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Über die temperaturabhängigkeit der magnetisierung eines ferromagnetikums bei tiefen temperaturen
Augustus
Physica IV, no 8
1937
UBER DIE TEMPERATURABHANGIGKEIT DER MAGNETISIERUNG EINES FERROMAGNETIKUMS BEI TIEFEN TEMPERATUREN yon W. O P E C H O W S K I Instituut voor Theoretische Natuurkunde der Rijks-Universiteit, Leiden
Zusammenfassung Auf Grund des H e i s e n b e r g schen Modells eines Ferroinagnetik u i n s h a t B 1 o c h f o l g e n d e s G e s e t z ffir d i e S ~ t t i g u n g s i n a g n e t i s i e r u n g bei tiefen Temperaturen gefunden: */~0 = 1 - - c ( T / | Mit HiKe e i n e r M e t h o d e y o n K r a in e r s w i r d d i e R i c h t i g k e i t d i e s e s A u s d r u c k s b e s t / t t i g t . A u s s e r d e i n h a t es s i c h e r w i e s e n , d a s s d i e B 1 o c h s c h e F o r m e l d u r c h e i n e n z u ( T / | ~ p r o p o r t i o n a l e n T e r m z u v e r v o l l s t / i n d i g e n i s t (vgl. Formel (24)des Textes).
Die vorliegende Arbeit ist eine unmittelbare Erg~nzung der Rechnungen yon K r a m e r s fiber das Verhalten eines Ferromagnetikurus (ira Sinne des H e i s e n b e r g schen Modells) 1) bei tiefen Temperaturen. Wir setzen also die diesbeziigliche Abhandlung yon K r a m e r s 2) als im wesentlichen b e k a n n t voraus. Wit wollen jedoch eine Ubersicht geben yon der Weise, auf welche man zum Ausgangspunkt unserer R e c h n u n g gelangt, um deutlich hervorzuheben, was ffir vereinfachende A n n a h m e n und Vernachl/issigungen diesem Ausgangspunkt zugrundeliegen. Das Verfahren von K r a m e r s b e r u h t auf der Bemerkung', dass asymptotisch, ftir sehr grosse N(N = die Anzahl der magnetisehen Atome im b e t r a c h t e t e n Kristall), die Zustandssumme, Spur exp (--e/T), gleich ist dem gr6ssten T e r m in ihrer Entwicklung nach (--e/T); T ist bier und im folgenden eine Abkiirzung fiir kT/J (J = das (positive) Austauschintegral), e bedeutet den Energieoperator. Der allgemeine T e r m dieser Entwicklung ist
Au(n)/n!r",
(1)
wo
A:~,(n) = = - - x (kt), - -
Spur (--~)"
(kl) --89 7 1 5
- -
(2)
+ 1].
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w. O~'ECHOWSKI
Die Summe ist hier fiber alle N / Paare von Nachbaratomen zu erstrecken; dabei bedeutet 2/ die Anzahl der n/ichsten Nachbarn jedes Gitterpunktes. ak sind die P a u 1 i schen Spinvektormatrizen. Nun 1/isst sich unter Einffihrung einer Variablen ~ = n / N und einer Funktion K(~), die durch log A (n) = N[K(,J) + ,~ log N]
(3)
definiert ist, zeigen [I, w 1], dass der Weft von 4, der dem gr6ssten der Terme (I) entspricht, der Gleichung
dK dv
log v = log T
(4)
genfigt und von N unabh/~ngig ist (letzteres folgt aus der Homogenit/it des betrachteten dynamischen Systems; aus demselben Grunde erweist sich auch K(~) als von N unabh/ingig). Dabei wird die thermodynamische Bedeutung von diesem Werte yon ~ durch
=
-
-
E/T
(5)
gegeben [I, (10)], wo E die Gesamtenergie des Kristalls pro magnetisches Atom bedeutet. Aus (2) Iolgt, wenn ~ die Wellenfunktion des Zustands ist, der einer bestimmten Verteilung von Rechts- und Linksspins auf die N Gitterpunkte des Kristalls entspricht, AN(n) = ~ f ~ * (
~)'~
(6)
wo die Summe sich auf alle 2 N m6glichen Zust~inde bezieht *). Nun ergibt bekanntlich die Anwendung des Permutationsoperators (kl) auf eine bestimmte Wellenfunk~ion q) wieder diesetbe Funktion, wenn die Spins an den Gitterpunkten k und l in dem betrachteten q~-Zustand gleichgerichtet sind. Wenn dagegen die Spins entgeger.gerichtet sind, entsteht eine neue Funktion, die sich yon der ursprfinglichen nur durch den Austausch der Spinrichtungen an den Gitterpunkten k und l unterscheidet, oder, anders gesagt, in dem zweiten Falle verschiebt sich ein Linksspin nach einem seiner Nachbarpunkte. Der Ausdruck (--~)n~ stellt also eine Summe von den durch 0, 1, 2 . . . . . . l, . . . . . n auteinanderfolgende Linksspinsverschiebungen erzeugten Funktionen d a r In dieser Summe liefera *) Das Zeichen f bedeutet bier eine Smnmation fiber abe Spinkoordinaten, da die q~'s ja reine Spinfunktionen sind.
