- Email: [email protected]
Analyse de la réduction passive de la traînée laminaire
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, S&ie II b, p. 449-456, Mkanique des fluides/Fluid mechanics
1999
Analyse de la reduction de la tra’inke laminaire Jo61 DESSOLIN,
Emmanuel
BESSIkRE,
lnstitut de mkcanique des fluides harbonne, 31062 Toulouse: cedex, E-mail : [email protected] (Rep
de Toulouse, France
Jacques UMR
passive
MAUSS CNRS
5502,
universiti:
Paul-Sabativr.
118,
route
de
le 9 novembre1998,accept&apresrevision le 11janvier 1999)
R&urn&
On proposeici l’analyse theoriquedu modeleen multicouchedecrivant I’influence d’une sCriede perturbationsgComCtriques sur un Ccoulementde couchelimite. Cette etudetrouve sonoriginalit et soninter&tdansI’utilisation de developpements asymptotiquesnon reguliersau second ordre et en doubleCchellelongitudinale.A partir du problemecanonique de couche interne, on caractkrise Cgalement I’influence de ces perturbateurs sur la reduction passive de trainee laminaire. 0 Acadkmie des sciences/Elsevier, Paris couche limite / trainke non rCguliers
Passive Abstract.
laminar
laminaire
/ triple
couche / dheloppements
asymptotiques
drag reduction
A theoretical multi-layer model is used to describe the inj?uence of wall perturbations on the boundary layer jfow. The origina& and interest of the method lies in the use oj non-regular second-order asymptotic expansions arising from the presence of MO longitudinal length scales. From the lower deck canonical problem, the injluence of uull perturbations on laminar drug reduction is icferred. 0 AcadPmie des .sciences/Elsevier; Puris
boundary layer / luminar drag /triple deck/non-regular asymptoticexpansions
A bridged
English
Version
A steady two-dimensional boundary layer over an undulated plate is considered. The fluid is incompressible and far upstream the velocity field is uniform and parallel to the plate. The perturbations are sinusoidal and the distance L* from the leading edge of the plate to the beginning of the undulations is assumedto be large. The streamwise and spanwisedimensions of the wall inhomogeneities are small compared to the Blasius boundary layer thickness. The aim of the present paper is to develop a second-order asymptotic description of the phenomena taking place around such small wall disturbancesand to understand the way in which the basic Blasius flow is affected. In addition, numerical simulations are applied to evaluate the influence of such perturbations on laminar drag reduction.
Note pr&entCe
par Georges DUVAUT.
1287.4620/99/032700449
0 Acadhic
des sciences/Elsevier,
Paris
449
J. Dessoiin
et al.
We consider perturbations of characteristic length scale aa occurring between the triple deck length (CX= 3 m/8) and that of the double deck ((Y= m/2). For these kinds of disturbance dimensions, the classical Blasius boundary layer theory fails, and the fluid motion is described by the triple deck theory formulated by Stewartson and Williams [2]. Perturbations of this type also allow for the possibility of boundary layer separation. The physical problem requires a double scale analysis along the longitudinal direction to take into account the boundary layer thickness and the perturbation interactions. A systematic asymptotic analysis of Navier-Stokes equations is developed near the perturbations for non-regular asymptotic expansions which are introduced naturally in the first-order main deck problem. The new approach leads to a unique system of equations in each layer which resolve simultaneously the first and second order problems. For high Reynolds numbers, we give the main deck equations and the non-regular asymptotic expansions of velocity components and pressure at second order. Analytic solutions at first and second order presented in Dessolin [6] completely closed the main deck equations. A judicious application of the matching expansion technique between the main deck and the lower deck gives uniform approximations everywhere valid in the boundary layer thickness. This matching principle, established by Mauss [ 51, is based on Van Dyke work and uses expansion operators [7] defined at the same order. It also shows the existence of a new characteristic length scale of the perturbations, 6”, with (Y= 3 m/7. This value explains in an appropriate way the boundary layer displacement phenomenon. Present at the first-order in the triple deck theory, the displacement function A(X) is rejected to the secondorder for the value CY= 3 m/7 and finally disappears in the double deck theory. The second-order lower deck canonical problem is formulated with non-regular asymptotic expansions. We prove that it can be obtained for perturbations not depending on the Reynolds number and with a specific longitudinal evolution ( x”~). Then, we numerically solve for the lower deck canonical problem using a parabolic scheme to show the effect of sinusoidal perturbations on laminar drag reduction. We define the friction and the pressure drags for the case of an undulated plate. Then, we evaluate drag reduction defined by the difference between the drag coefficient (the sum of the friction and pressure drag) on the undulated plate and that over a flat plate. Firstly, the effect of various shape parameters on drag reduction (figure 2) is investigated. It appears clearly that the average and the height of the perturbations are the most relevant parameters to reduce laminar drag. On the other hand, the period and symmetry of the disturbances do not strongly decrease the undulated plate laminar drag. Secondly, we characterise the effect of the Reynolds number on drag reduction and show that for increasing Reynolds number around its nominal value, there is a decrease of the laminar drag reduction G coefficient (&u-r 4). To conclude, non-regular asymptotic expansions applied to the larninar boundary layer on a plate with wall disturbances lead to a convenient mathematical problem. The problem yields a judicious appreciation of physical phenomena like the displacement of the boundary layer and is suited for the numerical investigation of passive control means.
