Einige bemerkungen zur theorie der Brownschen Bewegung

P h y s i c a V, n o 10

D e c e m b e r 1938

EINIGE BEMERKUNGEN DER BROWNSCHEN

ZUR THEORIE BEWEGUNG

yon K. F. N I E S S E N u n d C. J. B A K K E R Natuurkundig Laboratorium der N.V. Philips' Gloeilampetxfabrieken Eindhoven-HoUand

§1. Professor H. A. L o r e n t z l ) u n d F r a u Dr. G. L. d e H a a s-L o r e n t z 2) betrachteten eine eindimensionale Bewegung, bei der das Partikel einer mechanischen K r a f t K(t) unterworfen war. Die Zeit wurde in kleine I n t e r v a l l e , zerlegt, die dutch die Zeitpunkte to = 0, tl = x, t2 ---- 2T. . . . . begrenzt waren, zu denen die Geschwindigkeit die Werte Vo, vl, % . . . . hatte. Die ]3ewegungsgleichung dv m -dr q- rv = K(t)

(r ist Reibungswiderstand) wird auf jedes Zeitintervall einzeln ang e w a n d t u n d darin jedesmal rv als k o n s t a n t betrachtet (gleich sein e m Werte im Anfangspunkt des Intervalles). Die Impulse ti f K(t) dt = m X i ti--1 werden so angenommen, dass X--i = O, X i X k = 0

u n d ausserdem: =

=

war, wobei der Strich eine Mittelung fiber verschiedene Teilchen bedeutet, die als unabh~ingig von einander zu betrachten sind u n d dieselbe Anfangsgeschwindigkeit Vo besitzen mSgen. Gezeigt wurde d a n n dass vi = vi-i y + Xi ] v~ -----%2y2,, q_ X 2 1

y2,,

1 --v 2

(

y=l--~,

')

~=~-z

.

J

(1)

- - 977 Physica V

62

978

K.F. N I E S S E N A N D

C. J. B A K K E R

Fiir ~¢ -+ co gilt der Aequipartitionswert: kT m

und da T < 1 ist, liefert (1) mit der Annahme ~1 kT m

X2 =

0

-~-

l

--

X2

~t 2

=

2~

--

X2 0t 2

--

2~

(2)

.

Die in den einzeLnen Zeitelementen zuriickgelegten Wege sl, s2, s3 . . . . wurden berechnet und gleichfaUs ihre S u m m e S. :

$1 -]" S2 -~- S3 -}- . . . .

-{- S,,,

fik deren quadratischen Mittelwert gefunden wurde: "1

.~.X2

~

In--1 ~2¥ 1__?.-,

1

-(2("-*h

Von den Verfassern wird jetzt b e h a u p t e t , , dass im Ausdruck [ . . . . ] der erste T e r m im F a l l e n -+ co der H a u p t t e r m bildet, sodass S,2,

X2

X2

~ - n( 1 _~)~ = n ~

(4)

wird, wonach durch Substitution von (2) fiir X 2 und t fiir n , die b e k a n n t e Einsteinsche Gleichung 2kT s~(O

=

- -

t

r

entstand. Dass n n u n wirklich in [ . . . . ] der Hauptterm war, er/ordert nach uns. erer M e i n u n g eine ndihere Recht/ertigung, oder lieber impliziert eine ndihere Annahme, wie wir zeigen werden. Dass es sicher nicht allgemein gilt, beweist man sofort durch die Entwicklung [...3 = n - -

l--2y(l + . ( + y 2

+ ... +.f,,-2) +

+ y2 (1 + T2 + T4 . . . ~[?(,,--2)), die fiir ~ -~ 0 also ~ -+ 1, iibergeht in:

[....] = n -

1 --2

(n-

1) + ( n -

1),

sodass in diesem Falle der erste Term selbst dem Reste gleich ist.

BEM:ERKUNGEN ZUR THEORIE DER BROWNSCHEN BEWEGUNG

979

Welche A n n a h m e n liegen n u n obiger A bleztu.ng "' der Einsteinschen Gleichung zu Grunde?

