Behandlung von differentialgleichungen im komplexen auf dem elektronischen analogrechner

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U. Kulisch ." Behandlung yon DifferentiMgleichungen im K o m p / e x e n

BEHANDLUNG VON DIFFERENTIA'LGLEICHUNGEN IM KOMPLEXEN AUF DEM ELEKTRONISCHEN ANALOGRECHNER yon Ulrich KULISCH

(~)

ZUSAMMENFASSUNG Die konforme Abbildung einer komplexen Funktion auf grund einer Formel oder einer unendlichen Reihe fiihrt in der Regei auf numerische Schwierigkeiten. Da die meisten funktionen sehr hiiuflg die Eigenschaft haben, ganz bestimmten Differentialgleichungen zu geniigen, ist die Frage naheliegend, ob sich nicht die konformeAbbildung solcher Funktionen einfacher auf Grund ihrer Differentialgleiehungen untersuchen liisst. Dieser Bericht beschreibt die LSsung yon komplexen Differentialgleichungen mit Hilfe eines elektronischen Analogrechners. Die Methode ist ~.hniieh tier yon Heinhold, sie wurde hierbei jedoch verallgemeinert.

Einleitun g.

Bei vielen, gerade in den Anwendungen h~iufig auftretenden Funktionen ist kaurn etwas tiber ihre konforme Abbildung bekannt. Der Grund hierftir mag darin zu suchen sein, dass die Diskussion der geometrischen Eigenschaften einer Funktion auf grund einer Formel oder einer unendlichen Reihe in der Regel auf grosse numerische Schwierigkeiten ftihrt (vgl. z.B. [6]). Nun haben abet diese Funktionen sehr hiiufig die Eigenschaft, ganz bestimmten Differentialgleichungen zu genligen, Es ist daher die Frage naheliegend, ob sich nicht die konforme "Abbildung solcher Funktionen einfacher auf grund ihrer Differentialgleichung untersuchen l~isst. Zu.r L6sung yon Differentialgieichungen im Reellen eignet sich ganz besonders der elektronische Analogrechner, Heinhold hat schon friiher auf die M6glich.keit hingewiesen, den Analogrechner auch in der konformen Abbildung, sowie zur Behandlung yon Differentialgleichungen im Komplexen zu verwenden [2], [3]. In Fortftihrung dieser Arbeiten von Heinhold werden wit im Folgenden bereits dort angegebene Verfahren verallgemeinern bzw. erg~inzen, Ftir die Bezeichnung der Rechenelemente verwenden wir die in Abbildung 1 angegebenen Symbole. Wir beschr~inken uns auf solche analytische Funktionen w = F(z), welche sich durch ein Anfangswertproblem im Komplexen definieren lassen, Die Differentialgleichung nehmen wir in expliziter Form an : d ~w

dw --

H(z,w,-

dz

uto ,ttJ

["--]~

W(t)

I_._A I--"7 ~

't : "n

Multiplikation w(t) = u(t) . v(t) Unterprogramm f(x~, x=, ..., x,,)

f-'7-1

I'1

x

Funktionsgeber

[(x)

Ix

~I 02

"~

"

b

un u~

It

tt ~

l/ t>.

U, ~I ~.2

Summation

Ua

--

~ kv u v

u~ = - - k u , , ,

k > 1

[~X

g L/;

u. I]

!1

Integration t n ~

m

m

m

~

u = - IGhv:.'~(r)dr-a m

o

U

Verst~rkermit verschiedenen Eing~ngen Kondensator

d n-1 w .....

dz n-I ) (1) In einem regul~iren Punkte z,,~ yon F(z) seien die Anfangswerte w,,, w',,, ..., wnrn-*l c-.) vorgegeben. dz n

Multiplikation mit einer Konstanten 0 < a ~ t

Q ~ ~

* Manuscrit re¢u le 25 mars 1961. (1) Mitteilung aus dem Institut far Angewandte Mathematik der Technischen Hochschule /vfiinchen, Direktor o. Prof. Dr. J. Heinhold. (a) Eine Ableitung nach der kompiexen Vertinderlichen z : = x - ~ - i y bezeichnen wit durch einen Strlch, eine Ableitung nach der reellen VerRnderlichen t dutch elnen Punkt. H~ihere Ableitungen nach z setzen wit in eckige Klammern, solche nach t dagegen in runde Klammern.

Der geometrische Ausdruck der Eigenschaften einer analydschen Funktion ist ihre konforme Abbildtmg. Um sie zu uatersuchen, gehen wir wie iiblich so vor, dass wir in der z-Ebene ganz bestimmte Kurvenscharen vorgeben und nachsehen, in welche Kurven der w-Ebene diese vorgegebenen Kurven abgebildet werden. Von jeder abzubildenden Kurve z(t) = x ( t ) + iy(t), z(O) = z0 der z-Ebene setzen Mr voraus, dass sie aus h/Schstens endlich vielen Stricken zusammengesetzt ist, l~ings denen die Ableitungen der im Folgenden ben6tigten Ordnung existieren. Wir werden, einer kurzen Ausdrucksweise wegen, dlese Kurvenstticke gelegent-

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N ° 1 - - ]anvier 1962

lich als analyeisch voraussetzen. Die Bildkurve bezeichhen wir mit W ( t ) = U(t) + iV(t). Es ist also

w(t)

= ~,[~(t)] = vI,(t)].

1. Zwei Verfahren. W i r gehen yon dem in [2] angegebenen Verfahren aus, niimlich der

1.1. Zuriickfiihrung des Problems au] tin System yon 2 n reellen Differentialgleichungen 1. Ordnung.

g

Wir fiihren zuniichst folgende Bezeichnungen ein: W(t) = U(t) + iV(t) =

w [z(t)] = uo(t) + i vo(t)

w'I~(t)] = <(t) + i~(t) ....................................... W In-x] [Z(/)] ---- Un_l(/) -}-

(2)

ivn_l(t )

Jetzt seezen wir die Kurve z(t) und diese Ausdrticke in die Differentialgleichung (1) ein und zerlegen in Red- und Imaginiirteil :

~,~ [~(t)] = ,h [~(t), y(t), ,,o(t), ~o(t) ..... .,~_~(t), ~,o_~(/)1 + i & [~(t), y(t), ~,o(t), Oo(t) ..... .o_~(t), o~_.(t)] = h{(t) + ibm(t)

(3)

Es ist allgemein fiir Komplexes & : d,5,

d# --

dt

. 2'

dz

Auf w[v-q [z (t)] angewandt ergibt sich:

--

d

w>q

dt

[~ (t)] =

,,,M [z (t)l ~ (t)

Ausfilhrlicher geschrieben liefert dies unter Berticksichtigung von (2) filr v = 1; 2; 3; ...; n - - 1 :

by_. (t) + i ;v-1 (t) =

[uv (t) + i v~ (t)] [x (t) + i ) (t)]

und f/kr v =

n wegen (3):

i~n_~(t) + i~,n_~(t) = [h{(t)+ ia~(t)] [h(t) + i)(t)l Zerlegung dieser Gleichungen in Real- und Imaginiirteil liefert folgendes System von 2 n reeilen Differentialgleichungen 1. OMnung ftir die unbekannten Funktionen uv(t) und v,,(t), v =: 0; 1; 2; ...; n - - l , wovon in erster Linie die Funktionen U(t) = uo(t) und V(t) = vo(t) interessieren :

~,V-l(t) = .~,(t) x(t) -- ;,,(i) )(t) Abb. 2.

