Bemerkungen zur theorie der düsen-impaktoren

Atmospheric Environment, Pergamon Press 1969. Vol. 3, pp. 69-83. Printed in Great Britain.

BEMERKUNGEN ZUR THEORIE DthEN-IMPAKTOREN lnstitut fiir Meteorologie,

Universifflt

DER

Mainz, Mainz, Germany

(Received 17 July 1968) Abstract-The usual theory of jet impactors is valid only for spherical particles at low Reynolds numbers. Application of this theory to non-spherical aerosol particles in jet impactors iS not possible exactly. Therefore the impactor theory was modified, now based on the equation of motion of non-spherical particles at conditions occurring in jet impactors. It is possible now to explain the differences between the impactor calibrations of RANZ and WONG (1952) and of STERNet al. (1962). Calculations on the influence of particle shape and density on the impactation process show that jet impactors and other sampling instruments based upon the inertia principle are not capable of measuring the size and the number of atmospheric aerosol particles in absolute terms. Nomenklatur:

u = Krtimrnungsradius

einer Stromlinie; OberEIchenkonstante; Oberlltichenkonstante; Schallgeschwindigkeit in Luft ; Diisenbreite oder Diisendurchmesser ; grbhte Quers&nittsfl&he e&s nicht kugelfiirmigen Teilchens senkrecht geschwindigkeit zwischen Teilchen und Luft; Kn = Knudsensche Zahl einer Kugel; Kn* = Knudsensche Zahl eines nicht kugelfiirmigen Teilchens; 1 = mittlere freie WegCinge von Luftmolekiilen; 1, = mittlere freie Wegl&nge von Luftmolekiilen im Diisenende; L* = charakteristische Einge eines nicht kugelfarmigen Teilchens; m = Masse eines Teilchens; M = Machsche Zahl der Umstriimung eines Teilchens; N = Anzahl der Teilchen mit Aquivalentradien kleiner als r; Q = Oberfltichenkonstante; r = Kugelradius, Aquivalentradius eines nicht kugelfiirmigen Teilchens; Re = Reynoldssche Zahl der Umstrijmung von Kugeln; Re* = Reynoldssche Zahl der Umstriimung eines nicht kugelfijrmigen Teilchens; Re, = Reynoldssche Z&l der Luft im Diisenende; S = Abstand zwischen Diisenende und AuffangiXiche; t = Zeit; t * = dimensionsloser Zeitparameter; 7i = Geschwindigkeit eines Teilchens; 3’ = dimensionslose Geschwindigkeit eines Teilchens; uJ = mittlere Geschwindigkeit der Luft im Diisenende; J, = Geschwindigkeit der Luft; ii,* = dimensionslose Geschwindigkeit der Luft; V = Volumen eines Aerosolteilchens, Gesamtvolumen einer Aerosolteilchenprobe; Yrel = reiatlves Volumen; W* = Widerstandsbeiwert eines nicht kugeE5rmigen Teilchens; W, = Widerstandsbeiwert einer ⋛ Z = Gesamtzahl der Teilchen in einer Aerosolteilchenprobe; ZCc, = relative Anzahl; E = mittlere dimensionslose Relativgeschwindigkeit; A = B = cL = D, = F* =

69

zur Relativ-

70

GO~~FFCIED H&EL 1. EINLEITUNG

ZUR MESSUNGder GrijBenverteilung, der physikalischen und der chemischen Eigenschaften atmosphlrischer Aerosolteilchen werden haufig Dtisen-Impaktoren als Sammelgerate verwendet. Die GrSDe der im Impaktor aufgefangenen Teilchen wird mit Hilfe einer Theorie berechnet (RANZ und WONG, 1952). Diese Theorie beruht auf dem Stokesschen Gesetz tiber den Widerstand viskoser Medien gegen Kugeln und seiner Erweiterung auf sehr kleine Kugeln durch KNUDSENund WEBER(1911). Zahlreiche Arbeiten haben jedoch gezeigt, da13 dieses erweiterte Gesetz nicht auf die Bewegung atmospharischer Aerosolteilchen in Diisen-Impaktoren anwendbar ist. Deshalb ist es notwendig, die bisher gtiltige Impaktor-Theorie zu verbessern. Obwohl von Dtisen-Impaktoren die Rede sein wird, lassen sich die prinzipiellen Ergebnisse auf alle Sammelgerate anwenden, die auf dem Tragheitsprinzip beruhen. 2. DER TRiiGHEITSPARAMETER 2.1. Die Bewegungsgleichung Aerosolteilchen haben eine gr6Bere Tragheit als Luft. Darauf beruht die Wirkungsweise von Dtisen-Impaktoren. Striimt mit Teilchen beladene Luft durch eine Dtise gegen eine senkrecht zur StrGmungsrichtung gestellte F&he, so kann die Luft diesem Hindemis leichter ausweichen als die Teilchen. Deshalb k&men sich Teilchen auf der Flache absetzen. Die Teilchenbewegung wird einerseits vom StrGmungsfeld der Luft im Raum zwischen Diisenende und AuffangfBiche und andererseits von der GrGDe, der Form, der Dichte und der Oberflachenbeschaffenheit der Teilchen bestimmt. Der EinfluD der Gravitation und der Einflul3 elektrischer Felder auf die Teilchenbewegung ist vernachlassigbar, abgesehen von besonderen Fallen (RANZ und WONG, 1952). Deshalb wird bei den folgenden Betrachtungen nur die Tragheit der Teilchen beriicksichtigt. Dann ist die Bewegungsgleichung fur ein Aerosolteilchen an einem beliebigen 01%eines Striimungsfeldes du’ m-;ii=