I. Vorausgesetzt wurde schon ~<1, was nicht nur in (2), sondern auch in der A n n a h m e eines im Zeitinterval1 -~ k o n s t a n t bleibenden Termes rv b e n u t z t worden war. Man h a t ja, wenn wir die Kr/ifte K einmal auszer Acht lassen, fiir t i - l < t < ti:

V = Ui__ I e -(r/m)(t-ti-l)

also vi = v i - l e --a -~ vi-1 (1 - - m +

2!

"") =

- : vi-1 T + vi-1

(X

O~3

2

3--[

)

+ "'"

(5)

Die in (1) erw~ihnte LSsung der Bewegungsgleichung war also unter mehr basiert auf der A n n a h m e e.2 ~

1.

II. Weiter bedeutet das Fortlassen von v~'r 2' im Obergang von (1) nach (2) die A n n a h m e yon n~>~ 1, wie wir zeigen werden: Da v02 = k T / m ist, erfordert die genannte Vernachl/issigung eigentlich: k__T_Ty2" ~ X2(1 __T2,,) m

1 --

_

2~ ( k T / m ) (I - - y2,,)

y2

2~

(letztere Gleichheit war nach (2) ja auf die erw/ihnte Vernachl/issigung basiert), sodass sein soll: (1 --

m)2,, ~

1 --

(1 --

c¢) 2"

d.h. 2i-(1 -- oOl/'~] 2"a <~ 1,

also wegen ~ ~ 1: e -2'm ~

I,

9/30

:K. Fi NIESSEN AND C. J . BAKKER

woraus schliesslich: na >~ 1.

(6)

Wir werden zeigen, dass es auch letztere A n n a h m e ist, die das Ersetzen yon [ . . . . ] durch den ersten Term (n) erlaubt. Wir haben n~imlich im Ausdruck [ . . . . ] 1 - - y , - t = I - - [(I - - ~) l/a]a(n--1):------I1 e__~¢,_1) 1--y oc ~ ~

1 o~

wenn na>~ 1. Analog bei derselben Annahme: 1 --

y 2(~-I)

1 --

1

y2

1 --

1 y2

20: "

D a m i t in [ . . . ~] also n der H a u p t t e r m sei, muss n>~-I

2+~ ~1[

d.h. wiederum die A n n a h m e (6) vorausgesetzt werden. Ganz wie oben im ~ b e r g a n g (1) -+ (2) zeigt m a n auch im Ubergang (3) -~ (4), dass dort bei den genannten Bedingungen, der T e r m mit Vo 2 fortgelassen werden kann. Die Einsteinsche Gleichung beruht dal-/er nur auf: ~ 1 u n d n~>~ 1. Wenn wir (im Hinblick auf (5)) eine Abklingungszeit 0~--

einfiikren u n d t ~97,~

die ganze Beobachtungszeit nennen, k6nnen die Bedingungen auch zusammengefasst werden in:

t

-6-> 1.

BEMERKUNGEN

Z U R T H E O R I E D~ER B R O W N S , E H E N B E W E G U N G

981

Hierbei k a n n • gewissermassen die mittlere Zeit zwischen zwei Sttissen g e n a n n t werden, denn m a t h e m a t i s c h k a n n bei der A n n a h m e (r/m)'r = ~ ~ 1 nur d a n n • % = %-1 ¥ + X~

gelten, wenn die Impulse sehr eng r u n d die Zeitpunkte to, tl, t2. • • • h e r u m zusammengezogen werden. In Worte lauten die ben6tigten A n n a h m e n also:

