Approximations dans le calcul de la diffusion élastique proton-deutéron à moyenne énergie

I

~

NuclearPhysics

A122 (1968) 667--674; (~)

North-HollandPublishiny Co., Amsterdam

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APPROXIMATIONS

DANS LE CALCUL DE

LA DIFFUSION I~LASTIQUE P R O T O N - D E U T I ~ R O N A, M O Y E N N E I ~ N E R G I E M. L ' H U I L L I E R

[nstitut de Physique Nucldaire, Division de Physique Thdorique t, 91-Orsay, France Regu le 8 aoflt 1968

Abstract: Usual calculations o f the proton-deuteron elastic scattering cross section are analysed for

energies of about 100 MeV. Several approximations usually performed in the impulse term, such as the factorization method and the introduction of the free nucleon-nucleon scattering operator (on the energy shell) are studied. The use of a simple separable S-interaction allows the derivation of a ratio between the exact and approximate values of the impulse approximation term. The variations with the incident energy or the centre-of-mass angle are small, and the corrections are not greater than 10 %. This result is due to the properties of the deuteron wave function. We conclude that these approximations are not responsible for the observed disagreement with respect to experiments and that consequently a multiple scattering mechanism must be involved.

1. Introduction L ' 6 t u d e de la diffusion de nucl6ons de g r a n d e 6nergie p a r le d e u t e r i u m est celle qui peut f o u r n i r les meilleurs tests de l ' a p p r o x i m a t i o n d ' i m p u l s i o n . En effet, le d e u t d r o n est le plus simple des n o y a u x ; de plus, en r a i s o n de sa structure particuli6rement lgtche, l ' i n t e r a c t i o n de la particule incidente avec la cible peut-6tre c o m p r i s e c o m m e une succession d ' i n t e r a c t i o n s avec c h a q u e nucl6on d u noyau, interactions tr6s bien a p p r o c h d e s p a r la diffusion nucl6on-nucl6on libre. F o r m e l l e m e n t , les 6quations de F a d d e e v c o n d u i s e n t / t un d 6 v e l o p p e m e n t de la m a trice de diffusion n u c l 6 o n - n o y a u en termes de matrice de diffusion nucldon-nucldon. M i s / l p a r t un terme i n h o m o g 6 n e c o r r e s p o n d a n t / t l'6change d ' u n nucl6on li6 avec le projectile (pick-up), le p r e m i e r o r d r e peut-~tre regard6 c o m m e d6crivant une diffusion du projectile avec c h a q u e nucl6on de la cible [ a p p r o x i m a t i o n d ' i m p u l s i o n ( I A ) ] , m a i s hors de la r6gion p h y s i q u e (non c o n s e r v a t i o n de l'6nergie). L ' 6 v a l u a t i o n des 616ments de matrice de l ' o p d r a t e u r de diffusion (k'l~(E)]k) sou16ve des difficult6s num6riques si on utilise une d e s c r i p t i o n r6aliste de l ' i n t e r a c t i o n et des particules, car elle i m p l i q u e la r6solution d ' u n e 6 q u a t i o n de L i p m a n - S c h w i n g e r . L ' a m p l i t u d e du processus direct de d(p, p ) d est l'int6grale de ces 616ments de matrice pond6r6s p a r les d i s t r i b u t i o n s d ' i m p u l s i o n s d a n s le noyau. O n a d m e t h a b i t u e l l e m e n t que le p o i d s affectant les 616merits de m a t r i c e p o u r les fortes valeurs de ces i m p u l s i o n s est faible, ce qui c o n d u i t / t une f a c t o r i s a t i o n ( S I A ) . t Laboratoire associ6 au CNRS. 667