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wegen Orthogonaliffit nur diejenigen Funktionen (ihrer Anzahl sei n
X s~)) einen von Null verschiedenen Beitrag zu f g* (--~)~ q~, die 1=0
mit der ursprfinglichen identisch sind. Der allgemeine Term der Summe (6) h/ingt also von l u n d m (m = die Anzahl der Linksspins) und von s~I, das wieder eine Funktion von I u n d m i s t Is. I, (17) und unten (7)1 ab. Die Summe darf auch jetzt fiir grosse N durch den gr6ssten dieser Terme ersetzt werden. Der Fall sehr tiefer Temperaturen ist wegen (5) dutch v >~1 charakterisiert. Man macht ferner die plausible, aber nicht streng gerecht/ertigte Annahme, dass in diesem Falle nur diejenigen q0-Zust/inde bei der Berechnung yon A N (n) zu berficksichtigen sind, frir welche m sehr klein verglichen mit N ist (grosse Magnetisierungl). Dann ist es leicht zu sehen EI, S. 7], dass AN(n) = Maximum in bezug auf l' und m von
(7) Ferner ist =
(2/m)'
(8)
wo Win(l) die mittlere WahrscheirJichkeit ist, dass m Linksspins, die willkrirlich fiber N Gitterpunkte verteilt sind (m ~ N), nach l willkrirlichen Verschiebungen (bei jeder - - wird irgendein Linksspin zum Nachbargitterpunkt verschoben) wieder in die ursprringliche Verteilung zurfickkehren. Die Berechnung von Win(l), die ziemlich kompliziert ist, wird in I, w 5 gegeben, und zwar unter der verein/achenden A nnahme, dass bei dem betrachteten Prozess j eder Linksspin -~ = l/m Mal verschoben wird. Nach einer Absch/itzung yon K r am e r s /indert sich fiir z >~ 1 das Schlussresultat dadurch nicht. Die Annahme ist also gleichbedeutend mit der Voraussetzung ":>~l. Sonst ist die Berechnung asymptotisch f fir grosse N streng, und es ergibt sich, dass der Ausdruck frir [log V,~('r)I/N aus zwei verschiedenen analytischen Stricken besteht, die sich stetig aneinander anschliessen [I, (51) und (54)]. Wenn man jetzt die Bezeichnungen v = n/N, X = l/N, ~ = m / N , -: = X/~x
einfrihrt, und die Terme der Gr6ssenol:6rmng
V.2v,X2/v, X~ =
[x2~
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W. OPECHOWSKI
vernachl/tssigt, b e k o m m t m a n aus (3), (7) und (8) ((8) soil m a n jetzt offenbar lesen" s~) = (2/m) 1 V,~(T)), mit Hilfe des soeben erwfihnten Ausdrucks ftir [log Vm(T)~/N, das folgende Resultat: K(v) = Maximalwert yon do(v, bt),
(9)
wo
r (% ~t) = v log / -- bt IT-- 2v + T log (2V/':)~ + O~TJ / ' (1(~0) --- V~log ~10 (9a) mit oo ~i~ 1(~) = k=1 X k ~/"
(10)
or = c (3/27:)"/';
(I 1)
und c ist dabei eine yon der Gitterstruktur abh~ingige K o n s t a n t e (fiir das einfach kubische Gitter: c = 1; ftir das fl/ichenzentriert kubische --:c = 89 ferner ist ~0 eine F u n k t i o n yon Wd/,, die fiir oo
W: ~/, > ~y = ~ E k - ' / , gleich 1 ist, und ftir ~T~/,< ~y implizit durch
die Gleichung =
(12)
gegeben wird. Die B e s t i m m u n g des Wertes von ~,, der dem Maximum von 00(% b~) entspricht, ist das Ziel unserer Rechnung, denn 2~, hat die Bedeutung der Abweichung der relativen S/ittigungsmagnetisierung yon ihrem Werte an dem absolutem Nullpunkt. Es ist also : a = I - - 2bt,
(13)
wo a das Verh/iltnis der S/ittigungsmagnetisierung zur vollst/indigen Magnetisierung (,,wahre S/ittigung") bezeichnet. Nun wird der Teil der T, bt-Ebene, ftir welchen T > 0 und ~ > 0, durch die Kurve btT3/s == c~u - - die ja eine Art von Hyperbel h6heren Grades ist, deren A s y m p t o t e n die T- und bt-Achsen sind - - , in zwei Gebiete geteilt. Die F1/iche do(T, bt) wird jetzt durch versehiedene analytische Ausdriicke beschrieben, je naehdem sich der T, b~-Punkt in dem einen, oder in dem anderen Gebiete befindet (Bei dem l~berschreiten der Grenzkurve ist tibrigens die F u n k t i o n d0(T, Vt) stetig sowie ihre Ableitungen erster Ordnung, nicht aber die Ableitungen zweiter Ordnung!). Folglich muss m a n also beim Aufsuchen des Maximums yon do(T, tx) zwei F~ille unterscheiden.
