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Approximation de Leontovich pour les équations de Maxwell à coefficients variables: un problème de perturbation singulière
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 325, Physique mathkmatique/Mafhematica/
SCrie
I, p. 677-681, Physics
1997
Approximation de Leontovich pour les hquations de Maxwell & coefficients variables : un probEme de perturbation singuli&re Habib
AMMARI,
Cbiraz
LATIRI-GROUZ
et Jean-Claude
Nl?Dl?LEC
$I. A.? C. L. G. rt J.-C. N. : Crn trp tlr Mathimatiqnes
ApplicIu~rs. CNKS UKA 756. Ecole Polytechnique, 91118 Palaisean Crdrx, France : H. A. : Dipartrmrnt cl’Elrc:tromaanCtisme, Institut Royal de Twhnologir, SnPdr E-mail : amn~ari~cmal~x.l~olyt~rhni~l~~e.fr. latiri~rmal,x.polyt~~hni~l~~~~.f~ nrd~le~@rmal~x.l~olyt~~hni~l~~~.fr
R&urn&
Nous donnons une formulation variationnelle pour les equations de Maxwell & coefficients variables avec une condition aux limites de type Leontovich et nous
montrons que I’approximation de type Leontovich conduit g un probltme de perturbationsingulike. Scattering boundary
of Maxwell’s equwtions u?ith condition in an inhomogeneous
a sing&r
perturbation
a Leontovich medium:
problem
Abstract.
The limiting behuvior of the unique solution to the scattering problem ,for Muxwell’s equations with u Leontovich boundary condition in an inhomogeneous medium, us the impeduncr goes to zero, is investigated. Making use of a Hodgc decomposition lemma, it is shown that the Leontovich bounda? condition It&v to a singular perturbation problem.
Abridged
English
Version
A lossy body 52”composedof a material whose permittivity and permeability may vary as a function of position is immersed in a bounded dielectric object and illuminated by an electromagnetic field. At high conductivity, the lossy dielectric body can be replaced by a Leontovich boundary condition applied on its boundary I?. This approximate boundary condition provides an approximate relationship between the electric and magnetic fields on the boundary of the high conducting body. Our main purpose in this Note is to show how this widely used approximate boundary condition yields to a singular perturbation problem for the Maxwell equations. A specific numerical treatement Note prksent6e par Philippe 0764.4442/97/03250677
G. CIARLET.
0 Acadhie
des ScienceGSlsevier,
Paris
b/I
H. Ammari,
C. Latiri-Crouz
et J.-C.
NCdClec
of the Leontovich boundary value problem for the time-harmonic Maxwell equations is then required to achieve a sufficient accuracy. In analyzing this singular perturbation problem, we also provide a new variational proof of the existence of solutions to the scattering problem for the Maxwell- equations with an impedance boundary condition in an inhomogeneous medium. Let 0~ = (R3 \ P:) n BR, where Bn is a ball of radius R containing the dielectric object. By making use of the Hodge decomposition Lemma 3.2 of the Sobolev space II (introduced in section 2), we reduce our scattering problem for the Maxwell equations to the variational equations (3) on Wdiv(flR) x P(fl~). Theorem 3.1 shows that this system of variational equations has a unique solution (u”, p’) in Wdiv(flR) x P(RII). We prove (Theorem 4.1) the convergence of the solution of the Leontovich boundary value problem (l)(2) to that of the scattering problem from a perfectly conducting body when the parameter 6 in the boundary condition (2) goes to zero, and we estimate its rate if the data go (the limit of g” when S goes to zero) is more regular. We also give a complete asymptotic solution for (3) (Theorem 4.2) by constructing complete asymptotic expansions for its solution of the form u6 = c b’j rrj and j=o $ = -pp’, where the upper limit in the sum depends on the smoothness of the data g”. Our j=O
main result is that the widely for only the scalar unknown a sufficient accuracy of this of such higher order finite
used Leontovich approximation leads to a singular perturbation problem I)‘. The use of higher order finite elements is then necessary to achieve quantity. The computation of the quantity u6 does not require the use elements.