1. Introduction
Issue de la resolution du probleme singulier du decollement initiee par Lighthill [ 11, la theorie de la triple couche (triple deck) de Stewartson et Williams [2] formalise la description de l’ecoulement au voisinage d’un perturbateur sur une plaque, pourvu qu’il y ait une longueur caracteristique unique. Pour des in450
Analyse
de la reduction
passive de la trainbe
laminaire
dentations plus petites, Nayfeh et Mauss et al. [3,4] ont montre la persistance d’une structure en triple couche jusqu’a une seconde longueur caracteristique oti le modttle degenere en double couche. Darts le cadre de ces problemes en multicouche, on Ctablit l’analyse asymptotique appropriee a la presence de plusieurs perturbateurs. Celle-ci fait appel a des developpements asymptotiques non reguliers au second ordre et en double Cchelle longitudinale. On exploite les effets produits par ces perturbateurs geometriques en vue de reduire la trainee laminaire d’un Ccoulement a grands nombres de Reynolds. 2. PrQentation
du problkme
On consider-e l’ecoulement plan en regime stationnaire d’un fluide visqueux et incompressible sur une plaque plane semi-infinie parallele a l’ecoulement amont uniforme. En variable sans dimension, et avec les notations usuelles, les equations du probleme sont les equations de Navier-Stokes bidimensionnelles stationnaires oti le nombre de Reynolds apparait en facteur des termes de diffusion. On pose Re = kc-” de sorte que F est le petit parametre de l’etude asymptotique, k est un facteur de normalisation permettant de faire varier le nombre de Reynolds saris changer la valeur de E et m, un parametre de liberte (en general on prend m = 8 dans le cas de la triple couche et m = 2 pour la double couche). A la distance L* du bord d’attaque, on place une serie d’indentations qui va perturber singulierement la nature de l’ecoulement qui s’etait Ctabli. La forme, saris dimension, des perturbations envisagees est donnee par y = e”f( x, x/cU ) ou a[’ et aU sont respectivement la hauteur et la longueur caracteristiques d’un perturbateur. L’ecoulement de base Ctabli depuis le bord d’attaque de la plaque est celui donne par la solution de Blasius uO( x, Y) oti x et Y = y/P’* sont respectivement les variables longitudinale et transversale de l’ecoulement moyen. La variable x permet de prendre en consideration les phenomenes d’interaction entre deux perturbateurs, ainsi que l’tpaississement de la couche limite. On introduit une seconde variable longitudinale X telle que x = ccrX. L’analyse asymptotique qui en decoule est du type Cchelle multiple oti toute derivee partielle longitudinale s’exprime formellement par : alax + E- Lya/ax. 3. houlement
moyen
Le concept majeur permettant de mettre en evidence des Ccoulements en multicouche est de rechercher des indentations capables de faire decoller la couche limite tout en conservant la solution de Blasius comme premiere approximation de l’ecoulement moyen. L’analyse au premier ordre montre que cela est possible pour des indentations telles que [S] :
(1) On se propose de determiner les solutions du second ordre avec des developpements asymptotiques non reguliers permettant de construire des solutions uniformement valables dans chacune des couches. Dans la couche moyenne, ces developpements sont donnes par : vx=u”(X,Y)+Esd3-d*U,(X,X,Y,&)+&2d3U2(X,X,Y)+ v,,=~2”‘“L’,(X,X,Y,e)+&“~z~“/3v,(x,X,Y)+&~’2Yo(X,Y)+ i 7r=E2U’3p,(X,X,
Y,&)
+em’*-
“3p2(x,x,
(2) Y) +
451
J. Dessolin
et al.
oti ( v,, v,, rr ) sont respectivement la vitesse longitudinale, transversale et la pression. Lorsque l’on reporte ces developpements dans les equations de Navier-Stokes, on obtient les equations du mouvement du fluide aux deux premiers ordre de la couche moyenne : axu, + ayv,
= 0
UC,dxu, + VI ayuo = 0 1
dYIJl
0
axu2
+
3YV2
= 0
ug dxu2 + v2 ayuo = -dxp, = - uo dxv, dYP2
Les solutions ( u,, v,, p, ), ( u2, v2, p2 ) peuvent s’obtenir analytiquement couche moyenne au second ordre soit parfaitement resolu [6].
(3)
de sorte que le problcme de
4. Couche interne Dans cette couche, la variable transversale y est definie par y = & asymptotiques non reguliers sont recherches sous la forme :
et les developpements
e > cd3 v~=&Ud”~,(X,X,~,E)+&~l?*(X,X,~)+ v, = &'n'2-Od3Vl,(X,X,~,E)+&eTm'2-2cr/352(X,X,~)+ ~~=E~~'~,(x-,X,E)+E~;?~(X,X,~)+ f>2a/3
.
