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Zur theorie der lichtbeugung an ultraschallwellen
Physica
Juli 1937
IV, no 7
ZUR THEORIE DER .LICHTBEUGUNG AN ULTRASCHALLWELLEN von P. H. VAN CITTERT Mitteilunrr
aus dcm Physikalischeu
Institut
der UniversitPt,
Utrecht
Zusammenfassung Es wird ein System simultaner Differentialgleichungen fiir die Lichtzerstreuung an Ultraschallwellen abgeleitet, das unmittelbar zu de .R a m a n-N a t h schen bzw. zu der Extermann-Wannierschen LGsung fiihrt.
Bekanntlich treten bei der Lichtbeugung an Ultraschallwellen nicht mu die nach der elementaren Theorie zu erwartenden Beugungsspektren erster Ordnung auf, sondern such die Spektrenhoherer Ordnung. Dieses Auftreten der .hSheren Ordnungen wurde von B r i 11 o u i n l) auf wiederholte Lichtbeugung zurtickgefiihrt. Ausserdem zeigen die Intensitaten dies& Beugungsspektren mit wachsender Energie der Ultraschallwellen eine Periodizitat, welche nach der elementaren Theorie nicht zu erwarten ware. Durch R a m a n und N a t h 3 ist gezeigt worden, dass bei senkrechter Inzidenz die Intensitaten der verschiedenen Ordnungen durch die Quadrate der Besselfunktionen bestimmt werden :
I, = Jg(Y) = J&E> wo I = Lange der Fliissigkeitsschicht, A = Lichtwellenlange, v = Amplitude der von der UltraschaIlwelle chungsanweiserschwankung. Durch Extermann und Wannier3) worden, dass dies nur zutrifft, solange
l)
Bei E; IL w.:
p = l/f%
-
590 -
verursachten
Bre-
ist jedochgezeigt
ZUR
THEORIE
DER
LICHTBEUGUNG
59 1
AN ULTRASCHALLWELLEN
wo n = Brechungsanweiser des Mediums, A = Ultraschallwellenlinge. Fur grijssere Werte von p kijnnen sehr betrachtliche Abweichungen auftreten. Die von E. und W. gegebene Theorie ist jedoch mathematisch kompliziert. In folgender Weise kommt man sehr einfach zu denselben Resultaten. Betrachten wir das Lichtbtindel sp = Qp exp {z’(w,,t -
$X -
auf die Flache x einfallend
mpy)} = R, exp (2’(~+,t -
(Fig. 1).
ULTRASCHALLWELLE I
I
I
I
XX+dX
O-
=X
+ Y Fig.
Hierin
1.
ist : n, _ 2xn cos rp P-
A
m _ 270z sin Y# P-
A
R, 7 Q!, exp (- i+z’x) An der Stelle x + dx ist die Lichtschwingung sp,+ ds, = sp-
:
iniRpdx exp. {i(opt -
mpy)}
m,y)}
592
P. H. VAN
CITTERT
Lauft mm in der Y-richtung durch das Medium welle mit Frequenz !CI und Wellenlange A,. so ist :
eine Ultraschall-
(Qt--
25FY A )
12 =rth-vsin
= ~6; + *vi exp i i2t -F))_eip{-i(Qt-F)}] [ {( Setzen wir noch :
12P =2xn;,cosr A
vp =
P
2773 ‘A cos Ip
so wird: sp + ah, = sp -
in,R,dx
exp {i(wpt -
rnp~~)}
+ ~~~R~dxexpP{(~~+ W--p+,~H -
~vpRpdx exp [i {(op -
Q) t -
rr~~-~y}]
WO
2m 7
T&1=
sinrp*tl
2m = Tsinv,
f
2rc. n
(‘1
Das Lichtbtindel mit Frequenz op, Richtung rp und Koeffizienten R, ist also zerfallen in drei Btindel: 1) rnit der originellen Frequenz und der originellen Richtung, und mit Koeffizienten R, - in,R,dx. 2) und 3) mit der Frequenz wp f Q, Richtung sin ypkl = sin rp f h/nA und Koeffizienten f +vpRpdx. Nach Austritt in der Luft werden die Richtungen bestimmt durch sin iPltl = sin ip f hp.. Hieraus ergibt sich unmittelbar das System simultaner Differentialgleichungen : .%I = dx
inpRp + Rv~-~R~-, d
-
~v~+~R~+~
Fault nun senkrecht auf die F&he x = 0 ein Lichtbtindel exp (z&J) ein, so muss die L&sung der Differentialgleichungen x = 0 den Bedingungen : Ro=
1
R,=Ofiirp
#0
(4 S, = (2) fur
ZUR
geniigen;
THEORIE
DER’LICHTBEUGUNG’
AN
593
ULTRASCHULWELLEN
In diesem Fall ist : sinrp=p& l--a
COSYp=
Wo v und
a
P2 212
beide klein sind, diirfen
W0
A2 nn
a=
wir vp = ‘F.
