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Algèbres de Jordan de rang 4 et représentations minimales
Advances in Mathematics 153, 155183 (2000) doi:10.1006aima.1999.1874, available online at http:www.idealibrary.com on
Algebres de Jordan de rang 4 et representations minimales Dehbia Achab Institut de Mathematiques, Case 82, Universite Pierre et Marie Curie, 4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France E-mail: achabmath.jussieu.fr Received June 15, 1999; accepted October 15, 1999
1. INTRODUCTION Soient G un groupe simple algebrique complexe connexe et simplement connexe, G R le groupe des points reels correspondant suppose non compact, K R le sous-groupe compact maximal de G R , g R et k R les algebres de Lie repectives de G R et K R et g, k leurs complexifiees. Soit g R =k R Äp R la decomposition de Cartan et g=k Äp sa complexifiee. Soit U (g) l'algebre enveloppante de g, S(g) son algebre symetrique. On montre que pour tout ideal primitif I de U (g), il existe une unique orbite adjointe nilpotente OI de g telle que V( grI)=OI ou grI/S(g) designe l'ideal gradue associe a I et V( grI) sa variete des zeros, c'est a dire V( grI)=[Y # g* | p(Y)=0, \p # grI] et ou l'on a identifie les orbites adjointes avec les orbites coadjointes via la forme de Killing. Soit ?: G R Ä U(H) une representation unitaire irreductible de G R . On note ?~: U (g) Ä End(H ) la representation de U (g) deduite de ? (ou H designe l'espace des vecteurs C ) et Ann?~ son annulateur. Soit O une orbite adjointe nilpotente de g. On dit que la representation ? est associee a l'orbite O, si O=OAnn?~ . On montre que si G R admet une representation unitaire irreductible associee a O, alors O & g R {<. La paire symetrique (g, k) est dite O-deployee si O & g R {<. 155 0001-870800 35.00 Copyright 2000 by Academic Press All rights of reproduction in any form reserved.
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Soit Omin l'orbite adjointe nilpotente minimale de g. S'il existe une representation unitaire irreductible de G R associee a Omin , elle est dite minimale. Dans les articles [B-K.1, B-K.2, et B-K.3], les auteurs ont construit un modele de representation minimale, dans le cas ou (g, k) est une paire symetrique complexe non hermitienne, Omin -deployee. c'est l'analogue du modele de Fock pour la representation de SegalShaleWeil. Dans le cas non hermitien, p est un K-module simple, Omin & g R :=OR est une G R -orbite, Omin & p :=Y est la K-orbite qui correspond a OR par la correspondance de KostantSekiguchi et c'est une variete conique. De plus, si h est une sous-algebre de Cartan de k, on peut choisir e, e # p, h # h tels que (h, e, e ) est un sl 2 -triplet et Y=K. e. Les valeurs propres de adh sont 0, \1, \2 et on a les decompositions correspondantes en espaces propres de k et p respectivement k=k &1 Ä k 0 Ä k 1 ,
p=p &2 Ä p &1 Ä p 0 Ä p 1 Ä p 2
avec p &2 =C . e,
p 2 =C . e.
Les algebres k 1 et k &1 sont abeliennes, dim k \1 =: n, ou dim C (Y )= dim C (Omin )=n+1. De plus, k \1 est la complexifiee d'une algebre de Jordan euclidienne J, de rang r 4 et de dimension n. Par ailleurs, si K 0 designe le sous-groupe analytique de K d'algebre de Lie k 0 , et si ? K : U (k) Ä End(p) designe l'action adjointe, on montre qu'il existe un K 0 -semi-invariant P # S 4 (k 1 ), (unique a un scalaire pres) tel que 1 2
? K (P)(C . e )=C . e. Il sort des travaux [B-K.2, B-K.3], qu'il existe une bijection entre l'ensemble des paires symetriques complexes non hermitiennes Omin -deployees (g, k) et l'ensemble des paires (J, P) ou J est une algebre de Jordan euclidienne de rang r 4 et P=2 |J11 } } } 2 |Jss ou J= si=1 J i est la decomposition de J en ideaux simples, (| 1 , ..., | s ) # N s tel que si=1 r i | i =4, r i et 2 Ji designant respectivement le rang et le polyno^me determinant de J i . D'ou l'idee de reconstruire un modele de representation minimale, en utilisant essentiellement, la theorie des algebres de Jordan. Ce qui fera l'objet de ce travail, dans le cas particulier d'une algebre de Jordan simple de rang 4, ce qui correspond par la bijection ci-dessus, aux paires (E 6 , sp(8, C)), (E 7 , sl(8, C)) et (E 8 , so(16, C)), selon que le degre d de J soit egal, respectivement a 1, 2 ou 4.
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Rappelons brievement les etapes de la construction de [B-K.2, et B-K.3]. On construit un espace H forme de sections holomorphes d'un certain fibre en droites sur la K-orbite Y (fibre de demi-formes sur Y). On fait agir k naturellement sur H et on obtient une decomposition en k-types H= p # N H p qui coincide avec la decomposition en espaces propres de H sous l'action de la derivee de Lie du champ d'Euler. L'application p Ä R1 (Y ), v [ f v ou f v ( y)=( v, y) g est un isomorphisme (ou R(Y ) designe l'algebre des fonctions regulieres sur Y et pour tout p # N, Rp (Y ) est la sous-algebre des fonctions regulieres p-homogenes et ou ( , ) g est la forme de Killing de g.) On montre qu'il existe une unique application K-lineaire injective p Ä D(H ) v [ Dv telle que De =
1 ? K (P) fe
(ou D(H ) designe l'algebre des operateurs differentiels algebriques sur H ). On fait agir les f # R(Y ) sur H par multiplication de sections par les fonctions regulieres et on a [ f v , f v$ ]=[D v , D v$ ]=0
(\v, v$ # p).
Pour des raisons techniques, on a tordu les operateurs differentiels D v en des operateurs T v et on pose \(v)= fv &T v et \(k)=action naturelle de k. On montre que \ est une representation irreductible de g R . On montre l'existence sur H d'un produit hermitien ;, K R invariant et verifiant ;( f v s, s$)=;(s, T v s$)
(\s, s$ # H, v # p)
et il s'en suit que ; est g R -invariant. Ainsi H est l'espace des vecteurs K R -finis d'une representation unitaire irreductible de G R ? 0 : G R Ä U(H) | H K R =H. On montre que ? 0 est une representation minimale.
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II. MODELE EXPLICITE Soit J une algebre de Jordan euclidienne simple de rang r=4, de dimension n, de degre d et d'element unite u. Soit V=J C la complexifiee de J, k=V ÄV g V Ä V l'algebre de KantorKoecherTits associee. Soit P=L _ N le produit semi-direct du groupe de structure L de V et du groupe N des translations { a : v [ v+a (v, a # V ). On note K le groupe engendre par P et la symetrie _(v)=&v &1
(v # I (V ))
ou I (V ) designe l'ensemble des elements inversibles de V. K est le groupe conforme de V, son algebre de Lie est isomorphe a k. Soit Y =KP la compactification conforme de V, 2 le polyno^me determinant de V et / le caractere de L determine par: 2(l. v)=/(l ) 2(v)
(l # L, v # V).
On note P(V ) l'espace des fonctions polynomiales holomorphes sur V et p/P(V ) le sous-espace de dimension finie engendre par les polyno^mes , a (v)=2(v&a)
(a, v # V ).
On montre que les constantes sont dans p. Considerons la representation ? de K dans p definie par: ?(g) ,(z)=:(g &1, z) ,( g &1z)
(g # K, , # p, z # V )
ou :(g, z)=/((Dg)(z)) &12. On a ?({ v ) ,(z)=,(z&v)
(v # V)
?(l ) ,(z)=/(l ) 12 ,(l &1z)
(l # L)
?(_) ,(z)=2(z) ,(&z &1 )
(z # I (V )).
On montre que ? est une representation irreductible du reve^tement universel K de K dans p (cf. [F-G]).
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II.1. La varie te Y Soient e=2 et Y/p la K-orbite de e sous l'action de ?. Le stabilisateur de e dans K s'ecrit P$=L$ _ _N_ ou L$=[l # L | /(l )=1] et l'on deduit que dim(Y)=n+1, de sorte que la variete projective associee a Y est isomorphe a la compactification conforme Y de V. De plus, la variete Y est conique car pour tout * # C*, il existe : # C* tel que *e=?(l : ) e, ou l : # L est l'homothetie de rapport :. Soit fe : p Ä C,
, [ coefficient de e dans ,
et notons Y%=[, # Y | f e (,){0] Y% est un ouvert Zariski-dense de Y et on montre que Y%=P.e (la P-orbite de e sous ?). Comme le stabilisateur de e dans P est egal a L$, alors Y%=P. e & L$"L _ N de sorte que les elements de Y% sont entierement decrits par l'action des homotheties et des translations sur e via ?. Par suite, on a le systeme de coordonnees locales suivant: 8 : C*_V Ä Y%,
(w, v) [ , (w, v)
ou , (w, v) (z)=w2(z&v). Soient O(C*_V) l'espace des fonctions holomorphes sur C*_V et O(Y%)=[ f : Y% Ä C | s= f b 8 # O(C*_V )]
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Pour tout s # O(C*_V ) et tout v # V, la fonction C* Ä C, w [ s(w, v) est holomorphe dans C*. Sa serie de Laurent dans C* s'ecrit s(w, v)= : , p (v) w p ,
, p # O(V ).
p#Z
Soit H= p # Z H p , ou Hp =
{
s p # O(C*_V )s p(w, v)=, p(v) w p, . , p # O(V ) et v [ 2(v) p , p(_(v)) # O(V )
=
De me^me, si on note H p (Y )=[ f # O(Y%) | s= f b 8 # H p ] alors H(Y )= H p (Y ). p#Z
II.2. L'action du champ d'Euler dans H et H(Y). La C*-action sur Y induit une action du champ d'Euler dans O(Y%) par: (E . f )(,)=
d d*
}
f (*,)
( f # O(Y%), , # Y%).
*=1
Pour s= f b 8 # O(C*_V ), on a (E . f ) b 8=E . s ou (E . s)(w, v)=
d d*
}
s(*w, v). *=1
Par suite, pour tout s p # H p , E . s p = ps p , de sorte que les decompositions H= p # Z H p et H(Y )= p # Z H p (Y ) coincident avec les decompositions en espaces propres de E et E respectivement, avec E |Hp = pId
et
E |Hp(Y) = pId.
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II.3. L'action de K, k dans H et H(Y ) K opere dans H(Y ) par (T( g) f )(,)= f (?(g) &1,)
( g # K, f # H(Y ), , # Y ),
et dans H par T( g) s=(T( g) f ) b 8,
s= f b 8, f # H(Y ), g # K
et, comme ?({ a ) , (w, v) =, (w, v+a)
(a # V )
?(l ) , (w, v) =, (/(l ) &12 w, lv) ,
l#L
?(_) , (w, v) =, (w2(v), &v &1 ) ,
v # I (V )
alors T({ a ) s(w, v)=s(w, v&a) T(l ) s(w, v)=s(/(l ) 12 w, l &1v) T(_) s(w, v)=s(w2(v), &v &1 ). L'algebre k opere dans H par derivation de l'action T. Lemme 1. Pour tout g # K, T( g) b E=E b T(g) et T( g) b E =E b T(g). Par suite, les espaces H p (Y) et H p sont K-invariants. Ce sont des K-modules simples. Corollaire 2. La decomposition H= p # N H p est a la fois une decomposition en K-types et une decomposition en espaces propres de E. II.4. L'action infinitesimale de k dans p (le crochet [k, p]). k opere dans p par la derivee d?. Pour X # k, , # p, on definit [X, ,]=?(_) b d?(X ) b ?(_) ,=&[,, X]. Rappelons que k=k &1 Ä k 0 Ä k 1
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avec k &1 &k 1 & V
k 0 & V g V& l
et
ou l est l'algebre de Lie de L. Notons l$ l'algebre de Lie de L$, alors l$"l est l'algebre de Lie du groupe des homotheties L$"L. Nous allons preciser, dans ce qui suit, les actions infinitesimales respectives de k 1 et l$"l dans p. (a) Action de k 1 . t # R. Alors, d?(X a ) ,(z)=
Soient a # V et X a # k 1 tel que exp(tX a )={ ta pour tout d d , ?({ ta ) ,(z)= ,(z&ta)= (z)(&a). dt |t=0 dt | t=0 v
Notons a v l'operateur p Ä p, , [ a , v tel que , a , (z)= (z)(&a) v v et, pour a=u l'element unite de l'algebre de Jordan V, on a donc d?(X u )=
u . v
La representation d?: k Ä End(p) s'etend en une representation, encore notee d? d?: U (k) Ä End(p). Soit P :=2(X u ) # S 4 (k 1 ). Alors d?(P)=2
u
\ v + .