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Fall I : ~x,:*/, < ~y. - - H i e r ist es a m b e q u e m s t e n F aus (12) zu b e s t i m m e n u n d in (9a) einzusetzen. D a n n h a t m a n das E x t r e m u m der F u n k t i o n
9r(,:, ~o) = ~ l o g / +
~ o 1'(~o) [,: _ 2v + log 2~ 4- /(~o) ,,/. ~no 1'(~o~
log ~o]
zu finden. A u s den G l e i c h u n g e n -- 0
und
-- 0
leitet m a n sofort zwei folgende m i t i h n e n / i q u i v a l e n t e ab : 1 --
2 ~ 4 - l o g 2v _ ,:
l o g ~o
"~
log 2~ _ "r
3
Gleichungen (14)
,:
1(~o)
2": ~1o /'(~o)
(is) "
D a v o r a u s s e t z u n g s g e m / i s s ,: gross ist, wird eine angen~iherte L6sung des G l e i c h u n g s s y s t e m s (I 4), (15) d u r c h ,: = 2v u n d ~?o = 1 gegeben. W i r setzen also 2v -- = I + a (16a) ~o:
l--b,
(16b)
wo a u n d b sehr kleine p o s i t i v e Zahlen sind. D u r c h das E i n s e t z e n v o n (16) in (14) b e k o m m t m a n , w e n n m a n die T e r m e y o n der O r d n u n g a a, b2/v, ab/v u n d y o n h 6 h e r e r O r d n u n g vernachl/issigt" a2 =
(17)
b/~
D a s E i n s e t z e n v o n (16) in (15), --- w e n n m a n noch die F o r m e l (31 ) des A n h a n g s b e n u t z t , die das V e r h a l t e n y o n /(~o)/~o/'(~,o) in der N~ihe v o n ~o = 1 b e s c h r e i b t - - , e r g i b t : log(1 4- a) - - 1 2~ 4- a (p + qVb + . . . . )
(18)
WO
3~ P -- 2 y '
q = 3V/r~ 7 '
~ = k~: l k-'/".
(lea)
D u r c h E l i m i n a t i o n y o n b aus (17) u n d (18) b e k o m m t m a n bei Vernachl/issigung der T e r m e der O r d n u n g a2/A/v u n d h 6 h e r e r Ordnung
w. OPECHOWSKI
720
und hieraus wegen (17) 2~/~
....
Die Lage des (einzigen) E x t r e m u m s yon ~V(~, ~o) wird also durch die Formeln (16), (19) u n d (20) bestimmt. Aus der iiblichen Untersuchung der Ableitungen zweiter Ordnung folgt ferner leicht, dass dieses E x t r e m u m tats/ichlich ein Maximum ist. Ein M a x i m u m yon hu("~, ~o) ist aber offensichtlich gleichzeitig ein Maximum von qS(T, ~), und dasletzte ist sicher im jetzt betrachteten Gebiete der Variabeln -~ und ~x, und fiir grosse ~, der h6chste P u n k t der F1/iche r ~). F a l l I I : ~.8/, >~ aT. - - Jetzt wird die F u n k t i o n durch den Ausdruck
o(~, ~) = ~ log / + ~[~ - - 2~ + ~ log (2~/~)] + aT-'/, gegeben, u n d m a n kann sofort zeigen, dass es kein Wertepaar yon -: u n d ~ gibt, das die Gleichungen 0q~ 0q~ 0 und 0r ~ -- 0 -
-
=
gleichzeitig befriedigen wtirde. Es gibt also kein E x t r e m u m im Innern des jetzt betrachteten Gebietes der Variabeln z und ~; @(z, F) n i m m t seinen gr6ssten Wert am Rande an, d.h. auf der Kurve F z "/~ = a T (n/imlich ftir -~ etwas kleiner als 2v). Dies bedeutet aber, dass das im Falle I gefundene Maximum tats/ichlich der h6chste P u n k t der Fl/iehe q~(-:, ~) ist. Der Wert von F, der dem Maximum von qb (~, ~) entspricht, berechnet sieh sofort aus (12), (16), (19), (20) und der Formel (30) des Anhangs: = .'~ -'1' ~o1(~.o) =
= a[(2v)-"/, (1 -P 3/2a 4- . . . . )] [ y -
21/= 1 / ' b -
[3b -F . . . . ]
oder:
dabei werden die numerischen Werte yon ~, y und S im Anhang, Formel (28), gegeben. Um jetzt ~ als F u n k t i o n der Temperatur darzustellen, muss m a n noch den Z u s a m m e n h a n g von v und T finden. Dies geschieht m i t
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M A G N E T I S I E R U N G E I N E S FERROMAGNETIKUMS
Hilfe von (4). Zun~chst berechnet man K(v), indem man i n (9) log % durch seinen durch G1. (14) bestimmten Wert ersetzt und sodann die Werte yon z und 70 einfiihrt, die dem Maximum entsprechen : K(~) = v log ] -7 ~8 (2~)-'/, + 8 9
yp)(2,) -v2 -7 . . . .
(22)
Aus (22) und (4) folgt Ierner: log ~ -7 ~ - - ~ / , -7 . . . . .
log ~/T
Die Aufl6sung dieser Gleichung nach 1/v ergibt: 1 T v -- / - 7
I T \ 7i, ~-=817-) -7 . . . .
