . . . ein Sprung yon L~ um eine Einheit stets durch einen Sprung von Nk in entgegengesetzter Richtung begleitet wird. Bei der Aufgabe, B auf Diagonalform zu bringen, k6nnen wir deshalb unsere Aufmerksamkeit jeweils auf die einzelnen Teilmatrizen yon B beschr~nken, die zu Zust~inden mit gerader, bzw. ungerader Gesamtzahl der Neutrinos und mit iibereinstimmenden K1, K2 . . . . . geh6ren, indem wir auch T in entsprechende Teilmatrizen t zerfallen annehmen, welche die einzelnen Teilmatrizen von B jede fiir sich auf Diagonalform bringen. Der einfachste Fall ist der, dass alle Gr~ssen K1, K2 . . . . . nur die Werte 0 oder 2 haben. Dann gibt es nut je zwei Zustiinde des Neutrinofeldes mit iibereinstimmenden K 1, K 2 , . . . ; n~mlich bei gerader Gesamtzahl der Neutrinos die ZustSnde mit L0 = No----0 und
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Lo = No = 1, bei u n g e r a d e r G e s a m t z a h l der N e u t r i n o s die Zust~nde mit Lo ---- 0, No = 1 u n d Lo = 1, N O ---- 0. N a c h den Gleichungen (22) u n d (5) l a u t e t die zugeh6rige T e i l m a t r i x ~o v o n B :
Io
--½i
] ½i
o
o
Sie wird v e r m 6 g e :
to
-1
d u r c h die unit~ire T e i l m a t r i x ½-V 2
t° :
il i1
t~- 1 - : t*o,
auf D i a g o n a l f o r m g e b r a c h t u n d h a t die E i g e n w e r t e 12J ±2' D e r n~chst einfache Fall ist, dass alle Gr6ssen K1, K2 . . . . ausser einer, K i, n u r die W e r t e 0 o d e r 2 besitzen, w ~ h r e n d K i -= 1 ist. D a n n gibt es je vier Zust~nde des Neutrinofeldes mit tibereinstimmenden Kl, K2 . . . . . ; nXmlich bei g e r a d e r G e s a m t z a h l der N e u t r i n o s die Zust&nde mit L i : O, N i : l, Lo ---- O, N o : l ; L i--O, N i : l, L o ---- 1, N o : 0; L i : 1, N i ---- O, L o : O, N O : 1 ; L i = l, N i : O, Lo : 1, No : 0 u n d bei ungerade~ G e s a m t z a h l tier N e u t r i n o s die Zust~tnde mit L i : 0, N i : 1, Lo : No : 0; L i : 0, N i = l , Lo: No: 1; L j : 1, N j : 0 , Lo:No----0; L i - - 1, AT:,.=0, Lo : No : 1. Die zugeh6rige T e i l m a t r i x ~1 von B l a u t e t • ~1
:
0 0 i
0 0 ½i
--O-i --½i
~o - - i I iI ~o '
wenn I die E i n h e i t s m a t r i x b e d e u t e t . ~i wird v e r m 6 g e ~[
:
tl ~1 ti - I
d u r c h die unit~ire T e i l m a t r i x ½ tl _--
1 i i --1
i 1 --1 i
i --1
--1 i -----½~/2 to ito ] ito to ' t F l = tT, 1 i i 1
auf D i a g o n a l f o r m g e b r a c h t u n d h a t die E i g e n w e r t e - - ~, ½, - - ½, {. Allgemein ist im Falle, dass n der Gr6ssen K1, K2, • • • • den W e r t 1, alle iibrigen die W e r t e 0 oder 2 haben, die e n t s p r e c h e n d e Teilm a t r i x ~,, y o n B 2~+
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R. DE L. KRONIG
=
~,~-i ---4I[
iI
~,,-t [ '
wiihrend t~ durch
t,,=.%~/2
t~-i it._t
"
i tn__ 1
I
t,,__ 1 [
gegeben ist. Dann ist n{imlich
t,, ~, t~_t
[ t,_, ~n_, t~l_t - - I 0 [ 0 t,~_l ~,,_~ t,,!l + I '
=
sodass die Eigenwerte von ~, aus denen von ~,,-1 durch Hinzufiigen von 4- 1 erhalten werden. Die Eigenwerte yon B sind demnach 4- ½ (2n + 1), die Eigenwerte vonB2¼(2n + 1)2 mit n = 0, 1, 2, . . .
§ 3. Die physikalische Bedeutung der Matrix B. Wit wollen im Folgenden alle EnergiegrSssen des Neutrino- oder Strahlungsfeldes in der Einheit hvl messen. Die Gesamtenergie E des Neutrinofeldes ist dann gegeben durch c<)
E =
Z k
+
(25)
k=l
die als Strahlung in Erscheinung tretende Energie dagegen dutch W----
~ kMk.
(26)
Wir behaupten nun die Giiltigkeit der fiir die weiteren Betrachtungen grundlegenden Beziehung 2 (E - - W) ---- B 2 - - ¼ ,
(27)
die gleichzeitig die physikalische Bedeutung der Matrix B zum Ausdruck bringt. Um Gleichung (27) zu beweisen, setzen wit zun/ichst in der Gleichung (26) fiir M, den Ausdruck (10) und sodann fiir bh den Ausdruck (7) ein und erhalten so oo
W
=
--
oo
~
~
1~=1 l,
a s c _ k _ ~ a,,, c~___,n .
m=--c~
Die Vertauschungsrelationen (2) ergeben hierfiir oo
W
:
~ k=l
oo
~,
a t a,n C _ k _ z c k _ , , .
l, m = - - - o o
Wit nehmen ferner aus der Summe iiber l und m die Terme mit m ---- - - l heraus, was wit dutch einen Akzent am Summenzeichen andeuten, und/indern die Reihenfolge der Summationen:
ZUR NEUTRINOTHEORIE
oo
oo
=
,,, a,,,
....
k=l
1, m = . - - - c o
DES LICHTES III
+ l=-...-.oo 2' k2= l
975
(28)
I n d e m e r s t e n T e r m r e c h t s ersetzen wir k d u r c h - - k , l d u r c h m , m d u r c h l u n d b e m e r k e n , dass n a c h den V e r t a u s c h u n g s r e l a t i o n e n (2) ffir m =/= - - l a,,, as =- - - al a .... ck . . . . c _ k _ ~ = - - c _ k _ ~ ck . . . . ist. So wird W
=
co
--1
X'
~
oo
l,m=---oo k=--oo
al a,,, c - k - i
ck__,, +
~,
oo
~
a l a_~ c-k-1 ck-~.
1=---oo k = l
(29)
Die D e f i n i t i o n (22) ergibt a u s s e r d e m bei Berficksichtigung der Vert a u s c h u n g s r e l a t i o n e n (2) oo
B 2=
oo
Z'
a sa,,,c_~c .... +
1, m ~ - - - O O
E
ala_lc_lcl.