Comme pour tout X 1 , X 2 , ..., X m # k et tout , # p [X 1 , [X 2 , ..., [X m , ,] ...]]=?(_) b d?(X 1 ) b d?(X 2 ) b ... d?(X m ) b ?(_) , alors, si ? K designe l'action adjointe (correspondant au crochet [k, p] tel qu'on l'a defini) ? K : U (k) Ä End(p)
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on obtient ? K (P) ,=?(_) 2
\ v+ ?(_) ,
et, en particulier, si e designe le polyno^me constant egal a 1 sur V, ? K (P) e =?(_) 2
?(_) e =?(_) 2 e=b(1) ?(_) e =b(1) e v v
\ +
\ +
ou b(1) est donne par l'identite de Bernstein 2
\ v+ 2 =b(:) 2 :
:&1
avec d d } } } :+(r&1) . 2 2
\ + \
b(:)=: :+
+
D'ou ? K (P)(C . e )=C . e. (b) Action infinitesimale des homotheties. Soient : # C, h : # l$"l | \t # R, exp(th : )=l e t: , ou l * designe l'homothetie de rapport *. Alors d?(h : ) ,(z)= =
d d ? l et: ,(z)= (e t:r2,(e &t:z) dt | t=0 dt | t=0
\
+
:r :r d ,(e &t:z)= ,(z)&:E ,(z) ,(z)+ 2 dt | t=0 2 %
ou E est l'operateur d'Euler sur V. % Ainsi, d?(h : )=:
r
\2 Id&E%+ .
II.5. L'action de p dans H. Notons e=2 et e =1. Soient f e , f e : p Ä C les formes lineaires determinees par f e (, (w, v) )=w,
f e (, (w, v) )=w2(v)
(pour , # p, f e (,) est le coefficient de e dans ,, f e (,) est le terme constant de ,).
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Soit D e : p Ä p defini par De =
d?(P) fe
c'est a dire, D e (, (w, v) )=
u 1 2 , w v (w, v)
\ +
et soit D e : p Ä p defini par D e =?(_) b D e b ?(_). On fait operer f e , f e , D e et D e dans H comme suit: pour tout s # H, (w, v) # C*_V, ( f e . s)(w, v)= f e (, (w, v) ) s(w, v)=ws(w, v) ( f e . s)(w, v)= f e (, (w, v) ) s(w, v)=w2(v) s(w, v) (D e . s)(w, v)=
1 s(w, v) 2 w v
\ +
(D e . s)(w, v)=T(_) b D e b T(_) s(w, v). Il s'agit maintenant de determiner la restriction de D e a H p . Notons, comme dans [F-K], D : :=2 1+:2
\ v+ 2
&:
et D _:( f ) :=D : ( f b _) b _. On montre que D _: =(&1) r D ;(:) ,
avec
n ;(:)= &1&:. r
Pour s(w, v)=,(v) w p, (D e . s)(w, v)=T(_) b D e b T(_) s(w, v)=D e b T(_) s(w2(v), &v &1 )
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or, 1 [w p2(v) p,(&v &1 )] 2 w v
\ + =2 \ v+ 2(v) ,(&v ) w = 2 2 2 \ \ v+ 2 [(, b _)]+ (v) w
D e b T (_) s(w, v)=
p
p&1
&1
1& p
p&1
p
p&1
=(2 p&1D & p (, b _))(v) w p&1 =2(v) p&1 (D ;(& p) ,) b _(v) w p&1. Donc (D e . s)(w, v)=2(v) 1& p (D ;(& p) ,)(v) w p&12(v) p&1 c'est a dire, pour tout s # H p , tel que s(w, v)=,(v) w p, (D e . s)(w, v)=(D ;(& p) ,)(v) w p&1 avec n d 3d ;(& p)= p+ &1= p+ (r&1)= p+ r 2 2 ou d=dim(V ij ) pour i{ j, les V ij sont les composantes de Pierce de V. Le lemme suivant se montre sans difficulte. Lemme 1.
[ f e , f e ]=[D e , D e ]=0. Par ailleurs, comme fe , f e : H p Ä H p+1
et D e , D e : H p Ä H p&1 alors, les quatre operateurs f e D e , D e f e , f e D e , D e f e laissent H p invariant. II.6. L'espace de Hilbert de la representation minimale: Pour tout p # N, on pose H p (V ) :=[, # O(V ) | &,& 2Hp(V ) :=
|
|,(z)| 2 2(u+z . z*) & p&1 dz< ] V
ou dz designe la mesure de Lebesgue, z* la matrice adjointe de z et z . z* le produit matriciel de z par z*=z t.
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C'est un espace hilbertien de dimension finie. Il est L-invariant et constitue de polyno^mes de degre inferieur ou egal a 4p+3. Soit Hp(V) le sous-espace ferme de H p(V), defini par Hp(V) :=[, # H p(V) | d %, 4p] ou d %, designe le degre de ,. Il est aussi L-invariant. De plus, conformement aux notations de [B-K], K 0 =L, et la decomposition en K 0 -composantes irreductibles de Hp (V ) s'ecrit: Hp (V )= Pm m # 5p
ou
5 p =[m =(m 1 , ..., m r ) # N r | p m 1 } } } m r ]. Pm est l'espace vectoriel engendre par les ?(l ) 2 m , avec l # L, ou
1 &m2 2 m2 &m3 } } } 2 mr 2 m =2 m 1 2 r
les 2 j etant les mineurs principaux de l'algebre de Jordan V. On deduit que pour tout p # N, Hp (V )/Hp+1 (V ). Soit maintenant Hp :=[s p # H p | s p (w, v)=, p (v) w p((w, v) # C*_V ), , p # Hp (V )]. Pour s p # Hp , on pose &s p & 2Hp :=&, p & 2Hp (V ) . Hp muni de cette norme est un espace de Hilbert. Soit k cR la forme reelle compacte de k. Rappelons brievement comment elle est construite. Soit K R le groupe conforme de l'algebre de Jordan J. C'est le groupe engendre par les translations { x avec x # J, le groupe de structure L R de J et la symetrie _. Soit k R son algebre de Lie. C'est la forme reelle deployee de k. Soit %: K R Ä K R ,
g [ _g_
l'involution de Cartan de K R . Soit K %R =[ g # K R | %( g)= g] et k %R son algebre de Lie. Alors k %R =[X # k R | d%(X )=X ].
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Soit k &% R =[X # k R | d%(X )=&X ] alors k R =k %R Äk &% R est une decomposition de Cartan de k R . L'algebre k cR definie par k cR :=k %R Ä ik &% R est la forme reelle compacte de k. Soit K cR le sous-groupe analytique de K d'algebre de Lie k cR . K cR est compact et K est son complexifie. Lemme 1. K cR opere unitairement dans Hp . Preuve. En effet, il s'agit de montrer que le produit scalaire ( . , .) Hp est k -invariant, c'est a dire, pour tout X # k %R et pour tout X # ik &% R , et pour tout s, s$ # Hp , c R
( dT (X ) s, s$) Hp =&(s, dT (X ) s$) Hp . Soit K(L R ) :=[l # L R | l*l=id ] le sous-groupe compact maximal de L R . (ou l* designe l'adjoint de l pour la forme (x | y)=tr(xy) dans J ). Le groupe K %R est engendre par _ et K(L R ). En effet, _ # K %R et, comme pour tout l # L R , _l_=l* &1, alors K(L R )/K %R . Par ailleurs, sachant que K R est engendre par L R , _ et les translations { a (avec a # J ), et comme L R =K(L R ) AK(L R ) ou A consiste en les homotheties l * (avec * # R), et vu le fait qu'une { a est dans K %R si et seulement si a=0 et que l * est dans K %R si et seulement si *=1, on deduit que K %R est engendre par _ et K(L R ). Par suite, pour montrer que l'action de K %R dans Hp est unitaire, il suffit de le montrer pour _ et K(L R ). De plus, <., .) Hp est ik &% R -invariant si et seulement si les homotheties l * avec * # S 1 operent unitairement. Soit donc s(w, v)=,(v) w p, avec , # Hp (V ). &T (_) s& 2Hp =
|
=
|
|,(v)| 2 |2(v)| &2p 2(u+v &1 . v &1 ) & p&1 |2(v)| &2 dv
|
|,(v)| 2 2(u+v. v ) & p&1 dv=&s& 2Hp .
|,(&v &1 )| 2 |2(v)| 2p 2(u+v . v ) & p&1 dv V
V
=
V
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De plus, pour tout l # K(L R ), on a |/(l )| =1 et 2(u+(lv) . (lv))=2(u+v . v ) et alors &T (l ) s& 2Hp =
|
=
|
|,(l &1v)| 2 2(u+v . v ) & p&1 dv V
|,(v)| 2 2(u+(lv) . (lv) & p&1 dv=&s& 2Hp .
V
Finalement, soit l * l'homothetie de V de rapport * # S 1, &T (l * ) s& 2Hp =
|
|,(* &1v)| 2 |*| pr 2(u+v . v ) & p&1 dv
=
|
|,(v)| 2 2(u+*v. *v ) & p&1 dv=&s& 2Hp . K
V
V
On se donne une suite (c p ) p # N de reels positifs (qu'on determinera ci-dessous) et on definit l'espace de Hilbert H par
{
=
H= s= : s p , s p # Hp | &s& 2H := : c p &s p & 2Hp( . p#N
p#N
L'action de K cR dans H demeure unitaire. Soient T e =D e A et T e =D e A ou A est un operateur diagonal H Ä H tel que sa restriction a H0 soit l'identite I et sa restriction a tout Hp pour p # N* soit 1d p . I, les constantes positives d p restant a determiner. On pose alors pour tout s # H, \(e)s= f e . s&T e . s et \(e ) . s= f e . s&T e . s. On choisit les constantes c p de sorte que \s, s$ # H,
( \(e) s+\(e ) s, s$) H =&( s, \(e) s+\(e ) s$) H
ce qui equivaut, gra^ce au fait que Hp soit othogonal a Hq pour tout p{q, a \s # Hp , \s$ # Hp+1 ,
( \(e) s+\(e ) s, s$) H =&( s, \(e)+\(e ) s$) H
c'est a dire, pour tout s # Hp , \s$ # Hp+1 , ( f e s, s$) H +( f e s, s$) H =( s, T e s$) H +( s, T e s$) H ou alors, par conjugaison ( s$, f e s) H +( s$, f e s) H =( T e s$, s) H +( T e s$, s) H
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ce qui s'ecrit aussi c p+1( s$, f e s) Hp+1 +c p+1( s$, f e s) Hp+1 =
cp cp ( D e s$, s) Hp + ( D e s$, s) Hp . d p+1 d p+1
Pour cela, il suffit d'avoir cp ( D e s$, s) Hp =c p+1( s$, f e s) Hp+1 d p+1 car cela impliquerait cp
( D e s$, s) Hp =
d p+1
=
cp d p+1
( T (_) D e T (_) s$, s) Hp
cp ( D e T (_) s$, T (_) s) Hp d p+1
=c p+1( T (_) s$, f e T (_) s) Hp+1 =c p+1( T (_) s$, T (_) f e s) Hp+1 =c p+1( s$, f e s) Hp+1 car f e T (_)=T (_) f e sur H. En effet, pour s(w, v)=,(v) w p, on a fe T (_) s(w, v)=2(v) ws(w2(v), &v &1 )=,(&v &1 ) 2(v) p+1w p+1 et T (_) f e s(w, v)= f e s(w2(v), &v &1 )=,(&v &1 ) 2(v) p+1w p+1. Il s'agit donc de determiner les constantes c p telles que pour tout s # Hp , s$ # Hp+1 , avec s(w, v)=,(v) w p et s$(w, v)=,$(v) w p cp d p+1
|
2 V
\ v+ ,$(v) ,(v) 2(u+vv)
=c p+1
|
& p&1
d*(v)
,$(v) ,(v) 2(v) 2(u+vv ) & p&2 d*(v)
V
c'est a dire, cp d p+1
|
V
2
\ v+ ,$,: d*(v)=c p
p+1
|
V
ou l'on a pose : p (v)=2(u+vv ) & p&1.