1. Introduction Soient R” un ouvert borne regulier de W3 et R’ le complementaire de @ dans W3. Considerons la propagation d’ondes electromagnetiques dans le milieu dielectrique Ri isotrope caracterise par sa permittivite Clectrique E, sa permeabilite magnetique p. Les fonctions E et 11 sont complexes et verifient !I&& > 0 et Re /L > 0. Nous supposons de plus que ces coefficients sont de classe C2 par morceaux et discontinus le long de surfaces regulibes. On note par ~0 et ~0, respectivement, la permittivite et la permeabilite du vide 0’. Nous supposons que l’objet dielectrique 0’ contient un noyau 0” de conductivite Clectrique (T elevee. Une approximation couramment utilisee est cellle de la condition de Leontovich sur le bord r de 0’. Cette approximation consiste a remplacer le noyau R’ par une condition d’impedance sur l?. L’objet de cette Note est de demontrer que cette approximation conduit a un probleme de perturbation singuliere pour les equations de Maxwell. Le cas d’un milieu homogtne a et6 CtudiC par les auteurs a l’aide de la methode des equations integrales dans [21.
2. Formulation
du problkme
Notons n la normale sortante a l? et ur la composante tangentielle du champ de vecteur u sur r. Soient ti le complementaire de !GY dans R3 et R d = R’ \ @. Nous introduisons une boule de rayon R assez grand pour contenir la surface r et la zone R” ou les coefficients E et IL varient. Nous notons SR la sphere correspondante, BR la boule interieure a Sn, P la normale sortante a SR et flR = R II Bn. Nous introduisons la forme ((. , .)) definie par : ((u,v))
= /
rotu QR
678
. rotu+
/ pu * OR
. v.
Approximation
de Leontovich
Nous notons enfin les espaces
H(rot, RR) ={ u E (L2(RR))3; rot u E (L2(n,))3}, TH”(r) TH”(rot,
={ u E (H”(r))3;
r) ={ u E TH”(r);
H(OR)
={ u E H(rot,
={ u E (H’(nf$))3;
Hdiv(fitR)
u .n =
J nR
rotr u E
0
1
!
Hyr)}2
In,); ur E
2x2(r)},
pu . gradq
= 0,Vq
E H’(CI,)}
et
Soient zc une constante strictement positive, z une fonction bornee sur r telle que sRe(z) > z. > 0, Sm (2) > 0, et w, S deux constantes strictement positives. L’approximation de Leontovich consiste a chercher E6 et H6 verifiant les equations de Maxwell : rotE6
(1) la condition
de radiation
= iwpHH6!
de Silver-Mtiller
rot H6 = -iw& et la condition
-Et+i6zH6
(2)
An
E6
dans 0,
aux limites :
= g”
surr,
oti g6 est un champ tangentiel donne sur I’. Le parametre 5 est de l’ordre de l/fi, conductivid Clectrique du noyau conducteur 0” et la fonction z est son impedance.
3. RCsultats
d’existence
oti CTest la
et d’unicitb
Les proprittts de coercivite de l’operateur pseudo-differentiel G’, dtfini par &F(k A HIS,%) = ou E et H sont solutions sortantes des equations de Maxwell a l’exterieur de la boule BR fr A EIsH, (voir [6]), permettent de demontrer le resultat d’unicite suivant : LEMME ‘3.1. - La kquations de Maxwell (1) avec la condition radiation de Silver-Miiller admettent au plus une solution. En utilisant le :
aux limites (2) et la condition
de
LEMME 3.2. - L’espace W(~R) se dkcompose en deux espaces orthogonaux pour Ze produit ((., .)) de la man&e suivante : W(RR) = Wdiv(flR) $ grad $(RR). Cette d&composition est dite de Hodge. Nous dtmontrons le : LEMME 3.3, - Nous supposons que g” E TH-1/2(r) et rotrg6 E H-l(r). variationnelle mixte suivante, dont [es inconnues sont us E b!div(fiR) et p6 E P(fl~)
uO(d, u”) + s aylf , u”) = -iw (3) h”(p”:pt)
+ Sa1(gradp6,gradpt)
J r
(g” A n) . uh - Sa’(gradp’,
= -iw
J I-
(g6 A n) . gradr
Lu formulhtion :
ut), pt - 6 a1(u6. gradpt),
679
H. Ammari,
C. Latiri-Grouz
et J.-C.