(4)
Pour trouver les jauges e et L on utilise ici un principe de raccordement entre la couche moyenne et la couche interne permettant de construire les approximations uniformement valables. Pour cela, il faut considerer des approximations definies au m&me ordre dans chacune des couches. Si l’on designe par A4 I’operateur d’expansion non singulier [7\ de la couche moyenne et I celui de la couche inteme, le principe de raccord s’exprime, par exemple pour la pression ;2, par :
IMn:=Mln
(5)
L’identite (5) implique f= m/2 - (~13 et p2( x, X, 0) = Jim p2(x, X, 9). On trouve facilement la valeur e = m/2 - 2 a/3 conduisant aux equations de cou$climite des deux premiers ordre. Si I’on examine les developpements Iv, et IMv~, on voit que la valeur de e va conditionner l’ordre auquel on effectue le raccord asymptotique et donner les conditions de raccord entre la couche moyenne et interne. Le developpement asymptotique de r, dans la couche moyenne permet d’ecrire, 2 I’ordre c2u’3
Par ailleurs, le developpement
de v,~dans la couche interne est :
Iv2 = c u’3ii,( x, x, ?;, c) + Cm’?- 2u’3.c2( x, x, J)
452
Analyse de la rkduction
passive de la trairke
I1 apparait deux cas de figure distincts. - a I y ; soit lorsque 5 al3 - m/2 5 ml2 - 2 aI3 En raccordant B l’ordre cm/* - 2rr/3,on peut alors exprimer les conditions second ordre : lim [U”,(X,~,~,E)-i(.x)y”] y-1car
=E~“/~~““‘J.(x)A(X,E) i’(x)
k
xY4+O(Y7)
uo(x,Y)Yz+oA(x)Y-
A( X, E) fonction de deplacement
avec
i(x)=&
lf
laminaire
de raccord au premier et
lim &(x,X,y) 9-m
=0
kx fonction
de Prandtl
et
de la couche limite.
- (Y> ti ; c’est-a-dire 5 c1l3 - m/2 > ml2 - 2 a/3 Dans ce ck, on ne peut raccorder qu’a l’ordre E”“* - 2u/3 et les conditions donnees par : lim [s,(x,X,y,c)-2(X)j] )i+-
=0
j@mii2(x,XJ)
de raccord sont alors =O
Cette nouvelle longueur caracteristique des indentations, 6”, avec CY= 3 ml7 donne une meilleure interpretation du phenomene de deplacement de la couche limite pour les Ccoulements en multicou the. Presente d&s le premier ordre pour la triple couche, la fonction de deplacement est repoussee a un ordre ulterieur avec des indentations plus petites mais plus raides, pour assurer la possibilite de decollement de la couche limite. 5. Le problkme
canonique
de couche interne
Le probleme de base de l’etude numerique, en double Cchelle longitudinale, de la couche limite visqueuse au second ordre des developpements asymptotiques se presente formellement et en toute generalite par : a,22 + ap = 0 ia,&+lL?,a=-a~+~a;fi
(6)
a,p = 0 avec les conditions aux limites et la condition de raccord asymptotique : ti=P=O lim
y+m
[G(x,X,J,E)-Am]
en jj=f(x,X)
(7)
=~,E~“/‘-“‘*~(x)A(X,E)
OlYl:
Les variables ( z&9, ~5) regroupent le premier et le second ordre des developpements asymptotiques de la vitesse et de la pression. Des lors, le probleme (6)-(8) contient a la fois le probleme de couche limite du premier et second ordre. Afin de simplifier la resolution numerique de ce probleme et 453
j. Dessolin
et al.
d’expliciter clairement les resultats que l’on obtient, il apparait important de transformer cette formulation initiale en un probleme canonique adapt6 a nos objectifs. Tout d’abord, on decouple la dependance en x et X de la forme des indentations, du champ de vitesse et du champ de pression. Ensuite, on supprime la dependance en x des conditions aux limites et de la condition de raccord et l’on cherche des indentations dont la forme sera independante du nombre de Reynolds c’est-a-dire de k. Cela s’obtient, pour A(x) h3( x) = t%, en utilisant la transformation suivante : J= h(x)j,
u = A(x) h(x) u’(X,yv, E),
c=i(X)h2(X)lil(X,j,&),
p=
A(x) a h(x) js(X,-j,&)
Celle-ci donne une premiere indication sur les indentations puisque, si elles sont independantes de Re, en contrepartie leur evolution suivant x est irrCmCdiablement fixee et sera en h(x) = 2, “s x”~. On effectue ensuite une transformation de Prandtl qui n’affecte pas le systeme d’equations precedent, mais transfere la condition front&e dans la condition de raccord asymptotique et donne un domaine de resolution rectangulaire. Don&e par y = y^+ F, ti = 2, v’ = D + F’ ~2,p = 6, cette transformation conduit au probleme canonique de couche limite qui s’enonce finalement par :
a,a + a,; = 0
(9)
1 k fi a$
iia,l;+v^a,li=-axJ?+-
(10) ,.
