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Un résultat de densité pour les équations de Maxwell régularisées dans un domaine lipschitzien
C. R. Acad. Sci. Paris, t. 327, SCrie I, p. 849-854, 1998 Probkmes mathkmatiques de la mkanique/Mathematical
Un r&&hat r&gulari&es Martin
(Requ
(UMR
CNRS
le 2 septembre
R&urn&
in Mechanics
de densit pour les 6quations dans un domaine lipschitzien
COSTABEL,
IRMAR
Problems
Monique 6625). 1998.
U nl~ersiti: . aweptt
de Maxwell
DAUGE de Rennes le 28 septenhre
1, campus
de Beaulieu,
35042
Rennes
cedex,
France
1998)
Nous montrons la densite des fonctions rkgulibres dans I’espace des champs de vecteurs L’ ?I divergence et rotationnel L”, et dont la trace tangentielle (ou normale) est L’ sur le bord. Notre dkmonstration est bake sur des thCor&mes de rCgularitC dans les domaines lipschitriens et constitue une simplification et une gCn&alisation du rksultat de [3]. G Acadkmie des Sciences/Elsevier, Paris
A density result for the regularized in a Lipschitz domain
Maxwell
equations
Abstract.
We show the density of smooth functions in the spuce of square integruble vector fields whose curl, divergence, and tangentinl (or normal) trace on the boundary ure square integrable. Our proof is based on the H”” regularity for the Dirichlet und Neumann problems and constitutes a simpli$cution and generalization of [3]. 0 Acad$mie des SciencesMsevier. Paris
A bridged
Engiish
Version
Let (1 be a bounded Lipschitz domain in R‘, d = 2 or 3. Let W be the Hilbert space of vector fields that are square integrable on R together with their curl and divergence and whose tangential component is square integrable on dS2. This space with its natural norm,
appears as energy space in certain variational formulations of electromagnetic boundary value problems, for example for the time-harmonic Maxwell equations “regularized” (see [ 1I]) by the addition of a graddiv term. The boundary L* norm can correspond to weak formulations of impedance boundary conditions or a penalization of perfect conductor boundary conditions. Note
prCsentCe par kvariste
0764.4442/98/03270849
SANCHEZ-PALENCIA.
0 AcadCmie des SciencedElsevier, Paris
849
M.
Costabel,
M.
Dauge
The density of Hi(Q) vector fields in IV is then necessary for the convergence of conforming finite element methods. That this is a nontrivial question is shown by the example of the subspace X1\, of W consisting of vector fields with vanishing tangential trace on 80. On non-convex polyhedra, Xn; n Hl(0) is not dense in XN [5], and this causes some finite element methods to give incorrect results [6]. We give a proof of the following result. THEOREM Y”(2)
d is densein W.
The corresponding result holds where the tangential component on the boundary is replaced by the normal component. For polyhedra, this result was obtained recently [3]. We give a different proof which works for general Lipschitz domains. Our proof usesthe H”j2(12) regularity of harmonic functions with Dirichlet data in Hi(dQ) or Neumann data in L2(3R). On Lipschitz domains, this is a deep result by Jerison and Kenig [13]. For piecewise smooth domains, it is a standard consequenceof the regularity theory based on Mellin techniques [S]. Thus, the first stage of the proof relies on the following decomposition of the space W: LEMMA
W = H1(R)d f { gradcp 19 E H3i2(Q); Ap E L2(R)}. The proof of the theorem is completed by generalizing a proof of Grisvard [lo] of the density of (C”(n) functions in the space of H1(a) functions with square integrable Laplacian. LEMMA. - Let H”(A;R) = {p E H”(R) ( Ay s < 2, Km(a) is dense in H”(A;Q).
E L2(0)}
with its natural norm. Then for any
Since this lemma holds not only for s = 3/2, we obtain a generalization of the theorem, valid for polyhedra, where the L2 norm on the boundary is replaced by other Sobolev norms.
1. Le rCsultat
principal
Sauf mention du contraire duns toute cette Note, It dksigne un domaine lipschitzien borne’ dans Rd avec d = 2 ou 3. L’espace H(rot; 0) est defini de man&e classique comme l’espace des champs u dans L2(fi)” tels que rot u E L2(0)3 si d = 3 et rotu E L2(0) si d = 2. Plus simplement, H(div; 0) est l’espace des champs u dans L2(Q)” tels que divrc E L2(R). Enfin, l’espace H(rot, div; 0) est l’intersection H(rot; 0) n H(div; R). Ici, nous nous interessons aux sous-espacesde H(rot, div; 0) a traces normales ou tangentielles dans L2 (80). Avec it la normale exterieure a i3R: V = {u E H(rot,div;o)
] u .n E L2(;3S2)},
W = {U E H(rot,div;fl)
1u x IZ E L’(d62)“).