~'.-, (0 = v,,(t) .~(t) + ;,. (0 )(t) [['lr v =

1;2;...;n--1

und

;,,,_, (t) = h~(t) y (t) - - h~(t) h(t) #,,_l(t) = h~(t) .;(t) + h~(t) )(*)

(4)

Zur L6sung dieses Differentialgleichungssystems dient die in Abbildtmg 2 angegebene Prinzipschaltung. Urn die Bildkurve eindeutig festzulegen, miissen noch die zu dem System geh6rigen Anfangswerte, niimlicll die Gr6ssen Uv(0) und v,,(0), v = 0; 1; 2; ...; n - - l ,

U. Kulisch : Behandlung yon Differentialgleichungen im Komplexen

29

Es ist allgemein

oder in komplexer Form geschrieben die Werte ,~,M [~(o)] = ~t~l (~o) = ,,~(o) + ;,,~(o)

O)

v = 1;2;...in--1 vorgegeben werden. Zur Berechnung der Bildkurve W(t) yon z(t) miissen also bereits vor Beginn der Rechnung der Funktionswert der Abbildungsfunktion sowie die Werte ihrer siimtlichen Ableitungen nach z his zur ( n - - 1 ) - t e n im Punkte zo bekannt sein. Wit werden welter unten sehen, wie man mit den bei einem elektronischen Analogrechner zur Verfiigung stehenden Mitteln diese Anfangswerte aus den Ausgangsdaten (1) bestimmen kann. Zuntichst wollen wit noch eine zweite M6glichkeit zur Berechnung der Bildkurve yon z(t) behandeln. 1.2. Zuriickfiihrung des Problems auf tin System yon

2 reellen Differentialgleichungen n-ter Ordnung. (a) L~ings jedes der als analytisch vorausgesetzten Stficke der Kurve z(t) gilt: W(t) = w [z(t)]

,, z k ~ (~l)h+k (~) d~(zh) W
,, z~ [,/"(z/v_ - - 1)~ = y, _ _ ~,E<1(z) k=, k! dt ~ ]7=z

-,

Nach den Ableitungen von w nach z aufgel6st ergibt sich daraus :

,o' [z(t)] = "4'/~

.," [~(t)] = ( z ~ - - w z ) / z .

w'" [~(t)] = (;<-~ + 3 ~ 7 w - - 3 ~ = w - - zT'~)/z, (7) USW.

Auch alle h6heren Ableitungen wtVl(z), v > 3 lassen sich eindeutig aus (6) errechnen.

w(t) = w' [z(t)] z (t) "~7(t) = w " [z(t)] z2(t) + ~b'(t) = w'" [z(t)] z~(t) +

w' [z(t)] ~}(t) 3 w" [z(t)] z(t) z(t)

+ w' [z(t)] z'(t)

(6)

I.ISW.

Wir setzen jetzt die Kurve z(t) sowie diese Ausdrticke (7) in die Differentialgleichung (1) ein und 18sen dann nach der hSchsten (n-ten) Ableimng nach t : W {n) (t) auf. Man erhiilt dann die Differentialgleichtmg :

W~ ~ (t) = G [z(t), z(t) . . . . . zm)(t), W(t), XYC'(t). . . . . W('-x)(t)]

=

g~ (x, y, k, :~. . . . . xCn), y % U, V, U, 9 . . . . . U (~-~), V ~-~))

+ i & (x, y, x, ~. . . . . xC% y(G U, V, gr, ~r. . . . . U(~-,~, V(~-~)

(8)

Zerlegung dieser Differentialgleichung in Real- und Imagin~irteil liefert folgendes System yon 2 reellen Differentialgleichungen n-ter Ordnung fiir die beiden unbekannten Funktionen U(t) und V(t):

U(,)(t) = g~ (x, y, x, ), ..., x(°), y % U, V, U, 9 . . . . . U (~-~), V (~-*~) V(n)(t) = g~ (x, y, k, ) . . . . . x( n~, y % u, v, u, 9 . . . . . U(n-~, VCn-~) Dieses System wird im allgemeinen niche elementar integrierbar sein. Wir 18sen es dann wieder mit einem elektronischen Analogrechner. Abbildung 3 gibt die zugehSrige Prinzipschalttmg an. Als Anfangswerte fiir das System (8') lntissen hier die Gr6ssen U (v} (0) und V(vl(0), v = 0; 1; 2; ...; n - - 1 , oder in komplexer Form geschrieben, die Werte

w c ~ (o) = uc~ (o) + ; w~)(o),

(9)

v = 0;1;2;...;n--1, bekannt sein. Da die Kurve z(t) vorgegeben ist, sind auch ihre Ableitungen z, z, usw. bekannt. Es folge daher aus (6), dass auch die Anfangswerte (9) berechnet werden k6n(a) Hierbei handelt es sich um eine Verallgemeinerung des in [2] ftir den Spezialfall der Besselschen Differentialgleichung verwandten Verfahrens auf die Differentialgleichung (l). (4) Eine Herleitung dieser Forineln findet man in L.A. Sohncke: Sammlung von Aufgaben aus der Differentialre-hnung, 6. Auflage, Halle a. S. 1903, S. 24-27.

(83

nen, wenn die Gr/Sssen (5) bekannt sin& Wit beim 1. Verfahren, so sind auch beim 2. Verfahren zur Berechnung der Anfangswerte die Kenntnis des Funktionswertes der Abbildungsfunktion sowie die Werte ihrer s~.mtlichen Ableitungen nach z bis zttr (n - - 1)-ten im Punkte zo erforderlich. Wir haben damit zwei f~ir die Behandlung auf dem Analogrechner wesentlich verschiedene Verfahren zur Berechnung der Bildkurve W(t) = U(t) + i V(t) der Ausgangskurve z(t). Natiirlich ist es durchaus denkbar, das bier behandelte Problem auf ein Differentialgleichungssystem gemischter Art zurtickzufiihren, etwa auf zwei Differeatialgleichungen 2. Ordnung und 2 n ~ 4 Differentialgleichungen 1. Ordnung. Dies liefert jedoch hinsichtlich der Bestimmung der Anfangswerte grunds;itzl'ich nichts neues, ist aber in der Durchfiihrtmg nur unbequemer.

2. Berechnung der Anfangswerte. Nach den Ueberlegungen des vorigen Abschnittes mtissen fiir das 1, Verfahren die Anfangswerte (5)

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A n n a l e s de l'Association internationale

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pour le Calcul analogique

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]anvier 1962

~

U¢._ ,

U¢~_2;

.

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.-

(J

U

.~w

-

-

I

Abb. 3,

bekannt sein. Bei Verwendung des 2. Verfahrens reichen diese Gr6ssen zur Berechnung der Anfangswerte (9) bin. Wir beschr~inken uns &her jetzt auf die Beschreibung verschiedener M6glichkei~en zur Berechnung der Werte (5).