Jym [44X,Y,E)
n
-Jl
:
=6iE 4d3-m’2A(X,~)+F(X)
(11)
Les variations locales et globales des champs de vitesse et de pression v~, vv et 7c sont obtenues par l’intermediaire des developpements asymptotiques (4). 6. Application
2 la rkduction
de trainee laminaire
Dans le cadre du probleme de couche limite visqueuse, la forme des indentations exprimee en variable saris dimension est y = sB h(x) F(X). L’analyse de la reduction de trainee laminaire que I’on se propose de faire se fonde sur une etude parametrique d’indentations sinusoi’dales. Du point de vue numerique, les indentations sont discretisees en Nx points dans la direction longitudinale et determinees a l’aide de deux demi-periodes de la fonction sinus (figure I). Sur [O:PS] F(X)=M+fsin(s+g) 71(X-PS) Sur]PS:P] F(X)=M+fsin -4+ (P- PS) > ( Les grandeurs telles que les coefficients de trainee de frottement et de pression sont obtenues par integration suivant x. Le coefficient de trainee C., est la somme du coefficient de trainee de frottement Cxt et du coefficient de trainee de pression C, avec :
X cn,, = Em’=2 fi
p^F’( X) dx
sX0
(12)
Pour les simulations effect&es, on a pris x = x0 + &a X avec aa = l/1000 specifiant que la longueur des indentations est telle que l’on peut en placer 1000 sur la longueur caracteristique L* et x0 = 1 pour preciser que la premiere indentation se trouve justement a la distance L* du bord d’attaque. On 454
Analyse
Figure
1. Forme
Figure
de la reduction
passive de la trainke
laminaire
des indentations.
1. Perturbation
shape.
Variation
de G avec P so,5 M=-0,25 H=O.5
Variation
de G avec S P=l H=0,5 M=-0,25
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
iii!;
Variation
de G avec M P=l s=o.5 H=OS
-0,5
-1 ,o
o,o
0,5
1 ,o
195
Variation
de G avec H
iJ--pq 090
P=l s=o,s M=-0,25
075
Figure
2. bolution Figure
de la trainte 2. Laminar
drag
laminaire variations
en fonction with
e
de P, S. M
S, M and
H
et H
for
pour
k = 1
k = I.
455
j. Dessolin
et al.
donne successivement l’influence des paramktres P, S, H et M sur la rkduction de trainCe (gain) exprimCe en pourcentage et dkfinie par G = ( Cx - Cxpp )lCxpp. 11y a done rkduction de tra?nCe pour les valeurs nkgatives du gain G. Les rtsultats pr6sentCs sont obtenus sur une longueur x correspondant B 20 perturbateurs successifs. 11 apparait clairement (figure 2) que la moyenne M et la hauteur H des indentations sont les deux pararrktres les plus importants dans la rkduction de trainee laminaire. Une meilleure interpktation physique est obtenue par le track des iso-G cfigure 3) en fonction de M et H. Une rCduction de la trainee laminaire peut Ctre obtenue uniquement pour des perturbateurs sous forme de creux (M < 0). De plus, avec un nombre de Reynolds nominal (k = 1 ), la rksolution du probltime canonique de couche interne montre que l’on peut atteindre une kduction de trainke de 29% pourM=-0,98 et H=O,l. Enfin, l’augmentation sensible du nombre de Reynolds (k = 1,25 ) autour de sa valeur nominale entraine une rkduction de train&e accrue (31 %) pour des valeurs identiques de M et H (figure 4).
-1.0
-0.6
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
'".I>
Figure Figure
3. RCduction 3. Drag
de train&
reduction
G cn % pour
percentage
k = 1.
G for k = I.
Figure
4. RCduction
Figure
4. Drag
-v,>v
M
M
de train&e
reduction
-!A25
G en 8 pour
percentage
G
for
k = 1,25. k = 1.25.
RCfdrences bibliographiques [ 11 Lighthill M.J., On boundary layers and upstream influence. II. Supersonic flows without separation, Proc. Roy. Sot. A217 (1953) 478-507. [2] Stewartson K., Williams P.G., Self-induced separation, Proc. Roy. Sot. A312 (1969) 181-206. [3] Nayfeh A.H., Triple deck structure, Comput. Fluids 20 (3) (1991) 269-292. 141 Mauss J., Achiq A.. Saintlos S., Sur l’analyse conduisant g la thCorie de la triple couche, C. R. Acad. Sci. Paris, strie IIh 315 (1992) 1611-1614. (51 Mauss J., Asymptotic modelling for separating boundary layer, in: Asymptotic modelling in fluid mechanics, Lecture Notes in Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1994, vol. 442, pp. 239-254. [6] Dessolin J.. ktude de la rCduction de trdnCe et de la stabilitt d’une couche limite laminaire sur une plaque Cquipee d’une s&e de perturbateurs, th&c, universitC P.-Sabatier, Toulouse-III, France, 1998, 166 pp. [7] Eckhaus W., Asymptotic Analysis of Singular Perturbations, North Holland Publishing Company. 1979.