(23)
Man b e k o m m t also aus (13), (21) und (23), wenn man noch die Koeffizienten numerisch auswertet,
= 1--0.609
-70.318
~- - - 0 . 2 3 6 \ |
,
(24)
wo T jetzt die absolute Temperatur bedeutet und 0 = / J / k . Dies gilt ftir das einfach kubische Gitter; im Falle einer anderen Kristallstruktur hat m a n alle Koeffizienten in (24) mit dem F a k t o r c Is. (11)] zu multiplizieren. Der T:h-Term in (24) Wurde schon in I, w5 abgeleitet. Bekanntlich hat ihn B 1 o c h 3) noch friiher auf eine ganz andere Weise gefunden, und die Gr6sse des Koeffizienten erweist sich aus diesen zwei verschiedenen Ableitungen genau als dieselbe. Betreffs des T~/,-Terrues miissen wir nachdriicklich betonen, dass seine Bedeutung nicht iibersch~itzt werden soil. Es ist n/imlich sehr ffaglich, ob in dem Temperaturgebiet, wo dieser Term eine Rolle spielt, die Voraussetzung m ~ N, auf der sich ja die ganze Rechnung stiitzt, noch erlaubt ist. Dagegen scheint es k a u m m6glich, wenn m a n die Gfiltigkeit des t3 1 o c h sehen T%-Termes anerkennt, gleichzeitig an die Giiltigkeit des T2-Termes zu zweifeln. Mail soll jedoch noch folgendes bemerken : n a c h den neuesten Messungen von F a 11 o t 4) sind die Abweichungen der Temperaturabh/ingigkeit der Magnetisierung des Nickels und des Eisens von dem Y%-Gesetz derart, dass sie vielmehr auf die Existenz eines negativen y2-Termes hinweisen. Herrn Professor K r a m e r s m6chte ich fiir die Anregung zu dieser Arbeit und ffir R a t und Hilfe herzlichst danken. Physica IV
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MAGNETISIERUNG EINES FERROMAGNETIKUMS
ANHANG Die d u r c h (10) ffir I "q ] ~ 1 d e f i n i e r t e F u n k t i o n / (-q) l~tsst sich d u r c h die f o l g e n d e D e f i n i t i o n auf die g a n z e k o m p l e x e E b e n e f o r t s e t z e n :
! (r
1
2
~
l" z~"~
1~(5/,) fez
dz
--
(25)
(c) D e r I n t e g r a t i o n s w e g C 1/~uft, v o m U n e n d l i c h e n k o m m e n d , 1/~ngs des V e r z w e i g u n g s s c h n i t t e s (welcher den K o o r d i n a t e n u r s p r u n g mit d e m une n d t i c h f e r n e n !Punkt v e r b i n d e t ) z u m U r s p r u n g , u m s c h l i n g t d i e s e n einm a l in d e r n e g a t i v e n R i c h t u n g u n d f t i h r t d a n n w i e d e r l g n g s des V e r z w e i g u n g s s c h n i t t e s n a c h U n e n d l i c h z u r f i c k ; d a b e i s i n d die P o l e des I n t e g r a n d e n a u f d e r l i n k e n S e i t e des W e g e s zu lassen. I n d e m m a n f/Jr d e n s e l b e n I n t e g r a n d e n e i n e n a n d e r e n I n t e g r a t i o n s w e g w/~hlt, d e r s i c h v o n C n u r d a d u r c h u n t e r s c h e i d e t , d a s s sich r e c h t s y o n i h m e i n u n d n u r ein P o l b e f i n d e t , w i r d die r e c h t e Seite v o n (25) z u r D e f i n i t i o n e i n e r n e u e n F u n k t i o n F (-~), die m i t / ('~) in f o l g e n d e r B e z i e h u n g s t e h t :
f (q) = F (-~) + ~
7~
(--log-,J%;
(26)
hier ist log'q eine reelle n e g a t i v e Zahl, w e n n ~] reell i s t lind 0 < r~ < 1. F e r n e r b e k o m m t m a n a u s (26) n a c h e i n i g e r R e c h n u n g
1
/ (~q)= 8 - - y ( 1 - - ~ ) - - ~ (y--~) (1---~)2 + . . . .
4
q- 5 ~/~. ( 1 - - q ) % + . . . . .
(27)
WO:
,e : : (
X (--1)k--1 k--<'= = - - 1 . 4 6 0
--(I+ ,
"c = : 8 =:(
k=l
) :2,k
2.612
=k~k--%
=
(28)
1.341
A u s (27) e r g e b e n s i c h die f o l g e n d e n F o r m e l n , w e l c h e i m T e x t g e b r a u c h t werden : 1' (-e) = y --2~/n (I --~,)','--+ (y--~) (I--r,) ,2_ .... (29)
r~ I' ('q) = [ 1 - -
( 1 - - h)] /' (q) = Y - - 2,,,/~: ( 1 - - -q)','= - - ~, (1 - - -q) + . . !(~)
/'
_ 8+
(~,)
2~/~;(1__~)~,
' _L . . . .
(3o)
(31)
"r
Eingegangen am 5. Juli 1937. LITERATURVERZEICHNIS 1) W. H e i s e n b e r g , Z. Phys. 49, 619, 1928. 2) H. A. K r a m e r s, Commun. Kai-aerlingh Onnes Lab., Leiden, SuppL No. 83. Als ,,I" zitiert. 3) F. B l o e h , Z. Phys. I]1,206, 1930. 4) M. F a 11 o t, Ann. de phys. (11) 6, 305, 1936.