cos r,, gleich
~XV/A = v. setzen. Also wird (2) : _ - Rp+,) -dR, (24 ax - - $,Rp + +~o(&-, Vemachlassigen wir die Richtungsunterschiede ganz und gar, setzen wir also np = no cos Y,, = fro, so finden wir die R a m a n-N a t hsche Losung : R, = .Tp (VOX)exp k h4 Behalten wir die Richtungsunterschiede bei, so kijnnen wir schreiben : R, = IZ E,,q exp .(- iqx) 4 also - Z E,, iq exp (- iqx) = - ZZE,,q in,, exp (- iqx) + Q I + ho ‘T EP--l,r exp (- CP) - C Ep+ 1,qexp (-- +P% Q oder - Ep+~,q) = 0 ik - 4 E,, + &O PLq welche Beziehung auf die W. und M.schen Beziehung (7) zuriickzuftihren ist und also die W. und M.sche LSsung ergibt. Schreiben wir jedoch R, = S, exp (- inox), so ergibt (2~) : &Zf? = -i(9znp-no) ax
S, + Qvo (S p _ 1 -Ssp+,)
w
oder
dSfi dz
$‘PS,
+
&--I
-
Sp+1
woz=&,xund
$=t=-
A2 vnA2
41so dSo=-2S dz -dS, = ips, dz -6
= 4ips,
dz ____----m-B---
Physica
IV
13 + so -
s2
+ s, -
s3 30
594
ZUR
THEORIE
DER
LICHTBEUGUNG
AN
ULTeSCHALLWELLEN
Eine Umschlagsrechnung lehrt, dass die Amplituden der hoheren Ordnungen urn so kleiner werden, je grosser p ist. Fiir p = 1 z.B. hat schon Sa keine physikahsche bedeutung mehr, da der Maximalwert von S3 nui einige Prozente des Maximalwertes von So betragt, und also die Intensitat Ia zu vernachlassigen ist. Wir kiinnen also fur p 2 1 die Reihe schon mit Sz abbrechen. Setzen wir z.B. p = 1 so finden wir unmittelbar die Losung : So = 0,63 exp (- 1,07 iz) + 0,36 exp (1,72 iz) + 0,Ol exp (4,35 iz) S, = - 0,34i exp (-1,07 iz) + 0,3 li exp (1,72 iz) + 0,03i exp (4,35 iz) S, = - 0,065 exp (-1,07 iz) + 0,l 35 exp ( 1,72 iz).- 0,07 exp (4,35 iz) welche mit der von E. und W. angegebenen L&sung fiir 0 = 1 praktisch iibereinstimmt . 1st p klein, so kann man die Gleichrmgen
(2b) schreiben:
3- = ip” 4 s, + gs,-, - sp+1) 4vx)
und s9
=
J9b4
+
%,p+l
setzen. Dies gibt die Beziehung a9,4+1
=
Jp+l
+
u9,9+2.T9+2
-
ap+1,q
+
- - - -
:
a9,q-1
+
cEI”-1,q
+
ip2pa9,q
mit up4
= 0 fiir p < q = 1 fiir p G q
Hieraus folgt unmittelbar: So= J,9-2iPJ3+2f32J4j. .. . SI = JI + PiJ2 - p”Ja - (6p + p3) iJ4 + . . . . S2= J2+5f3iJ3-21~2J4+ .... S3 = J3 + 14piJ, + . . . . S4 = J4 + . . . . Eingegangen
am 12 hfai 1937.
LITERATURVERZEICHKIS
I)
L. B r i 11 o u i n, La diffraction de la lumiere par des ultrasons, Act. scient. Hermann, Paris, 1933. 2) C. V. R a man und N. N a t h, Proc. Ind. .4c! of SC. 2, 4UU, 1935. 3) R. Extermann undG. Wannicr, Helv.Phys.Acta,9,;5-61,1936.
et ind.