456
1999
Analyse de la reduction de la tra’inke laminaire Jo61 DESSOLIN,
Emmanuel
BESSIkRE,
lnstitut de mkcanique des fluides harbonne, 31062 Toulouse: cedex, E-mail : [email protected] (Rep
de Toulouse, France
Jacques UMR
passive
MAUSS CNRS
5502,
universiti:
Paul-Sabativr.
118,
route
de
le 9 novembre1998,accept&apresrevision le 11janvier 1999)
R&urn&
On proposeici l’analyse theoriquedu modeleen multicouchedecrivant I’influence d’une sCriede perturbationsgComCtriques sur un Ccoulementde couchelimite. Cette etudetrouve sonoriginalit et soninter&tdansI’utilisation de developpements asymptotiquesnon reguliersau second ordre et en doubleCchellelongitudinale.A partir du problemecanonique de couche interne, on caractkrise Cgalement I’influence de ces perturbateurs sur la reduction passive de trainee laminaire. 0 Acadkmie des sciences/Elsevier, Paris couche limite / trainke non rCguliers
Passive Abstract.
laminar
laminaire
/ triple
couche / dheloppements
asymptotiques
drag reduction
A theoretical multi-layer model is used to describe the inj?uence of wall perturbations on the boundary layer jfow. The origina& and interest of the method lies in the use oj non-regular second-order asymptotic expansions arising from the presence of MO longitudinal length scales. From the lower deck canonical problem, the injluence of uull perturbations on laminar drug reduction is icferred. 0 AcadPmie des .sciences/Elsevier; Puris
boundary layer / luminar drag /triple deck/non-regular asymptoticexpansions
A bridged
English
Version
A steady two-dimensional boundary layer over an undulated plate is considered. The fluid is incompressible and far upstream the velocity field is uniform and parallel to the plate. The perturbations are sinusoidal and the distance L* from the leading edge of the plate to the beginning of the undulations is assumedto be large. The streamwise and spanwisedimensions of the wall inhomogeneities are small compared to the Blasius boundary layer thickness. The aim of the present paper is to develop a second-order asymptotic description of the phenomena taking place around such small wall disturbancesand to understand the way in which the basic Blasius flow is affected. In addition, numerical simulations are applied to evaluate the influence of such perturbations on laminar drag reduction.
Note pr&entCe
par Georges DUVAUT.
1287.4620/99/032700449
0 Acadhic
des sciences/Elsevier,
Paris
449
J. Dessoiin
et al.
We consider perturbations of characteristic length scale aa occurring between the triple deck length (CX= 3 m/8) and that of the double deck ((Y= m/2). For these kinds of disturbance dimensions, the classical Blasius boundary layer theory fails, and the fluid motion is described by the triple deck theory formulated by Stewartson and Williams [2]. Perturbations of this type also allow for the possibility of boundary layer separation. The physical problem requires a double scale analysis along the longitudinal direction to take into account the boundary layer thickness and the perturbation interactions. A systematic asymptotic analysis of Navier-Stokes equations is developed near the perturbations for non-regular asymptotic expansions which are introduced naturally in the first-order main deck problem. The new approach leads to a unique system of equations in each layer which resolve simultaneously the first and second order problems. For high Reynolds numbers, we give the main deck equations and the non-regular asymptotic expansions of velocity components and pressure at second order. Analytic solutions at first and second order presented in Dessolin [6] completely closed the main deck equations. A judicious application of the matching expansion technique between the main deck and the lower deck gives uniform approximations everywhere valid in the boundary layer thickness. This matching principle, established by Mauss [ 51, is based on Van Dyke work and uses expansion operators [7] defined at the same order. It also shows the existence of a new characteristic length scale of the perturbations, 6”, with (Y= 3 m/7. This value explains in an appropriate way the boundary layer displacement phenomenon. Present at the first-order in the triple deck theory, the displacement function A(X) is rejected to the secondorder for the value CY= 3 m/7 and finally disappears in the double deck theory. The second-order lower deck canonical problem is formulated with non-regular asymptotic expansions. We prove that it can be obtained for perturbations not depending on the Reynolds number and with a specific longitudinal evolution ( x”~). Then, we numerically solve for the lower deck canonical problem using a parabolic scheme to show the effect of sinusoidal perturbations on laminar drag reduction. We define the friction and the pressure drags for the case of an undulated plate. Then, we evaluate drag reduction defined by the difference between the drag coefficient (the sum of the friction and pressure drag) on the undulated plate and that over a flat plate. Firstly, the effect of various shape parameters on drag reduction (figure 2) is investigated. It appears clearly that the average and the height of the perturbations are the most relevant parameters to reduce laminar drag. On the other hand, the period and symmetry of the disturbances do not strongly decrease the undulated plate laminar drag. Secondly, we characterise the effect of the Reynolds number on drag reduction and show that for increasing Reynolds number around its nominal value, there is a decrease of the laminar drag reduction G coefficient (&u-r 4). To conclude, non-regular asymptotic expansions applied to the larninar boundary layer on a plate with wall disturbances lead to a convenient mathematical problem. The problem yields a judicious appreciation of physical phenomena like the displacement of the boundary layer and is suited for the numerical investigation of passive control means.