~

~t

/

Falls ein expliziter Ausdruck w = F(z) far die Abbildungsfunkdon zur Verfiigung steht, kann man die GrSssen (5) natiirlich direkt aus dieser Formel berechnen. Im allgemeinen Fall wird kein funktionaler Ausdruck fiir die Abbildungsfunktion zur Verfiigung stehen. Dann fehlen zur Berechnung der Anfangsweree fiir die Bildkurve W(t) noch der Funktionswert der Abbildungsfunktion und die Werte ihrer Ableitungen nach z in jeweils einem Punkte Z(to). ~ Durch eine Parametersubseitufion liisst sich gegebenenfaIls erreichen, dass dies der Punkt Zo = z(0) wird. - - Diese Werte kennL man abet nur in einem einzigen Ptmkt der z-Ebene, n~imlich im Punkt zo +~, in wdche die die Abbildungsfunktion definierenden Anfangswerte wo, w'o, ..., wo[n-~, vorgegeben sind. Es lassen sich &her zun~ichse nut solche Kurven abbilden, die dutch den Punkt zo~ hindurchgehen woranf sich beschr~inkt [2]. Dutch eine Parametersubstitution erreicht man, dass zo = z(0) = zo~ wird. Die Gr6ssen (5) bestimmen sich dann folgendermassen : Wo =

~(~o) =

w(o), (lo)

w(.o)

=

W'o . . . . .

,,,c~<(.o)

=

~,o~-.

Nan werde der Fall behandelt, dass die Kurve z(t) nicht dutch den Punkt zo* hindurchgeht. Wir wiihlen dann eine analytische H i l f s k u r v e z*(r), mit der Eigenschaft z*(0) = zo*. Diese Hilfskurve m6ge die Kurve z(t) ]m Punkte z(0) = Z*(ro) schneiden (Abb. 4). Die Anfangswerte for die Bildkurve w [Z*(r)] -- W*(r) lassen sich nach dem oben gesagten mit Hilfe der Beziehungen (10) berechnen. Fiihrt man die Abbildung der Hilfskurve z*(r) mit dem Analogrechner dutch, so erh~l~ man bei Verwendung des 1, Verfahrens neben

Abb. 4. den Funktionswerten der Abbildungsfunkdon l~ings der Kurve Z~(r) anch die Werte der Ableitungen nach z bis zur ( n - 1)-ten, also die GrSssen

w[~*(T)] = w*(~), ~,' [~*(,)], ..., ,oE~-- [~*(,)] (1,) Fiir r = ro sind dies wegen z*(-ro) = zo = z(O) gerade die gesuchten Gr6ssen (5). Be{ Verwendung des 2. Verfahrens zur Berechnung der Bildkurve w [z* (r)] erh~lt man neben den Werten der Abbildungsfunkdon l~ings der Kurve z* (r) noch die Werte der Ableitungen der Bildkurve W*(r) nach r, also die Gr6ssen : w*(.,.) =

,.o[,.(.,-)].

dw*(~)

a~w*o-)

a~-~w*6-)

dr

dr =

d #-I

02)

Hiermit berechnen sich die Ableitungen der Abbildungsfunktion nach z fiir die Punkte z*(r) mit Hilfe der zu (7) analogen Formeln :

U. Kulisch : Behandlung yon Differentialgleichungen im Komplexen

31

w' [z~(,)] _ ~¢aw*.,______~, / dz+~(r) dr

dr

a'we*(,)d~ -

1

~" [z~(,)] =

Lw*(qd,

a°z*(O)d~ (13)

1

w'" [z* (,)] =

J. &*(,),~

d~w~(~)

gz* (~) ~/.~--27--~ )

d~

+ 3 ~

dz*(,)

dr

dr

dr =

dr a

#,*(,) d~=

dXV*(,) ~ Z J

HSW,

Fiir r = ro sind dies wieder wegen z+~(ro) = zo = z(0) die gesuchten Gr6ssen (5). Die Untersuchung der konformen Abbildung einer holomorphen Funktion erfordert die Abbildung einer ganzen Kttrvenschar z(t, c) (mAt t als Kurvenpararneter und c als Scharparameter). Man wird daher die Hilfskurve z ~ (r) so legen, dass sie m6glichst vide, vielleicht sogar alle Kurven der Schar schneider. Falls die Kurve z(O, c) (mAt c als Kurvenpa.rameter) die an die H'ilfskurve gestellte Bedingung der Analytizit{it erfiillt, eignet sie sich besonders zttr Verwendung als Hil.£skurve. Dutch eine Parallelverschiebung in der z-Ebene l~tsst sich grundsgtzlich immer erreichen, dass der Punkt zo~ mat dem Nullpunkt z-Ebene zusammenfiiltt. Wenn dana die Kurven der abzubildenden Schar alle die ' reelle Achse schneiden, kann man als Hilfskurve z*(r) die reelte Achse w~hlen. Es ist dan z ~ (r) = r

x und damit dz~(r) dr

d~ z , (~)

sowie

dry

-- 0 fhr v ~> 2

(14)

Das 1. Verfahren liefert dann die Funktionen

w [~(7)1 = w * (~) =

w'[z*(~)] =

w'(x) .... , wE.<

w(~),

[~(~)1 = wc~<(,,).

Das 2. Verfahren liefert die Gr6ssen (12). Setzt man die Beziehungen (14) in (13) ein, so ergibt sich

w[~*(~)] = w * ( + ~/[z*(~)] wC°-- [~*(~)1 -

dW*ff)

,t~

.....

d~-~ w* (~) dr,~-I

Es liefern also in diesem Falle beide Verfahren dasselbe Ergebnis, n~tmlich

w(x), w' (x), w"(~) . . . . .

~,tn< (~).

Wir berechnen jetzt die Anfangswerte fhr den Spezielfall, dass reellen Punkten der z-Ebene stets wieder reellen Punkte der w-Ebene entsprechen. Setzen wir w(x) = u(x) + iv(x), so ist nach ¥oraussetzung v(x) = 0 und ebenso

dq,(x)

-----

dx v

= 0 fiir v > 1.

Beide Verfahren liefern als yon Null verschiedene Funktionen nur u(x), u'(x) . . . . . uCn-lJ(x), also gerade die L{Ssung der Differentialgleichung fiir reelle Werte der Veriinderlichen w und z, sowie ihre Ableitungen. Zur Berechnung der Anfangswerte fiir die Bildkurvenschar geniigt daher in diesem Falle die Ermittlung der reellen L6sung der Differentialgleichung. Die Rechenschalmng fiir den Analogrechner liefert neben den Funktionswerten auch die Ableitungen bis zur (n w 1)ten. Die Anfangswerte fiir die L~Ssung der Differentialgleichung im Reellen sind in diesem Falle dieselben wie diejenigen for die komplexe L6sung, n~mlich Wo =

~(o). W'o =

u'(o) . . . . .

Wo>~J = ,,c.--(o);

denn nach Voraussetzung sind sie alle reell.