Juli 1937
IV, no 7
ZUR THEORIE DER .LICHTBEUGUNG AN ULTRASCHALLWELLEN von P. H. VAN CITTERT Mitteilunrr
aus dcm Physikalischeu
Institut
der UniversitPt,
Utrecht
Zusammenfassung Es wird ein System simultaner Differentialgleichungen fiir die Lichtzerstreuung an Ultraschallwellen abgeleitet, das unmittelbar zu de .R a m a n-N a t h schen bzw. zu der Extermann-Wannierschen LGsung fiihrt.
Bekanntlich treten bei der Lichtbeugung an Ultraschallwellen nicht mu die nach der elementaren Theorie zu erwartenden Beugungsspektren erster Ordnung auf, sondern such die Spektrenhoherer Ordnung. Dieses Auftreten der .hSheren Ordnungen wurde von B r i 11 o u i n l) auf wiederholte Lichtbeugung zurtickgefiihrt. Ausserdem zeigen die Intensitaten dies& Beugungsspektren mit wachsender Energie der Ultraschallwellen eine Periodizitat, welche nach der elementaren Theorie nicht zu erwarten ware. Durch R a m a n und N a t h 3 ist gezeigt worden, dass bei senkrechter Inzidenz die Intensitaten der verschiedenen Ordnungen durch die Quadrate der Besselfunktionen bestimmt werden :
I, = Jg(Y) = J&E> wo I = Lange der Fliissigkeitsschicht, A = Lichtwellenlange, v = Amplitude der von der UltraschaIlwelle chungsanweiserschwankung. Durch Extermann und Wannier3) worden, dass dies nur zutrifft, solange
l)
Bei E; IL w.:
p = l/f%
-
590 -
verursachten
Bre-
ist jedochgezeigt
ZUR
THEORIE
DER
LICHTBEUGUNG
59 1
AN ULTRASCHALLWELLEN
wo n = Brechungsanweiser des Mediums, A = Ultraschallwellenlinge. Fur grijssere Werte von p kijnnen sehr betrachtliche Abweichungen auftreten. Die von E. und W. gegebene Theorie ist jedoch mathematisch kompliziert. In folgender Weise kommt man sehr einfach zu denselben Resultaten. Betrachten wir das Lichtbtindel sp = Qp exp {z’(w,,t -
$X -
auf die Flache x einfallend
mpy)} = R, exp (2’(~+,t -
(Fig. 1).
ULTRASCHALLWELLE I
I
I
I
XX+dX
O-
=X
+ Y Fig.
Hierin
1.
ist : n, _ 2xn cos rp P-
A
m _ 270z sin Y# P-
A
R, 7 Q!, exp (- i+z’x) An der Stelle x + dx ist die Lichtschwingung sp,+ ds, = sp-
:
iniRpdx exp. {i(opt -
mpy)}
m,y)}
592
P. H. VAN
CITTERT
Lauft mm in der Y-richtung durch das Medium welle mit Frequenz !CI und Wellenlange A,. so ist :
eine Ultraschall-
(Qt--
25FY A )
12 =rth-vsin
= ~6; + *vi exp i i2t -F))_eip{-i(Qt-F)}] [ {( Setzen wir noch :
12P =2xn;,cosr A
vp =
P
2773 ‘A cos Ip
so wird: sp + ah, = sp -
in,R,dx
exp {i(wpt -
rnp~~)}
+ ~~~R~dxexpP{(~~+ W--p+,~H -
~vpRpdx exp [i {(op -
Q) t -
rr~~-~y}]
WO
2m 7
T&1=
sinrp*tl
2m = Tsinv,
f
2rc. n
(‘1
Das Lichtbtindel mit Frequenz op, Richtung rp und Koeffizienten R, ist also zerfallen in drei Btindel: 1) rnit der originellen Frequenz und der originellen Richtung, und mit Koeffizienten R, - in,R,dx. 2) und 3) mit der Frequenz wp f Q, Richtung sin ypkl = sin rp f h/nA und Koeffizienten f +vpRpdx. Nach Austritt in der Luft werden die Richtungen bestimmt durch sin iPltl = sin ip f hp.. Hieraus ergibt sich unmittelbar das System simultaner Differentialgleichungen : .%I = dx
inpRp + Rv~-~R~-, d
-
~v~+~R~+~
Fault nun senkrecht auf die F&he x = 0 ein Lichtbtindel exp (z&J) ein, so muss die L&sung der Differentialgleichungen x = 0 den Bedingungen : Ro=
1
R,=Ofiirp
#0
(4 S, = (2) fur
ZUR
geniigen;
THEORIE
DER’LICHTBEUGUNG’
AN
593
ULTRASCHULWELLEN
In diesem Fall ist : sinrp=p& l--a
COSYp=
Wo v und
a
P2 212
beide klein sind, diirfen
W0
A2 nn
a=
wir vp = ‘F.