Rappelons que si l’espace H(rot; Q) peut convenir a la formulation variationnelle des equations de Maxwell, on peut lui preferer l’emploi de H(rot, div; C?),ce qui correspond a CC regulariser >>la forme bilineaire (rot ., rot .) par (div .: div .) (voir [ 111).La condition sur la trace tangentielle presente dans l’espace W peut convenir, soit a une formulation faible de conditions aux limites d’impedance, soit
850
Un rCsultat de densite pour les Cquations de Maxwell
rCgularisCes dans un domaine
lipschitzien
a la penalisation des conditions aux limites du conducteur parfait. On est amen6 a envisager une telle penalisation parce que le sous-espaceX Lo de W B traces tangentielles nulles n’admet pas de sous-espacedense de fonctions Y”“(2) en general, eoir $5. D’ou l’importance du : THI~OR~ME1. - Les espacesV et W coiizcident et ‘k’“(a)
est denseduns V et duns W.
La structure de la preuve est similaire a celle de [3] et repose sur trois lemmes.
2. Le passage aux gradients Les elements de V ou 1%’qui sont des gradients grad y sont tels que A(F E L2(0) avec de la regular&C sur la trace de Neumann ou la trace de Dirichlet. C’est pourquoi nous introduisons pour s > .+ : i+ = {p E H1(62) ] Acp E L’(R): i?
= {cp E H1(R) ( Acp E L’(0);
d,,cpl,, E H”-‘(dR)}, pIan E H”(i3R)).
LEMME 1 (voir [4]). - Soit 12 simplemerztconnexe. On a V = H1(0)d + { gradcp 1p E Q’}.
W=Hl(~)“+{grad~(~E~‘}
et comme les espacesG1 et F1 cotizcident, on a l’&galite’ V = W. Ce lemme repose sur la construction classique de uu E H’(Q)” tel que rot ug = rot U, voir [9], [l]. Ainsi, u E 1’ (resp. u E IV) si et seulement si cp E ?’ (resp. 9 E @‘). L’equivalence, pour (t7E H1(0) tel que A(p E L’(Q), des conditions
decoule des inegalites de Rellich et a CtCobservee par NeCas [ 151 et Jerison et Kenig [ 131.
3. La r6gularitC
des potentiels
Par le lemme 1, nous sommesramenes a l’etude des t< potentiels >>p. Introduisons, pour s < 2, le nouvel espace HS(A; R) = {‘p E H”(R) 1Ap E L’(0)). LEMME 2 (voir [14], car. 5.7). - Les espacese1 et @’ coiizcident avec Hd (A; St). L’inclusion @l c Hz (a) est un cas limite de la regularite elliptique pour le probleme de Dirichlet sur un domaine lipschitzien. Elle se trouve dans [ 121, avec une demonstration detaillee dans [ 141. L’inclusion inverse Hs (A; f2) C @’ n’est pas triviale non plus car le theoreme de traces standardpest faux pour R lipschitzien en general (voir [14], prop. 3.2). C’est la condition supplementaire sur le laplacien Acp E L’(0) qui en assurela validite. Notons par ailleurs que, pour tout s, f < s < 1, les Cgalites
sont encore vraies et peuvent se demontrer par des techniques plus Clementaires (voir [5]). En revanche, ce resultat n’aurait pas de senspour s > 1 car Ies espacesH”(%l) n’admettent alors pas de definition naturelle pour R lipschitzien.
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M.
Costabel,
M.
4. La densitk
Dauge
dans les espaces de potentiels
LEMME 3. - Pour tout s < 2, les fonctions
% “(1)
sent denses dans H”(A;
Q).
DPmonstrution. - Elle suit celle de Grisvard [lo], Lemma 1.5.3.9, Ctablie pour le cas s = 1. Soit e dans le dual de H”(A; (1) satisfaisant e(p) = 0 pour tout cp E 5?(Q). Nous allons demontrer que e(p) = 0 pour tout cp E H”(A; 0). L’application y H (cp, Acp) Ctant une isometric de H”(A; 12) sur un sous-espace de H”(0) x L”(I?), la fonctionnelle 1 admet la representation pour tout +Y E Hs(A; 0)
P(Y)= 4(~)+ ,l gAR
avec
f E H’(n)’
et 9 E L2(0).