(30)
1=-----OO
A d d i e r t m a n die Gleichungen (28), (29) u n d (30), so liefern die drei ersten T e r m e r e c h t s z u s a m m e n E'
~ l ~ m C__k__ l Ck__ m = l, m = - . - o o
k =.--oo
G 1a m
l, m = . - - o o
~
C _ k _ 1C k _ m ~ - O.
k =--oo
Die letzte S u m m e fiber k ist n/imlich aus d e m s e l b e n G r u n d e Null wie die S u m m e in Gleichung (24). E s w i r d also
l =--oo
k=l
l=--oo
Die S u m m e n fiber l s p a l t e n wir in Stiicke m i t l = 1 bis l = co, m i t l = 0 u n d m i t l = - - c o bis l = m l . Die Stficke m i t l = 1 bis l = co liefern auf G r u n d der T a t s a c h e , dass n a c h den Gleichungen (4) u n d den V e r t a u s c h u n g s r e l a t i o n e n (2) a _ l a ~ = L I , c _ I c l = N I , as a_1 = 1 - - LI, ci c_~ = 1 - - NI ffir positives l i s t , den B e i t r a g
2 ~ (l-~-L1) ~ N~,+,--I- ~ (1--LI) NI. 1=1
k=l
(31)
1=1
Die Stficke m i t l ---- 0 ergeben, d a n a c h den V e r t a u s c h u n g s r e l a t i o nen (2) a02 -~ c~ -----½, oo
X N~ + ¼.
(32)
k=l
I n den zeichen Summe Term k
stricken mit l =oo bis l - = 1 k e h r e n wir das Vory o n l u m . W i r mfissen d a n n in d e m e r s t e n Stfick noch die fiber k u n t e r t e i l e n in eine S u m m e v o n k = 1 bis l 1, den = l u n d eine S u m m e v 0 n k = l + 1 bis k = co. So e r h a l t e n
976
R, DE L. KRONIG
wir schliesslich mittels der schon erw~ihnten Beziehungen zwischen den a, c, L u n d N l--1
2~L~Z I~1
oo
( l - - N z _ k ) + Z L~+
k=l
l~1 OO
+2Z l=l
OO
OO
L, Z N k _ , + Z L , ( 1 - - N 3. k=l+l
(33)
/=1
In dem Beitrag (31) ersetzen wir den Index k + l durch i, in derh Beitrag (32) den Index k dutch l, in dem Beitrag (33) die Indizes Z - k und k - l beide durch/'. Die drei Beitr~ige ergeben hiernach zusammen oo
2Z
oo
co
Z Ni+2
co
ZN~+¼+2Z
I--I
oo
Z L~+2
ZLI= oo
=2
ZL(L~+N~) +¼. I=1
Es wird also, indem wir noch k fiir l schreiben, 2W+B 2=2
X k(Lk+Nk) +¼, k=l
womit nach Gleichung (25) die Beziehung (27) bewiesen ist.
§ 4. Bestimmung der Strahlungs/elder, die aus Neutrino]e!dern gegebener E..nergie au]gebaut werden k6nnen. In II haben wir gezeigt, dass die Besetzungszahlen Mk der Lichtquantenzust~tnde durch eine unititre Transformation S zu Diagonalmatrizen gemacht werden k6nnen, bei d e r n u r die Neutrinofelder gleicher Gesamtenergie E unter einander transformiert werden, bei der also E eine Diagonalmatrix bleibt, wenn wir wie stets von Neutrinofeldern mit bestimmten Besetzungszahlen L, und Nk der Neutrinozust~nde ausgehen. Die Beziehung (27) erm6glicht es uns deshalb sofort, anzugeben, welche Eigenwerte der durch Gleichung (26) definierten Gesamtenergie W des Strahlungsfeldes fiir gegebenes E zukommen. Denn da zufolge dieser Beziehung W = E - - ½ (B2 - ¼ ) ist, brauchen wir nut die Eigenwerte v o n ½(B 2 - ¼) von E abzuziehen, um die Eigenwerte von W zu erhalten. Da nach§ 2 B 2 die Eigenwerte B,2, -= ¼ (2n + 1) 2 hat, ktinnen demnach aus Neutrino-
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97~
feldern der Energie E = / ' keine anderen Strahlungsfelder als solche mit den Werten
Wi,=i--½n(n+
1) > 0,
n=0,1,2
..... ,
(34)
der Gesamtenergie W aufgebaut werden. Es eriibrigt sich, die Vielfachheit des Eigenwertes Wi, festzusteUen. Auf Grund der L!ntersuchungen in II diirfen wir uns dabei noch weitergehend jeweils auf die Zust/inde des Neutrinofeldes beschr~inken, die bei gleicher Energie E = 1"alle sowohl eine gerade/ungerade Gesamtzahl Z L, der Neutrinos mit Rechtsspin als auch eine gerade/ungerade Gesamtzahl Y, Nk der Neutrinos mit Linksspin besitzen *). Nach unseren Er6rterungen ist die Vielfachheit yon Wi, gleich der Vielfachheit, mit der B~ unter den Eigenwerten y o n B 2 auftritt, welche diesen Zust/inden des Neutrinofeldes entsprechen. In § 2 haben wir untersucht, wie man zu den Eigenwerten von B kommt. Wir behaupten nun: Fiir die Zust~inde des Neutrinofeldes mit Energie E = j und mit gerader/ungerader Gesamtzahl ~ (Lk + Nk) aller Neutrinos treten die Eigenwerte 4- ½ (2n + 1) yon B jeder mit einer Vielfachheit auf, die genau gleich der Anzahl m6glicher Zerlegungen yon Wi~ in einen oder mehr positive ganzzahlige Summanden ist; m.a.W, gleich der Anzahl Weisen, auf die der Wert Wi,, der Gesamtenergie des Strahlungsfeldes durch von einander verschiedene Besetzungen Mk der Lichtquantenzust~inde verwirklicht werden kann. Fii.r Wi, = 0 treten die betreffenden Eigenwerte von B je einmal auf. Diesen Satz allgemein fiir jedes ~"zu beweisen, ist mir vorl/iufig noch nicht gelungen, da sowohl die Abz/ihlung der Eigenwerte yon B als auch der eben erw~ihnten Zerlegungen nicht ganz einfach ist. Dagegen habe ich mich fiir ldeinere Werte von ]' (bis 1"= 9) direkt von seiner Richtigkeit iiberzeugt. Auf Grund unseres Satzes sind wir zun/ichst im Stande, die VoUst~indigkeit der in § 1 besprochenen Reduktion des Systems der Matrizen bk nachzuweisen. Wir denken uns die bk ausreduziert gem/iss, der geraden oder ungeraden Gesamtzahl ~ (Lk + Nk) aller Neutrinos, wie wir in I er6rtert haben, und weiterhin vermittels der in § 1 und § 2 behandelten Transformation T gem/iss den Eigenwerten yon B. Die Systeme yon Teilmatrizen, in welche die b, zerfallen, geniigen einzeln den Vertauschungsrelationen (8). Ein solches System muss *)
gerade]ungerade bedeutet, dass jedes der beiden Worte gesetzt werden darf.