1. Introduction
Issue de la resolution du probleme singulier du decollement initiee par Lighthill [ 11, la theorie de la triple couche (triple deck) de Stewartson et Williams [2] formalise la description de l’ecoulement au voisinage d’un perturbateur sur une plaque, pourvu qu’il y ait une longueur caracteristique unique. Pour des in450
Analyse
de la reduction
passive de la trainbe
laminaire
dentations plus petites, Nayfeh et Mauss et al. [3,4] ont montre la persistance d’une structure en triple couche jusqu’a une seconde longueur caracteristique oti le modttle degenere en double couche. Darts le cadre de ces problemes en multicouche, on Ctablit l’analyse asymptotique appropriee a la presence de plusieurs perturbateurs. Celle-ci fait appel a des developpements asymptotiques non reguliers au second ordre et en double Cchelle longitudinale. On exploite les effets produits par ces perturbateurs geometriques en vue de reduire la trainee laminaire d’un Ccoulement a grands nombres de Reynolds. 2. PrQentation
du problkme
On consider-e l’ecoulement plan en regime stationnaire d’un fluide visqueux et incompressible sur une plaque plane semi-infinie parallele a l’ecoulement amont uniforme. En variable sans dimension, et avec les notations usuelles, les equations du probleme sont les equations de Navier-Stokes bidimensionnelles stationnaires oti le nombre de Reynolds apparait en facteur des termes de diffusion. On pose Re = kc-” de sorte que F est le petit parametre de l’etude asymptotique, k est un facteur de normalisation permettant de faire varier le nombre de Reynolds saris changer la valeur de E et m, un parametre de liberte (en general on prend m = 8 dans le cas de la triple couche et m = 2 pour la double couche). A la distance L* du bord d’attaque, on place une serie d’indentations qui va perturber singulierement la nature de l’ecoulement qui s’etait Ctabli. La forme, saris dimension, des perturbations envisagees est donnee par y = e”f( x, x/cU ) ou a[’ et aU sont respectivement la hauteur et la longueur caracteristiques d’un perturbateur. L’ecoulement de base Ctabli depuis le bord d’attaque de la plaque est celui donne par la solution de Blasius uO( x, Y) oti x et Y = y/P’* sont respectivement les variables longitudinale et transversale de l’ecoulement moyen. La variable x permet de prendre en consideration les phenomenes d’interaction entre deux perturbateurs, ainsi que l’tpaississement de la couche limite. On introduit une seconde variable longitudinale X telle que x = ccrX. L’analyse asymptotique qui en decoule est du type Cchelle multiple oti toute derivee partielle longitudinale s’exprime formellement par : alax + E- Lya/ax. 3. houlement
moyen
Le concept majeur permettant de mettre en evidence des Ccoulements en multicouche est de rechercher des indentations capables de faire decoller la couche limite tout en conservant la solution de Blasius comme premiere approximation de l’ecoulement moyen. L’analyse au premier ordre montre que cela est possible pour des indentations telles que [S] :
(1) On se propose de determiner les solutions du second ordre avec des developpements asymptotiques non reguliers permettant de construire des solutions uniformement valables dans chacune des couches. Dans la couche moyenne, ces developpements sont donnes par : vx=u”(X,Y)+Esd3-d*U,(X,X,Y,&)+&2d3U2(X,X,Y)+ v,,=~2”‘“L’,(X,X,Y,e)+&“~z~“/3v,(x,X,Y)+&~’2Yo(X,Y)+ i 7r=E2U’3p,(X,X,
Y,&)
+em’*-
“3p2(x,x,
(2) Y) +
451
J. Dessolin
et al.
oti ( v,, v,, rr ) sont respectivement la vitesse longitudinale, transversale et la pression. Lorsque l’on reporte ces developpements dans les equations de Navier-Stokes, on obtient les equations du mouvement du fluide aux deux premiers ordre de la couche moyenne : axu, + ayv,
= 0
UC,dxu, + VI ayuo = 0 1
dYIJl
0
axu2
+
3YV2
= 0
ug dxu2 + v2 ayuo = -dxp, = - uo dxv, dYP2
Les solutions ( u,, v,, p, ), ( u2, v2, p2 ) peuvent s’obtenir analytiquement couche moyenne au second ordre soit parfaitement resolu [6].
(3)
de sorte que le problcme de
4. Couche interne Dans cette couche, la variable transversale y est definie par y = & asymptotiques non reguliers sont recherches sous la forme :
et les developpements
e > cd3 v~=&Ud”~,(X,X,~,E)+&~l?*(X,X,~)+ v, = &'n'2-Od3Vl,(X,X,~,E)+&eTm'2-2cr/352(X,X,~)+ ~~=E~~'~,(x-,X,E)+E~;?~(X,X,~)+ f>2a/3
.