NCd6lec
pgradp
grad$
+ aw(G’(%
A gradp):
(;C A grad$)
A ii).
est telle que H6 = u6 + grad p” et Eh = Lrot H” sont solutions duns W( QR) x W( 0,) des e’quations de Maxwell (1) avec la condition aux lim%s (2) de type Leontovich et la condition de radiation. I1 est facile de voir que la forme bilinkaire ‘iO(p”,pt) + S al(gradp”, gradIf), dont l’incormue est la fonction scalaire p”, est la somme d’une forme coercive sur P(ll~) x P(QR) et d’ une perturbation compacte sur cet espace. D’autre part, d’aprks [ 11, nous dkmontrons que la formulation variationnelle II’(u&. u’)+b a1 (11”: ut), dont l’inconnue est u6, est la somme d’une forme bilinkaire coercive sur Wdiv(OR) x Wdiy(d2R) et d’une perturbation compacte sur cet espace. Nous avons le : TH~ORBME 3.1. - No14.s supposonsque g’ E THP1’*(I’) et rotr g” E H-‘(r). kquations variationnelles (3) admet une unique solution duns W,,i,.(12R) x P( 0~).
4. RQultats
Le systtke des
de convergence
Lorsque le paramktre S tend vers z&o, nous dkmontrons le : THI?OR~?ME 4.1. - No14s supposonsque g” converge duns TH-l/*(rot: I’) vers 14n chump tangentiel go sur I?. Les fonctions (18, p6) convergent duns W,~i,(O~) x Hl(O*)/C fort vers les fonctions (u”, p’) d+nies comme l’unique solution dans kI,,i\.(O,) x H’ (OR)/C du systsme des bquations variationnelles :
aO(uO,d) = -iw (4) iiO(pO,p”) = -iw Si deplus, rotr go E Hl/*(I’),
.I r
(go A n) . II:%
J r
(go A n)
V Ut E Wdiv(flR),
gradrp*,
‘dp’ E Hl(Rx)/C.
ulors le tauxde convergence estde l’ordre de h+llg” -gOIITH~I:,!Cro+,TI.
Remarquons que les champs Ho = u” + gradp”
et E” = Lrot
Ho sont solutions dans
H(rot. 62~) x H(rot,, Szn) des equations de Maxwell (1) avec la condi% aux limites de type Dirichlet sur r : -EF = go E TH-l/‘(rot: r). Nous renvoyons B [2] pour les techniques de dkmonstration de ce dernier thCor&mequi nous permet par ailleurs de construire l’asymptotique compkte de (E”: H”) : TH~OR~ME Hl/*+j+j(q:
suivants :
680
4.2. - Soit N E N. Supposons que g’ = go + . + 6” g"' + . , 02 rot,r g.7 E 0 5 j < N. Alors, lesfonctions (u”: p”) admettent les dkveloppements asymptotiques
Approximation
,;O(pj+l ,pt) = -%w
oti yj(r)
= {u E TH-l/*(r):
. r(gii1 I’
A n) . gradrpf
rotr u E W/2+~“Pj(r)}
et
de
Leontovich
- a’(gradpj,grad2,‘):
Ia
constante
de h.