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also, wie schon in I erw~hnt, zu s~mtlichen Eigenwertkomplexen M~ ffihren und zwar zu jedem Komplex mit gleicher VieIfachheit p. Ist fiir jedes System p = l, so ist die Vollst~ndigkeit der Reduktion gew~hrleistet. Wie oben behauptet, gibt es bei geradem/ungeradem ~ (L~ + Nk) fiir gegebenes E = i jeden der beiden Eigenwerte ! ½ (2n + 1) yon B mit einer Vielfachheit, die gleich der Anzahl verschiedener Zerlegungen Mk yon Wi, in Lichtquanten ist. Das zu geradem/ungeradem ~ (Lk + Nk) und einem bestimmten Eigenwert yon B gehOrige System von Teilmatrizen der bk liefert also gem~ss Gleichung (34) einen bestimmten Eigenwert W der Gesamtenergie des Strahlungsfeldes mit der Vielfachheit seiner m6glichen Zerlegungen in Lichtquanten. Das ist nach dem im vorigen Abschnitt Gesagten nur vertr~glich mit p = 1, sodass die Reduktion in der Tat vollst~ndig ist. Hieraus folgt weiterhin, dass ftir die Neutrinofelder mit gegebehem E, gerader/ungerader Gesamtzahl ~ Lk der Neutrinos mit Rechtsspin und gerader/ungerader Gesamtzahl ~ N, der Neutrinos mit Linksspin ein Eigenwertk0mplex Mk, dessen Gesamtenergie W der Gleichung (34) genfigt, ebenfalls genau einmal auftritt. Man kommt so zu dem Schluss, dass aus diesen Neutrinofeldern Strahlungsfelder mit allen m6glichen Verteilungen der Lichtquanten bei den durch Gleichung (34) gegebenen Werten Wi, der Gesamtenergie hefgestellt werden kOnnen. Wit. iUustrieren das Gesagte an der Hand des in II besprochenen Beisi~'iels. E hatte dort den Wert ] = 3 bei geradem X; Lk und ~ Nk, sodass nach Gleichung (34) fiir W nut die Werte 3, 2, 0 in Frage kommen, entsprechend den Werten n = 0, 11 2. Im ganzen gibt es 7 .mOgliche Lichtquantenverteilungen mit W ~ 3, n~mlich die in Tabelle I angefiihrten. Ein Vergleich mit Tabelle II in II zeigt, dass ill der Tat der Zustand des Strahlungsfeldes mit W ---- 1 nicht auftritt, _die iibrigen Zustitnde dagegen jeder einmal. TABELLE I Mx
6
d d
/
M,
M~
M4
....
W 0
0
0
0
0
!
0
0
0
2 0 3
0 1 O
0 0 0
0 0 0
.... .... .... .... ....
1
1
0
0
....
0
0
I
0
.,..
l
2 2 3 3 3
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III
979
Besonderes Interesse verdienen nach Gleichung (34) die Strahlungsfelder mit n ---- 0, bei denen W gleich E ist, die gesamte Neutrinoenergie also als Strahlungsenergie in Erscheinung tritt. Wir wollen sie reine Strahlungs[elder nennen. Nach unseren Uberlegungen gilt der Satz: Alle mSglichen reinen Strahlungsfelder k~nnen durch Neutrinofelder verwirklicht werden. Ferner wollen wir als reine Neutrino]elder solche bezeichhen, ffir die W ----- 0 ist, die demnach strahlungsfrei sind. Aus unseren Ergebnissen folgt : Aus Neutrinofeldern, deren Energie E gleich ½n (n + 1) ist, kann stets ein reines Neutrinofeld aufgebaut werden. Es gibt also reine Neutrinofelder beliebig grosser Energie, was eine notwendige Erg~nzung unserer Resultate in II bedeutet. Dort sahen wir, dass ffir E -----3 (d.h. n = 2) ein reines Neutrinofeld resultiert, n~mlich das als a bezeichnete, aber es w~ire ja denkbar gewesen, dass dies zuf~llig durch den geringen Wert von E bedingt ist, womit die daran anknfipfenden Betrachtungen fiber die Brauchbarkeit der Theorie entkr~iftet w~ren. Unsere Resultate beleuchten auch einen zun~ichst paradox erscheinenden Sachverhalt in der J o r d a n schen Arbeit (1.c.). Dort wurde gezeigt, dass ein Neutrinofeld im thermischen Gleichgewicht zu schwarzer Strahlung Anlass gibt, dass aber die Energie der Strahlung nur einen Bruchteil tier Neutrinoenergie betr~igt. Es handelt sich bier eben um ein Neutrinofeld, alas kein reines Strahlungsfeld ist.
§ 5. Weitere Ausblicke. Man wird sich natfirlicherweise fragen, ob eine experimentelle Priifung des bier vertretenen Standpunkts der Zurfickffihrbarkeit yon Strahlungs- auf Neutrinofelder mSglich ist. Am aussichtsreichsten scheinen mir hierfiir Untersuchungen fiber den radioaktiven ~-Zerfall. Nach der F e r m i schen Theorie dieser Erscheinung a) sollten Neutrinofelder unter Umst~inden einen solchen Zerfall induzieren kSnnen, und auf Grund unserer ~3berlegungen w~ire dann zu erwarten, dass Strahlungsfelder dieselbe Wirkung haben *-). Mit einer Berechnung der zu erwartenden Effekte bin ich augenblicklich besch~iftigt. Weiterhin ware es vielleicht aufschlussreich, die Bedeutung einer *) In e i n e r b r i e f l i c h e n M i t t e i h m g wies m i c h H e r r J o r d a n eben/nlls a u f diese MSglichkeit.
980
R. DE L. KRONIG, ZUR NEUTRINOTHEORIE DES LICHTES III
eventuellen Aquivalenz von Neutrino- und Strahlungsfeldern fiir astrophysikalische Erscheinungen zu verfolgen. Haben sich doch gerade in letzterer Zeit wiederum ernstliche Schwierigkeiten in der Theorie der Abkiihlung yon Sternen geltend gemacht 4). Schliesslich noch eine Frage von prinzipiellem Interesse. Im Anschluss an die Jordansche Arbeit (1.c.) haben wir das Strahlungsfeld einfach durch die skalaren Amplituden b, beschrieben. Man wird aber natiirlich in einer endgiiltigen Form der Theorie die Vektoren E und H des elektromagnetischen Feldes einfiihren und ihre Fourierkomponenten durch die der Neutrinowellen ausdriicken woUen. Versuche in dieser Richtung sind schon yon de Broglie in den eingangs erw~ihnten Arbeiten sowie von Wentzel 5) gemacht worden. Auch auf diese Frage hoffe ich noch zuriickzukommen. Eingegangen am 9. August 1935.