(4)
Pour trouver les jauges e et L on utilise ici un principe de raccordement entre la couche moyenne et la couche interne permettant de construire les approximations uniformement valables. Pour cela, il faut considerer des approximations definies au m&me ordre dans chacune des couches. Si l’on designe par A4 I’operateur d’expansion non singulier [7\ de la couche moyenne et I celui de la couche inteme, le principe de raccord s’exprime, par exemple pour la pression ;2, par :
IMn:=Mln
(5)
L’identite (5) implique f= m/2 - (~13 et p2( x, X, 0) = Jim p2(x, X, 9). On trouve facilement la valeur e = m/2 - 2 a/3 conduisant aux equations de cou$climite des deux premiers ordre. Si I’on examine les developpements Iv, et IMv~, on voit que la valeur de e va conditionner l’ordre auquel on effectue le raccord asymptotique et donner les conditions de raccord entre la couche moyenne et interne. Le developpement asymptotique de r, dans la couche moyenne permet d’ecrire, 2 I’ordre c2u’3
Par ailleurs, le developpement
de v,~dans la couche interne est :
Iv2 = c u’3ii,( x, x, ?;, c) + Cm’?- 2u’3.c2( x, x, J)
452
Analyse de la rkduction
passive de la trairke
I1 apparait deux cas de figure distincts. - a I y ; soit lorsque 5 al3 - m/2 5 ml2 - 2 aI3 En raccordant B l’ordre cm/* - 2rr/3,on peut alors exprimer les conditions second ordre : lim [U”,(X,~,~,E)-i(.x)y”] y-1car
=E~“/~~““‘J.(x)A(X,E) i’(x)
k
xY4+O(Y7)
uo(x,Y)Yz+oA(x)Y-
A( X, E) fonction de deplacement
avec
i(x)=&
lf
laminaire
de raccord au premier et
lim &(x,X,y) 9-m
=0
kx fonction
de Prandtl
et
de la couche limite.
- (Y> ti ; c’est-a-dire 5 c1l3 - m/2 > ml2 - 2 a/3 Dans ce ck, on ne peut raccorder qu’a l’ordre E”“* - 2u/3 et les conditions donnees par : lim [s,(x,X,y,c)-2(X)j] )i+-
=0
j@mii2(x,XJ)
de raccord sont alors =O
Cette nouvelle longueur caracteristique des indentations, 6”, avec CY= 3 ml7 donne une meilleure interpretation du phenomene de deplacement de la couche limite pour les Ccoulements en multicou the. Presente d&s le premier ordre pour la triple couche, la fonction de deplacement est repoussee a un ordre ulterieur avec des indentations plus petites mais plus raides, pour assurer la possibilite de decollement de la couche limite. 5. Le problkme
canonique
de couche interne
Le probleme de base de l’etude numerique, en double Cchelle longitudinale, de la couche limite visqueuse au second ordre des developpements asymptotiques se presente formellement et en toute generalite par : a,22 + ap = 0 ia,&+lL?,a=-a~+~a;fi
(6)
a,p = 0 avec les conditions aux limites et la condition de raccord asymptotique : ti=P=O lim
y+m
[G(x,X,J,E)-Am]
en jj=f(x,X)
(7)
=~,E~“/‘-“‘*~(x)A(X,E)
OlYl:
Les variables ( z&9, ~5) regroupent le premier et le second ordre des developpements asymptotiques de la vitesse et de la pression. Des lors, le probleme (6)-(8) contient a la fois le probleme de couche limite du premier et second ordre. Afin de simplifier la resolution numerique de ce probleme et 453
j. Dessolin
et al.
d’expliciter clairement les resultats que l’on obtient, il apparait important de transformer cette formulation initiale en un probleme canonique adapt6 a nos objectifs. Tout d’abord, on decouple la dependance en x et X de la forme des indentations, du champ de vitesse et du champ de pression. Ensuite, on supprime la dependance en x des conditions aux limites et de la condition de raccord et l’on cherche des indentations dont la forme sera independante du nombre de Reynolds c’est-a-dire de k. Cela s’obtient, pour A(x) h3( x) = t%, en utilisant la transformation suivante : J= h(x)j,
u = A(x) h(x) u’(X,yv, E),
c=i(X)h2(X)lil(X,j,&),
p=
A(x) a h(x) js(X,-j,&)
Celle-ci donne une premiere indication sur les indentations puisque, si elles sont independantes de Re, en contrepartie leur evolution suivant x est irrCmCdiablement fixee et sera en h(x) = 2, “s x”~. On effectue ensuite une transformation de Prandtl qui n’affecte pas le systeme d’equations precedent, mais transfere la condition front&e dans la condition de raccord asymptotique et donne un domaine de resolution rectangulaire. Don&e par y = y^+ F, ti = 2, v’ = D + F’ ~2,p = 6, cette transformation conduit au probleme canonique de couche limite qui s’enonce finalement par :
a,a + a,; = 0
(9)
1 k fi a$
iia,l;+v^a,li=-axJ?+-
(10) ,.