,$,2: p+1 d*(v)
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Or, par integration par parties et gra^ce a l'holomorphie de , et au fait que : p est nulle a l'infini (i.e. au bord de V ), on a
|
V
,$,: p d*(v)=& v
|
,$,
V
: d*(v) v p
donc, comme le degre de 2 est pair,
|
,$,: p d*(v)= v
\ +
2
V
|
,$,2
V
: p d*(v) v
\ +
et alors notre condition de recurrence sur les constantes c p s'ecrit cp d p+1
2
\ v+ : (v)=c p
p+1
2(v) : p+1 (v).
Or, 2
\ v+ : (v)=k 2(v) : p
p
p+1
avec k p =( p+1) 4.
(v),
On obtient donc cp k p =c p+1 d p+1
(\p # N)
ce qui entraine, en prenant c 0 =1, cp =
k 0 } } } k p&1 ( p !) 4 = . d1 } } } dp d1 } } } d p
Les constantes d p seront determinees dans le paragraphe suivant. II.7. Multiplicateurs de Capelli et le crochet [p, p]/k On veut definir le crochet [e, e ] de la maniere suivante: [e, e ]=h : # k ou h : # l$"l tel que exp(th : )=l et: pour tout t # R, avec : # C, et, l * designant l'homothetie de rapport *, pour * # C*, de sorte que \(e) \(e )&\(e ) \(e)=dT (h : ) puisqu'on devrait avoir sur g=k Äp une structure d'algebre de Lie et une representation ?~: g Ä End(H ) telle que ?~ |k =dT
et
?~ |p =\.
171
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
On cherche donc : # C tel que &f e T e &T e f e + f e T e +T e f e =dT (h : ).
(*)
Comme les operateurs de l'identite (*) sont T (L)-invariants, c'est a dire, commutent aux T (l ), (l # L), et ce, car D ; b ?(l )=?(l ) b D ;
\;, \l # L
) 2 &; ), et comme ils laissent les Hp invariants et que (ou D ; =2 1+;2( v Hp (V )= Pm , alors, ils sont determines par leurs valeurs sur les fonctions de la forme
s p, m (w, v)=2 m (v) w p.
Il suffira donc de calculer les valeurs propres. Commencons par calculer les operateurs f e D e , D e f e , f e D e , D e f e . Soit s p (w, v)=,(v) w p, on obtient: ( f e D e ) s p (w, v)=(D ;(& p) ,)(v) w p (D e f e ) s p (w, v)=(D &1 ,)(v) w p ( f e D e ) s p (w, v)=(D 0 ,)(v) w p (D e f e ) s p (w, v)=(D ;(& p&1) ,)(v) w p. Il s'agit donc de trouver : # C tel que pour tout p # N
\
&
1 1 1 D ;(& p) 2 m + & D &1 2 m + D 2 dp d p+1 d p 0 m
+ \
+
\d
1
+ \
+ \
D ;(& p&1) 2 m =: &p
p+1
+
r Id+E 2 m . 2 %
+
Or,
\
r
+
\
r
r
+
E 2m = : mi 2m= : *i + : \i 2m % i=1 i=1 i=1 ou m =*+\,
*=(* 1 , ..., * r ),
\=(\ 1 , ..., \ r ),
d \ i = (2i&r&1). 4
172
DEHBIA ACHAB
D'ou,
\
r
+
E 2m = : *i 2m % i=1 et r r dT (h : ) s p, m =: &p & : * i s p, m . 2 i=1
\
+
Par ailleurs, on sait que D + 2 *+\ =#(D + )(*) 2 *+\ avec r
#(D + )(*)= ` i=1
d
\* &++4 (r&1)+ , i
r=4.
On veut donc determiner : # C tel que pour un bon choix des constantes d p , on ait r r A+B+C+D=: &p & : * i 2 i=1
\
+
ou A=&
3d 1 4 ` * i & p& d p i=1 4
\ 4
1
+ 3d
\* +1+ 4 + d 1 3d C= ` *+ \ 4+ d 1 3d D= ` * & p&1& . \ d 4 + B=&
`
p+1
i
i=1
4
i
p i=1
4
i
p+1
i=1
On pose c i =* i +
3d 4
et
b p =;(& p)= p+
3d 2
173
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
alors, 1 4 A=& ` (b p &c i ) d p i=1 4 1 B=& ` (c i +1) d p+1 i=1
C=
D=
1 4 ` ci d p i=1 4
1 d p+1
` (b p +1&c i ). i=1
Par ailleurs, on a l'identite polynomiale suivante: Soient J(c i ; b) :=J(c 1 , c 2 , c 3 , c 4 ; b) :=
> 4i=1 c i (b+1) b
et c i$ =b&c i alors 4
&J(c i$; b)&J(c i +1; b+1)+J(c i ; b)+J(c i$ +1, b+1)=2b& : c i . i=1
Cela suggere donc de prendre d p =bp (b p +1) et alors pour c i$=bp &c i , on a A=&J(c i$; b p );
B=&J(c i +1; b p +1);
C=J(c i ; b p );
D=J(c i$ +1; b p +1)
par suite 4 4 4 r A+B+C+D=2b p & : c i =2p+3d& : * i &3d= p & : * i 2 i=1 i=1 i=1
et finalement, :=1. Notons h=h 1 . Alors [h, e]=2e
et
[h, e ]=&2e
174
DEHBIA ACHAB
en effet, d?(h) e(z)= =
d d (?(l et ) e(z)= /(l et ) 12 2(l et z) dt |t=0 dt |t=0 d e (r2) te &(rt) t 2(z)=22(z) dt |t=0
et d?(h) e(z)= =
d d (?(l et )) e(z)= /(l et ) 12 e(z) dt |t=0 dt |t=0 d dt |t=0
e &(r2) te(z)=&2e(z).
Par suite, [h, e]=?(_) d?(h) ?(_) e=?(_) d?(h) e =?(_)(2e )=2e et [h, e ]=?(_) d?(h) ?(_) e =?(_) d?(h) e=?(_)(&2e)=&2e. II.8. Structure d'alge bre de Lie sur g=kÄ p et la forme re elle g R Admettons qu'il existe sur g=kÄ p une structure d'algebre de Lie telle que, si [. , .] g designe le crochet de Lie de g, on ait: (i)
sa restriction [., .] g| k_k a k coincide avec le crochet [. , .] k de k.
(ii)
[e, e ] g =[e, e ]=h (defini precedemment).
(iii)
[X, ,] g =?(_) b d?(X ) b ?(_) ,=&[,, X] g \X # k, , # p.
Ainsi, (e, h, e ) est un sl 2 -triplet de g. Nous allons maintenant preciser la forme reelle g R de g dont il sera question. Soit {~ la conjugaison de k relativement a sa forme reelle compacte k cR . On note { l'automorphisme involutif correspondant K Ä K, determine par {(exp(tX ))=exp(t{~(X )) ce qui s'ecrit aussi d{={~.
\X # k, \t # R
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
175
Pour tout g # K, on note g { :={(g). On montre que pour tout g # K, si ?(g) e=e alors ?( g { ) e =e. Il existe une unique application R-lineair injective {p: p Ä p
(1)
telle que { p (?( g) e)=?( g { ) e
(\g # K).
(2)
Notons que ces relations impliquent que { p est antilineaire; il suffit de montrer que { p (ie)=&i{ p (e) et { p (ae)=a{ p (e)
(\a # R).
En effet, ie=?(l * ) e
avec * # C,
et
* &2 =i
par suite, l * # K cR et alors l {* =l * . Or, ?(l * ) e =* 2e =&ie d'ou { p (ie)={ p (?(l * ) e)=?(l * ) e =* 2e =&ie =&i{ p (e). Pour a>0, soit * # R tel que * &2 =a. Dans ce cas l {* =l &1 * =l * &1 et alors { p (ae)={ p (?(l * ) e)=?(l * &1 ) e =* &2e =ae =a{ p (e). Si a<0, a=i(ib) avec b>0 et { p (ae)=&i{ p (ibe)={ p (be)=b{ p (e). De plus, { p est involutive car { 2p (?(g) e)={ p (?( g {_) e)=?((g {_) { _) e=?( g_ au_) e=?(g) e. En particulier, { p (e)=e.
176
DEHBIA ACHAB
Soit p R :=[, # p | { p (,)=,]. Il est clair que e+e # p R et, on montre que p R est le R-espace vectoriel engendre par ?(K cR )(e+e ). Considerons la sous-algebre g R de g definie par g R :=k cR Äp R . Soit c: g Ä g l'application antilineaire et involutive definie par ses restrictions respectives a k et p par c |k ={~,
c |p ={ p .
Lemme 1. L'application c est une conjugaison de g. Par suite g R est une forme re elle de g. Preuve. En effet, il s'agit de montrer que pour tout X, Y # g, c([X, Y])=[c(X), c(Y)].
(*)
Comme c |k ={~ est une conjugaison de k, alors pour X, Y # k, la propriete (*) est vraie. Soient X # k, ,=?( g) e # p, avec g # K. Alors, comme _ # K cR , c([X, ,])=c(?(_) d?(X ) ?(_) ,)=c = =
d dt |t=0 d dt |t=0
\dt
d
?(_ exp(tX ) _) ,
|t=0
c(?(_ exp(tX ) _) ,)=
d dt |t=0
?(_ { (exp(tX )) { _ {g { ) e =
+
c(?(_ exp(tX ) _g) e)
d dt |t=0
?(_(exp(t{~(X))) _g { ) e
=?(_) d?({~(X )) ?(_) ?(g { ) e )=?(_) d?({~(X )) ?(_)(c(,)) =[{~(X), { p (,)]=[c(X), c(,]. Par ailleurs, rappelons que [e, e ]=h ou h # l$"l/k est determine par exp(th)=l et (ou l * designe l'homothetie de rapport *).
\t # R
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
177
Ceci implique que exp(&ith)=l eit pour t # R. Comme l eit # k cR , alors on deduit que h # ik cR et que c(h)={~(h)=&h. Par suite, c([e, e ])=c(h)=&h=[e, e]=[c(e), c(e )]. Finalement, on conclut, en utilisant le lemme 3.6. de [B-K.2], que pour tout , 1 , , 2 # p, c([, 1 , , 2 ])=[c(, 1 ), c(, 2 )]. Comme c est une conjugaison de g et g R =[X # g | c(X )=X], on deduit que g R est une forme reelle de g.
