Einige Bemerkungen über die Innere Reibung der Gase. I

Physica VI, no 6

J u n i 1~39

E I N I G E BEMERKUNGEN U B E R D I E I N N E R E REIBUNG D E R GASE. I yon SOPHUS

WEBER

Communication Suppl. no. 88a from the Kamerlingh Onnes Laboratory at Leiden. Zusammenfassun~

v. I t t e r b e e k u n d K e e s o m h a b e n die Abh~ingigkeit tier inneren Reibung, ~', yon der Dichte, bezw. yon dem Druck, gemessen ftir H e l i u m bei 20,28°K u n d 4,23°K. Die gefundene A n d e r u n g tier i n n e r e n R e i b u n g mit dem Druck, Pc,n, k a n n dargestellt werden durch die Formel:

Pcm "q ' =

%o

a '1oo +

P .... "

Diese Formel wird u n t e r ]3erticksichtigung der Gleitung u n d des Grenzwertes von B' in dem K n u d s e n - Z u s t a n d der Gase theoretisch abgeleitet. Wenrt p in cm Hg gemessen wird, ist der W e r t yon a ftir eine schwingende Scheibe zwischen zwei feststehenden P l a t t e n anm£herungsweise :

+ }v- v01 wo d I u n d d 2 die Abst~.nde zwischen der schwingenden Scheibe u n d den feststehenden P l a t t e n sind. Die O b e r e i n s t i m m i n g zwischen den Messungen u n d der theoretischen Ableitung ist befriedigend, wenn k 2 = ca. 4/3; dieser Wert ftir k2 ist derselbe wie auch ftir a n d e r e Gase gefunden. 1. V a n I t t e r b e e k u n d K e e s o m l ) h a b e n n e u e r d i n g s die i n n e r e R e i b u n g v o n H e l i u m g a s bei n i e d r i g e n T e m p e r a t u r e n , b e z w . W a s s e r s t o f f - u n d H e l i u m t e m p e r a t u r e n , g e m e s s e n . Sie h a b e n fiir diese B e s t i m m u n g e n die M a x w e 1 l ' s c h e M e t h o d e m i t d e r i n sich s e l b s t s c h w i n g e n d e n P l a t t e gew~ihlt u n d diese fiir M e s s u n g b e i n i e drigen Temperaturen eingerichtet. Bei g e n a u e n absoluten M e s s u n g e n d e r i n n e r e n R e i b u n g d e r Gase ist w o h l die D u r c h s t r ~ m u n g s m e t h o d e d u r c h ein e n g e s K a p i l l a r r o h r --

551

--

552.

SOPHUSWEBER

zu bevorziehen, weft die benStigten Korrektionen bei dieser Methode klein sind, und weft es einfach ist eine einwandfreie Bestimmung des Durchmessers und der L~nge des Kapillares zu erhalten; ausserdem darf man annehmen, dass die Temperatur des durch da~ Kapillarrohr strSmenden Gases dieselbe ist wie die Temperatur des umgebenden Bades; diese Methode stellt aber bei sehr niedrigen Temperaturen hohen Anspruch an den Reinheitsgrad des strSmenden Gases. Bei den absoluten Bestimmungen der inneren Reibung nach der Schwingungsmethode spielen die Randkorrektionen, die bei den versdiiedenen Messapparaten ziemlich verschieden sein k6nnen, weil sie yon den Abmessungen des Apparates abh~ngen, eine bedeutende Rolle. Auch muss die Aufmerksamkeit besonders darauf gelenkt werden, dass die schwingende Platte in Temperaturgleichgewicht mit dem Bade ist; ftir absolute Messungen ist ausserdem eine sehr genaue Bestimmung yon dem Abstand zwisciqen der beweglichen und tier festen Platte notwendig; eine Voraussetzung hierfiir ist, dass die schwingencie Platte sich genan parallel mit der feststehenden Platte bewegt. Wenn man die experimentellen Schwierigkeiten bei den zwei Methoden n~her betrachtet, ist es gar nicht merkwiirdig, dass die •bereinstimmung zwischen den Resultaten yon den zwei Messmethoden in einzelnen F~llen etwas nachl~sst. Diese experimentellen Schwierigkeiten fallen aber ftir den gr6ssten Teil fort, wenn die Methode nur zu relativen Bestimmungen verwendet wird, und wenn also das Messapparat, wie in den Messungen yon v a n 17tterbeek und K e e s o m , mit einem bekannten Gase bei der Untersuchungstemperatur justiert wird; in diesem Falle wird auch die M a x w e 1 l'sche Methode einwandfreie Resultate geben. Wird bei niedriger Temperatur die Reibung des Gases in dem M a x w e 1 l'schen Zustande des Gases bestimmt, so ist es ohne Bedeutung, dass das Messapparat und der Druckmesser nicht dieselbe Temperatur haben, weft diese Reibung unabh~ngig ist yon der Dichte, so dass eine eventuelle Korrektion fiir die thermomolekularen Druckdifferenzen ohne Bedeutung wird. Anders liegen die Verhifltnisse, wenn man die ~nderung der Reibung mit dem Gasdruck untersuchen will; in diesem Falle sind, wie auch aus den Messungen yon v a n I t t e r b e e k und K e es o m hervorgeht, die Korrektionen ftir die thermomolekularen