LITERATUR 1) R. d e L. K r o n i g . Physica 2, 491, 854, 1 9 3 5 ; i m F o l g e n d e n k u r z I u n d I I g e nannt. Gleichungen, die im vorliegenden Text wiederholt sind, tragen dieselbe Bezffferung wie dort. Neue Gleichungen sind fortlaufend numeriert. 2) L. d e B r o g l i e , C.R. Aead. Sci.,Paris, 195, 536, 577, 862, 1932; 197, 1377, 1933; 198, 135, 1934; 199, 445,1165,1934;L. d e B r o g l i e u n d J . W i n t e r , ebenda 199,813, 1934; P. J o r d a n , Z. Phys. 93, 464, 1935. 3) E. F e r m i , Z. Phys. 88, 161, 1934. 4) A.S. E d d i n g t o n , Month. Not. roy. astron. Soe. 95, 194, 1935;S. C h a n d r a s e k h a r, ebenda 95, 207, 1935. 5) G. W e n t z e l , Z. Phys. 92, 337, 1934.
Zusammenfassung Eine Reihe yon Eigenschaften der Neutrinofelder in ihrer Beziehung zu den Strahlungsfeldern wird abgeleitet. Mit Hilfe einer Matrix B gelingt es einerseits, die in I schon teilweise erzielte Reduktion des Systems der Matrixamplituden bk, welche das Strahlungsfeld kennzeichnen, vollst~ndig durchzufiihren, und anderseits, die in I I an Hand eines einfachen Beispiels erSrterte Frage allgemein zu beantworten, welche Strahlungsfelder durch Neutrinofelder gegebener Energie verwirklicht werden kSnnen. Besonderes Interesse verdienen dabei die reinen Strahlungsfelder, in denen sich die gesamte Neutrinoenergie als Strahlungsenergie ~iussert, und die reinen Neutrinofelder, die strahlungsfrei sind. Auf die M~iglichkeit, einen ~-Zerfall der Kerne vermittels Strahlung zu induzieren, wird hingewiesen.
Einleitung. Wie i m Teil I u n d I I dieser U n t e r s u c h u n g 1) stellen wir uns auf den zuerst v o n d e B r o g l i e u n d d a n a c h v o n J o rd a n 3) v e r t r e t e n e n S t a n d p u n k t , w o n a c h sich die S t r a h l u n g s f e l d e r auf N e u t r i n o f e l d e r zuriickfiihren lassen sollen. Z u r B e q u e m l i c h keit des Lesers schreiben wir bier noch e i n m a l k u r z die fiir das Folgende g r u n d l e g e n d e n Definitionen u n d F o r m e l n auf, die wir in I ausfiihrlich b e s p r o c h e n h a b e n . D a s N e u t r i n o f e l d w i r d d u r c h die M a t r i x a m p l i t u d e n ak u n d ck g e k e n n z e i c h n e t , wobei der I n d e x k die einzelnen P a r t i a l w e l l e n m i t F r e q u e n z vk = kvl u n t e r s c h e i d e t . ~1 ist die kleinste F r e q u e n z der N e u t r i n o w e l l e n , wie sie d u t c h eine der B e g r e n zung des (eindimensionalen) H o h l r a u m s e n t s p r e c h e n d e Periodizit~itsforderung b e d i n g t wird, hv t d e m z u f o l g e die E n e r g i e s t u f e zwischen a u f e i n a n d e r f o l g e n d e n T r a n s l a t i o n s q u a n t e n z u s t ~ i n d e n der N e u trinos. Die ak u n d c~ geniigen d e n V e r t a u s c h u n g s r e l a t i o n e n aka~+ alak = ~--k,l, c, c~ + cz c~, = , ~ , , ~, ak cl + . c~ ak = 0 --
968
--
(2)
ZUR NEUTRINOTHEORIE
969
DES LICHTES III
fiir alle ganzzahligen W e r t e k u n d l mit der F e s t s e t z u n g a--k = a~, c_~ = c~,
(3)
wo 1~ die A d j u n g i e r t e bedeutet. Besondere B e a c h t u n g v e r d i e n t (ebenso wie bei einer gew6hnlichen F o u r i e r entwicklung) der Fall k = 0, ftir den n e b e n ao u n d Co noch zwei weitere Gr6ssen ~o u n d ¥o eingeftihrt werden, die denselben V e r t a u s c h u n g s r e l a t i o n e n wie ao u n d Co geniigen sollen mit der A u s n a h m e , class ~o C~o+ C~o~o = 0, ~o ~*o + ~*o so = l,
~o ~'o + YoYo = 0, ~o ~o* + Y*o~o = 1
(2a)
ist, u n d die mit ao u n d Co v e r m 6 g e ~/2 ao = ~o + ~*o, ~/2 Co = ~o + ~*o z u s a m m e n h ~ n g e n . D a n n stellen die Gr6ssen Lo = ~-o*~o, No = Tot Yo, Lk=a~a~=a_,ak, N~-=C~C~=C_kck, k=
(4) 1,2 . . . . .
die Anzahl der N e u t r i n o s im Q u a n t e n z u s t a n d k mit R e c h t s s p i n bzw. Linksspin dar. Die V e r t a u s c h u n g s r e l a t i o n e n (2) u n d (2a) werden befriedigt, w e n n wir ~o ( L o = 0 , No, L1, N 1. . . . ; L ~ = I , No, L1, Nt . . . . ) = l , y o ( L o , N o = 0 , L t , N1 . . . . ;Lo, N~----1, L1, N~ . . . . ) = (--1) Lo, a, (Lo, No . . . .
c~ (Lo, No . . . .
L , = 0, Nk, • • • ; Lo, No . . . . L~ = 1, N , . . . . ) = (__ 1)L°+N°+...+N~__~,
Lk, Nk----O, . . . ; Lo, No . . . .