(1)
Rappelons que, comme sr2 est lipschitzien, pour tout t E [w, H’(b2) est l’espace des restrictions des elements de Ht(Rd) a 0, et son dual H’(f2)’ s’identifie au sous-espace Hdt(12) des distributions de Hpt(lW”) a support dans 2. Ainsi, le prolongement Pnf de j par zero dans [w” \ 1 est dans H-“(IW”) et on a f(Y) La relation
Pour tout cp E H”(R)
= (POf>PY) (1) s’ecrit
et tout prolongement
Pp E H”(IW”)
de 9.
done P(y) = (Pof, Pv) +
9 Acp:
avec
J’Cl
Le fait que [(cp) = 0 pour tout cp E Z “(t) (Paf, li/) = -(P,,9:
Pof E fih(62).
donne alors A$)
pour tout ~4 E K:,“(@),
done que -APag = Pof au sens des distributions sur Iw”. Ceci entraine que PO.9 est dans HfO:S(W”), done darts fi2-“(12). Rappelons que pour tout t E Iw, Ht(a2) est un espace de distributions sur 0, et qu’ainsi, 5 r(S2) est dense dans son dual. convergeant vers PO.9 dans H2-“(Iw”). Par consequent Soit done (.cI,,),~>~~ une suite dans ‘Z:(n) et, comme s < 2, .yTn.-+ 9 dans L2(0). Ainsi, pouvons-nous conclure - Agm -+ Pof dani H-“&Id) que pour tout cp E H”(A; 5I) on a
=
5. lhape
lim ,n-cc
(( -AgnL!
PY)
+
(gl,L,
APp))
=
0
finale et commentaires
La demonstration du theoreme s’effectue alors comme dans [3]. Par troncature, on peut se ramener au cas d’un domaine simplement connexe. Grace au lemme 1, tout u dans W se decompose en u. + grad ye avec 9 dans @l. D’apres le lemme 2, ye appartient a Hz (A; 0), dans lequel V”(n) est dense d’apres le lemme 3. 11existe done des suites (v,,,)~,~~~ dans K “(2)” et ((p11L)m20 dans Y”(D)
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Un
&ultat
de densit6
pour
les Cquations
de Maxwell
rbgularisbes
dans
un domaine
lipschitzien
telles que Y,, --+ ua dans H1 (U)“, done dans IV, et prr, 4 cp dans %, done grad (P~,~-+ grad cp dans IV. Done v,, + grad (pin -+ II dans IV. q 11 est interessant de comparer le resultat du theoreme I avec les resultats de den&e* et de non-densite’ connus par ailleurs. 5.1. on a (i) (ii)
Maxwell non-rkgularise’. toujours densite : C “(2)” est dense dans Y4r(0)” est dense dans sur db2, [9], (iii) % “(0)” est dense dans
wq,
Si l’on considere les espaces bases uniquement
sur le rotationnel,
l’espace H(rot; a), [9], le sous-espace des u E H(rot; ft) a trace tangentielle
u x n nulle
le sous-espace
u x n dans
des u E H(rot: 0) a trace tangentielle
[21.
5.2. Maxwell rkgularisk par la divergence. - Alors que Ka(z)d est dense dans l’espace H(rot, div; n), [9], la situation est plus delicate en ce qui concerne les espaces XT = {u E H(rot,div;
0) 1u . ~~~~~ = 0):
X,V = {u E H(rot:div;
0) 1u x 121i)I) = O}.
Pour un polyedre 0 (ou un polygone si d = 2), on a (i) X,v n H’(Q)” est dense dans l’espace X1v si et seulement si R est convexe, [5], (ii) X,v fl %“(R)d est dense dans XN n H1(0)“, [7], (iii) Done si R est un polyedre non convexe, XN n ‘6 “(62)” n’est pas dense dans XN, et les resultats correspondants pour XT.