Die Abklingungszeit soll gross sein in Bezug au/ die mittlere Zeit zwischen zwei St6ssen, aber klein in Bezug au] die Beobachtungszeit. Zweifellos haben die Verfasser diese Bedingungen alle vor Auge gehat, abet nicht explizit ausgedruckt, was n u n hier geschah u m die Beweisfiihrung zu vervollstindigen. § ½. W e n n m a n die Einsteinsche Gleichung also mit der Impulstheofie von L o r e n t z ableiten will u n d sich dabei eigentlich die Kraftimpulse auf aequidistant gelegenen Zeitpunkten zusammengezogen denkt, so k6nnte m a n sich die Frage vorlegen, wie es d a n n mit der Ornsteinschen Korrelationstheorie 3) gesteUt sei, nach welcher doch die m o m e n t a n e n K r i f t e K(t) so korreliert sind, dass unterstehender Mittelwert, genommen tiber die Teilchen i

,K(t) ,K(t + v~ = O(v)

(7)

unabhiingig von t sein soll u n d zwar so, dass D(v) = O ( - - v)

D(v) :# 0 fiir v - ~ 0 D(v) = 0

fiir v • 0

+co

f D(v)dv = 2kTr.

(8)

"---00

• Diese Frage k a n n n u t b e a n t w o r t e t werden, wenn wi'r die zusammengedriingte F o r m der Impulse auf t = 0, x, 2T. . . . . in analytischer Weise festlegen. D a z u lassen sich einige von v a n d e r P o 14) angegebenen F o r m e n einer Impulsfunktion mit Vorteil benutzen. W i h l t m a n z.B. fiir die Kraft K(t) auf das i u Teilchen in der Gegend y o n tk = kx, wo ein Impuls a u f t r i t t : ,K,(t) : I ]/ a e-'('-''' (a - ~ oo)

982

K. I~. INIESSEN AND C. J. BAKKER

so ,hat m a n +0o

f ~K~(t)dt ----I. ---oo

Fiir I wiihlen wir den quadratischen Mittelwert allerImpulse. Fiir ein anderes Teilchen (j)giltdann im selben Augenblick t: ~K~(0 = I

e --*ct-t~'

Dieses ].t, Teilchen sei seit einem ganz anderen Moment beobachtet worden, als es damals auch die Anfangsgeschwindigkeit vo besass, sodass sein l v~ Impuls in der Niihe des yon uns betrachteten Zeitmomentes t fiillt,

t I

I I

I

I

I

I I I I

I I I i

Ivl t+v

Zelf

•

Fig. I.

In Fig. i sieht man wie in einem bestimmten Moment t die auf den versehiedenen Te'llchen w i r k s a m e n Impulse momentan liegen kOnnen. Wit miissen in (7) nicht nut die Betriige K(t) betrachten, sondern auch K(t + v) (siehe die punktierten Linien in Fig. l, wo v > 0 ist) und zwar ihre i~rodukte. Sei g die Elongation des Kraftmaximums yon der vertikalen Linie t (g positiv nach rechts, negativ nach links), so kann man auch das Produkt

I2 ~/~ e-,e ~//-~e-'(,-g,"

BEMERKUNGEN ZUR THEORIE DER BROWNSCHEN BEWEGUIq'G

983

nach g mittelen u n d m a n b e k o m m t : +G

D(v)

~--

I2

ae-(~/2)°'21-~_~ X

6--2=(g'--gv+lv'/4))

dE,

wo g sich fiber ein Gebiet 2G erstrecken kann. Da ein Teilchen jedesmal n u r von einem Impuls beeinflusst sein m0ge, sou 2G niemals den W e f t T fibertreffen k~nnen, sodass wir nehmen miissen:

2G =%-. Ffir den W e r t (8) ergibt sich d a n n : +G

i2 D(v)dv -- 2~G (F(v) + F ( - - v ) ) mit +G

~/2"~(G + (v/2))

2:7(7J)= ~/~ G~6--(a/2'v/8--~td~d~). Nach partieller Integration u n d Einffihrung yon a -~ oo ergibt sich daraus: +G

12 12 D(v) dv = ~ - -- x

(9)

Nach der Lorentschen Ableitung war ( f K(t) dr) 2 = 2kT r .