C est indkpendante
5. Conclusion Dans [2], nous avons montrC B I’aide d’une formulation intkgrale et d’une dkomposition de Hodge que l’approximation de type Leontovich conduit 2 un problkme de perturbation singulikre. Cette perturbation singulikre Porte uniquement sur le rotationnel surfacique de la den& de courant. Cette quantitC n’est autre que tlivr H”,, oti HF est la composante tangentielle du champ magnttique sur le bord r’ du noyau conducteur (2’. Dans cette Note, notre formulation variationnelle (3) montre que la perturbation singulikre est uniquement sur l’inconnue p’ qui s’avkre Ctre l’image par A,;’ de la partie singulikre de la divergence surfacique de Hk lorsque le coefficient 11,est constant. Les kquations de Maxwell avec une condition aux limites de type Leontovich nkessitent alors un traitement numkrique spkcifique. Une famille d’C1Cmentsfinis d’ordre ClevC ou un maillage plus fin doit &tre utilik pour la discrktisation de la divergence surfacique de H, ’ lorsque les coefficients sont constants. et de la fonction ph lorsqu’ils sont variables. Note
remise et accepteele 28 juillet 1997.
RCftkences bibliographiques [I] Abboud 121 Ammari equations.
[3] Ammari
T. et NCdelec J.-C., 1992. Electromagnetic H., Latiri-Grouz C. et NCdelec J.-C.
waves in an inhomogeneous The Leontovich boundary
value
medium, .I. Mafl~. Antrl. App/., problem for the time-harmonic
164, p. 10-58. Maxwell
St paraitre.
C. et Nedelec J.-C. Scattering of Maxwell’s equations with a Leontovich boundary condition medium: a singular perturbation problem, h paraitre. [I] Bendali A., 1984. Numerical analysis of the exterior boundary value problem for the time-harmonic Maxwell equatkns by a boundary finite element. Part I: the continuous problem. Mnrk. Conzput.. 43. p. 29-46. 151 Birman M. Sb. et Solomyak M. Z., 1987. &-Theory of the Maxwell operator in arbitrary domains. Russ. Mark Sure., in an
H., Latiri-Grow
inhomogeneous
425, 75-96. [6] Kirscb A. et Monk W.‘, SIAM J. A&.
P., 1995. A Finite element/spectral Moth.. 55, p. 1324-1344.
method
for
approximatin,
0 the time-harmonic
Maxwell
system
in
681
SCrie
I, p. 677-681, Physics
1997
Approximation de Leontovich pour les hquations de Maxwell & coefficients variables : un probEme de perturbation singuli&re Habib
AMMARI,
Cbiraz
LATIRI-GROUZ
et Jean-Claude
Nl?Dl?LEC
$I. A.? C. L. G. rt J.-C. N. : Crn trp tlr Mathimatiqnes
ApplicIu~rs. CNKS UKA 756. Ecole Polytechnique, 91118 Palaisean Crdrx, France : H. A. : Dipartrmrnt cl’Elrc:tromaanCtisme, Institut Royal de Twhnologir, SnPdr E-mail : amn~ari~cmal~x.l~olyt~rhni~l~~e.fr. latiri~rmal,x.polyt~~hni~l~~~~.f~ nrd~le~@rmal~x.l~olyt~~hni~l~~~.fr
R&urn&
Nous donnons une formulation variationnelle pour les equations de Maxwell & coefficients variables avec une condition aux limites de type Leontovich et nous
montrons que I’approximation de type Leontovich conduit g un probltme de perturbationsingulike. Scattering boundary
of Maxwell’s equwtions u?ith condition in an inhomogeneous
a sing&r
perturbation
a Leontovich medium:
problem
Abstract.
The limiting behuvior of the unique solution to the scattering problem ,for Muxwell’s equations with u Leontovich boundary condition in an inhomogeneous medium, us the impeduncr goes to zero, is investigated. Making use of a Hodgc decomposition lemma, it is shown that the Leontovich bounda? condition It&v to a singular perturbation problem.