6. Extension
du rksultat
principal
Pour s > i, on introduit
la gamme d’espaces
V” = {U E H(rot, div; C2) 1 u n E H”-‘(ab2)}, W” = {u E H(rot,div;
12) 1 II x n E H”-‘(d$2)“}~
contenant V comme V1 et W comme W1. Si 62 est lipschitzien, pour tout s, i < s 5 1, les espaces V” et W” cokcident et Km((n)d y est dense. Comme on l’a deja signale, la barriere s = 1 est infranchissable pour un domaine lipschitzien quelconque. En revanche, si (2 est un polykdre lipschitzien, alors on peut monter jusqu’a la limite de regularit des problemes de Dirichlet et de Neumann : il existe SC?5 $ maximal tel que pour tout s, i < s < so
La valeur de so depend de l’ouverture des a&es de 12 et des exposants de singularites Dirichlet et Neumann aux coins de II, [8]. Pour tout polyedre lipschitzien, SQ est strictement plus grand que 1. On a : THI~O&ME 2. - Si Cl est un polyedre lipschitzien, avec so ci-dessus d@ni, pour tout S, $ < s < so, les espaces V” et W’” cotizcident, et Y”(a)d est dense duns V” = W”.
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M. Costabel,
M. Dauge
R6fkences bibliographiques [I] Amrouche C., Bernardi C., Dauge M., Girault V., Vector potentials in three-dimensional nonsmooth domains, Math. Meth. Appl. Sci. 21 (1998) 823-864. [Z] Ben Belgacem F., Bernardi C., Costabel M., Dauge M., Un resultat de densite pour les equations de Maxwell, C. R. Acad. Sci. Paris 324 (6) Serie I (1997) 731-736. [3] Ciarlet P., Jr., Hazard C., Lohrengei S., Les equations de Maxwell dans un polyedre : un rtsultat de densid. C. R. Acad. Sci. Paris, SCrie I (1998) (a paraitre). [4] Costabel M., A remark on the regularity of solutions of Maxwell’s equations on Lipschitz domains, Math. Methods Appl. Sci. 12 (4) (1990) 365-368. [5] Costabel M., A coercive bilinear form for Maxwell’s equations, J. Math. Anal. Appl. 1.57 (2) (1991) 527-541. [6] Costabel M., Dauge M., Maxwell and Lame eigenvalues on polyhedra, Preprint 98-08, Universite de Rennes 1, 1998, Math. Meth. Appl. Sci. (a paraitre). ]7] Costabel M., Dauge M.. Nicaise S., Singularities of Maxwell interface problems, Preprint 98-24, Universite de Rennes 1, 1998. http://www.maths.univ-rennes 1.frTdauge/. Model. Math. Anal. Numer. (a paraftre). [B] Dauge M., Elliptic Boundary Value Problems in Corner Domains - Smoothness and Asymptotics of Solutions, Lect. Notes in Math. 134 I, Springer-Verlag, Berlin, 1988. [9] Girault V., Raviart P., Finite Element Methods for the Navier-Stokes Equations, Theory and Algorithms. Springer Series in Computat. Math. 5, Springer-Verlag, Berlin, 1986. [IO] Grisvard P., Boundary Value Problems in Non-Smooth Domains, Pitman, London, 1985. [I I] Hazard C., Lenoir M., On the solution of time-harmonic scattering problems for Maxwell’s equations, SIAM J. Math. Anal. 27 (6) (1996) 1597-1630. [12] Jerison D.S., Kenig C.E., The inhomogeneous Dirichlet problem in Lipschitz domains, J. Funct. Anal. 130 (1) (1995) 161-219. [ 131 Jerison D.S., Kenig C.E., The Neumann problem on Lipschitz domains, Bull. Amer. Math. Sot. (N.S.) 4 (2) (1981) 203-207. [ 141 Jerison D.S., Kenig C.E., Boundary value problems on Lipschitz domains, In: Studies in partial differential equations, Vol. 23, MAA Stud. Math., Math. Assoc. America, Washington, D.C., 1982, pp. l-68. [15] Necas J.. Les methodes directes en theorie des equations elliptiques, Masson et Cie (Eds.), Paris, 1967.
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Un r&&hat r&gulari&es Martin
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(UMR
CNRS
le 2 septembre
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in Mechanics
de densit pour les 6quations dans un domaine lipschitzien
COSTABEL,
IRMAR
Problems
Monique 6625). 1998.