668

M. L'HUILLIER

En outre plusieurs auteurs 1) ont utilis6 des 616ments de matrice effectifs de l'op6rateur de diffusion ( k ' l ~ ( E ) l k ) dans le syst~me du centre de masse nucl6on-nucl6on en les assimilant par diverses m6thodes ~t des 616ments de matrice sur la couche d'6nergie (approximation de couche d'6nergie) 2 h2 E = h~kZ=--k '2. m m Dans le cadre de ces hypotheses, la diffusion p + d est compl~tement d6termin6e par la connaissance de l'amplitude de diffusion nucl6on-nucl6on libre. Notre but est ici de discuter la validit6 de ces approximations. En effet, les valeurs exp6rimentales de la section efficace et de la polarisation en diffusion 61astique p + d, et les calculs en approximation d'impulsion [Gomez et Kowalski 1)] different de plus en plus quand l'angle de diffusion augmente (surtout pour la polarisation). On doit alors se demander quelle est, dans ce ddsaccord, la part des approximations ci-dessus, faites dans le calcul du terme de diffusion simple et celle de l'omission des termes de diffusion multiple. Pour tenter de r6pondre /t cette question, nous avons utilis6 un mod61e simplifi6 d'interaction nucl6on-nucl6on d6riv6 du potentiel de Tabakin z) permettant le calcul exact du terme de simple diffusion. Puis nous avons effectu6 dans le cadre de ce mod61e les approximations de factorisation et de couche d'6nergie d'o/l nous avons d6duit, en fonction de l'6nergie incidente et de l'angle de diffusion, le rapport entre la valeur exacte et la valeur approch6e du terme de simple diffusion. 2. Formalisme

Nous d6crivons l'interaction nucl60n-nucl60n par un potentiel central s6parable 3) ind6pendant du spin du type 7 2 e-a(r+")/rr ' ce qui conduit gt l'expression exacte 2 1 (k'lT~(E)lk) = -- L ~2 hm' ~ 2 k ' Z + a 2 1

1

,y2

1

1 k2+a 2'

2a ( a + x ) 2 of1 l'on a pos6 x = -i(mE)~/h

(-me~)~/~ = 1.9 fm -~,

si

E > 0

F~ < O, a = 1.15 fm -1

La distribution des impulsions dans le deut6rium sera d6crite par ~ ( p ) = #~ 1 rc p2 + #2 '

/.t = 0.232 f m - 1.

La section efficace diff6rentielle de la diffusion 61astique dans le syst6me du centre

DIFFUSION I~LASTIQUEPROTON-DEUTERON

669

de masse nucl6on-noyau pour des particules non polaris6es (voir fig. 1)

do'_ dr2

[f(l;~3[-(P,2+P13)V2a+L2+~a[l;~3)i[2,

~2~] 44m 21 Z \h] 9 6 ~pi.

isospin

s'exprime apr6s sommation sur les spins par

d__a=

/o~\/,.,~/4

dO

\hi

~z,.[16[T.D.[ z + 3(P.U.) 2 + 8P.U.(Re T.D.)], 9

avec

P.U. -

h 2 tl

m 2

1

(ki + ½kf) 2 +/~2 '

.u2 h2 72 ~4 m

T.D. = - -- -kf

/ -k~

x2 F(x) =o A(x) dX' kt /

/ ~ - (kj+ kO f- k- ~ ; ~ . ,

c

x

-(x.k~(x. ki

/ -k i

ki)

kf

Pick-up

ki

Terme direct

Fig. 1. Termes du premier ordre du d6veloppement de diffusion multiple

P.U. -= ~D*(ki+½kf) h2 - [ ~ + (½k, + k,)2] ~(½k, +/,f), m

T.D. - f dx ~*(x + ½kf)(kr + ½x[ ~(E,)[kl + ½x)tD(x + ½ki) off 3 h2 ex = 4 m (k~--x2)--ed" off

f(x) =

f

1

1

1

1

dr2/~2+(½kf_t_x)2 a2+(kf+½x) 2 a2+(ki+½x) 2 #2+(½ki_l_x) z

A(x)---

1

y2

1

2a [. + {~(x 2 - k~) + ~2}~]2. k i et kf sont les impulsions relatives initiale et finale du proton et du deut&on, 0 l'angle de diffusion, Q les angles polaires de x, ed = (h2/m)t.t2 est l'~nergie de liaison du deut6ron. La fonction F(x) peut-&re exprim6e analytiquement. L'int~gration sur la variable x se fait num~riquement pour le calcul de T.D; x2F(x) est partout continu, mais n6anmoins l'int6gration est d~licate car l'expression formeUe est ind~termin~e pour

670

M. L'HUILLIER

x = x o solution de l'6quation aZ+k~ + i x 2 = /~ , , z ._4 , !~ vi 2 + X 2.

Le p r o g r a m m e num6rique a 6t6 test6 en v6rifiant le c o m p o r t e m e n t de la fonction au voisinage des valeurs limites x ~ Xo, 0 m 0 ou ~ 7r. I

I

1

•

5

/

\

----

/ /

8--

0 °

,,

60

....... ........ ,,

u_

%

°

t20 ° 180 °

4

3

ill'-\ _.A/: :':

.......