K
II.9. La representation minimale de g dans H. Pour tout , 0 # p, on definit pour p # N, f ,0 : Hp Ä Hp+1 tel que pour s(w, v)=,(v) w p, avec , # Hp(V), f ,0 . s(w, v)=?(_) , 0(v) ,(v) w p+1 et, par dualite, on definit D ,0 : Hp Ä Hp&1 par (D ,0 s, s$) H =( s, f {p,0 s$) H
(\s, s$ # H)
et on definit alors T ,0 :=D ,0 A. (On verifie facilement que pour , 0 =e ou e, ces operateurs coincident avec f e , f e , D e et D e .) On pose \: p Ä End(H), , 0 [ \(, 0 ) tel que \(, 0 ) s= f ,0 . s&T ,0 . s (\s # H). Proposition. Soit ?~: g Ä End(H) lineaire telle que ?~(X)=dT(X) et ?~(,)=\(,) (\X # k, , # p). Alors ?~ est une representation de l'algebre de Lie g dans H. Preuve. En effet, comme la restriction ?~ |k est une representation de l'algebre de Lie k dans H, et comme ?~([e, e ])=dT([e, e ])=[\(e), \(e )]=[?~(e), ?~(e )]. On deduit, gra^ce au lemme 3.6 de [B-K.2], que ?~ est une representation de l'algebre de Lie g. K
178
DEHBIA ACHAB
Lemme. Le produit scalaire de l'espace de Hilbert H est g R -invariant. Preuve. Il est deja k cR -invariant et aussi \(e+e )-invariant. De plus, p R est le R-espace vectoriel engendre par ?(K cR )(e+e ). Il s'agit donc de montrer que pour tout g # K cR et pour tout s # Hp , s$ # Hp+1 , ( \(?(g)(e+e )) s, s$) H =&(s, \(?( g)(e+e )) s$) H c'est a dire ( f ?( g)(e+e ) s, s$) H &( T ?( g)(e+e ) s, s$) H =&( s, f ?( g)(e+e ) s$) H &( s, T ?( g)(e+e ) s$) H . Or f ?( g) e =T( g
&1
) f e T( g) et D ?( g) e =T( g &1 ) D e T( g) (\g # K cR ).
Par suite, pour g # K cR , on a ( f ?( g)(e+e ) s, s$) H &( T ?( g)(e+e ) s, s$) H =(T ( g &1 ) f e+e T (g) s, s$) H &( T ( g &1 ) T e+e T (g) s, s$) H =( f e+e T ( g) s, T ( g) s$) H &( T e+e T ( g) s, T ( g) s$) H =(\(e+e ) T (g) s, T (g) s$) H =&( T (g) s, \(e+e ) T (g) s$) H =&( T (g) s, f e+e T (g) s$) H +( T (g) s, T e+e T (g) s$) H =&( s, T ( g &1 ) f e+e T ( g) s$) H +( s, T ( g &1 ) T e+e T (g) s$) H =&( s, f ?( g)(e+e ) s$) H +( s, T ?(g)(e+e) s$) H . K II.10. Valeurs propres de ad(h) et decompositions de k et p (a) Decomposition de k. champs de vecteurs
On sait que k est l'algebre de Lie formee des !(z)=v+Tz&P (z) u
avec u, v # V, T # l et ou P designe la representation quadratique de l'algebre de Jordan V. De sorte que k=V Ä l ÄV. Pour tout v # V/k et t # R, exp(th) v=l et v=e tv donc [h, v] k = ou [. , .] k designe le crochet dans k.
d dt |t=0
e tv=v
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
179
Par ailleurs, en identifiant V au sous-espace de p forme des polyno^mes homogenes de degre 1 et en considerant que h # k et que v # p, on a aussi [h, v] k, p =?(_) d?(h) ?(_) v=?(_) d?(h)(&2(v) v &1 ) =?(_)(2(v) v &1 )=2(v) 2(v &1 ) v =v, ou [. , .] k , p designe le crochet [k, p] que nous avons defini dans une section precedente. Il est normal que nous obtenions le me^me resultat, car les deux crochets [. , .] k et [. , .] k , p proviennent tous les deux de celui de g. Ainsi, le premier V dans la decomposition de k est l'espace propre associe a la valeur propre 1 de ad(h ) ou h = &h. On le note k 1 . Comme exp(th)=l et # L et que pour tout l # L, l et l=ll et , alors pour tout T # l, [h, T] k =0. Ainsi l correspond a la valeur propre 0 de ad h et de ad(h ). On le note k 0 . Comme l e &t _=_l et pour tout t # R, et comme la differentielle de l'application v [ _(v) en u # V est D_ (x) u=&P (x) &1u alors [h, P (x) u] k =P (x)(&[h, u] k )=P (x)(&u)=&P (x) u donc le deuxieme V dans la decomposition de k correspond a la valeur propre &1 de ad h donc a la valeur propre 1 de ad(h ). On le note k &1 . Ainsi, la decomposition en espaces propres de k sous l'action de ad(h ) s'ecrit: k=V Äl Ä V=k 1 Ä k 0 Ä k &1 (ou chaque indice est egal a la valeur propre correspondante). (b) De composition de p.
Remarquons d'abord que p=H1 (V).
En effet, il est clair que p/H1 (V ) car p contient tous les polyno^mes homogenes de degre inferieur ou egal a 4. Par ailleurs, la decomposition de H1 (V ) en composantes L-irreductibles s'ecrit H1 (V)=P(0, 0, 0, 0) Ä P(1, 0, 0, 0) Ä P(1, 1, 0, 0) Ä P(1, 1, 1, 0) Ä P(1, 1, 1, 1) ou P(1, 1, 1, 1) =C . e P(0, 0, 0, 0) =C . e
180
DEHBIA ACHAB
et ou P(1, 0, 0, 0) , P(1, 1, 0, 0) et P(1, 1, 1, 0) sont respectivement engendres, comme L-modules, par les mineurs 2 1 , 2 2 et 2 3 . Comme le K-module p contient e, e, 2 1 , 2 2 et 2 3 , alors il contient H1 (V). On sait deja que [h, e]=2e
et
[h, e ]=&2e.
De plus, d?(h) 2 1 (z)= = d?(h) 2 3 (z)=
d d ?(l e t ) 2 1 (z)= e 2t2 1 (e &tz) dt |t=0 dt |t=0 d e t2 1 (z)=2 1 (z) dt |t=0 d d e 2t2 3 (e &tz)= e &t2 3 (z)=&2 3 (z) dt |t=0 dt |t=0
et d?(h) 2 2 (z)=
d dt |t=0
e 2t2 2 (e &tz)=
d dt |t=0
2 2 (z)=0.
Par suite, comme 2 1 2 3 =2 ce qui signifie 2 3 =&?(_) 2 1 alors, [h, 2 1 ]=?(_) d?(h) ?(_) 2 1 =?(_) d?(h)(&2 3 ) =&?(_) d?(h) 2 3 =?(_) 2 3 =&2 1 [h, 2 3 ]=?(_) d?(h) ?(_) 2 3 =?(_) d?(h)(&2 1 ) =&?(_) d?(h) 2 1 =&?(_) 2 1 =2 3 et [h, 2 2 ]=0.
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
181
Comme pour tout t # R, exp(th) commute avec tous les l # L, on obtient p &2 =C . e p 2 =C . e p &1 =P(1, 1, 1, 0) p 1 =P(1, 0, 0, 0) p 0 =P(1, 1, 0, 0) ou la notation p j signifie espaces propre correspondant a la valeur propre j de ad h. Remarque. Comme 2 1 est un polyno^me holomorphe homogene de degre 1 sur V, alors il s'identifie canoniquement a un element de V, d'ou un isomorphisme canonique entre V et p 1 . De plus, l'application p &1 Ä p 1 ,
, [ &?(_) ,
est un isomorphisme canonique entre p &1 et p 1 . II.11. Conclusion Admettons qu'il existe sur g=kÄ p une structure d'algebre de Lie telle qu'elle est decrite dans le paragraphe precedent et notons G le groupe adjoint de g. Soit G R le sous-groupe de Lie de G, d'algebre de Lie g R . Alors K cR est un sous-groupe compact maximal de G R , la decomposition g R =k cR Ä p R est la decomposition de Cartan correspondante de g R et g=k Äp est sa complexifiee. Dans ce cas, p est un K-module simple, donc la paire (g, k) n'est pas hermitienne. De plus, par construction, l'element h de k est semisimple et le sl 2 -triplet (h, e, e ) verifie les conditions de Sekiguchi h # i k cR ,
e # p,
e # p,
de sorte que la variete Y=K.e est l'orbite des vecteurs de plus haut poids de la representation adjointe de g. C'est donc la K-orbite dans p qui correspond a la G R -orbite nilpotente minimale OR dans g R par la correspondance de KostantSekiguchi, c'est a dire que si Omin designe l'orbite nilpotente minimale de g, alors Omin & p=Y et Omin & g R =OR . Ceci implique aussi que la paire symetrique (g, k) est Omin -deployee. D'autre part, on a bien les decompositions propres sous adh k=k &1 Ä k 0 Ä k 1 et p=p &2 Ä p &1 Ä p 0 Ä p 1 Ä p 2 .
182
DEHBIA ACHAB
Les algebres k 1 et k &1 sont isomorphes a V, donc abeliennes de dimension n=dim(V ) et l'on a bien vu que dim C (Y)=n+1. De plus, k &1 est par construction la complexifiee de l'algebre de Jordan euclidienne J de rang r=4. Le groupe de structure L=K 0 de V est d'algebre de Lie l=k 0 et si on note ? K l'action adjointe de k dans p, c'est a dire la representation ? K : U (k) Ä End(p) alors le polyno^me homogene de degre 4 P=2(X u ) # S 4 (V)=S 4 (k 1 ) ou u est l'element neutre de V et X u est l'element de V tel que exp(tX u )={ tu pour tout t # R ({ a designant la translation de V de vecteur a), est bien un K 0 -semi-invariant et l'on a bien ? K (C. e )=C . e. On deduit donc, conformement aux resultats de [B-K.2, B-K.3], que la paire symetrique Omin -deployee (g, k) est exactement celle qui correspond a la paire (J, P). Par suite, l'algebre de Lie g est de type E 6 , E 7 , ou E 8 , selon que le degre d de V soit egal respectivement a 1, 2 ou 4. Ceci donne, entre autre, une description de ces algebres de Lie exceptionnelles, en termes d'algebres de Jordan et de leurs algebres conformes. De plus, la representation ?~, construite dans la section II.9., est necessairement la representation minimale, c'est a dire associee a l'orbite nilpotente minimale. On peut donc enoncer le theoreme suivant: (les notations etant les me^mes que dans tout ce qui precede) Theoreme 7. Soit G R un groupe de Lie exceptionnel de type E 6 , E 7 ou E 8 . La representation minimale ? 0 de G R se realise dans l'espace de Hilbert
{
}
H= s # O(C*_V ), s= : s p &s& 2 := : c p &s p & 2 < p#N
p#N
=
ou s p (w, v)=, p (v) w p,
, p # O(V),
v [ 2(v) p , p(_(v)) # O(V)
et &s p & 2 =
|
|, p (v)| 2 2(u+v . v*) & p&1 dv<
V
et ou V est l'algebre de Jordan V=k &1 , d son degre et 2 son polyno^me determinant. La representation infinitesimale associee a ? 0 est d? 0 =?~ (cf. II.9).
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
183
REFERENCES [B-K.1] R. Brylinski et B. Kostant, Differential operators on conical Lagrangian manifolds, in ``Lie Theory and Geometry, in Honor of B. Kostant'' (J-L. Brylinski, R. Brylinski, V. Guillemin, and V. Kac, Eds.), Progr. in Math., Vol. 123, pp. 6594, Birkhauser, Boston, 1994. [B-K.2] R. Brylinski et B. Kostant, Lagrangian models of minimal representations of E 6 , E 7 , and E8 , in ``Functional Analysis on the Ere of the 21th Century: Festschrift in Honor of the Eightieth Birthday of I. M. Gelfand,'' Progr. Math., Vol. 131, pp. 1363, Birkhauser, Boston, 1995. [B-K.3] R. Brylinski et B. Kostant, Geometric quantization and holomorphic half-form models of unitary minimal representation, I, preprint, 1996. [F-G] J. Faraut et S. Gindikin, Pseudo-Hermitian symmetric spaces of tube type, in ``Topics in Geometry, in Memory of J. D'Atri,'' pp. 123154, Birkhauser, Basel, 1996. [F-K] J. Faraut et A. Korany, ``Analysis on Symmetric Cones,'' Oxford Science Publications, 1994.