cos r,, gleich
~XV/A = v. setzen. Also wird (2) : _ - Rp+,) -dR, (24 ax - - $,Rp + +~o(&-, Vemachlassigen wir die Richtungsunterschiede ganz und gar, setzen wir also np = no cos Y,, = fro, so finden wir die R a m a n-N a t hsche Losung : R, = .Tp (VOX)exp k h4 Behalten wir die Richtungsunterschiede bei, so kijnnen wir schreiben : R, = IZ E,,q exp .(- iqx) 4 also - Z E,, iq exp (- iqx) = - ZZE,,q in,, exp (- iqx) + Q I + ho ‘T EP--l,r exp (- CP) - C Ep+ 1,qexp (-- +P% Q oder - Ep+~,q) = 0 ik - 4 E,, + &O PLq welche Beziehung auf die W. und M.schen Beziehung (7) zuriickzuftihren ist und also die W. und M.sche LSsung ergibt. Schreiben wir jedoch R, = S, exp (- inox), so ergibt (2~) : &Zf? = -i(9znp-no) ax
S, + Qvo (S p _ 1 -Ssp+,)
w
oder
dSfi dz
$‘PS,
+
&--I
-
Sp+1
woz=&,xund
$=t=-
A2 vnA2
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= 4ips,
dz ____----m-B---
Physica
IV
13 + so -
s2
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s3 30
594
ZUR
THEORIE
DER
LICHTBEUGUNG
AN
ULTeSCHALLWELLEN
Eine Umschlagsrechnung lehrt, dass die Amplituden der hoheren Ordnungen urn so kleiner werden, je grosser p ist. Fiir p = 1 z.B. hat schon Sa keine physikahsche bedeutung mehr, da der Maximalwert von S3 nui einige Prozente des Maximalwertes von So betragt, und also die Intensitat Ia zu vernachlassigen ist. Wir kiinnen also fur p 2 1 die Reihe schon mit Sz abbrechen. Setzen wir z.B. p = 1 so finden wir unmittelbar die Losung : So = 0,63 exp (- 1,07 iz) + 0,36 exp (1,72 iz) + 0,Ol exp (4,35 iz) S, = - 0,34i exp (-1,07 iz) + 0,3 li exp (1,72 iz) + 0,03i exp (4,35 iz) S, = - 0,065 exp (-1,07 iz) + 0,l 35 exp ( 1,72 iz).- 0,07 exp (4,35 iz) welche mit der von E. und W. angegebenen L&sung fiir 0 = 1 praktisch iibereinstimmt . 1st p klein, so kann man die Gleichrmgen
(2b) schreiben:
3- = ip” 4 s, + gs,-, - sp+1) 4vx)
und s9
=
J9b4
+
%,p+l
setzen. Dies gibt die Beziehung a9,4+1
=
Jp+l
+
u9,9+2.T9+2
-
ap+1,q
+
- - - -
:
a9,q-1
+
cEI”-1,q
+
ip2pa9,q
mit up4
= 0 fiir p < q = 1 fiir p G q
Hieraus folgt unmittelbar: So= J,9-2iPJ3+2f32J4j. .. . SI = JI + PiJ2 - p”Ja - (6p + p3) iJ4 + . . . . S2= J2+5f3iJ3-21~2J4+ .... S3 = J3 + 14piJ, + . . . . S4 = J4 + . . . . Eingegangen
am 12 hfai 1937.
LITERATURVERZEICHKIS
I)
L. B r i 11 o u i n, La diffraction de la lumiere par des ultrasons, Act. scient. Hermann, Paris, 1933. 2) C. V. R a man und N. N a t h, Proc. Ind. .4c! of SC. 2, 4UU, 1935. 3) R. Extermann undG. Wannicr, Helv.Phys.Acta,9,;5-61,1936.
et ind.