0

h

Fig. 2. Variation de

2

f m -1

3

x2F(x) pour l'~nergie incidente Eo = 155 MeV(lab).

D ' a u t r e part l'existence d ' u n 6tat li6 implique que la fonction l/A(x) pr6sente un pole en x¢. N o u s avons 6tudi6 le c o m p o r t e m e n t de H(x z) = (x2F(x)/A(x))(xZ-x~) pour justifier le calcul de la valeur principale de l'int6grale par

i

~2o+~

F(x)

~--

dx = n ( ~ + ~ ) - n ( ~ - ~ ) .

Enfin, l'6tude du c o m p o r t e m e n t asymptotique permet de limiter A x ~ 20 f m - 1 l'int4gration. O n a utilis4 la m6thode de Gauss avec 24 points, les bornes des intervalles d'int6gration 6tant adapt6es aux variations de F(x) et A(x). La pr4cision des r6sultats est estim4e ~t 10- 3.

3. M6thodes d'approximation 3.1. F A C T O R I S A T I O N

O n remarque (fig. 2) que les courbes

x2F(x) ont toutes la m~me allure: il apparMt

DIFFUSIONELAST1QUEPROTON-DEUTERON

671

un oic au voisinage de x ~ kk i corr616 au m i n i m u m de la valeur moyenne du produit

S(k) = I q~*(½kf+ x)~(½k i + x)dx ,v

=f

x2 dx dr2 [2

q._ (½kf -'I- X)2] [fl 2 q- (½k i -~- X)2] '

car a 2 >> #2 (en raison de la faible 6nergie de liaison du deut6ron). ll en r6sulte que l ' o n peut avec une bonne approximation factoriser dans la section efficace S

(kt~2 k~) _

41t

,k,-kfl

]ki _ kfl arctg - - 4 / ~

Cette approximation a 6t6 utilis6e par G o m e z l) T.D.(S.I.A)

=

S


16 --m ki2 --~d 12~ki> •

La matrice ~ est calcul6e p o u r la valeur m o y e n n e x = - ½ k i du nucl6on spectateur (Kowalski 1) utilise plut6t x = - l ( k i + k0). 3.2. APPROXIMATIONS DE COUCHE D'I~NERGIE O n n6glige e d dans le calcul de l'6nergie de la matrice 7"et on se ram~ne/t la diffusion 61astique de 2 nucl6ons d o n t les impulsions relatives initiale /~ et finale/~', seraient d6finies par: lc = k:' = ykl, 3

Chew Stern-Chamberlain

= ¼k,

Feldman-Kowalski

~: = ]-ki

le transfert d'impulsion 6tant toujours

1/~-/2'1 :

l+~

sin 2

0 )"~,

(]+~ 7 7 sin z

[kl-kfl.

3.3. APPROXIMATION DE BORN Elle s'introduit tr~s simplement dans les expressions formelles en substituant ce qui 6quivaut/t poser A(x) =_ 1.

2 it
4. R6sultats A cause de la simplicit6 de l'interaction et de la fonction d ' o n d e du deut6ron, on ne peut s'attendre / t u n accord quantitatif avec l'exp6rience. Mais on peut esp6rer q u ' u n calcul rdaliste conserverait l'ordre de grandeur des corrections relatives.

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M.

L'HUILLIER

Notons que le terme de pick-up est ind6pendant du module utilis6 pour le potentiel (utilisation de l'6quation de Schr6dinger)

Les calculs num6riques ont 6t6 effectu6s sur l'Univac 1107 de la Facult6 des Sciences d'Orsay. La pr6sence d'un pic tr~s net pour la fonction xZF(x) permet d'expliquer les r6sultats obtenus: on a ports le rapport des amplitudes du terme direct approch6 h l'amplitude "exacte" en fonction de l'angle 0 et pour diverses 6nergies de r6action (fig. 3). 155 60 - 155 90 60

o)

BORN

b)

FACTORISATION

O.5 I

o

I

I

60

I

l

120

I

O

0

I

I

60

I

i

120

e 155

155

,.o

60

c)

STERN

d)

KOWALSKI

0.5 I

0

i

60

i

i

120

i

I

t9

0

/

60

I

L

120

i

e

Fig. 3. l~tude du rapport des amplitudes du terme direct approch6 & l'amplitude calcul6e exactement, en fonction de l'angle 0 pour les 6nergies de r6action E0 ~-- 60, 90 et 155 MeV(lab) (a) approximation de Born, (b) m6thode de factorisation, (c) approximation de Stern et (d) de Kowalski.