EINIGEBEMERKUNGENUBERDIEINNEREREIBUNGDERGASE.I. 553 ¢

Druckdifferenzen, wenn das Messapparat und der Druckmesser nicht dieselbe Temperatur haben, yon wesentlicher Bedeutung; vgl. Commun. Kamerlingh Onnes Lab., Leiden no. 246. Um ffir diese molekularen Druckdifferenzen mit hinreichender Genauigkeit korrigieren zu k6nnen, muss entweder das Verbindungsrohr zwischen Messapparat und Druckmesser fiber die ganze LAnge cylindrisch sein, oder die Temperaturverteilung, dem Rohre entlang, bekannt sein. In der vorliegenden Arbeit haben v a n I t t e r b e e k und K e e s o m nicht nur die innere Reibung des Heliums in dem M a x w e 1 l'schen Zustande des Gases bei den Temperaturen 20,38, 14,21, 4,23 und 1,64°K gemessen, sondern auch bei 20,38 und 4,23°K eine ausgedehnte Untersuchung fiber die )~nderung der inneren Reibung mit der Dichte, bezw. Druck, durchgeffihrt und gefunden, dass die experimentellen Resultate durch die Formel: P~"

t

(I)

dargestellt werden k6nnen. Ffir T = 20,38°K ist ~oo = 351,9 × 10-7 und a = 8I, 7, w~hrend ffir T = 4,23°K, ~oo = 127,7 × 10-7 und a----.to,z gefunden wurden. In dem Folgenden wird die theoretische Ableitung der obenstehenden Formel (!) beleuchtet, well diese vielleicht ffir die weiteren experimentellen Untersuchungen von Bedeutung sein kann. V/////////////////////I/////HHHHH/H

H ~ ~ / / / / / H / / / / / / H / / ~

"

~

•

, V ...........

B

m.//////////H////////.'.;

w

s J////////

*kK

n'

v

dS~B'

AbstandA'Be=L

Fig. 1.

2. Betrachten wir zu diesem Zweck zwei unendlich grosse, paraUele Platten A und B mit dem Abstand d, Wovon die eine, A,

554

.'

.

.

;

S,OPHUS VqEBEI~

"

stillsteht, w/ihrend die andere, B, sich in sich selbst mit einer Geschwindigkeit, V; bewegt, d a n n linden wir leicht 2), d a s s die auf einem cm 2 der P l a t t e A fibergeffihrte Bewegungsmenge M , wenn eine Gleitung y v o r h a n d e n ist, wird: , du

1

dV

I

V

M = "0 --~ = ~oo I + 2 y / d -dd = ~qoo 1 + 2 y / d .-d"

(2)

Nach C h a p m a n 8) h a t man, wenn die mWdere freie Wegl~inge, Xc, g e n a n n t wird: ~oo = 0,499 N m ~ X c "m ½ N m ~ X c und -

#'~

=

V2

--t " - 2 "V'ipo t,-To]

~

'

worin n durch: ---- ~o \ To/ b e s t i m m t ist. Hier ist 1Po die Dichte des G.ases bei eineln Druck yon 1 ~bar u n d bei To = 273,1 °K. Nach M a x w e 11 ~) haben wir Y = ~M--

p~/~,

woraus YM = Xc.