(5)
Lk, N~---- 1 .... ) = ( - - 1)Lo+N°+ . . - L k k=
1,2, . . . ,
setzen, w ~ h r e n d aUe tibrigen M a t r i x e l e m e n t e verschwinden, u n d gleichzeitig w e r d e n d u r c h diesen Ansatz die Gr6ssen Lk u n d Nk Diagonalmatrizen. Das Strahlungsfeld wird d u r c h die M a t r i x a m p l i t u d e n bk beschrieben, die n a c h J o r d a n (1.c.) d u r c h die Gleichung
~/ [ k l b~ = i ~
l=---oo
as Ck_l
(7)
als F u n k t i o n der ak u n d ck gegeben sein sollen. E s gilt d a n n die Vertauschungsrelation l bk bz -- b~ b~ = -- ~-k, ~ I l I
(8)
970
R. DE L. KRONIG
ftir alle ganzzahligen von Null verschiedenen Werte k und l, wenn wir in Ubereinstimmung mit den Gleichungen (7) und (3) b_~ = b~
(9)
setzen. M~=b~b~=b_kbk,
k:
1,2 . . . . ,
(10)
stellt die Anzahl der Lichtquanten im Quantenzustand k des Strahlungsfeldes dar. In I wurde hervorgehoben, dass das durch Gleichung (7) definierte System der Matrizen bk nicht irreduzibel ist. Im Gegenteil sahen wit dort, dass es sogar schon in, wenigstens teilweise, reduzierter Form vorliegt. Im Folgenden sou zun~chst untersucht werden, wie die vollst~ndige Reduktion jenes Systems stattfinden kann. Physikalisch bedeutet die Reduzibilit~t natfirlich, wie auch in I betont, dass durch Angabe der Anzahl der Lichtquanten jeder Sorte in einem Strahlungsfelde dieses als Neutrinofeld noch nicht eindeutig festgelegt ist, dass es vielmehr Neutrinofelder mit gleicher Besetzung der Lichtquantenzust~nde gibt, die physikalisch voneinander verschieden sind. Um zu entscheiden, in welcher Weise ein Strahlungsfeld mit gegebener Anzahl der Lichtquanten j eder Sorte durch Neutrinofelder dargestellt werden kann, untersuchen wir eingehender im Anschluss an die Betrachtungen in n, welche Strahlungsfelder mit bestimmten Besetzungszahlen der Lichtquantenzust/~nde aus Neutrinofeldern gleicher Energie aufgebaut werden k6nnen. Diese Frage, die in n fiir ein einfaches Beispiel erledigt wurde, gelingt es jetzt, ganz allgemein zu beantworten. Dabei ergeben sich als besonders wichtige F~lle von Neutrinofeldern die reinen Strahlungsfelder, bei denen die gesamte Neutrinoenergie als Strahlungsenergie in Erscheinung tritt, und die reinen Neutrinofelder, die strahlungsfrei sind. Schliesslich wird im Hinblick auf die vorausgesetzte Identit~t von Strahlungsmit Neutrinofeldern auf einige Konsequenzen hingewiesen, die diese Auffassung fiir die Erscheinungen des radioaktiven ~-Z6rfalls mit sich bringt, und die vielleicht eine experimentelle Prtifung der hier ert~rterten Gesichtspunkte errn6glichen diirften.
§ 1. Ein/~hrung einer mit allen bk vertauschbaren Matrix B. Wir definieren zun~tchst eine neue Matrix B verm~ge B =i
~ l =---oo
azc'_,.
(22)
ZUR N E U T R I N O T H E O R I E D E S L I C H T E S I I I
971
Diese Matrix B hat die Eigenschaft, mit allen bk vertauschbar zu sein; d.h. es gilt Bb~=
bkB, k :
!
1,±2 .....
(23)
Zum Beweis setzen wir ftir B und bk die Ausdrticke (22) und (7) ein : 1
B b ~ --
OO
W/ ] k] ~. . . . . oo a t c _ l
am
Cl~--m
.
Schieben wir auf Grund der Vertauschungsrelationen (2) dieietzten zwei Faktoren von links nach rechts durch, so erhalten wir schliesslich B b k = b k B + x / l k ] ~=-oo
+
(24)
Die Summe auf der rechten Seite verschwindet aber; denn zu einem Term a~ak_1 gibt es ausser fiir den Fall k - l = l stets in dieser Summe einen zweiten Term ak_~a~, der zusammen mit dem ersten nach den Vertauschungsrelationen (2) wegen k :# 0 den Beitrag Null liefert, w~ihrend a~ak_~ ftir k - l ---- l auf Grund dieser Relationen selbst gleich Null ist. Entsprechendes trifft fiir die Terme c_~ c~+~ zu. Die Wichtigkeit der Matrix B liegt zun/ichst darin, dass sie die schon in der Einleitung angekiindigte vollst/indige Reduktion des Systems der Matrizen b~ erm6glicht. Es sei zu diesem Zwecke T eine unit~re Transformationsmatrix, die verm6ge B ' = T B T -1 die Matrix B auf Diagonalform bringt, w~hrend sie aus den Matrizen bk die Matrizen b~ : T b~ T - t macht. Die Beziehung (23) gilt natiirlich auch ffir die gestrichenen Gr6ssen und nimmt fiir das Matrixelement zwischen den Zust/inden r und s, da B ' ja eine Diagonalmatrix ist, speziell die Form B ' (rr) b'k (rs) = b'~ (rs) B ' (ss) oder [B' (rr) - - B ' (ss)] b'~ (rs) ~- 0 an. Daraus folgt aber, class das Matrixelement b'~ (rs) verschwindet, ausser wenn zu den Zust/inden r und s gleiche Eigenwerte yon B geh6ren. Die Matrizen b~ sind also nach Ausffihrung der Transformation T auch noch entsprechend den Eigenwerten yon B ausreduziert ; denn diese Reduktion zerst6rt nicht die schon in I besprochene, nach
972
R. D E L. K R O N I G
der die bk vor Ausftihrung der Transformation T gem~iss der geraden oder ungeraden Gesamtzahl E (Lk + Nk) der Neutrinos zerfaLlen. Ein solcher Zerfall besteht n~imlich auch ftir die Matrix B, so dass man sie mittels einer Transformationsmatrix T auf Diagonalform bringen kann, die in gleicher Weise gem~iss der geraden oder ungeraden Gesamtzahl der Neutrinos zerf~llt und daher den urspriinglichen Zerfall der bk nicht zerst6rt. Wir werden sp~ter zeigen, dass die auf Grund obiger TJberlegungen zu erzielende Reduktion des Systems der Matrizen b~ eine vollst~ndige ist. Auch auf die physikalische Bedeutung der Matrix B werden wir noch n~iher eingehen. § 2. Bestimmung der Eigenwerte der Matrix B. Wir gehen jetzt dazu fiber, die Transformationsmatrix T und damit die Eigenwerte von B wirklich zu ermitteln. Zu dem Zwecke bemerken wir, dass B in noch weitgehenderem Masse als die bk zerf~illt. Es verschwinden, wie schon gesagt, zun~ichst einmal die Matrixelemente von B zwischen solchen Zust~nden des Neutrinofeldes, die nicht beide entweder einer geraden oder einer ungeraden Gesamtzahl tier Neutrinos entsprechen. Fiihrt man die Bezeichnung K~ = Lk + N~ ein, so sind ausserdem die Matrixelemente von B zwsichen denjenigen Zust~nden Null, welche nicht in allen K 1 , K2 . . . . tibereinstimmen. Dies Resultat folgt