(1)

u’ ist die vektorielle Geschwindigkeit des Teilchens, J, die vektorielle Geschwindigkeit der Luft. i&u’, ist die vektorielle Relativgeschwindigkeit zwischen Teilchen und Luft und 1ii-u’, 1 ihr Betrag. t ist die Zeit und pr. die Luftdichte. m ist die Masse, F* t] = Abscheidewirksamkeit ; qL = dynamische Zahigkeit der Luft; I]~ = dynamische Z%higkeit der Luft im Dtisenende; K = dynamischer Formfaktor eines nicht kugelformigen Teilchens; K* = dynamischer Formfaktor eines nicht kugelformigen Teilchens bezogen auf die Aquivalentkugel mit den ObertIachenkonstanten A = 1, Q = l/2 und B = 1; v* = Potenz der Junge-GroEenverteilung von atmospharischen Aerosolteilchen; 5 = HilfsgriiDe, hier gleich 2; p = Teilchendichte; PJ = Luftdichte im Dtisenende; pi = Luftdichte; + = Ttigheitsparameter; $, = spezieller Tragheitsparameter ftir Kugeln mit A = 1, Q = l/2 und B = 1; $t = spezieller Trttgheitsparameter fiir Kugeln mit A = 1,23, Q = 0,42 und B = 037.

71

Bemerkungen zur Theorie der Dtisen-Impaktoren

der griil3te Querschnitt senkrecht zu i&u’, und W* der dimensionslose Widerstandsbeiwert des Teilchens. Die Gl. (1) besagt, daO der Widerstand der Luft auf ein Teilchen proportional dem Staudruck ist, der auf die Flache F* ausgetibt wird. Der Widerstandsbeiwert W* ist der Proportionalitatsfaktor. Bei einer bestimmten Anstromungsrichtung ist W* eine Funktion der dimensionslosen Reynoldsschen Zahl Re*

=*PL (u’_u’L 1

=

VL

-

W

der Umstromung des Teilchens, der dimensionslosen Machschen Zahl M

_

Iu’_u’L I

(2b)

CL

der Umstriimung des Teilchens und der dimensionslosen Knudsenschen Zahl

lCn*=$

W)

des Teilchens. L* ist eine von der AnstrSmungsrichtung abhangige charakteristische Lange des Teilchens. qL, C, und I sind die dynamische Z%higkeit der Luft, die Schallgeschwindigkeit in der Luft und die mittlere freie Weglange der Luftmolekiile. Es ist zu beachten, dal3 such F* von der Anstromungsrichtung abhangig ist. Ftir Kugeln mit dem Radius r lautet die Bewegungsgleichung du’ = mz W,, der Widerstandsbeiwert

t’@F2

$1

ii-iiL

1 (u’-CL).

der Kugel, ist eine Funktion der Reynoldsschen Zahl Re=

%'LI~=LI VL

der Umstriimung der Kugel, der Machschen Zahl M der Umstrijmung der Kugel und der Knudsenschen Zahl

der Kugel. ZweckmlBigerweise wird als charakteristische GriiDe nicht kugelfijrmiger Teilchen der Aquivalentradius F angegeben. Das ist der Radius der Kugel mit dem gleichen Volumen V wie das nicht kugelfijrmige Teilchen.

F=

3v r/3 G

0

Weiterhin wird als dynamischer Formfaktor K eines nicht kugelfiirmigen Teilchens das Verhlltnis des Widerstands gegen das nicht kugelformige Teilchen zum Widerstand gegen seine Aquivalentkugel definiert. Aus den Gln. (1) und (3) folgt W*F* K= z = W&F

K

(Re*, Kn*, Re, Kn, M, F*/~F’).

(6)

72

GOTTFRIED H~~NEL

Mit dem Aquivalentradius und dem dynamischen Bewe~ngsglcichung (1) die einfachere Form

Formfaktor

bekommt

die

dii mdt= p ist die Teilchendichte,

Daraua folgt bei Beriicksichtigung von m = &cr3, dii dt=

(8)

Cl. (8) ist der Ausgangspunkt fur die weiteren Betrachtungen. 2.2. Der Widers~and~be~wer~ Die Widerstandsbeiwerte von Aerosolteilchen miissen bekannt [sein GI. (S)], darnit ihre Bewegungen in einem Striimungsfeld beschrieben werden kiinnen. Deshalb werden im folgenden Abschnitt dynamische Formfaktoren nicht kugelfiirmiger Teilthen und der Widerstandsbeiwert von Kugeln diskutiert. Voraussetzung fiir die folgenden Betrachtungen ist, daB nur Machsche Zahlen der Umstr~mung der Teilchen kieiner als 0,3 im Diisen-Impaktor auftreten. Dann sind sowohl die dynamischen Formfaktoren nicht kugelfijrmiger Teilchen als such der Widerstandsbeiwert von Kugeln keine Funktionen der Machschen Zahl mehr (SCHLICHTING, 1965). 2.2.1. Der Wid~rs~an~beiwer~ van Kugeln. In TABELLE I sind gemessene Widerstandsbeiwerte von Kugeln in analytischer Form angegeben. Allein das Stokessche Gesetz lIf3t sich theoretisch ableiten. AlIe anderen Formeln sind empirisch oder halbempirisch. TABELLE 1. WIDERSTANDSBEIWERTE VON KUGELN

Wk 24 R7;

U&2s&leuGgte

Re

Kn

< 0,05

-C0,Ol

< 0,7

<

o,oi

0,7-500<0,01

;(I +f Rez?