Abridged
English
Version
A lossy body 52”composedof a material whose permittivity and permeability may vary as a function of position is immersed in a bounded dielectric object and illuminated by an electromagnetic field. At high conductivity, the lossy dielectric body can be replaced by a Leontovich boundary condition applied on its boundary I?. This approximate boundary condition provides an approximate relationship between the electric and magnetic fields on the boundary of the high conducting body. Our main purpose in this Note is to show how this widely used approximate boundary condition yields to a singular perturbation problem for the Maxwell equations. A specific numerical treatement Note prksent6e par Philippe 0764.4442/97/03250677
G. CIARLET.
0 Acadhie
des ScienceGSlsevier,
Paris
b/I
H. Ammari,
C. Latiri-Crouz
et J.-C.
NCdClec
of the Leontovich boundary value problem for the time-harmonic Maxwell equations is then required to achieve a sufficient accuracy. In analyzing this singular perturbation problem, we also provide a new variational proof of the existence of solutions to the scattering problem for the Maxwell- equations with an impedance boundary condition in an inhomogeneous medium. Let 0~ = (R3 \ P:) n BR, where Bn is a ball of radius R containing the dielectric object. By making use of the Hodge decomposition Lemma 3.2 of the Sobolev space II (introduced in section 2), we reduce our scattering problem for the Maxwell equations to the variational equations (3) on Wdiv(flR) x P(fl~). Theorem 3.1 shows that this system of variational equations has a unique solution (u”, p’) in Wdiv(flR) x P(RII). We prove (Theorem 4.1) the convergence of the solution of the Leontovich boundary value problem (l)(2) to that of the scattering problem from a perfectly conducting body when the parameter 6 in the boundary condition (2) goes to zero, and we estimate its rate if the data go (the limit of g” when S goes to zero) is more regular. We also give a complete asymptotic solution for (3) (Theorem 4.2) by constructing complete asymptotic expansions for its solution of the form u6 = c b’j rrj and j=o $ = -pp’, where the upper limit in the sum depends on the smoothness of the data g”. Our j=O
main result is that the widely for only the scalar unknown a sufficient accuracy of this of such higher order finite
used Leontovich approximation leads to a singular perturbation problem I)‘. The use of higher order finite elements is then necessary to achieve quantity. The computation of the quantity u6 does not require the use elements.
1. Introduction Soient R” un ouvert borne regulier de W3 et R’ le complementaire de @ dans W3. Considerons la propagation d’ondes electromagnetiques dans le milieu dielectrique Ri isotrope caracterise par sa permittivite Clectrique E, sa permeabilite magnetique p. Les fonctions E et 11 sont complexes et verifient !I&& > 0 et Re /L > 0. Nous supposons de plus que ces coefficients sont de classe C2 par morceaux et discontinus le long de surfaces regulibes. On note par ~0 et ~0, respectivement, la permittivite et la permeabilite du vide 0’. Nous supposons que l’objet dielectrique 0’ contient un noyau 0” de conductivite Clectrique (T elevee. Une approximation couramment utilisee est cellle de la condition de Leontovich sur le bord r de 0’. Cette approximation consiste a remplacer le noyau R’ par une condition d’impedance sur l?. L’objet de cette Note est de demontrer que cette approximation conduit a un probleme de perturbation singuliere pour les equations de Maxwell. Le cas d’un milieu homogtne a et6 CtudiC par les auteurs a l’aide de la methode des equations integrales dans [21.
2. Formulation
du problkme
Notons n la normale sortante a l? et ur la composante tangentielle du champ de vecteur u sur r. Soient ti le complementaire de !GY dans R3 et R d = R’ \ @. Nous introduisons une boule de rayon R assez grand pour contenir la surface r et la zone R” ou les coefficients E et IL varient. Nous notons SR la sphere correspondante, BR la boule interieure a Sn, P la normale sortante a SR et flR = R II Bn. Nous introduisons la forme ((. , .)) definie par : ((u,v))
= /
rotu QR
678
. rotu+
/ pu * OR
. v.
Approximation
de Leontovich
Nous notons enfin les espaces
H(rot, RR) ={ u E (L2(RR))3; rot u E (L2(n,))3}, TH”(r) TH”(rot,
={ u E (H”(r))3;
r) ={ u E TH”(r);
H(OR)
={ u E H(rot,
={ u E (H’(nf$))3;
Hdiv(fitR)
u .n =
J nR
rotr u E
0
1
!