sofort aus dem Ausdruck (22) fiir B und den Ausdriicken (5) ffir die a~ und c~, nach denen in der Matrix B fiir k = 1, 2 . . . . . ein Sprung yon L~ um eine Einheit stets durch einen Sprung von Nk in entgegengesetzter Richtung begleitet wird. Bei der Aufgabe, B auf Diagonalform zu bringen, k6nnen wir deshalb unsere Aufmerksamkeit jeweils auf die einzelnen Teilmatrizen yon B beschr~nken, die zu Zust~inden mit gerader, bzw. ungerader Gesamtzahl der Neutrinos und mit iibereinstimmenden K1, K2 . . . . . geh6ren, indem wir auch T in entsprechende Teilmatrizen t zerfallen annehmen, welche die einzelnen Teilmatrizen von B jede fiir sich auf Diagonalform bringen. Der einfachste Fall ist der, dass alle Gr~ssen K1, K2 . . . . . nur die Werte 0 oder 2 haben. Dann gibt es nut je zwei Zustiinde des Neutrinofeldes mit iibereinstimmenden K 1, K 2 , . . . ; n~mlich bei gerader Gesamtzahl der Neutrinos die ZustSnde mit L0 = No----0 und
ZUR N E U T R I N O T H E O R I E DES LICHTES III
973
Lo = No = 1, bei u n g e r a d e r G e s a m t z a h l der N e u t r i n o s die Zust~nde mit Lo ---- 0, No = 1 u n d Lo = 1, N O ---- 0. N a c h den Gleichungen (22) u n d (5) l a u t e t die zugeh6rige T e i l m a t r i x ~o v o n B :
Io
--½i
] ½i
o
o
Sie wird v e r m 6 g e :
to
-1
d u r c h die unit~ire T e i l m a t r i x ½-V 2
t° :
il i1
t~- 1 - : t*o,
auf D i a g o n a l f o r m g e b r a c h t u n d h a t die E i g e n w e r t e 12J ±2' D e r n~chst einfache Fall ist, dass alle Gr6ssen K1, K2 . . . . ausser einer, K i, n u r die W e r t e 0 o d e r 2 besitzen, w ~ h r e n d K i -= 1 ist. D a n n gibt es je vier Zust~nde des Neutrinofeldes mit tibereinstimmenden Kl, K2 . . . . . ; nXmlich bei g e r a d e r G e s a m t z a h l der N e u t r i n o s die Zust&nde mit L i : O, N i : l, Lo ---- O, N o : l ; L i--O, N i : l, L o ---- 1, N o : 0; L i : 1, N i ---- O, L o : O, N O : 1 ; L i = l, N i : O, Lo : 1, No : 0 u n d bei ungerade~ G e s a m t z a h l tier N e u t r i n o s die Zust~tnde mit L i : 0, N i : 1, Lo : No : 0; L i : 0, N i = l , Lo: No: 1; L j : 1, N j : 0 , Lo:No----0; L i - - 1, AT:,.=0, Lo : No : 1. Die zugeh6rige T e i l m a t r i x ~1 von B l a u t e t • ~1
:
0 0 i
0 0 ½i
--O-i --½i
~o - - i I iI ~o '
wenn I die E i n h e i t s m a t r i x b e d e u t e t . ~i wird v e r m 6 g e ~[
:
tl ~1 ti - I
d u r c h die unit~ire T e i l m a t r i x ½ tl _--
1 i i --1
i 1 --1 i
i --1
--1 i -----½~/2 to ito ] ito to ' t F l = tT, 1 i i 1
auf D i a g o n a l f o r m g e b r a c h t u n d h a t die E i g e n w e r t e - - ~, ½, - - ½, {. Allgemein ist im Falle, dass n der Gr6ssen K1, K2, • • • • den W e r t 1, alle iibrigen die W e r t e 0 oder 2 haben, die e n t s p r e c h e n d e Teilm a t r i x ~,, y o n B 2~+
974
R. DE L. KRONIG
=
~,~-i ---4I[
iI
~,,-t [ '
wiihrend t~ durch
t,,=.%~/2
t~-i it._t
"
i tn__ 1
I
t,,__ 1 [
gegeben ist. Dann ist n{imlich
t,, ~, t~_t
[ t,_, ~n_, t~l_t - - I 0 [ 0 t,~_l ~,,_~ t,,!l + I '
=
sodass die Eigenwerte von ~, aus denen von ~,,-1 durch Hinzufiigen von 4- 1 erhalten werden. Die Eigenwerte yon B sind demnach 4- ½ (2n + 1), die Eigenwerte vonB2¼(2n + 1)2 mit n = 0, 1, 2, . . .
§ 3. Die physikalische Bedeutung der Matrix B. Wit wollen im Folgenden alle EnergiegrSssen des Neutrino- oder Strahlungsfeldes in der Einheit hvl messen. Die Gesamtenergie E des Neutrinofeldes ist dann gegeben durch c<)
E =
Z k
+
(25)
k=l
die als Strahlung in Erscheinung tretende Energie dagegen dutch W----
~ kMk.
(26)
Wir behaupten nun die Giiltigkeit der fiir die weiteren Betrachtungen grundlegenden Beziehung 2 (E - - W) ---- B 2 - - ¼ ,
(27)
die gleichzeitig die physikalische Bedeutung der Matrix B zum Ausdruck bringt. Um Gleichung (27) zu beweisen, setzen wit zun/ichst in der Gleichung (26) fiir M, den Ausdruck (10) und sodann fiir bh den Ausdruck (7) ein und erhalten so oo
W
=
--
oo
~
~
1~=1 l,
a s c _ k _ ~ a,,, c~___,n .
m=--c~
Die Vertauschungsrelationen (2) ergeben hierfiir oo
W
:
~ k=l
oo
~,
a t a,n C _ k _ z c k _ , , .
l, m = - - - o o
Wit nehmen ferner aus der Summe iiber l und m die Terme mit m ---- - - l heraus, was wit dutch einen Akzent am Summenzeichen andeuten, und/indern die Reihenfolge der Summationen:
ZUR NEUTRINOTHEORIE
oo
oo
=
,,, a,,,
....
k=l
1, m = . - - - c o
DES LICHTES III
+ l=-...-.oo 2' k2= l
975
(28)
I n d e m e r s t e n T e r m r e c h t s ersetzen wir k d u r c h - - k , l d u r c h m , m d u r c h l u n d b e m e r k e n , dass n a c h den V e r t a u s c h u n g s r e l a t i o n e n (2) ffir m =/= - - l a,,, as =- - - al a .... ck . . . . c _ k _ ~ = - - c _ k _ ~ ck . . . . ist. So wird W
=
co
--1
X'
~
oo
l,m=---oo k=--oo
al a,,, c - k - i
ck__,, +
~,
oo
~
a l a_~ c-k-1 ck-~.
1=---oo k = l
(29)
Die D e f i n i t i o n (22) ergibt a u s s e r d e m bei Berficksichtigung der Vert a u s c h u n g s r e l a t i o n e n (2) oo
B 2=
oo
Z'
a sa,,,c_~c .... +
1, m ~ - - - O O
E
ala_lc_lcl.
(30)
1=-----OO
A d d i e r t m a n die Gleichungen (28), (29) u n d (30), so liefern die drei ersten T e r m e r e c h t s z u s a m m e n E'
~ l ~ m C__k__ l Ck__ m = l, m = - . - o o
k =.--oo
G 1a m
l, m = . - - o o
~
C _ k _ 1C k _ m ~ - O.
k =--oo
Die letzte S u m m e fiber k ist n/imlich aus d e m s e l b e n G r u n d e Null wie die S u m m e in Gleichung (24). E s w i r d also
l =--oo
k=l
l=--oo
Die S u m m e n fiber l s p a l t e n wir in Stiicke m i t l = 1 bis l = co, m i t l = 0 u n d m i t l = - - c o bis l = m l . Die Stficke m i t l = 1 bis l = co liefern auf G r u n d der T a t s a c h e , dass n a c h den Gleichungen (4) u n d den V e r t a u s c h u n g s r e l a t i o n e n (2) a _ l a ~ = L I , c _ I c l = N I , as a_1 = 1 - - LI, ci c_~ = 1 - - NI ffir positives l i s t , den B e i t r a g
2 ~ (l-~-L1) ~ N~,+,--I- ~ (1--LI) NI. 1=1
k=l
(31)
1=1
Die Stficke m i t l ---- 0 ergeben, d a n a c h den V e r t a u s c h u n g s r e l a t i o nen (2) a02 -~ c~ -----½, oo
X N~ + ¼.