StokesschesGesetz (in FUCHS, 1964) OSEEN

(in

FWXS, 1964)

KJ_YACHKO(in

FUCHS,

1964)

Bewegung $1+0,13 Re00e5)

<6

c

0,Ol nach Messungenvon PETIVOHN

und

CHRBTL~NSEN el af.

(1948) $l+KnIA+Q

exp(--B/Kn)l}-’

<0,05

beliebig

KNUDSEN

und WEBER

(1911) MILLIKAN (1923)

beachleunigte

27 --

3ewegung

24 < 0,65 beliebig &l-i-$ Re)(l + K&4 -t- Q exp(-BIKiz)l)- 1

6-500 co,01

INOEBO

(in FUCHS,1964)

&0*84 BODIN

(1967)

Bemerkungenzur Theorie der Diisen-Impaktoren

73

Sol1die Bewegung von Aerosolteilchen in Di_isen-Impaktoren fur M< 0,3 beschrieben werden, so ist die Kenntnis der Widerstandsbeiwerte beschleunigter Kugeln fur Re< 6 und beliebige Kn Voraussetzung. Fur Re < 6 und Kn < 0,Ol ist nach den Messungen von INGEBO(in FUCHS, 1964) und BODIN(1967) der Widerstandsbeiwert beschleunigter Kugeln gleich dem unbeschleunigter Kugeln. In diesem Bereich beschreibt ge (1+0,13 Re0sE5) am genauesten die MeDwerte. Der maximale Fehler ist +2,5 Prozent bei Re = 6. Fur Re 5 5 ist der Fehlerbetrag kleiner als 1 Prozent. Weiterhin darf aus den Messungen von BODIN(1967) gefolgert werden, da8 der von KNUDSENund WEBER (1911) gefundene Korrekturfaktor (1 +&[A+ Q exp(-B/fi)]}-’ am Stokesschen Gesetz im Bereich Re ~6 gilt. Daraus folgt als Widerstandsbeiwert beschleunigter Kugeln fiir M<0,3, Rex 6 und beliebige Kn W, = ge (1+0,13

ReosE5){l+Kn[A+Q

exp (-B/Kn)]}-‘.

Die Obeflichenkonstanten A, Q und B sind von Stoff zu Stoff verschieden (TABELLE2). Da wesentlich grijl3ere Unterschiede in A, Q und B gemessen worden sind (FUCHS, 1964), als aus TABELLE2 ersichtlich, kijnnen also die Unterschiede TABELLE 2. MFSWERTEDEROBERFL~~CHENKON~TANTEN

01 in Luft Gias in Luft

1,23 1,02

Wasser in ge&tigter Luft

1,03

0,42 0,57 -

0,87 1,15 -

MELIKAN (1923) KNUDSENund WEBJXR (1911) GOKHALAund GATHA (in FUCHS, 1964)

zwischen den Knudsen-Weberschen Korrekturfaktoren verschiedener Stoffe bei fi>O,5 grijBer als 5-6 Prozent sein. Atmospharische Aerosolteilchen sind bei mittleren und hohen relativen Luftfeuchtigkeiten teilweise oder ganz mit wlI3rigen Hguten (A = 1) iiberzogen. Zur Vereinfachung der folgenden Betrachtungen werden A = 1, Q = l/2 und B = 1

(IO)

als Bezugswerte angenommen. 2.2.2. Der dynamische Formfaktor. Bei der Umstriimung eines nicht kugelfiirmigen Teilchens, dessen charakteristische Lange L* grol3 gegen die mittlere freie Weglslnge I der Luftmolektile ist, treten, von wenigen Ausnahmen abgesehen, Beschleunigungen auf, die gr613er sind als bei einer Kugel gleichen Volumens. Folglich ist der dynamische Formfaktor griif3er als 1 (MCNOWN und MALAIKA,1950; KUNKEL, 1948; PE-~TYJOHN und CHRISTIANSEN, 1948 und FUCHS, 1964). Systematische Messungen von Widerstandsbeiwerten nicht kugelfijrmiger, isometrischer Teilchen wurden von PETTYJOHNund CHRISTIANSEN (1948) durchgeftihrt. Sie maben bei Mg 1 und Kn g 1. Da es sich urn isometrische Teilchen handelt, ist der dynamische Formfaktor K = K(Re) nur eine Funktion der Reynoldsschen Zahl der

GOTERIED

1

ABB.

H&at

IO

103

Re

1000

1, Dpamische Formfaktoren Kisometrischer Teiichen als Funktionen der Reynoldsschen Zahl Re.