Physica IV, no 8
1937
UBER DIE TEMPERATURABHANGIGKEIT DER MAGNETISIERUNG EINES FERROMAGNETIKUMS BEI TIEFEN TEMPERATUREN yon W. O P E C H O W S K I Instituut voor Theoretische Natuurkunde der Rijks-Universiteit, Leiden
Zusammenfassung Auf Grund des H e i s e n b e r g schen Modells eines Ferroinagnetik u i n s h a t B 1 o c h f o l g e n d e s G e s e t z ffir d i e S ~ t t i g u n g s i n a g n e t i s i e r u n g bei tiefen Temperaturen gefunden: */~0 = 1 - - c ( T / | Mit HiKe e i n e r M e t h o d e y o n K r a in e r s w i r d d i e R i c h t i g k e i t d i e s e s A u s d r u c k s b e s t / t t i g t . A u s s e r d e i n h a t es s i c h e r w i e s e n , d a s s d i e B 1 o c h s c h e F o r m e l d u r c h e i n e n z u ( T / | ~ p r o p o r t i o n a l e n T e r m z u v e r v o l l s t / i n d i g e n i s t (vgl. Formel (24)des Textes).
Die vorliegende Arbeit ist eine unmittelbare Erg~nzung der Rechnungen yon K r a m e r s fiber das Verhalten eines Ferromagnetikurus (ira Sinne des H e i s e n b e r g schen Modells) 1) bei tiefen Temperaturen. Wir setzen also die diesbeziigliche Abhandlung yon K r a m e r s 2) als im wesentlichen b e k a n n t voraus. Wit wollen jedoch eine Ubersicht geben yon der Weise, auf welche man zum Ausgangspunkt unserer R e c h n u n g gelangt, um deutlich hervorzuheben, was ffir vereinfachende A n n a h m e n und Vernachl/issigungen diesem Ausgangspunkt zugrundeliegen. Das Verfahren von K r a m e r s b e r u h t auf der Bemerkung', dass asymptotisch, ftir sehr grosse N(N = die Anzahl der magnetisehen Atome im b e t r a c h t e t e n Kristall), die Zustandssumme, Spur exp (--e/T), gleich ist dem gr6ssten T e r m in ihrer Entwicklung nach (--e/T); T ist bier und im folgenden eine Abkiirzung fiir kT/J (J = das (positive) Austauschintegral), e bedeutet den Energieoperator. Der allgemeine T e r m dieser Entwicklung ist
Au(n)/n!r",
(1)
wo
A:~,(n) = = - - x (kt), - -
Spur (--~)"
(kl) --89 7 1 5
- -
(2)
+ 1].
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Die Summe ist hier fiber alle N / Paare von Nachbaratomen zu erstrecken; dabei bedeutet 2/ die Anzahl der n/ichsten Nachbarn jedes Gitterpunktes. ak sind die P a u 1 i schen Spinvektormatrizen. Nun 1/isst sich unter Einffihrung einer Variablen ~ = n / N und einer Funktion K(~), die durch log A (n) = N[K(,J) + ,~ log N]
(3)
definiert ist, zeigen [I, w 1], dass der Weft von 4, der dem gr6ssten der Terme (I) entspricht, der Gleichung
dK dv
log v = log T
(4)
genfigt und von N unabh/~ngig ist (letzteres folgt aus der Homogenit/it des betrachteten dynamischen Systems; aus demselben Grunde erweist sich auch K(~) als von N unabh/ingig). Dabei wird die thermodynamische Bedeutung von diesem Werte yon ~ durch
=
-
-
E/T
(5)
gegeben [I, (10)], wo E die Gesamtenergie des Kristalls pro magnetisches Atom bedeutet. Aus (2) Iolgt, wenn ~ die Wellenfunktion des Zustands ist, der einer bestimmten Verteilung von Rechts- und Linksspins auf die N Gitterpunkte des Kristalls entspricht, AN(n) = ~ f ~ * (
~)'~
(6)
wo die Summe sich auf alle 2 N m6glichen Zust~inde bezieht *). Nun ergibt bekanntlich die Anwendung des Permutationsoperators (kl) auf eine bestimmte Wellenfunk~ion q) wieder diesetbe Funktion, wenn die Spins an den Gitterpunkten k und l in dem betrachteten q~-Zustand gleichgerichtet sind. Wenn dagegen die Spins entgeger.gerichtet sind, entsteht eine neue Funktion, die sich yon der ursprfinglichen nur durch den Austausch der Spinrichtungen an den Gitterpunkten k und l unterscheidet, oder, anders gesagt, in dem zweiten Falle verschiebt sich ein Linksspin nach einem seiner Nachbarpunkte. Der Ausdruck (--~)n~ stellt also eine Summe von den durch 0, 1, 2 . . . . . . l, . . . . . n auteinanderfolgende Linksspinsverschiebungen erzeugten Funktionen d a r In dieser Summe liefera *) Das Zeichen f bedeutet bier eine Smnmation fiber abe Spinkoordinaten, da die q~'s ja reine Spinfunktionen sind.