Printed in Belgium
Algebres de Jordan de rang 4 et representations minimales Dehbia Achab Institut de Mathematiques, Case 82, Universite Pierre et Marie Curie, 4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France E-mail: achabmath.jussieu.fr Received June 15, 1999; accepted October 15, 1999
1. INTRODUCTION Soient G un groupe simple algebrique complexe connexe et simplement connexe, G R le groupe des points reels correspondant suppose non compact, K R le sous-groupe compact maximal de G R , g R et k R les algebres de Lie repectives de G R et K R et g, k leurs complexifiees. Soit g R =k R Äp R la decomposition de Cartan et g=k Äp sa complexifiee. Soit U (g) l'algebre enveloppante de g, S(g) son algebre symetrique. On montre que pour tout ideal primitif I de U (g), il existe une unique orbite adjointe nilpotente OI de g telle que V( grI)=OI ou grI/S(g) designe l'ideal gradue associe a I et V( grI) sa variete des zeros, c'est a dire V( grI)=[Y # g* | p(Y)=0, \p # grI] et ou l'on a identifie les orbites adjointes avec les orbites coadjointes via la forme de Killing. Soit ?: G R Ä U(H) une representation unitaire irreductible de G R . On note ?~: U (g) Ä End(H ) la representation de U (g) deduite de ? (ou H designe l'espace des vecteurs C ) et Ann?~ son annulateur. Soit O une orbite adjointe nilpotente de g. On dit que la representation ? est associee a l'orbite O, si O=OAnn?~ . On montre que si G R admet une representation unitaire irreductible associee a O, alors O & g R {<. La paire symetrique (g, k) est dite O-deployee si O & g R {<. 155 0001-870800 35.00 Copyright 2000 by Academic Press All rights of reproduction in any form reserved.
156
DEHBIA ACHAB
Soit Omin l'orbite adjointe nilpotente minimale de g. S'il existe une representation unitaire irreductible de G R associee a Omin , elle est dite minimale. Dans les articles [B-K.1, B-K.2, et B-K.3], les auteurs ont construit un modele de representation minimale, dans le cas ou (g, k) est une paire symetrique complexe non hermitienne, Omin -deployee. c'est l'analogue du modele de Fock pour la representation de SegalShaleWeil. Dans le cas non hermitien, p est un K-module simple, Omin & g R :=OR est une G R -orbite, Omin & p :=Y est la K-orbite qui correspond a OR par la correspondance de KostantSekiguchi et c'est une variete conique. De plus, si h est une sous-algebre de Cartan de k, on peut choisir e, e # p, h # h tels que (h, e, e ) est un sl 2 -triplet et Y=K. e. Les valeurs propres de adh sont 0, \1, \2 et on a les decompositions correspondantes en espaces propres de k et p respectivement k=k &1 Ä k 0 Ä k 1 ,
p=p &2 Ä p &1 Ä p 0 Ä p 1 Ä p 2
avec p &2 =C . e,
p 2 =C . e.
Les algebres k 1 et k &1 sont abeliennes, dim k \1 =: n, ou dim C (Y )= dim C (Omin )=n+1. De plus, k \1 est la complexifiee d'une algebre de Jordan euclidienne J, de rang r 4 et de dimension n. Par ailleurs, si K 0 designe le sous-groupe analytique de K d'algebre de Lie k 0 , et si ? K : U (k) Ä End(p) designe l'action adjointe, on montre qu'il existe un K 0 -semi-invariant P # S 4 (k 1 ), (unique a un scalaire pres) tel que 1 2
? K (P)(C . e )=C . e. Il sort des travaux [B-K.2, B-K.3], qu'il existe une bijection entre l'ensemble des paires symetriques complexes non hermitiennes Omin -deployees (g, k) et l'ensemble des paires (J, P) ou J est une algebre de Jordan euclidienne de rang r 4 et P=2 |J11 } } } 2 |Jss ou J= si=1 J i est la decomposition de J en ideaux simples, (| 1 , ..., | s ) # N s tel que si=1 r i | i =4, r i et 2 Ji designant respectivement le rang et le polyno^me determinant de J i . D'ou l'idee de reconstruire un modele de representation minimale, en utilisant essentiellement, la theorie des algebres de Jordan. Ce qui fera l'objet de ce travail, dans le cas particulier d'une algebre de Jordan simple de rang 4, ce qui correspond par la bijection ci-dessus, aux paires (E 6 , sp(8, C)), (E 7 , sl(8, C)) et (E 8 , so(16, C)), selon que le degre d de J soit egal, respectivement a 1, 2 ou 4.
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
157
Rappelons brievement les etapes de la construction de [B-K.2, et B-K.3]. On construit un espace H forme de sections holomorphes d'un certain fibre en droites sur la K-orbite Y (fibre de demi-formes sur Y). On fait agir k naturellement sur H et on obtient une decomposition en k-types H= p # N H p qui coincide avec la decomposition en espaces propres de H sous l'action de la derivee de Lie du champ d'Euler. L'application p Ä R1 (Y ), v [ f v ou f v ( y)=( v, y) g est un isomorphisme (ou R(Y ) designe l'algebre des fonctions regulieres sur Y et pour tout p # N, Rp (Y ) est la sous-algebre des fonctions regulieres p-homogenes et ou ( , ) g est la forme de Killing de g.) On montre qu'il existe une unique application K-lineaire injective p Ä D(H ) v [ Dv telle que De =
1 ? K (P) fe
(ou D(H ) designe l'algebre des operateurs differentiels algebriques sur H ). On fait agir les f # R(Y ) sur H par multiplication de sections par les fonctions regulieres et on a [ f v , f v$ ]=[D v , D v$ ]=0
(\v, v$ # p).
Pour des raisons techniques, on a tordu les operateurs differentiels D v en des operateurs T v et on pose \(v)= fv &T v et \(k)=action naturelle de k. On montre que \ est une representation irreductible de g R . On montre l'existence sur H d'un produit hermitien ;, K R invariant et verifiant ;( f v s, s$)=;(s, T v s$)
(\s, s$ # H, v # p)
et il s'en suit que ; est g R -invariant. Ainsi H est l'espace des vecteurs K R -finis d'une representation unitaire irreductible de G R ? 0 : G R Ä U(H) | H K R =H. On montre que ? 0 est une representation minimale.
158
DEHBIA ACHAB
II. MODELE EXPLICITE Soit J une algebre de Jordan euclidienne simple de rang r=4, de dimension n, de degre d et d'element unite u. Soit V=J C la complexifiee de J, k=V ÄV g V Ä V l'algebre de KantorKoecherTits associee. Soit P=L _ N le produit semi-direct du groupe de structure L de V et du groupe N des translations { a : v [ v+a (v, a # V ). On note K le groupe engendre par P et la symetrie _(v)=&v &1
(v # I (V ))
ou I (V ) designe l'ensemble des elements inversibles de V. K est le groupe conforme de V, son algebre de Lie est isomorphe a k. Soit Y =KP la compactification conforme de V, 2 le polyno^me determinant de V et / le caractere de L determine par: 2(l. v)=/(l ) 2(v)
(l # L, v # V).
On note P(V ) l'espace des fonctions polynomiales holomorphes sur V et p/P(V ) le sous-espace de dimension finie engendre par les polyno^mes , a (v)=2(v&a)
(a, v # V ).
On montre que les constantes sont dans p. Considerons la representation ? de K dans p definie par: ?(g) ,(z)=:(g &1, z) ,( g &1z)
(g # K, , # p, z # V )
ou :(g, z)=/((Dg)(z)) &12. On a ?({ v ) ,(z)=,(z&v)
(v # V)
?(l ) ,(z)=/(l ) 12 ,(l &1z)
(l # L)
?(_) ,(z)=2(z) ,(&z &1 )
(z # I (V )).
On montre que ? est une representation irreductible du reve^tement universel K de K dans p (cf. [F-G]).
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
159
II.1. La varie te Y Soient e=2 et Y/p la K-orbite de e sous l'action de ?. Le stabilisateur de e dans K s'ecrit P$=L$ _ _N_ ou L$=[l # L | /(l )=1] et l'on deduit que dim(Y)=n+1, de sorte que la variete projective associee a Y est isomorphe a la compactification conforme Y de V. De plus, la variete Y est conique car pour tout * # C*, il existe : # C* tel que *e=?(l : ) e, ou l : # L est l'homothetie de rapport :. Soit fe : p Ä C,
, [ coefficient de e dans ,
et notons Y%=[, # Y | f e (,){0] Y% est un ouvert Zariski-dense de Y et on montre que Y%=P.e (la P-orbite de e sous ?). Comme le stabilisateur de e dans P est egal a L$, alors Y%=P. e & L$"L _ N de sorte que les elements de Y% sont entierement decrits par l'action des homotheties et des translations sur e via ?. Par suite, on a le systeme de coordonnees locales suivant: 8 : C*_V Ä Y%,
(w, v) [ , (w, v)
ou , (w, v) (z)=w2(z&v). Soient O(C*_V) l'espace des fonctions holomorphes sur C*_V et O(Y%)=[ f : Y% Ä C | s= f b 8 # O(C*_V )]
160
DEHBIA ACHAB
Pour tout s # O(C*_V ) et tout v # V, la fonction C* Ä C, w [ s(w, v) est holomorphe dans C*. Sa serie de Laurent dans C* s'ecrit s(w, v)= : , p (v) w p ,
, p # O(V ).
p#Z
Soit H= p # Z H p , ou Hp =
{
s p # O(C*_V )s p(w, v)=, p(v) w p, . , p # O(V ) et v [ 2(v) p , p(_(v)) # O(V )
=
De me^me, si on note H p (Y )=[ f # O(Y%) | s= f b 8 # H p ] alors H(Y )= H p (Y ). p#Z
II.2. L'action du champ d'Euler dans H et H(Y). La C*-action sur Y induit une action du champ d'Euler dans O(Y%) par: (E . f )(,)=
d d*
}
f (*,)
( f # O(Y%), , # Y%).
*=1
Pour s= f b 8 # O(C*_V ), on a (E . f ) b 8=E . s ou (E . s)(w, v)=
d d*
}
s(*w, v). *=1
Par suite, pour tout s p # H p , E . s p = ps p , de sorte que les decompositions H= p # Z H p et H(Y )= p # Z H p (Y ) coincident avec les decompositions en espaces propres de E et E respectivement, avec E |Hp = pId
et
E |Hp(Y) = pId.
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
161
II.3. L'action de K, k dans H et H(Y ) K opere dans H(Y ) par (T( g) f )(,)= f (?(g) &1,)
( g # K, f # H(Y ), , # Y ),
et dans H par T( g) s=(T( g) f ) b 8,
s= f b 8, f # H(Y ), g # K
et, comme ?({ a ) , (w, v) =, (w, v+a)
(a # V )
?(l ) , (w, v) =, (/(l ) &12 w, lv) ,
l#L
?(_) , (w, v) =, (w2(v), &v &1 ) ,
v # I (V )
alors T({ a ) s(w, v)=s(w, v&a) T(l ) s(w, v)=s(/(l ) 12 w, l &1v) T(_) s(w, v)=s(w2(v), &v &1 ). L'algebre k opere dans H par derivation de l'action T. Lemme 1. Pour tout g # K, T( g) b E=E b T(g) et T( g) b E =E b T(g). Par suite, les espaces H p (Y) et H p sont K-invariants. Ce sont des K-modules simples. Corollaire 2. La decomposition H= p # N H p est a la fois une decomposition en K-types et une decomposition en espaces propres de E. II.4. L'action infinitesimale de k dans p (le crochet [k, p]). k opere dans p par la derivee d?. Pour X # k, , # p, on definit [X, ,]=?(_) b d?(X ) b ?(_) ,=&[,, X]. Rappelons que k=k &1 Ä k 0 Ä k 1
162
DEHBIA ACHAB
avec k &1 &k 1 & V
k 0 & V g V& l
et
ou l est l'algebre de Lie de L. Notons l$ l'algebre de Lie de L$, alors l$"l est l'algebre de Lie du groupe des homotheties L$"L. Nous allons preciser, dans ce qui suit, les actions infinitesimales respectives de k 1 et l$"l dans p. (a) Action de k 1 . t # R. Alors, d?(X a ) ,(z)=
Soient a # V et X a # k 1 tel que exp(tX a )={ ta pour tout d d , ?({ ta ) ,(z)= ,(z&ta)= (z)(&a). dt |t=0 dt | t=0 v
Notons a v l'operateur p Ä p, , [ a , v tel que , a , (z)= (z)(&a) v v et, pour a=u l'element unite de l'algebre de Jordan V, on a donc d?(X u )=
u . v
La representation d?: k Ä End(p) s'etend en une representation, encore notee d? d?: U (k) Ä End(p). Soit P :=2(X u ) # S 4 (k 1 ). Alors d?(P)=2
u
\ v + .