~mstr~mung der ~q~v~e~tkugel. In ABB. 1 sind die dynamischen For~~tore~ von Kuben und von Tetraedern im Bereich 0,l < Re c 500 angegeben. Da Tetraeder mehr von der Kugelgestalt abweichen als Kuben, ist K bei Tetraedern grSDer als bei Kuben. Generell ist K umso griiOer, je mehr die Teilchenform von der Kugelgestalt abweicht (KUNK.EL, 1948). Unterhalb der kritischen Reynoldsschen Zahl, dem Umschla~unkt von laminarer in turbulente Umstromung, wichst K nur langsam mit Re. 2.2.3. Die Griye xWk bei M<0,3 und Re<6. Nach den Gln. (6), (9) und (10) ist bei h4<0,3 und Ret6 KWk

=

24

K* -

Re

(1

-t-0,13 Re o*s5) (1 +Kn [l++

exp (- l/Kn>]}-‘.

rc* = ~(I~KnCl+~exp(-l/ICn)])(l+i(n[AfQexpf-B/IYn)])-’

(11) (12)

ist der dynamische Formfaktor eines nicht kugelformigen Teilchens beziiglich seiner ilquivalentkugel mit den Oberfhachenkonstanten A = 1, Q = l/2 und B = 1. Mit den Gln. (11) und (12) kann der Widerstandsbeiwe~ eines atmosp~ris~hen Aerosolteilchens in einem D&en-Impaktor beschrieben werden . 2.3. Ableitung des Tr~g~eitsparameters 2.3.1. Die dimensionslose Bewegungsgleichung. Mit der Theorie der D&en-Impak-

toren sol1 die Frage beantwortet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit bestimmte Teilchen bei bestimmten Betriebsbedingungen des Impaktors aufgefangen werden. Fur die Bewegung eines Teilchens im Str~mungsfeld zwischen Diisenende und Auffang-

Bemerkungen

7s

zur Theorie der Diisen-Impaktoren

flPche 1sDt sich eine charakteristische, dimensionslose GrSlje angeben. Diese GraDe, der Tr~gheitsparameter, hat bei geometrisch ~hnlichen Teil~henbahnen in geometrisch Ihnlichen Striimungsfeldern denseIben Wert. Verschiedene Teilchen mit gleich groDen Trggheitsparametern werden also in geometrisch %hnlichen D&en-Impaktoren mit geometrisch ghnlichen Stromlinien der Luft gleich wahrscheinlich aufgefangen. Wie bei der Ableitung der Reynoldsschen Zahl (BUDO,1955) wird bei der Ableitung des Tr~gheitspar~eters die Bewegungsgleichung (8) in eine dimensionslose Form gebracht. Zu diesem Zweck werden die dimensionslosen ~schwin~~eitsve~oren u’* und $ und der dimensionslose Zeitparameter t * wie folgt definiert. a

~=Uj.~*

Uj.~2

2,

t

=

(Oj/Uj) .

t*

ist die mittlere Ge~hwin~~eit der Luft im Diisenende und Dj die Diisenbreite bzw. der D~sendurchmesser. Die Bewe~ngsgleichung in dimensionsloser Form lautet

Uj

dii*

9qLDjK*(l +0,13 [2rpJ_u,tt,-’

1u-*-g2 II”‘“‘>

dt”=-

Die rechte Seite dieser Gleichung entElt mit u”*-Oz,pL, qL und I GraDen, die vom 01% im Striimungsfeld zwischen Diisenende und Atiangfl%he des Impaktors abKingig sind. Es ist nun das Ziel, die rechte Seite von Gl. (13) in zwei Faktoren aufzuspalten, von denen der eine nur ortsabhtingige und der andere, der Triigheitsparameter, nur o~sunabh~~ge GraBen enthtit. (K* ist defi~tionsgem~~ such eine o~sab~n~ge Gri%, kann jedoch im Raum zwischen Diisenende und AuffangfHche des Impaktors konstant gesetzt werden, weil sein Wert selbst bei graDeren gleichsinnigen Variationen von Re* und Re und von Kn* und Kn sich nur geringfiigig iindert.) Mit geringeren Fehlern als l-2”/, kann PL = Pi,

(14)

tlL =

(I9

Vj

und I = lj

(16)

gesetzt werden, pj ist die Luftdichte im Diisenende, ‘li die dynamische Ehigkeit der Luft im Diisenende und II die mittlere freie Weegllnge der Luftmolekiile im Diisenende. Mit den Gln. (14), (15) und (16) folgt aus Gl. (13). dii* 9~j~jljr~*{1+0~13[2~~j~j~j~‘~ii*~iif:~]0~85} (;*_;*I dt* = ”

(17)

Auf der rechten Seite der Gl. (17) ist nur noch “u*-ii: ortsabmngig. c*-;g tritt dort als Faktor allein und sein Betrag in 1 i-0, 13 Reops5 zusammen mit ortsunabhPngigen GrijBen auf. Da 1 +O. 13 Re0*85 immer kleiner als I,6 (meistens kleines als 1,2 bis 1,3) kann ohne gr&Ben Fehler 1ii*-ii* 1 durch eine o~iunabh~n~ge Grirf3e E angenghert werden. E, der Betrag der “mittleren” dimensionsforen Relativgeschwindigkeit, hat fi.ir jede Form des Striimungsfeldes und fiir jede Teilchenart einen anderen Wert.