3. Kritik der beiden Abbildungsverfahren yore Standpunkt des Analogrechners. Welches der beiden Abbildungsverfahren soil man im Einzelfall verwenden ? Ganz im Grossen betrachtet ist die Schaltung fiir das 1. Verfahren aufwendiger ads diejenige Rir das 2. ; denn ausser den zttr Erzeugung der Funktionen hi und h~ einerseits und gl und & aMererseits erforderlichen Rechenelementen ben~Stigt die Schaltung fiir das 1. Verfahren je komplexe Integration noch zus~itzlich vier Multiplikatoren. Mit wachsender Ordnung der Differentialgleichung wird man daher mehr und mehr das 2. Verfahren bevorzugen. Ein Blick auf die Schalmng Abb. 2 zeigt, dass die oben erw~hnten zustitzlichen Multiplikatoren dazu verwendet werden, um gewisse Funktionen der Zeit mat x(t) bzw. y(t) zu multiplizieren. Diese MtfltipIikatoren lassen sich dutch Potentiometer ersetzen, sobald z(t) = x(t) + i y(t) gleich elner komplexen Konstanten ist, also z(t) = b ist. Dann ist z(t) = a + t b. Dies ist bekanntlich die Gleichung einer geraden Linie in der z-Ebene. Bei Abbildung gerader Linien der z-Ebene in ob'iger Parameterdarstellung eignet sich also auch das 1. Verfahren gut zur Untersuchung der konformen Abbildung der Integrale yon Differentialgleichungen hSherer Ordnung, In di.escm F~.lle i~t cs dera 2, Verfahren ~leichwertig,

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32

Mit besonderem Vorteil verwendet man das 1. Verfahren immer dann, wenn sich die vorigen Abschnitt zur Berechnung der Anfangswerte eingeFfihrte Hilfsk~rve geradlinig wghlen Igsst. Dies kann man fast immer so einrichten, da yon z~0 -) nut vorausgesetzt wuzde, dass es sich dabei urn eine analytische Kurve handdt, welche mSglichst vide Kurven der Schar z(t, c) schneider. Die Schaltung zur Abbildung der Kurve Z~(r) liefert dann an den Ausg~ngen der Integratoren direkt die Gr6ssen ~[~(~)]

=

w*(~), w'[~*(~)], ..., w i n < [z~(~)].

Dies sind fiir r = ro gerade die zur Berechnung der Anfangswerte ffir die Bildkurve yon z(t) n6tigen Gr6ssen (5). Bei Verwendung des 2. Veffahrens mEsste man diese dagegen erst mit Hilfe der Formeln (13) errechnen. Bisher haben wir vorausgesetzt, dass jede abzubildende Kurve z(t) aus endlichvielen analFischen KurvenbGgen zusammengesetzt sei, also Knickstellen besitzen daft. Es sei z(t) eine solche Knickstdle der Kurve z(t). Fi~¢ t <~ "t m6ge sich z(t) mit einer analytischen Kttrve z~(cr) decken, fiir t > 7 dagegen mit einer Kurve z=(p) (Abb, 4 a). Wir bilden zuerst den Kurvebogen z(t) 0 < t < 7

t

Zo

Abb. 4a.

ab. Nach den obigen Ausftihrunger~ ist dies ohne Sc~wierigkeiten m6glich. Bei der anschliessenden Abbildung des Kttrvenbogens z(t) m i t t > t tibernimmt dann die Kurve zx(¢) die Ro/le einer Hil'fskurve fiir die kbbildung der Kurve z.a(p). An Knickstellen der Kurve z(t) treten also keine neuen Schwierigkeiten auf. Wir-sind damit in der Lage, jede den oben geforderten Bedingungen geniigende Kurve der z-Ebene in die w-Ebene zu iibertragen. Dabei ist es zweckm~issig, sich die Kurven nicht in den Ebenen, sondern gleich auf den zugeh6rigen Riemannschen Fl~chen verlaufend vorzustellen. Das Abbildungsverfahren entspricht dann genau den Prinzipien der analytischen FortsetZung. DIe Anfangswerte ira Punkte zo +~i~bernehmen die

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Rolle des Ausgangselementes fiir diese Fortsetzung. Singul~re Punkte der Abbildungsfunktion sind diejenigen, tiber die hinaus sich eine sie durchsetzende Kurve nicht fortsetzen l~isst.

4. Bestimmung der mlsgezeichneten Punkte fiir L&un. gen linearer Differentialgleichungen. Wit haben bisher die Frage er/Srtert, w'ie sich bei der gew~ihlten Definition einer holomorphen Funktion w = F(z) dutch eine Differeneialgleichung und zugeh{Srige Anfangswerte eine gewissen Bedingungen geniigende Kurve der z-Ebene in die w-Ebene iibertragen l~isst und umgekehrt. Dutch Abbildung eines hinreichend engmaschigen Kurvennetzes l~sst sich damit im Prinzip immer die konforme Abbildung yon F(z) untersuchen. Trotzdem ist dieses Vorgehen nicht v611ig befriedigend. Es entspricht etwa dem Standpunk, welchen man einnimmt, wenn m,-m eine Funktion einer reellen Ver~inderlichen dadurch diskutieren will, dass man einzelne Werte errechnet und sie in ein Koordinatensystem eintr~igt. Im vorliegenden Kapitel wollen wit &her einen systematischeren Weg einschlagen. Aehnlich wie im Reellen wird auch im Komplexen der Charakter einer Funktion weitgehend durch Art und Lage gewisser ausgezeichneter Punkte beschrieben. Hier sind dies beispielsweise Singtflarifiiten, Verzweigungspunkte, Nullstellen, Kreuzungspunkte u.a. Eines der Hauptanliegen der Theorie der Differentialgleichungen im Komplexen ist die Untersuchung und Bestimmung der verschiedenen Arten yon Singularit~ten der Integrale gewisser Typen yon Differentialgleichungen. Wir kSnnen daher bier die Frage naeh den Singularit~iten nicht in roller Allgemeinheit ersch6pfend behandeln. Wit werden uns daher in diesem Kapitel bei der Darstellung der Untersuchungsmethode auf lineare Differentialgleichungen beschriinken. Der Grund hierfiir besteht darin, dass bei diesen Differentialgleichungen die Lage der singuliiren Stellen bereits aus den Koeffizienten hervorgeht. Es sei aber darauf hingewiesen, dass bei der im Folgenden zu schildemden Untersuchungsmethode, so~eit sie sich nicht auf Singularit~ten bezieht, keine speziellen Eigenschaften der Integrale linearer Differentialgleichungen verwendet werden. Die gewonnenen Ergebnisse lassen sich daher auch au.f die Untersuchung der Integrale yon Differentialgleichungen allgemeinerer Art tibertragen. Die holomorphe Funktion w = F(z) sei definiert dutch die Differentialgleichung w[~] + p~(z) w r n < + ... + p.(z) w + p.+~(z) = 0