M A G N E T I S I E R U N G E I N E S FERROMAGNETIKUMS
717
wegen Orthogonaliffit nur diejenigen Funktionen (ihrer Anzahl sei n
X s~)) einen von Null verschiedenen Beitrag zu f g* (--~)~ q~, die 1=0
mit der ursprfinglichen identisch sind. Der allgemeine Term der Summe (6) h/ingt also von l u n d m (m = die Anzahl der Linksspins) und von s~I, das wieder eine Funktion von I u n d m i s t Is. I, (17) und unten (7)1 ab. Die Summe darf auch jetzt fiir grosse N durch den gr6ssten dieser Terme ersetzt werden. Der Fall sehr tiefer Temperaturen ist wegen (5) dutch v >~1 charakterisiert. Man macht ferner die plausible, aber nicht streng gerecht/ertigte Annahme, dass in diesem Falle nur diejenigen q0-Zust/inde bei der Berechnung yon A N (n) zu berficksichtigen sind, frir welche m sehr klein verglichen mit N ist (grosse Magnetisierungl). Dann ist es leicht zu sehen EI, S. 7], dass AN(n) = Maximum in bezug auf l' und m von
(7) Ferner ist =
(2/m)'
(8)
wo Win(l) die mittlere WahrscheirJichkeit ist, dass m Linksspins, die willkrirlich fiber N Gitterpunkte verteilt sind (m ~ N), nach l willkrirlichen Verschiebungen (bei jeder - - wird irgendein Linksspin zum Nachbargitterpunkt verschoben) wieder in die ursprringliche Verteilung zurfickkehren. Die Berechnung von Win(l), die ziemlich kompliziert ist, wird in I, w 5 gegeben, und zwar unter der verein/achenden A nnahme, dass bei dem betrachteten Prozess j eder Linksspin -~ = l/m Mal verschoben wird. Nach einer Absch/itzung yon K r am e r s /indert sich fiir z >~ 1 das Schlussresultat dadurch nicht. Die Annahme ist also gleichbedeutend mit der Voraussetzung ":>~l. Sonst ist die Berechnung asymptotisch f fir grosse N streng, und es ergibt sich, dass der Ausdruck frir [log V,~('r)I/N aus zwei verschiedenen analytischen Stricken besteht, die sich stetig aneinander anschliessen [I, (51) und (54)]. Wenn man jetzt die Bezeichnungen v = n/N, X = l/N, ~ = m / N , -: = X/~x
einfrihrt, und die Terme der Gr6ssenol:6rmng
V.2v,X2/v, X~ =
[x2~
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vernachl/tssigt, b e k o m m t m a n aus (3), (7) und (8) ((8) soil m a n jetzt offenbar lesen" s~) = (2/m) 1 V,~(T)), mit Hilfe des soeben erwfihnten Ausdrucks ftir [log Vm(T)~/N, das folgende Resultat: K(v) = Maximalwert yon do(v, bt),
(9)
wo
r (% ~t) = v log / -- bt IT-- 2v + T log (2V/':)~ + O~TJ / ' (1(~0) --- V~log ~10 (9a) mit oo ~i~ 1(~) = k=1 X k ~/"
(10)
or = c (3/27:)"/';
(I 1)
und c ist dabei eine yon der Gitterstruktur abh~ingige K o n s t a n t e (fiir das einfach kubische Gitter: c = 1; ftir das fl/ichenzentriert kubische --:c = 89 ferner ist ~0 eine F u n k t i o n yon Wd/,, die fiir oo
W: ~/, > ~y = ~ E k - ' / , gleich 1 ist, und ftir ~T~/,< ~y implizit durch
die Gleichung =
(12)
gegeben wird. Die B e s t i m m u n g des Wertes von ~,, der dem Maximum von 00(% b~) entspricht, ist das Ziel unserer Rechnung, denn 2~, hat die Bedeutung der Abweichung der relativen S/ittigungsmagnetisierung yon ihrem Werte an dem absolutem Nullpunkt. Es ist also : a = I - - 2bt,
(13)
wo a das Verh/iltnis der S/ittigungsmagnetisierung zur vollst/indigen Magnetisierung (,,wahre S/ittigung") bezeichnet. Nun wird der Teil der T, bt-Ebene, ftir welchen T > 0 und ~ > 0, durch die Kurve btT3/s == c~u - - die ja eine Art von Hyperbel h6heren Grades ist, deren A s y m p t o t e n die T- und bt-Achsen sind - - , in zwei Gebiete geteilt. Die F1/iche do(T, bt) wird jetzt durch versehiedene analytische Ausdriicke beschrieben, je naehdem sich der T, b~-Punkt in dem einen, oder in dem anderen Gebiete befindet (Bei dem l~berschreiten der Grenzkurve ist tibrigens die F u n k t i o n d0(T, Vt) stetig sowie ihre Ableitungen erster Ordnung, nicht aber die Ableitungen zweiter Ordnung!). Folglich muss m a n also beim Aufsuchen des Maximums yon do(T, tx) zwei F~ille unterscheiden.