Jym [44X,Y,E)
n
-Jl
:
=6iE 4d3-m’2A(X,~)+F(X)
(11)
Les variations locales et globales des champs de vitesse et de pression v~, vv et 7c sont obtenues par l’intermediaire des developpements asymptotiques (4). 6. Application
2 la rkduction
de trainee laminaire
Dans le cadre du probleme de couche limite visqueuse, la forme des indentations exprimee en variable saris dimension est y = sB h(x) F(X). L’analyse de la reduction de trainee laminaire que I’on se propose de faire se fonde sur une etude parametrique d’indentations sinusoi’dales. Du point de vue numerique, les indentations sont discretisees en Nx points dans la direction longitudinale et determinees a l’aide de deux demi-periodes de la fonction sinus (figure I). Sur [O:PS] F(X)=M+fsin(s+g) 71(X-PS) Sur]PS:P] F(X)=M+fsin -4+ (P- PS) > ( Les grandeurs telles que les coefficients de trainee de frottement et de pression sont obtenues par integration suivant x. Le coefficient de trainee C., est la somme du coefficient de trainee de frottement Cxt et du coefficient de trainee de pression C, avec :
X cn,, = Em’=2 fi
p^F’( X) dx
sX0
(12)
Pour les simulations effect&es, on a pris x = x0 + &a X avec aa = l/1000 specifiant que la longueur des indentations est telle que l’on peut en placer 1000 sur la longueur caracteristique L* et x0 = 1 pour preciser que la premiere indentation se trouve justement a la distance L* du bord d’attaque. On 454
Analyse
Figure
1. Forme
Figure
de la reduction
passive de la trainke
laminaire
des indentations.
1. Perturbation
shape.
Variation
de G avec P so,5 M=-0,25 H=O.5
Variation
de G avec S P=l H=0,5 M=-0,25
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
iii!;
Variation
de G avec M P=l s=o.5 H=OS
-0,5
-1 ,o
o,o
0,5
1 ,o
195
Variation
de G avec H
iJ--pq 090
P=l s=o,s M=-0,25
075
Figure
2. bolution Figure
de la trainte 2. Laminar
drag
laminaire variations
en fonction with
e
de P, S. M
S, M and
H
et H
for
pour
k = 1
k = I.
455
j. Dessolin
et al.
donne successivement l’influence des paramktres P, S, H et M sur la rkduction de trainCe (gain) exprimCe en pourcentage et dkfinie par G = ( Cx - Cxpp )lCxpp. 11y a done rkduction de tra?nCe pour les valeurs nkgatives du gain G. Les rtsultats pr6sentCs sont obtenus sur une longueur x correspondant B 20 perturbateurs successifs. 11 apparait clairement (figure 2) que la moyenne M et la hauteur H des indentations sont les deux pararrktres les plus importants dans la rkduction de trainee laminaire. Une meilleure interpktation physique est obtenue par le track des iso-G cfigure 3) en fonction de M et H. Une rCduction de la trainee laminaire peut Ctre obtenue uniquement pour des perturbateurs sous forme de creux (M < 0). De plus, avec un nombre de Reynolds nominal (k = 1 ), la rksolution du probltime canonique de couche interne montre que l’on peut atteindre une kduction de trainke de 29% pourM=-0,98 et H=O,l. Enfin, l’augmentation sensible du nombre de Reynolds (k = 1,25 ) autour de sa valeur nominale entraine une rkduction de train&e accrue (31 %) pour des valeurs identiques de M et H (figure 4).
-1.0
-0.6
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
'".I>
Figure Figure
3. RCduction 3. Drag
de train&
reduction
G cn % pour
percentage
k = 1.
G for k = I.
Figure
4. RCduction
Figure
4. Drag
-v,>v
M
M
de train&e
reduction
-!A25
G en 8 pour
percentage
G
for
k = 1,25. k = 1.25.
RCfdrences bibliographiques [ 11 Lighthill M.J., On boundary layers and upstream influence. II. Supersonic flows without separation, Proc. Roy. Sot. A217 (1953) 478-507. [2] Stewartson K., Williams P.G., Self-induced separation, Proc. Roy. Sot. A312 (1969) 181-206. [3] Nayfeh A.H., Triple deck structure, Comput. Fluids 20 (3) (1991) 269-292. 141 Mauss J., Achiq A.. Saintlos S., Sur l’analyse conduisant g la thCorie de la triple couche, C. R. Acad. Sci. Paris, strie IIh 315 (1992) 1611-1614. (51 Mauss J., Asymptotic modelling for separating boundary layer, in: Asymptotic modelling in fluid mechanics, Lecture Notes in Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1994, vol. 442, pp. 239-254. [6] Dessolin J.. ktude de la rCduction de trdnCe et de la stabilitt d’une couche limite laminaire sur une plaque Cquipee d’une s&e de perturbateurs, th&c, universitC P.-Sabatier, Toulouse-III, France, 1998, 166 pp. [7] Eckhaus W., Asymptotic Analysis of Singular Perturbations, North Holland Publishing Company. 1979.
456