(15) und die im Punkte zo+~ vorgegebenen Anfangswerte : w0, W'o . . . . . Wo['-l]. Dabei sind die pk(z), k = 1 ; 2; ... ; n + 1 gegebene analytische Funktionen yon z. Sie m6gen in einem der weiteren Betrachtung zugrunde gelegten Gebiet G eindeutig und bis auf isolierte singul~ire Stellen regul~ir sein. Gefragt ist wieder nach der konformen Abbildung einer in dieser Weise definierten holomorphen Funktion. Wir bestimmen zun~,tchst die ausgezeichneten Punkte der Funktion, Als solche kommen bei Beschr~inkung

U. Kulisch : Behandlung yon Dif'ferentialgleichungen im Komplexen auf lineare Differenfialgleichungen in Betracht : 1) Singularitiiten, 2) Verzweigungspunkte, 3) Nullstellen, 4) Kreuzungspunkte. Hat man diese ausgezeichneten Punkte erst einmal herausgefunden, so gentigen einige wenige, besonders kennzeichnende Ku_rven, urn das Gesamtverhalten der konformen Abbildung zu charakterisieren. 4.1. Singularitliten der Abbildungsfunktion. Bei linearen Differentialgleichungen k6nnen als singuliire Stellen der L6sungsfunktion bekanntlich nut die singuliiren Stellen der Koeffizieneen pk(z), sowie die Seelle z = oo aufereterl. Ihre Lage ist hier bekannt:. Es bleibt noch die Frage zu uneersuchen, ob es niche bei einer singuliiren Seelle der Differenfialgleichung auch urn eine singul~ire Stelle der L~Ssungsfunktion handele. Eine wesentlich singuliire Seelle der Differeneialgleichung ist stets auch eine solche der L~Ssungsfunktion. Eine ausserwesentlich singul~ire Stelle der Differeneialgleichung kann dagegen auch eine regttliire Stelle der L6sungsfunktion sein. Eine Entscheidung hiertiber gewinne man mit dem Analogrechner dutch Abbildtmg eines durch eine geschlossene Kurve begrenzten Gebietes 'in der Umgebung einer solchen Stelle. Dabei sind die Begriffe <(geschlossene Kurve>> trod <> jeweils auf der Riemannschen Fl~iche zu verstehen; denn im allgemeirten wird die Abbildung in der Umgebung einer singul~iren Stelle der Differentialgleichung niche eindeutig sein. Die Durchlaufricheung des Bildes der Randkurve dieses Gebietes gibe Auskunft dariiber, ob es sich bei der fraglichen Stelie urn eine regul~ire oder urn eine singuliire Stelle der L~Ssungsfunktion handele. Im ersten Fall werden beide Randkurven gleichsinnig, im zweiten Fall werden sit gegensinnig durchlaufen.

33

Dieser Satz macht folgende Aussage (5) : SATZ: Es sei ~ ein einfachzusammenhlingendes schlichtes Gebiet der z-Ebene. Die Funktion w = F(z) sei in ~3 bis auf Pole reguliir. Durchliiuft der Punkt z in der z-Ebene genau einmal eine ganz in ~ gelegene geschlossene doppelpunktfreie Kurve C im positiven Sinn, so umliiuft der Bildpunkt w in der w-Ebene genau (n-p)-mal den Nullptmkt, wenn n die Anzahl der innerhalb C gelegenen Nullstellen und p diejenige der Pole bezeichnet. Dabei ist jede Null- oder Polstdle ihrer Vielfachheit nach zu zlihlen (at Bei Kenntnis der Pole, diese sind nach 4.1 bereit bekannt, liisst sich an Hand dieses Satzes atff die innerhalb (° gelegenen Nuilstellen schliessen. Es sei C(t, c) eine einparametrige Schar doppelpunktfreier geschlossener Kurven der z-Ebene, t sei Kurvenparameter und c Scharparameter. Eine feste Kurve der Schar bezeichnen wir kurz mit C. Jede Kurve ~ sei analytisch und tiberall reguliir. Die Schar ~(t, c) mSge das Gebiet c~ einfach i~berdecken so, dass jedem Punkte z e ¢~ in eindeutiger Weise ein Parameterpaar (6 c) zugeordnet werden kann. Bei Veriinderung des Scharparameters in einer Richtung m/Sge sich die Kurve C auf einen doppeltdurchlaufenen Kurvenbogen ~* zusammenziehen, welcher keinen endlicher~ Fl~icheninhale mehr einschliesst, c = c* sei diese Schranke. ~* kann auch in einen Punkt entarten. Einfache Beispide solcher Kurvenscharen sind etwa konzentrische Kreise oder konfokale Ellipsen.

4.2. Verzweigungspunkte der Abbildungsfunktion, In einer sirtguliiren Stelle der Differentialgleichuneg kann eine Verzweigung der Abbildungsfunktion vorliegen. Eine Entscheidung hieriiber gewinnt man dutch Abbildung eines durch eine geschlossene Kurve begrenzten Gebieees der z-Ebene aus einer Umgebung einer solchen Stelle. Ise die Ftmktion in der Umgebung tier fraglichen Stelle eindeutig, so entspricht einem einmaligen Umlauf des Gebietsrandes in der z-Ebene auch ein einmaliger Umlauf de~ Gebietsrandes in der wEbene. Bei einer niche eindeutigen Funktion kann die Verzweigung yon endlicher oder unendlicher Ordnung sein. Im ersten Fall wird sich die Bildkurve nach einer gewissen ganzen Anzahl yon Umi~.ufen des Gebietsrandes in der z-Ebene schliessen. Im zweiten Fall wird dies niemals eintreten. Das Verh~iltnis der Umlaufzah. lender singul~iren Seelle in der z-Ebene und des Bildes in der w-Ebene gibe in beiden Fiillen Aufschluss iiber die Art der Verzweigung. Die Umlaufzahlen lassen sich mit dern Zeitgeber (Uhr) in der z-Ebene und einem Sichtger~it in der w-Ebene bestimmen. 4.3. Nullstellen der Abbildungsfunktion. Zur Bestimmung der Nullstellen und Kreuzungspunkte zieht man mit Voreeil einen Satz heran, den man auch bei der Berechnung der Nullstellen yon Polynomen im Komplexen verwendee. ([5], S. 176),

Mit Hilfe einer solchen Kurvenschar C(t,c) bestimmen wir jetzt die in c~ gelegenen Nullstellen von F(z). Wit bilden zuniichst die Kurve {a* ab. Geht der Bildkurvenbogen dutch den Nullpunkt der w-Ebene, so haben wir fiir das entsprechende Parameterpaar (to, c~) bereits eine Nullstelle yon F (z) aufgefunden. In allge-

('~) Ein Beweis dieser Satzes flndet sich in v~elen Lehrbiichern der Funktionentheorie, so z.B. sinngem'ass in [4], Seite 107. {~) Dieser Satz liisst sich sofort soweit verallgemeinern, als man die Begriffe ~ geschlossene Kurve~> und ~ Geb[et>> state in der Ebene wleder auf der Riemannschen Fl~.che deutet.