Hyr)}2
In,); ur E
2x2(r)},
pu . gradq
= 0,Vq
E H’(CI,)}
et
Soient zc une constante strictement positive, z une fonction bornee sur r telle que sRe(z) > z. > 0, Sm (2) > 0, et w, S deux constantes strictement positives. L’approximation de Leontovich consiste a chercher E6 et H6 verifiant les equations de Maxwell : rotE6
(1) la condition
de radiation
= iwpHH6!
de Silver-Mtiller
rot H6 = -iw& et la condition
-Et+i6zH6
(2)
An
E6
dans 0,
aux limites :
= g”
surr,
oti g6 est un champ tangentiel donne sur I’. Le parametre 5 est de l’ordre de l/fi, conductivid Clectrique du noyau conducteur 0” et la fonction z est son impedance.
3. RCsultats
d’existence
oti CTest la
et d’unicitb
Les proprittts de coercivite de l’operateur pseudo-differentiel G’, dtfini par &F(k A HIS,%) = ou E et H sont solutions sortantes des equations de Maxwell a l’exterieur de la boule BR fr A EIsH, (voir [6]), permettent de demontrer le resultat d’unicite suivant : LEMME ‘3.1. - La kquations de Maxwell (1) avec la condition radiation de Silver-Miiller admettent au plus une solution. En utilisant le :
aux limites (2) et la condition
de
LEMME 3.2. - L’espace W(~R) se dkcompose en deux espaces orthogonaux pour Ze produit ((., .)) de la man&e suivante : W(RR) = Wdiv(flR) $ grad $(RR). Cette d&composition est dite de Hodge. Nous dtmontrons le : LEMME 3.3, - Nous supposons que g” E TH-1/2(r) et rotrg6 E H-l(r). variationnelle mixte suivante, dont [es inconnues sont us E b!div(fiR) et p6 E P(fl~)
uO(d, u”) + s aylf , u”) = -iw (3) h”(p”:pt)
+ Sa1(gradp6,gradpt)
J r
(g” A n) . uh - Sa’(gradp’,
= -iw
J I-
(g6 A n) . gradr
Lu formulhtion :
ut), pt - 6 a1(u6. gradpt),
679
H. Ammari,
C. Latiri-Grouz
et J.-C.
NCd6lec
pgradp
grad$
+ aw(G’(%
A gradp):
(;C A grad$)
A ii).
est telle que H6 = u6 + grad p” et Eh = Lrot H” sont solutions duns W( QR) x W( 0,) des e’quations de Maxwell (1) avec la condition aux lim%s (2) de type Leontovich et la condition de radiation. I1 est facile de voir que la forme bilinkaire ‘iO(p”,pt) + S al(gradp”, gradIf), dont l’incormue est la fonction scalaire p”, est la somme d’une forme coercive sur P(ll~) x P(QR) et d’ une perturbation compacte sur cet espace. D’autre part, d’aprks [ 11, nous dkmontrons que la formulation variationnelle II’(u&. u’)+b a1 (11”: ut), dont l’inconnue est u6, est la somme d’une forme bilinkaire coercive sur Wdiv(OR) x Wdiy(d2R) et d’une perturbation compacte sur cet espace. Nous avons le : TH~ORBME 3.1. - No14.s supposonsque g’ E THP1’*(I’) et rotr g” E H-‘(r). kquations variationnelles (3) admet une unique solution duns W,,i,.(12R) x P( 0~).