76

GOTTFRIED HXNEL

2.3.2. Ntiherungsgleichchung fib E. Betrachtet wird ein Teilchen auf einer Stromlinie mit dem Krtimmungs radius a. Es wird angenommen, die Tagentialgeschwindigkeit des Teilchens beziiglich der Stromlinie sei gleich der Geschwindigkeit tiL der Luft. Dann ist die Geschwindigkeit des Teilchens normal zur Stromlinie gleich der Relativgeschwindigkeit i;-ti, zwischen Teilchen und Luft. Also ist rniL2

-=

6~~ir~i;-~L~~*(l+0,13[2rpi~i-‘~E;-~L~]0,85)

a

l+?[l+fexp(-

(18)

k)] L

Daraus folgt mit Iii-q

= ujIu’*-iq,

(19)

u’,’ Dj 5=-T_ uj a

(20)

und II/ =2r’~Uj(l++[l+fCi~(-i)]) s

(21)

9VjDj

1U-*-U-t)(1+0,13 [2rpjUj~j-’

-.* -* I 0,SS) = $ I U -UL ]

lc*.

(22)

Formal gesehen ist 5 ortsabhangig. Jedoch geht aus verschiedenen Arbeiten (RANZ und WONG, 1952; STERNet al., 1962 ; WILCOX,1953 und R~~BER[siehe FUCHS, 19641) hervor, dal3 naherungsweise 5 = konstant = 2 gesetzt werden darf, Dann ist such 1U-*-U-~1 = E eine ortsunabhangige Grol3e mit der Bestimmungsgleichung E{1+0,13 [2rpjujqj-1~]o*85}

= 5 !$.

Abschsltzungen haben ergeben, dal3 fiir M<0,3, d.h. uj< 100 msec-’ noch ein Fehler von 30 Prozent in E zulassig ist, ohne den Wert von 1 +0,13 Reoqs5 wesentlich zu verfalschen. 2.3.3. Berechnung des Triigheitsparameters. Nach den vorangegangenen tungen hat die dimensionslose Bewegungsgleichung du’* dt*=

-$jl @*-ii;)

ftir Aerosolteilchen in Di.isen-Impaktoren den ortsunabhangigen II/ = ZUjpi{l+~[l+~ 9DjqjK*

Betrach-

Tragheitsparameter

eXp( -;)I}

{1+0,13 [2rpjnj~j-‘a]“*85}’

(25)

Die Zusammenfassung der Gln. (23) und (25) ergibt eine implizite Bestimmungsgleichung fiir den Trlgheitsparameter. Ic/+0,13(2rpjujqj-1~)o~85

$‘*” =

5.

(26)

77

Bemerkungen zur Theorie der Diisen-Impaktoren

Bisher wurde angenommen, die Aerosolteilchen seien Kugeln mit den Oberflachenkonstanten A = 1,23, Q = 0,42 und B = 0,87 und gehorchten dem Stokesschen Gesetz mit der Korrektur von KNUDSENund WEBER. In diesem Fall ist der Trlgheitsparameter gleich 2ujpr2 *: =

1,23 + 0,42 exp . 9Djqj

(27)

$ unterscheidet sich von $s durch das Produkt

2.3.4. Diephysikalische Bedeutung des Triigheitsparameters und die der Reynoldrschen Zahl der Luft im Diisenende. Im Trslgheitsparameter sind keine ortsabhangigen GriiDen enthalten. Also hat die dimensionslose Bewegunsgleichung (24) identische LSsungen fiir verschiedene Teilchen mit gleich grof3en Trlgheitsparametern. Diese verschiedenartigen Teilchen werden dann gleich wahrscheinlich im Impaktor aufgefangen. Bei diesser oberlegung ist stillschweigende Voraussetzung, daB die betrachteten Striimungsfelder ii, geometrisch tihnlich oder einander gleich sind. Das ist nur in geometrisch ahnlichen oder gleichen Diisen-Impaktoren zu erreichen, in denen die jeweihgen Reynoldsschen Zahlen der Luft im Diisenende tibereinstimmen (Bu~o, 1965; SCHLICHTING,1965). AuDer dem Trtigheitsparameter mul3 also die Reynoldssche Zahl der Luft im Dtisenende Rej = DlPjUj’lj-

1

(28)

beachtet werden. 3. IMPAKTOR-EICHUNGEN 3.1. Durchftirung

und Anwendung von Eichungen

Impaktoren werden geeicht, indem die Abscheidewirksamkeit q als Funktion des Tragheitsparameters J/ (bischer immer als Funktion von Jlj) bestimmt wird. q ist der Bruchteil der durch die D&e striimenden Teilchen, der im Impaktor aufgefangen wird. R~BER (in FUCHS,1964) und MCFARLANDund ZELLER(1963) fanden, da8 in gleichen Dtisen-Impaktoren bei gleichem Wert des Trlgheitsparameters $: die Abscheidewirksamkeit q mit der Reynoldsschen Zahl Re, der Luft im Dtldenende ansteigt. Bei grot3em Rei werden also mehr kleine Teilchen aufgefangen als bei kleinem ReP Also darf bei Eichungen Rej d. h . uj nicht variiert werden. Messungen von MCFARLANDund ZELLER(1963) besagen, daB geringerem Abstand S zwischen Diisenende und AuffangBache die Abscheidewirksamkeit groBer ist als bei grSBerem. Bei kleinem S/Dj werden mehr kleine Teilchen aufgefangen als bei groBem. Deshalb dtirfen Eichungen nur bei konstantem S/Dj durchgeftihrt werden. Von einer trockenen Auffangflache werden feste Teilchen von einer bestimmten GrijDe an weggeblasen (MCFARLAND und ZELLER, 1963; FUCHS, 1964). Nur die Prlparation der Auffangfhtche mit einem Haftmaterial verhindert das. Nach den Ausfiihrungen des vorangegangenen Abschnitts und nach den oben zitierten Messungen kann eine Impaktor Eichung nur auf den geeichten oder auf