34

Annales de l'Association internationale pour le Calcul analogique

mdnen wird dies nicht der Fall sein. Dann erweitert man die Kurve ~ kontinuierlich dutch Ver~indern des Scharparameters. Dabei wird sich auch die Bildkurve in der w-Ebene ve6indem. Fiir einen bestimmten Weft c = c~ mtJge die Kurve ~ die erste Nullstelle in der z-Ebene dorchsetzen. Man erkennt dies &ran, dass die zugeh6rige Bildkurve in der w-Ebene dutch den Nullpunkt geht Mit Hilfe des Zeitgebers (Uhr) best*mint man dann noch den zugeh6rigen Wert des Kurvenparameters t = tl, fiir den dies genau eintritt. Dies kann auch dutch getrenntes Auftragen yon Realteil U(t) und Imagn~irteil V(t) gegen t geschehen. Die gemeinsame Nullstelle dieser beiden Funktionen liefert den Parameterwert tl. Mit Hilfe des Wertepaares (t,, c~) *st dann die Nullstelle in der z-Ebene eindeutig festgelegt. Dann vergr6ssert man welter die Kurve C dutch kontinuierliches VerRndern des Scharparameters, usw... Die Differenz der Umlaufzahlen der Bildkurve um den NuI1Dmkt der w-Ebene vor trod nach dem Oberstreichen der Nullstelle der z-Ebene durch die Kurve ~ gibt dabei nach obigem Satz noch die Vielfachheit der Nullstelle an. Dutch Fortsetzung dieses Verfahrens t:indet man systematisch alle in ~ gelegenen Nullstellen der Abbildungsfunktion. 4.4, Kreuzungspunkte der Abbildungsfunktion, Die Kreuzungspunkte sind bekanntlich definiert als diejenigen Stellen, in welchen die Abbildung aufh~Srt konform zu sein, also die Able*tung der Abbildungsfunktion verschwindet. Ihnen entsprechen die Verzweigungspunkte der Umkehrfunktion. Eine Anwendung des in 4.3 beschriebenen Verfahrens auf die Funktion .w' = dF(z)/dz liefert daher die Kreuzungspunkte der Abbildungsftmktion gleich wieder mit der entsprechenden Vielfachheit. Es *st zweckm~issig, daztt dieselbe Kurvenschar C(t, c) zu verwenden trod die Bestimmung der Kreuzungspunkte gleichzeitig mit derjenigen der Nullstellen durchzufiJhren; denn die Rechenschaltung fiir das System (8') cr~ liefert neben den Werten der Abbildtmgsftmkfion w [z(t)] = W(t) l~ings der Kurve ~ u.a. auch diejenigen yon

"~r(t) = w'[z(t)] z(t)

(16)

Ben6tigt werden hier die Werte yon w' [z(t)]. Sie liessen sich aus denen yon W(t) dutch Division mit

N° 1 ~

Die Umlaufzahl yon ~} urn den Nullpunkt *st stets dieselbe wie diejenige von z(t) auf C. Be* ein- bzw. mehrmaligem Umlauf yon z auf C *st also N. = * z

bzw. N. = n. z

Die Korven ~. waren als analytisch und in jedem ihrer Ptmkte regular vorausgesetzt. Es *st daher stets z(t) =/= O. Daher stimmen nach (18) die Nullstellen yon

w'[z(t)] mit denen yon X~(t) = dw[z(t)]/dt tiberein, liefern also nach oh*gem Verfahren dieselben Parameterwerte c = ci und t = h fiir die Kreuzungspunkte. Die Aenderung yon Nw, beim Ueberstreichen eines Kreuzungspunktes in der z-Ebene durch die Kurve gibt dabei wieder die Vielfachheit dieses Kreuzungspunktes an. 5. Be*spiel. Als Beispiel tmtersuchen wit die konforme Abbildung der Besselfunktion I_vz(z) im Gebiet Izl < 2, Sie gentigt der Differentialgleichung z ~-w" +

~ w' +

Dann *st stets ~o = ~b + 3'. Dividiert man diese Gleichung noch mit 2 rr, so erh~ilt man die zwischen den U'mlaufzahlen in den entsprechenden Ebenen geltende B ezlehtmg Nw, = N~ - - lq.~

(*7)

(7) Wegen der Allgemeinheit der Kurven ~ (6 c) und den Bemerkungen in 3 setzen wit bier stets eine Abbildung dutch das zweite Verfahzen voraus.

=

(,8)

0

W(0, r) = w[z(0, r) = I_,/z(r )

(,9)

und

xv(o, r) = w'[z(o, r)] ~(o, r) = irI'_v2(r) Die Werte fiir I_l/2(z) entnehmen wir einer Tedel [1], diejenigen fiir I'_l/2(z) errechnet man aus den Tafelwerten mit I--Iilfe der Rekorsionsformel r_l/~(~)

=

1/2 [I ~/~(~)

--

I1/~(z)].

Wit setzen jetzt W(t,r) = U(t,r) + i V ( t , r ) . Dorch Zerlegung in Real- und Imaginb~rteil £olgt aus (*9) ein System zweier reeller Differentialgleichungen 2. Ordnung fiir die be*den unbekannten Funktionen u ( t , r) und V(t, r ) :

mit den Anfangswerten

und z = I z l . e " <

o

mit den Anfangswerten

N .w yon W auf diejenige Nw, yon w' schliessen. Es sei TM

=

(~ ~ ,~ _ 0,25) w

x~ _

O = (r2 cos 2 t - -

W = ]Wl.e

(~2--o,25)w

Als abzubildende Kurvenschar w~hlen wir in der z-Ebene die Kreise z(t,r) -- re it, O, < r < 2 (t *st Korvenparameter, r Scharparameter). Die Bildkurven W(t, r) = w [z(t, r)] gen[igen wegen (7) der Dffferentialgleichtmg

k(t) errechnen. Da aber be* obigem Verfahren nor die Umlaufzahlen ben&igt werden, l~isst sich diese Division einsparen. Man kann n~imlich alas der Umlaufzahl

w' = I w ' l . e %

]am,ier 2962

0,25) U - -

~" ~--- r ~- sin 2 I U -}- (r2 cos 2 t - -

r 2 sin 2 t V 0,25) V

u(o, ~) = I_v=(r),

v(o, r) = 0

0(o, r) = o,

v(o, r) = r r_v~(r)

Wir berechnen dieses System fiir verschiedene Werte yon r mit dem Analogrechner. Die Bilder * mit 14 geben einige der Bildkurven wieder. Der dabei gew~ihlte Massstab *st stets dorch Angabe der Koordinaten des rechten oberen (RORP) bzw. des rechten unteten (RURP) Rasterpunktes angegeben. Die Bildkorven W(t, r) werden stets auf der positiven reellen Achse beginnend im Uhrzeigersinne durchlaufen. Be* den Kurven der Able*tung sind Anfangs- und Endpunkt

U. Kulisch ." Behandlung von Differentialgleichungen im Komplexen besonders bezeichnet. In den Bildern 11 rnit 14 ist wegen der Symmetrie der Bildknrven zur reellen Achse

35

der w-Ebene nur ein Teils~& (0 < t < w) aufgezeichnet.