Comme pour tout X 1 , X 2 , ..., X m # k et tout , # p [X 1 , [X 2 , ..., [X m , ,] ...]]=?(_) b d?(X 1 ) b d?(X 2 ) b ... d?(X m ) b ?(_) , alors, si ? K designe l'action adjointe (correspondant au crochet [k, p] tel qu'on l'a defini) ? K : U (k) Ä End(p)
163
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
on obtient ? K (P) ,=?(_) 2
\ v+ ?(_) ,
et, en particulier, si e designe le polyno^me constant egal a 1 sur V, ? K (P) e =?(_) 2
?(_) e =?(_) 2 e=b(1) ?(_) e =b(1) e v v
\ +
\ +
ou b(1) est donne par l'identite de Bernstein 2
\ v+ 2 =b(:) 2 :
:&1
avec d d } } } :+(r&1) . 2 2
\ + \
b(:)=: :+
+
D'ou ? K (P)(C . e )=C . e. (b) Action infinitesimale des homotheties. Soient : # C, h : # l$"l | \t # R, exp(th : )=l e t: , ou l * designe l'homothetie de rapport *. Alors d?(h : ) ,(z)= =
d d ? l et: ,(z)= (e t:r2,(e &t:z) dt | t=0 dt | t=0
\
+
:r :r d ,(e &t:z)= ,(z)&:E ,(z) ,(z)+ 2 dt | t=0 2 %
ou E est l'operateur d'Euler sur V. % Ainsi, d?(h : )=:
r
\2 Id&E%+ .
II.5. L'action de p dans H. Notons e=2 et e =1. Soient f e , f e : p Ä C les formes lineaires determinees par f e (, (w, v) )=w,
f e (, (w, v) )=w2(v)
(pour , # p, f e (,) est le coefficient de e dans ,, f e (,) est le terme constant de ,).
164
DEHBIA ACHAB
Soit D e : p Ä p defini par De =
d?(P) fe
c'est a dire, D e (, (w, v) )=
u 1 2 , w v (w, v)
\ +
et soit D e : p Ä p defini par D e =?(_) b D e b ?(_). On fait operer f e , f e , D e et D e dans H comme suit: pour tout s # H, (w, v) # C*_V, ( f e . s)(w, v)= f e (, (w, v) ) s(w, v)=ws(w, v) ( f e . s)(w, v)= f e (, (w, v) ) s(w, v)=w2(v) s(w, v) (D e . s)(w, v)=
1 s(w, v) 2 w v
\ +
(D e . s)(w, v)=T(_) b D e b T(_) s(w, v). Il s'agit maintenant de determiner la restriction de D e a H p . Notons, comme dans [F-K], D : :=2 1+:2
\ v+ 2
&:
et D _:( f ) :=D : ( f b _) b _. On montre que D _: =(&1) r D ;(:) ,
avec
n ;(:)= &1&:. r
Pour s(w, v)=,(v) w p, (D e . s)(w, v)=T(_) b D e b T(_) s(w, v)=D e b T(_) s(w2(v), &v &1 )
165
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
or, 1 [w p2(v) p,(&v &1 )] 2 w v
\ + =2 \ v+ 2(v) ,(&v ) w = 2 2 2 \ \ v+ 2 [(, b _)]+ (v) w
D e b T (_) s(w, v)=
p
p&1
&1
1& p
p&1
p
p&1
=(2 p&1D & p (, b _))(v) w p&1 =2(v) p&1 (D ;(& p) ,) b _(v) w p&1. Donc (D e . s)(w, v)=2(v) 1& p (D ;(& p) ,)(v) w p&12(v) p&1 c'est a dire, pour tout s # H p , tel que s(w, v)=,(v) w p, (D e . s)(w, v)=(D ;(& p) ,)(v) w p&1 avec n d 3d ;(& p)= p+ &1= p+ (r&1)= p+ r 2 2 ou d=dim(V ij ) pour i{ j, les V ij sont les composantes de Pierce de V. Le lemme suivant se montre sans difficulte. Lemme 1.
[ f e , f e ]=[D e , D e ]=0. Par ailleurs, comme fe , f e : H p Ä H p+1
et D e , D e : H p Ä H p&1 alors, les quatre operateurs f e D e , D e f e , f e D e , D e f e laissent H p invariant. II.6. L'espace de Hilbert de la representation minimale: Pour tout p # N, on pose H p (V ) :=[, # O(V ) | &,& 2Hp(V ) :=
|
|,(z)| 2 2(u+z . z*) & p&1 dz< ] V
ou dz designe la mesure de Lebesgue, z* la matrice adjointe de z et z . z* le produit matriciel de z par z*=z t.
166
DEHBIA ACHAB
C'est un espace hilbertien de dimension finie. Il est L-invariant et constitue de polyno^mes de degre inferieur ou egal a 4p+3. Soit Hp(V) le sous-espace ferme de H p(V), defini par Hp(V) :=[, # H p(V) | d %, 4p] ou d %, designe le degre de ,. Il est aussi L-invariant. De plus, conformement aux notations de [B-K], K 0 =L, et la decomposition en K 0 -composantes irreductibles de Hp (V ) s'ecrit: Hp (V )= Pm m # 5p
ou
5 p =[m =(m 1 , ..., m r ) # N r | p m 1 } } } m r ]. Pm est l'espace vectoriel engendre par les ?(l ) 2 m , avec l # L, ou
1 &m2 2 m2 &m3 } } } 2 mr 2 m =2 m 1 2 r
les 2 j etant les mineurs principaux de l'algebre de Jordan V. On deduit que pour tout p # N, Hp (V )/Hp+1 (V ). Soit maintenant Hp :=[s p # H p | s p (w, v)=, p (v) w p((w, v) # C*_V ), , p # Hp (V )]. Pour s p # Hp , on pose &s p & 2Hp :=&, p & 2Hp (V ) . Hp muni de cette norme est un espace de Hilbert. Soit k cR la forme reelle compacte de k. Rappelons brievement comment elle est construite. Soit K R le groupe conforme de l'algebre de Jordan J. C'est le groupe engendre par les translations { x avec x # J, le groupe de structure L R de J et la symetrie _. Soit k R son algebre de Lie. C'est la forme reelle deployee de k. Soit %: K R Ä K R ,
g [ _g_
l'involution de Cartan de K R . Soit K %R =[ g # K R | %( g)= g] et k %R son algebre de Lie. Alors k %R =[X # k R | d%(X )=X ].
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
167
Soit k &% R =[X # k R | d%(X )=&X ] alors k R =k %R Äk &% R est une decomposition de Cartan de k R . L'algebre k cR definie par k cR :=k %R Ä ik &% R est la forme reelle compacte de k. Soit K cR le sous-groupe analytique de K d'algebre de Lie k cR . K cR est compact et K est son complexifie. Lemme 1. K cR opere unitairement dans Hp . Preuve. En effet, il s'agit de montrer que le produit scalaire ( . , .) Hp est k -invariant, c'est a dire, pour tout X # k %R et pour tout X # ik &% R , et pour tout s, s$ # Hp , c R
( dT (X ) s, s$) Hp =&(s, dT (X ) s$) Hp . Soit K(L R ) :=[l # L R | l*l=id ] le sous-groupe compact maximal de L R . (ou l* designe l'adjoint de l pour la forme (x | y)=tr(xy) dans J ). Le groupe K %R est engendre par _ et K(L R ). En effet, _ # K %R et, comme pour tout l # L R , _l_=l* &1, alors K(L R )/K %R . Par ailleurs, sachant que K R est engendre par L R , _ et les translations { a (avec a # J ), et comme L R =K(L R ) AK(L R ) ou A consiste en les homotheties l * (avec * # R), et vu le fait qu'une { a est dans K %R si et seulement si a=0 et que l * est dans K %R si et seulement si *=1, on deduit que K %R est engendre par _ et K(L R ). Par suite, pour montrer que l'action de K %R dans Hp est unitaire, il suffit de le montrer pour _ et K(L R ). De plus, <., .) Hp est ik &% R -invariant si et seulement si les homotheties l * avec * # S 1 operent unitairement. Soit donc s(w, v)=,(v) w p, avec , # Hp (V ). &T (_) s& 2Hp =
|
=
|
|,(v)| 2 |2(v)| &2p 2(u+v &1 . v &1 ) & p&1 |2(v)| &2 dv
|
|,(v)| 2 2(u+v. v ) & p&1 dv=&s& 2Hp .
|,(&v &1 )| 2 |2(v)| 2p 2(u+v . v ) & p&1 dv V
V
=
V
168
DEHBIA ACHAB
De plus, pour tout l # K(L R ), on a |/(l )| =1 et 2(u+(lv) . (lv))=2(u+v . v ) et alors &T (l ) s& 2Hp =
|
=
|
|,(l &1v)| 2 2(u+v . v ) & p&1 dv V
|,(v)| 2 2(u+(lv) . (lv) & p&1 dv=&s& 2Hp .
V
Finalement, soit l * l'homothetie de V de rapport * # S 1, &T (l * ) s& 2Hp =
|
|,(* &1v)| 2 |*| pr 2(u+v . v ) & p&1 dv
=
|
|,(v)| 2 2(u+*v. *v ) & p&1 dv=&s& 2Hp . K
V
V
On se donne une suite (c p ) p # N de reels positifs (qu'on determinera ci-dessous) et on definit l'espace de Hilbert H par
{
=
H= s= : s p , s p # Hp | &s& 2H := : c p &s p & 2Hp( . p#N
p#N
L'action de K cR dans H demeure unitaire. Soient T e =D e A et T e =D e A ou A est un operateur diagonal H Ä H tel que sa restriction a H0 soit l'identite I et sa restriction a tout Hp pour p # N* soit 1d p . I, les constantes positives d p restant a determiner. On pose alors pour tout s # H, \(e)s= f e . s&T e . s et \(e ) . s= f e . s&T e . s. On choisit les constantes c p de sorte que \s, s$ # H,
( \(e) s+\(e ) s, s$) H =&( s, \(e) s+\(e ) s$) H
ce qui equivaut, gra^ce au fait que Hp soit othogonal a Hq pour tout p{q, a \s # Hp , \s$ # Hp+1 ,
( \(e) s+\(e ) s, s$) H =&( s, \(e)+\(e ) s$) H
c'est a dire, pour tout s # Hp , \s$ # Hp+1 , ( f e s, s$) H +( f e s, s$) H =( s, T e s$) H +( s, T e s$) H ou alors, par conjugaison ( s$, f e s) H +( s$, f e s) H =( T e s$, s) H +( T e s$, s) H
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
169
ce qui s'ecrit aussi c p+1( s$, f e s) Hp+1 +c p+1( s$, f e s) Hp+1 =
cp cp ( D e s$, s) Hp + ( D e s$, s) Hp . d p+1 d p+1
Pour cela, il suffit d'avoir cp ( D e s$, s) Hp =c p+1( s$, f e s) Hp+1 d p+1 car cela impliquerait cp
( D e s$, s) Hp =
d p+1
=
cp d p+1
( T (_) D e T (_) s$, s) Hp
cp ( D e T (_) s$, T (_) s) Hp d p+1
=c p+1( T (_) s$, f e T (_) s) Hp+1 =c p+1( T (_) s$, T (_) f e s) Hp+1 =c p+1( s$, f e s) Hp+1 car f e T (_)=T (_) f e sur H. En effet, pour s(w, v)=,(v) w p, on a fe T (_) s(w, v)=2(v) ws(w2(v), &v &1 )=,(&v &1 ) 2(v) p+1w p+1 et T (_) f e s(w, v)= f e s(w2(v), &v &1 )=,(&v &1 ) 2(v) p+1w p+1. Il s'agit donc de determiner les constantes c p telles que pour tout s # Hp , s$ # Hp+1 , avec s(w, v)=,(v) w p et s$(w, v)=,$(v) w p cp d p+1
|
2 V
\ v+ ,$(v) ,(v) 2(u+vv)
=c p+1
|
& p&1
d*(v)
,$(v) ,(v) 2(v) 2(u+vv ) & p&2 d*(v)
V
c'est a dire, cp d p+1
|
V
2
\ v+ ,$,: d*(v)=c p
p+1
|
V
ou l'on a pose : p (v)=2(u+vv ) & p&1.