78

GO~TFRIED

HXNEL

einen geometrisch Bhnlichen Impaktor angewendet werden. Urn zu erreichen, da13 in geometrisch ahnlichen oder identischen Impaktoren such die Stromlinien der Luft geometrisch lhnlich sind, miissen die Reynoldsschen Zahlen der Luft in den Diisenenden iibereinstimmen. Sei die Eichung mit “1” und die Messung mit “2” gekennzeichnet, so mu13 gelten Rej, = Rej,.

(29)

Die TeiIchenb~~en zwischen Diisenende und Au~ang~che sind geometrisch ahnlich, wenn aul3erdem die Tragheitsparameter iibereinstimmen, also $1= J/z

(30)

ist. Dann werden die betrachteten Teilchen bei der Messung mit der gleichen Wahrscheinlichkeit aufgefangen wie bei der Eichung. Sind diese Vorausse~ungen nicht alle zugleich erfiillt, so kann eine Eichung nicht auf eine Messung angewendet werden. 3.2. Vergleich zwischen den Impaktor-Eichungen von RANZ und WONG (1952) und von STERNet al. (1962). Sowohl RANZ und WONG (1952) also such STERN et al. (1962) haben Impaktoren mit rechteckigen D&en mit Hilfe von Kugeln geeicht, die ersteren Autoren fur atmosph&-ische Verhgltnisse in Meereshohe und die letzteren ftir atmosptirische Verhlltnisse in der Stratosphtie. Beide Autoren maBen dabei die Abhangigkeit der Abscheidewirksamkeit q vom speziellen Trligheitsparameter $r. Die .s-fiirmigen Eichlcurven sind in ABB. 2 dargestellt. Das Mittel der Reynoldsschen Zahlen der Luft im Diisenende war bei den Eichungen von Ranz und Wong etwa gleich 3000 und bei denen von Stern et al. etwa gleich 700. Die Impaktoren von Ranz und Wong hatten Abstandsvertiltnisse zwischen S/Dj = 1

2. Abscheidewirksarnkeit q als Funktion Impaktoren mit rechteckigen Dtisen. - x STERN

ABB.

des speziellen Trrggheitsparameters tit fiir et al. (1962), -+--RANZ and WONG(1952).

und S/D, = 3 und die von Stem et al. das Abst~dsver~ltnis S/Dj = I. Da Ranz und Wong und Stem et al. etwa ‘gleich groDe Kugeln verwendeten und bei etwa gleich groDen mittleren Geschwindigkeiten der Luft in den Dtisenenden eichten, sind

19

Bemerkungen zur Theorieder Diisen-Impaktoren

bei den ersteren grijl3ere Reynoldssche Zahlen der Umstromung der Kugeln zu erwarten als bei den letzteren. Bei den Eichungen von Ranz und Wong mu13 also die in $r nicht beriicksichtigte Korrektur 1 + 0,13 Re0985 griiBer sein als bei den Eichungen von Stern et al. Deshalb ist zu erwarten, da8 die Eichkurve von Ranz und Wong bei groSeren $f-Werten liegt als die von Stern et al. Wie aus ABB. 2 hervorgeht, ist das tatsiichlich der Fall. Entsprechendes gilt such ftir die von den Autoren gemessenen Eichkurven fiir nmde Diisen. Der Korrekturfaktor 1 + 0,13. Re o*85 darf also keinesfalls gleich 1 angenommen werden. 4. BERECHNUNGEN OBER DAS AUFFANGEN KUGELFdRMfGER TEILCHEN

NICHT

Nicht kugelfiirmige Teilchen haben dynamische Formfaktoren grijl3er als 1, der Widerstand der Luft gegen diese Teilchen ist also gr813er als gegen Kugeln gleichen Volumens. Also werden nicht kugelformige Teilchen in einem Impaktor in geringerem MaBe aufgefangen als Kugeln mit dem gleichen Volumen. Der EinfluB der Abweichung von der Kugelgestalt auf die Anzahl und das Gesamtvolumen der in einem DtisenImpaktor aufgefangenen Teilchen sol1 nun an einem Beispiel berechnet werden. 4.1. Die Eigenschaften der betrachteten Teilchen Es werden kugelformige und nicht kugelfiirmige Teilchen mit Aquivalentradien zwischen c = 0,05 p und J = 1 p betrachtet. Die GrijDenverteilung der kugelformigen und die der nicht kugelformigen ‘Teilchen sei die ihrer biquivalentradien. Diese haeb die Form (JUNGE, 1963) dN (r, v*) = no (rO/r)YO. dlogr

(31)