U nl~ersiti: . aweptt
de Maxwell
DAUGE de Rennes le 28 septenhre
1, campus
de Beaulieu,
35042
Rennes
cedex,
France
1998)
Nous montrons la densite des fonctions rkgulibres dans I’espace des champs de vecteurs L’ ?I divergence et rotationnel L”, et dont la trace tangentielle (ou normale) est L’ sur le bord. Notre dkmonstration est bake sur des thCor&mes de rCgularitC dans les domaines lipschitriens et constitue une simplification et une gCn&alisation du rksultat de [3]. G Acadkmie des Sciences/Elsevier, Paris
A density result for the regularized in a Lipschitz domain
Maxwell
equations
Abstract.
We show the density of smooth functions in the spuce of square integruble vector fields whose curl, divergence, and tangentinl (or normal) trace on the boundary ure square integrable. Our proof is based on the H”” regularity for the Dirichlet und Neumann problems and constitutes a simpli$cution and generalization of [3]. 0 Acad$mie des SciencesMsevier. Paris
A bridged
Engiish
Version
Let (1 be a bounded Lipschitz domain in R‘, d = 2 or 3. Let W be the Hilbert space of vector fields that are square integrable on R together with their curl and divergence and whose tangential component is square integrable on dS2. This space with its natural norm,
appears as energy space in certain variational formulations of electromagnetic boundary value problems, for example for the time-harmonic Maxwell equations “regularized” (see [ 1I]) by the addition of a graddiv term. The boundary L* norm can correspond to weak formulations of impedance boundary conditions or a penalization of perfect conductor boundary conditions. Note
prCsentCe par kvariste
0764.4442/98/03270849
SANCHEZ-PALENCIA.
0 AcadCmie des SciencedElsevier, Paris
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M.
Costabel,
M.
Dauge
The density of Hi(Q) vector fields in IV is then necessary for the convergence of conforming finite element methods. That this is a nontrivial question is shown by the example of the subspace X1\, of W consisting of vector fields with vanishing tangential trace on 80. On non-convex polyhedra, Xn; n Hl(0) is not dense in XN [5], and this causes some finite element methods to give incorrect results [6]. We give a proof of the following result. THEOREM Y”(2)
d is densein W.
The corresponding result holds where the tangential component on the boundary is replaced by the normal component. For polyhedra, this result was obtained recently [3]. We give a different proof which works for general Lipschitz domains. Our proof usesthe H”j2(12) regularity of harmonic functions with Dirichlet data in Hi(dQ) or Neumann data in L2(3R). On Lipschitz domains, this is a deep result by Jerison and Kenig [13]. For piecewise smooth domains, it is a standard consequenceof the regularity theory based on Mellin techniques [S]. Thus, the first stage of the proof relies on the following decomposition of the space W: LEMMA
W = H1(R)d f { gradcp 19 E H3i2(Q); Ap E L2(R)}. The proof of the theorem is completed by generalizing a proof of Grisvard [lo] of the density of (C”(n) functions in the space of H1(a) functions with square integrable Laplacian. LEMMA. - Let H”(A;R) = {p E H”(R) ( Ay s < 2, Km(a) is dense in H”(A;Q).
E L2(0)}
with its natural norm. Then for any
Since this lemma holds not only for s = 3/2, we obtain a generalization of the theorem, valid for polyhedra, where the L2 norm on the boundary is replaced by other Sobolev norms.
1. Le rCsultat
principal
Sauf mention du contraire duns toute cette Note, It dksigne un domaine lipschitzien borne’ dans Rd avec d = 2 ou 3. L’espace H(rot; 0) est defini de man&e classique comme l’espace des champs u dans L2(fi)” tels que rot u E L2(0)3 si d = 3 et rotu E L2(0) si d = 2. Plus simplement, H(div; 0) est l’espace des champs u dans L2(Q)” tels que divrc E L2(R). Enfin, l’espace H(rot, div; 0) est l’intersection H(rot; 0) n H(div; R). Ici, nous nous interessons aux sous-espacesde H(rot, div; 0) a traces normales ou tangentielles dans L2 (80). Avec it la normale exterieure a i3R: V = {u E H(rot,div;o)
] u .n E L2(;3S2)},
W = {U E H(rot,div;fl)
1u x IZ E L’(d62)“).