(32)
k=l
I n den zeichen Summe Term k
stricken mit l =oo bis l - = 1 k e h r e n wir das Vory o n l u m . W i r mfissen d a n n in d e m e r s t e n Stfick noch die fiber k u n t e r t e i l e n in eine S u m m e v o n k = 1 bis l 1, den = l u n d eine S u m m e v 0 n k = l + 1 bis k = co. So e r h a l t e n
976
R, DE L. KRONIG
wir schliesslich mittels der schon erw~ihnten Beziehungen zwischen den a, c, L u n d N l--1
2~L~Z I~1
oo
( l - - N z _ k ) + Z L~+
k=l
l~1 OO
+2Z l=l
OO
OO
L, Z N k _ , + Z L , ( 1 - - N 3. k=l+l
(33)
/=1
In dem Beitrag (31) ersetzen wir den Index k + l durch i, in derh Beitrag (32) den Index k dutch l, in dem Beitrag (33) die Indizes Z - k und k - l beide durch/'. Die drei Beitr~ige ergeben hiernach zusammen oo
2Z
oo
co
Z Ni+2
co
ZN~+¼+2Z
I--I
oo
Z L~+2
ZLI= oo
=2
ZL(L~+N~) +¼. I=1
Es wird also, indem wir noch k fiir l schreiben, 2W+B 2=2
X k(Lk+Nk) +¼, k=l
womit nach Gleichung (25) die Beziehung (27) bewiesen ist.
§ 4. Bestimmung der Strahlungs/elder, die aus Neutrino]e!dern gegebener E..nergie au]gebaut werden k6nnen. In II haben wir gezeigt, dass die Besetzungszahlen Mk der Lichtquantenzust~tnde durch eine unititre Transformation S zu Diagonalmatrizen gemacht werden k6nnen, bei d e r n u r die Neutrinofelder gleicher Gesamtenergie E unter einander transformiert werden, bei der also E eine Diagonalmatrix bleibt, wenn wir wie stets von Neutrinofeldern mit bestimmten Besetzungszahlen L, und Nk der Neutrinozust~nde ausgehen. Die Beziehung (27) erm6glicht es uns deshalb sofort, anzugeben, welche Eigenwerte der durch Gleichung (26) definierten Gesamtenergie W des Strahlungsfeldes fiir gegebenes E zukommen. Denn da zufolge dieser Beziehung W = E - - ½ (B2 - ¼ ) ist, brauchen wir nut die Eigenwerte v o n ½(B 2 - ¼) von E abzuziehen, um die Eigenwerte von W zu erhalten. Da nach§ 2 B 2 die Eigenwerte B,2, -= ¼ (2n + 1) 2 hat, ktinnen demnach aus Neutrino-
ZUR N E U T R I N O T H E O R I E DES LICHTES III
97~
feldern der Energie E = / ' keine anderen Strahlungsfelder als solche mit den Werten
Wi,=i--½n(n+
1) > 0,
n=0,1,2
..... ,
(34)
der Gesamtenergie W aufgebaut werden. Es eriibrigt sich, die Vielfachheit des Eigenwertes Wi, festzusteUen. Auf Grund der L!ntersuchungen in II diirfen wir uns dabei noch weitergehend jeweils auf die Zust/inde des Neutrinofeldes beschr~inken, die bei gleicher Energie E = 1"alle sowohl eine gerade/ungerade Gesamtzahl Z L, der Neutrinos mit Rechtsspin als auch eine gerade/ungerade Gesamtzahl Y, Nk der Neutrinos mit Linksspin besitzen *). Nach unseren Er6rterungen ist die Vielfachheit yon Wi, gleich der Vielfachheit, mit der B~ unter den Eigenwerten y o n B 2 auftritt, welche diesen Zust/inden des Neutrinofeldes entsprechen. In § 2 haben wir untersucht, wie man zu den Eigenwerten von B kommt. Wir behaupten nun: Fiir die Zust~inde des Neutrinofeldes mit Energie E = j und mit gerader/ungerader Gesamtzahl ~ (Lk + Nk) aller Neutrinos treten die Eigenwerte 4- ½ (2n + 1) yon B jeder mit einer Vielfachheit auf, die genau gleich der Anzahl m6glicher Zerlegungen yon Wi~ in einen oder mehr positive ganzzahlige Summanden ist; m.a.W, gleich der Anzahl Weisen, auf die der Wert Wi,, der Gesamtenergie des Strahlungsfeldes durch von einander verschiedene Besetzungen Mk der Lichtquantenzust~inde verwirklicht werden kann. Fii.r Wi, = 0 treten die betreffenden Eigenwerte von B je einmal auf. Diesen Satz allgemein fiir jedes ~"zu beweisen, ist mir vorl/iufig noch nicht gelungen, da sowohl die Abz/ihlung der Eigenwerte yon B als auch der eben erw~ihnten Zerlegungen nicht ganz einfach ist. Dagegen habe ich mich fiir ldeinere Werte von ]' (bis 1"= 9) direkt von seiner Richtigkeit iiberzeugt. Auf Grund unseres Satzes sind wir zun/ichst im Stande, die VoUst~indigkeit der in § 1 besprochenen Reduktion des Systems der Matrizen bk nachzuweisen. Wir denken uns die bk ausreduziert gem/iss, der geraden oder ungeraden Gesamtzahl ~ (Lk + Nk) aller Neutrinos, wie wir in I er6rtert haben, und weiterhin vermittels der in § 1 und § 2 behandelten Transformation T gem/iss den Eigenwerten yon B. Die Systeme yon Teilmatrizen, in welche die b, zerfallen, geniigen einzeln den Vertauschungsrelationen (8). Ein solches System muss *)
gerade]ungerade bedeutet, dass jedes der beiden Worte gesetzt werden darf.