N(r, v*) ist die Anzahl der Teilchen mit Aquivalentradien kleiner als r. v* ist der Junge-Exponent der GroBenverteilung. r0 ist ein Bezugsradius und % = [dN(r, v*)/d log rlrCr, Die bei der Rechnung verwendeten v*-Werte sind 2, 2,5,3,3,5,4 und 4,5. Fiir jeden dieser r*-Werte, also fiir jede der betrachteten GriiDenverteilungen werden Teilchen mit dynamischen Formfaktoren 1, 1,05, l,l, 1,2, 1,4, 1,6, 1,8 und 2 betrachtet. Die Dichte der Teilchen sei 2 g cmw3, die Oberfhachenkonstanten der Teilchen seien A = 1,23, Q = 0,413 und B = 0,877. 4.2. Die Funktionen q = 9 (r, K)

Die Abscheidung der Teilchen in einem Impaktor mit rechteckiger Dtise soll bei atmospharischen Bedingungen erfolgen, wie sie in Meeresniveau vorzuflnden sind. Die Lufttemperatur auDen sei 283”K, der Luftdruck aul3en 760 Torr, die Dtisenbreite Dj = 0,03 cm, das Abstandsverhiiltnis S/Dj = 1, die Geschwindigkeit der Luft im Dtisenende u, = 100 m/set, die Luftdichte im Diisenende pI = 1,27*10-3g cmF3, die dynamische Zlhigkeit der Luft im Dtisenende qi = 0,000174 g cm- ’ set- ’ und die mittlere freie Weglange der Luftmolektile im Dtisenende Z, = 6,1*10-6 cm. Bei diesen Bedingungen kann die von RANZ und WONG (1952) fiir rechteckige Dtisen gemessene

80

GOTTFRIED H~NEL

Eichfunktion q = a($:) verwendet werden. Diese Funktion ist bei nicht kugelfiirmigen Teilchen als q = ~(~~~~) aufzufassen. Bei den oben vorgegebenen Bedingungen ist dann die Abscheidewirksamkeit q eine Funktion des ~quivaIentradius r und des dynamischen Formfaktors ICallein.

03 ABB. 3. Abscheidewirksamkeit

q als Funktion des ffquivalentradius mische Formfaktoren K.

r fiir verschiedene

dyna-

Die Funktionen pl = t&r, K) sind in ABB. 3 zusammengestellt. Aus der Abbildung ist ersichtlich, da13 die kleinen nicht kugelf~rmigen Teilchen in umsogeringerem MaBe aufgefangen werden, je grSDer ihre Abweichung von der Kugelform ist. 4.3. Die Durchfiihrung der Berechnungen Die Anzahl Z und das Volumen Y der im Impaktor aufgefangenen Teilchen werden durch Integration der Funktionen dZ=q.dN

und

dV=q.dN.:xr3

erhalten. Die Integrale dieser Funktionen sind bei Verwendung von Gl. (31) nor0

Z(r,?,v*,K)

v*

= In10

i

sr

q(r, sc) . r-(v*i’)dr

(32)

und v(Krf,V*,K)=

4 norOV* ’ q(r,ic)rzmV*dr. 5” m sr

(33)

Urn den EinfiuB der Abweichung von der Kugelgestalt auf 2 und V zu berechnenreicht die Kenntnis der Quotienten Z rcl =

Z(r,i,V*,K)/Z(r,?,V*,K

=

1)

(34)