Nach den E x p e r i m e n t e n fiber die Gleitung u n d die thermomolekularen Druckdifferenzen hat sich aber herausgestellt, dass ffir d/~ c ---> oo : y = YK = k2 Xo

wo ffir die bis nun untersuchten Gase k 2 -~ ca. 4/3 ist. F fir den W e r t von k2 hat M a r t i n KnudsenS) in seinen Priicisionsmessungen bei Z i m m e r t e m p e r a t u r fiber Str6mung von Gasen durch enge Kapillare gefunden, dass ffir H2, 02 und C02: = 1,34, w~hrend aus den Untersuchungen fiber die thermomolekularen Druckdifferenzen gefunden wurde e): -f fir He"

k2 = 1.,68 + 0,25 = 1,43,

ffir H2:

k2 = 1,50 + 0,25 = 1,25,

ffir Ne:

k2=1,50+0,25=

1,25.

EINIGE BEMERKUNGEN UBER DIE INNERE REIBUNG DER GASE. I.

"555

N a c h diesen letzten Messungen ist es anzun~hmen, class k2' y o n der T e m p e r a t u r unabh~ngig ist. Wir erhalten nun aus (2): 1

~' = "~oo 1 + 2k2 ),c/d" woraus folgt : ~'=

"qoo

p + k~ x / ~

P

(3)

I

aV ~ woo

Diese F o r m e l (3) s t i m m t iiberein mit der empifischen F o r m e l y o n v a n I t t e r b e e k und K e e s o m, woraus hervorgeht, dass der F a k t o r a in dieser F o r m e l sein muss:

1 1 VT ~ = k~V~ a ~/~

i

W0=~2

•

3. Wir werden nun den Verlauf yon der F o r m e l (2) in dem ganzen Gebiet 0 ~ d/~c ~ oo niiher ' b e t r a c h t e n . Verwenden wir den M a x w e 1 l'schen A u s d r u c k ffir die Gleitung YM, so erhalten wir: du "~oo dV { Nm~;% V M ---- ~' dz - - 1 + 2 y/d dd - - 1 + 2 ;%/d d ' oder: M = ~' du = ½ N m ~ V

),c/d 1 + 2),c/d - - ¼ N m f i V

1 1 + ½ d/;~c'

(4)

w~hrend wir, wenn der F a k t o r k 2 in dem Ausdruck fiir die Gleitung eingeftihrt wird, erhalten: du -M = -~' ~ -~ ¼ N m ~ V

1 k2 + ½ d/Xc"

(5)

U m den Unterschied zwischen F o r m e l (4) en (5) zu tibersehen, werden wir erst untersuchen, wie es geht mit der zwischen den P l a t t e n iibergeffihrten Bewegungsmenge M, wenn dp, c--~ O. Ffir d/;% = O, d.h. in dem Falle, wo keine gegenseitigen Zusammenst~Ssse yon den Molekfilen zwischen den P l a t t e n stattfinden, wird die pro cm 2 und pro Sek. t r a n s p o r t i e r t e Bewegungsmenge: M -~ M o = ¼ N m ~ V .

(6)

556

SOPHUS W E B E R

Diese Formel ist einleuchtend, weil jeder cm 2 der Oberfl~che der Platten A und B pro Sek. ¼ N ~ Molekfile empf~ngt, bezw. aussendet, und weil jedes Molekfil bei der Platte B die Bevcegungsmenge, mV, tibernimmt um demnitchst diese wieder bei dem Stoss gegen der Platte A abzugeben. Durch Vergleichung der Formeln (5) und (6) sehen wir also, dass ftir dD,c = 0, k2 = 1 werden muss um ~3bereinstimmung zu erhalten; hieraus geht also hervor, dass k2 in dem ganzen Bereich 0 ~ d/Xc ~ co keine Konstante sein kann, sondern zwischen 1 und 4/3 schwanken muss. Wit werden nun untersuchen, wie der theoretische Ausdruck ftir M sich gestaltet, wenn dp, c ~ O, d.h. wenn ganz vereinzelnte ZusammenstSsse zwischen den Platten einsetzen; in diesem Falle wird yon den ¼ N ~ Molekfilen, die per cm 2 nach dem Cosinusgesetz yon der Platte B und A ausgestrahlt werden,'einTeil zwischen den Platten einen Zusammenstoss erleiden, weft nicht alle Molektile die Platte A, bezw. die Platte B, erreichen. Diese Anzahl n, welche zwischen den Platten einen Zusammenstoss erlitten haben, wird ffir beide Gruppen dieselbe sein. Wit 7) erhalten: =j~-~