Rappelons que si l’espace H(rot; Q) peut convenir a la formulation variationnelle des equations de Maxwell, on peut lui preferer l’emploi de H(rot, div; C?),ce qui correspond a CC regulariser >>la forme bilineaire (rot ., rot .) par (div .: div .) (voir [ 111).La condition sur la trace tangentielle presente dans l’espace W peut convenir, soit a une formulation faible de conditions aux limites d’impedance, soit
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Un rCsultat de densite pour les Cquations de Maxwell
rCgularisCes dans un domaine
lipschitzien
a la penalisation des conditions aux limites du conducteur parfait. On est amen6 a envisager une telle penalisation parce que le sous-espaceX Lo de W B traces tangentielles nulles n’admet pas de sous-espacedense de fonctions Y”“(2) en general, eoir $5. D’ou l’importance du : THI~OR~ME1. - Les espacesV et W coiizcident et ‘k’“(a)
est denseduns V et duns W.
La structure de la preuve est similaire a celle de [3] et repose sur trois lemmes.
2. Le passage aux gradients Les elements de V ou 1%’qui sont des gradients grad y sont tels que A(F E L2(0) avec de la regular&C sur la trace de Neumann ou la trace de Dirichlet. C’est pourquoi nous introduisons pour s > .+ : i+ = {p E H1(62) ] Acp E L’(R): i?
= {cp E H1(R) ( Acp E L’(0);
d,,cpl,, E H”-‘(dR)}, pIan E H”(i3R)).
LEMME 1 (voir [4]). - Soit 12 simplemerztconnexe. On a V = H1(0)d + { gradcp 1p E Q’}.
W=Hl(~)“+{grad~(~E~‘}
et comme les espacesG1 et F1 cotizcident, on a l’&galite’ V = W. Ce lemme repose sur la construction classique de uu E H’(Q)” tel que rot ug = rot U, voir [9], [l]. Ainsi, u E 1’ (resp. u E IV) si et seulement si cp E ?’ (resp. 9 E @‘). L’equivalence, pour (t7E H1(0) tel que A(p E L’(Q), des conditions
decoule des inegalites de Rellich et a CtCobservee par NeCas [ 151 et Jerison et Kenig [ 131.
3. La r6gularitC
des potentiels
Par le lemme 1, nous sommesramenes a l’etude des t< potentiels >>p. Introduisons, pour s < 2, le nouvel espace HS(A; R) = {‘p E H”(R) 1Ap E L’(0)). LEMME 2 (voir [14], car. 5.7). - Les espacese1 et @’ coiizcident avec Hd (A; St). L’inclusion @l c Hz (a) est un cas limite de la regularite elliptique pour le probleme de Dirichlet sur un domaine lipschitzien. Elle se trouve dans [ 121, avec une demonstration detaillee dans [ 141. L’inclusion inverse Hs (A; f2) C @’ n’est pas triviale non plus car le theoreme de traces standard
sont encore vraies et peuvent se demontrer par des techniques plus Clementaires (voir [5]). En revanche, ce resultat n’aurait pas de senspour s > 1 car Ies espacesH”(%l) n’admettent alors pas de definition naturelle pour R lipschitzien.
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M.
Costabel,
M.
4. La densitk
Dauge
dans les espaces de potentiels
LEMME 3. - Pour tout s < 2, les fonctions
% “(1)
sent denses dans H”(A;
Q).
DPmonstrution. - Elle suit celle de Grisvard [lo], Lemma 1.5.3.9, Ctablie pour le cas s = 1. Soit e dans le dual de H”(A; (1) satisfaisant e(p) = 0 pour tout cp E 5?(Q). Nous allons demontrer que e(p) = 0 pour tout cp E H”(A; 0). L’application y H (cp, Acp) Ctant une isometric de H”(A; 12) sur un sous-espace de H”(0) x L”(I?), la fonctionnelle 1 admet la representation pour tout +Y E Hs(A; 0)
P(Y)= 4(~)+ ,l gAR
avec
f E H’(n)’
et 9 E L2(0).
(1)
Rappelons que, comme sr2 est lipschitzien, pour tout t E [w, H’(b2) est l’espace des restrictions des elements de Ht(Rd) a 0, et son dual H’(f2)’ s’identifie au sous-espace Hdt(12) des distributions de Hpt(lW”) a support dans 2. Ainsi, le prolongement Pnf de j par zero dans [w” \ 1 est dans H-“(IW”) et on a f(Y) La relation
Pour tout cp E H”(R)
= (POf>PY) (1) s’ecrit
et tout prolongement
Pp E H”(IW”)
de 9.
done P(y) = (Pof, Pv) +
9 Acp:
avec
J’Cl
Le fait que [(cp) = 0 pour tout cp E Z “(t) (Paf, li/) = -(P,,9:
Pof E fih(62).