Physica II
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R. D E L . K R O N I G
also, wie schon in I erw~hnt, zu s~mtlichen Eigenwertkomplexen M~ ffihren und zwar zu jedem Komplex mit gleicher VieIfachheit p. Ist fiir jedes System p = l, so ist die Vollst~ndigkeit der Reduktion gew~hrleistet. Wie oben behauptet, gibt es bei geradem/ungeradem ~ (L~ + Nk) fiir gegebenes E = i jeden der beiden Eigenwerte ! ½ (2n + 1) yon B mit einer Vielfachheit, die gleich der Anzahl verschiedener Zerlegungen Mk yon Wi, in Lichtquanten ist. Das zu geradem/ungeradem ~ (Lk + Nk) und einem bestimmten Eigenwert yon B gehOrige System von Teilmatrizen der bk liefert also gem~ss Gleichung (34) einen bestimmten Eigenwert W der Gesamtenergie des Strahlungsfeldes mit der Vielfachheit seiner m6glichen Zerlegungen in Lichtquanten. Das ist nach dem im vorigen Abschnitt Gesagten nur vertr~glich mit p = 1, sodass die Reduktion in der Tat vollst~ndig ist. Hieraus folgt weiterhin, dass ftir die Neutrinofelder mit gegebehem E, gerader/ungerader Gesamtzahl ~ Lk der Neutrinos mit Rechtsspin und gerader/ungerader Gesamtzahl ~ N, der Neutrinos mit Linksspin ein Eigenwertk0mplex Mk, dessen Gesamtenergie W der Gleichung (34) genfigt, ebenfalls genau einmal auftritt. Man kommt so zu dem Schluss, dass aus diesen Neutrinofeldern Strahlungsfelder mit allen m6glichen Verteilungen der Lichtquanten bei den durch Gleichung (34) gegebenen Werten Wi, der Gesamtenergie hefgestellt werden kOnnen. Wit. iUustrieren das Gesagte an der Hand des in II besprochenen Beisi~'iels. E hatte dort den Wert ] = 3 bei geradem X; Lk und ~ Nk, sodass nach Gleichung (34) fiir W nut die Werte 3, 2, 0 in Frage kommen, entsprechend den Werten n = 0, 11 2. Im ganzen gibt es 7 .mOgliche Lichtquantenverteilungen mit W ~ 3, n~mlich die in Tabelle I angefiihrten. Ein Vergleich mit Tabelle II in II zeigt, dass ill der Tat der Zustand des Strahlungsfeldes mit W ---- 1 nicht auftritt, _die iibrigen Zustitnde dagegen jeder einmal. TABELLE I Mx
6
d d
/
M,
M~
M4
....
W 0
0
0
0
0
!
0
0
0
2 0 3
0 1 O
0 0 0
0 0 0
.... .... .... .... ....
1
1
0
0
....
0
0
I
0
.,..
l
2 2 3 3 3
ZUR NEUTRINOTHEORIE
DES LICHTES
III
979
Besonderes Interesse verdienen nach Gleichung (34) die Strahlungsfelder mit n ---- 0, bei denen W gleich E ist, die gesamte Neutrinoenergie also als Strahlungsenergie in Erscheinung tritt. Wir wollen sie reine Strahlungs[elder nennen. Nach unseren Uberlegungen gilt der Satz: Alle mSglichen reinen Strahlungsfelder k~nnen durch Neutrinofelder verwirklicht werden. Ferner wollen wir als reine Neutrino]elder solche bezeichhen, ffir die W ----- 0 ist, die demnach strahlungsfrei sind. Aus unseren Ergebnissen folgt : Aus Neutrinofeldern, deren Energie E gleich ½n (n + 1) ist, kann stets ein reines Neutrinofeld aufgebaut werden. Es gibt also reine Neutrinofelder beliebig grosser Energie, was eine notwendige Erg~nzung unserer Resultate in II bedeutet. Dort sahen wir, dass ffir E -----3 (d.h. n = 2) ein reines Neutrinofeld resultiert, n~mlich das als a bezeichnete, aber es w~ire ja denkbar gewesen, dass dies zuf~llig durch den geringen Wert von E bedingt ist, womit die daran anknfipfenden Betrachtungen fiber die Brauchbarkeit der Theorie entkr~iftet w~ren. Unsere Resultate beleuchten auch einen zun~ichst paradox erscheinenden Sachverhalt in der J o r d a n schen Arbeit (1.c.). Dort wurde gezeigt, dass ein Neutrinofeld im thermischen Gleichgewicht zu schwarzer Strahlung Anlass gibt, dass aber die Energie der Strahlung nur einen Bruchteil tier Neutrinoenergie betr~igt. Es handelt sich bier eben um ein Neutrinofeld, alas kein reines Strahlungsfeld ist.
§ 5. Weitere Ausblicke. Man wird sich natfirlicherweise fragen, ob eine experimentelle Priifung des bier vertretenen Standpunkts der Zurfickffihrbarkeit yon Strahlungs- auf Neutrinofelder mSglich ist. Am aussichtsreichsten scheinen mir hierfiir Untersuchungen fiber den radioaktiven ~-Zerfall. Nach der F e r m i schen Theorie dieser Erscheinung a) sollten Neutrinofelder unter Umst~inden einen solchen Zerfall induzieren kSnnen, und auf Grund unserer ~3berlegungen w~ire dann zu erwarten, dass Strahlungsfelder dieselbe Wirkung haben *-). Mit einer Berechnung der zu erwartenden Effekte bin ich augenblicklich besch~iftigt. Weiterhin ware es vielleicht aufschlussreich, die Bedeutung einer *) In e i n e r b r i e f l i c h e n M i t t e i h m g wies m i c h H e r r J o r d a n eben/nlls a u f diese MSglichkeit.
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R. DE L. KRONIG, ZUR NEUTRINOTHEORIE DES LICHTES III
eventuellen Aquivalenz von Neutrino- und Strahlungsfeldern fiir astrophysikalische Erscheinungen zu verfolgen. Haben sich doch gerade in letzterer Zeit wiederum ernstliche Schwierigkeiten in der Theorie der Abkiihlung yon Sternen geltend gemacht 4). Schliesslich noch eine Frage von prinzipiellem Interesse. Im Anschluss an die Jordansche Arbeit (1.c.) haben wir das Strahlungsfeld einfach durch die skalaren Amplituden b, beschrieben. Man wird aber natiirlich in einer endgiiltigen Form der Theorie die Vektoren E und H des elektromagnetischen Feldes einfiihren und ihre Fourierkomponenten durch die der Neutrinowellen ausdriicken woUen. Versuche in dieser Richtung sind schon yon de Broglie in den eingangs erw~ihnten Arbeiten sowie von Wentzel 5) gemacht worden. Auch auf diese Frage hoffe ich noch zuriickzukommen. Eingegangen am 9. August 1935.
LITERATUR 1) R. d e L. K r o n i g . Physica 2, 491, 854, 1 9 3 5 ; i m F o l g e n d e n k u r z I u n d I I g e nannt. Gleichungen, die im vorliegenden Text wiederholt sind, tragen dieselbe Bezffferung wie dort. Neue Gleichungen sind fortlaufend numeriert. 2) L. d e B r o g l i e , C.R. Aead. Sci.,Paris, 195, 536, 577, 862, 1932; 197, 1377, 1933; 198, 135, 1934; 199, 445,1165,1934;L. d e B r o g l i e u n d J . W i n t e r , ebenda 199,813, 1934; P. J o r d a n , Z. Phys. 93, 464, 1935. 3) E. F e r m i , Z. Phys. 88, 161, 1934. 4) A.S. E d d i n g t o n , Month. Not. roy. astron. Soe. 95, 194, 1935;S. C h a n d r a s e k h a r, ebenda 95, 207, 1935. 5) G. W e n t z e l , Z. Phys. 92, 337, 1934.