4. RQultats
Le systtke des
de convergence
Lorsque le paramktre S tend vers z&o, nous dkmontrons le : THI?OR~?ME 4.1. - No14s supposonsque g” converge duns TH-l/*(rot: I’) vers 14n chump tangentiel go sur I?. Les fonctions (18, p6) convergent duns W,~i,(O~) x Hl(O*)/C fort vers les fonctions (u”, p’) d+nies comme l’unique solution dans kI,,i\.(O,) x H’ (OR)/C du systsme des bquations variationnelles :
aO(uO,d) = -iw (4) iiO(pO,p”) = -iw Si deplus, rotr go E Hl/*(I’),
.I r
(go A n) . II:%
J r
(go A n)
V Ut E Wdiv(flR),
gradrp*,
‘dp’ E Hl(Rx)/C.
ulors le tauxde convergence estde l’ordre de h+llg” -gOIITH~I:,!Cro+,TI.
Remarquons que les champs Ho = u” + gradp”
et E” = Lrot
Ho sont solutions dans
H(rot. 62~) x H(rot,, Szn) des equations de Maxwell (1) avec la condi% aux limites de type Dirichlet sur r : -EF = go E TH-l/‘(rot: r). Nous renvoyons B [2] pour les techniques de dkmonstration de ce dernier thCor&mequi nous permet par ailleurs de construire l’asymptotique compkte de (E”: H”) : TH~OR~ME Hl/*+j+j(q:
suivants :
680
4.2. - Soit N E N. Supposons que g’ = go + . + 6” g"' + . , 02 rot,r g.7 E 0 5 j < N. Alors, lesfonctions (u”: p”) admettent les dkveloppements asymptotiques
Approximation
,;O(pj+l ,pt) = -%w
oti yj(r)
= {u E TH-l/*(r):
. r(gii1 I’
A n) . gradrpf
rotr u E W/2+~“Pj(r)}
et
de
Leontovich
- a’(gradpj,grad2,‘):
Ia
constante
de h.
C est indkpendante
5. Conclusion Dans [2], nous avons montrC B I’aide d’une formulation intkgrale et d’une dkomposition de Hodge que l’approximation de type Leontovich conduit 2 un problkme de perturbation singulikre. Cette perturbation singulikre Porte uniquement sur le rotationnel surfacique de la den& de courant. Cette quantitC n’est autre que tlivr H”,, oti HF est la composante tangentielle du champ magnttique sur le bord r’ du noyau conducteur (2’. Dans cette Note, notre formulation variationnelle (3) montre que la perturbation singulikre est uniquement sur l’inconnue p’ qui s’avkre Ctre l’image par A,;’ de la partie singulikre de la divergence surfacique de Hk lorsque le coefficient 11,est constant. Les kquations de Maxwell avec une condition aux limites de type Leontovich nkessitent alors un traitement numkrique spkcifique. Une famille d’C1Cmentsfinis d’ordre ClevC ou un maillage plus fin doit &tre utilik pour la discrktisation de la divergence surfacique de H, ’ lorsque les coefficients sont constants. et de la fonction ph lorsqu’ils sont variables. Note
remise et accepteele 28 juillet 1997.
RCftkences bibliographiques [I] Abboud 121 Ammari equations.
[3] Ammari
T. et NCdelec J.-C., 1992. Electromagnetic H., Latiri-Grouz C. et NCdelec J.-C.
waves in an inhomogeneous The Leontovich boundary
value
medium, .I. Mafl~. Antrl. App/., problem for the time-harmonic
164, p. 10-58. Maxwell
St paraitre.
C. et Nedelec J.-C. Scattering of Maxwell’s equations with a Leontovich boundary condition medium: a singular perturbation problem, h paraitre. [I] Bendali A., 1984. Numerical analysis of the exterior boundary value problem for the time-harmonic Maxwell equatkns by a boundary finite element. Part I: the continuous problem. Mnrk. Conzput.. 43. p. 29-46. 151 Birman M. Sb. et Solomyak M. Z., 1987. &-Theory of the Maxwell operator in arbitrary domains. Russ. Mark Sure., in an
H., Latiri-Grow
inhomogeneous
425, 75-96. [6] Kirscb A. et Monk W.‘, SIAM J. A&.
P., 1995. A Finite element/spectral Moth.. 55, p. 1324-1344.
method
for
approximatin,
0 the time-harmonic
Maxwell
system
in
681