,$,2: p+1 d*(v)
170
DEHBIA ACHAB
Or, par integration par parties et gra^ce a l'holomorphie de , et au fait que : p est nulle a l'infini (i.e. au bord de V ), on a
|
V
,$,: p d*(v)=& v
|
,$,
V
: d*(v) v p
donc, comme le degre de 2 est pair,
|
,$,: p d*(v)= v
\ +
2
V
|
,$,2
V
: p d*(v) v
\ +
et alors notre condition de recurrence sur les constantes c p s'ecrit cp d p+1
2
\ v+ : (v)=c p
p+1
2(v) : p+1 (v).
Or, 2
\ v+ : (v)=k 2(v) : p
p
p+1
avec k p =( p+1) 4.
(v),
On obtient donc cp k p =c p+1 d p+1
(\p # N)
ce qui entraine, en prenant c 0 =1, cp =
k 0 } } } k p&1 ( p !) 4 = . d1 } } } dp d1 } } } d p
Les constantes d p seront determinees dans le paragraphe suivant. II.7. Multiplicateurs de Capelli et le crochet [p, p]/k On veut definir le crochet [e, e ] de la maniere suivante: [e, e ]=h : # k ou h : # l$"l tel que exp(th : )=l et: pour tout t # R, avec : # C, et, l * designant l'homothetie de rapport *, pour * # C*, de sorte que \(e) \(e )&\(e ) \(e)=dT (h : ) puisqu'on devrait avoir sur g=k Äp une structure d'algebre de Lie et une representation ?~: g Ä End(H ) telle que ?~ |k =dT
et
?~ |p =\.
171
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
On cherche donc : # C tel que &f e T e &T e f e + f e T e +T e f e =dT (h : ).
(*)
Comme les operateurs de l'identite (*) sont T (L)-invariants, c'est a dire, commutent aux T (l ), (l # L), et ce, car D ; b ?(l )=?(l ) b D ;
\;, \l # L
) 2 &; ), et comme ils laissent les Hp invariants et que (ou D ; =2 1+;2( v Hp (V )= Pm , alors, ils sont determines par leurs valeurs sur les fonctions de la forme
s p, m (w, v)=2 m (v) w p.
Il suffira donc de calculer les valeurs propres. Commencons par calculer les operateurs f e D e , D e f e , f e D e , D e f e . Soit s p (w, v)=,(v) w p, on obtient: ( f e D e ) s p (w, v)=(D ;(& p) ,)(v) w p (D e f e ) s p (w, v)=(D &1 ,)(v) w p ( f e D e ) s p (w, v)=(D 0 ,)(v) w p (D e f e ) s p (w, v)=(D ;(& p&1) ,)(v) w p. Il s'agit donc de trouver : # C tel que pour tout p # N
\
&
1 1 1 D ;(& p) 2 m + & D &1 2 m + D 2 dp d p+1 d p 0 m
+ \
+
\d
1
+ \
+ \
D ;(& p&1) 2 m =: &p
p+1
+
r Id+E 2 m . 2 %
+
Or,
\
r
+
\
r
r
+
E 2m = : mi 2m= : *i + : \i 2m % i=1 i=1 i=1 ou m =*+\,
*=(* 1 , ..., * r ),
\=(\ 1 , ..., \ r ),
d \ i = (2i&r&1). 4
172
DEHBIA ACHAB
D'ou,
\
r
+
E 2m = : *i 2m % i=1 et r r dT (h : ) s p, m =: &p & : * i s p, m . 2 i=1
\
+
Par ailleurs, on sait que D + 2 *+\ =#(D + )(*) 2 *+\ avec r
#(D + )(*)= ` i=1
d
\* &++4 (r&1)+ , i
r=4.
On veut donc determiner : # C tel que pour un bon choix des constantes d p , on ait r r A+B+C+D=: &p & : * i 2 i=1
\
+
ou A=&
3d 1 4 ` * i & p& d p i=1 4
\ 4
1
+ 3d
\* +1+ 4 + d 1 3d C= ` *+ \ 4+ d 1 3d D= ` * & p&1& . \ d 4 + B=&
`
p+1
i
i=1
4
i
p i=1
4
i
p+1
i=1
On pose c i =* i +
3d 4
et
b p =;(& p)= p+
3d 2
173
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
alors, 1 4 A=& ` (b p &c i ) d p i=1 4 1 B=& ` (c i +1) d p+1 i=1
C=
D=
1 4 ` ci d p i=1 4
1 d p+1
` (b p +1&c i ). i=1
Par ailleurs, on a l'identite polynomiale suivante: Soient J(c i ; b) :=J(c 1 , c 2 , c 3 , c 4 ; b) :=
> 4i=1 c i (b+1) b
et c i$ =b&c i alors 4
&J(c i$; b)&J(c i +1; b+1)+J(c i ; b)+J(c i$ +1, b+1)=2b& : c i . i=1
Cela suggere donc de prendre d p =bp (b p +1) et alors pour c i$=bp &c i , on a A=&J(c i$; b p );
B=&J(c i +1; b p +1);
C=J(c i ; b p );
D=J(c i$ +1; b p +1)
par suite 4 4 4 r A+B+C+D=2b p & : c i =2p+3d& : * i &3d= p & : * i 2 i=1 i=1 i=1
et finalement, :=1. Notons h=h 1 . Alors [h, e]=2e
et
[h, e ]=&2e
174
DEHBIA ACHAB
en effet, d?(h) e(z)= =
d d (?(l et ) e(z)= /(l et ) 12 2(l et z) dt |t=0 dt |t=0 d e (r2) te &(rt) t 2(z)=22(z) dt |t=0
et d?(h) e(z)= =
d d (?(l et )) e(z)= /(l et ) 12 e(z) dt |t=0 dt |t=0 d dt |t=0
e &(r2) te(z)=&2e(z).
Par suite, [h, e]=?(_) d?(h) ?(_) e=?(_) d?(h) e =?(_)(2e )=2e et [h, e ]=?(_) d?(h) ?(_) e =?(_) d?(h) e=?(_)(&2e)=&2e. II.8. Structure d'alge bre de Lie sur g=kÄ p et la forme re elle g R Admettons qu'il existe sur g=kÄ p une structure d'algebre de Lie telle que, si [. , .] g designe le crochet de Lie de g, on ait: (i)
sa restriction [., .] g| k_k a k coincide avec le crochet [. , .] k de k.
(ii)
[e, e ] g =[e, e ]=h (defini precedemment).
(iii)
[X, ,] g =?(_) b d?(X ) b ?(_) ,=&[,, X] g \X # k, , # p.
Ainsi, (e, h, e ) est un sl 2 -triplet de g. Nous allons maintenant preciser la forme reelle g R de g dont il sera question. Soit {~ la conjugaison de k relativement a sa forme reelle compacte k cR . On note { l'automorphisme involutif correspondant K Ä K, determine par {(exp(tX ))=exp(t{~(X )) ce qui s'ecrit aussi d{={~.
\X # k, \t # R
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
175
Pour tout g # K, on note g { :={(g). On montre que pour tout g # K, si ?(g) e=e alors ?( g { ) e =e. Il existe une unique application R-lineair injective {p: p Ä p
(1)
telle que { p (?( g) e)=?( g { ) e
(\g # K).
(2)
Notons que ces relations impliquent que { p est antilineaire; il suffit de montrer que { p (ie)=&i{ p (e) et { p (ae)=a{ p (e)
(\a # R).
En effet, ie=?(l * ) e
avec * # C,
et
* &2 =i
par suite, l * # K cR et alors l {* =l * . Or, ?(l * ) e =* 2e =&ie d'ou { p (ie)={ p (?(l * ) e)=?(l * ) e =* 2e =&ie =&i{ p (e). Pour a>0, soit * # R tel que * &2 =a. Dans ce cas l {* =l &1 * =l * &1 et alors { p (ae)={ p (?(l * ) e)=?(l * &1 ) e =* &2e =ae =a{ p (e). Si a<0, a=i(ib) avec b>0 et { p (ae)=&i{ p (ibe)={ p (be)=b{ p (e). De plus, { p est involutive car { 2p (?(g) e)={ p (?( g {_) e)=?((g {_) { _) e=?( g_ au_) e=?(g) e. En particulier, { p (e)=e.
176
DEHBIA ACHAB
Soit p R :=[, # p | { p (,)=,]. Il est clair que e+e # p R et, on montre que p R est le R-espace vectoriel engendre par ?(K cR )(e+e ). Considerons la sous-algebre g R de g definie par g R :=k cR Äp R . Soit c: g Ä g l'application antilineaire et involutive definie par ses restrictions respectives a k et p par c |k ={~,
c |p ={ p .
Lemme 1. L'application c est une conjugaison de g. Par suite g R est une forme re elle de g. Preuve. En effet, il s'agit de montrer que pour tout X, Y # g, c([X, Y])=[c(X), c(Y)].
(*)
Comme c |k ={~ est une conjugaison de k, alors pour X, Y # k, la propriete (*) est vraie. Soient X # k, ,=?( g) e # p, avec g # K. Alors, comme _ # K cR , c([X, ,])=c(?(_) d?(X ) ?(_) ,)=c = =
d dt |t=0 d dt |t=0
\dt
d
?(_ exp(tX ) _) ,
|t=0
c(?(_ exp(tX ) _) ,)=
d dt |t=0
?(_ { (exp(tX )) { _ {g { ) e =
+
c(?(_ exp(tX ) _g) e)
d dt |t=0
?(_(exp(t{~(X))) _g { ) e
=?(_) d?({~(X )) ?(_) ?(g { ) e )=?(_) d?({~(X )) ?(_)(c(,)) =[{~(X), { p (,)]=[c(X), c(,]. Par ailleurs, rappelons que [e, e ]=h ou h # l$"l/k est determine par exp(th)=l et (ou l * designe l'homothetie de rapport *).
\t # R
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177
Ceci implique que exp(&ith)=l eit pour t # R. Comme l eit # k cR , alors on deduit que h # ik cR et que c(h)={~(h)=&h. Par suite, c([e, e ])=c(h)=&h=[e, e]=[c(e), c(e )]. Finalement, on conclut, en utilisant le lemme 3.6. de [B-K.2], que pour tout , 1 , , 2 # p, c([, 1 , , 2 ])=[c(, 1 ), c(, 2 )]. Comme c est une conjugaison de g et g R =[X # g | c(X )=X], on deduit que g R est une forme reelle de g.