#

~" '

lr L

f

,/

-"v

Abb. 5. Abbildung 5 zeigt einige der Bildkurven vom Radius O < r < 2,0 axonometrisch iiber ,' aufgetragen [Betragfl~tche der Umkehrfunktion yon I_1/2(z)]. Fiir Heine Werte yon r erh~tlt man in der w-Ebene kriesf6rmige Kurven mit grossem Radius (Bild 1 und

Uul•WlUmlnnnunuuumunnnnm nugu~i~mi~iBimim Jimmn~muumnnmm~nmmm mnmuumNn~mmmumun Nu~aune~numn~emnilum ,nnanm~inniinnnpnmeun n~mmmmmD~lumamm~m nrlmm~mog.._=~lmklmtal

n'amw,mmHi,lmnmJltalmlul

nnmmmmmumnummmummuum nuununnnunnumuuunuum nuunune~mnma~mnnnunu nnn mmai mu u u mmi ~ l ammm n!upannniJnuunn~lunm nnu~uunuJJnuiJunpnnn nutnmmunnuunmunmm]uu nnrMunmmnuuuJmunm[~un muanlunnnnnunuunmln mnmnmmmmm@,aumimmmnnm mlmllmmunlmmmmmmmumm nnlnuunnnnnnnunmnlmn mnilnlmmnnmnmmmJnnrmn im~imlmlumalmammllmu nun~nnnmnnmnnmnm~iuu nnnm~mmiunmmumi~mnmu nnnmm~umminnmm~mmmnm mnmmmn~z~mm~suuunmmm nnnmmmmmuunmmonounuu unmmumnmmJmJmmnnnnnn Bild. 1

r ~

0,01

RORP:

(10;10).

2). Die Umlaufrichtung ist umgekehrt wie diejenige in der z-Ebene. D.h. der Punkt z = 0 hat sein Bild im Unendlichen, die singul~re Stelle der Differentialgleichung ist auch singul~ire Stelle der L~Ssungsfunktion. Zwei Uml~iufen eines Kreises in der z-Ebene entsprichL ein Durchlatff der Bildkurve in der w-Ebene.

I Illlll <

.

l [~ 17~11 ~

I} [

EI !

[ '

i[ ] tkl I K~--+--4a'j

I:l I l~i

[]

~,

I I I 1

t F I I: I r"t"4,-~

"~

,

,

nlmnunnmumnunnmnnn

i

u

Bild 2. r ,' yon aussen nach innen : 0,05; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; RORP : (4 ; 4 ) .

Der Punkt z = 0 ist also VerzweigtmgsDmkt der Abbildungsfunktion. In ihm h~ingen zwei BlOtter der tiber der z-Ebene gelegenen Riemannschen Fl~che zusammen. Die Abbildungsftmktion verh~ilt sich dort wie 1/~/z. Fiir welter anwachsendes r erh~tlt man fiir r = 0,775 eine Ku_rve, wdche ftir die Parameterwerte t = w/2, t = 3 rr/2, t = 5 rr/2 und t = 7 w/2 Eckea besitzt (Bild 5). Die zugeh6rige Kurve ~7(t, 0,775) weist fiir die bezeichneten Parameterwerte Nulldurchg~inge auf

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Annales de l'Association internationale pout' le Calcul analogique

immnme~unmnmmmammmmn mmmnmmam~i~ka'ammmmm mmmmmmummmmmmmmmmnmm mmmmmnlmmmmmmmm.mmmmmm mmmnmmmnmnmmmulmmmmmn mmmmmummmimmmmlmmmmmm mmnmmm~nmmmHmmwmmmmm mmnmmmaunmimmn.mmmmmm mmmmi~.m~))mamammmmm mmmmmammmmmm~ammmm mummmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmimmmm mmmnmmmnnmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm r

= 0,7 RORP:(2 ;2).

(0,775;./2);

Bild 6 . (t. 0,775)

Janvier 1962

RORP : (2 ; 2).

(K T) = ,,is;-~/4); (1,18;-3 ./4); (i,18 ; -5 . / 4 ) ; (1,18; -7 ~r/4)

(0,775 ; 3 w/2);

(0 775 ; 5 w/2); (0,775; 7 w/2)

--

numnmn~m~ai~nmmmmm mmnmnmnmu~mmmmmmnmmm mmmmnmmnmnmunmmmmumm mimmmmmmm~nmmmmmmmm nmmnmmmnm~mmmmmnnmm mmmmmmnmmmmmmnmmmmmm nmmummnnmmmmummmmmmm mmimmmmmmmmmmmnmmmmn mmmnnmmmmmmummmmmmmi mmmmmmmmmmmmmimmmmmm

(Biid 6). Die Punkte der tiber der z-Ebene gelegenen Riemannschen FIiiche mit den Polarkoordinaten (r, t) =

I

unnnmunnnmnmmmunumnn ummmmmmmmnumumnmnmmu mnJnmmmmnnmJmnJmminn unnnmnJummunmJnnmmmu nmnnmmnnnmmmmmnimmnu nnmnmmnnnmlmnnnnumnn nnummmnnn~nmunmmmmn mmnmmnnmmnunnmmmmnmm nunnnmunu)wnmnnnnnun mnmmni~nmk,!~.m~ummnmm

umunmmmmamuaamnmmumu ummmmmnunuuummnmummm muuJnnnn~minnJJmnnmJ umummmmnnmmnmmmmnunm mlmmmmumuminmnmnmnnm

Bild 3

N"

(20)

(21)

Die Aenderung der Umlaufzahlen N . bzw. Nw, beim W

Uebergan3 yon Kreisen r < 0,775 zu solchen r > 0,775 mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmumummmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmummmmmmmmm mmmmmmmmm~mmmmmmmmm mmmmmmmmmuummmmmmmmmm mmmmmmmmmvummmmmmmmm I I I l ] ~ l l l l l 11 I 1 1 " 4 , , , , 1 , ~ ~

I I I I I

mmmmmmmmm~mmmmmmmmm mmmmmmmmmlmrammmmmmmm mmmmmmmmm.ummmmmmmmm mmmmmmmm~mummmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mummmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmummm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

Bild 4 u, (t ; 0,7) RORP : (2,2). mnmmnnmummmmmmmmmmmm mmmmmmmummmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmnnmmmmmmmmmmmm nmmmnm~)nme~ammmmm mmmmmmLmmmmmm~mmmmmm mmmmmmmmmmmmmammmmm

1 III I Illl Ikl I I11 I I I !1 I I I I I Ill I ITI I Ill I I I I I I I Illllllllll IIII I~I 11 I 11111 I I I I I Ii11~1 11111 ~ ~ 1 1 1111171 r I] llllIlllllllllI11 111111111111111111 1111111

mmmmmmmllmmmmmmmmmmmm nmmmnnmllmmmmmmmmmmmm

mmnmmmmmmmmmmmmmnmmm mmmmnummmmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmummmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmnmmmmmmnmmmmm mmmmmm~Mmmmmp~mmmmmm mmmmmmmmmmmmmammmnmm mmmmmmmmmmmmmlmmmmmm mmmmmnmlnmBmmammmmmmm mmmmmmmfnmmmmmommmmmmm mmmmmmmmmmmmmtmmmmmmm nmmmmmmmmmmmlmmmmnmm mmmmmm~immmmQ)mmmmmm mmmmmummmmmmummmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmnmmmmnmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmmmm nmmmmmnnmmmmmmmmummm mmmmmmmmmmmmmmmnmmmm