donne alors A$)
pour tout ~4 E K:,“(@),
done que -APag = Pof au sens des distributions sur Iw”. Ceci entraine que PO.9 est dans HfO:S(W”), done darts fi2-“(12). Rappelons que pour tout t E Iw, Ht(a2) est un espace de distributions sur 0, et qu’ainsi, 5 r(S2) est dense dans son dual. convergeant vers PO.9 dans H2-“(Iw”). Par consequent Soit done (.cI,,),~>~~ une suite dans ‘Z:(n) et, comme s < 2, .yTn.-+ 9 dans L2(0). Ainsi, pouvons-nous conclure - Agm -+ Pof dani H-“&Id) que pour tout cp E H”(A; 5I) on a
=
5. lhape
lim ,n-cc
(( -AgnL!
PY)
+
(gl,L,
APp))
=
0
finale et commentaires
La demonstration du theoreme s’effectue alors comme dans [3]. Par troncature, on peut se ramener au cas d’un domaine simplement connexe. Grace au lemme 1, tout u dans W se decompose en u. + grad ye avec 9 dans @l. D’apres le lemme 2, ye appartient a Hz (A; 0), dans lequel V”(n) est dense d’apres le lemme 3. 11existe done des suites (v,,,)~,~~~ dans K “(2)” et ((p11L)m20 dans Y”(D)
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Un
&ultat
de densit6
pour
les Cquations
de Maxwell
rbgularisbes
dans
un domaine
lipschitzien
telles que Y,, --+ ua dans H1 (U)“, done dans IV, et prr, 4 cp dans %, done grad (P~,~-+ grad cp dans IV. Done v,, + grad (pin -+ II dans IV. q 11 est interessant de comparer le resultat du theoreme I avec les resultats de den&e* et de non-densite’ connus par ailleurs. 5.1. on a (i) (ii)
Maxwell non-rkgularise’. toujours densite : C “(2)” est dense dans Y4r(0)” est dense dans sur db2, [9], (iii) % “(0)” est dense dans
wq,
Si l’on considere les espaces bases uniquement
sur le rotationnel,
l’espace H(rot; a), [9], le sous-espace des u E H(rot; ft) a trace tangentielle
u x n nulle
le sous-espace
u x n dans
des u E H(rot: 0) a trace tangentielle
[21.
5.2. Maxwell rkgularisk par la divergence. - Alors que Ka(z)d est dense dans l’espace H(rot, div; n), [9], la situation est plus delicate en ce qui concerne les espaces XT = {u E H(rot,div;
0) 1u . ~~~~~ = 0):
X,V = {u E H(rot:div;
0) 1u x 121i)I) = O}.
Pour un polyedre 0 (ou un polygone si d = 2), on a (i) X,v n H’(Q)” est dense dans l’espace X1v si et seulement si R est convexe, [5], (ii) X,v fl %“(R)d est dense dans XN n H1(0)“, [7], (iii) Done si R est un polyedre non convexe, XN n ‘6 “(62)” n’est pas dense dans XN, et les resultats correspondants pour XT.
6. Extension
du rksultat
principal
Pour s > i, on introduit
la gamme d’espaces
V” = {U E H(rot, div; C2) 1 u n E H”-‘(ab2)}, W” = {u E H(rot,div;
12) 1 II x n E H”-‘(d$2)“}~
contenant V comme V1 et W comme W1. Si 62 est lipschitzien, pour tout s, i < s 5 1, les espaces V” et W” cokcident et Km((n)d y est dense. Comme on l’a deja signale, la barriere s = 1 est infranchissable pour un domaine lipschitzien quelconque. En revanche, si (2 est un polykdre lipschitzien, alors on peut monter jusqu’a la limite de regularit des problemes de Dirichlet et de Neumann : il existe SC?5 $ maximal tel que pour tout s, i < s < so
La valeur de so depend de l’ouverture des a&es de 12 et des exposants de singularites Dirichlet et Neumann aux coins de II, [8]. Pour tout polyedre lipschitzien, SQ est strictement plus grand que 1. On a : THI~O&ME 2. - Si Cl est un polyedre lipschitzien, avec so ci-dessus d@ni, pour tout S, $ < s < so, les espaces V” et W’” cotizcident, et Y”(a)d est dense duns V” = W”.
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M. Costabel,
M. Dauge
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