K
II.9. La representation minimale de g dans H. Pour tout , 0 # p, on definit pour p # N, f ,0 : Hp Ä Hp+1 tel que pour s(w, v)=,(v) w p, avec , # Hp(V), f ,0 . s(w, v)=?(_) , 0(v) ,(v) w p+1 et, par dualite, on definit D ,0 : Hp Ä Hp&1 par (D ,0 s, s$) H =( s, f {p,0 s$) H
(\s, s$ # H)
et on definit alors T ,0 :=D ,0 A. (On verifie facilement que pour , 0 =e ou e, ces operateurs coincident avec f e , f e , D e et D e .) On pose \: p Ä End(H), , 0 [ \(, 0 ) tel que \(, 0 ) s= f ,0 . s&T ,0 . s (\s # H). Proposition. Soit ?~: g Ä End(H) lineaire telle que ?~(X)=dT(X) et ?~(,)=\(,) (\X # k, , # p). Alors ?~ est une representation de l'algebre de Lie g dans H. Preuve. En effet, comme la restriction ?~ |k est une representation de l'algebre de Lie k dans H, et comme ?~([e, e ])=dT([e, e ])=[\(e), \(e )]=[?~(e), ?~(e )]. On deduit, gra^ce au lemme 3.6 de [B-K.2], que ?~ est une representation de l'algebre de Lie g. K
178
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Lemme. Le produit scalaire de l'espace de Hilbert H est g R -invariant. Preuve. Il est deja k cR -invariant et aussi \(e+e )-invariant. De plus, p R est le R-espace vectoriel engendre par ?(K cR )(e+e ). Il s'agit donc de montrer que pour tout g # K cR et pour tout s # Hp , s$ # Hp+1 , ( \(?(g)(e+e )) s, s$) H =&(s, \(?( g)(e+e )) s$) H c'est a dire ( f ?( g)(e+e ) s, s$) H &( T ?( g)(e+e ) s, s$) H =&( s, f ?( g)(e+e ) s$) H &( s, T ?( g)(e+e ) s$) H . Or f ?( g) e =T( g
&1
) f e T( g) et D ?( g) e =T( g &1 ) D e T( g) (\g # K cR ).
Par suite, pour g # K cR , on a ( f ?( g)(e+e ) s, s$) H &( T ?( g)(e+e ) s, s$) H =(T ( g &1 ) f e+e T (g) s, s$) H &( T ( g &1 ) T e+e T (g) s, s$) H =( f e+e T ( g) s, T ( g) s$) H &( T e+e T ( g) s, T ( g) s$) H =(\(e+e ) T (g) s, T (g) s$) H =&( T (g) s, \(e+e ) T (g) s$) H =&( T (g) s, f e+e T (g) s$) H +( T (g) s, T e+e T (g) s$) H =&( s, T ( g &1 ) f e+e T ( g) s$) H +( s, T ( g &1 ) T e+e T (g) s$) H =&( s, f ?( g)(e+e ) s$) H +( s, T ?(g)(e+e) s$) H . K II.10. Valeurs propres de ad(h) et decompositions de k et p (a) Decomposition de k. champs de vecteurs
On sait que k est l'algebre de Lie formee des !(z)=v+Tz&P (z) u
avec u, v # V, T # l et ou P designe la representation quadratique de l'algebre de Jordan V. De sorte que k=V Ä l ÄV. Pour tout v # V/k et t # R, exp(th) v=l et v=e tv donc [h, v] k = ou [. , .] k designe le crochet dans k.
d dt |t=0
e tv=v
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
179
Par ailleurs, en identifiant V au sous-espace de p forme des polyno^mes homogenes de degre 1 et en considerant que h # k et que v # p, on a aussi [h, v] k, p =?(_) d?(h) ?(_) v=?(_) d?(h)(&2(v) v &1 ) =?(_)(2(v) v &1 )=2(v) 2(v &1 ) v =v, ou [. , .] k , p designe le crochet [k, p] que nous avons defini dans une section precedente. Il est normal que nous obtenions le me^me resultat, car les deux crochets [. , .] k et [. , .] k , p proviennent tous les deux de celui de g. Ainsi, le premier V dans la decomposition de k est l'espace propre associe a la valeur propre 1 de ad(h ) ou h = &h. On le note k 1 . Comme exp(th)=l et # L et que pour tout l # L, l et l=ll et , alors pour tout T # l, [h, T] k =0. Ainsi l correspond a la valeur propre 0 de ad h et de ad(h ). On le note k 0 . Comme l e &t _=_l et pour tout t # R, et comme la differentielle de l'application v [ _(v) en u # V est D_ (x) u=&P (x) &1u alors [h, P (x) u] k =P (x)(&[h, u] k )=P (x)(&u)=&P (x) u donc le deuxieme V dans la decomposition de k correspond a la valeur propre &1 de ad h donc a la valeur propre 1 de ad(h ). On le note k &1 . Ainsi, la decomposition en espaces propres de k sous l'action de ad(h ) s'ecrit: k=V Äl Ä V=k 1 Ä k 0 Ä k &1 (ou chaque indice est egal a la valeur propre correspondante). (b) De composition de p.
Remarquons d'abord que p=H1 (V).
En effet, il est clair que p/H1 (V ) car p contient tous les polyno^mes homogenes de degre inferieur ou egal a 4. Par ailleurs, la decomposition de H1 (V ) en composantes L-irreductibles s'ecrit H1 (V)=P(0, 0, 0, 0) Ä P(1, 0, 0, 0) Ä P(1, 1, 0, 0) Ä P(1, 1, 1, 0) Ä P(1, 1, 1, 1) ou P(1, 1, 1, 1) =C . e P(0, 0, 0, 0) =C . e
180
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et ou P(1, 0, 0, 0) , P(1, 1, 0, 0) et P(1, 1, 1, 0) sont respectivement engendres, comme L-modules, par les mineurs 2 1 , 2 2 et 2 3 . Comme le K-module p contient e, e, 2 1 , 2 2 et 2 3 , alors il contient H1 (V). On sait deja que [h, e]=2e
et
[h, e ]=&2e.
De plus, d?(h) 2 1 (z)= = d?(h) 2 3 (z)=
d d ?(l e t ) 2 1 (z)= e 2t2 1 (e &tz) dt |t=0 dt |t=0 d e t2 1 (z)=2 1 (z) dt |t=0 d d e 2t2 3 (e &tz)= e &t2 3 (z)=&2 3 (z) dt |t=0 dt |t=0
et d?(h) 2 2 (z)=
d dt |t=0
e 2t2 2 (e &tz)=
d dt |t=0
2 2 (z)=0.
Par suite, comme 2 1 2 3 =2 ce qui signifie 2 3 =&?(_) 2 1 alors, [h, 2 1 ]=?(_) d?(h) ?(_) 2 1 =?(_) d?(h)(&2 3 ) =&?(_) d?(h) 2 3 =?(_) 2 3 =&2 1 [h, 2 3 ]=?(_) d?(h) ?(_) 2 3 =?(_) d?(h)(&2 1 ) =&?(_) d?(h) 2 1 =&?(_) 2 1 =2 3 et [h, 2 2 ]=0.
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
181
Comme pour tout t # R, exp(th) commute avec tous les l # L, on obtient p &2 =C . e p 2 =C . e p &1 =P(1, 1, 1, 0) p 1 =P(1, 0, 0, 0) p 0 =P(1, 1, 0, 0) ou la notation p j signifie espaces propre correspondant a la valeur propre j de ad h. Remarque. Comme 2 1 est un polyno^me holomorphe homogene de degre 1 sur V, alors il s'identifie canoniquement a un element de V, d'ou un isomorphisme canonique entre V et p 1 . De plus, l'application p &1 Ä p 1 ,
, [ &?(_) ,
est un isomorphisme canonique entre p &1 et p 1 . II.11. Conclusion Admettons qu'il existe sur g=kÄ p une structure d'algebre de Lie telle qu'elle est decrite dans le paragraphe precedent et notons G le groupe adjoint de g. Soit G R le sous-groupe de Lie de G, d'algebre de Lie g R . Alors K cR est un sous-groupe compact maximal de G R , la decomposition g R =k cR Ä p R est la decomposition de Cartan correspondante de g R et g=k Äp est sa complexifiee. Dans ce cas, p est un K-module simple, donc la paire (g, k) n'est pas hermitienne. De plus, par construction, l'element h de k est semisimple et le sl 2 -triplet (h, e, e ) verifie les conditions de Sekiguchi h # i k cR ,
e # p,
e # p,
de sorte que la variete Y=K.e est l'orbite des vecteurs de plus haut poids de la representation adjointe de g. C'est donc la K-orbite dans p qui correspond a la G R -orbite nilpotente minimale OR dans g R par la correspondance de KostantSekiguchi, c'est a dire que si Omin designe l'orbite nilpotente minimale de g, alors Omin & p=Y et Omin & g R =OR . Ceci implique aussi que la paire symetrique (g, k) est Omin -deployee. D'autre part, on a bien les decompositions propres sous adh k=k &1 Ä k 0 Ä k 1 et p=p &2 Ä p &1 Ä p 0 Ä p 1 Ä p 2 .
182
DEHBIA ACHAB
Les algebres k 1 et k &1 sont isomorphes a V, donc abeliennes de dimension n=dim(V ) et l'on a bien vu que dim C (Y)=n+1. De plus, k &1 est par construction la complexifiee de l'algebre de Jordan euclidienne J de rang r=4. Le groupe de structure L=K 0 de V est d'algebre de Lie l=k 0 et si on note ? K l'action adjointe de k dans p, c'est a dire la representation ? K : U (k) Ä End(p) alors le polyno^me homogene de degre 4 P=2(X u ) # S 4 (V)=S 4 (k 1 ) ou u est l'element neutre de V et X u est l'element de V tel que exp(tX u )={ tu pour tout t # R ({ a designant la translation de V de vecteur a), est bien un K 0 -semi-invariant et l'on a bien ? K (C. e )=C . e. On deduit donc, conformement aux resultats de [B-K.2, B-K.3], que la paire symetrique Omin -deployee (g, k) est exactement celle qui correspond a la paire (J, P). Par suite, l'algebre de Lie g est de type E 6 , E 7 , ou E 8 , selon que le degre d de V soit egal respectivement a 1, 2 ou 4. Ceci donne, entre autre, une description de ces algebres de Lie exceptionnelles, en termes d'algebres de Jordan et de leurs algebres conformes. De plus, la representation ?~, construite dans la section II.9., est necessairement la representation minimale, c'est a dire associee a l'orbite nilpotente minimale. On peut donc enoncer le theoreme suivant: (les notations etant les me^mes que dans tout ce qui precede) Theoreme 7. Soit G R un groupe de Lie exceptionnel de type E 6 , E 7 ou E 8 . La representation minimale ? 0 de G R se realise dans l'espace de Hilbert
{
}
H= s # O(C*_V ), s= : s p &s& 2 := : c p &s p & 2 < p#N
p#N
=
ou s p (w, v)=, p (v) w p,
, p # O(V),
v [ 2(v) p , p(_(v)) # O(V)
et &s p & 2 =
|
|, p (v)| 2 2(u+v . v*) & p&1 dv<
V
et ou V est l'algebre de Jordan V=k &1 , d son degre et 2 son polyno^me determinant. La representation infinitesimale associee a ? 0 est d? 0 =?~ (cf. II.9).
ALGEBRES DE JORDAN DE RANG 4
183
REFERENCES [B-K.1] R. Brylinski et B. Kostant, Differential operators on conical Lagrangian manifolds, in ``Lie Theory and Geometry, in Honor of B. Kostant'' (J-L. Brylinski, R. Brylinski, V. Guillemin, and V. Kac, Eds.), Progr. in Math., Vol. 123, pp. 6594, Birkhauser, Boston, 1994. [B-K.2] R. Brylinski et B. Kostant, Lagrangian models of minimal representations of E 6 , E 7 , and E8 , in ``Functional Analysis on the Ere of the 21th Century: Festschrift in Honor of the Eightieth Birthday of I. M. Gelfand,'' Progr. Math., Vol. 131, pp. 1363, Birkhauser, Boston, 1995. [B-K.3] R. Brylinski et B. Kostant, Geometric quantization and holomorphic half-form models of unitary minimal representation, I, preprint, 1996. [F-G] J. Faraut et S. Gindikin, Pseudo-Hermitian symmetric spaces of tube type, in ``Topics in Geometry, in Memory of J. D'Atri,'' pp. 123154, Birkhauser, Basel, 1996. [F-K] J. Faraut et A. Korany, ``Analysis on Symmetric Cones,'' Oxford Science Publications, 1994.
Printed in Belgium