Bild 7 r ~ 0.85 RORP : (2 ; 2),

nmmmmmmmmmummmmummmu

nummmmmmmummmuummmmm mmmmmmmmmmmmmmmmmnmm mmmmuummnmmmmmmummmm mmmmmmmmnmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmHmmmmmmmmm mmnmmmnmHbunmmmmmm mmmmmmmmmlmm|nmmmmmmmm mmmmmmp=:!mmr))ummmmmm mmmmmwHm)i.amw~mmmmm umnmmL~um~imFinmmmm unmmmmm~;iwmi;~wmmmmmm mmmmmmmmm.mmpnumuummmm mmmmmmmR~m~nnmmmmmm nmmmmmmmm~ummmmmmmm mmmmmmmmla~mmmmumnmm mmmmmmmmmnmmmmmmmmmm mmummmmmmmmmmmmmmmmm mmmmmmmmmmmmmmmmnmmm mmmmmmmmnmmmmmmnmmmm

Bild 5 r ~ 0,775 RORP: (2;2). Bild 8 w(l, 0,85) sind &her Kreuzungspunkte der Abbildungsfunktion I_1/2(z). Die tiber der .w-Ebene gelegene Riemannsche Fl~iche besitzt in den zu diesen Pammeterwerten geh6rigen Bildpunkten Verzweigtmgspunkte. Sie liegen der Reihe nach bei

RORP: (2;2).

betr~igt + 4 (Bild 4, 6, 8). Da far r = 0,775 vier Nullstellen der Ableitung auftreten, und die Kuzven v611ig symmetrisch verlaufen, ist jede dieser Nilllstellen von 1. Ordnung. In den Verzweigungspunkten (21)

U, Kulisch ." Behandlung yon Di~ferentialgleichungen im Komplexen

37

r > rr/2 urn @ 4 (Bild 11; 12; 13). Da £iir r = rr/2

mmmmmalimmuammmmmmnn JJnJnJNJNJnJNJJuniun

nununnnmmnnmlnunmnmm mNNNENUNEENNNNNENEUN imiluunminNNiNUllinm

NNNNNNNIIMN unmnumn.m~puoqk!miminmnu

mmmmmnR,'~miim.-L-,~mNmammmm

vier Nullstellen auftreten trod die Bildkurven v611ig symmetrisch verlaufen, ist jede Nullstelle yon 1. OMnung. Die Kurve in Bild 14 zeigt an den Schnietpunkten mit der reellen und imaginiiren Achse kleine Ausbuchtungen. Diese deuten bereits auf die ersten reellen Kreuzungspunkte hin, welche bei x = -+- 2,97 gelegen sind. Die Ausbuchtungen der Kurve in Bild 14 werden dann zu Spitzen.

mmmimmmmmmummmmmummu mmn!nm~:imm~uuumm_ mmmm~ummmmmmm~mmmm mmm~ap~mmmmm~)m~mmm iu~aK#~Nimm~i~)~u~mm

ummmmmmmmmnmuumnnnmn Bild. 9 r = 1,0 RORP: ( 2 ; 2 ) , h~ingen & h e r je zwei Bliitter der fiber der w-Ebene gelegenen Riemannschen Fl~iche zusammen. In jedem der Kreuzungspunkte (20) : z , , i = 1; 2; 3; 4 verNillt sich die Abbildungsfunktion wie ,o =

(z-

z,)= +

(

.

.

.

.

.ll~

~lm,m

f i l m

mm#mrn)iu it ii mmmmrL~#,Innmmnln mummlml|m iii!m).)mrllmiltoNmmn)n nmmmlm#mm)N,amanlmllnl|mmmm • mmum~unmu ~@@immmmt n Iwu.gniim nn~m~v#aii-mi~aa~mn uua~). ..... --~ammmn )mn~u~)mnmm~agpannn mmmmwsmHmmmimmahmmnm iimmmms~3~e~dmmm|mu mmmmmmmmmmmmmmnmimma

...

Die Bildkurve des Kreises vom Radius r = ~r/2 durchsetze flit die Parameterwerte t = O; ~r; 2 rr; und 3 rr den N u l l p u n k t der w-Ebene. Die Umlaufzahl der Bildkurven um den N u l l p u n k t der w-Ebene ~indere sich beim Uebergang yon Kreisen r < w/2 zu solchen

~

n

Bild 10 r : yon aussen nach innen : 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0.8; 0,9; 1,0; RORP : (2 ; 2).

mmmmmmmmmmmummmmmmmmmmmmmm

|mmmmmmmmmn~mmum~mmmmmmmmu

mnmmmmmmmmmmmnmmp_mmmmmmmmmm mum.ummmmmmmm mmm.~mmmmmmmmm um~: :::).mmmmmn nn~mm,~)mmmmm n m l i i ~ w ~ u m m u u nmu nnnnm~nmmn nmmmli~MNummunmmumnmmmlmmn ummm~ll'11~mmnunukmnmmmnmmn ummn~~mmmunmm~uummmmmn ummmm~)~Jnmnnuim~mm~ammn ummmnmmmmmmmnummmmhliammmn ummmmnmummmmnummmmnmmnmmmn

mm).iii.~mmmm|nmlmmmmm~wmm m ~ u m m m m ~ u m m m g a u m m n m m m mm~mummw m mmmmmnmmm~mm,N f I N N N N m n m m u nu n n m m u m n m u n nummmmmmmmhmunmumnnnmnnmnmn umlmmmmmmmnmumlmmmnmmnmmml mm~mmmmmmmimnRnmmmmmmnmH nn~)mmnmm~mmnumpmmnnnnmm~u nmm~mnm~lmmuumm~mmmmmm~nu ummmmii~munmunmmm~mw~muu

mmmmmmmimmmmmniimmmmmmmmmm

mmmimmmmmmmiuummmumunnmmll Bild 11. RURP:(2;--2)

r~1,57

Bild 12, RURP:(2;--2)

LITERATURVERZEICHNIS

[1] HAYASHI : Tafeln der Besselschen, Theta-, Kugel- und anderer Funktionen. Berlin, Springer-Verlag 1930. [2] HEINHOLD : Konforme Abbildung mittels elektronischer Analogrechner. Zeitschrifi /iir moderne Rechentechnlk und :lutomation, Wien 1959, Heft 2. [3] HEINHOLD : Konforme Abbildung mittels elektronischer

nmn)mmmimnnnilum~)l=)Innnm

mmmnnnmmmmmmnmmmmnnunnmmnu ,=t,8

Bild 13. RURP:(2;--2)

r=2,0

Bild 14. RURP:(2;--2)

Analogierechenanlagen. ZAMM 39, Sept. 1959, S. 369370. [4] HURWITZ- COUILANT : Funktionentheorie. Berlin, Springer-Verlag 1925, zweite Auflage. [5] JOHNSON : Analog Computer Techniques. McGraw-Hill Book Co, Inc., New York 1956. [6] NIKOL: Ober die konforme Abbildung durch gewisse Besselsche Funktionen mit negativem Zeiger. Diss. Miinchen 1933.