N ~ (1 - - e - d/(~o

cos x do,,

wo do~ = sinx dx ds, und hieraus : •r r / 2

2~

n l 1 N~_~cfSinxdx/d a/~c--~of ~-~ N~-~c d°~ = -ff~ . o

d

~ = ½N~)--~.

o

Wir betrachten nun die Gruppe der einstrSmenden Molekule bei der Platte B; diese Gruppe besteht aus ¼ N ~ Molekfilen, wovon (¼N ~ - - ½ N ~ d/;~c) Molekfile direkt yon den stfllstehenden Platte A kommen, w~hrend

½N ~ ~c Molekfile in dem Zwischenraum einen Zusammenstoss mit andern Molekfilen erlitten haben, wodurch sie im Mittel eine Zusatzgeschwindigkeit V. in der Richtung von V bekommen haben; diese ¼ N ~ Molekfile

EINIGE

BEMERKUNGEN

UBER DIE INNERE

REIBUNG

DER GASE. I.

557

werden also w{ihrend des Stosses yon der Platte' B die Bewegungsmenge :

M l = tgfi--½N~-~c

mV+½gfi

m(V--Vx)

fibernehmen. Die {LN ~ Molektile, die. gegen die Platte A stossen, werden bestehen aus (¼ N~l - - ½ N ~ d/~c) Molekiilen, die direkt yon der Platte B kommen und also die Zusatzgeschwindigkeit, V, besitzen, und ½N~ d/~c Molekfile, die in dem Zwischenraum einen Zusammenstoss erlitten haben, wodurch sie im Mittel die Zusatzgeschwindigkeit, V,, bekommen haben. Bei dem Stoss gegen der Platte A wird also die Bewegungsmenge :

M2 = } g ~ - - ½

g~

m V + ½ g ~ ~cc m V ,

abgetragen und," weft M1 = M2 sein muss, wird erhalten: V - - V, ---- V, oder V x = ½ V . Hieraus folgt, dass die zwischen den Platten tibergetragene Bewegungsmenge wird:

m V + ½ Nfi

dl)tC--->O

= ¼N m ~ V

1--~c

m 2'

m ¼ Nmr2V 1 + d/},c"

(7)

Eine Vergleichung von den Formeln (5) und (7) gibt also ftir d/Xc -+ 0 : 1

k2+½d/Xc

_

1

1 +d/)~c

'

oder:

k2= 1 +½ d d/AC'-')'O ~'C '

in ~3bereinstimmung damit, dass

k2 = 1. alAc =o Wir wissen aber, class fiir d/Xc-+ oo, k2 konstant und gleich ca. 4/3 werden muss; eine einfache Formel ffir k2 in dem ganzen Gebiet wird z.B. : k2 ~

m l-m

2 e -calA c

sein, wo ml = 4/3, m2 = 1/3 und c-----3/2. Diese Form ftir die Gr6sse k2 ist in Ubereinstimmung mit dem Ausdruck, den M a r t i n Knudsen und S o p h u s W e b e r 8)

558-

SOPHUS VCEBER

gefunden haben bei der Bestimmung von dem Luftwiderstand, K, gegen der langsamen Bewegung kleiner Kugeln; ffir diesen analogen Fall wurde gefunden :. 1

K = 6r~RV1 + A X/R ' worin: A =ml+m2e

-cR/~

Es ist- abet auch sehr gut mSgl~ch die Anderung v o n len durch einen Ausdruck ftir k 2 v o n d e r Form: -

k2--

l+md/Xc

1 + ~ dP,c'