(T)

(10)

u n d nach der obigen +co

' I2 iK(t) ~K(~ + v)' dv = --4-' .----.oo

sodass Gleichsetzung zum b e k a n n t e n Ergebnis 12 = 2kTm fiihrt.

(11)

9"84

" K. F2 NIESS~N AND. C. J.: BAKKER

Wir h~tten auch eine andere F o r m fiir die tmpulsfunktion,," w ~ l l e n kSImen (siehe v a n d e r P o 1 1.c.) z.B. a

~Kk(0 =.I-g e--.M'--tkl wobei It--tkl einen Absolutwert darstent u n d wobei wiederum:

f K(t) dt = I. -----00

Auch hier wird d a n n eine Elongation g des Maximums eingeftihrt. Jedoch miissen wit zur richtigen Berechnung y o n Ig ] + ]g + v [ in: I2a, 2

K(t) K(t + v) = __e--"tM~l+i~+,'J~ 4

.

das Integrationsgebiet - - G < g < G in meh~ere Teile zerlegen u n d die F~lle v > 0 u n d v < 0 einzeln betrachten. Fiir v > 0 z.B. linden wir: --v

D(v) = 12-~-~

G

0

e

dg +

e-a,

--v

0

dagegen fiir v < 0 0

--v

• D(v) = ~I 2[a.2] er / " --a(--2g--v', dg + jfe - " ( - " ) d g --G

+G + . f j e--a(2g+v) dgj]

0

i

--v

Hieraus ergibt sich: +G •

D(v) dv =

F

~

[-- 4e -"~ --

e-as

+

e-3"G --

2aGe -a~ +

4],

sodass fiir a ~ c~ ;,viederum der Wert (9) u n d nach (10) u n d (11) derselbe Wert fiir 12 entsteht. Noch durch B e n u t z u n g einer dritten F o r m d e r ,, I m p u l s f u n k t i o n " (v a n d e r P o 1 1.c.) kSnnen wir zeigen, dass das Resultat unabh~ngig yon der F o r m bleibt: wir nehmen als letztes Beispiel:

~Kh(t) = Iae -"(t-tk) = 0

fiir t > tk, ftir t < 0,

B E M E R K U N G E N ZUR T H E O R I E D E R B R O W N S C H E N B E W E G U N G

985

das im Gegensatz zur ersten u n d zweiten F o r m , v o n a s y m m e t r i s c h e r Gestalt ist. Man h a t d a n n sehr einfach: fiir v > 0 K ( g ) = I a e -ag

g > O,

=0

g <0,

K ( g + v) = I a e -a(g+v) g > - - v

=0

g <--v

also fiir g < 0,

K(g) K ( g + v) = 0 =

I 2 a 2 8--a(2g+v)

fiir g > 0,

sodass G

~ - j [ e-'(~+')dg = 7-¢-eD(v) = -z"' z2a °, I - -

,-'°°I

0

Analog vefl~tuft der Fall v < 0, dosass fiir a -* oo wiederum

•

/

+oo

12 D(v)dv-

2G

wird u n d die vorigen Resultate a n d e r m a l y o n K r a f t werden. H e r r n Dr. B a i t h. v a n d e r P o 1 d a n k e n wir bestens dafiir, uns auf die Bequemlichkeit einer R e c h n u n g mit Impulsen aufmerksam g e m a c h t zu haben. E i n d h o v e n , den 20. Mai 1938 Eingegangen am 17. Oktober 1938

LITERATURVERZEICHNIS 1) H. A. L o r e n t z, Les Theories statistiques en thermodynamique, Teubner 1916, S. 97. 2) G. L. d e H a a s - L o r e n t z , Die Brownsche B e w e g u n g u n d e i n i g e v e r w a n d t e E r scheinungen, Vieweg 1913, S. 51. 3) L . S . O r n s t e i n , Proc. Acad. Amst. °1, 96, 1919. 4) B a l t h . v. d. P o l , Inst. El. Eng. B1, 381, 1937.