M A G N E T I S I E R U N G E I N E S FERROMAGNETIKUMS
7 19
Fall I : ~x,:*/, < ~y. - - H i e r ist es a m b e q u e m s t e n F aus (12) zu b e s t i m m e n u n d in (9a) einzusetzen. D a n n h a t m a n das E x t r e m u m der F u n k t i o n
9r(,:, ~o) = ~ l o g / +
~ o 1'(~o) [,: _ 2v + log 2~ 4- /(~o) ,,/. ~no 1'(~o~
log ~o]
zu finden. A u s den G l e i c h u n g e n -- 0
und
-- 0
leitet m a n sofort zwei folgende m i t i h n e n / i q u i v a l e n t e ab : 1 --
2 ~ 4 - l o g 2v _ ,:
l o g ~o
"~
log 2~ _ "r
3
Gleichungen (14)
,:
1(~o)
2": ~1o /'(~o)
(is) "
D a v o r a u s s e t z u n g s g e m / i s s ,: gross ist, wird eine angen~iherte L6sung des G l e i c h u n g s s y s t e m s (I 4), (15) d u r c h ,: = 2v u n d ~?o = 1 gegeben. W i r setzen also 2v -- = I + a (16a) ~o:
l--b,
(16b)
wo a u n d b sehr kleine p o s i t i v e Zahlen sind. D u r c h das E i n s e t z e n v o n (16) in (14) b e k o m m t m a n , w e n n m a n die T e r m e y o n der O r d n u n g a a, b2/v, ab/v u n d y o n h 6 h e r e r O r d n u n g vernachl/issigt" a2 =
(17)
b/~
D a s E i n s e t z e n v o n (16) in (15), --- w e n n m a n noch die F o r m e l (31 ) des A n h a n g s b e n u t z t , die das V e r h a l t e n y o n /(~o)/~o/'(~,o) in der N~ihe v o n ~o = 1 b e s c h r e i b t - - , e r g i b t : log(1 4- a) - - 1 2~ 4- a (p + qVb + . . . . )
(18)
WO
3~ P -- 2 y '
q = 3V/r~ 7 '
~ = k~: l k-'/".
(lea)
D u r c h E l i m i n a t i o n y o n b aus (17) u n d (18) b e k o m m t m a n bei Vernachl/issigung der T e r m e der O r d n u n g a2/A/v u n d h 6 h e r e r Ordnung
w. OPECHOWSKI
720
und hieraus wegen (17) 2~/~
....
Die Lage des (einzigen) E x t r e m u m s yon ~V(~, ~o) wird also durch die Formeln (16), (19) u n d (20) bestimmt. Aus der iiblichen Untersuchung der Ableitungen zweiter Ordnung folgt ferner leicht, dass dieses E x t r e m u m tats/ichlich ein Maximum ist. Ein M a x i m u m yon hu("~, ~o) ist aber offensichtlich gleichzeitig ein Maximum von qS(T, ~), und dasletzte ist sicher im jetzt betrachteten Gebiete der Variabeln -~ und ~x, und fiir grosse ~, der h6chste P u n k t der F1/iche r ~). F a l l I I : ~.8/, >~ aT. - - Jetzt wird die F u n k t i o n durch den Ausdruck
o(~, ~) = ~ log / + ~[~ - - 2~ + ~ log (2~/~)] + aT-'/, gegeben, u n d m a n kann sofort zeigen, dass es kein Wertepaar yon -: u n d ~ gibt, das die Gleichungen 0q~ 0q~ 0 und 0r ~ -- 0 -
-
=
gleichzeitig befriedigen wtirde. Es gibt also kein E x t r e m u m im Innern des jetzt betrachteten Gebietes der Variabeln z und ~; @(z, F) n i m m t seinen gr6ssten Wert am Rande an, d.h. auf der Kurve F z "/~ = a T (n/imlich ftir -~ etwas kleiner als 2v). Dies bedeutet aber, dass das im Falle I gefundene Maximum tats/ichlich der h6chste P u n k t der Fl/iehe q~(-:, ~) ist. Der Wert von F, der dem Maximum von qb (~, ~) entspricht, berechnet sieh sofort aus (12), (16), (19), (20) und der Formel (30) des Anhangs: = .'~ -'1' ~o1(~.o) =
= a[(2v)-"/, (1 -P 3/2a 4- . . . . )] [ y -
21/= 1 / ' b -
[3b -F . . . . ]
oder:
dabei werden die numerischen Werte yon ~, y und S im Anhang, Formel (28), gegeben. Um jetzt ~ als F u n k t i o n der Temperatur darzustellen, muss m a n noch den Z u s a m m e n h a n g von v und T finden. Dies geschieht m i t
721
M A G N E T I S I E R U N G E I N E S FERROMAGNETIKUMS
Hilfe von (4). Zun~chst berechnet man K(v), indem man i n (9) log % durch seinen durch G1. (14) bestimmten Wert ersetzt und sodann die Werte yon z und 70 einfiihrt, die dem Maximum entsprechen : K(~) = v log ] -7 ~8 (2~)-'/, + 8 9
yp)(2,) -v2 -7 . . . .
(22)
Aus (22) und (4) folgt Ierner: log ~ -7 ~ - - ~ / , -7 . . . . .
log ~/T
Die Aufl6sung dieser Gleichung nach 1/v ergibt: 1 T v -- / - 7
I T \ 7i, ~-=817-) -7 . . . .