wo

re~n=4~3,

und m - - n =

k2

darzustel-

1/2,

so wie dieses in der Formel fiir die thermomolekularen Druckdifferenzen gemacht worden ist. 4. Wir werden nun die vorhergehenden tl~eoretischen Betrachtungen vergleichen mit dem experimentellen Material von v a n Itterbeek und K e e s o m . Der verwendete A p p a r a t bestand aus einer schwingenden Platte zwischen zwei feststehenden Platten; ftir die numerische Vergleichung ist es notwendig die Abst~tnde dl und d2, zwischen tier beweglichen und den feststehenden Platten, genau zu kennen. Leider shad diese Abst~nde laut Mitteflung von Professor v a n I t t e rb e e k nicht sehr genau gemessen, weft sie bei der Bestimmung yon der M a x w e 1 l'schen Reibung mit dem justierten Apparat nut nOtig waren fiir die Berechnung einer Korrektion; das Verhgltnis dl/d2 kann aber anniiherungsweise gleich 10,9/6,9 = 1,58 gesetzt werden. Wir k6nnen darum in diesem Falle besser die Werte von dl und d2 durch die Formel (6) und (7) bestimmen. Aus den Formeln erhalten wir fiir das verwendete Doppelapparat mit einer schwingenden Scheibe zwischen zwei feststehenden Platten, wenn d/~c ~ 0:

M=

, du

, ( du

aT= ½ 7g,+

du)

=½(¼ Nm~V(l --~-c) + ¼Nm~V(1--~-e) ) m ~ Nm~ V

1

1 + ½ (dl + d2)/Xc"

EINIGE BEMERKUNGEN IJBER DIE INNERE REIBUNG DER GASE. I.

~59

Setzen wir:

d u d u V V [_~( 1], ~z--7+ dz~ d~ + ~ = v + d a n n erhalten wir:

-,]'= ~ Nmgl

1

1

½ (1~dr + 1/du) 1 + ½ (d, + du)/Xc'

oder: ,=

1

./--]/~

~ / ~ P v,P0 V

2 d ld2

r

1

d~ + as 1 + ½(d, + d2)/xc

(8)

rn der Messungsreihe bei der T e m P e r a t u r T = 20,38°K h a b e n van Itterbeek und Keesom gefunden" t

T = 20,38°K,

Pc., --+ oo,

~oo = 351,9 X 10.7

Pc,.

~q' =

46,5 X 10-7

~q' =

I1,0 X 10-7

4,38 X 10-4 ,

p',.=7,89

X 10-5 ,

Aus ~oo = 351,9 X 10-~ erhalten wir bei T = 20,38°K, PXc = 0,903, wo p in ~zbar gemessen wird u n d Xc in cm. Fiir p = 7,89 x 10=5 c m = 1,04 ~zb a r erhalten wir Xc = 0,865 cm; aus der F o r m e l (8) mit ~' = 11,0 X 10-7 b e k o m m e n wir: 2dl d2

1

dl + d2 1 + ~ (d~ + d2)/Zc

- - 0,0546.

Wir v e r w e n d e n in der kleinen K o r r e k t i o n (1 + ½ (dl +d2)/;%) den W e r t d 1 -[- d 2 = 0,0134 cm u n d erhalten hieraus: d,2 d+i d 2d-----~= 0,0585, oder ½ (-~-t 1 + ~-2 1 ) = 17'10" Zur Kontrolle kOnnen wit z.B. den theoretischen W e r t yon ~' ffir p'~,,, = 4,38 × 10-4 cm = 5,84 ~ b a r b e r e c h n e n ; wir erhalten ftir diesen W e r t yon p' aus der F o r m e l (8)" t

~th.o,

47,3 X 10-?,

w/ihrend

"Ob,ob= 46,5 X 10. Die U b e r e i n s t i m m u n g ist also befriedigend. Wir kOnnen nun, mit Hilfe yon dem in dieser Weise b e s t i m m t e n

560

SOPHUSW~BER

W e f t fiir ½ (lid I Jr-1/d2), die empirische F o r m e l (1) v o n v a n I t t e r b e e k u n d K e e s o m mit der theoretischen F o r m e l vergleichen: Die empirische F o r m e l ist: ~' = a%o

P a~oo+ p "

M i t p in cm gemessen, ist ftir die Messungsreihe bei T = 20,38°K gefunden ~oo : 351,9 × 10-7 u n d a = 81,7. N a c h der theoretischen Fo.rmel ist:

1

p

aq' -~ 7]0o 1 + 2k2kc/d = "%Op + k2 v/2-~ (l/d) ( 1 / V ~ ) ~oo" Fiir den D o p p e l a p p a r a t wird die F o r m e l sein:

'~'= ½ '~' 1 + (~,/p) (b/a,/+ i + i ~ / P ) (b/d~) " W e n n dl u n d d2 n u r wenig verschieden sind, oder wenn Xc/d klein gegeniiber 1 ist, k a n n m a n ann/ihernugsweise scl~reiben: 1