(i) Ce rapport varie peu avec l'angle surtout pour l'approximation de Born. En effet, le r~sultat de l'int6gration correspond ~ la surface comprise entre l'abscisse x et la courbe. On s'attend & ce qu'il varie comme F(½kl). (ii) Les corrections introduites par la factorisation sont de l'ordre de 10 % de l'amplitude. En r~gle g6n6rale, le calcul exact semble r6hausser la valeur de la section efficace & l'avant; la correction vers l'arri~re est masqu6e par le terme de pick-up. (iii) Les approximations de couche d'6nergie, compensant partiellement l'approximation pr6c6dente, ont tendance & rapprocher du calcul exact aux grands angles; la m6thode de Stern-Chamberlain donne en moyenne le meilleur r6sultat. On a fait varier les param&res a e t 7 en conservant toutefois le p61e de l'6tat li& Les conclusions restent inchang~es quant & l'influence des diverses approximations.

DIFFUSION

ELASTIQUE

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PROTON-DEUTERON

Les calculs de G o m e z tiennent c o m p t e de mani~re plus r6aliste des interactions: la matrice de diffusion est construite ~ l ' a i d e d u potentiel de G a m m e l - T h a l e r ou des d6phasages de Breit. L a f o n c t i o n d ' o n d e du d e u t 6 r o n est du type de Hulth6n, mais avec une c o n t r i b u t i o n de l'6tat D. Si l ' o n c o m p a r e avec ces r6sultats, faisant l ' h y p o thbse que le calcul exact s'en d d d u i t p a r le marne terme c o r r e c t i f que celui qui a 6t6 o b t e n u dans n o t r e calcul, on c o n s t a t e que la d i s t r i b u t i o n a n g u l a i r e / t 155 M e V (lab) est 16g~rement modifi6e. Elle s'6carte un peu plus de la d i s t r i b u t i o n exp6rimentale: j u s q u e vers 80 ° c.m. la valeur th6orique de la section efficace est environ 1.2 fois la valeur exp6rimentale c o n t r e 1.1 l o r s q u ' o n fait les a p p r o x i m a t i o n s usuelles (fig. 4). I

I "

l

l

['~\

i

i

c'

,of

r,....k"

- [

':\

Horvord { ' 9 5 9 )

.

i

! I 0

L 30

I 60

I 90

r 120

I ~50

e

Fig. 4. Distribution angulaire h 155 MeV. Les points exp6rimentaux sont ceux d'Harvard et d'Orsay. Le calcul th6orique de Gomez (courbe en pointill6) est fait dans l'approxirnation de Stern et utilise les d6phasages de Breit. La courbe semi-pointill6e visualise l'effet de la factorisation (cf. fig. 3b). La courbe en trait continu tient compte du facteur de correction 6tudi6 sur la fig. 3c). N o u s n ' a v o n s pas discut6 p a r la marne m 6 t h o d e les r6sultats c o n c e r n a n t la p o l a r i sation, mais il est p r o b a b l e que l'6cart entre les valeurs exp6rimentales et calcul6es ne sera que peu modifi6 p a r ces corrections. En cons6quence, il a p p a r a i t que l ' a p p r o x i m a t i o n de simple diffusion ne peut r e n d r e c o m p t e avec pr6cision des r6sultats e x p 6 r i m e n t a u x et que l'am61ioration des calculs th6oriques d o i t consister en une 6valuation des termes de diffusion multiples. Je tiens /t r e m e r c i e r ici M a d a m e B e n o i s t - G u e u t a l qui p a r ses conseils et ses enc o u r a g e m e n t s c o n s t a n t s m ' a a i d 6 e / t m e n e r / t bien ce travail.

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M. L’HUILLIER

RCfhrences 1) F. K. 0. A. 2) F. 3) Y. A. C.

Gomez Gimeno, these 38me cycle Paris (1965); L. Kowalski et D. Feldman, Phys. Rev. 130 (1963) 276; Chamberlain et M. 0. Stern, Phys. Rev. 94 (1954) 666; K. Kerman, H. McManus et R. M. Thaler, Ann. of Phys. 8 (1959) 575 Tabakin, Phys. Rev. 137 (1965) B75 Yamaguchi, Phys. Rev. 95 (1954) 1628; N. Mitra et J. H. Naqvi, Nucl. Phys. 25 (1961) 307; Lovelace, Phys. Rev. 135 (1964) B1225