und I/re,=

~~~,~,V*,K)~~(~,~,V*,K

= 1).

(35)

Zrel, die relative Anzahl, ist der Quotient der Zahl der aufgefangenen nicht kugelfiirmigen Teilchen zur Zahl der aufgefangenen Kugeln. Vrel, das relative Volumen,

Bemerkungen zur Theorie der Dtisen-Impaktoren

81

ist der Quotient des Volumens der aufgefangenen nicht kugelfijrmigen Teilchen zum Volumen der aufgefangenen Kugeln. Nicht kugelfijrmige Teilchen und Kugeln haben dieselbe GrGOenverteilung in Aquivalentradien. 4.4. Rechenergebnisse und Folgerungen

In ABB. 4 sind die relativen Anzahlen Zrc, und die relativen Volumina Vre, als Funktionen des dynamischen Formfaktors rc fiir verschiedene Junge-Exponenten v* aufgetragen. Aus dieser Abbildung ist zu entnehmen, da13nicht kugelfiirmige Teilchen in wesentlich geringerem MaB aufgefangen werden als ihre Aquivalentkugeln. Der EinfluB der Abweichung von der Kugelgestalt macht sich am starksten bei der Anzahl der aufgefangenen Teilchen bemerkbar. Bei v* = 3 ist fiir rc = 1,09 (Kuben) Zre, = 1 Zret

ABB. 4a. Relative Anzahl Z,,, der im Impaktor aufgefangenen nicht kugelfiirmigen Teilchen als Funktion des dynamischen Formfaktors K hei verschiedenen Potenzen v* der GroDenverteilung.

V ret

ABB. 4b. Relatives Volumen V,,, der im Impaktor aufgefangenen nicht kugelfiirmigen Teilchen als Funktion des dynamischen Formfaktors K hei verschiedenen Potenzen Y* der GrijDenverteihmg. F

A

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GO~TFRIED HANEL

0,84 und Vrel = 0,97 fiir IC= 1,25 (Tetraeder) ist Zre, = 0,60 und Vre, = 0,91 und fur rc = 1,6 (Agglomerate aus drei gleich groBen Kugeln) ist Zre, = 0,42 und Y,,, = 0,85. So wie der dynamische Formfaktor beeinfluDt such die Dichte das Auffangen in einem Impaktor. Kleine Teilchen mit zu geringer Dichte werden nicht mehr aufgefangen. Die speziellen Werte der Oberflgchenkonstanten sind von Bedeutung, wenn die Knudsensche Zahl griiDer als 0,5 ist. Also konnen D&en-Impaktoren nur dann als absolute MeBgerHte fur die GrijBe von Aerosolteilchen verwendet werden, wenn der dynamische Formfaktor, die Dichte und die Oberflachenkonstanten bekannt sind. Alle diese unbekannten physikalischen Konstanten der Aerosolteilchen kbnnen in der scheinbaren Dichte +Q . ew(-~I~41~ ps_-y-p_{l+KnCA

JC* IC {l+Kn[1+0,5exp(-l/Kn)]}

(36)

sinnvoll zusammengefal3t werden. Die Annahme, die scheinbare Dichte habe fur alle Aerosolteilchen denselben Wert, kann nur in Sonderfallen als brauchbare Annaherung angesehen werden, zum Beispiel bei sehr hohen relativen Luftfeuchtigkeiten. Diese Annahme kann zu folgenden irreftihrenden MeDergebnissen fiihren : 1st beispielsweise eine GrSBenverteilung in Aquivalentradien nach dem Potenzgesetzvon JUNGE [1963, Gl. (31)] vorgegeben, aber die scheinbare Dichte nicht fur alle TeilchengrijDen konstant, soweicht die mit einem Dtisen-Impaktor gemessene GriiBenverteilung von der Potenzverteilung der Aquivalentradien ab. Es kiinnen relative Maxima und relative Minima auftreten, wie sie beispielsweise FENN(1964) mit einer Aerosolzentrifuge und gleichzeitig unter bestimmten Annahmen such mit strahlungsoptischen Methoden fand. Umgekehrt kann eine Potenzverteilung gemessen werden, wenn eine GriiDenverteilung in Aquivalentradien vorliegt, die nicht dem Potenzgesetz gehorcht. Weitere Berechnungen zeigen, daB such das Weglassen des Korrekturfaktors 1+0,13 Re0*85am Stokesschen Gesetz zu groDen Fehlem bei der Messung von Aeronicht solteilchen-GrijBenverteilungen fiihren kann. Wiirde der Korrekturfaktor beriicksichtigt, so kiinnten theoretisch zwei- bis dreimal soviel Teilchen aufgefangen werden als es tatsachlich miiglich ist.

5. ZUSAMMENFASSUNG

UND AUSBLICK

Die bisherige Theorie der Dtisen-Impaktoren galt nur fiir Kugeln bei kleinen Reynoldsschen Zahlen ihrer Umstriimung. Da diese Theorie weder auf die nicht kugelfiirmigen atmosphlrischen Aerosolteilchen noch auf die VerhPltnisse in DtisenImpaktoren anwendbar ist, wurde sie entsprechend erweitert. Mit Hilfe der erweiterten Theorie kijnnen die Unterschiede zwischen den Impaktor-Eichungen von RANZ und WONG (1952) und von STERNet al. (1962) erklart werden. Berechnungen tiber das Auffangen nicht kugelformiger Teilchen ergeben, daB Dtisen-Impaktoren und damit such alle auf dem Trggheitsprinzip beruhenden Sammelgerate keine absoluten MeBgerate fiir die GrijBe und die Anzahl atmospharischer Aerosolteilchen sind. Es sind Bemiihungen im Gange, Bedingungen ftir die Verwendung von DtisenImpaktoren als Relativ-MeDgerate fiir die GrGBenverteilung von atmosphlrischen Aerosolteilchen herzuleiten. Grundlagen dazu sind die Gln. (29) und (30).

Bemerkungen zur Theorie der Diisen-Impaktoren

83

Weiterhin sol1 der EinfluD der Machschen Zahl M der Umstromung der Teilchen auf den Wert des Tragheitsparameters JI untersucht werden. Gelingt es, M analytisch in $ einzufiihren, so kann die Impaktor-Theorie such auf sehr kleine Teilchen bei mittleren Geschwindigkeiten der Luft im Diisenende griiger als 100 m/set (M>0,3) angewendet werden. Ein von der Machschen Zahl abhangiger Trlgheitsparameter ist also die theoretische Grundlage zum Auffangen von Teilchen mit Aquivalentradien kleiner als 0,l p in Diisen-Impaktoren. Es wird versucht werden, den EinfluD der Machschen Zahl auf den Tragheitsparameter durch den Faktor (1 + u.M”) zu beschreiben, wobei mit 0,2 < u co,5 und 1~ v < 2 die Bereiche der Zahlen u und v anntihernd festliegen. Anmerkungen-Fiir Diskussionen und Ratschlgge danke ich Herrn Prof. Dr. K. BULL.RICHund Herr-n Dr. R. EIDEN. Die Arbeit wurde von den Air Force Cambridge Research Laboratories, Bedford, Mass., U.S.A. finanziell untersttitzt.

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