,~' = ~oo 1 + (~oo/P) b ½ (I/a, + ~d~) ' worin :

In der experimenteUen F o r m e l ftir ~' ist der D r u c k p in cm H g gemessen; der W e r t von atuo, wird, wenn dieselbe Druckeinheit auch in der theoretischen F o r m e l v e r w e n d e t wird:

<1

1

Too 13300 "

aa,,o, = k2 "V"2-~~ ~ + -~2 van

Itterbeek

und K e e s o m

habengefunden:

T = 20,38°K,

abeob = 81,7,

T=

ab~ob=40,1.

4,23°K,

(8)

Mit dem W e r t ½ (1/dl + 1/d2) = 17,10 erhalten wir laut F o r m e l (8) : T = 20,38°K, . ~

1

atn,o, = 66,3,

I

T =

4,23°K,

-~2 ath,o,=

30,2,

atheor

=

ath~o,=

88,4, 40,3.

EINIGE

BEMERKUNGEN

UBER DIE INNERE

1 Z E I B U N G D E R G A S E . I.

561

k2 ffir Helium ist nicht genau bekannt, w'eil die Abh~ingigkeit der Reibung von der Dichte weder von M a r t i n Knudsen ~aoch in dieser Untersuchung bei Zimmertemperatur gemessen worden ist. Nehmen wir aber an, dass k2 = 4/3 wie far die untersuchten Gase und wie es ftir Helium aus den thermomolekularen Druckdifferenzen auch ungef~ihr hervorgeht, so erhalten wit die Zahlen f/ir ath~o,, die in der dritten Kolonne angegeben shad. Wenn man die Unsicherheit in dl und d2 in Betracht zieht *), ist die f3bereinstimmung befriedigend. E i n g e g a n g e n a m 31. IVHirz 1939.

LITERATURVERZEICHNIS 1) A. v a n Itterbeek and W . H . K e e s o m , Commun. KamerlinghOnnesLab. Leiden, No. 252a; P h y s i e a , 's-Gray. 5, 257, 1938. 2) Vgl. J. H. A. t e r Heerdt, D i s s e r t a t i o n U t r e c h t , 1923, S. 83. 3) Vgl. J. H. J e a n s, The d y n a m i c a l T h e o r y of Gases, C a m b r i d g e U n i v e r s i t y Press 1925, S. 276. 4) J. C l e r k Maxwell, Phil. Trans. roy. Soc. 170, 231, 1879. 5) M. K n u d s e n , Ann. P h y s i k (4), 2B, 75, 1909, S. 120. 6) Vgl. S o p h u s Weber, C o m m u n . K a m e r l i n g h O n n e s L a b . no. 246b, p. 7. 7) S o p h u s Weber, Kgl. d a n s k e V i d . Selsk. Mat. fys. Medd. 14, no. 13, 1937, S. 27. 8) M a r t i n Knudsen und Sophus Weber, Ann. P h y s i k ( 4 1 3 6 , 9 8 1 , 1911. *) In einer A r b e i t im J. Phys. R a d i u m (7) 9, 457, 1938, b e r i c h t e n A. v a n I t t e rb e e k und Mile A. C 1 a e s fiber die innere R e i b u n g von Sauerstoff m i t u n d ohne m a g n e t i s c h e m Feld. Diese i n t e r e s s a n t e U n t e r s u c h u n g ist m i t e i n e m /ihnlichen A p p a r a t , wie fiir die H e l i u m m e s s u n g e n v e r w e n d e t , a u s g e f i i h r t ; in dieser A r b e i t ist u.A. a u c h ' d i e Abh~ingigkeit der i n n e r e n R e i b u n g yon der D i c h t e gemessen. Ffir Sauerstoff ist a b e r k2 bei Z i m m e r t e m p e r a t u r d u r e h die M e s s u n g e n von M a r t i n K n u d s e n gut b e k a n n t s o d a s s es auch in diesem Falle aus den O b s e r v a t i o n s r e i h e n ohne F e l d mSglich ist festzustellen, dass die a n g e g e b e n e n W e r t e f~r d~ und d2 n u r A n n / i h e r u n g s w e r t e sein k/~nnen. P h y s i c a VI

36