(23)
Man b e k o m m t also aus (13), (21) und (23), wenn man noch die Koeffizienten numerisch auswertet,
= 1--0.609
-70.318
~- - - 0 . 2 3 6 \ |
,
(24)
wo T jetzt die absolute Temperatur bedeutet und 0 = / J / k . Dies gilt ftir das einfach kubische Gitter; im Falle einer anderen Kristallstruktur hat m a n alle Koeffizienten in (24) mit dem F a k t o r c Is. (11)] zu multiplizieren. Der T:h-Term in (24) Wurde schon in I, w5 abgeleitet. Bekanntlich hat ihn B 1 o c h 3) noch friiher auf eine ganz andere Weise gefunden, und die Gr6sse des Koeffizienten erweist sich aus diesen zwei verschiedenen Ableitungen genau als dieselbe. Betreffs des T~/,-Terrues miissen wir nachdriicklich betonen, dass seine Bedeutung nicht iibersch~itzt werden soil. Es ist n/imlich sehr ffaglich, ob in dem Temperaturgebiet, wo dieser Term eine Rolle spielt, die Voraussetzung m ~ N, auf der sich ja die ganze Rechnung stiitzt, noch erlaubt ist. Dagegen scheint es k a u m m6glich, wenn m a n die Gfiltigkeit des t3 1 o c h sehen T%-Termes anerkennt, gleichzeitig an die Giiltigkeit des T2-Termes zu zweifeln. Mail soll jedoch noch folgendes bemerken : n a c h den neuesten Messungen von F a 11 o t 4) sind die Abweichungen der Temperaturabh/ingigkeit der Magnetisierung des Nickels und des Eisens von dem Y%-Gesetz derart, dass sie vielmehr auf die Existenz eines negativen y2-Termes hinweisen. Herrn Professor K r a m e r s m6chte ich fiir die Anregung zu dieser Arbeit und ffir R a t und Hilfe herzlichst danken. Physica IV
46
722
MAGNETISIERUNG EINES FERROMAGNETIKUMS
ANHANG Die d u r c h (10) ffir I "q ] ~ 1 d e f i n i e r t e F u n k t i o n / (-q) l~tsst sich d u r c h die f o l g e n d e D e f i n i t i o n auf die g a n z e k o m p l e x e E b e n e f o r t s e t z e n :
! (r
1
2
~
l" z~"~
1~(5/,) fez
dz
--
(25)
(c) D e r I n t e g r a t i o n s w e g C 1/~uft, v o m U n e n d l i c h e n k o m m e n d , 1/~ngs des V e r z w e i g u n g s s c h n i t t e s (welcher den K o o r d i n a t e n u r s p r u n g mit d e m une n d t i c h f e r n e n !Punkt v e r b i n d e t ) z u m U r s p r u n g , u m s c h l i n g t d i e s e n einm a l in d e r n e g a t i v e n R i c h t u n g u n d f t i h r t d a n n w i e d e r l g n g s des V e r z w e i g u n g s s c h n i t t e s n a c h U n e n d l i c h z u r f i c k ; d a b e i s i n d die P o l e des I n t e g r a n d e n a u f d e r l i n k e n S e i t e des W e g e s zu lassen. I n d e m m a n f/Jr d e n s e l b e n I n t e g r a n d e n e i n e n a n d e r e n I n t e g r a t i o n s w e g w/~hlt, d e r s i c h v o n C n u r d a d u r c h u n t e r s c h e i d e t , d a s s sich r e c h t s y o n i h m e i n u n d n u r ein P o l b e f i n d e t , w i r d die r e c h t e Seite v o n (25) z u r D e f i n i t i o n e i n e r n e u e n F u n k t i o n F (-~), die m i t / ('~) in f o l g e n d e r B e z i e h u n g s t e h t :
f (q) = F (-~) + ~
7~
(--log-,J%;
(26)
hier ist log'q eine reelle n e g a t i v e Zahl, w e n n ~] reell i s t lind 0 < r~ < 1. F e r n e r b e k o m m t m a n a u s (26) n a c h e i n i g e r R e c h n u n g
1
/ (~q)= 8 - - y ( 1 - - ~ ) - - ~ (y--~) (1---~)2 + . . . .
4
q- 5 ~/~. ( 1 - - q ) % + . . . . .
(27)
WO:
,e : : (
X (--1)k--1 k--<'= = - - 1 . 4 6 0
--(I+ ,
"c = : 8 =:(
k=l
) :2,k
2.612
=k~k--%
=
(28)
1.341
A u s (27) e r g e b e n s i c h die f o l g e n d e n F o r m e l n , w e l c h e i m T e x t g e b r a u c h t werden : 1' (-e) = y --2~/n (I --~,)','--+ (y--~) (I--r,) ,2_ .... (29)
r~ I' ('q) = [ 1 - -
( 1 - - h)] /' (q) = Y - - 2,,,/~: ( 1 - - -q)','= - - ~, (1 - - -q) + . . !(~)
/'
_ 8+
(~,)
2~/~;(1__~)~,
' _L . . . .
(3o)
(31)
"r
Eingegangen am 5. Juli 1937. LITERATURVERZEICHNIS 1) W. H e i s e n b e r g , Z. Phys. 49, 619, 1928. 2) H. A. K r a m e r s, Commun. Kai-aerlingh Onnes Lab., Leiden, SuppL No. 83. Als ,,I" zitiert. 3) F. B l o e h , Z. Phys. I]1,206, 1930. 4) M. F a 11 o t, Ann. de phys. (11) 6, 305, 1936.